Sequenciamento de produção

17/04/2015

1

SequenciamentoSequenciamento

Michel J. Anzanello, PhD

8 - 1

Algoritmos de SequenciamentoAlgoritmos de SequenciamentoDefinio do problemaDefinio do problema

Dadas n tarefas, cada uma possui: tempo de setup,

tempo de processamento,

data de entrega pr-fixada, e/ou outros atributos.

P/ serem completadas, cada tarefa precisa passar por uma mquina ou sequncia delas.

A sequncia deve otimizar certos critrios de desempenho.

8 - 2

Critrios tpicos de desempenhoCritrios tpicos de desempenho

Atender as datas de entrega dos clientes;

Minimizar o tempo de Fluxo (makespan);

Minimizar o estoque em processo (WIP);

Minimizar o tempo ocioso dos recursos.

8 - 3

Exemplo numricoExemplo numrico Duas tarefas A e B requerem processamento

em duas mquinas M1 e M2.

Cada tarefa processada primeiro na M1 e depois na M2, com os seguintes tempos:

Tarefas M1 M2

A 8 5

B 7 10

Tempo de Processo

8 - 4

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Exemplo (Grfico de Gantt)Exemplo (Grfico de Gantt)

Tempo

M1

M2

157 17 22

tarefa B tarefa A

tarefa B tarefa A

Tempo

M1

M2

8 13 15 25

tarefa A

tarefa A tarefa B

tarefa B

A segunda sequncia minimiza o makespan(Tempo de fluxo).

Tempo total = 22

Tempo total = 25

8 - 5 IV - 6

Job Operao Tempo

necessria necessrio (h)

A 10

C 10

1 A 30

B 20

C 5

B 15

A 10

2 C 10

A 10

B 10

ExemploExemplo introdutriointrodutrio

Analisar o sequenciamento de utilizao das

operaes em um grfico de Gantt

IV - 7

Tempo, horasArranjo invivel

Tempo, horasArranjo vivel

O

p

e

r

a

o

O

p

e

r

a

o

1 1

2 2

2 2

2

1

11

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

Arranjo invivel. P/ observar sequncia,

mesmo recurso utilizado por mais

de um job

Arranjo vivel. Sequncia

observada e utilizaoracional de recursos.

IV - 8

Lote Operao Tempo

necessria necessrio (h)

C 5

A 10

1 B 20

C 30

B 10

C 10

A 15

2 B 5

A 20

C 5

A 5

B 20

3 A 5

B 10

C 35

Deseja-se saber qual a data mais cedo para entrega de cada um dos lotes ao lado.

ExerccioExerccio --

SequenciamentoSequenciamento

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Fatores que descrevem e classificam Fatores que descrevem e classificam um problema de sequenciamentoum problema de sequenciamento

Nmero de tarefas a serem programadas.

Nmero de mquinas envolvidas.

Tempo para liberao da tarefa (release date).

Critrio de avaliao utilizado p/ as alternativas de programao. 8 - 9

FlowFlow ShopShop

8 - 10

JobJob ShopShop

8 - 11

Problemas de Problemas de sequenciamentosequenciamento podem podem ser:ser:

8 - 12

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Descrio padro de problemas de Descrio padro de problemas de sequenciamentosequenciamento

arranjo mquinas: nica, linha, paralelo, ...

restries: liberao da tarefa, setup...

objetivos: makespan, atraso, adiantamento

8 - 13

Heursticas para programao em Heursticas para programao em ambiente ambiente flowflow shopshop::

n tarefas 1 mquina: MFT / Min setups, caixeiro viajante.

n tarefas 2 mquinas: Johnson.

n tarefas 3 mquinas: Johnson, Branch and Bound.

8 - 14

Programando n tarefas em 1 mquinaProgramando n tarefas em 1 mquina(Mean Flow Time(Mean Flow Time--MFT)MFT)

onde:Ci = Tempo para completar a tarefa i (Ci = Wi + ti):

Wi = Tempo de espera

ti= Tempo de processo

n = nmero de tarefas a serem processadas.

1

ni

iC

MFTn

==

8 - 15

ExemploExemplo

Dados os tempos de processo de quatro tarefas a serem processadas em uma mquina.

J1 J2 J3 J4

7 6 8 5Tempo de processo (ti )

Tarefa i

8 - 16

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ExemploExemplo

67 3164 4AMFT = =

67 3164 4BMFT = =

Tarefa (i ) W i ti Ci

2 0 6 6

3 6 8 14

1 14 7 21

4 21 5 26

soma 41 26 67

Seqncia B

8 - 17

ExemploExemplo

Para uma nica mquina e n tarefas, como neste caso, a regra SPT (Shortest Processing Time, ou seja, ordenar as tarefas em

ordem crescente de ti) garante o mnimo tempo mdio de escoamento.

60 154CMFT = =

8 - 18

Atividade 1Atividade 1

a) As presentes atividades so processadas em uma furadeira. Determine uma sequncia que minimize o tempo mdio de escoamento.

b) Mostre que uma sequncia aleatria aumenta o tempo de escoamento (maior do que a sugerida pelo SPT)

c) Use a regra LPT (longest processing time) e compare a mdia do tempo de escoamento para (a) e (c).

Tarefa 1 2 3 4 5 6 7

ti 10 5 8 7 5 4 8

8 - 19

Tempo de concluso ponderadoTempo de concluso ponderado

Algumas tarefas podem ter prioridade por diversos motivos;

Cada atividade recebe um peso wj

Conhecido por 1| |wjCj

Sequenciamento timo:

Ordenar wj/tj em ordem decrescentedecrescente

8 - 20

tarefa 1 2 3 4 5 6 7

wj 1 18 12 8 8 17 16

tj 3 6 6 5 4 8 9

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Programando Programando nn tarefas em 2 mquinastarefas em 2 mquinas(Mtodo ou Regra de Johnson).(Mtodo ou Regra de Johnson).

1 - Listar o tempo de operao para cada tarefa em ambas as mquinas (M1 e M2);

2 - Selecionar a tarefa com menor tempo de durao;

8 - 21

Programando Programando nn tarefas em 2 mquinastarefas em 2 mquinas(Mtodo ou Regra de Johnson).(Mtodo ou Regra de Johnson).

3 - Se o menor tempo o da M1, fazer esta tarefa primeiro. Caso contrrio (se pertencer a M2), alocar esta tarefa por ltimo;

4 - Repetir as etapas 2 e 3 para cada tarefa restante at todas as tarefas estarem alocadas.

8 - 22

Exemplo: Exemplo: (Mtodo ou Regra de Johnson).(Mtodo ou Regra de Johnson).

TarefaTempo de operao

M1

Tempo de operao

M2

A 3 2

B 6 8

C 5 6

D 7 4

1 - Listar os tempos de operao

2 e 3 - A tarefa de menor tempo a A na M2 (ento aloque por ltimo). A tarefa D a 2a de menor tempo na M2 (aloque esta por penltimo -pois a tarefa A j est alocada).

8 - 23

Exemplo: Exemplo: (Mtodo ou Regra de Johnson).(Mtodo ou Regra de Johnson).

TarefaTempo de operao

M1

Tempo de operao

M2

A 3 2

B 6 8

C 5 6

D 7 4

4 - Repetir 2 e 3 at todas serem alocadas

A seqncia fica: C B D A. Esta a seqncia de entrada das tarefas em M1.

8 - 24

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Atividade 2Atividade 2

Os tempos de uma furadeira e uma mquina rebitadora para seis tarefas so dados a seguir. Para toda a tarefa, um furo feito primeiro, seguido da colocao de um rebite.

Encontre a sequncia que minimiza o makespan para estas tarefas.

Tarefa 1 2 3 4 5 6

Furadeira 4 7 3 12 11 9

Rebitadeira 11 7 10 8 10 13

8 - 25

MinimizandoMinimizando o tempo de o tempo de adiantamentoadiantamento e e atrasoatraso de de umauma tarefatarefa

Funo objetivo: min (E+T)

T = tempo de atraso, Tj = max (Cj-dj, 0)

E = tempo de adiantamento Ej = max (dj-Cj,0)

8 - 36

AlgoritmoAlgoritmo parapara minimizarminimizar ((E+TE+T)) com com data de data de entregaentrega estranguladaestrangulada ((dd niconico))

Passo 0: Ordene as tarefas em ordem decrescente de pj;

Passo 1: Defina 1=d e 2=pj d

Inicialize k=1

Passo 2:

Se 1 > 2 insira tarefa k na primeira posio disponvel na sequncia e subtraia pk de 1.

Se 1 < 2 insira tarefa k na ltima posio disponvel na sequncia e subtraia pk de 2. 8 - 37

AlgoritmoAlgoritmo parapara minimizarminimizar ((E+TE+T)) com com data de data de entregaentrega estranguladaestrangulada

Passo 3: Se k

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ExemploExemplo

Considere a seguinte situao com 6 tarefas e data de entrega d=180.

8 - 39

tarefas 1 2 3 4 5 6

pj 106 100 96 22 20 2

tau1 tau2 Sequncia

180 166 1,*,*,*,*,*

74 166 1,*,*,*,*,2

74 66 1,3,*,*,*,2

-22 66 1,3,*,*,4,2

-22 44 1,3,*,5,4,2

-22 12 1,3,6,5,4,224

Prtica Prtica VeVe

Sequencie as seguintes tarefas com data de entrega d=30.

8 - 40

Tarefa 1 2 3 4 5 6 7 8

pj 5 8 7 6 2 7 5 4

SequenciamentoSequenciamento estocsticoestocstico

Do origem aos problemas mais complexos de sequenciamento

Tempos de processamento no mais determinsticos, mas representados por distribuies

Veremos um algoritmo atravs de um exemplo:

8 - 41

SequenciamentoSequenciamento estocstico estocstico -- ExemploExemplo

Considere 2 tarefas com datas de entrega distintas (dj) a serem processadas em 1 mquina

Datas de entrega: d1=1 e d2=4

8 - 42

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Tempos de processamento so discretosTempos de processamento so discretos Distribuio dos tempos de processamento da

tarefa 1:

P(X1=1) = P(X1=2) = P(X1=4) = 1/3

Distribuio dos tempos de processamento da tarefa 2:

P(X2=2) = P(X2=4) = 1/2

8 - 43

Exemplo (Exemplo (contcont))

Deseja-se minimizar o mximo atraso L, onde:

Lj = Cj-dj

Repare que o atraso L, diferentemente do atraso T, pode apresentar valores negativos.

8 - 44

Testando Testando sequnciasequncia 1 1 22

8 - 45

max1 , 2

= max1 , 2 |1 = 1, 2 = 2 1 = 1, 2 = 2

+ max1, 2 |1 = 1, 2 = 4 1 = 1, 2 = 4

+ max1, 2 |1 = 2, 2 = 2 1 = 2, 2 = 2

+ max1, 2 |1 = 2, 2 = 4 1 = 2, 2 = 4

+ max1, 2 |1 = 4, 2 = 2 1 = 4, 2 = 2

+ max1, 2 |1 = 4, 2 = 4 1 = 4, 2 = 4

max1, 2

= 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 41/6

Testando Testando sequnciasequncia 2 2 11

8 - 46

max2 , 1

= max2 , 1 |2 = 2,1 = 1 2 = 2,1 = 1

+ max2 , 1 |2 = 2, 1 = 2 2 = 2, 1 = 2

+ max2 , 1 |2 = 2, 1 = 4 2 = 2, 1 = 4

+ max2 , 1 |2 = 4, 1 = 1 2 = 4, 1 = 1

+ max2 , 1 |2 = 4, 1 = 2 2 = 4, 1 = 2

+ max2 , 1 |2 = 4, 1 = 4 2 = 4, 1 = 4

max2 , 1

= 2 + 3 + 5 + 4 + 5 + 71/6

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ExerccioExerccio Sequencie as tarefas 1 e 2 com os tempos de

processamento dados por: Tarefa 1

P(X1=3) = 1/3 e P(X1=5) = 2/3

Tarefa 2:

P(X2=4) = P(X2=7) =

d1=6 e d2=8 8 - 47

Programando Programando nn tarefas em 3 mquinastarefas em 3 mquinas

Problema uma extenso do problema anterior (n tarefas 2 mquinas).

Solues timas podem ser encontradas quando todas as tarefas forem processadas na mesma ordem em cada mquina.

8 - 48

Uma soluo tima para este tipo de problema pode ser encontrada utilizando-se:

Algoritmo de Johnson para n 2, se certas condies forem atendidas, ou

Utilizando o algoritmo do Branch & Bound.

Programando Programando nn tarefas em 3 mquinastarefas em 3 mquinas

8 - 49

Programando Programando nn tarefas em 3 mquinastarefas em 3 mquinas(Algoritmo do Branch & Bound)(Algoritmo do Branch & Bound)

Algoritmo B & B pode ser usado quando as condies do mtodo de Johnson no forem satisfeitas.

O problema representado por uma estrutura de rvore, onde cada n representa uma seqncia parcial de tarefas. Para encontrar qual a seqncia parcial a partir da

qual poderamos continuar ramificando, necessrio encontrar os limites inferiores do makespan para todos os ns (de cada seqncia parcial).

8 - 50

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Diagrama de rvoreDiagrama de rvore

0

1 2 3

141312 242321

143142134132124123

4

8 - 51

Programando Programando nn tarefas em 3 mquinastarefas em 3 mquinas(Algoritmo B & B)(Algoritmo B & B)

Segue-se ramificando a partir do n com o menor limite inferior. Processo continua at que seqncia c/ limite inferior mais baixo seja encontrada.

As tarefas devem ser processadas primeiro na M1, depois na M2 e, por ltimo, na M3. A ordem de processamento ser a mesma nas trs mquinas (como no mtodo anterior - Johnson n 3).

8 - 52


Considere n tarefas (1, 2, ..., n)

O limite inferior para o makespan definido da seguinte forma:

8 - 53


Onde:

tij= tempo de processo da tarefa i na mquina j

grupo de n - r tarefas que ainda no foram alocadas a uma posio na seqncia Jr

LB(P) = LB(Jr) = limite inferior para o makespan para qualquer nodo que emana de um nodo P.

8 - 54

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Aps encontrar o limite inferior dos nodos at ento existentes, continua-se ramificando a partir do nodo c/ menor limite inferior, criando novos nodos p/ todas as tarefas que ainda no foram programadas.

8 - 55

Exemplo:Exemplo: nn tarefas, 3 mquinas(Algoritmo B & B)tarefas, 3 mquinas(Algoritmo B & B)

Considere 4 tarefas e trs mquinas em um problema de programao.

Utilize o algoritmo Branch-and-Bound para encontrar a seqncia que minimiza o makespanpara todas as tarefas.

Tarefa M1 M2 M3

1 14 6 15

2 8 11 4

3 10 13 17

4 16 15 5

Tempos das Tarefas

8 - 56


Para calcular os limites inferiores, preciso:

TIMEM1(1) = 14 TIMEM2(1) = 20 TIMEM3(1) = 35TIMEM1(2) = 8 TIMEM2(2) = 19 TIMEM3(2) = 23TIMEM1(3) = 10 TIMEM2(3) = 23 TIMEM3(3) = 40TIMEM1(4) = 16 TIMEM2(4) = 31 TIMEM3(4) = 36

TIMEM1(Jr), TIMEM2(Jr) e TIMEM3(Jr) so os tempos nos quais as mquinas M1, M2 e M3 completam a ltima tarefa da seqncia Jr.

8 - 57

Os limites inferiores so:

Tarefa M1 M2 M3

1 14 6 15

2 8 11 4

3 10 13 17

4 16 15 5

Tempos das Tarefas

8 - 58

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8 - 59


Menor limite LB(1) = 63, ento ramifica-se a partir dele.

Na sequncia, calculam-se os tempos das seqncias parciais 1i (i = 2, 3 e 4), como mostrado a seguir:

TIMEM1(12) = TIMEM1(1) + t21 = 14 + 8 = 22 TIMEM2(12) = max (TIMEM1(12) + t22 , TIMEM2(1) + t22)

= max (22 + 11 , 20 + 11) = 33TIMEM3(12) = max (TIMEM2(12) + t23 , TIMEM3(1) + t23)

= max (33 + 4 , 35 + 4) = 39

8 - 60



= max (24 + 13 , 20 + 13 ) = 37TIMEM3(13) = max (TIMEM2(13) + t33 , TIMEM3(1) + t33)

= max (37 + 17 , 35 + 17 ) = 54



= max (45 + 5 , 35 + 5 ) = 50

8 - 61



8 - 62

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8 - 63


Comparando os nodos neste estgio verifica-se que o menor limite inferior LB(3) = 64. Ento continua-se ramificando a partir deste.



= max (30 + 15 , 40 + 15 ) = 55

8 - 64




= max (30 + 15 , 40 + 15 ) = 55



= max (34 + 4 , 40 + 4 ) = 44

8 - 65




= max (41 + 5 , 40 + 5 ) = 46

Novamente so calculados os limites inferiores para as sequencias 31, 32 e 34.

8 - 66

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O menor LB LB(31) = 64. Ento ramifica-se a partir dele.



= max (43 + 4 , 55 + 4 ) = 59

TIMEM1(314) = TIMEM1(31) + t41 = 24+ 16 = 40 TIMEM2(314) = max (TIMEM1(314) + t42 , TIMEM2(31) + t42)


= max (55 + 5 , 55 + 5 ) = 60

8 - 67



8 - 68


O menor LB LB(34) = 65. Ento ramifica-se a partir dele.



= max (47 + 15 , 46 + 15 ) = 62



= max (52 + 4 , 46 + 4 ) = 56

8 - 69



O menor limite inferior da rvore LB(341) = 66. A seqncia tima 3-4-1-2 com makespan de 66 unidades de tempo

8 - 70

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Atividade Atividade B&BB&B

Quatro tarefas so processadas atravs de trs mquinas. Os presentes dados so pertinentes ao problema de programao. Encontre a seqncia tima para as tarefas tal que minimize o makespan.

Tarefa M1 M2 M3

1 7 10 8

2 5 7 9

3 11 5 9

4 8 9 8

Tempos das Tarefas

8 - 71

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Sequenciamento de produção