SIGNALS AND SYSTEMS 信号与系统 - Weeblyquan-zhou.weebly.com/uploads/3/1/1/3/31137783/3.pdf《信号与系统》signals and systems zbzb 3.3 傅里叶变换的性质及其应用

《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB《信号与系统》SIGNALS AND SYSTEMS ZB

南京邮电大学

通信与信息工程学院电子信息工程系

2010.8

SIGNALS AND SYSTEMSSIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统

第三章连续信号与系统的频域分析


第三章连续信号与系统的频域分析第三章连续信号与系统的频域分析

♦ 3.1 非周期信号的频谱♦ 3.2 一些常见信号的频域分析♦ 3.3 傅里叶变换性质及其应用♦ 3.4 拉普拉氏变换简介♦本章要点♦作业

♦ 3.1 非周期信号的频谱♦ 3.2 一些常见信号的频域分析♦ 3.3 傅里叶变换性质及其应用♦ 3.4 拉普拉氏变换简介♦本章要点♦作业

返回


3.1 非周期信号的频谱3.1 非周期信号的频谱

傅里叶变换傅里叶变换

返回

反变换称为傅里叶积分或傅氏—

∫∞

∞−= ωω

πω dejFtf tj)(

21)(

氏变换称为傅里叶正变换或傅—

∫∞

∞−

−= dtetfjF tjωω )()(

)()( )]([)()]([)( 1

ωωω

FtfFtftfF

↔

== −

或

记作 FF


傅里叶变换的存在性傅里叶变换的存在性

狄里赫勒条件修改为

(1) 在只有有限个不连续点；

(2) 在只有有限个极大值、极小值；

(3) 在绝对可积，即

∞<≤= ∫∫∞

∞−

∞

∞−

− dttfdtetfF tj )()()( ωω

)~( ∞−∞

)~( ∞−∞

)~( ∞−∞

这只是充分条件而非必要条件，如果引入广义函数

后，即使不满足此条件，甚至某些非功率非能量信号也可能存在傅氏变换。


3.2 一些常见信号的频域分析3.2 一些常见信号的频域分析

1. 矩形脉冲

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

<=⋅=

20

2)()( τ

τ

τt

tAtgAtf

)2

()( ωττω SaAF =幅度频谱

)(tf

t2τ

2τ

−

A

0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛===

−

−=

−==

−

−

−∫

22

)2

sin()2

sin(2

)2

sin(2)(

2

2

2

2

ωττωτ

ωτ

τω

ωτ

ω

τω

ωω

τ

τ

ωτ

τω

SaAAA

j

jA

jeAdtAeF

tjtj

θ ω( )

τπ2 ω

π

τπ2

−

τπ4

τπ4

−

π−0

ω

τA)(ωF

τπ2

− τπ2

τπ4

τπ4

−0

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

>⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=0

2

0)2

(0)(

ωτπ

ωτ

ωθSa

Sa相位频谱

返回


2. 三角形脉冲2. 三角形脉冲

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=Δ⋅=

τ

τττ

t

tt

AtAtf

0

1)()( 2

)(ωF即幅度频谱

ω

τA)(ωF

τπ2

−τπ2

τπ4

τπ4

−0

相位频谱为零

)(tf

tτ−

A

0 τ

)2

()2

(sin4 222

ωττωττω

SaAA==

∫∫ −==∞ τ

ωτ

ωω00

cos)1(2cos)(2)( tdttAtdttfF

∫∫ −=ττ

ωτ

ω00

cos2cos2 tdttAtdtA

∫−=τ

ωτωω

ωτ

0)(sin2sin2 ttdAA


3. 单边实指数脉冲3. 单边实指数脉冲 )()( tAetf tεα−=

ωα

ωα

εω

ωαωα

ωαω

jA

jAedteA

dtetAedtetfF

tjtj

tjttj

+=

+−==

==

∞+−∞+−

∞

∞−

−−∞

∞−

−

∫

∫∫

0

)(

0

)()(

)()()(

( )α > 0

22)(

ωαω

+=

AF幅度频谱

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=αωωθ arctan)(相位频谱

)(tf

t

A

0

ω

αA )(ωF

0

θ ω( )

ω

2π

0

2π

−


4. 单位冲激函数4. 单位冲激函数 )(tδ

t

)(tδ)1(

0

1)()( == ∫∞

∞−

− dtetF tjωδω

ω

1)(ωF

0

∫∞

∞−= ω

πδ ω det tj

21)(反变换

5. 直流信号5. 直流信号

)(2 ydxe jxy πδ=∫∞

∞−

±有

1)( =tf设

)(2)( ωπδω ω == ∫∞

∞−

− dteF tj则)2( π

ω

)(ωF

0

t

)(tf

0

1

（白噪声）（白噪声）


6. 虚指数信号6. 虚指数信号

)(2

)(

0

)( 00

ωωπδ

ω ωωωω

−=

== ∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

− dtedteeF tjtjtj

tje 0ω)2( π

ω

)(ωF

0 0ω

)]()([

)(2

1sin

)]()([

)(21cos

00

0

00

0

00

00

ωωδωωδπ

ω

ωωδωωδπ

ω

ωω

ωω

−−+↔

−=

−++↔

+=

−

−

j

eej

t

eet

tjtj

tjtj

叶变换正弦、余弦函数的傅里

)(π

ω

)(ωF

0 0ω0ω−

)(π

)(π

ω

)(ωjF

0 0ω0ω−

)(π


周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换 ∑∞

−∞=

=

n

tjnn eFtf T

0)( ω

∑

∑∞

−∞=

∞

−∞=

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

nn

n

tjnn

nF

eFF

)(2

)(

0

0

ωωδπ

ω ωF

∑∞

−∞=

−=

m

mTttT )()( δδ例如

Tdtet

TF

T

Ttjn

n1)(1 2

2

0 == ∫−− ωδ

)()(2)(000 ωδωωωδπω ω=−= ∑

∞

−∞=nn nFF

t

)(tδ)1(

0 ω

1)(0 ωF

0

t

)(tTδ)1(

0 TT− ω

nF

0 0ω0ω−

T1

ω

)(ωF

0 0ω0ω−

)( 0ω


7. 单位阶跃信号*7. 单位阶跃信号*

ωωπδω

jF 1)()( +=↔

)sgn(21

21)( tt +=ε

可以表示为t

)(tε

0

1

t0

21

t0

21

21

−

)sgn(21 t

)()( ωπδω =R

ωω 1)( −=I

= +

)(π

ω

)(ωR

0

ω

ω1

−

)(ωI

0

ω1

−

ω

ω1

−

)(ωI

0

ω1

−

)(ωR

)(π

θ ω( )

ω

2π

0

2π

−


3.3 傅里叶变换的性质及其应用3.3 傅里叶变换的性质及其应用

对任意信号都可以在时域和频域中进行描述，联系

这两种描述方法的纽带就是傅里叶变换。

傅里叶变换的性质揭示了信号的特性、运算在时域

和频域中的对应关系，当在某一个域中对信号进行分析和计算感到困难时，可以利用傅里叶变换的性质转换到另一个域中进行。

另外，根据定义求取傅里叶正、反变换时，不可避

免地会遇到麻烦的积分或信号不满足绝对可积的条件等问题，而利用傅里叶变换的性质则可以简捷地求得信号的傅里叶正、反变换。

返回返回


1. 线性1. 线性

),()()()()()()()()(

2121

2211为常数则

若

babFaFtbftafFtfFtf

ωωωω

+↔+

↔↔

例例

⎪⎩

⎪⎨⎧

><

==2021

)()( 42 tt

tgtf

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=↔2

)( 21

ωω SaF

)(2 tf

t2−

1

0 2

)(tf

t2− 0 2

2

1

)(1 tf

1− 0 1

1

t

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥≤−

=Δ=1011

)()( 21 ttt

ttf

)()()( 21 tftftf +=

( )ωω 24)(2 SaF =↔

)2(42

)()()()()()(

2

21

21

ωω

ωωω

SaSa

FFFtftftf

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

=+↔+=∴

返回


2. 对称性*2. 对称性*

)(2)()()(ωπ

ω−↔

↔

ftFFtf

则

若

∫∞

∞−= ωω

πω deFtf tj)(

21)(证明：

∫∞

∞−

−=− ωωπ ω deFtf tj)()(2

∫∞

∞−

−=− dtetFf

ttjωωπ

ω

)()(2

互相掉换，得和将上式中变量的符号

)(2)()()()(

ωπωω

ftFfftf

↔−= ，有为偶函数，则若

返回


利用对称性质可以方便地求得某些信号的傅里叶变换

或傅里叶反变换。

利用对称性质可以方便地求得某些信号的傅里叶变换

或傅里叶反变换。

)(2)(2)(21)()(1)()(

ωπδωπδωπωδ

=−=−↔=∴=↔=

ftFFttf∵

里叶变换。例如，求直流信号的傅

傅里叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中

的重要概念。

傅里叶变换的对称性质可以帮助我们理解工程实际中

的重要概念。

例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周

期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频谱必定是连续的、周期的。

例如，时域中连续的周期信号的频谱是离散的、非周

期的，根据对称性可知：时域中离散的、非周期信号的频谱必定是连续的、周期的。


例3-6-2 试求取样函数的频谱函数。例3-6-2 试求取样函数的频谱函数。

解：解：t

ttSa sin)( =

)()()(2)()(

)()(21)()(

)()(

22

2

ωπωπωπ

ωω

ggftSatF

tftgSaF

tSatF

=−=−↔=∴

=↔=

=

则

设

)(21

2 tg

t0

21

1− 1

)(tSa

t

1

0

ω

)(ωSa1

0

)(2 ωπg

01− 1 ω

π


3. 比例性（尺度变换）3. 比例性（尺度变换）

）为非零实常数（则

若

aa

Fa

atf

Ftf

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛↔

↔

ω

ω

1)(

)()(

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==⎯⎯ →⎯

↔>

∫

∫∞

∞−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

∞

∞−

−

aF

aadxexf

dteatfatfa

axjatx

tj

ωω

ω

1)(

)()(,0若证明：

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛↔

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−↔<

aF

aatf

aF

aatfa

ω

ω

1)(

1)(0

综合上述两种情况，得

，则同理可证，若

返回


)()(1 ω−↔−−= Ftfa ，则若

倍。）了沿频率轴扩展（或压缩则表示而

倍，）了沿时间轴压缩（或扩展表示函数函数

aFa

F

atfatf

)(

)()(

ωω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

一对矛盾。小所占用的频带宽度是减小脉冲宽度和希望减

冲数），度（每秒内所传送的脉术中，为了提高通信速

是一个常数。在通信技，即脉宽与带宽的乘积宽为

，其频谱的有效带冲宽度为以矩形脉冲为例，设脉

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τπ

τ

2


4. 时移性4. 时移性

( )ω

ωω Fettf

Ftftj 0)(

)()(

0−↔−

↔

则

若

)()(

)()()(

00

00 )(00

ωωωω

ωω

Fedxexfe

dxexfdtettfttf

tjxjtj

txjttxtj

−∞

∞−

−−

∞

∞−

+−−=∞

∞−

−

==

=⎯⎯⎯ →⎯−↔−

∫∫∫

，有定义根据傅里叶变换的证明：

域中产生附加相移。移，对应于其频谱在频表明函数在时域中的时

0

00

)()(

)(21)(

21)(

0

)(0

tj

tjtjttj

eFttf

deeFdeFttf

ω

ωωω

ω

ωωπ

ωωπ

−

∞

∞−

−∞

∞−

−

↔−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==− ∫∫

即

，有定义的或：根据傅里叶反变换

返回


既有时移又有尺度变换既有时移又有尺度变换

)0(

1)]([)(

)()(

0

00

0

≠

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛↔−=−

↔

−

ata

ea

Faa

ttaftatf

Ftf

atj

为实常数，且和

则

若

ωω

ω

。的频谱求图示三矩形脉冲信号例 )()(363 ωFtf−−

则

冲信号，表示中间的单个矩形脉解：设 )(0 tf

)()()()( 000 TtftfTtftf −+++=

)2

()()( 00ωττω SaAFtf =↔

2τ

2τ

−

)(tfA

TT−

)1)(()(

)()(

0TjTj eeFF

Ftfωωωω

ω−++=

为的频谱可得时移性，根据

)cos21)(2

( TSaA ωωττ +=

463P107

−−图

频谱图形见

返回


5. 频移性（调制定理）5. 频移性（调制定理）

( )00)(

)()(

ωω

ωω −↔

↔

Fetf

Ftftj则

若

)(

)()()(

0

)( 000

ωω

ωωωωω

−=

=↔ ∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

−

F

dtetfdteetfetf jtjtjtj

，有定义根据傅里叶变换的证明：

。移动

在频域中，对应于在时域中乘以表明

0

)()( 0

ωωω Fetf tj

)]()([21cos)( 000 ωωωωω ++−↔ FFttf

)]()([2

sin)( 000 ωωωωω −−+↔ FFjttf调制定理

返回


称为已调制信号—

称为载波信号—正弦或余弦信号

称为调制信号—信号

：幅度调制（振幅调制）

ttfty

tf

0cos)()(

)(

ω⋅=

f t( )

t0cosω

y t( )乘法器

)(tf

t

ttf 0cos)( ω

t

)(ωF

ω0 W

A

]cos)([ 0ttf ωF

ω0

W2

2A

0ω−W20ω

频分多路复用

P108 例3-6-2


6. 卷积定理6. 卷积定理

)()()()()()()()(

2121

2211ωω

ωωFFtftf

FtfFtf⋅↔∗

↔↔

则

若

∫∞

∞−−=∗ τττ dtfftftf )()()()( 2121证明：

[ ] ∫ ∫∞

∞−

−∞

∞− ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=∗ dtedtfftftf tjωτττ )()()()( 2121F

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= τττ ω ddtetff tj)()( 21

(1) 时域卷积定理(1) 时域卷积定理

[ ]∫∞

∞−

−= τωτ ωτ deFf j)()( 21

∫∞

∞−

−= ττω ωτ defF j)()( 12 )()( 12 ωω FF ⋅=

返回


例例)(1 tg

t21

21

−

1

0

)(2 tΔ

t1−

1

0 1

)(1 tg

t21

21

−

1

0

∗ =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=2

)]([ 1ωSatgF

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⋅=∗=Δ

222

)]([)]([)]()([)]([

2

11112ωωω SaSaSa

tgtgtgtgt FFFF

)()()()()()( ωωω HXYthtxty zszs ⋅=↔∗=方便：

响应将很域卷积定理求解零状态在系统分析中，利用时


7 傅里叶变换分析法7 傅里叶变换分析法

频域分析：研究系统在不同频率的信号激励下，其零

状态响应随频率变化的规律（频率响应特性）。

频域分析法（傅里叶变换分析法）：利用傅里叶变换

在频域中求解系统的零状态响应的方法。

频域分析：研究系统在不同频率的信号激励下，其零

状态响应随频率变化的规律（频率响应特性）。

频域分析法（傅里叶变换分析法）：利用傅里叶变换

在频域中求解系统的零状态响应的方法。

由线性时不变系统的数学模型

)()(')()()()(')()(

01)1(

1)(

01)1(

1)(

txbtxbtxbtxbtyatyatyatya

mm

mm

nn

nn

++++=++++

−−

−−

两边取傅氏变换，并利用时域微分性质，得

)(])()()([)(])()()([

011

1

011

1

ωωωωωωωωXbjbjbjb

Yajajajam

mm

m

nn

nn

++++=++++

−−

−−

返回


)()()()()()()()(

011

1

011

1 ωωωωωωωω X

ajajajabjbjbjbY n

nn

n

mm

mm

++++

++++= −

−

−−

)()( ωω XH=

也称频率响应特性称为系统的系统函数，

011

1

011

1)()()()()()()(

ajajajabjbjbjbH n

nn

n

mm

mm

++++

++++= −

−

−−

ωωω

ωωωω

傅里叶变换分析法的步骤：

(1) 求取激励的傅里叶变换；X ( )ωx t( )

(2) 确定系统的系统函数；H( )ω

(3) 计算响应的傅里叶变换；Y X H( ) ( ) ( )ω ω ω=

(4) 取的反变换，得。Y( )ω y t( ) 返回


8 系统特性的频域表征8 系统特性的频域表征 )(ωH系统函数描述了系统在零状态条件下，响应的

傅里叶变换与激励的傅里叶变换之间的关系，表征了系统自身的特性，与激励无关。

)(ωH

1. 系统函数的物理意义)(ωH

。征了同一个系统的特性时域和频域两个方面表

它们分别从是一对傅里叶变换对，和说明

时，当

)()()()()()(1)(

)()()()()()()()(

ωωωωωω

δδ

HthHHXYX

ththtthtxtyttx===

=∗=∗==

)(th(1) 系统函数是冲激响应的傅里叶变换)(ωH

返回


时域分析与频域分析的关系时域分析与频域分析的关系

)(tx )(th )()()( thtxty ∗=

)(ωX )(ωH )()()( ωωω HXY ⋅=


2. 系统函数的求解方法2. 系统函数的求解方法H( )ω(1) 从微分方程直接求解 (方程两边取傅里叶变换)(2) 对系统的冲激响应取傅里叶变换 h t H( ) ( )↔ ω

例3-8-1 已知描述系统的微分方程为

)(5)(')(2)('3)(" txtxtytyty +=++求系统函数。H( )ω

解：对微分方程观察，可直接求得

( ) ( ) 235)( 2 ++

+=

ωωωω

jjjH

返回


例3-8-4 若系统的微分方程为已知试求系统的零状态响应。例3-8-4 若系统的微分方程为已知试求系统的零状态响应。

)(')(6)('5)(" txtytyty =++

)()( tetx tε−=

)(tyzs响应用频域分析法求零状态解：

11)]([)(+

==ω

ωj

txX F

65)()( 2 ++=

ωωωω

jjjH

)3)(2(11)()()(

++⋅

+==

ωωω

ωωωω

jjj

jHXY

323

22

121

+

−+

++

+

−=

ωωω jjj

)(]232

21[)( 32 teeety ttt

zs ε−−− −+−=∴返回


3.4 拉普拉斯变换3.4 拉普拉斯变换

返回

3.4.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号不满足绝对可积条件的原因是：

不趋于零。时，或当 )(tftt −∞→∞→

只要 σ取得合适，很多函数(几乎所有常用的函数)都可以满足绝对可积的条件。

称 σ为衰减因子； e-σ t为收敛因子。

一. 引进广义函数(傅氏变换)二. 拉氏变换(无需引进广义函数)

若 f(t) 不满足狄里赫勒条件，我们为了能获得变换域中的函数，人为地用一个实指数函数e-σ t 去乘 f (t) 。

解决的方法：


取 f(t)e-σ t的傅里叶变换：取 f(t)e-σ t的傅里叶变换：

∫∞

∞−

−−− = dteetfetf tjtt ωσσ )(])([F ∫∞

∞−

+−= dtetf tj )()( ωσ

的函数，可以表示成它是 ωσ j+

( )F j f t e d tj tσ ω σ ω+ = − +

−∞

∞

∫ ( ) ( )

∫∞

∞−

− += ωωσπ

ωσ dejFetf tjt )(21)(

其傅里叶反变换为

∫∞

∞−

++= ωωσπ

ωσ dejFtf tj )()(21)(故


∫∫

∞+

∞−

∞

∞−

−

=

=

+=

j

j

st

st

dsesFj

tf

dtetfsF

js

σ

σπ

ωσ

)(21)(

)()(

以改写为为复频率，则变换式可记

双边拉普拉斯正变换

双边拉普拉斯反变换

上两式称为双边拉普拉斯变换对，可以表示为

)()( sFtf ↔

拉氏变换扩大了信号的变换范围。

变换域的内在联系

时域函数傅氏变换)(tf 频域函数 )(ωF

时域函数拉氏变换)(tf 复频域函数 )(sF


本章要点本章要点

♦ 1.非周期信号的频谱：– 傅里叶变换对的定义

– .一些常见信号的频域分析：

– 典型信号的傅里叶变换（P101表3-1）

♦ 2.傅里叶变换的性质及其应用（P116表3-2）

♦ 3. 连续系统的频域分析：– 系统函数的求解方法：从系统的微分方程求解、频域中求解零状态响应的步骤

♦ 4.拉氏变换

♦ 1.非周期信号的频谱：– 傅里叶变换对的定义

– .一些常见信号的频域分析：

– 典型信号的傅里叶变换（P101表3-1）

♦ 2.傅里叶变换的性质及其应用（P116表3-2）

♦ 3. 连续系统的频域分析：– 系统函数的求解方法：从系统的微分方程求解、频域中求解零状态响应的步骤

♦ 4.拉氏变换

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作业作业

♦ 3-7⑺， 3-8(1,4)

♦ 3-20

♦ 3-7⑺， 3-8(1,4)

♦ 3-20

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