AKSIJALNO NAPREZANJE

Seminarski rad iz premeta Otpornost materijala

Zlatan Vasi Br. indeksa OFM276

Brko, decembar 2012

1

SADRAJ

1. AKSIJALNO OPTEREENJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1 Naponi i deformacije aksijalno napregnutog tapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Veza izmeu napona i deformacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Dimenzionisanje aksijalno optereenih tapova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Utjecaj temperature na pojavu deformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 1.5 Naponi i deformacije tapa optereenog sopstvenom teinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.6 tapovi idealnog oblika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Naponi u kosom presjeku tapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Morov (Mohr) krug napona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9 Raspored napona i deformacija pod djelovanjem aksijalnog optereenja i Sen-Venanov (Saint-Venant) princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2. LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2

1. AKSIJALNO OPTEREENJE Aksijalno naprezanje predstavlja specijalni sluaj ravnog stanja napona. Ono se javlja kada je tap na svojim krajevima optereen zateuim ili pritiskujuim kolinearnim silama iji se pravci poklapaju s uzdunom osom tapa. To je jednoosno naprezanje i u poprenom presjeku koji je okomit na uzdunu osu javlja se samo normalna komponenta tenzora napona z=

Crte 1. tap pod djelovanjem vanjskih i unutranjih sila 1.1 Naponi i deformacije aksijalno napregnutog tapa Nosei element oblika tapa (crte 1.) optereen je na krajevima podunim centrinim silama F. Ako se tap presijee, unutranja sila predstavlja rezultantu elementarnih sila rasporeenih po povrini A poprenog presjeka. Moe se rei da je sila rasporeena po jedinici povrine ili intenzitet sile podijeljen s poprenim presjekom napon , tj. =

Da bi se definisao napon u odreenoj taki poprenog presjeka, potrebno je razmatrati malu povrinu A unutar poprenog presjeka (crte 2.). Veliina F je srednja vrijednost unutranje sile rasporeene po tom elementu povrine. Kolilnik

je srednja vrijednost

napona. Kada A 0 dobija se napon u talki, tj.

Crte 2. Prosjena vrijednost normalnog napona poduno napregnutog tapa

3

U optem sluaju vrijednosti napona u prethodnim izrazima nisu jednake. Sila, odnosno optereenje po poprenom presjeku tapa mijenja se po izrazu Mada je distribucija napona neodreena, u praksi se uzima da je distribucija normalnih napona u aksijalno optereenom tapu uniformna. I unutranje sile su ravnomjerno rasporeene po poprenom presjeku, pa sila F djeluje u centru poprenog presjeka. To znai da je ravnomjerna distribucija napona mogua samo ako aksijalne sile prolaze kroz centre poprenih presjeka , pa je to centrino optereenje tapova. Da bi se moglo zakljuiti hoe li tap izdrati zadatu silu F, mora se napon izraunat u tapu, uporediti s maksimalnim dozvoljenim naponom za materijal tog tapa i on mora biti manji ili jednak dozvoljenom naponu. Pored napona za analizu i dizajniranje aksijalno napregnutih tapova vane su deformacije koje su posljedica djelovanja optereenja. Posebno je vano izbjei velike deformacije, to je prvi korak u zatiti tapne strukture, koja treba da ostvari ulogu za koju je namijenjena. Analiza deformacija moe pomoi u odreivanju naprezanja. Naime, nije uvijek mogue odrediti sile u tapovima samo primjenom principa statike. To je stoga to je statika zasnovana na pretpostavkama da je tijelo kruto, tj. nedeformabilno. U stvarnosti inenjerske konstrukcije su deformabilne. Analizirajui deformacije u razliitim dijelovima konstrukcije mogue je nai sile makar se konstrukcije sa statikog aspekta smatrale statiki neodreene. Za potpuno razumjevanje naprezanja unutar lanova konstrukcije neophodno je razumjeti deformacije. Na crteu 3. prikazan je tap BC konstantnog poprenog presjeka A. Kada se na kraj tapa u taki C nanese aksijalna sila F doi e do izduenja tapa za duinu l to je direktna posljedica djelovanja sile F.

Slika 4.3. Izduenje aksijalno napregnutog tapa Ako se tap aksijalno optereti na oba kraja, crte 4., silama F i - F , poetna duina tapa lo promijenit e se i postati l = l + l 0 , tj. tap je promijenio duinu i izduio se za apsolutno izduenje l . Istovremeno e u poprenom pravcu aksijalno optereenog tapa nastati deformacija i tu e doi do smanjenja irine b0 na b. Ukoliko umjesto isteuih aksijalnih sila djeluju pritiskujue aksijalne sile duina tapa e se skratiti za l , a irina poveati za b.

4

Crte 4. Izduenje aksijalno napregnutog tapa na oba kraja Promjena duine osim u apsolutnim veliinama izduenja moe se dati i u relativnim odnosima. Tako se relativno izduenje tapa na crteu 4. moe definirati izrazom gdje je: z - dilatacija ili relativno izduenje u pravcu ose z, l0 poetna duina tapa, a l - konana duina tapa. S obzirom da se odvija u uzdunom pravcu tapa z, dilatacija z se oznaava kao uzduna, dok je dilatacija p poprena dilatacija, tj. U podruju elastinih deformacija postoji veza izmeu uzdunih i poprenih dilatacija, koja je eksperimentalno odreena i data izrazom p=-z; gdje je: - Poasonov (Poisson) koeficijent. Znak minus pokazuje da je poprena dilatacija suprotnog predznaka od uzdune. 1.2 Veza izmeu napona i deformacije Veina inenjerskih konstrukcija se dizajnira za male deformacije koje se nalaze u linearnom podruju elastinosti. U tom podruju linearnosti napona i deformacije postoji proporcionalnost izmeu napona i deformacije data izrazom =E koja je eksperimentalno odreena. Koeficijent proporcionalnosti E predstavlja Jangov (Young) modul elastinosti koji je karakteristika materijala i izraava se u Pa. Izraz =E poznat je kao Hukov (Hooke) zakon. U podruju linearne elastinosti na osnovu prethodnih izraza dobija se

5

1.3. Dimenzionisanje aksijalno optereenih tapova Kod aksijalno napregnutih tapova, ako je poznato optereenje odreuju se njihove dimenzije, a ako se znaju dimenzije odreuje se najvee optereenje koje ta tapna konstrukcija moe izdrati. I jedno i drugo se odreuje iz uslova da normalni napon ni u jednoj taki tapa ne bude vei od dozvoljenog napona d za odreeni materijal tapa. To znai da mora biti Ukoliko materijal ima razliite granice teenja u zoni zatezanja i pritiska, tada su razliiti dozvoljeni naponi u zoni zatezanja i pritiska. U tom sluaju popreni presjek tapova se odreuje iz uslova U nejednainama de je dozvoljeni napon pri zatezanju, a dc dozvoljeni napon pritiska. 1.4 Utjecaj temperature na pojavu deformacija U prethodnoj analizi tijelo se deformiralo samo pod utjecajem sila, jer mu se nije mijenjala temperatura. Meutim, zagrijavanje (hlaenje) utjee na pojavu deformacija (irenja ili skupljanja) tijela. Tada mogu nastati samouravnoteene unutranje sile, odnosno naponi koji nisu posljedica vanjskog optereenja. Pojava termikih deformacija objanjena je na jednostavnom primjeru. Homogeni tap ravnomjernog poprenog presjeka postavljen je na horizontalnu podlogu (crte 5.) i zagrijan.

Crte 5. Termika dilatacija

Ako temperatura tapa poraste za T tap e se izduiti za lT. Izduenje je proporcionalno duini l0, promjeni temperature T i koeficijentu termikog irenja koji predstavlja karakteristiku materijala, tj. lt =Tl0 Termika dilatacija je i posljedica je promjene temperature. U sluaju na crteu 5. tap se slobodno iri pa se ne

6

javljaju termiki naponi. tap na crteu 6. nije slobodan i postavljen je izmeu nepokretnih oslonaca na rastojanju l0.

Crte 6. Termiki optereen tap U poetku, prije zagrijavanja, nema ni deformacija niti napona. S porastom temperature tap se ne moe iriti zbog ogranienja pa je izduenje tapa l =0. Ako je tap homogen i istog poprenog presjeka u svim presjecima bie T = 0. tap e usljed irenja pritiskivati oslonce, te e se javiti reakcije oslonaca, tj. sile F i F'. Treba odrediti napon koji se javlja usljed prirataja temperature T . Problem spada u statiki neodreene. Zbog toga treba prvo izraunati vrijednost reakcija u osloncima (F) za uslov da je izduenje tapa jednako nuli. Koristei se metodom sabiranja deformacija (princip superpozicije) moe se nai ukupno izduenje. Naime, tap se oslobodi veze uB (crte 7.prva slika) i njegovo izduenje zbog promjene temperature je Tl0 (crte 7.srednja slika). Poto u B djeluje reakcija oslonca B javit e se druga deformacija skraenje tapa 0

Ukupno izduenje mora biti jednako nuli, tj.

a termiki napon je Termiki napon dat prethodnim izrazom odnosi se na tap ravnomjernog poprenog presjeka. Bilo koji drugi problem mora se posebno analizirati.

Crte 7. Izduenje mehaniki i termiki optereenog tapa

7

1.5 Naponi i deformacije tapa optereenog sopstvenom teinom

Crte 8. tap optereen sopstvenom teinom tap na crteu 8 (prva slika), optereen je sopstvenom teinom i vezan osloncem u taki O. Duina tapa je l a povrina poprenog presjeka A. Ako se napravi popreni presjek a-a, dio tapa ispred presjeka (crte 8 druga slika) je u ravnotei ako je zbir svih sila du ose tapa jednak nuli. gdje je Fa unutranja sila u tapu, a Fz teina tapa ispred presjeka gdje je V zapremina posmatranog dijela tapa, a zapreminska teina. Rezultanta unutranjih sila je Fa = A. Iz jednakosti izraza dobije se Vidi se da normalni napon zavisi linearno od koordinate z. Maksimalna vrijednost normalnog napona dobije se u taki O, tj. za z = 0, max=l a minimalni naponi za z=l min=0. Promjena normalnog napona du tapa prikazana je na crteu 8 (trea slika). Deformacija je na osnovu jednaka

Ako bi tap bio izloen djelovanju aksijalne zatezne sile F na slobodnom kraju kao i djelovanju sopstvene teine onda je napon u presjeku jednak superpoziciji napona usljed

8

ove dvije sile, tj.

Pomjeranje taaka poprenog presjeka w zavisi o poloaju take, tj. w = w(z) , a deformacija u taki je Na osnovu ovih izraza dobija se da je pomjeranje taaka poprenog presjeka Pomjeranje taaka poprenog presjeka raste po zakonu kvadratne parabole, crte 8 (etvrta slika). Maksimalno pomjeranje za

1.6 tapovi idealnog oblika tapovi konstantnog poprenog presjeka usljed dejstva sopstvene teine imaju najvei napon u ukljetenju, crze 8 (etvrta slika). Svi popreni presjeci ispod ukljetenja nisu racionalno iskoriteni. Popreni presjek tapa bi se trebao smanjivati prema slobodnom kraju. Idealan popreni presjek tapa je onaj za koji optereeni tap ima konstantan napon po cijeloj duini tapa, jednak dozvoljenom naponu d . Na crteu 9. je prikazan tap optereen silom F na slobodnom kraju i sopstvenom teinom.

9

Crte 9. tap idealnog oblika

1.7 Naponi u kosom presjeku tapa U prethodnim razmatranjima raunat je napon u presjeku normalnom na podunu osu tapa, u pravcu koje djeluje vanjska sila. To je bio normalni napon z =. Ako se eli odrediti naponsko stanje u kosom presjeku, koji s normalnim presjekom gradi ugao , tada sila F djeluje na kosi presjek povrine A= 0

.

Totalni napon u kosom presjeku pn jednak je gdje je z totalni napon za normalni presjek.

Crte 10. Aksijalno napregnut tap i naponi u kosom presjeku tapa

10

U kosom presjeku totalni napon se moe razloiti na dvije meusobno normalne komponente, a to su normalni i smiui napon (crte 10.c). Ovi naponi su: jer, prema usvojenoj konvenciji o znaku smiueg napona, on je pozitivan ako djeluje na pozitivnoj povrini i usmjeren je u pozitivnom smjeru odgovarajue koordinatne ose ili ako nastoji proizvesti rotaciju materijala suprotno kretanju kazaljke na satu, to nije sluaj u razmatranom primjeru (crte 10.c). Izrazi uz koritenje trigonometrijskih relacija mogu se napisati u obliku: Glavni naponi se dobijaju za

11

1.8 Morov (Mohr) krug napona Promjena komponentnih napona s promjenom ugla , data prethodnim izrazima, moe se grafiki predstaviti pomou Morovog kruga napona. Iz izraza nakon kvadriranja i sabiranja dobija se

Na crteu 11. vidi se da su glavni naponi 1=OP1=z, a 2=0 dok su ekstremni smiui naponi 1=CS1=2 , a 2=CS2=2 i u ravnima dejstva napona 1,2 normalni naponi su 0=OC=2 .

Crte 11. Morov krug napona za aksijalno naprezanje 1.9 Raspored napona i deformacija pod djelovanjem aksijalnog optereenja i Sen- Venanov (Saint-Venant) princip Ravnomjeran raspored napona po poprenom presjeku tapa ostvaruje se samo u sluajevima kada je presjek dovoljno udaljen od djelovanja koncentrisane sile i ako u blizini nema nagle promjene poprenog presjeka. U blizini otvora, zareza i na mjestu djelovanja sila, raspored napona nije ravnomjeran. Najvei napon moe biti nekoliko puta vei od srednjeg napona. Ta pojava je poznata kao koncentracija naprezanja. Problemi koncentracije naprezanja rjeavaju se numerikim i eksperimentalnim metodama. Na crteu 12. prikazan je eksperimentalno odreen raspored napona u poprenom presjeku tapa, ije su dimenzije poprenog presjeka h i b pri emu je h>>b (tap male debljine) i koji je optereen koncentrisanom silom F. Raspored napona dat je u presjecima 4, 2 i h.

12

Raspored napona u poprenim presjecima tapa je razliit za razliitu udaljenost tih presjeka od napadne take sile. S poveanjem udaljenosti od mjesta djelovanja sile raspored napona je ravnomjerniji. U taki djelovanja sile kada bi ona stvarno djelovala u taki, napon bi bio max = . Na rastojanju koje je jednako ili vee od irine tapa moe se uzeti da je raspored napona ravnomjeran, tj. jednak proraunskom =

.

Crte 12. Raspored napona u popre_nim presjecima aksijalno napregnutog tapa To znai da, osim u takama djelovanja ili u bliskoj okolini napadne take sile, raspored napona se moe smatrati nezavisnim od promjene optereenja, ako su ta optereenja statiki ekvivalentna. Statiki ekvivalentna optereenja znae da imaju istu rezultirajuu silu i isti rezultirajui moment. Ovim je izraen Sen-Venanov (Saint-Venant) princip. On se moe izraziti i na drugi nain: Ako na malom dijelu tijela djeluju meusobno uravnoteene sile, one izazivaju samo lokalna naprezanja u neposrednoj blizini dejstva sile i brzo opadaju s udaljavanjem od mjesta optereenja.

13

2. LITERATURA

1. imi V., Otpornost materijala I, kolska knjiga , Zagreb 1994

2. Verbi B., Otpornost materijala skripta, Graevinski fakultet Sarajevo 1989

3. Timoenko S., Otpornost materijala I. i II. dio, Graevinska knjiga, Beograd, 1965