Seno (trigonometra)
Seno. En trigonometra el seno de un ngulo en un tringulo
rectngulo se define como la razn entre el cateto opuesto y la
hipotenusa:
O tambin como la ordenada correspondiente a un punto que
pertenece a una circunferencia unitaria centrada en el origen
(c=1): En matemticas el seno es la funcin obtenida al hacer variar
la razn mencionada, siendo una de las funciones trascendentes. La
abreviatura proviene del latn snus.
Etimologa. El astrnomo y matemtico hind Aria Bhatta (476550d.C.)
estudi el concepto de seno con el nombre de ardh shia (en ingls
ardha-jya),[1] siendo ardh: mitad, medio, y shi: cuerda). Por
simplicidad, el trmino se termin apocopando como shi. Cuando los
escritores rabes tradujeron estas obras cientficas al rabe, se
referan a este trmino snscrito como jiba (pronunciado shiba, lo ms
parecido al snscrito). Sin embargo, en el rabe escrito se omiten
las vocales, por lo que el trmino qued abreviado jb. Escritores
posteriores que no saban el origen extranjero de la palabra
creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir baha),
ya que en rabe, jiba es una palabra sin sentido. A finales del
siglo XII, el traductor italiano Gherardo de Cremona (1114-1187)
tradujo estos escritos del rabe al latn reemplaz el insensato jiab
por su contraparte latina sinus (hueco, cavidad, baha). Luego, ese
sinus se convirti en el espaol seno.[2]Segn otra
explicacin,[citarequerida] la cuerda de un crculo, se denomina en
latn inscripta corda o simplemente inscripta. La mitad de dicha
cuerda se llama semis inscrptae. Su abreviatura era s.ins., que
termin simplificada como sins. Para asemejarla a una palabra
conocida del latn se la denomin sinus.
Con nmeros complejos
Tambin se puede definir de la forma: donde e es la base del
logaritmo natural, e i es la unidad de los nmeros imaginarios.
Como serie de Taylor
El seno como Serie de Taylor es: ; Representacin grfica
Seno de una suma o una resta de ngulos
Seno de la suma de dos ngulos
Esta identidad trigonometrica se define a partir del coseno de
la diferencia de dos ngulos Se sabe que las funciones
trigonomtricas de un ngulo son iguales a las cofunciones del ngulo
complementario, es decir
Distribuyo el menos y asocio de una manera distinta Aplico la
identidad trigonomtrica del coseno de la diferencia de dos ngulos,
entonces
Volviendo a aplicar la propiedad de la funciones trigonomtrica
del ngulo completario, queda
Seno de la diferencia de dos ngulos obtenemos la resta. Como el
coseno es par, el signo no importa y como el seno es impar, el
signo sale.
Forma resumida
Seno de un ngulo doble
Tenemos que Hagamos entonces Derivada del Seno
Segn la definicin de derivada: lo que es Entonces, usando la
frmula del seno de la suma de dos ngulos, se tiene que Factorizando
Separando, dado que todas las funciones son continuas, se tiene
Como: esto es as ya que reemplazando para = h y = 0
Se tiene que: y utilizando el lmite conocido: Se obtiene que el
primer trmino es 0, entonces Como: Por ello puede simplificarse, y
se tiene que
