otpornost materijala 2

SVEUČILIŠTE U ZAGREBUGRAĐEVINSKI FAKULTET, ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKUOTPORNOST MATERIJALA 1

GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE

PRESJEKA


Zadatak: Za presjek prikazan na slici treba odrediti glavne središnje osi tromosti, glavne momente tromosti i elipsu tromosti.

200 mm 100 mm 100 mm20

0 m

m20

0 m

my1

z1


Dijelimo presjek na osnovne geometrijske likove (pravokutnik, trokut, krug, polukrug i sl.) za koje znamo vlastite momente tromosti.

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

150 mm 100 mm

200

mm

200

mm

z1

y1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

z

y

T

109,47 mm

163,

38 m

m

200 mm 100 mm

T1

y'1

z'1

T2

y'2

z'2

2

1 3

T3

y'3

z'3

150 mm

r

3

4


Pravokutni presjek

12

3hbI z

12

3bhI y

0zyI

- aksijalni moment tromosti oko osi z

- aksijalni moment tromosti oko osi y

- centrifugalni moment tromosti jednak je nuli jer su osi y i z osi simetrije presjeka

b/2=150 mm

h/2=

200

mm

b/2=150 mm

h/2=

200

mm

y

zT


Trokutni presjek

36

3hbI z

36

3bhI y

72

22 hbI zy

- aksijalni moment tromosti oko osi z

- aksijalni moment tromosti oko osi y

- centrifugalni moment tromosti

h=20

0 m

m

y

z

b=200 mm

b/3

h/3 T


Kružni i polukružni presjek

04322

1

2

1 44

zy

pyz

I

rdIII

d=2r

=20

0 m

m

y

z

d=2r=200 mm

T

rr

r=100 mm

y

zT

y1

r

3

4

2

4444

1

222

1

1

44

1

9

641

89

8

89

8

23

4

0842

1

rrrrII

rrIAzII

II

rrII

yy

yTyy

zyzy

yz

:imamo pravilu Steinerovu po


Određivanje težišta presjeka u odnosu na KS z1, y1.

2

22

3

22

21

115708

157082

100

200002002002

1

120000400300

mmAA

mmA

mmA

mmA

i

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

1

2

3

Površine:



A

zAzAzA

A

zAz

i

iit

332211

A

zAzAzt

3322150120000

A

zAzt

3320031

20000150120000

115708

10034

3001570820031

20000150120000

tz

mmzt 53,190

200 mm 100 mm 100 mm

z1

T1

z1

y1

200

mm

200

mm

200 mm 100 mm 100 mm

z2z1

y1

T2

200

mm

200

mm

200 mm 100 mm 100 mm

z3z1

y1

T3r

3

4

200

mm

200

mm

200 mm 100 mm 100 mm

z1

y1

z =190,53 mmt

200

mm

200

mm



A

yAyAyA

A

yAy

i

iit

332211

A

yAyAyt

3322200120000

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y1

T1

z1

y1

A

yAyt

3320031

20000200120000

115708

3001570820031

20000200120000 ty

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y2z1

y1

T2

mmyt 62,236

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

z1

y1

y =

236,

62 m

mt

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm y3

z1

y1

T3



mmzt 53,190

mmyt 62,236

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

z1

z

y1

y

T


Koordinate težišta pojedinih površina u z, y KS.

mmzT 53,40)15053,190(1

mmyT 62,36)20062,236(1

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

T1

y =-36,32 mmT1

z

y

T

z =-40,53 mmT1

Za pravokutnik:



mmzT 86,123)2003

153,190(2

mmyT 95,169)2003

162,236(2

Za trokut:

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

z

y

T

T2

2

y =-169,95 mmT2

z =-123,86 mmT2



mmzT 91,151100

3

447,1093

mmyT 38,6310038,1633

Za polukrug:200 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

z

y

T

r

3

4

T3

109,47 mm

163,

38 m

m

100 mm 100 mm

100

mm

100

mm

y =63,38 mmT3

z =151,91 mmT3


Određivanje aksijalnih momenata tromosti

n

iiTi

n

iizz AyII

T

2

Steinerovo pravilo za aksijalne momente tromosti:Aksijalni moment tromosti presjeka s obzirom na zadanu os jednak je zbroju momenata tromosti s obzirom na paralelnu

težišnu os i produkata površine presjeka i kvadrata udaljenosti zadane i težišne osi.

32

3322

2212

11 AyIAyIAyII TzTzTzz TTT

120000623612

400300 23

,I z

2000095169

36

200200 23

,

1570838638

100 24

,

491024151 mm,I z

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

T1

y =-36,32 mmT1

z

y

T

z =-40,53 mmT1

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

z

y

T

T2

2

y =-169,95 mmT2

z =-123,86 mmT2

200 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

z

y

T

r

3

4

T3

109,47 mm

163,

38 m

m

100 mm 100 mm

100

mm

100

mm

y =63,38 mmT3

z =151,91 mmT3


Određivanje aksijalnih momenata tromosti

32

3322

2212

11 AzIAzIAzII TyTyTyy TTT

n

iiTi

n

iiyy AzII

T

2

120000534012

300400 23

,I y

2000086123

36

200200 23

,

15708911519

641

8

100 22

4

,

Steinerovo pravilo za aksijalne momente tromosti:Aksijalni moment tromosti presjeka s obzirom na zadanu os jednak je zbroju momenata tromosti s obzirom na paralelnu

težišnu os i produkata površine presjeka i kvadrata udaljenosti zadane i težišne osi.

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

T1

y =-36,32 mmT1

z

y

T

z =-40,53 mmT1

49101191 mm,I y

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

z

y

T

T2

2

y =-169,95 mmT2

z =-123,86 mmT2

200 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

z

y

T

r

3

4

T3

109,47 mm

163,

38 m

m

100 mm 100 mm

100

mm

100

mm

y =63,38 mmT3

z =151,91 mmT3


Određivanje centrifugalnog momenta tromosti

n

iiTiTi

n

iiyzzy AyzII

TT

333322221111 AyzIAyzIAyzII TTyzTTyzTTyzzy TTTTTT

Steinerovo pravilo za centrifugalni moment tromosti:

Centrifugalni moment tromosti presjeka s obzirom na zadani pravokutni KS jednak je zbroju centrifugalnog momenta tromosti s obzirom na paralelni težišni KS i produkta površine i koordinata težišta presjeka u zadanome KS.

120000623653400 ),(),(I zy

200009516986123

72

200200 22

),(),(

157083863911510 ,,

491006970 mm,I zy

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

T1

y =-36,32 mmT1

z

y

T

z =-40,53 mmT1

200 mm 100 mm 100 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

z

y

T

T2

2

y =-169,95 mmT2

z =-123,86 mmT2

200 mm

200

mm

200

mm

y1

z1

y =

236,

62 m

mt

z =190,53 mmt

z

y

T

r

3

4

T3

109,47 mm

163,

38 m

m

100 mm 100 mm

100

mm

100

mm

y =63,38 mmT3

z =151,91 mmT3


Položaj glavnih središnjih osi tromosti

1381

1011911024151

1006970222

99

9

0 ,,,

,

II

Itg

yz

zy

Kut φ0 koji određuje položaj glavne središnje osi u nanosi se u suprotnom smjeru gibanja kazaljke na satu, a glavna središnja os v je okomita na os u.

''', 422024345240

69482 0 ,

z

y

T

u

v

345240 ,


Glavni momenti tromosti:

22minmax, 4

2

1

2 zyyzyz III

III

229 069704119124151

2

1

2

11912415110 ,,,

,,I minmax,

0930181109 ,,I minmax,

49

49

100871

102731

mm,II

mm,IIIIza

vmin

umaxyz

Invarijanta momenata tromosti:

99

9999

1036210362

1008711027311011911024151

,,

,,,,

IIII vuyz


Glavni središnji polumjeri tromosti

mm,,

A

Ii uu 88104

115708

102731 9

mm,,

A

Ii vv 9296

115708

100871 9

z

y

T

u

v

iu

iu

iv

iv

345240 ,

z

y

T

u

v

iu

iu

iv

iv

345240 ,


Mohrova kružnica tromosti

O zI , yI

zyI

yI

),( zyy IID

),( zyz IIC

S

zI

zI , yIO

zyI

zyI

zy-I

vI

)0,(2 vIN

)0,(1 uIN

P

y

z

uI

02

uv

0

KS Iz,Iy i Izy

Ucrtavamo točke C(Iz , Izy) i D(Iy , -Izy), spajamo ih, a polovište dužine CD je točka S – središte Mohrove kružnice.

Kroz točke C i D povlačimo osi aksijalnih momenata z i y (kroz C os z, kroz D os y), a njihovo sjecište definira točku P - pol Mohrove kružnice. Sjecišta kružnice s horizontalnom osi određuje točke N1 i N2 (glavni momenti

tromosti).

Spajanjem točaka N1 i N2 sa polom Mohrove kružnice određujemo smjerove glavnih osi tromosti.yI

),( zyy IID

),( zyz IIC

S

zI

zI , yIO

zyI

zyI

zy-I

yI

),( zyy IID

),( zyz IIC

S

zI

zI , yIO

zyI

zyI

zy-I

vI

)0,(2 vIN

)0,(1 uIN

P

y

z

uI

Documents

otpornost materijala 2