Circunferencia trigonometrica 5_e

I.E. “Federico Villarreal” - Túcume

Lic. Carlos Francisco Llontop Sánchez

Circunferencias

Trigonométricas

[email protected] Cel. 97-8854040 / RPM. *902836

Circunferencias

Trigonométricas

1. Definición, elementos y propiedades.

2. Líneas trigonométricas.

3. Líneas trigonométricas auxiliares.

4. Problemas resueltos.


1. Definición, elementos y propiedades

(y)

X

Y’

(-)

X’ 0

+

++

+

+

++++

-

-

-

-

- - - -

x + y = 12 2

Definición:

Es una circunferencia inscrita en un

sistema de coordenadas rectangulares

cuyo centro coincide con el origen de

dicho sistema, esta circunferencia

tiene como característica

fundamental, el valor del radio que es

la UNIDAD (R = 1).

Esta circunferencia trigonométrica

sirve para representar a las líneas

trigonométricas


Elementos de la circunferencia

Se tiene los siguientes elementos:

I. O (0 ; 0): Origen de la circunferencia.

II. A(1 ; 0): Origen de arcos, a partir del

cual se miden los ángulos

trigonométricos, es decir, ángulos

positivos, negativos y de cualquier

magnitud.

III. B (0 ; 1): Origen de complementos.

IV. A’ (-1 ; 0): Origen de suplementos.

V. B’ (0 ; -1): Sin denominación

específica.

P (x ; y): “P” de coordenadas (x ; y)

(+)

B(0;1)

(+)

A(1;0)

(-)

B’(0;-1)

(-)

A’(-1;0) 0


Propiedades de la circunferencias

a) Radio de la circunferencia igual a la UNIDAD.

b) Cuatro cuadrantes, cada uno de los cuales mide 90º, 100g

ó π/2 rad.

c) Se adoptan los signos de los ejes coordenadas, o sea, los segmentos OA´ y

OB´ son negativos.

L0

x + y = 12 2

ArcoA

B

Por formula:

θ = L ; R=1R

θ = L ; θ =L1

“Es decir, que el numero de

radianes del ángulo central es

igual a la longitud del arco

pero sólo como arco

numérico”.

tg 45º tg π4

tg=π rad4

tg 0,7854 = 1

Ángulo en grados

sexagesimalesÁngulo en

radianes

Arco

numérico

Número real

( R)


2. Líneas trigonométricas.

• Línea seno

B

A

B’

A’

1

0

P(x;y)

θ

Q

Representación:Se representa por la perpendicular trazada

desde el extremo del arco, hacia el

diámetro horizontal.

• En el OQP: Sen θ= PQ

OP=

1

y

.. . Sen θ = y

• De la figura: Sen AP = Sen θ = PQ = y


Análisis de la línea seno

Cuadrante Variación Comportamiento Signo

Q1 0 a 1 Creciente (+)

Q2 1 a 0 Decreciente (+)

Q3 0 a -1 Decreciente (-)

Q4 -1 a 0 Creciente (-)

--------------------------

--------------------------

0

-1

1

+∞

-∞

180º360º0º

270º

90º

-1 ≤ Sen α ≤ 1

0º 90º 180º 270º 360º

Sen 0 1 0 -1 0

• Valores Cuadrantales.

• Variación cuadrantal.


mailto:[email protected]

Línea Coseno

• Representación:B

B’

AA’

1

0

P(x;y)

θ

Q

-----------------------

N

Se representa por la perpendicular trazada

desde el extremo del arco, hacia el

diámetro vertical.

• En el PNO: Cos θ= NP

OP=

1

x

.. . Cos θ = x

• De la figura: Cos AP = Cos θ = NP = x



Análisis de la línea coseno


Q1 1 a 0 Decreciente (+)

Q2 0 a -1 Decreciente (-)

Q3 -1 a 0 Creciente (-)

Q4 0 a 1 Creciente (+)

90º

--------------------------

--------------------------

0-1

1 +∞-∞

180º360º

0º

270º

-1 ≤ Cos α ≤ 1

0º 90º 180º 270º 360º

Cos 1 0 -1 0 1





Línea Tangente

• Representación:

Es una parte de la tangente geométrica

trazada por el origen de arcos A(1;0), se

empieza a medir de este origen y termina

en la intersección de la tangente

geométrica con el radio prolongado que

pasa por el extremo del arco.

• En el TAO: Tg θ = AT

OA=

1

y1

.. . Tg θ = y1

• De la figura: Tg AP = Tg θ = AT = y1

B

B’

AA’

10

T( 1 ; y1 )

θ

P



Análisis de la línea tangente



Q1 0 a +∞ Creciente (+)

Q2 -∞ a 0 Creciente ( - )


Q4 -∞ a 0 Creciente ( - )

000Tg

360º270º180º90º0º


180º

--------------------

----------------

--------------

----------

----------------------

-------------------

----------------

------------

90º

360º

270º

0º0

-∞

+∞

- ∞ < Tg α < +∞



Línea cotangente

• Representación:B

B’

AA’

10

T( x1 ; 1 )

θ

P

θ

Es una parte de la tangente que pasa por el

origen de complementos B(0; 1), se empieza a

medir a partir de ese origen y termina en la

intersección de la tangente mencionada con el

radio prolongado que pasa por el extremo del

arco.

• En el TBO:Cotg θ= BT

BO=

1

x1

.. . Cotg θ = x1

• De la figura: Cotg AP=Cotg θ = BT = x1



Análisis de la línea cotangente



Q1 +∞ a 0 Decreciente (+)

Q2 0 a -∞ Decreciente ( - )


Q4 0 a -∞ Decreciente ( - )


- ∞ < Cotg α < +∞

270º

----

----

----

----

----

----

----

----

----

----

----

----

--

----

----

--

----

----

----

----

----

--

----

----

----

----

---

----

----

----

----

----

----

----

90º

0º

0+∞-∞

180º 360º

0000cotg

360º270º180º90º0º



B

B’

AA’

1

0T( x2 ; 0 )θ

P θ

Línea Secante

Es una parte del diámetro prolongado

que pasa por el origen del arco, se

empieza a medir del centro de la

circunferencia y termina en la

intersección del diámetro prolongado

con la tangente geométrica trazada por

el extremo del arco:


OPEn el O P T : Sec θ =

OT=

1

x2

.. . Sec θ = x2

De la figura: Sec AP = Sec θ = OT = x2



Análisis de la línea secante




Q2 -∞ a -1 Creciente ( - )

Q3 -1 a -∞ Decreciente ( - )


1-11Sec

360º270º180º90º0º


-∞

------------------------------

------------------------------

-----------------------------------------------

-----------------------------------

--------------------------------

---------------------------------------------

270º

90º

-1 1+∞

Sec ≤ -1 U Sec ≥ 1



Línea Cosecante.


B

B’

AA’

1

0

θ

P

θ

T( 0 ; x2 )

Es una del diámetro prolongado que pasa por el

origen de complementos, se empieza a medir en

el centro de la circunferencia y termina en la

intersección del diámetro prolongado con la

tangente geométrica trazada por el extremo del

arco.

De la figura: Cosec AP = Cosec θ = OT = y2

En el OPT : Cosec θ = OT

OP=

1

y2

.. . Cosec θ = y2



Análisis de la línea cosecante


( - )Decreciente-1 a -∞Q4

( - )Creciente-∞ a -1Q3

(+)Creciente1 a +∞Q2

(+)Decreciente+∞ a 1Q1

SignoComportamientoVariaciónCuadrante

-11Cosec

360º270º180º90º0º


-∞

------------------------------

------------------------------

-----------------------------------------------

----------------------------------

-------------------------------

---------------------------------------------

360º180º

-1

1

+∞

0º

Cosec ≤ -1 U Cosec ≥ 1



3. Líneas trigonométricas auxiliares

• Línea seno verso o verso (vers)

Es los que le falta al coseno de un arco para valer la unidad. El verso se empieza a

medir a partir del origen de versos que vienen a ser el origen de arcos A(1;0), y

termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro

horizontal. El verso es positivo.

B

B’

AA’

___________ 1

____________I

0

--------------------θ

P

M

• En el OMT : Cos θ OM

OP

=

= 1

OM

• Por definición: Vers θ = 1 – Cos θ … l

• De la figura: Vers θ = MA

ll.. . Cos θ = OM …

Reemplazamos ll len :

Vers θ = 1 – OM.

. . Vers θ = MA



Línea coseno verso o coverso (cov)

Es lo que le falta al seno de un arco para valer la unidad. El coverso se empieza a medir en el

origen de coversos que vienen a ser el origen de completo B(0;1); y termina en el pie de la

perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro vertical de la circunferencia

trigonométrica. El coverso es siempre positivo.

• En el OMP : Sen θ MO

OP

=

= 1

MO

• Por definición: Cov θ = 1 – Sen θ … l

• De la figura: Cov θ = BM

ll.. . Sen θ = MO …


Cov θ = 1 – MO.

. . Cov θ = BM

B

B’

AA’

___________ 1

____________I

0

--------------------θ

PM

___________

_

___________I

1

Q

θ



Línea ex-secante o external (ex-sec)Es el exceso de la secante respecto a la unidad. La exsecante se mide a partir

del origen de la exsecantes que vienen a ser el origen de arcos y termina en el

punto donde termina la secante de ese arco.

Si la secante se mide hacia la derecha del origen de exsecantes es positiva y

en caso contrario es negativa.

B

B’

AA’

1

0

θ

P

1

Q

• Por definición: Ex-Sec θ = Sec θ - 1 … l

• De la figura: Ex-Sec θ = AQ

ll.. . Sec θ = OQ …


OQ

OP

=

= 1

OQ• En el OPQ : Sec θ

Ex-Sec θ = OQ - 1.

. . Cov θ = BM



4. Problemas de Aplicación

Problema 1: Del grafico, hallar el área de la región triángular AOP

B

B’

AA’

o

P

1Q

α

---------------

Sen

α

• Trazamos la línea PQ AÁ, la cual

representa la línea seno, entonces:

PQ = Sen α

•Además OA representa el radio de la C.T.,

entonces:

OA = 1

• Finalmente: S▲AOP =1

2

(OA)(PQ)

S▲AOP =1

2

(1)(Sen α)

S▲AOP =1

2

Sen αSolución

Problema 2: Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas

I. Sen 10º > Sen 80º II. Cos 10º > Cos 80º III. Tg 10º > Tg 80º

A´

B

B’

AO N

Q

M

P

10º

80º

PM = Sen 10º

QN = Sen 80º

PM < QN

Sen 10º < Sen 80º

Falso

B

A´ AO

M Q

NP

10º

80º

B´

PM = Cos 10º

QN = Cos 80º

PM > QN

Cos 10º > Cos 80º

Verdadero

B

A´ A

B´

O

Q

P80º

10º

AP = Tg 10º

AQ = Tg 80º

AP < AQ

Tg 10º < Tg 80º

Falso

Problema 3:

Si Cos θ =3a - 4

5; θ Є

π

2

3π;

2, hallar entre qué límites varía “a”

----

----

----

----

----

C.T

Oπ

π/2

3π/2

0,2π

-1 Cos θ 0- ∞ + ∞

• Del gráfico: -1 ≤ Cos θ < 0

-1 ≤ 3ª - 4 < 05

-5 ≤ 3a - 4 < 0

-5 ≤ 3a < 4

-5 ≤ a < 43 33

a Є - 13 ;

;43

Solución

Determina la variación de :Problema 4:

E = 5 Sen2 + 2; Єπ

2π;

• Del gráfico: -1 ≤ Sen 2 < 0

-5 ≤ a < 43 33

-3E Є ; 2Solución

• Multiplicando todo ( x 5 ): -5 ≤ Sen 2 < 0

• Sumando (+2) a cada miembro:

-3 ≤ E < 2

-3 ≤ 5 Sen 2 + 2 < 2

--------------------

Oπ

π/2

3π/2

2π 0

- ∞

+ ∞

-1

Sen 2

Problema 5: Analizando la figura:

o

π/6

π/2C.T.

π

3π/2

0.2 π

o

P

B

A´

B´

15º

C

2 - √3

1

1A

30º

m < AA´P =mAP

2=

30º

2= 15º(ángulo inscrito)

AÓC = Tg 15º =OC

1

2 - √3 = OC

S▲CA´B´ = (BĆ)(OA´)

2

BĆ = 3 - √3

OA´ = 1

S▲CA´B´ =(3 - √3) (1)

2

S▲CA´B´ = 3 - √3

2u2

Problema 6: En la figura, PM = 0.8. Hallar OS

• Resolución:

• La línea PM representa el Seno θ, veamos:

OMP : Sen θ = PMOP

;OP = 1

PM = 0,8

Sen θ = 0,81

Sen θ = 45

10,8

• La línea OS representa el Sec θ, veamos:

OPS

Sen θ = OS1

OS = Sec θ

Sec θ = OSOP

; OP = 1 θ

4

3

5

OS =5

3

P

S

Ao

C.T.

θ

M

Problema 7: Calcular el área de la región sombreada

• Resolución:

o

C.T.

T

B

B´

A´ A

• Analizando las líneas notables en la C.T.:

Tg = AT1

AT = Tg

Tg = ATOA

; OA = 1•Veamos:

S▲AÓT = (AÓ)(AT)

2

AÓ = 1

AT = Tg

S▲AÓT =(1) (Tg )

2

S▲AÓT = 1

2Tg

Tg

1 1

Problema 8: Si θ Є- π

4;

π4

;

• hallar entre qué limites varía la expresión: A = 4 Tg2 θ - 1

o

1

-1B´

B

AÁ

π4

-π4

• Tenemos:π4

< θπ4- <

• Luego: -1 < Tg θ < 1

0 ≤ Tg2 θ <1• Al cuadrado:

0 ≤ 4Tg2 θ< 4• Mult. (x 4):

-1 ≤ 4Tg2 θ < 3• Resta. (-1):

-1 ≤ A < 3

A Є [-1;3

• Analizando la Grafica: •Entonces tenemos:

(a ; b) = (1 ; Tg )b = Tg

a = 1

(1 ; Tg )

B`

B

(0 ; Cosec )

(Cos ; Sen )

O 1

AA´Sen

Cos

Cosec

Tg

C.T.

(c ; d)

(a ; b)

(e ; f)

d = Cosec

c = 0(c ; d) = (0 ; Cosec )

f = Sen

e = Cos (e ; f) = (Cos ; Sen )

• Reemplazando:

(Tg )(0)+(Cosec )(Sen )

(1)(Cos )E =

E = =0 + 1

Cos Cos

1E = Sec

Problema 9: De la figura, hallar E=bc + df

ae

Problema 10: Hallar el área de la región sombreada.

C.T.

C

OA´ A

B

B´

P

• Analizando al grafica:En el OCB: Sen =

OC

OB; OB = 1

En el OHC: Sen =CH

OC;

OC = Sen

En el ▲ AÓC: S▲AÒC=(AÓ) (CH)

2

S▲AÒC=(1) (Sen2 )

2

Sen =OC

1OC = Sen

Sen =CH

Sen CH = Sen2

S▲AÒC= Sen2

21

“Gracias por su

atención”



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