S E S I Ó N 1 : C I N E M ÁT I C A D E U N A P A R T Í C U L A

Lic. Fís. Javier Pulido Villanueva

Introducción

MÉCANICA

La mecánica es una rama de las ciencias físicas que considera la acción

de fuerzas sobre cuerpos o fluidos que están en reposo o movimiento.

ESTÁTICA DINÁMICA

CINEMÁTICA CINÉTICA

Estudia el equilibrio de los

cuerpos, es decir, en reposo o

en M.R.U.

Estudia el movimiento acelerado

de los cuerpos.

Se ocupa de la geometría

del movimiento.

Analiza las fuerzas que

causan el movimiento.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

PARTÍCULA

Es una pequeñísima cantidad de materia que ocupa un punto en el

espacio, es decir, tiene masa pero su tamaño y forma son

insignificante.

CUERPO RÍGIDO

Es una combinación de un gran número de partículas que ocupan

posiciones fijas entre sí.

FUERZA

Es la medida de la interacción de entre dos cuerpos. Altera el

estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme de los

cuerpos o de producir deformaciones en él.

Es una magnitud de carácter vectorial.

Cinemática rectilínea

Una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria rectilínea o en

línea recta, se dice que se encuentra en movimiento rectilíneo. Se

caracteriza porque en cualquier instante se puede especificar su

posición, velocidad y aceleración.

Para describir el movimiento, necesitamos un sistema de coordenadas

que es adecuado para especificar posiciones de puntos. La trayectoria

rectilínea se definirá por medio de un solo eje de coordenadas, s.

MARCO DE REFERENCIA

𝑂 𝑠

1𝑚

Para cualquier instante dado t, la partícula ocupara cierta posición P

sobre la línea recta.

POSICIÓN

𝑂 𝑠

𝑠

𝑃

Consideremos la posición positiva a lo largo de la línea recta

Tenga en cuenta que la posición es una cantidad vectorial.

La magnitud de s es la distancia de O a la partícula, medido en metros

(m) en el SI y en pies (ft) en el sistema de unidades inglés, y sus signo

algebraico define el sentido de su dirección.

Se define como el cambio de posición de la partícula.

DESPLAZAMIENTO

𝑂 𝑠

𝑠 𝑃 𝑃′

𝑠′

∆𝑠

𝑡 𝑡 + ∆𝑡

∆𝑠 = 𝑠′ − 𝑠

El desplazamiento de una partícula también es una cantidad vectorial

La distancia es la longitud de la trayectoria a lo largo del cual viaja la

partícula y siempre es un escalar positivo.

DISTANCIA

𝑑 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎

La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo ∆𝑡 se

define como el cociente entre el desplazamiento ∆𝑠 y el intervalo de

tiempo ∆𝑡.

VELOCIDAD

𝑂 𝑠

𝑃 𝑃′ ∆𝑠

𝑡 𝑡 + ∆𝑡

Para intervalos ∆𝑡 cada vez más pequeños, la magnitud ∆𝑠 se reduce

cada vez más. Por lo tanto, definimos la velocidad instantánea de la

partícula en el instante t como

𝑣𝑝𝑟𝑜𝑚 =∆𝑠

∆𝑡

𝑣 = lim∆𝑡→0

∆𝑠

∆𝑡

𝑣 =𝑑𝑠

𝑑𝑡 -------------------------------------- (1)

Considere la velocidad 𝑣 de la partícula en el tiempo t y también su

velocidad 𝑣 + ∆𝑣 en un tiempo posterior 𝑡 + ∆𝑡 . La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo ∆𝑡 se define como

el cociente de ∆𝑣 y ∆𝑡.

ACELERACIÓN

Las unidades de la velocidad en el SI se mide m/s o ft/s en el sistemas

inglés.

La rapidez promedio siempre es un escalar positivo y se define como la

distancia total recorrida por la partícula, d, dividida entre el tiempo

transcurrido ∆𝑡, así

𝑣𝑟𝑎𝑝 𝑝𝑟𝑜𝑚=𝑑

∆𝑡

𝑂 𝑠

𝑃 𝑃′ 𝑣

𝑡 𝑡 + ∆𝑡

𝑣 + ∆𝑣

𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚 =∆𝑣

∆𝑡

Tomando intervalos ∆𝑡 y ∆𝑣 cada vez más pequeños, la aceleración instantánea de la partícula en el instante t se define como

𝑎 = lim∆𝑡→0

∆𝑣

∆𝑡

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡 ---------------------------------- (2)

con la sustitución de 𝑣 de (1)

𝑎 =𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑠

𝑑𝑡

𝑎 =𝑑2𝑠

𝑑𝑡2 -------------------------------- (3)

La unidades de la aceleración en el SI es m/s2 y ft/s2 en el sistema

inglés.

La aceleración promedio o instantánea pueden ser positivos o

negativos. Un valor positivo de a indica que la velocidad aumenta, se

dice que está acelerando.

Un valor negativo de a indica que la velocidad disminuye, se dice que

esta desacelerando.

𝑂 𝑠

𝑃 𝑃′

𝑣 𝑣 + ∆𝑣

+𝑎

𝑂 𝑠

𝑃 𝑃′

𝑣 𝑣 + ∆𝑣

−𝑎

Se puede también obtener una importante relación diferencial que

implica el desplazamiento, la velocidad y la aceleración a lo largo de la

trayectoria. De la ecuación (2) y aplicando la regla de cadena,

obtenemos

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡=𝑑𝑣

𝑑𝑠

𝑑𝑠

𝑑𝑡

𝑎 = 𝑣𝑑𝑣

𝑑𝑠

o también

𝑎𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣 -------------------------------- (4)

Esta ecuación no es independiente de las ecuaciones (1) y (2)

PROBLEMA EJEMPLO 1

La posición de una partícula que se mueve sobre el eje s está definida

por 𝑠 𝑡 = −3𝑡2 + 12𝑡 − 6 pies, donde t esta en segundos. Para el

intervalo de tiempo de 𝑡 = 0 a 𝑡 = 3 s:

(a) Trace la gráfica de la posición, velocidad y aceleración como

funciones del tiempo;

(b) Calcule la distancia recorrida, y

(c) Determine el desplazamiento de la partícula.

PROBLEMA EJEMPLO 2

El movimiento de una partícula está definido por la relación

𝑠 𝑡 = 12𝑡3 − 18𝑡2 + 2𝑡 + 5 m, donde t se expresa en segundos.

Determine la posición y la velocidad cuando la aceleración de la

partícula es igual a cero.

Determinación del movimiento de una partícula

Si se conoce la posición de la partícula para cualquier valor de t, derivaciones sucesivas respecto al tiempo darán la velocidad y la

aceleración. Sin embargo un movimiento rara vez se define por medio

de una relación entre la posición y el tiempo. Con mayor frecuencia, las

condiciones del movimiento se especificarán por el tipo de aceleración

que posee la partícula.

En general la aceleración puede expresarse como función del tiempo, la

velocidad y la posición.

Consideraremos tres clases comunes de movimiento: aceleración como

función del tiempo, aceleración como función de la velocidad y

aceleración como función de la posición.

Al resolver (2) para 𝑑𝑣 y sustituir 𝑓 𝑡 por a, se obtiene

ACELERACIÓN VARIABLE COMO FUNCIÓN DEL TIEMPO, 𝒂 = 𝒇 𝒕

𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

Integrando, y suponiendo que 𝑣 = 𝑣0 cuando 𝑡 = 0, se escribe

𝑑𝑣𝑣

𝑣0

= 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑡

0

𝑣 = 𝑣0 + 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑡

0

o bien

De esta expresión integrada de 𝑣 en función de t se obtendrá la

posición integrando la ecuación (1), así

𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑡

Integrando, y suponiendo que 𝑠 = 𝑠0 cuando 𝑡 = 0, se escribe

𝑑𝑠𝑠

𝑠0

= 𝑣𝑑𝑡𝑡

0

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑑𝑡𝑡

0

o bien

PROBLEMA EJEMPLO 3

La aceleración de una partícula a medida que se mueve a lo largo de

una línea recta está dada por 𝑎 = (2𝑡 − 1) m/s2 donde t está en

segundos. Si 𝑠 = 1 m y 𝑣 = 2 m/s cuando 𝑡 = 0 , determine la

velocidad y posición de la partícula cuando 𝑡 = 6 s. También,

determinar la distancia total que la partícula recorre durante este

intervalo.

PROBLEMA EJEMPLO 4

La rapidez inicial de la partícula es de 27 m/s. Si experimenta una

desaceleración de 𝑎 = −6𝑡 m/s2, donde t esta en segundos,

determine su velocidad después de que ha recorrido 10 m. ¿Cuánto

tiempo requiere esto?

Es posible sustituir 𝑓 𝑣 por a en (2), obteniendo

ACELERACIÓN VARIABLE COMO FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD, 𝒂 = 𝒇 𝒗

𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 = 𝑓 𝑣 𝑑𝑡

Integrando, y suponiendo que 𝑠 = 𝑠0 y 𝑣 = 𝑣0 cuando 𝑡 = 0, se escribe

𝑑𝑡𝑡

0

= 𝑑𝑣

𝑓 𝑣

𝑣

𝑣0

𝑡 = 𝑑𝑣

𝑓 𝑣

𝑣

𝑣0

o bien

De esta expresión integrada de 𝑣 en función de t se obtendrá la

posición integrando la ecuación (4), así

𝑑𝑠 =𝑣𝑑𝑣

𝑓 𝑣

Integrando, se obtiene

𝑑𝑠𝑠

𝑠0

= 𝑣𝑑𝑣

𝑓 𝑣

𝑣

𝑣0

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣𝑑𝑣

𝑓 𝑣

𝑣

𝑣0

o bien

PROBLEMA EJEMPLO 5

Una partícula se desplaza a lo largo de una línea recta de modo que

su aceleración se define como 𝑎 = (−2𝑣) m/s2, donde 𝑣 está en m/s.

Si 𝑣 = 20 m/s cuando 𝑠 = 0 y 𝑡 = 0, determine la posición, velocidad y

aceleración como funciones del tiempo..

PROBLEMA EJEMPLO 6

La aceleración de una partícula está definida por la relación 𝑎 = −𝑘 𝑣,

donde k es una constante. Si se sabe que en 𝑡 = 0, 𝑠 = 0 y 𝑣 = 81 m/s

y que 𝑣 = 36 m/s cuando 𝑠 = 18 m, determine

(a) La velocidad de la partícula cuando 𝑠 = 20 m,

(b) El tiempo requerido para que la partícula quede en reposo.

En la ecuación (4) sustituimos 𝑓 𝑠 por a, obteniendo

ACELERACIÓN VARIABLE COMO FUNCIÓN DE LA POSICIÓN, 𝒂 = 𝒇 𝒔

𝑓 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣

Integrando, y suponiendo que 𝑠 = 𝑠0 y 𝑣 = 𝑣0 cuando 𝑡 = 0, se escribe

𝑣𝑑𝑣𝑣

𝑣0

= 𝑓 𝑠 𝑑𝑠𝑠

𝑠0

𝑣2 = 𝑣02 + 2 𝑓 𝑠 𝑑𝑠

𝑠

𝑠0

o bien

De esta expresión integrada de 𝑣 en función de s, 𝑣 = 𝑔 𝑠 , se obtendrá

la posición integrando la ecuación (1), así

𝑑𝑡 =𝑑𝑠

𝑔 𝑠

Integrando, se obtiene

𝑑𝑡𝑡

0

= 𝑑𝑠

𝑔 𝑠

𝑠

𝑠0

𝑡 = 𝑑𝑠

𝑔 𝑠

𝑣

𝑣0

o bien

PROBLEMA EJEMPLO 6

La aceleración de una partícula que se desplaza a lo largo de una

línea recta es 𝑎 = (8 − 2𝑠) m/s2, donde s está en metros. Si 𝑣 = 0

cuando 𝑠 = 0, determine la velocidad de la partícula cuando 𝑠 = 2 m y

su posición cuando la velocidad es máxima.

PROBLEMA EJEMPLO 7

Un carrito está sujeto entre dos resortes cuyas espiras están muy

apretadas. En este caso, la aceleración viene dada por

𝑎 𝑠 = −𝑠 − 3𝑠2 m/s2, donde s esta en metros. Determinar la

posición máxima si tiene una velocidad 𝑣 = 2 m/s cuando 𝑠 = −1 m.

Ejercicios de autoevaluación

EJERCICIO 1

La posición de una partícula a lo largo de una línea recta está dada por

𝑥 = (1,5𝑡3 − 13,5𝑡2 + 22,5𝑡) m, donde t está en segundos. Realice un

análisis del movimiento y determine posición, velocidad, aceleración y

distancia recorrida en el intervalo de 6 s.

EJERCICIO 2

Una cuenta se mueve sobre un alambre recto de 60 mm que esta

sobre el eje s. La posición de la cuenta está dada por 𝑠 = 2𝑡2 − 10𝑡

mm, donde s se mide desde el centro del alambre y t es el tiempo en

segundos. Determine: (a) el tiempo en que la cuenta abandona el

alambre y (b) la distancia que ésta recorre desde 𝑡 = 0 hasta que deja

el alambre.

EJERCICIO 4

La aceleración (en m/s2) del punto P respecto al punto O está dada

como una función del tiempo por 𝑎 = 3𝑡2. Suponga que en 𝑡 = 0 la

posición y la velocidad de P son 𝑠 = 5 m y 𝑣 = 2 m/s. Determine la

posición y la velocidad de P en 𝑡 = 4 s.

EJERCICIO 3

Si 𝜃 = 1 rad, 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 1 rad/s, ¿cuál es la velocidad y la aceleración de

P respecto a O?

EJERCICIO 6

Un ingeniero que esta diseñando un sistema para controlar el puntero

de un proceso de maquinado, modela el sistema de manera que la

aceleración del puntero (en cm/s2) durante un intervalo de tiempo está

dado por 𝑎 = −0,4𝑣, donde 𝑣 es la velocidad del puntero en cm/s.

Cuando 𝑡 = 0, la posición es 𝑠 = 0 y la velocidad es 𝑣 = 2 cm/s. ¿Cuál

es la posición en 𝑡 = 3 s?

EJERCICIO 5

La velocidad de un objeto es 𝑣 = 200 − 2𝑡2 m/s. Cuando 𝑡 = 3 s, su

posición es 𝑠 = 600 m. ¿Cuáles son la posición y la aceleración del

objeto en 𝑡 = 6 s?

EJERCICIO 7

La lancha de la figura se mueve a 10 m/s cuando su motor se apaga.

Debido a la resistencia aerodinámica, su aceleración subsecuente es

𝑎 = −0,05𝑣2 m/s2, donde 𝑣 es la velocidad de la lancha en m/s.

¿Cuál es la velocidad de la lancha 4 s después de que se apaga su

motor?

EJERCICIO 8

La masa de la figura se libera desde el reposo con los

resortes sin estirar. Su aceleración hacia abajo es

𝑎 = 32,2 − 50𝑠 m/s2, donde s es la posición de la masa

medida desde la posición que se liberó. (a) ¿Qué distancia

cae la masa?. (b) ¿Cuál es la máxima velocidad de la

masa mientras cae?

EJERCICIO 9

Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se

muestra en la figura. La coordenada s mide el desplazamiento de la

masa respecto a su posición cuando el resorte no está estirado.

Suponga que el resorte no lineal somete a la masa a una aceleración

𝑎 = −4𝑠 − 2𝑠3 m/s2 y que se le da a la masa una velocidad 𝑣 = 1 m/s

en la posición 𝑠 = 0. (a) ¿Qué distancia se moverá la masa hacia la

derecha antes de que el resorte la detenga?. (b) ¿Qué velocidad

tendrá la masa cuando regrese a la posición 𝑠 = 0?