(Teorema Del Muestreo Con Matlab )Practica7_orja

5/10/2018 (Teorema Del Muestreo Con Matlab )Practica7_orja - slidepdf.com

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Univers idad Nac iona l Autón om a de Méx icoFac u l tad de I ngen ie r ía

Labora tor io de S istem as de Com unicac iónOrenda Rodr íguez Jorge Ant on io

Grupo: 20

MATLABObjetivos:

• Conocer más sobre la programación en matlab, así como utilizar esta herramienta para la elaboración

de graficas de señales

• Aplicar la Transformada de Fourier Rápida en matlab, graficarla en tiempo y frecuencia

• Conocer el Teorema del muestreo de Nyquist-Shannon

Introducción:

Teorema de Nyquist-Shannon (Teorema del muestreo):

Hablamos de muestreo periódico de una señal analógica cuando tomamos mediciones de la misma a

intervalos iguales. Por ejemplo cuando se graba una señal de audio a la PC mediante una placa de

sonido, el conversor A/D de la PC estará digitalizando la señal a una cierta frecuencia tal como 11, 22, ó

44 kHz, denominada frecuencia de muestreo .

Es evidente que si la frecuencia de muestreo es muy baja, es decir mediciones demasiado espaciadas,

se perderán “detalles” de la señal original. Mediante una simple demostración gráfica se puede ver. En

las figuras A-B-C-D hemos representado cuatros señales distintas (en línea azul) muestreadas

periódicamente a igual frecuencia (los círculos rojos denotan las “muestras”). En A y B las señales

aparecen correctamente representadas por las muestras, en C la velocidad de muestreo parece

insuficiente, y en D las muestras representan una señal como la de B, es decir la señal de D es un

“alias” de la señal de B. Este efecto se denomina en inglés “aliasing”.

El Teorema del Muestreo, o Teorema de Nyquist-Shannon, establece que la frecuencia mínima de

muestreo necesaria para evitar el “aliasing” debe ser.

fm>2.BW

con f m: frecuencia de muestreo, BW: ancho de banda de la señal a muestrear (BW=f max-f min)

Para señales con f min = 0, se puede expresar como

fm>2.fmax

Para demostrar este teorema debemos aplicar conceptos básicos de series de Fourier y trigonometría.





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La Transformada Rápida de Fourier:

Es un algoritmo que se utiliza en diversos programas computacionales, los cuales calculan la (FFT) de

manera rápida y eficaz. Cooley y Tuckey que fueron acreditados con el descubrimiento de la FFT en

1967 , la cual ya existía desde antes, aunque sin las computadoras que se necesitaban para

explotarla. El algoritmo pone algunas limitaciones en la señal y en el espectro resultante. La

Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio

de la frecuencia, de donde se puede realizar su antitransformada y volver al dominio temporal.

En matemáticas, la transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f

con valores complejos; definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente:

Donde f es L1, o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue.

También es correcto utilizar la fórmula alternativa:

No se puede mostrar laimagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta estédañada. Reinicie elequipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo lax roja, puede que tenga que borr ar laimagen e insertarla de nuevo.

A

B

C

D





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de forma que la constante beta cancela la dimensiones asociadas a las variables obteniendo un

exponente adimensional.

La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que

garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de

funciones generalizadas.

Desarrollo:

clear all clc

f=1000; % frecuencia a 1 [KHz]

T=1/ f; % periodo

fs=64*f; % frecuencia de muestreo

ts=1/ fs; % t iempo

t=0: ts: 4*T

fi=0 % defasamiento o fase

w=2*pi*f % frecuencia y=sin (w*t+fi)

plot (t, y)





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clear all

clc

n=20; %elemento deseado

N=12; %número máximo

i=1:N/n:N

length (i) % tamaño de i

j=0:N/n:N-1

length (j) %tamaño de j

clear all

clc

A=4;

f=100 %Hz

fs=4400;

T=1/ f %período de la señal

Tm=3*T %Duración de muestra

w0=2*pi*f

N=50 %Número de muestras





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tao=Tm/ N %Intervalo de muestreo

t=0:tao:Tm

fs=1/ tao %Frecuencia de muestreo df=fs/ N

fref=-fs/ 2:df:fs/2 %Frecuencia de referencia

fase=pi/ 6

senoidal=A*sin(w0*t+fase)

figure(1) %Título de la ventana

plot (t,senoidal) %Gráfica en tiempo


tfsin=abs(fftshift(fft(senoidal)))

%fft=transformada rápoida de Fourier

%Shift=desplazamiento de la tranformadastem(fref,tfsin) %Gráfica discreta de la frecuencia





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clear all

clc

f=100 %Hz

fs=4400;

T=1/ f %período de la señal

Tm=3*T %Duración de muestra

w0=2*pi*f

N=15 %Número de muestras

tao=Tm/ N %Intervalo de muestreo

t=0:tao:Tm

fs=1/ tao %Frecuencia de muestreo df=fs/ N

fref=-fs/ 2:df:fs/2 %Frecuencia de referencia

u* [zeros(1,10),ones(1,6)] %Función escalón

u1*[ zeros(1,10),ones(1,6)]

u2*[ zeros(1,6),ones(1,10)]

pulso:u1-u2 %Función para obtener un pulso

trans=abs(fftshift(fft(pulso))) %Tranformada del pulso


plot (fref,transl) %Gráfica en tiempo del pulso





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A=1;

Ancho=0.5;

triangular=A*sawtoorh(w0*t+ancho) %Función triangulargenfuncion=triangular


plot (t,genfuncion) %Gráfica en tiempo

tfourier=abs(fftshift(fft(genfuncion)))

%fft=transformada rápoida de Fourier

%Shift=desplazamiento de la tranformada

figure(3)

stem(fref,tfourier) %Gráfica discreta de la frecuencia





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Conclusiones:

Esta práctica fue muy sencilla ya que vimos cómo graficar funciones en tiempo y en frecuencia de

manera discreta,comprenidimos el Teorema del muestreo de Nyquist-Shannon el cual nos sirve para

trabajar con lo que son graficas en cuanto a frecuencia y tiempo, también aprendimos a calcular la

Tranformada Rápida de Fourier de una señal y observamos que para situaciones más complejas es muy

útil y rápido usar este medio. Aunque como todo programa que es nuevo, debemos saber bien

los parámetros que debe llevar, sino no obtendremos un buen resultado.

Vimos también lo que son algunas palabras reservadas para matlab, lo que hace más

sencillas algunas operaciones y también vimos como generar y simular una señal por

medio de simulink

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