Seminarski Rad - Zajam Podijeljen Na Obveznicei

UNIVERZITET U SARAJEVU

EKONOSMKI FAKULTET U SARAJEVU

ZAJMOVI PODIJELJENI NA OBVEZNICE

SEMINARSKI RAD

Studij: Menaddžment - DL

Predmet: Kvantitativni modeli u ekonomiji i menadžmentu

Profesor: Selimović dr Jasmina

Studenti: Sumejja Hadžić 69644

Alena Idrizović 70722

Jasmin Planja 68908

Sarajevo, mart 2014.

Sadržaj

UVOD....................................................................................................................................................3

1 OBVEZNICE ISTE NOMINALNE VRIJEDNOSTI, KAMATA SE ISPLAĆUJE POMOĆU

KAMATNIH KUPONA.........................................................................................................................5

1.1 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU PO NOMINALI...................................................................5

1.1.1 Zajam se amortizuje konstantno jednakim otplatama.....................................................5

1.1.2 Zajam se amortizuje konstantno jednakim anuitetima....................................................9

1.1.3 Zajam se amortizuje zaokrugljenim anuitetima............................................................13

1.1.4 Zajam se amortizuje anuitetima koji konstantno rastu (opadaju) po aritmetičkoj

progresiji ......................................................................................................................................20

1.1.5 Zajam se amortizuje pomoću anuiteta koji konstantno rastu (opadaju) po geometrijskoj

progresiji ......................................................................................................................................24

1.2 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU S AŽIJOM..........................................................................31

1.3 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU S DISAŽIJOM...................................................................37

2 OBVEZNICE RAZLIČITIH NOMINALNIH VRIJEDNOSTI; KAMATA SE ISPLAĆUJE

POMOĆU KAMATNIH KUPONA.....................................................................................................39

3 OBVEZNICE SE AMORTIZUJU POMOĆU ANUITETSKIH KUPONA.................................41

ZAKLJUČAK......................................................................................................................................44

LITERATURA.....................................................................................................................................45

2

UVOD

Zajmovi podijeljeni na obveznice koriste se za pribavljanje sredstava, gdje se zajam dijeli na

više manjih iznosa za koje se izdaje obveznica. Zapravo se radi o pismenoj ispravi kojom se

potvrđuje prijem zajma i izjavljuje da će zajam kao i kamata biti isplaćeni po ugovorenoj

kamatnoj stopi. Obveznice se izdaju samo u okruglim iznosima, apoenima.

Zajmovi mogu biti podijeljeni na obveznice istog i različitog nominalnog iznosa. U prvom

slučaju, kada su obveznice istog nominalnog iznosa , radi se o podjeli na serije koje imaju isti

broj obveznica. Kada se obveznice izdaju u različitim apoenima postoji više grupa različite

nominalne vrijednosti.

Emisiju obveznica možemo izvršiti na direktan ili indirektan način gdje se pod direktnim

načinom izdavanja misli na izdavaoca kao izvršitelja svojih operacija dok se kod indirektnog

načina taj posao povjerava banci. Kako govorimo o emisiji obveznica jako je bitno spomenuti

emisioni kurs koji predstavlja cijenu po kojoj se nude obveznice. Kurs može biti iznad, ispod i

jednak nominalnoj vrijednosti.

Obveznice mogu glasiti na ime ili donosioca. Ako glase na ime znaći da sadrži ime korisnika

dok kod obveznica na donosioca nemamo naznačeno ime korisnika.

Obveznice možemo podijeliti na one u užem smislu koje sadrže sve bitne elemente i one koje

se sastoje od anuitetskih i kamatnih kupona zavisno od amortizacije obveznica.

Ako se amortizacija vrši po unaprijed utvrđenom planu i otkupu dužnik će se odlučiti da

otkupi obveznicu kada to za njega bude najpovoljnije.

Prije nego objasnimo amortizaciju uz kamatne i anuitetske kupone treba istaći da se sam

zajam kao i anuitet sastoje od kamate i otplate. Kamata se obračunava na sve neamortizovane

obveznice a dio anuiteta namijenjen za otplatu može se koristiti za potpunu isplatu nekih

obveznica, čija je količina utvrđena amortizacionim planom. Koje su to obveznice utvrđujemo

pomoću amortizacionog plana i tada se koriste kamatni kuponi za naplatu kamate dok se sama

vrijednost obveznice naplaćuje njenom predajom. O drugom slučaju govorimo kada imaocu

obveznice svakog roka pripada anuitet za svaku obveznice, koji ćemo ostvariti samo uz

anuitetski kupon.

3

Isplaćivanje obveznice se može vršiti po nominali, iznad i ispod nje. Ako se radi o pozitivnoj

razlici govorimo o ažiju dok se negativna razlika naziva disažijo, o čemu ćemo opširnije u

nastavku.

Kamata se može obračunavati dekurzivno i anticipativno. Osvrnut ćemo se samo na naše

pravo, koje dozvoljava i varijabilnu kamatnu stopu uslovljenu uspjehom poslovanja, gdjeo se

kamata obračunava i plaća godišnje dekurzivno.

Kamata i otplata se mogu naplatiti od roka dospijeća do zastarjelosti. Nakon zastarijevanja

imalac obveznice više ne može ostvariti svoja potraživanja. O svemu ovome ćemo u nastavku

opširnije razmatrati.

4

1 OBVEZNICE ISTE NOMINALNE VRIJEDNOSTI, KAMATA SE ISPLAĆUJE

POMOĆU KAMATNIH KUPONA

Zajam je podijeljen na određeni broj obveznica iste nominalne vrijednoti. Kamata se

naplaćuje pomoću kamatnih kupona o njenom dospijeću a glavnica se isplaćuje kada

obveznica bude izvućena za amortizaciju.

1.1 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU PO NOMINALI

Prilikom amortizacije obveznice, njen imalac prima iznos nominalne vrijednosti.

1.1.1 Zajam se amortizuje konstantno jednakim otplatama

Zajam K podijeljen je na m obveznica po N nominalne vrijednosti i tada važi:

K=m*N

Iz koje slijedi:

m= KN

Otplata b se računa :

b=Kn

Broj obveznica za amortizaciju x se računa:

x= bN

ili x=mn

Sobzirom da je obveznica nedjeljiva, b i x mogu biti stvarne ili teorijske veličine.

Kamata se računa na ostatak zajma, ili jednostavnije, izračunamo iznos kamate po obveznici i

pomnožimo s brojem obveznica:

I 0=N∗p100

I n=I 0∗mn−1

5

Primjer 1.

Zajam od 500 000 KM, podijeljen je na obveznice po 500KM, treba amortizovati za 4 godine

jednakim godišnjim otplatama. Kamata se obračunama i plaća godišnje po stopi od 7%. Treba

izraditi i provjeriti amortizacioni plan.

Elementi: K=500 000KM; N=500KM; n=4god; p=7%

Kamata po obveznici:

I 0=500∗7

100=35

Broj emitovanih obveznica:

m=500 000500

=1000

Otplata:

b=5000004

=125 000

Broj obveznica za jednogodišnju amortizaciju:

x=10004

=250

Na kraju prve godine:

a)kamata

I1=m*I0=1000*35=35 000

b)Amortizovane obveznice

x=250

c)otplata

b=125 000

d)anuitet

a1=b+I1=125 000+35 000=160 000

e)neamortizovane obveznice

m1=m-x=1000-250=750

6

Ovako se mogu računati pojedinosti za svaki otplatni period, ali se brže i lakše računa u

samom amortizacionom planu.

AMORTIZACIONI PLAN

Zajma od 500 000 KM

Na kraju godine

Neamortizovane obveznice m (2-4)

Kamata I, 7% (2*I0)

Amortizovane obveznice x

Otplata b, ( 4*N)

Anuitet a (5+3)

1 2 3 4 5 60 10001 750 35 000 250 125 000 160 0002 500 26 250 250 125 000 151 2503 250 17 500 250 125 000 142 5004 0 8 750 250 125 000 133 750 2500 87 500 1000 500 000 587 500

Kontrola:

a) Zbir amortizovanih obveznica treba biti jednak broju emitovanih obveznica

( 1000=1000)

b) Zbir otplata treba da bude jednak iznosu zajma (500 000=500 000)

c) Zbir anuiteta treba da bude jednak sumi zbira otplata i zbira kamata

( 500 000+87 500=587 500)

d) Posljednji ostatak neamortizovanih obveznica treba da bude jednak broju obveznica

koje se amortizuju svakog perioda ( 250=250)

e) Kamata na zbir neamortizovanih obveznica treba da bude jednaka zbiru kamata

( 2500*35= 87 500)

Ukoliko želimo izračunati broj neamortizovanih obveznica za konkretan perion

obračuna koristimo formulu:

mk=x (n−k )

gdje je k broj minulih perioda a mk broj neamortizovanih obveznica.

Primjer2.

7

Zajam od 100 000 KM podijeljen na obveznice po 1000 KM, treba amortizovati za: a)7 i b)9

godina jednakim godišnjim otplatama. Treba izračunati stvarni iznos otplate i stvarni broj

obveznica za jednogodišnju amortizaciju.

a) K= 100 000; N=1000; n=7;

m= 100 000 : 1000=100

8

b= 100 000 : 7 = 14 285,7143

x= 14 285,7143 : 1000=14,2857

Godina Broj obveznica za amortizaciju

Ostatak obveznice

1 14 0,28572 14 0,2857

0,57143 14 0,2857

0,85714 14+1=15 0,2857 1,14285

140,1428

0,2857 0,4285

6 14 0,2857 0,7142

7 14+1=15 0,2857 0,9999

Možemo i direktno računati broj neamortizovanih i amortizovanih obveznica u određenom

roku, na primjer te veličine na kraju 5 godine za prošli šrimjer:

m5= 14,2857(7-5)= 28,5714

Budući da je obveznica nedjeljiva neamortizovane obveznice zaokružujemo na viši iznos a to

je 29, odnosno da je ostatak duga 29 000KM. Ako se traži broj amortizovanih obveznica onda

se zaokružuje na niže. U ovom primjeru na dan petog izvačenja: 14,2857*5= 71,4285 što

znači 71.

b) K= 100 000; N=1000; n=9

m= 100 000:1000= 100

b= 100 000:9= 11 111,1111

x= 11 111,1111:1000=11,1111

U ovom slučaju možemo odmah vidjeti da će prvih osam godina stvarni broj otplaćenih

obveznica biti 11 a devetu godnu 12, zato što je 0.1111*9= 0.9999, što nam dodaje stvarnu

obveznicu na zadnjoj godini.

9

1.1.2 Zajam se amortizuje konstantno jednakim anuitetima

Ukoliko se zajam amortizuje konstantno jednakim anuitetima za računanje teorijskog anuiteta

koristimo formulu:

a= KVnp

Za računanje teorijske otplate (b1) koristimo formulu:

B1= a-I1

Primjer:

Zajam od 500 000 KM, podijeljen na obveznice po 500 KM, treba amortizovati u toku 5

godina jednakim godišnjim anuitetima. Kamata se obračunava i isplaćuje godišnje po 4%.

Treba izraditi amortizacioni pla,.

K= 500 000

N= 500

n= 5

p=4%

Koristit ćemo iste formule kao iz prethodnog primjera uz neke promjene koje će biti

naznaćene.

broj emitovanih obveznica (m)

m= 1000

kamata po obveznici

I0= N*i =20

Prije nego pristupimo izradi plana treba izračunati opšti teorijski anuitet:

a=KV 45= 112 313,55

Stanje na kraju prve godine: 1. Teorijski anuitet ( jednak je

opštem anuitetu)

a= 112 313,55

10

2. Kamata (I1)

I1= m*I0= 1000*20= 20 000

3. Teorijska otplata (b1)

b1=a1-I1= 112 313,55-20 000=

92 313,56

4. Teorijski broj obveznica za

amortizaciju (x1)

x1= b1/N= 184,62

5. Amortizovane obveznice

Za amortizaciju obveznice

uzimamo cio broj jer se dio

obveznice ne može

amortizovati.

x1'=184

6. Stvarna otplata (b1')

b1'= x1'*N= 92 000

7. Neamortizovane obveznice (m1)

m1= m-x1'= 816

8. Stvarni anuitet (a1')

Radi se o iznosu koji dužnik

treba obezbijediti za svoje

obaveze.

a1'= b1'+I1= 112 000

9. Ostatak anuiteta s kamatom (o1)

jeste razlika između teorijskog i

stvarnog anuiteta,koju treba

ukamatiti .

a1= 112 212,55

a1'= 112 000,00

313,55 neiskorištena

razlika

I1'= 12,54 ( 313,55*0,04)

o1= 326,09

Stanje na kraju druge godine:

1. Teorijski anuitet (a2)

jeste zbir opšteg anuiteta

i ostatka anuiteta s

kamatom prethodne

godine.

a= 112 313,55

o1= 326,09

a2= 112 639,64

2. I2= 16 320

3. b2= 96 319,64

4. x2= 192,63928

5. x'2=192

6. b'2= 96 000

7. m2=624

8. a'2= 112 320

9. a2= 112 639,64

a'2=112 320,00

o2=319,64*1,04= 332,4256

Posljednje tri godine radimo po istom principu kao i do sada. Sve izračunate elemente ćemo

prikazati amortizacionom planu.

11

AMORTIZACIONI PLAN

Za zajam od 500 000 KM

Obveznice Ostatak anuitetaNa kraju godine

Neamo-rtizovane obveznice(2-3)

Amortizovane obveznice

Kamata, 6% (d)(2*I0)

Otplata(3*N)

Stvarni anuitet(5+4)

Iznos S kamatom (7*r)

1 2 3 4 5 6 7 8

0 10001 816 184 20 000 92 000 112

000313,55 326,09

2 624 192 16 320 96 000 112 320

319,64 332,42

3 424 200 12 480 100 000 112 480

165,97 172,61

4 216 208 8 480 104 000 112 480

6,15 6,39

5 216 4 320 108 000 112 320

3080 1000 61 600 500 000 561 600

805,31 837,51

Za provjeru tačnosti plana trebaju biti zadovoljeni sljedeći uslovi:

1. Zbir amortizovanih obveznica treba da bude jednak broju emitovanih obveznica

(1000=1000)

2. Zbir otplata treba da bude jednak iznosu zajma (500 000=500 000)

3. Posljednja količina neamortizovanih obveznica treba da bude jednaka posljednjoj

količini amortizovanih obveznica ( 216=216)

4. Zbir stvarnih anuiteta treba da bude jednak sumi zbira otplata i zbira kamata

( 500 000+61 600= 561 600).

5. Zbir kamate treba da bude jednak kamati na zbir neamortizovanih obveznica

( 3080*20=61 600)

6. Proizvod sume ostatka anuiteta i dekurzivnog kamatnog faktora treba da bude

jednak zbiru ostatka anuiteta s kamatom ( 805,31*1,04=837,5)

Za direktno utvrđivanje broja neamortizovanih obveznica npr. na kraju 2 godine koristi

se formula:

12

m2=112313,55∗IV 4

3

500=624

Za direktno utvrđivanje broja obveznica za amortizaciju koristi se formula:

x1=¿m (V ¿¿ pn−i)¿¿

x1=1000 (V 45−0,04 )=184,6271

X2= 184,6271*1.04= 192,0122

X3=192,0122*1,04=199,6926

X4=199,6926*1,04= 207,6803

X5=207,6803*1,04=215,9875

Na osnovu teorijskih ćemo utvrditi stvarne količine obveznica za amortizaciju svakog

perioda.

STVARNE KOLIČINE OBVEZNICA ZA AMORTIZACIJU

n Teorijski broj obveznica

Stvarni broj obveznica

Ostatak

1 184,6271 184 0,62710,0122 0,6926 1,4417

2 192,0122 1923 199,6926 199+1=200

4 207,6803 207+1=208 0,44170,6803 1,122

5 215,9875 215+1=216 0,1220,9875

1000

AMORTIZACIONI PLAN

Na kraju

Neamortizovane obveznice


Kamata Otplata Stvarni anuitet

13

godine1 2 3 4 5 60 10001 816 184 20 000 92 000 112 0002 624 192 16 320 96 000 112 3203 424 200 12 480 100 000 112 4804 216 208 8 480 104 000 112 4805 216 4 320 108 000 112 320

3080 1000 61 600 500 000 561 600

Broj neamortizovanih obveznica na kraju druge godine možemo izračunati po formuli:

m2=184,6271 (III 44−III 4

1 )=623,3606

Stvarni broj neamortizovanih obveznica zaokružuje se na više. Iz toga slijedi da stvarni broj

iznosi 624.

1.1.3 Zajam se amortizuje zaokrugljenim anuitetima

Iako danas postoje tehnička sredstva i bezgotovinsko plaćanje koja nam olakšavaju izračun

svih faza amortizacije zajma kad je anuitet podijeljen na stote dijelove valute, ipak se u nekim

slučajevima koriste zaokrugljeni anuiteti. Anuiteti mogu biti zaokrugljeni na više načina:

a) Anuitet se izražava postotkom od zajmab) Neposrednim isticanjem iznosa anuitetac) Ugovaranjem na koji način se treba zaokrugliti anuitet dobijen pomoću V tablice

složenih kamata

Ovo ćemo ilustrovati jednostavnim primjerima:

a) Zajam od 100 000 KM treba amortizovati godišnjim dekurzivnim anuitetima čiji je pojedinačni iznos 25% zajma.

a=0.25∗100 000=25 000

b) Zajam od 100 000 KM treba amortizovati godišnjim dekurzivnim anuitetima po 25 000 KM.

a=25 000

c) Zajam od 100 000 KM treba amortizovati u toku 5 godina godišnjim dekurzim anuitetima zaokrugljenim na više na započetu hiljadu, kamataiznosi 7% i obračunava se i plaća godišnje.

a=K∗V pn=100 000∗V 7

5=24389,06a=25 000

Za izračun teorijskog anuiteta (a) i teorijskog anuitetskog ostatka (ao) mogu se koristiti obrasci

koji se koriste i kod pojedinačnog zajma:

14

K=a IV pn−1+ao II p

n

ao=(K−a IV pn−1 )∗I p

n ili ao=K I pn−a III p

n−1

Amortizacioni plan se može raditi za svaku godinu pojedinačno ili direktnim putem.

Primjer:

Zajam od 2 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM. Ovaj zajam treba

amortizovati godišnjim 20% anuitetima. Kamata se obračunava i plaća godišnje po 7% (d).

Izvučene obveznice se plaćaju po nominali. Treba izraditi amortizacioni plan.

Elementi računa:

K= 2 000 000; N= 1000; n= 5; p=7% (d); p'=20%

Broj emitovanih obveznica (m)

m= K : N= 2 000 000 : 1000= 2000

Kamata po obveznici (I0)

I0=N * I= 1000 * 0,07= 70

Teorijski zaokrugljeni anuitet (a)

a= 2 000 000 * 0,25= 500 000

Broj anuiteta (vrijeme amortizacije n)

IV pn =K

aIV 7

n=2 000 000500 000

=4

4<n<5

Zajam se amortizuje sa 5 anuiteta.

Teorijski anuitetski ostatak (ao)

15

ao=(K−a IV pn−1 )∗I p

n=(2000 000−500 000 IV 74 )I 7

5=429 733,9607

a) Izrada pomoću teorijskih anuiteta

Stanje na kraju prve godine:


a1 = a = 500 000

2. Kamata (I1)

I1 = m * I0 = 2000 * 70= 140 000


b1 = a1 – I1 = 500 000 – 140 000 = 360 000

4. Teorijski broj obveznica za amortizaciju (x1)

x1 = b1 : N = 360 000 : 1000 = 360

5. Amortizovane obveznice (x1')

x1' = 360


b1' = x1' * N = 360 * 1000 = 360 000


m1 = m - x1' = 2000 – 360 = 1640


a1'= b1' + I1= 360 000 + 140 000 = 500 000


o1 = a1 – a1' = 500 000 – 500 000 = 0



a2 = a + o1 = 500 000

2. Kamata (I2)

I2 = m1 * I0 = 1640 * 70= 114 800


b2 = a2 – I2 = 500 000 – 114 800 = 385 200


x2 = b2 : N = 385 200 : 1000 = 385,2


x2' = 385

6. stvarna otplata (b2')

b2' = x2' * N = 385 * 1000 = 385 000


m2 = m1 – x2' = 1640 – 385 = 1255


a2'= b2' + I2= 385 000 + 114 800 = 499 800


a2 = 500 000a2' = 499 800o2 = 200 * 1, 07 = 214

Na kraju treće godine:


a3 = a + o2 = 500 214

Kamata (I3)

I3 = m2 * I0 = 1255 * 70= 87 850


b3 = a3 – I3 = 500 214 – 87 850 = 412 364


x3 = b3 : N = 412 364 : 1000 = 412,364


16

x3' = 412


b3' = x3' * N = 412 * 1000 = 412 000


m3 = m2 – x3' = 1255 – 412 = 843


a3'= b3' + I3= 412 000 + 87 850 = 499 850


a3 = 500 214a3' = 499 850o3 = 364 * 1, 07 = 389,48

Na kraju četvrte godine:


a4 = a + o3 = 500 389,48

Kamata (I4)

I4 = m3 * I0 = 843 * 70= 59 010


b4 = a4 – I4 = 500 389,48 – 59 010 = 441

379,48


x4 = b4 : N = 441 379,48 : 1000 =

441,37948


x4' = 441


b4' = x4' * N = 441 * 1000 = 441 000


m4 = m3 – x4' = 843 – 441 = 402


a4'= b4' + I3= 441 000 + 59 010 = 500 010


a4 = 500 389,48a4' = 500 010o4 = 379 * 1, 07 = 406,04

Na kraju pete godine:


a0= 429 733,96 (anuitetski ostatak)o4= 406, 04a5 = 430 140

Kamata (I5)

I5 = m4 * I0 = 402 * 70= 28 140


b5 = a5 – I5 = 430 140 – 28 140 = 402 000


x5 = b5 : N = 402 000 : 1000 = 402


x4' = 402


b5' = x5' * N = 402 * 1000 = 402 000


m5 = m4 – x4' = 402 – 402 = 0


a5'= b5' + I4= 402 000 + 28 140 = 430 140


17

a5 = 430 140a5' = 430 140o5 = 0

AMORTIZACIONI PLANza zajam od 2 000 000 KM

Na kraj

u god.

OBVEZNICE

Kamata(2 * I0)

Otplata(3 * N)


OSTATAK ANUITETA

Neamor-tizovane

(2-3)

Amorti-zovane

Iznos S kamato

m(7*r)

1 2 3 4 5 6 7 80 20001 1640 360 140 000 360 000 500 000 0 02 1255 385 114 800 385 000 499 800 200 2143 843 412 87 850 412 000 499 850 364 389,484 402 441 59 010 441 000 500 010 379 406,045 0 402 28 140 402 000 430 140 0 0 6 140 2000 429 800 2 000 000 2 429 800 943 1009,52

Plan je dobro urađen ako se konačnom kontrolom potvrde sljedeći uslovi:

1. zbir amortizovanih obveznica treba da bude jednak broju emitovanih obveznica (2000=2000)

2. zbir otplata treba da bude jednak iznosu zajma (2 000 000 = 2 000 000)3. posljednja količina neamortizovanih obveznica treba da bude jednaka posljednoj

količini amortizovanih obveznica (402 = 402)4. zbir stvarnih anuiteta treba da bude jednak sumi zbira otplata i zbira kamata

(2 429 800 = 2 000 000 + 429 800)

5. zbir kamate treba da bude jednak kamati na zbir neamortizovanih obveznica

(429 800 = 6 140 * 70)

6. proizvod sume iznosa ostatka anuiteta i dekurzivnog kamatnog faktora treba da bude jednak zbiru ostatka anuiteta s kamatom ( 1009,52 = 943 * 1,07)

Kada je poznat anuitet, anuitetski ostatak, kamatna stopa i broj amortizacionih perioda,

ostatak duga se može računati po obrascu:

Rm=a IV pn−m−1+a0 II p

n−m

18

Ako ovaj izraz podijelimo sa N, dobit ćemo obrazac za računanje teorijskog broja

neamortizovanih obveznica:

mk=aN

IV pn−k−1+

a0

NII p

n−k

Ovaj broj treba zaokružiti na cijeli i to samo naviše pa će se dobiti stvarni broj

neamortizovanih obveznica (mk').

Broj neamortizovanih obveznica u urađenom primjeru nakon trećeg izvlačenja je:

m3=500 000

1000IV 7

5−3−1+ 429 733,961000

II75−3=842,6360

m3=843

b) izrada plana direktnim utvrđivanjem broja obveznica za amortizaciju

Za izradu plana direktnim načinom uvrđivanja broja obveznica za omortizaciju koristimo

sljedeći obrazac:

m=x1 (1+ I II pn−2 )+xn

Bilo koja veličina iz ove jednadžbe se može izračunati ako su ostale poznate. Tako je:

x1=m−xn

(1+ III pn−2 )

Sređivanjem jednadžbe dobivamo:

x1=(m−xn ) (V pn−1−i)

U našem primjeru:

x1=(2000−402 ) (V 74−0,07)=359,92 360

Poslije toga se utvrđuju teorijske količine obveznica za amortizaciju u ostalim periodima:

19

x1 = 360

x2 = x1 * r = 360 * 1,07 = 385,2

x3 = x2 * r = 385,2 * 1,07 = 412,164

x4 = x3 * r = 412,164 * 1,07 = 441,01548

1598,37948

x5 = 401,62052 = 2000 – 1598,37948

Teorijski broj obveznica za amortizaciju posljednjeg perioda (xn) može se računati direktno iz

prethodnog obrazca.

Način utvrđivanja stvarnog broja obveznica za amortizaciju se računa kao i u prethodnim

podnaslovima:


Stvarni broj obveznica Ostatak

1 360 360 0,0002 385,2 385 0,2003 412,164 412 0,164 0,3644 441,01548 441 0,01548 0,379485 401,62052 401+1 0,62052 1

2000 2000 0

Nakon dobivanja ove tabele sa stvarnim brojem obveznica za amortizaciju izradimo

amortizacioni plan popunjavajući ga kao i u ranijim primjerima.

1.1.4 Zajam se amortizuje anuitetima koji konstantno rastu (opadaju) po aritmetičkoj

progresiji

Kod zajma koji se amortizuje anuitetima koji konstanto rastu ili opadaju po aritmetičkoj

progresiji, prvi teorijski anuitet izračunavamo po obrascu:

a1=KV pn ±

100 dp

1−n(V pn− p

100)

20

Ostale anuitete računamo dodavanjem odnosno oduzimenjem razlike (d) kao i iznos

ukamaćenog ostatka :

ak=a1± (k−1 )d+ok−1

Primjer:

Zajam od 4 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM. Amortizacija se vrši 4

godine godišnjim anuitetima koji konstantno : 1. Rastu 2. Opadaju za 100 000 KM.Kamata je

7%.Treba izraditi amortizacioni plan.

K=4 000 000

N=1000

n=4

p=7%

d=100 000

Broj emitovanih dionica

m= 4000

Kamata po obveznici

I0= 70

a) Izrada plana pomoću teorijskih anuiteta

Izračunat ćemo teorijski anuitet koji raste po prethodno navedenoj formuli:

a1 = 1 039 358,79

Nakon što smo dobili iznos teorijskog anuiteta pristupamo računanju stanja u naredne četiri

godine po formulama koje smo već ranije koristili.

Stanje na kraju prve godine

a1= 1 039 358,79

I1= 280 000

b1= 759 358,79

x1 = 759,35879

x'1 =759

21

b'1 = 759 000

m= 3241

a'1 = 1 039 000

o1 = 358,79*1,07= 383,9

Stanje na kraju druge godine

U ovom slučaju anuitet računamo po drugoj formuli

ak=a1± (k−1 )d+ok−1

Uvršavanjem u ovu formulu dobit ćemo da je teorijski anuitet treće godine 1 139 742,69.

I2= 226 870

b2 =912 872,69

x2 = 912,87269

x'2 =912

b'2 =912 000

m2= 2329

a'2= 1 138 870

02 = 872,69*1,07= 933,77

Istim postupkom ćemo nastaviti i za preostale dvije godine. Sve to ćemo kompletirati

amortizacionim planom kao i do sada.

AMORTIZACIONI PLANZajma od 4 000 000 KM

Obveznice Ostatak anuitetaNa

kraju godin

e

Neam. obveznic

e


Kamata,7%

Otplata

Stvarni

anuitet

Iznos S kamato

m

1 2 3 4 5 6 7 80 40001 3 241 759 280 000 759

0001 039 000

358,79 383,90

2 2 329 912 226 870 912 000

1 138 870

872,69 933,77

3 1 252 1 077 163 030 1 077 1 240 262,56 280,93

22

000 0304 1252 87 640 1 252

0001 339 640

10 822 4000 757 540 4 000 000

4 757 540

1494,04

1 598,6

Za računanje neamortizovanih obveznica direktnim putem koristimo formulu:

mk=(a 1± kd )

NIV p

n−k ±100d

Np[IV p

n−k− (n−k ) II pn−k ]

b) Izrada plana direktnim utvđivanjem broja obveznica za amortizaciju

Ako anuiteti rastu:

Teorijski broj obveznica na kraju prvog perioda ćemo dobiti na osnovu sljedećeg obrasca:

x1=4000 (V 74−0,07 )−100∗100 000

1000∗7¿

Dalje računamo : x2 = x1 r+d', gdje je d'=dN

=100

X2 = 912,513

X3 =1076,3897

X4= 1251,7370

Sada možemo izračunati stvarne količine obveznica za amortizaciju



ostatak

1 759,3587 759 0,35872 912,5138 912 0,51383 1076,3897 1076+1=1077 0,3897 1,26224

1251,7370 1251+1=12520,26220,7370 1,0000

4000,0000 4000 0,0000

23

Ukoliko anuiteti opadaju

Teorijski broj obveznica ćemo dobiti na isti način samo što će se mijenjati predznaci :

x1=4000 (V 74−0,07 )+ 100∗100 000

7000[1−4 (V 7

4−0,07)]=1042,466097

X2 =x1 r- d' = 1015,438

X3 =986,518

X4 = 955, 574

Na osnovu teorijskog ponovno računamo stvarni broj obveznica:



ostatak

1 1042,466 1042 0,4662 1015,438 1015 0,4383 986,518 986+1=987 0,518 1,4224

955,574 955+1=9560,4220,574 1,000

4000,0000 4000 0,0000

1.1.5 Zajam se amortizuje pomoću anuiteta koji konstantno rastu (opadaju) po

geometrijskoj progresiji

Teorijski anuitet za prvi amortizacioni period se računa po obrascu koji se koristio za

računanje prvog anuiteta pojedinačnog zajma:

a1=Krn (r−q )rn−qn ili a1=K

rn (q−r )qn−rn

u zavisnosti od toga da li je vece r ili q.

U ostale teroijske anuitete uklućuje se iznos ukamaćenog ostatka anuiteta:

a2 = a1 * q + o1

24

a3 = a2 * q + o2 = a1 * q2 + o2

a4 = a3 *q + o3 = a1 * q3 + o3

. . . . . . . . . . . .

ak = a1 * qk-1 + ok-1

Iz poznate relacije

a1=b1+ I 1

slijedi da je

b1=a1−I 1

pa kad uvedemo zamjenu, to će biti

b1=Krn (r−q )rn−qn − Kp

100

b1=K [ r n (r−q )r n−qn − p

100 ] ilib1=K [ rn (q−r )qn−rn − p

100 ]

Diobom ovih jednadžbi sa N se dobiva teorijski broj obveznica za amortizaciju:

x1=m [ r n (r−q )r n−qn − p

100 ] ili x1=m [ r n (q−r )qn−r n − p

100 ]Teorijske otplate se računaju:

b1 = a1 – I1 = a1 + Ki = a1 - Ki

b2 = a2 – I2 = a2 + (K – b1) i = a1 q – Ki + b1i

b3 = a3 – I3 = a3 + (K – b1 –b2 ) i = a1 q – Ki + b1i + b2i

b4 = a4 – I4 = a4 + (K – b1 – b2 – b3 ) i =a1q – Ki + b1i + b2i + b3i

25

Kvantitativni odnos dvije vremenski sukcesivne otplate se može izračunati:

1. b2 – b1 = a1q – Ki + b1i – a1 + Ki

b2 = b1r + a1 (q – 1)

2. b3 – b2 = a1q – Ki + b1i + b2i – a1q – Ki + b1i

b3 = b2r + a1 (q – 1) q

3. b4 – b4 = a1q – Ki + b1i + b2i + b3i - a1 q – Ki + b1i + b2i

b4 = b3r+ a1 (q – 1) q2

Na osnovu utvrđenih odnosa može se izvesti opći odnos:

bk=bk−1r+a1 (q−1 ) qk−2

Dijeljenjem ove jednadžbe sa N dobivamo obrazac za direktno računanje teorijskog broja

obveznica za amortizaciju krajem svakog prerioda:

xk=xk−1 r+a1(q−1)qk−2 N−1

Primjer:

Zajam od 2 000 000 KM podijeljen na obveznice po 1000 KM treba amortizovati za 4 godine

godišnjim anuitetima koji konstantno (1) rastu (2) opadaju za 10%. Kamata se obračunava i

plaća godišnje po 8% (d). Treba izraditi amortizacioni plan.

Elementi: K = 1 000 000; N = 1000; n = 4; s = 10%; p = 5% (d); r = 1,05

Broj emitovanih obveznica (m)

m= K : N = 1 000 000 : 1000 = 1000

Kamata po obveznici (I0)

I0 = N * i = 1000 * 0,05 = 50

Količnik (q)

26

(1 ) q=1+ s100

=1+ 10100

=1,1

(2 ) q=1− s100

=1− 10100

=0,9

a) izrada plana pomoću teorijskih anuiteta

Zbog toga što će postupak izrade plana biti jasan i objašnjen izradom samo jedne varijante

(anuitet raste ili opada) izradit ćemo samo plan amortizacije zajma anuitetima koji rastu.

a1=Krn (q−r )qn−rn =1 000000

1,054 (1,1−1,05 )1,14−1,054 =244 476,4299

Stanje na kraju prve godine:


a1 = 244 476,4299

Kamata (I1)

I1 = m * I0 = 1000 * 50 = 50 000


b1 = a1 – I1 = 244 476,4299 – 50 000 = 194

476,4299


x1 = b1 : N = 194 476,4299 : 1000 =

194,4764299


x1' = 194


b1' = x1' * N = 194 * 1000 = 194 000


m1 = m – x1' = 1000 – 194 = 806


a1'= b1' + I1= 194 000 + 50 000 = 244 000


a1 = 244 476,4299a1' = 244 000o1 = 476 * 1, 05 = 500,251395



a2 = a1*1,1 + o1 = 244 476,4299 * 1,1 +

500,251395 = 269 424,3243

Kamata (I2)

I1 = m1 * I0 = 806 * 50 = 40 300


b2 = a2 – I2 = 269 424,3243 – 40 300 = 229

124,3243


27

x2 = b2 : N = 229 124,3243 : 1000 =

229,1243243


x1' = 229


b2' = x2' * N = 229 * 1000 = 229 000


m2 = m – x2' = 806 – 229 = 577


a2'= b2' + I2= 229 000 + 40 300 = 269 300


a2 = 269 424,3243a2' = 269 300o2 = 124,3243 * 1, 05 = 130,54051

Stanje na kraju treće godine:


a3 = a1*1,12 + o2 = 244 476,4299 * 1,1 +

130,54051 = 295 947,0202

2. Kamata (I3)

I3 = m2 * I0 = 577 * 50= 28 850


b3 = a3 – I3 = 295 947,0202 – 28 850 = 267

097,0202


x3 = b3 : N = 267 097,0202 : 1000 =

267,0970202


x3' = 267


b3' = x3' * N = 267 * 1000 = 267 000


m3 = m2 – x3' = 577 – 267 = 310


a3'= b3' + I3= 267 000 + 28 850 = 295 850


a3 = 295 947,0202a3' = 295 850o3 = 97,0202 * 1, 05 = 101,87121

Na kraju četvrte godine:


a4 = a1 * 1,13 + o3 = 244 476,4299 * 1,13 +

101,87121 = 325 499,999 325 500

Kamata (I4)

I4 = m3 * I0 = 310 * 50= 15 500


b4 = a4 – I4 = 325 500 – 15 500 = 310 000


x4 = b4 : N = 310 000 : 1000 = 310


x4' = 310


b4' = x4' * N = 310 * 1000 = 310 000


m4 = m3 – x4' = 310 – 310 = 0


a4'= b4' + I3= 310 000 + 15 000 = 325 500

28


a4 = 325 500

a4' = 325 500o4 = 0

AMORTIZACIONI PLANzajma od 1 000 000 KM

Na kraj

u god.

Obveznice

Kamata 5%(2*I0)

Otplata(3*N)


Ostatak anuiteta

Neamortizovane

(2-3)

Amortizovane

Iznos S kamatom

(7*r)1 2 3 4 5 6 7 80 1 000

1 806 194 50 000 194 000 244 000 476,4299

500,251395

2 577 229 40 300 229 000 269 300 124,3243

136,4051

3 310 267 28 850 267 000 295 850 97,0202 101,87121

4 0 310 15 500 310 000 325 500 0 0

2693 1000 134 650 1 000 000 1 134 650 697,7744

732,66312

Kontrola se vrši na isti način kao i kod prethodnih primjera.

Na osnovu obrasca

Rm=a1qm∗rn−m−qm−n

rn−m (r−q )ili Rm=a1

qm∗qn−m−r m−n

qn−m (q−r )

koji je izveden kod amortizacije pojedinačnog zajma anuitetima koji konstantno rastu

(opadaju), dijeljenjem sa N dobivamo obrazac za izračunavanje teoretskog broja obveznica za

amortizaciju:

Rm

N=mk

mk=

a1 qk

N∗r n−k−qn−k

rn−k (r−q )ilimk=

a1 qk

N∗qn−k−rn−k

rn−k (q−r )

u zavisnosti da li je r > q ili q > r.

Zaokrugljivanjem ovog broja, i to samo naviše, dobiva se broj neamortizovanih obveznica.

29

a0 = 244 476,4299

Obrazac ćemo provjeriti na zadnjem primjeru:

m3=

244 476,4299∗1,13

1000∗1,14−3−1,054−3

1,054−3 (1,1−1,05 )=309,9029792 310

Ovaj broj se poklapa sa onim u amortizacionom planu.

b) Izrada plana direktnim utvrđivanjem broja obveznica za amortizaciju

Kod ovog načina izrade plana ne pojavljuje se anuitetski ostatak što znači da će plan imati

manje kolona. Budući da se ništa drugo neće primijeniti, mi ćemo izračunati samo teorijski

broj obveznica za amortizaciju rastućim i opadajućim anuitetima.

Elementi: K = 1000 000; N = 1000; n = 4; s = 10%; p = 5%; m= 1000

x1=m [ r n (r−q )rn−qn −i ] ili x1=m [ rn (q−r )

qn−rn −i ](1) Anuiteti rastu

x1=1000[ 1,054 (1,1−1,05 )1,14−1,054 −0,05 ]=194,4764299

Godišnji prirast anuiteta po obveznici računamo:

a1 (q−1 )N

=244 476,4299 (1,1−1 )

1000=24,44764299

Teorijske anuitete za ostale periode računamo:

x1 =194,4764299

x2 = x1 * r + 24,44764299 = 194,4764299 * 1,05 + 24,44764299 = 228,6478944

x3 = 228,6478944 * 1,05+ 24,44764299 * 1,1 = 266,972748489

30

x4 = 266,972748489 * 1,05 + 24,44764299 * 1,12 = 309,9030339314

Stvarni broj obveznica za amortizaciju računamo na osnovu teorijskih:

n Teorijski broj obveznica Stvarni broj obveznica

Ostatak

1 194,4764299 194 0,47642992 228,6478944 228+1 0,6478944 1,1243243

0,12432433 266,972748489 266+1 0,972748489 1,097072789

0,0970727894 309,9030339314 309+1 0,9030339314 1,0001067204

0,000106720401 000 1000 0

(2) Anuiteti opadaju

Teorijski broj obveznica:

x1=1000[ 1,054 (1,05−0,9 )1,054−0,94 −0,05]=275,92760181

a1=Krn (r−q )rn−qn =1000 000

1,054 (1,05−0,9 )1,054−0,94 =325 927,6018

325 927,6018 (0,9−1 )1000

=−32,5928

Teorijske anuitete za ostale periode računamo:

x1 =275,9276

x2 = x1 * r – 32,5928 = 275,9276 * 1,05 – 32,5928 = 257,1312

x3 = 257,1312* 1,05- 32,5928 * 0,9 = 240,6542

x4 = 240,6542 * 1,05 – 32,5928 * 0,92 = 266,2867



Ostatak

31

1 275,9276 275 0,92762 257,1312 257+1 0,1312 1,0588

0,05883 240,6542 240 0,6542 0,713

0,7134 266,2867 266+1 0,2867 0,99971

00 0 0

1.2 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU S AŽIJOM

Jedan od načina da zajmotražac poveća atraktivnost svojih obveznica jeste da ih prilikom

amortizacije isplaćuje iznad nominalne vrijednosti. Razlika između nominalne vrijednosti i

isplaćenog iznosa se naziva ažija. Ažija može biti izražena u apsolutnom iznosu ili postotku.

Pored plaćanja nominalnog iznosa s ažijom, on plaća i kamatu, ali samo na nominalni iznos

duga po ugovorenoj kamatnoj stopi. Zato, možemo reći da je anuitet zbir otplate, kamate po

ugovorenoj stopi i ažije na amortizovane obveznice. Ako se ažija za period k obilježi sa Ak

onda je:

ak=bk+ I k+ Ak

Svi modeli zajma podijeljenog na obveznice se mogu javiti i kod obveznica koje se isplaćuju

a ažijom, mi ćemo se dotaći primjera amortizacije zajma konstantno jednakim otplatama i

uraditi primjer amortizacije zajma konstantno jednakim anuitetima.

Kod amortizacije zajma jednakim otplatama dovoljno je uraditi primjer prvog perioda da se

sazna kako se radi amortizacioni plan.

Primjer:

Zajam od 1 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM, treba amortizovati u toku 4

godine jednakim godišnjim otplatama. Kamata se obračunava i plaća godišnje po 5% (d).

Obveznice se isplaćuju sa 200 KM ažije po jednom komadu.

Elementi: K = 1 000 000; N = 1000; n = 4; p =5%; α=200

Broj emitovanih obveznica (m):

32

m = K : N = 1 000 000 : 1000 = 1000

Otplata (b):

b = K : n = 1 000 000 : 4 = 250 000

Broj obveznica za jednogodišnju amortizaciju (x):

x = b : N = 250 000 : 1000 = 250

Kamata po obveznici (I0):

I0 = N * i = 1000 * 0,05= 50

Iznos ažije na zajam (A):

A= m* α = 1000 * 200 = 200 000


1. Kamata

I1 = m * I0 = 1000 * 50 = 50 000

2. Amortizovane obveznice

x=250

3. Otplata

b1 = x * N = 250 * 1000 = 250 000

4. Ažija

A1 = x * α = 250 * 200 = 50 000

5. Anuitet

a1 = b1 + I1 + A1 = 250 000 + 50 000 + 50

000 = 350 000

6. Neamortizovane obveznice

m1 = m – x = 1000 – 250 = 750

Amortizacioni plan ovog modela otplate zajma će se razlikovati od plana amortizacije

jednakim otplatama po nominali u tome što će imati dodatnu kolonu, ažiju. Konačna kontrola

je proširena sa dva nova uslova:

a) zbir ažije treba biti jednak ažiji na zajamb) zbir anuiteta treba biti jednak sumi zbirova otplata, kamate i ažije

Kod zajma koji se amortizuje jednakim anuitetima, anuitet se računa kao i kod prethodnih

modela pomoću izvedenog obrasca:

33

a=K V pn

Kada dužnik preuzme obavezu da osplaćuje i ažiju, iznos što se treba amortizovati tijekom

perioda nije K nego K+A, kojeg ćemo obilježavati sa K'. Iznos kamate ostaje isti jer se ona

isplaćuje na nominalni iznos duga, bez ažije, po ugovorenoj kamatnoj stopi. Ista kamata od

sad veće glavnice ( K+A) dobiva se primjenom ekvivalentne stope (p'). To znači da je

K∗p100

= K '∗p '100

iz koje je

p'= K∗pK '

također imamo i jednakost

p'= N∗pN '

gdje je N' oznaka za iznos obveznice s ažijom.

Novi obrazac za računanje anuiteta je

a=K ' V p 'n

Primjer:

Zajam od 1 000 000 KM podijeljen je na obveznice po 1000 KM, treba amortizovati u toku 4

godine jednakim godišnjim anuitetima. Kamata se obračunava i plaća godišnje po 5% (d).

Obveznice se isplaćuju sa 200 KM ažije po jednom komadu.

Elementi: K = 1 000 000; N = 1000; n = 4; p =5%; α=200

N' = N + α = 1000 + 200 = 1200

m = K : N = 1 000 000 : 1000 = 1000

A = m * α = 1000 * 200 = 200 000

K' = K + A = 1 000 000 + 200 000 = 1 200 000

34

ili K' = m * N' = 1000 * 1200 = 1 200 000

p'= Np

N '=1000∗5

1200=4,1667

I 0=Np100

=1000∗5100

=50

a) Izrada plana pomoću teorijskih anuiteta

a=K' V p'

n

a=1 200 000V 4,11674 =1200 000

1,0416674 (1,041667−1 )1,0416674−1

a=331 887,8034



a1 = a = 331 887,8034

2. Kamata (I1)

I1 = m * I0 = 1000 * 50 = 50 000

3. Otplata s ažijom (b1+A1)

b1+A1 = a1 – I1 = 331 887,8034 – 50 000 =

281 887,8034


x1 = (b1+A1) : N' = 281 887,8034 : 1200 =

234,9065

5. Svarni broj obveznica za amortizaciju (x1')

x1' = 234


b1 = x1' * N = 234 * 1000 = 234 000

7. Ažija (A1)

A1 = x1' * α = 234 * 200 = 46 800


a1' = b1' + I1 + A1 = 234 000 + 50 000 + 46

800 = 330 800

9. Broj neamortizovanih obveznica (m1)

m1 = m – x1' = 1000 – 234 = 766

10. Anuitetski ostatak (o1)

a1 = 331 887,8034a1'= 330 800o1 = 1087,8034 * 1,041667 = 1133,1289

Na isti način računamo i sve ostale

periode.

b) izrada plana direktnim utvrđivanjem teorijskog broja obveznica za amortizaciju

35

Broj obveznica za amortizaciju u jednom periodu treba računati pomoću ekvivalentne stope

jer se pomoću nje računa i anuitet. Teorijski broj obveznica:

x1=m(V p'

n − p '

100 )

x1=1000(V 4,16674 −4,1667

100 )=1000[ 1,0416674 (1,041667−1 )1,0416674−1

−0,041667 ]x1=¿234,9062

x1 = 234,9062

x2 = x1 * r = 234,9062 * 1,041667 = 244,6940

x3 = x2 * r = 244,6940 * 1,041667 = 254,8897

x4 = x3 * r = 254,8897 * 1,041667 = 265,5102

Stvarni broj obveznican Teorijski proj

obveznicaStvarni broj obveznica Ostatak

1 234,9062 234 0,90622 244,6940 244+1 0,6940 1,6002

0,60023 254,8897 254+1 0,8897 1,4899

0,48994 265,5102 265+1 0,5102 1,00011,0000

01000 10000 0

Kad se utvrdi koliko se obveznica stvarno amortizuje svakog perioda, ostali elementi se

računaju aritmetički.

Na kraju god.

Obveznice Kamata 5%

(2*I0)

Otplata(3*N)

Ažija(3*α)

Stvarni anuitet(4+5+6)

Neamortizovane(2-3)

Amortizovane

1 2 3 4 5 6 70 10001 766 234 50 000 234 000 46 800 330 8002 521 245 38 300 245 000 49 000 332 3003 266 255 26 050 255 000 51 000 332 0504 0 266 13 300 266 000 53 200 332 500 2553 1000 127 650 1 000 000 200 000 1 327 650

36

Konačna kontrola:

a) Zbir amortizovanih obveznica jednak broju emitovanih ( 1000 = 1000)b) Zbir otplata jednak iznosu zajma ( 1 000 000 = 1 000 000 )c) Posljednja količina neamortizovanih obveznica jendnaka posljednjoj količini

amortizovanih obveznica ( 266 = 266)d) zbor stvarnih anuiteta jednak zbiru sume otplata, sume kamata i sume ažija

(1 327 650 = 1 000 000 + 127 650 + 200 000)

e) zbir ažije jednak ažiji na zajam ( 200 000 = 200 000)

Ostatak duga izražen brojem neamortizovanih obveznica može se izračunati pomoću obrasca:

mk=x1 (III p 'n−1−III p '

k−1 )

Rezultat je teorijski broj neamortizovanih obveznica. Stvarni broj ćemo dobiti

zaokrugljivanjem ovog broja ali samo naviše. Izračunat ćemo teorijski broj neamortizovanih

obveznica iz posljednjeg primjera na kraju drugog perioda:

m2=234 ( III4,16673 −III 4,1667

1 )

m2=234 [ 1,041667 (1,0416673−1 )1,041667−1

−1,041667 (1,041667−1 )

1,041667−1 ]m2=520,3998954

Stvarni broj neamortizovanih obveznica na kraju drugog perioda je 521, što se poklapa sa

iznisim u amortizacionom planu.

1.3 OBVEZNICE SE ISPLAĆUJU S DISAŽIJOM

Disažija predstavlja razliku između nominalnog i iznosa kojim se obveznice stvarno isplaćuju.

- Osnovica za računanje anuiteta (K') jeste razlika između zajma i ukupne disažije

odnosno :

37

K'= K – D

- Ekvivalentna kamatna stopa se računa po obrascu:

P'= Np/ N' gdje je N' iznos kojim se obveznica efektivno isplaćuje.

Iz ovog zaključujemo da se anuitet račuma po formuli:

a=( K−D )V p 'n

Prikazat ćemo to na konkretnom primjeru:

Zajam od 1 000 000 KM, podijeljen je na obveznice po 1000 KM i treba ga amortizovati za 4

godine jednakim godišnjim anuitetima.Kamata iznosi 3,61%, a obveznice se isplaćuju po 361

KM.

Elementi:

K= 1 000 000, N=1000,

n= 4, p= 3,61% i N'= 361

m=1000 p'=3% prema prethodnoj

formuli

Ukupna disažija se računa po obrascu:

D=m(N-N')= 639 000

I o=Np100

=36,1

I1= m*Io= 36 100

Ukupni anuitet po spomenutoj formuli iznosi :

a= 98579,01005

Količina emitovanih obveznica se može izračunati na dva načina:

1. x1=a−I 1

N '=173,07205

38

Ili

2. x1=m(V p'

n − p '

100 )=1000∗0,23697208=236,97205

r=1+ p '100

=1,05

X1=236,97205

X2 = x1*r= 245,52674

X3= 254,39025

X4=263,57373

1000

2 OBVEZNICE RAZLIČITIH NOMINALNIH VRIJEDNOSTI; KAMATA SE

ISPLAĆUJE POMOĆU KAMATNIH KUPONA

Vrlo često se u praksi dešava slučaj korištenja zajmova različite nominale. Tokom odluke o

broju grupa obveznica treba se uvažavati iznos zajma kao i finansijska snaga potencijalnih

povjerilaca.

Primjer:

Zajam od 2 000 000 KM podijeljen je na 2000 obveznica po 500 KM, 3000 obveznica po

200KM i 4000 obveznica po 100KM. Zajam se amortizuje 4 godine po kamati od 5%.

Elementi:

K= 2 000 000 KM, a= 2000 N1=500KM, b=3000 N2= 200KM, c=4000 N3=100KM, n=4 i p=

5%

I GRUPA

K1 = 2000*500= 1 000

000

II GRUPA

K2=3000 * 200= 600 000

III GRUPA

K3=4000*100=400 000

39

Prvo ćemo izračunati teorijski broj svake grupe obveznica za amortizaciju:

I GRUPA

a) a=1 000 000 V 64=282 011,83

b) I 1=K1∗i=50 000

c) x1=a−I 1

N1

=464,02366 ili x1=a (V pn−i )=464 , 02366

II GRUPA

a) a=K2V pn=169207,098

b) I2= 30 000

c) y1=a−I2

N2

=666 , 03549 ili y1=b (V pn−i )=666,03549

III GRUPA

a) a=K3 V pn=112804,732

b) I3= 20 000

c) z3=a−I 3

N3

=928,04732 ili z3=c (V pn −i)=928,04732

Naravno, za svaku grupu ćemo izračunati stvarni broj obveznica:



ostatak

I GRUPA1 464,0240 464 0,02402 487,2252 487 0,22523 511,5870 511 0,5870

40

4 537,1664 537+1=538 0,1664 1,00002000,0000 2000

II GRUPA1 696,0360 696 0,03602 730,8380 730 0,83803 767,3800 767+1=768 0,3800 1,2540

4805,7500 805+1=806

0,25400,7500 1,000

3000.0000 3000 0,0000

III GRUPA1 928,0473 928 0,04732 974,4500 974 0,45003 1023,1730 1023 0,17304 1074,3320 1074+1=1075 0,3320 1,0000

4000,0000 4000 0,0000

AMORTIZACIONI PLAN

Na kraju godine

Dug Kamata 5%


Stvarna otplata

Stvarni anuitet

500 200 100

0 2 000 0001 1 536 000 100 000 464 696 928 464 000 564 0002 1 049 100 76 800 487 730 974 486 900 563 7003 537 700 52 455 511 768 1023 511 400 563 8554 - 26885 538 806 1075 537 700 564 585

5 122 800 256 140 2000 3000 4000 2 000 000 2 256 140

Za provjeru plana trebaju biti zadovoljeni sljedeći uslovi:

1. Zbir stvarnih otplata jednak je iznosu zajma

2. Posljednja otplata jednaka je posljednjem ostatku duga

3. Zbir svake grupe obveznica jednak je broju obveznica iste nominale

4. Zbir svih otplata i kamata jednak je zbiru anuiteta

41

5. Kamata na zbir ostatka duga jednaka je zbiru kamata 5122 800∗5

100=256140

3 OBVEZNICE SE AMORTIZUJU POMOĆU ANUITETSKIH KUPONA

Specifičnost ovog načina otplate zajma je taj što se svaka obveznica amortizuje u svakom

periodu, preko anuitetskih kupona, do njene potpune amortizacije. On plaća i kamatu, na

neotplaćeni iznos obveznice po ugovorenoj stopi. Anuitet čine otplata i kamata. Imalac

obveznice prima iznos anuiteta kada dužniku preda anuitetski kupon, a može se realizirati sve

do zastarjelosti.

Način izrade amortizacionog plana kod ovog modela je kao i kod pojedinačnog zajma, jer je

sa matematičke strane, svaka obveznica kao pojedinačni zajam. Uradit ćemo primjer za

ilustrovanje.

Primjer:

Zajam od 7 000 000KM je podijeljen na 4000 obveznica po 1000 KM, 5000 po 500 KM i

2500 obveznica po 200 KM nominalne vrijednosti. Zajam treba amortizovati za 4 godine

jednakim godišnjim anuitetima. Kamata se plaća godišnje po 5% (d). Obveznice se isplaćuju

po nominali. Anuiteti se realizuju anuitetskim kuponima. Koliki je anuitet za zajam i kakva je

njegova struktura?

Elementi: K = 7 000 000; f = 4000; N1 = 1000; g = 5000; N2 = 500; h = 2500; N3 =200;

p = 5%

a=K V npa=7 000 000∗V 5

4a=1 974 082,81

Ovim anuitetom se godišnje isplaćuje f+g+h=11 500 anuitetskih kupona, po jedan kupon

svake emitovane obveznice.

Pošto se obveznice isplaćuju po nominali, anuitet po obveznici iznosi:

42

a1=N1V pn=1000∗V 5

4=282,01183a2=N2V pn=500∗V 5

4=141,005915

a3=N3V pn=200∗V 5

4=56,402366

a anuitet za grupu obveznica:

4000 * 282,01183 =1 128 047,32

43

5000 * 141,005915 = 705 029,575

2500 * 56,402366 = 141 005,915

Ukupno 1 974 082,81

Budući da je svaka obveznica s matematičkog gledišta poseban zajam i ona može imati svoj

amortizacioni plan. Uradit ćemo radi ilustracije primjer plana amortizacije za obveznicu od

1000 KM.

AMORTIZACIONI PLAN

Redni broj

kupona

Glavnica Otplata Kamata 5% Iznos anuitetskog kupona

1 1000 232,12 50 282,122 767,88 243,73 38,39 282,123 524,15 255,91 26,21 282,124 268,24 268,24 13,41 282,12

2560,27 1000 128,01 1128,48

Razlike koje se pojavljuju na decimalnim mjestima kod poređenja suma elemenata su se

pojavile zbog zaokrugljivanja decimalnih brojeva na dva mjesta radi preglednije tabele.

Kontrola se vrši postupcima kao i u prethodnim primjerima.

44

ZAKLJUČAK

Sa stajališta zajmotrašca, emitenta obveznica, vrlo je važno uskladiti model vraćanja zajma sa

svojim finansijskim mogućnostima i planovima. Razlike između pojedinih modela su

značajne i imaju veliki uticaj na financijske tokove kompanije.

Također, sa stajališta investitora, zajmodavca, različiti modeli vraćanja zajma podijeljenog na

obveznice daju različite novčane prilive tijekom vremena, te treba ih znati prepoznati i

uskladiti sa svojim inicijalnim željama i potrebama pri investiranju.

45

LITERATURA

Branko Trklja (2008.) Finansijska matematika, treće izdanje, Sarajevo: Ekonomski fakultet u

Sarajevu Izdavačka djelatnost

46

Documents

Seminarski Rad - Zajam Podijeljen Na Obveznicei