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Simulação de escoamentos não-isotérmicos 2D em slits usando o
método de lattice Boltzmann
João Miguel Amaral Chambel Leitão
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Mecânica
Júri
Presidente: Doutor Luís Rego da Cunha de Eça
Orientador: Doutor Viriato Sérgio de Almeida Semião
Vogal: Doutor Pedro Jorge Martins Coelho
Outubro 2013
i
Agradecimentos
Gostaria de agradecer em primeiro lugar ao meu orientador, o Professor Viriato Semião, pela
espírito inconformista e exigente com que sempre orientou o meu trabalho e me ajudou a progredir
como aluno.
Em segundo lugar, quero agradecer ao Doutor Gonçalo Silva, que participou de forma
determinante na co-orientação desta tese e foi companheiro de gabiente durante largos meses, pela
ajuda que me deu a compreender e a falar a linguagem do universo do lattice Boltzmann, tendo tido
sempre uma disponibilidade e paciência incríveis para me responder a todas as dúvidas.
Não posso deixar de expressar um agradecimento especial ao meu colega e amigo Manuel
Ferreira, pela ajuda que me deu no final da tese para que eu tivesse condições de a entregar.
Agradeço ao Professor Luís Eça pela ajuda que me deu na utilização do Fluent.
Agradeço a todos os colegas que me foram mais próximos e me acompanharam neste percurso
pelo Técnico, muito em particular à Joana Neto e ao Vítor Leite, pela amizade e crescimento que me
proporcionaram.
Agradeço também, de forma particular, ao Joaquim Viegas, muitas vezes companheiro nas
horas de almoço, com quem tive inúmeras discussões que sempre me ajudaram a olhar o mundo com
novas perspectivas.
Agradeço aos meus pais por todo o apoio e incentivo que sempre me deram a poder estudar e
pôr a render os meus talentos. Agradeço-lhes muito a paciência para com o meu estilo de vida mais
anárquico durante a execução desta tese.
Agradeço a toda a minha restante família, especialmente aos meus irmãos, que fazem com que
eu possa, mesmo na aparente confusão, ter uma casa onde repousar.
Por último, e não menos importante, agradeço à Sara Filipa que incessantemente me apoiou,
principalmente nas alturas em que nada parecia estar a correr bem, e cuja paciência e afecto foram um
bálsamo.
ii
Resumo
O método de lattice Boltzmann é um método numérico que tem ganho crescente popularidade
na comunidade de desenvolvimento de CFD, mas que para a resolução de escoamentos não-
isotérmicos apresenta ainda modelos limitados.
O presente trabalho tem como objectivo estudar este tipo de modelos, implementando-os
computacionalmente, com vista a resolver um problema de referência – o escoamento de Poiseuille
entre paredes rectas, paralelas e infinitas – quer em condições isotérmicas, quer quando são impostos
fluxo de calor ou temperatura constantes nas paredes.
São apresentados modelos que resolvam tanto a parte hidrodinâmica como a parte térmica do
escoamento, assim como os respectivos esquemas de condições de fronteira, para o problema em
estudo.
Os resultados do estudo da forma isotérmica do problema são comparados com a solução
analítica, e para a maioria das condições de fronteira implementadas, as soluções apresentam boa
concorddância entre si.
Para escoamentos com fluxo imposto na parede, excelente concordância foi alcançada entre as
soluções numérica e analítica para uma larga gama de valores para os parâmetros do escoamento, com
excepção dos nós nos cantos à saída do canal, onde o erro foi significativamente maior que no resto do
domínio
Para escomentos com temperatura imposta, os perfis de temperatuda adimensional foram
comparados com os perfis adimensionais de simulações equivalentes realizadas no Fluent. Os
resultados aparentam ter uma concordância satisfatória entre si, com destaque para os números de
Nusselt.
Os resultados obtidos com o método de lattice Boltzmann para escoamentos não-isotérmicos
comprovaram a sua consistência e são encorajadores para trabalho futuro.
Palavras-chave: métodos numéricos, método de lattice Boltzmann, métodos térmicos de lattice
Boltzmann, condições de fronteira, escoamento de Poiseuille, transferência de calor
iii
Abstract
The lattice Boltzmann method is a numerical method which has become increasingly popular
among CFD developers, although the models for solving non-isothermal flows still present some
limitations.
The present work aims to study these types of models, by implementing them
computationally, in order to solve a reference problem – the Poiseuille flow between straight, parallel
and infinite walls – for both isothermal conditions and constant heat flux or constant temperature
imposed at the walls.
Models for solving both the hydrodynamic and thermal part of the flows, as well as the
respective boundary condition schemes, are presented for the problem under study.
The results for the study of the isothermal form of the problem are compared with the
analytical solution and, for the majority of the boundary condition schemes implemented, good
agreement between both was found.
For flows with imposed heat flux at the wall, excellent agreement was found between the
numerical and analytical solutions for a variety of values for flow parameters, with exception for the
outlet corners, where the error was significantly larger than for the rest of the domain.
For flows with imposed temperature wall, nondimensional temperature profiles were
compared with those from equivalent simulations performed with Fluent. Results appear to be in
satisfactory agreement with each other, particularly, for the Nusselt numbers.
The results obtained with the lattice Boltzmann method for non-isothermal flows show their
consistency and are encouraging for future work.
Keywords: numerical methods, lattice Boltzmann method, thermal lattice Boltzmann method,
boundary conditions, 2D Poiseuille flow, heat transfer
iv
Índice
Agradecimentos __________________________________________________________________ i
Resumo _______________________________________________________________________ ii
Abstract _______________________________________________________________________ iii
Lista de Figuras _________________________________________________________________ vi
Lista de tabelas _________________________________________________________________ ix
Nomenclatura __________________________________________________________________ x
1 Introdução ______________________________________________________________ 1
1.1 Âmbito e Objectivos _______________________________________________________ 1
1.2 Revisão da literatura _______________________________________________________ 3
1.2.1 LGA ( Lattice- Gas Automata) ___________________________________________ 3
1.2.2 LBM aplicado a escoamentos isotérmicos __________________________________ 4
1.2.3 LBM aplicado a escoamentos não-isotérmicos _______________________________ 6
1.2.4 Modelação clássica para o caso de estudo ___________________________________ 8
1.3 Contribuições da presente tese _______________________________________________ 9
1.4 Estrutura da tese _________________________________________________________ 10
2 Fundamentos do LBM para escoamentos isotérmicos ___________________________ 11
2.1 Teoria e método __________________________________________________________ 11
2.1.1 Discretização da equação de Boltzmann ___________________________________ 12
2.1.2 A lattice ____________________________________________________________ 14
2.1.3 Expansão de Chapman-Enskog: da LBGK a Navier Stokes ____________________ 15
2.1.4 Condições de fronteira _________________________________________________ 17
2.2 Resultados para escoamento de Poiseuille _____________________________________ 21
2.2.1 Condições de fronteira periódicas (escoamento completamente desenvolvido) _____ 23
2.2.2 Condições de fronteira de velocidade de Zou He (entrada) ____________________ 25
2.2.3 Condições de fronteira de pressão de Zou He (entrada/saída) em escoamento
completamente desenvolvido ___________________________________________________ 29
2.3 Síntese conclusiva ________________________________________________________ 33
3 LBM para escoamentos não-isotérmicos ______________________________________ 34
3.1 Função distribuição _____________________________________________________ 34
3.2 Modelo não-isotérmico discreto _____________________________________________ 35
3.3 Expansão de Chapman-Enskog ______________________________________________ 38
3.4 Condições de fonteira _____________________________________________________ 38
v
3.5 Solução analítica para campo de temperaturas com fluxo imposto na parede __________ 40
3.6 Resultados e discussão ____________________________________________________ 43
3.6.1 Resultados com CF de fluxo imposto _____________________________________ 45
3.6.2 Resultados com CF de temperatura imposta ________________________________ 54
4 Conclusões ____________________________________________________________ 61
4.1 Sintese conclusiva ________________________________________________________ 61
4.2 Propostas de trabalho futuro ________________________________________________ 64
5 Bibliografia ____________________________________________________________ 65
vi
Lista de Figuras
Figura 1.1 - Domínio e lattice no LGA ................................................................................................................... 3
Figura 1.2 - Escoamento de Poiseuille 2D entre duas placas .................................................................................. 8
Figura 2.1 - Estrutura do modelo da lattice D2Q9 ................................................................................................ 15
Figura 2.2 - Domínio com uma fronteira com uma lattice D2Q9. Adaptado de [1]. .................................... 18
Figura 2.3 –Representação esquemática do algoritmo que as condições de bounceback seguem para o (a)
esquema fullway e o (b) esquema halfway. representa o domínio e representa a fronteira. Adaptado de
[1]. ................................................................................................................................................................ 19
Figura 2.4 - Domínio computacional com uma topologia plana visto com uma topologia cilíncrica, indicando que
existe uma força periódica na direcção em que o domínio é flectido. .......................................................... 21
Figura 2.5 - Dimensões do domínio. X e Y representam a dimensão em número de nós ..................................... 22
Figura 2.6 - Ordem de convergência para CF periódicas com bounceback nas paredes e com valores de 0.6 e
0.9 ................................................................................................................................................................. 24
Figura 2.7 - Comparação entre os perfis numérico e analítico com bounceback na parede e CF periódicas ........ 24
Figura 2.8 - Campo de velocidades num escoamento desenvolvido em todo o domínio. ..................................... 25
Figura 2.9 - Ordem de convergência com CF de velocidade com Zou He nas paredes, para Re=20. A escala é
logarítmica para ambos os eixos................................................................................................................... 27
Figura 2.10 – Campo de velocidades com perfil uniforme de velocidade à entrada. ............................................ 27
Figura 2.11 - Queda de pressão ao longo do domínio, numa linha de nós no centro do canal, quando é imposto
um perfil de velocidades uniforme à entrada. ............................................................................................... 28
Figura 2.12 - Ordem de convergência para CF de velocidade e Zou He nas paredes, Re=20. A escala é
logarítmica para ambos os eixos................................................................................................................... 29
Figura 2.13 - Campo de velocidades para diferença de pressão entre entrada e saída e bounceback nas paredes. 30
Figura 2.14 - Evolução da pressão ( a menos de uma constante) numa linha de nós longitudinal (sentido do
escoamento) a meio do canal. ....................................................................................................................... 31
Figura 2.15 - Campos de velocidade para diferença de pressão entre entrada e saída. A figura da esquerda ilustra
o campo para uma malha de 60x20 nós e a da direita uma malha de 120x40 nós. Resultados específicos
para tempo de relaxação aqui apelidado de mágico e Re=20. ...................................................................... 31
vii
Figura 2.16 – Componente y da velocidade quando é imposta diferença de pressão à entrada e saída e é aplicado
o esquema de Zou He nas paredes. ............................................................................................................... 32
Figura 3.1- Balanço de energia a volume de controle ........................................................................................... 41
Figura 3.2 – Linhas isotérmicas na região termicamente desenvolvida, obtido analiticamente, para um
escoamento com fluxo imposto na parede. ................................................................................................... 45
Figura 3.3 – Linhas isotérmicas, na região termicamente desenvolvida do domínio, resultante das simulações
numéricas do escoamento com fluxo imposto na parede. Simulação obtida para ,
, , 120x40 nós. .......................................................................................................... 46
Figura 3.4 - Evolução da temperatura média (Tmédia) e da temperatura na superfície do canal (Tparede) nas
simulações de escoamentos com fluxo imposto na parede. .......................................................................... 47
Figura 3.5 – Linhas isotérmicas calculadas numericamente para um domínio de 120x40 nós e os seguintes
parâmetros: , , , . ........................................................................... 47
Figura 3.6 - Valor do erro dos nós na região termicamente desenvolvida nos quais este foi calculado, para uma
simulação com 120x40 nós, , , , . .................................................. 48
Figura 3.7 - Ordem de convergência para valores de 0.2, 0.3 e 0.4 para o tempo de relaxação , e ,
, ................................................................................................................................... 50
Figura 3.8 - Perfis de temperatura calculados analítica e numericamente numa secção transversal da região
termicamente desenvolvida. Parâmetros de simulação: 120x40 nós, , , ,
. ..................................................................................................................................................... 50
Figura 3.9 - Campo de temperaturas para um domínio de 240x40 nós e os seguintes parâmetros: ,
, , . ................................................................................................................ 51
Figura 3.10 – Linhas isotérmicas de para um escoamento com um número de Prandtl ................... 52
Figura 3.11 - Comparação dos perfis de para simulações do mesmo escoamento usando o software Fluent e o
código de LBM produzido. Os parâmetros da simulação são: , , , ,
. ..................................................................................................................................................... 55
Figura 3.12 - Resultados de para diferentes tempos de relaxação , para um domínio com 300x100nós,
, , , .............................................................................................. 55
Figura 3.13 - Perfis de para diferentes números de nós em Y, mantendo o aspect ratio, para .......... 56
Figura 3.14 - Perfis de para diferentes números de nós em Y, mantendo o aspect ratio, para .......... 56
viii
Figura 3.15 - Perfis de para e obtidos das simulações de Fluent e do código de LBM ........ 57
Figura 3.16 - Perfis de teta para e obtidos das simulações de Fluent e do código de LBM ..... 57
Figura 3.17 - Detalhe do centro do perfil para escoamentos com diferentes números de Prandtl das figuras (a)
3.15 e (b)3.16 ............................................................................................................................................... 57
Figura 3.18 - Perfis de para obtidos através do Fluent e do código de LBM ..................................... 58
Figura 3.19- linhas isotérmicas típico para as várias simulações de LBM ........................................................ 58
Figura 3.20 – Linhas isotérmicas para uma simulação com Re=10. ..................................................................... 59
Figura 3.21 – Linhas isotérmicas para uma simulação com Re=40 ...................................................................... 59
ix
Lista de tabelas
Tabela 2.1 – Erro(%) e ordem de convergência para CF periódicas e bounceback nas paredes ........................... 23
Tabela 2.2 - Erro(%) e ordem de convergência para CF de velocidade e bounceback nas paredes ...................... 26
Tabela 2.3 – Tabela 2.4 - Erro(%) e ordem de convergência para CF de velocidade e Zou He nas paredes ........ 28
Tabela 3.1 - Erro(%) em função do número de nós do domínio e dos valores dos tempos de relaxação .............. 49
Tabela 3.2 - Variação do valor do erro(%) com o Re, para simulações com , , ,
domínio de 120x40 nós. ............................................................................................................................... 51
Tabela 3.3 - Variação do erro(%) com o número de Prandtl em simulações com , ,
, domínio de 120x40 nós ............................................................................................................... 52
Tabela 3.4 - Variação do erro(%) com o aumento do valor do fluxo imposto num domínio com 120x40 nós e
, ...................................................................................................................... 53
Tabela 3.5 - Valor do número de Nusselt para diferentes discretizações do domínio para , ,
....................................................................................................................................... 53
x
Nomenclatura
Força por unidade de massa
Intensidade da velocidade discreta
Calor específico
Velocidade do som na lattice
Dimensão do espaço
Diâmetro hidráulico
Energia interna
Função distribuição
Função distribuição de equilíbrio
Função distribuição de não equilíbrio
Termo da força externa
Função distribuição de energia interna
Meia distância entre as placas
Coeficiente de convecção
Matriz identidade
Condutividade térmica
Caudal mássico
Vector booleano
Pressão
Fluxo de calor
Termo de fonte de calor
Constante do gases perfeitos
Instante de tempo
Temperatura
Temperatura média
Temperatura média inicial
Temperatura na superfície
Vector velocidade
Componentes x e y do vector velocidade
Vector da velocidade na fronteira
Velocidade máxima
Pesos da lattice
Vector de posição
X Número de nós londitudinais num domínio
xi
Símbolos gregos
Difusividade térmica
Domínio
Fronteira do domínio
Passo no tempo
Passo espacial
Operador de colisão no LGA
Número de Knudsen
Temperatura adimensional
Viscosidade dinâmica
Viscosidade cinemática
Velocidade discreta da lattice
Fluxo de quantidade de movimento
Densidade
Densidade inicial
Massa volúmica
Tempo de relaxação para evolução de
Tempo de relaxação par a evolução de
Termo da dissipação viscosa
Operador colisão para evolução de
Operadores matemáticos
Coordenadas do vector de posição
Y Número de nós transversais num domínio
Termo discreto da dissipação viscosa
Derivada parcial em ordem ao tempo
Derivada total em ordem a
Derivada Lagrangiana
Operador gradiente
Operador divergência
Operador integral
Operador somatório
xii
Números adimensionais
Número de Reynolds
Número de Prandtl
Número de Nusselt
Número de Knudsen
1
1 Introdução
1.1 Âmbito e Objectivos
Nos tempos actuais, o progresso científico processa-se a um ritmo célere, novas tecnologias
são desenvolvidas, novos desafios para a engenharia surgem constantemente. Como consequência, há
necessidade de estudar problemas mais complexos, e num paradigma diferente. A tecnologia tende
continuamente para um nível de sofisticação maior, acompanhada de miniaturização de componentes,
utilização de novos materias, necessidades energéticas e de eficiência diferentes, entre outros aspectos.
Em áreas como a micro-electrónica ou a bioengenharia, têm surgido desafios objectivos
relacionados com o estudo de alguns fenómenos no âmbito da mecânica dos fluídos e da transmissão
de calor, para os quais se reconhecem limitações dos métodos numéricos convencionais de reproduzir
esses fenómenos de forma satisfatória[1][2].
Por outro lado, tem-se assistido a uma mudança de paradigma na computação na última
década. Até cerca de 2004, o objectivo no desenvolvimento de processadores foi aumentar a sua
frequência, reduzindo assim o tempo que uma operação algébrica levaria a ser realizada. No entanto,
chegou-se a um ponto em que a potência consumida e dissipada como calor se tornaram
economicamente inviáveis – o chamado speed/power-tradeoff. E é neste contexto que a computação
paralela ganha uma importância central na comercialização de hardware, e por sua vez no cálculo
numérico[3].
A computação paralela tem associada a si duas vantagens importantes: execução de tarefas,
ou em simultâneo em cada núcleo de processamento, ou em paralelo; e existência de um ponto de
dissipação de calor por cada núcleo de processamento. Contudo, também comporta a exigência de que
os processos requeiram pouca potência de processamento ou que sejam paralelizáveis.
Neste contexto, surge um método numérico como ferramenta útil e capaz de dar resposta a
muitos destes desafios – o método de lattice Boltzmann (LBM – Lattice Boltzmann Method).
Nos métodos numéricos tradicionais, a forma de obter o valor das quantidades macroscópicas
(temperatura, velocidade, etc) passa por resolver, de forma discreta, balanços dessas mesmas
quantidades num volume de controlo, como é o caso das equações de Navier Stokes. Por sua vez, o
LBM é baseado numa equação da cinética microscópica [4] – a equação de Boltzmann – que resolve a
evolução de uma única entidade idealizada: a função distribuição de partículas, 1, também
1 representa um conjunto de partículas que se encontram numa posição e se movimentam a uma velocidade
no instante .
2
chamada função distribuição de densidade. É a partir dos momentos de velocidade microscópica dessa
função distribuição que são calculadas, posteriormente, quaisquer variáveis macroscópicas.
A ideia subjacente à resolução desta equação, e ao próprio LBM, é de que o comportamento
colectivo das partículas (moléculas, átomos, etc)2, na sua movimentação e colisões entre si, reproduz
assimptoticamente o comportamento de um escoamento sem ser afectado pelos detalhes da física
microscópica [1].
Enquanto método numérico, o LBM destaca-se sobretudo pelas seguintes vantagens [5][6]:
O operador de transporte convectivo (ou processo de propagação) do LBM no espaço de
velocidades é linear. Só o processo de colisão, que é local, tem termos não lineares;
Existe uma equação explícita para a pressão, ao contrário dos métodos tradicionais em que
é necessário resolver uma equação de Poisson;
Condições de fronteira complexas podem sem formuladas por um conjunto de regras
simples;
O código computacional é simples e virtualmente 100% paralelizável.
Ainda que o número de utilizadores do LBM seja ainda algo limitado, estas vantagens têm tido
um contributo muito relevante para a sua crescente popularidade, com destaque para o aspecto da
paralelização, visto ser um assunto com crescente interesse na comunidade de desenvolvimento de
CFD (em particular a utilização de GPU’s3). No entanto, apesar da sua contribuição para a
popularização do LBM, estas vantagens só são relevantes na medida em que a precisão do método se
verifica de facto.
Cerca de 25 anos após a sua introdução, essa precisão pode ser reconhecida nos vários tipos de
problemas que o LBM é capaz de resolver, quer para casos de referência, quer para problemas reais de
engenharia, tais como escoamentos em meios porosos, partículas em suspensão, escoamentos
multifásicos ou escoamentos turbulentos [2]. Contudo, este aparente sucesso encontra-se limitado
ainda a problemas isotérmicos.
No que diz respeito à resolução de problemas não isotérmicos, este método apresenta ainda
falta de soluções satisfatórias, capazes de competir com os métodos convencionais. As limitações que
possui estão relacionadas, sobretudo, com a instabilidade numérica, forma de inclusão de termos de
fonte e implementação de condições de fronteira que não de Dirichlet para superfícies com geometrias
complexas[7].
Neste âmbito, o presente trabalho tem como objectivo o estudo e a implementação
computacional de modelos do LBM, com foco especial em modelos para escoamentos não-
isotérmicos, e a sua verificação com soluções analíticas ou numéricas existentes. Em particular, será
resolvido um caso de referência, o escoamento de Haggen-Poiseuille, quer em condições isotérmicas
2 A escala em que se estuda o comportamento colectivo das moléculas é designada mesoescala.
3 GPU é a sigla inglesa para Unidade de Processamento Gráfico, um tipo de microprocessador que integra as placas gráficas
utilizadas nos computadores pessoais, e que chega a conter centenas de núcleos de processamento.
3
para aferição deste modelo, quer no caso de haver imposição de temperatura ou fluxo constantes nas
paredes.
1.2 Revisão da literatura
1.2.1 LGA ( Lattice- Gas Automata)
O LBM nasce a partir do LGA (Lattice-Gas Automata), um modelo boleano de propagação e
colisão de partículas, com vista a obter soluções numéricas para equações de conservação de massa e
balanço de quantidade de movimento. A ideia sustentadora do LGA é de que, num domínio
discretizado em N pontos, como o exemplificado na Figura 1.1, a informação é transmitida de uns nós
para os outros (na forma de partículas) através de processos de propagação e colisão, numa estrutura
chamada lattice[8].
A lattice pode ser encarada como um campo de velocidades discreto em torno de um nó do
domínio que liga esse mesmo nó aos nós da vizinhança. Exemplificando a partir da Figura 1.1, se cada
nó tem 6 nós na sua vizinhança, então é necessária uma lattice com 6 velocidades discretas ( ).
É importante salientar que a estrutura da lattice é definida com base num conjunto de
constrangimentos, definidos na literatura [9], deduzidos para garantir que a lattice possua a simetria
necessária e, assim, possa recuperar assimptoticamente o comportamento da EDP4 que se pretende
reproduzir. O resultado destes constrangimentos é uma estrutura que possui um número determinado
de velocidades discretas, às quais são atribuídas um peso, uma direcção e um sentido. A norma destas
velocidades é sempre a distância entre nós a dividir pelo passo no tempo.
Figura 1.1 - Domínio e lattice no LGA
4 EDP – Equação Diferencial Parcial
4
Neste método, cada nó do domínio é caracterizado por um vector de dimensão igual ao
número de velocidades da lattice, e que contém uma informação booleana ( = 1 ou 0) dependente de
haver ou não uma partícula a mover-se na direcção .
O modelo desenvolve-se em dois passos espaciais por cada passo no tempo: a propagação das
partículas, em que estas se deslocam de uns nós para os outros vizinhos; a colisão, que resulta do
encontro de várias partículas no mesmo nó, e que determina qual será o destino dessas mesmas
partículas no passo de tempo seguinte. A colisão no LGA obedece também a um conjunto de regras
definidas na literatura[10], que garantem a conservação do número de partículas e a quantidade de
movimento linear. A equação que rege estes dois fenómenos e, consequentemente, o LGA apresenta-
se a seguir:
(1.1)
Esta equação, exemplificando a partir da Figura 1.1, diz que o valor da posição no vector
no ponto A, no intante , é igual ao valor de no ponto B (para o caso de ), no intante ,
afectado pelo efeito da colisão - (operador da colisão na direcção ).
1.2.2 LBM aplicado a escoamentos isotérmicos
O primeiro aparecimento do LBM data a 1988, em que os autores McNamara e Zanetti[11]
usaram a estrutura e o conceito do LGA, mas substituíram a entidade booleana , responsável pelo
ruído estatístico que inviabilizava muitas das suas soluções, por uma entidade contínua: a função
distribuição de partículas . Os autores propuseram também que a evolução da função
distribuição fosse regida por uma equação de Boltzmann, derivada a partir do lattice-gas. Foi então
proposta a equação que deve reger o LBM:
(1.2)
A base do LBM só é de facto concluída quando é introduzido um modelo de colisão viável na
equação 1.2, capaz de substituir os modelos utilizados no LGA: o modelo de colisão BGK[12]5. Este
modelo é recuperado do trabalho produzido por Bhatnagar, Gross e Krook na década de 1950 [13], e
baseia-se na ideia de que a função distribuição se aproxima do seu equilíbrio a um ritmo definido por
um tempo de relaxação , sendo essa aproximação tanto mais rápida quando menor for o número de
colisões; esse estado de equilíbrio é descrito pela distribuição de equilíbrio de Maxwell-Boltzmann6.
Este modelo permitiu conferir uma formulação simples para aquele que é o termo da equação mais
complexo de resolver - o termo da colisão7.
5 O modelo de colisão BGK tem a seguinte expressão:
;
6 Equação de equilíbrio de Maxwell-Boltzmann:
⁄ (
)
7 O modelo de colisão BGK e as equações das notas anteriores serão formalmente apresentados no capítulo 2.
5
À semelhança da equação em que se baseia o método, também a estrutura da lattice foi alvo de
uma investigação derivada da que já havia sido feita para o LGA[14], tendo sido propostas novas
estruturas, particularmente em 3D[15]. Algumas das novas propostas vieram mesmo com
modificações nas próprias definições do modelo base do LBM, como é o caso do modelo
incompressível D2Q9i8, que propõe uma definição particular do momento estatístico de primeira
ordem da função distribuição, e não somente a estrutura[16]. Todo o trabalho em busca das estruturas
mais estáveis, e que melhor capturem a física dos escoamentos, têm por base regras muito semelhantes
às definidas para o LGA[17].
Uma das contribuições fundamentais que viabiliza o uso deste método, sendo uma presença
constante nos vários artigos publicados sobre o assunto, é a utilização da expansão de Chapman-
Enskog. A expansão de Chapman-Enskog é uma expansão multi-escala que permite recuperar as
equações de Navier Stokes, no limite incompressível, a partir da equação de lattice Boltzmann. O
recurso a esta ferramenta permite não só fazer uma verificação teórica do modelo, mas também obter
uma relação entre o tempo de relaxação (presente no modelo BGK) e a viscosidade cinemática, e obter
uma equação de estado para a pressão em função da densidade[18].
A estas contribuições basilares seguiram-se muitos desenvolvimentos importantes na
concepção de condições de fronteira durante toda a década seguinte (inícios de 1990 até inícios de
2000).
O primeiro grande desenvolvimento foram as condições de fronteira bounceback para
condições de não escorregamento, e que se baseia na ideia de que a partícula que colide com a parede
é devolvida com o sentido oposto ao nó de onde partiu[19,20]. É ainda hoje o tipo de condição de
fronteira mais popular pela sua simplicidade de implementação e adequação para simulações em
geometrias complexas, tais como os meios porosos[2]. Encerra, no entanto, a desvantagem de não
possuir precisão de segunda ordem a não ser para alguns casos de geometrias simples nas
fronteiras[21].
Outras condições de fronteira foram entretanto desenvolvidas, entre as quais as mais populares
são a condição de fronteira por extrapolação[6], extrapolação de não equilíbrio[22], condição de
counter-slip velocity[23], e condições de fronteira de “Zou He”[24], em alusão aos autores. Destacam-
se as últimas, muito utilizadas por terem precisão de segunda ordem e capazes de modelar condições
de fronteira de não escorregamento, de pressão e de velocidade, e de lidarem correctamente com a
modelação dos cantos do domínio físico.
Foram também propostas condições de fronteira para geometrias de paredes curvas, as quais
ficaram consolidadas com o trabalho de Filippova e Hänel por terem-nas estabeleceram com precisão
de segunda ordem[25]. Vários trabalhos lhe sucederam, propondo também soluções com o mesmo
nível de precisão, mas com diferentes abordagens de modo a simplificar a sua implementação[26,27].
8 Esta nomenclatura significa que o modelo é baseado numa lattice com 9 direcções (Q9) num espaço bidimensional (D2)
6
As condições de fronteira periódicas são também muito utilizadas pela sua simplicidade e
robustez, e consistem em substituir o gradiente de pressão por uma força volúmica constante aplicada
ao fluido[28,29]. Especialmente no teste de condições de fronteira em problemas de referência elas são
muito utilizadas pela capacidade que têm de não fazer variar a densidade, evitando assim os erros de
compressibilidade[30].
No contexto do uso de LBM para modelar escoamentos em microfluídica, em números de Kn
(Knudsen)9 da ordem de 10
-3 ou maior, existe a necessidade de condições de fronteira que modelem o
fenómeno de escorregamento na parede, de modo que as mesmas também têm sido desenvolvidas e
muito trabalho tem sido activamente feito para simular as várias condições com diferentes números de
Knudsen[31].
Um campo de investigação que pode tornar ainda mais predominante as condições de fronteira
de bounceback é o que envolve os chamados magic numbers[32]. Os magic numbers são valores
específicos para o tempo de relaxação que anulam os erros de segunda ordem, e que existem,
teoricamente, para cada escoamento estacionário e condições de fronteira específicas. Apenas existem
alguns destes números deduzidos para casos de referência, fazendo desta uma área que carece de
muita investigação.
1.2.3 LBM aplicado a escoamentos não-isotérmicos
A aplicação do LBM a escoamentos não isotérmicos foi estudada pela primeira vez por
Alexander e co-autores[33], em cujo trabalho os autores recuperam também a equação de conservação
de energia a partir da equação de Boltzmann (com o modelo de colisão BGK), através de uma
expansão de Chapman-Enskog. A estratégia, utilizada pelos autores, de assim recuperar a equação de
energia e construir um modelo LBM térmico (TLBM – Thermal Lattice Boltzmann Merthod) insere-se
na categoria chamada Multispeed (MS).
Os vários modelos que são estudados são classificados na literatura em três categorias [7]: a
Multispeed (já referida), a dupla função distribuição (Double Distribution Function – DDF) e a
híbrida.
A abordagem do tipo MS baseia-se em utilizar apenas uma função distribuição de
probabilidade, a mesma utilizada para recuperar o campo de velocidades, calculando a energia interna
a partir do segundo momento estatístico da chamada peculiar velocity (diferença entre a velocidade da
lattice e a velocidade em cada nó)[33,34].
Os modelos MS sofrem de várias desvantagens, como a instabilidade numérica, uma gama
limitada de temperaturas de trabalho e número de Prandtl fixo, já que a difusividade térmica e a
viscosidade dependem do mesmo tempo de relaxação[35].
9 O número de Knudsen é um número adimensional definido como sendo o rácio entre o chamado mean free path, ou
distância média percorrida por uma molécula até encontrar outra, e uma dimensão característica do escoamento.
7
Os modelos que se inserem na categoria híbrida englobam todos aqueles que visam resolver a
parte hidrodinâmica com o LBM e resolvem a equação da energia através de outro método numérico,
como as diferenças finitas ou os volumes finitos. Esta estratégia é pouco interessante pois acaba por
invalidar as vantagens intrínsecas de um sistema exclusivamente lattice Boltzmann, e em nada
acrescenta ao desenvolvimento de modelos TLBM adequados para aplicações de engenharia.
A última categoria (DDF), largamente a mais utilizada, consiste em utilizar duas funções
distribuição diferentes, uma para calcular a densidade e a velocidade e outra para calcular a
temperatura e o fluxo de calor.
Pode dividir-se esta categoria em duas sub-categorias. Numa sub-categoria, a temperatura é
tratada como um escalar passivo; noutra, a temperatura é um parâmetro que afecta de facto o
escoamento. A abordagem de tratar a temperatura como um escalar passivo surgiu primeiro[36,37],
vindo dar uma resposta à instabilidade numérica produzida pelos modelos MS, e capaz de produzir
soluções precisas para vários problemas de referência (benchmark problems)[37,38] .
No entanto, os modelos que tratam a temperatura apenas como um escalar passivo são
incapazes de reproduzir os fenómenos de dissipação viscosa e trabalho por compressão. Surgiu, por
isso, a necessidade de completar os modelos deste tipo, para os quais o trabalho de He et al. [39] é
uma referência. Estes autores foram os primeiros a propor um modelo que captasse os efeitos destes
fenómenos, recorrendo à simulação directa da evolução da energia interna através de uma nova função
de distribuição dessa variável. Esta função distribuição foi definida a partir da função distribuição
original e, ao ser introduzida na equação de Boltzmann, é possível obter uma equação que reja a sua
evolução, onde estão presentes os termos responsáveis pela dissipação viscosa.
Alguns trabalhos foram feitos no sentido de simplificar o modelo de He et al.[39], com foco
especial nesse termo da dissipação viscosa, cuja resolução é computacionalmente mais exigente e mais
complexo na definição de condições de fronteira[40]. Alguns autores propuseram uma nova função
distribuição de energia total, em vez de energia interna, como alternativa para um modelo mais
simples na simulação deste fenómeno[41,42].
Grande parte do trabalho desenvolvido nos últimos 15 anos sobre os modelos TLBM centra-se
em encontrar condições de fronteira adequadas, sendo na sua maioria baseado nos esquemas já
propostos para os modelos isotérmicos.
O princípio da distribuição de não equilíbrio, já utilizado para condições de fronteira
hidrodinâmicas[24], foi o primeiro a ser estendido a este tipo de modelos, e a sua utilização repete-se
por alguns autores[39,43].
No que diz respeito a modelar paredes rectas, as condições de fronteira de Dirichlet e
Neumann introduzidas por D’Orazio et al [44,45] e D’Orazio e Succi[46], baseadas nas condições de
fronteira de counter-slip, conseguiram a maior precisão para os problemas de referência estudados,
pois têm a capacidade de fixar a temperatura ou fluxo de calor com total exactidão[47].
8
Condições de fronteira para geometrias arbitrárias, baseadas no trabalho já alcançado para
condições de fronteira hidrodinâmicas[27], foram introduzidas por Tang et al.[47] e utilizadas por
outros autores, invocando boa concordância com as soluções analíticas de problemas de
referência[41].
Mais recentemente, Chen et al. [7] expõem a dificuldade de integrar termos fontes nos
modelos térmicos de LB e de impôr condições de fronteira que não de Drichlet em sistemas térmicos
complexos, evidenciando o muito que há ainda por desenvolver, dando seguimento ao modelo que
utiliza a função distribuição de energia total.
Noutra abordagem recente, Li et al[48] recuperaram as ideias de bounde-back para
desenvolver condições de fronteira para geometrias curvas e obtiveram precisão para o campo de
temperaturas de 2ª ordem, com condições de fronteira de Dirichlet, e 1ª ordem para CF de Neumann.
Todo o trabalho que é desenvolvido para o campo de temperaturas é extremamente útil em
simultâneo para o estudo de concentrações e transporte de massa, já que em ambos os casos o
objectivo é resolver uma equação de convecção-difusão. Se tanto a concentração como a temperatura
forem tratados como escalares transportados, pode aplicar-se um modelo igual para ambos no caso das
condições de fronteira serem apenas de Dirichlet ou Neumann, e não existirem termos de fonte. As
diferenças surgem apenas quando se impõe que a concentração ou a temperatura influenciem o
escoamento. O trabalho de Zhang et al. ilustra bem este aspecto[49].
1.2.4 Modelação clássica para o caso de estudo
O trabalho desta tese, como foi já referido, assenta na implementação de modelos de LBM que
resolvam o escoamento de Hagen-Poiseuille entre duas placas planas, paralelas e infinitas a duas
dimensões, um problema de referência na literatura clássica de fenómenos de transporte.
Figura 1.2 - Escoamento de Poiseuille 2D entre duas placas
A equação que resolve o campo de velocidades deste escoamento é deduzida em inúmeras
referências na literatura. Essa dedução é feita a partir dos balanços de massa e quantidade de
movimento para escoamento incompressível com viscosidade constante, respectivamente expressas
por,
9
(1.3)
(1.4)
e com base nas seguintes hipóteses simplificativas: escoamento completamente desenvolvido;
escoamento estacionário; e condição de não-escorregamento na parede.
Se as equações 1.3 e 1.4 forem resolvidas com base na representação da Figura 1.2 do
problema, o perfil de velocidades toma a seguinte forma:
(1.5)
em que
é o gradiente de pressão imposto (constante).
No que se refere à resolução do campo de temperaturas para a geometria da Figura 1.2, foram
tentadas as deduções das respectivas soluções analíticas, para ser possível comparar posteriormente os
resultados do modelo numérico de LBM com essas soluções. Salienta-se que essa dedução só foi
possível para o caso de fluxo imposto na parede; no caso de temperatura imposta, revelou-se
impossível obtê-la.
1.3 Contribuições da presente tese
Na sequência do que foi apresentado na revisão da literatura, ficou patente que os modelos
LBM que resolvem escoamentos não-isotérmicos precisam ainda de desenvolvimento para se poderem
afirmar com o mesmo sucesso que os modelos para escoamentos isotérmicos.
Nesse âmbito, o trabalho desta tese procura dar contribuições para o estudo de modelos TLBM
num caso de referência – o escoamento de Poiseuille – não testado na literatura nas condições em que
este foi testado na presente tese.
As principais contribuições que esta tese traz estão relacionadas com a resolução do campo de
temperaturas do escoamento, na situação em que existe fluxo constante na parede. Na literatura não
foram encontrados resultados para a resolução deste problema, resultados esses que esta tese vem
trazer. Uma contribuição importante é a detecção de uma lacuna na modelação dos cantos do domínio
físico quando se verifica esta condição de fronteira de fluxo imposto, e uma tentativa de resolver esse
mesmo problema. De facto, detectou-se que a proposta de modelação dos cantos do domínio,
enquadrada no esquema de condições de fronteira utilizado, permite apenas ser utilizada para impor
uma condição de temperatura constante, o que indica a necessidade de explorar o conceito do qual
deriva o esquema de condições de fronteira de modo a solucionar o problema.
10
No âmbito do estudo do escoamento com fluxo imposto na parede, surge também uma
pequena contribuição com a dedução teórica da equação que descreve o campo de temperaturas para
um escoamento entre duas placas, paralelas e infinitas, com fluxo imposto na parede.
No que diz respeito ao escoamento com temperatura constante nas paredes, os resultados
reportados na literatura apresentam habitualmente o caso em que a temperatura do escoamento apenas
difere da temperatura da parede devido à contribuição da dissipação viscosa, não representando a sua
evolução desde a região de desenvolvimento térmico mas apenas numa região longe da entrada.
Outra contribuição que esta tese traz são resultados relativamente à simulação de escoamentos
com condições de fronteira de velocidade à entrada e saída, utilizando o esquema de Zou He em todas
as fronteiras do domínio.
1.4 Estrutura da tese
Conclui-se aqui o primeiro capítulo onde foram expostos o âmbito e objectivos do trabalho
desenvolvido nesta tese, uma revisão do trabalho desenvolvido na área dos modelos de LBM e TLBM
reportado na literatura, e as contribuições que este trabalho pretende trazer.
A restante estrutura da tese será constituída por mais três capítulos. O capítulo seguinte –
capítulo 2 – tratará os fundamentos do LBM em escoamentos isotérmicos, em que será apresentada a
dedução teórica do modelo e esquemas de condições de fronteira que sustentam a resolução deste tipo
de escoamentos. Segue-se a isto uma exposição dos resultados da implementação do modelo deduzido
e a sua respectiva discussão. O capítulo é finalizado com uma síntese conclusiva, salientando quais os
resultados que são importantes reter para a resolução dos escoamentos não-isotérmicos no capítulo
seguinte.
No capítulo 3 será exposto o trabalho central desta tese, ou seja, o modelo e esquema de
condições de fronteira para a resolução de escoamentos não-isotérmicos. O esquema de condições de
fronteira apresentado tem já em vista a resolução dos problemas que se pretende resolver: escoamento
com condição de fluxo ou temperatura impostos na parede. É também exposta a dedução do modelo
analítico para resolver o escoamento com fluxo imposto em condições termicamente desenvolvidas.
Os resultados da sua implementação e a sua discussão finalizam o capítulo
No último capítulo – capítulo 4 - é dada uma visão global e conclusiva dos resultados obtidos
e são deixadas sugestões de trabalho futuro na continuação do que foi desenvolvido nesta tese.
11
2 Fundamentos do LBM para
escoamentos isotérmicos
Neste capítulo serão descritos os modelos teóricos de LBM que sustentam o trabalho
desenvolvido nesta tese para a resolução de escoamentos isotérmicos, servindo também como capítulo
de base para a introdução das bases do LBM. Será deduzida a ligação entre a equação de lattice
Boltzmann e os balanços de continuidade e quantidade de movimento, através de uma expansão multi-
escala, e introduzidas as condições de fronteira implementadas no decorrer deste trabalho. O capítulo
será finalizado com a apresentação dos resultados obtidos na implementação do modelo e esquemas de
condições de fronteira nele descritos. Estes resultados serão todos acompanhados da respectiva
discussão. Este capítulo proporciona também as ferramentas para deduzir os modelos para
escoamentos não-isotérmicos e resolver a sua parte hidrodinâmica.
2.1 Teoria e método
A equação de lattice Boltzmann vai buscar os seus fundamentos a um ramo de estudo
específico da física: a teoria cinética aplicada a gases. Este ramo da teoria cinética procura descrever o
comportamento de um gás monoatómico como um número grande de partículas, que se movem
rapidamente e que interagem entre si. Esse comportamento é descrito por uma função de distribuição
de velocidade das partículas (moléculas) - -, função essa que é responsável por caracterizar
um conjunto de partículas que se encontram na posição e se movimentam a uma velocidade no
instante de tempo . A evolução desta função distribuição é regida pela equação de Boltzmann (eq.
2.1):
(2.1)
em que é a derivada lagrangiana, é o termo que traduz a acção de uma força
externa por unidade de massa, e é o termo da colisão, que representa a alteração que a função
distribuição sofre devido à interacção entre partículas. No contexto desta equação, o termo de colisão
tem que obedecer às seguintes regras de conservação[41]:
12
∫ (2.2a)
∫ (2.2b)
∫ (2.2c)
Este termo da colisão engloba uma física e formulação matemática complexas, traduzindo-se
originalmente num integral elaborado e dependente dos potenciais entre partículas[50], de modo que
tem de ser simplificado em aplicações práticas. O modelo mais utilizado em LBM, exactamente pela
sua simplicidade, é a aproximação de Bhatnagar, Gross e Krook[13], ou chamado operador de colisão
BGK, que estabelece,
(2.3)
em que é o tempo de relaxação e é a função distribuição de equilíbrio de Maxwell Boltzmann.
Esta última função de equilíbrio é dada por:
⁄ (
) (2.4)
Para se obterem as variáveis macroscópicas presentes na equação acima, são calculados os
momentos de velocidade da função distribuição, escritos a seguir.
∫ (2.5a)
∫ (2.5b)
∫ (2.5c)
em que é a densidade, é o vector velocidade e é a energia interna, sendo a
temperatura, a constante de gases perfeitos e o número de graus de liberdade da partícula (uma,
duas ou três dimensões).
As equações 2.1 a 2.5, introduzidas até agora, constituem um modelo contínuo de descrição da
realidade. No entanto, o objectivo é obter um modelo discreto que seja possível resolver
computacionalmente.
2.1.1 Discretização da equação de Boltzmann
A equação de lattice Boltzmann (LBE-lattice Boltzmann equation) surge quando a equação de
Boltzmann é discretizada num espaço de velocidades discreto ( , =1,2,...,N) - a lattice-, cujo
conjunto de direcções possui a simetria necessária para garantir que a física do escoamento é
correctamente representada[17]. Discretizando cada um dos termos da equação 2.1 numa direcção i[4],
obtém-se
13
(2.6)
(2.7)
em que é o passo no tempo e a distância ente dois nós consecutivos de lattice, assumindo que o
domínio tem espaçamento uniforme.
O termo que inclui a força externa requer um tratamento matemático mais cuidado. É
necessário fazer uma expansão de Hermite ao termo , de modo a obter-se a força exterior
discretizada na direcção i - identificada como - e cujas expressões para expansões de primeira e
segunda ordem são, respectivamente, [51][52]
(2.8a)
(
) (2.8b)
em que é o peso10
na direcção i, é a velocidade do som na lattice e é a matriz identidade.
Juntando todos os elementos, e reescrevendo a equação,
(
)
(2.9)
sendo , em que é o vector de norma unitária que define a direcção e
a intensidade
do vector.
(
)
(2.10)
Simplificando, obtém-se a equação de lattice Boltzmann com presença de uma força externa.
(
) (2.11)
As LBE’s que fazem uso do modelo BGK, como a equação acima, são frequentemente
chamadas de LBGK. Os modelos que as usam são também frequentemente apelidados com o mesmo
nome.
A função distribuição de equilíbrio também é discretizada[4]. O primeiro passo é expandir em
série de Taylor a equação 2.4 em u até segunda ordem ( )
⁄ (
) {
} (2.12)
10
O peso, tal como o nome indica, é o quanto “pesa” a passagem da informação numa determinada direcção, ou seja, as diferentes direcções têm diferentes contribuições para o somatório global da dinâmica da lattice.
14
Em seguida, utilizando uma quadratura de Gauss-Hermite, obtém-se a equação discretizada
para a função distribuição de equilíbrio consoante o modelo de lattice que se utilize. No caso concreto
deste trabalho, o modelo de lattice utilizado será o D2Q9, ou seja um espaço de duas dimensões com
nove direcções de velocidade, e que também possui as seguintes características11
:
Finalmente, considerando as equações 2.12 a 2.13d, a função distribuição de equilíbrio para o
modelo D2Q9, para uma direcção i, será
{
} (2.14)
A equação 2.14 só é válida para pequenos números de Mach (Ma= ), ou seja, sempre
menores que 0,1[50].
Sendo o modelo discreto, as variáveis macroscópicas são calculadas através dos momentos
estatísticos da velocidade da função distribuição, obtidos também por uma quadratura de Gauss-
Hermite.
∑
(2.15a)
∑
(2.15b)
∑
(2.15c)
2.1.2 A lattice
Como já foi referido, a discretização do espaço de velocidades é feita com recurso a uma
estrutura que define um conjunto de direcções segundo as quais a informação se pode propagar, e que
liga os vários nós do domínio entre si. Esta estrutura é denominada lattice.
A escolha da lattice deve ser sobretudo avaliada consoante a sua capacidade de reproduzir
todos os fenómenos que se pretendem captar nas simulações computacionais. Embora uma lattice
possa respeitar os critérios de simetria que lhe são exigidos a priori, a sua estrutura pode não ter
11
Só a equação 2.13d é que traduz efectivamente uma característica intrínseca ao modelo D2Q9
√ (2.13a)
(2.13b)
√ (2.13c)
(2.13d)
15
resolução suficiente para captar todos esses fenómenos que se pretendem reproduzir. Este problema
põe-se principalmente com lattices de três dimensões.
Para o trabalho desenvolvido nesta tese, optou-se por escolher a lattice D2Q9 por ser a
estrutura mais utilizada e sobre a qual assenta uma parte muito significativa do trabalho publicado em
LBM. A sua estrutura encontra-se representada na Figura 2.1 e definida nas equações 2.16 e 2.17.
Figura 2.1 - Estrutura do modelo da lattice D2Q9
Ao longo deste trabalho foi imposto que .
2.1.3 Expansão de Chapman-Enskog: da LBGK a Navier Stokes
Após ter sido exposto o modelo a utilizar no presente estudo, é necessário fazer uma
verificação teórica do mesmo. Para tal, é preciso estabelecer a ligação entre a abordagem mesoscópica
do LBM e a macroscópica ao nível dos balanços de massa e quantidade de movimento, sendo o
processo mais utilizado a expansão multi-escala de Chapman-Enskog. Esta expansão baseia-se
fundamentalmente em dividir os fenómenos difusivos e convectivos nas respectivas escalas de tempo,
e agrupar uns e outros separadamente.
{
(2.16)
{
( (
) (
))
√ ( (
) (
))
(2.17)
16
O primeiro procedimento para se alcançar o fim proposto é efectuar uma expansão de Taylor
até segunda ordem aos termos do lado esquerdo da equação 2.11.
(2.18)
Na equação anterior, o operador expressa o duplo produto interno de dois tensores
(double inner product, na literatura anglo-saxónica).
Para se efectuar a expansão multi-escala, é necessário expandir as derivadas em diferentes
escalas temporais, assim como a função distribuição, através de um parâmetro “pequeno” 12
, ao qual
se atribui normalmente o valor do número de Knudsen13
.
(2.19a)
(2.19b)
(2.19c)
A derivada espacial é expandida simplesmente até primeira ordem pois os termos de ordem
superior não são utilizados.
representa a função distribuição de equilíbrio,
(2.20)
enquanto que a soma dos restantes termos, na equação 2.19c, representa a parte de não-equilíbrio.
(2.21a)
(2.21b)
O operador de colisão é também expandido, ficando a sua expressão com a seguinte forma:
( )
(
) (2.22)
Introduzindo as equações 2.19 na equação 2.18, e dividindo em duas escalas diferentes, e ,
surgem as seguintes equações:
(2.23a)
(2.23b)
Integrando ambas as equações em todo o espaço de velocidades, obtemos as seguintes
equações adimensionais [33]:
12
e têm a mesma dimensão, o que diferencia as escalas de tempo é o parâmetro . 13
O número de Knudsen pode ser definido como o rácio, ou entre a distância média entre as moléculas (mean free path), , e a dimensão característica do escoamento, , ou entra a escala de tempo dos fenómenos
difusivos, , e a escala de tempo dos fenómenos convectivos, [1]:
17
(2.24)
(2.25)
com [50],
∑ [
(
)
] (2.26)
Para o modelo específico de lattice utilizado, recorrendo à respectiva equação da função
distribuição de equilíbrio (equação 2.14), e juntando as equações 2.25 e 2.26, a equação resultante é
( ( )) (2.27)
É possível identificar as equações 2.24 e 2.27 como a equação da continuidade e as equações
de Navier Stokes, respectivamente, em que a pressão tem a forma da seguinte equação de estado
e a viscosidade está relacionada com o tempo de relaxação pela seguinte expressão
(
) (2.28)
Uma dedução mais detalhada das equações 2.24 e 2.27, a partir da equação de lattice
Boltzmann, pode ser encontrada noutras referências [17][14].
É importante referir que a expansão de Chapman-Enskog aproxima as equações de Navier-
Stokes no limite incompressível. Isto sugere que o seu resultado, no caso da equação 2.27, estaria mais
correcto se o termo do lado direito da equação fosse em vez de [53]. Este pormenor é
importante no que toca à implementação de LBM pois obriga a que os valores da velocidade sejam
sempre baixos, a não ser quando o campo de pressões e de velocidade estejam desacopolados – caso
das condições de fronteira periódicas . Olhando a questão de outra maneira – para melhor
compreensão – veja-se como o número de Mach influencia a densidade, segundo a seguinte fórmula:
. Ora, se a densidade não é mais que a pressão adimensional a menos de uma
constante, o seu valor deve manter-se o mais próximo de possível, o que implica que o valor de Ma
seja o mais baixo possível; é a densidade inicial.
2.1.4 Condições de fronteira
No LBM, o objectivo das condições de fronteira é definir correctamente o conjunto de
populações14
que não ficaram definidas após o algoritmo de colisão e propagação estar concluído.
Essas populações situam-se nos nós das extremidades do domínio, e o seu valor é determinado de
modo a que o valor da variável macroscópica definida para cada um desses nós, ou na sua vizinhança,
14 O conjunto das várias funções de distribuição que se propagam numa direcção específica é denominado
como uma população.
18
seja o pretendido. Por exemplo, para o caso ilustrado na Figura 2.2, assumindo que a parede inferior
coincide com os nós, seria necessário definir as populações , e para todos os nós nessa parede
consoante a velocidade, ou a pressão, que se queira impôr.
Figura 2.2 - Domínio com uma fronteira com uma lattice D2Q9. Adaptado de [1].
Nas condições de fronteira que foram estudadas e utilizadas no desenvolvimento deste
trabalho, podem contar-se as condições de fronteira bounceback, condições de fronteira de Zou He e
condições de fronteira periódicas.
2.1.4.1 Condições de fronteira bounceback
As condições de fronteira de bounceback(BB) são o tipo de condições de fronteira mais antigo
e, simultaneamente, o mais amplamente utilizado, devido principalmente à sua simplicidade e
facilidade de implementação, como foi já referido. Este esquema de condições de fronteira baseia-se
na simples ideia de que uma partícula, ao bater na parede, é reflectida de volta de forma elástica. As
implicações desta ideia em termos hidrodinâmicos são a inexistência de fluxo de quantidade de
movimento a atravessar a parede, i.e. a parede é impermeável, e que não existe movimento relativo
entre o fluido e a parede, i.e. o fluido adere à parede[1]
A equação do esquema BB para uma velocidade genérica na fronteira, , numa direcção i
é[30][49]
(2.29)
em que tem o sentido oposto de . Para o caso da condição de fronteira habitual de não
escorregamento na parede, a equação 2.29 traduz-se simplesmente em
(2.30)
Apesar das várias propostas iniciais para este esquema, actualmente, apenas duas formas de
implementar condições de fronteira bounceback são utilizadas: os chamados esquemas halfway e
fullway. Em ambos os casos, a parede não coincide com os nós mas encontra-se a meio caminho entre
o nó do fluido e o nó da parede. Aquilo que distingue os dois é a particularidade de que, no esquema
19
fullway, assume-se que a partícula é reflectida durante o processo de colisão, enquanto que no
esquema halfway, assume-se que a partícula é reflectida durante o processo de propagação. A
consequência desta diferença traduz-se em que, no esquema fullway, os nós onde é aplicado este
esquema são nós da parede, e no caso halfway, são nós do fluido. A Figura 2.3 ilustra
convenientemente estes dois casos.
Figura 2.3 –Representação esquemática do algoritmo que as condições de bounceback seguem para o (a)
esquema fullway e o (b) esquema halfway. representa o domínio e representa a fronteira. Adaptado de [1].
É reconhecido que o esquema halfway é o esquema que produz resultados com melhor
precisão[24], de modo que foi o esquema escolhido para ser implementado neste trabalho15
.
O esquema bounceback sofre da desvantagem de ser formalmente um esquema com precisão
de primeira ordem[21], o que degrada a solução, visto os cálculos no resto do domínio terem precisão
de segunda ordem. A única solução para obter precisão de segunda ordem é a utilização de um tempo
de relaxação “mágico”[32] que absorva os erros de truncatura de segunda ordem, e que apenas está
deduzido para alguns casos de referência.
2.1.4.2 Condições de fronteira de Zou He
As condições de fronteira de bounceback de não equilíbrio, ou mais vulgarmente conhecidas
por condições de fronteira de Zou He, em alusão aos autores que as propuseram[24], ao contrário das
CF de bounceback, são definidas directamente nos nós do domínio. Este esquema de CF permite que
as populações que estão por determinar, sejam definidas a partir das variáveis macroscópicas
pretendidas nesses mesmos nós. O meio de as determinar é através de um conjunto de equações,
definido consoante as populações que sejam necessárias determinar.
15
Daqui em diante, qualquer referência à utilização do esquema bounceback, tem implícita a utilização do caso halfway.
20
Recuperando o exemplo da Figura 2.2 assumindo que na parede inferior existe movimento
segundo uma velocidade conhecida , é necessário determinar as populações , e .
A partir das equações 2.15a e 2.15b, obtêm-se as seguintes equações:
(2.31a)
(2.31b)
(2.31c)
Das equações 2.31a e 2.31c, chega-se a
( ) (2.32)
Para fechar o sistema, é necessário recorrer à ideia do bounceback de não equilíbrio, ou seja, que na
direcção perpendicular à parede se verifica a seguinte igualdade,
(2.33)
Como
, a equação
torna possível determinar a população
e, consequentemente, as populações e .
(2.34a)
(2.34b)
(2.34c)
Este tipo de condições de fronteira pode ser usado para impôr condições de fronteira de
pressão ou de velocidade, resolvendo-se a equação 2.32 consoante sejam conhecidas uma ou outra.
Formalmente, são condições de fronteira com precisão de segunda ordem[1].
2.1.4.3 Condições de fronteira periódicas
As CF denominadas periódicas na literatura[28] são aplicadas a problemas de escoamentos
entre placas planas paralelas e infinitas na direcção principal dos mesmos, e simulam o efeito de uma
força volúmica constante. Isto significa que em cada linha de nós na direcção de propagação do
escoamento o valor da velocidade é constante ou, noutra perspectiva, que só existe variação na sua
direcção transversal; o que significa também que o escoamento está desenvolvido em todo o domínio
na direcção principal do escoamento. Por outro lado, também tem como consequência que a condição
de saída do domínio seja igual à de entrada, como ilustra a Figura 2.4.
21
Figura 2.4 - Domínio computacional com uma topologia plana visto com uma topologia cilíndrica, indicando
que existe uma força periódica na direcção em que o domínio é flectido.
A grande vantagem deste esquema de CF, muito usada para testes de verificação de modelos
LBM, é a de não produzir erros de compressibilidade, já que o gradiente de pressão é substituído por
uma força externa, aplicada em simultâneo em todos os pontos do domínio, fazendo com que a
densidade e, consequentemente, a pressão não variem. Visto que a equação de LB aproxima as
equações de Navier Stokes no limite incompressível, é desejável que as variações no campo de
pressões sejam as menores possíveis; e são de facto nulas para este tipo de CF.
2.2 Resultados para escoamento de Poiseuille
Após terem sido apresentados os modelos e esquemas de condições fronteira para a resolução
de escoamentos isotérmicos, expõem-se aqui os resultados da sua implementação computacional para
o caso em estudo – escoamento de Poiseuille . Essa implementação foi feita integralmente com recurso
ao software Matlab.
Os resultados serão apresentados consoante as várias condições de fronteira utilizadas,
alternando sempre entre as condições de fronteira aplicadas na parede – Zou He ou bounceback – para
cada tipo de condições de entrada e saída: periódicas, velocidade ou pressão.
Algumas características de implementação são transversais a todos os resultados. Em primeiro
lugar, os códigos foram testados para escoamentos com baixos números de Reynolds, sendo apenas
expostos resultados em que foram utilizados valores deste parâmetro de 10, 20 ou 40. O número de
Reynolds foi definido da seguinte maneira,
(2.35)
em que é o diâmetro hidráulico ( ), tomando o dobro da distância entre as duas placas.
Se for calculado a partir da Figura 1.2, o seu valor será . A correspondente distância adimensional
entre as duas placas, no contexto do LBM, tem o valor do número de nós colocados na direcção
transversal ao escoamento.
22
Em termos de geometria e discretização do domínio, para os resultados que aqui se expõem,
foi utilizado uma geometria com uma razão de aspecto (X/Y) de 3, e foi-se duplicando o número de
nós na direcção Y, sucessivamente de 10 a 40 nós; isto significa que X terá um número de nós de 30 a
120.
Figura 2.5 - Dimensões do domínio. X e Y representam a dimensão em número de nós
São apresentadas simulações para 3 tempos de relaxação, sendo os seus valor 0.6, 0.9 e
√
1.08. Este último tempo de relaxação é o tempo mágico para o escoamento em estudo
quando são aplicadas CF periódicas e bounceback nas paredes. As razões para a escolha destes
valores, sendo óbvia para o caso do número mágico, no caso dos outros dois prende-se ao facto de
serem valores frequentemente testados na literatura [6,24].
Os resultados quantitativos que aqui serão expostos substanciam-se na norma || || do erro
entre a solução analítica e o perfil calculado numericamente à saída do canal simulado. Essa norma foi
calculada com base na fórmula da raiz da média quadrática,
|| || √ (
)
( )
(2.36)
A ordem de convergência foi obtida com recurso ao software Excel, retirando a informação da
equação que define a linha de tendência dos valores do erro .
O critério para atingir o estado estacionário nas simulações definiu-se da seguinte maneira,
(
)
(
)
(
)
(2.37)
(
) representa a velocidade num nó no centro do domínio no instante e
(
) representa a velocidade num nó no centro do domínio no instante .
X
Y
23
2.2.1 Condições de fronteira periódicas (escoamento completamente
desenvolvido)
Aqui são expostos os resultados da implementação de CF periódicas com CF de bounceback e
Zou He nas paredes, respectivamente.
2.2.1.1 CF de Bounceback nas paredes
Como é possível constatar na Tabela 2.1, o erro entre as soluções numérica e analítica é
independente do aumento ou diminuição do número de Reynolds do escoamento. Estes resultados são
os espectáveis pois as condições de fronteira periódicas permitem que não exista variação nos valores
da densidade, evitando assim os erros de compressibilidade. Note-se que esse erro de
compressibilidade, apesar de não se fazer sentir nesta situação, tende a aumentar com o número de
Reynolds. Isto sucede porque, se o número de nós e a viscosidade são fixados, a velocidade
característica do escoamento tem que aumentar, traduzindo-se num aumento do número de Mach.
Como foi já explicado, o número de Mach está directamente associado à magnitude do erro com que o
LBM aproxima as equações de Navier-Stokes.
Tabela 2.1 – Erro(%) e ordem de convergência para CF periódicas e bounceback nas paredes
Pode verificar-se também que a solução tem convergência de segunda ordem. Uma
representação gráfica destes resultados pode ser consultada no Figura 2.6.
Um resultado importante é o facto de o erro ser da ordem da precisão da máquina quando é
introduzido o tempo de relaxação “mágico”, para qualquer número de Reynolds dos testados. Na
Figura 2.10 pode constatar-se que os perfis analítico e numérico coincidem perfeitamente. Apesar de
não serem expostos resultados para escoamentos com outros números de Reynolds, qualquer número
que se escolha dentro de uma baixa gama levará a obter o mesmo resultado. Para números mais
elevados, a solução instabiliza, não se pondo o problema da magnitude do erro mas o problema da
estabilidade.
Y Ordem de convergência Re 10 20 40
10
0,6 1,48 0,37 0,09 2,00
0,9 0,93 0,23 0,06 2,00
“mágico” precisão da máquina -
20
0,6 1,48 0,37 0,09 2,00
0,9 0,93 0,23 0,06 2,00
“mágico” precisão da máquina -
40
0,6 1,48 0,37 0,09 2,00
0,9 0,93 0,23 0,06 2,00
“mágico” precisão da máquina -
24
Figura 2.6 - Ordem de convergência para CF periódicas com bounceback nas paredes e com valores de 0.6 e
0.9
Figura 2.7 - Comparação entre os perfis numérico e analítico com bounceback na parede e CF periódicas
Em termos do campo de velocidades, o perfil é em cada secção transversal igual ao da Figura
2.7, visto o escoamento ser desenvolvido em todo o domínio. Este facto pode ser confirmado
consultando a Figura 2.8, onde se pode observar que as isolinhas de velocidade são paralelas e
atravessam todo o domínio.
0,03
0,30
3,00
5 50
err
o(%
)
Y
0.6
0.9
2ª ordem
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
y/Y
u/u
max
ux analy
ux LBM
25
Figura 2.8 - Campo de velocidades num escoamento desenvolvido em todo o domínio.
2.2.1.2 CF de Zou He na parede
Quando são introduzidas condições de fronteira de Zou He na parede, para qualquer um dos
números de Reynolds ou tempos de relaxação testados anteriormente, a magnitude do erro é da ordem
da precisão da máquina. Outros números de Reynolds e tempos de relaxação diferentes foram testados,
e verificou-se que o erro se mantém inalterado. O único efeito diferente que, possivelmente, se faz
sentir na variação destes parâmetros é a instabilidade numérica, à semelhança do que acontece quando
nas paredes é imposto o esquema bounceback. Isto indica que o código, ou é incapaz de resolver as
equações com os parâmetros que lhe são introduzidos, ou devolve sempre uma solução com a precisão
da máquina.
É importante salientar que também neste caso o escoamento se encontra desenvolvido em todo
o domínio, de modo que as considerações que foram feitas para o campo de velocidades e pressões no
subcapítulo anterior (2.2.1.1) permanecem válidas.
2.2.2 Condições de fronteira de velocidade de Zou He (entrada)
2.2.2.1 CF de Bounceback nas paredes
Os resultados do erro apresentados na Tabela 2.2 dizem respeito à imposição de condições de
velocidade à entrada e saída do domínio utilizando o esquema de Zou He, e utilizando o esquema
bounceback nas paredes. À entrada é imposto um perfil uniforme e à saída é imposta a velocidade do
Y
X
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
26
nó imediatamente anterior, com base na hipótese de que o escoamento já está desenvolvido na região
final do domínio.
Y Ordem de
convergência Re 10 20 40
20
0,6 0,53 0,13 0,03 2.09
0,9 3,03 0,93 0,28 1.722
“mágico” 6,72 2,01 0,59 1.751
40
0,6 0,57 0,15 0,04 1.985
0,9 11,16 2,63 0,71 1.956
“mágico” instável 6,11 1,53 -
Tabela 2.2 - Erro(%) e ordem de convergência para CF de velocidade e bounceback nas paredes.
Numa tendência inversa à que foi observada anteriormente, para esta conjugação de esquemas
de condições de fronteira, é possível notar que o erro vai diminuindo com a diminuição do tempo de
relaxação. É importante salientar que estes resultados não significam que se o seu valor for diminuído
ainda mais, se obtenham resultados melhores. De facto, para um valor do tempo de relaxação de 0,6, a
solução obtida já está relativamente próxima do valor limite em que a solução é incapaz de
convergir16
. Por outro lado, também não significa que que entre 0,6 e 0,9 não exista um valor mais
apropriado.
Note-se também que surgiu nestas simulações uma situação de instabilidade numérica. Note-
se que o tempo de relaxação e o Reynolds são iguais para outras simulações, sendo a única variação
assinalável o número de nós na direcção transversal ao escoamento. Este é um caso típico em que o
valor da velocidade máxima, combinado com o tempo de relaxação em causa, se tornou elevado de
mais para que a solução fosse estável.
A ordem de convergência também neste caso continua a rondar a 2ª ordem, embora em dois
dos casos ronde um valor de 1.7.
16
Se o tempo de relaxação for 0.5, o seu efeito computacional é de que a solução não consegue convergir para fora do estado de equilíbrio. Se for feita uma analogia com o mundo físico, esse seria o caso de a viscosidade ter um valor nulo, ou seja, a não existência de fenómenos difusivos.
27
Figura 2.9 - Ordem de convergência com CF de velocidade com Zou He nas paredes, para Re=20. A escala é
logarítmica para ambos os eixos.
O campo de velocidades que se obtém nestas condições contém uma região de
desenvolvimento do escoamento, como se pode observar na Figura 2.10. É o resultado que se espera
obter quando há imposição de um perfil de velocidade uniforme à entrada, perfil esse que vai evoluir
para um perfil desenvolvido na restante parte do domínio. O tipo de condição de fronteira que se
impôs traz o inconveniente de que a o perfil na zona desenvolvida nunca tende a convergir para a
solução analítica. Mesmo que se aumente consideravelmente a dimensão longitudinal (X), mantendo a
dimensão transversal(Y), o erro calculado à saída do domínio irá manter-se sempre o mesmo.
Figura 2.10 – Campo de velocidades com perfil uniforme de velocidade à entrada.
Pode tentar contornar-se este problema impondo o perfil analítico à saída, o que força a que
mesmo na região desenvolvida, o escoamento vá tendendo progressivamente para a solução correcta,
0,01
0,1
1
10
100
5 50
err
o(%
)
Y
0.6
0.9
mágico
2ª ordem
Y
X
5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
0
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
-3
28
conseguindo alcançar no máximo um erro da ordem de 10-5
nos nós imediatamente antes da fronteira
de saída. No entanto, é uma solução possível apenas para problemas deste tipo em que se conhece a
solução analítica.
Figura 2.11 - Queda de pressão ao longo do domínio, numa linha de nós no centro do canal, quando é imposto
um perfil de velocidades uniforme à entrada.
No que diz respeito à evolução da pressão, a Figura 2.11 mostra uma zona inicial com um
comportamento não linear, correspondente à região de desenvolvimento, em contraste com a Figura
2.14, onde a evolução da pressão é sempre linear.
2.2.2.2 CF de Zou He na parede
Os resultados obtidos com a presente conjugação de condições de fronteira – Zou He nas
paredes e à entrada e saída, com imposição de velocidade – foram os mais inesperados em termos da
evolução dos valores do erro.
Tabela 2.3 – Tabela 2.4 - Erro(%) e ordem de convergência para CF de velocidade e Zou He nas paredes
Em primeiro lugar, deve salientar-se que neste caso os valores do erro são mais baixos para o
valor mais elevado do tempo de relaxação testado. No caso de =0,6, os valores do erro para os dois
0 20 40 60 80 100 1201.007
1.0071
1.0072
1.0073
1.0074
1.0075
1.0076
X
Rho
Y Ordem de
convergência Re 10 20 40
20
0,6 8,46 4,00 1,95 1,059
0,9 7,34 3,48 1,77 1,026
“mágico” 5,65 2,81 1,56 0,926
40
0,6 8,36 3,96 1,94 1,055
0,9 4,04 2,50 1,48 0,724
“mágico” 4,89 0,52 0,92 -
29
números de Reynolds diferentes são muito semelhantes enquanto que nos restantes casos as diferenças
são assinaláveis.
A ordem de convergência, divergindo de todos os casos testados anteriormente – em que esta
ronda sempre a 2ª ordem -, nestas condições ronda a 1ª ordem. Não foram encontradas para este facto
explicações adequadas, nem são reportados na literatura simulações feitas nestas condições.
Figura 2.12 - Ordem de convergência para CF de velocidade e Zou He nas paredes, Re=20. A escala é
logarítmica para ambos os eixos.
O resultado mais inesperado terá mesmo sido o que se pode observar na última linha da Tabela
2.3: o valor do erro é mais baixo quando existem 20 nós na direcção transversal do que quando
existem 40, ou seja, o refinamento da malha não contribui para a redução do erro. Foi experimentada
uma malha de 240x80, e mesmo nessa circunstância o erro foi de 0,62%, superior a uma malha de
60x20 nós.
Em termos do campo de velocidade e pressão, o comportamento manifestado nestas condições
é em tudo idêntico ao que se manifesta no caso em que é aplicado o esquema bounceback na parede.
2.2.3 Condições de fronteira de pressão de Zou He (entrada/saída) em
escoamento completamente desenvolvido
Na implementação das condições de fonteira de pressão à entrada e à saída, utilizando
esquema de Zou He, foram obtidos resultados nos quais foi detectado um problema de convergência.
Esse problema manifestou-se de forma diferente consoante as condições de fronteira na parede
utilizem o esquema bounceback ou Zou He. Apresentam-se os resultados para os dois casos diferentes.
1
10
5 50
err
o(%
)
Y
0,6
0,9
mágico
1ª ordem
30
2.2.3.1 CF de Bounceback nas paredes
No caso de ser aplicado o esquema bounceback na parede, o problema de convergência
verificou-se à saída do canal. A Figura 2.13 mostra o comportamento que o campo de velocidades
exibe nestas condições, onde essa anomalia é detectável. O aumento do número de nós no domínio ou
a variação no valor nos tempo de relaxação torna possível atenuar este fenómeno mas nunca foi
possível extingui-lo.
Figura 2.13 - Campo de velocidades para diferença de pressão entre entrada e saída e bounceback nas paredes.
Este fenómeno aparenta ter origem na componente transversal y do vector das velocidades
que, por causas que se desconhecem, tem um comportamento anormal perto da saída do canal.
Apesar desta anomalia presente na simulação, foram calculados os valores do erro numa
secção a meio do canal onde o escoamento se comporta correctamente, como se pode observar na
Figura 2.13. Os resultados obtidos mostram valores e tendências semelhantes aos que foram
apresentados em 2.2.1.1.
No que diz respeito à evolução da pressão, o comportamento esperado é de que esta varie
linearmente desde a entrada à saída do canal devido ao gradiente de pressão ser constante, tal como
seria de esperar para um escoamento desenvolvido. Esta situação pode ser confirmada consultando a
Figura 2.14, onde esse fenómeno é ilustrado.
Y
X
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
2
4
6
8
10
12
14
16x 10
-3
31
Figura 2.14 - Evolução da pressão ( a menos de uma constante) numa linha de nós longitudinal (sentido do
escoamento) a meio do canal.
2.2.3.2 CF de Zou He na parede
Quando este esquema é imposto junto à parede, o problema da convergência do campo de
velocidades faz sentir-se junto à entrada do canal. A Figura 2.15 ilustra este problema em dois casos
diferentes: o domínio ter 120x40 ou 60x20 nós. São aqui colocados nesta figura os dois campos de
velocidade para comparação porque é nítida a melhoria no seu comportamento, no sentido de ter as
linhas serem todas paralelas, quando a malha é refinada.
Figura 2.15 - Campos de velocidade para diferença de pressão entre entrada e saída. A figura da esquerda ilustra
o campo para uma malha de 60x20 nós e a da direita uma malha de 120x40 nós. Resultados específicos para
tempo de relaxação aqui apelidado de mágico e Re=20.
0 10 20 30 40 50 601
1.0005
1.001
1.0015
1.002
1.0025
1.003
1.0035
1.004
1.0045
X
Rho
Y
X
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Y
X
5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
32
A origem do problema parece ser semelhante à discutida anterior, havendo um comportamento
da componente y da velocidade que se revela anormal, e que neste caso toma a forma que está
representado na Figura 2.16. Um facto interessante é o de que, após se tentar simular o mesmo
escoamento no software Fuent com condições de pressão uniforme à entrada e à saída, os resultados
obtidos, no que diz respeito à morfologia da componente y do campo de velocidades, são idênticos aos
obtidos através do código implementado.
Apesar dos problemas de convergência que surgiram, foi possível obter, dentro dos parâmetros
de teste que têm sido apresentados, um campo de velocidades que convergiu para a solução correcta,
tal qual é representada na Figura 2.8. Os parâmetros utilizados para este caso foram uma malha de
120x40 nós e um tempo de relaxação de 0.6 e o valor do erro em relação à solução analítica calculado
foi de 0,04%. Foram efectuadas simulações com um número de nós mais elevados e os resultados
obtidos também foram satisfatórios. Isto indica que a utilização deste tipo de condições de fronteira
pode ser viável, mas apenas com um número elevado de pontos e apenas com certos valores para o
tempo de relaxação
Figura 2.16 – Componente y da velocidade quando é imposta diferença de pressão à entrada e saída e é aplicado
o esquema de Zou He nas paredes.
Para contornar a limitação que este tipo de condições de fronteira suscita, optou-se por
experimentar nestas condições um modelo diferente: o modelo D2Q9i, já referido anteriormente.
Com a sua utilização foi possível obter resultados semelhantes aos apresentados em 2.2.1.2, ou
seja, obter a precisão da máquina para simulações com baixo número de Reynolds e tempos de
relaxação estáveis. A validade destes resultados pode ser confirmada na literatura [22].
Y
X
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
-4
33
2.3 Síntese conclusiva
Ao concluir-se este capítulo, estão já apresentadas as ferramentas necessárias para resolver a
parte hidrodinâmica dos escoamentos não-isotérmicos que serão estudados em seguida.
Após a análise de resultados feita, uma combinação de condições de fronteira sobressai em
relação às outras: a combinação de condições de fronteira periódicas com o esquema de Zou He nas
paredes. Pela sua simplicidade de implementação e, sobretudo, por permitir resolver o escoamento
com um erro da ordem da precisão da máquina, esta será a combinação de condições de fronteira
utilizada para resolver a componente hidrodinâmica dos escoamentos estudados em seguida.
Salienta-se o facto de que os escoamentos a serem resolvidos no capítulo seguinte são
hidrodinamicamente desenvolvidos em todo o domínio.
34
3 LBM para escoamentos
não-isotérmicos
No capítulo anterior foram expostos os fundamentos do LBM e um modelo e condições de
fronteira que permitem resolver escoamentos isotérmicos. Neste capítulo, será apresentado o modelo
LBM para resolver escoamentos não-isotérmicos e as condições de fronteira escolhidas para serem
utilizadas. À semelhança do capítulo 2, também este será concluído com os resultados obtidos com o
modelo desenvolvido, acompanhados da respectiva discussão.
3.1 Função distribuição
Como foi já referido, os primeiros modelos para escoamentos não-isotérmicos de lattice
Boltzmann eram uma extensão directa dos modelos isotérmicos. Fazendo uso do segundo momento
estatístico da chamada peculiar velocity , representado na equação 2.15c, estes modelos
apresentam várias desvantagens: instabilidade numérica, obrigatoriedade de fixação do número de
Prandtl e não contabilização de trabalho de compressão e dissipação viscosa não contabilizados. O
modelo utilizado neste trabalho, e que aqui se apresenta, é do tipo DDF, baseado sobretudo no modelo
proposto por He et al.[39], e descreve-se de seguida
Introduz-se, em primeiro lugar, a nova função distribuição , chamada de função distribuição
de energia interna, usando as mesmas variáveis do capítulo 2,
(3.1)
Ao ser substituída esta nova função distribuição na equação de Boltzmann (equação 2.1), e
excluindo a presença de uma força externa por simplicidade de raciocínio, a nova equação de
Boltzmann toma a seguinte forma,
(3.2)
onde o lado direito da equação representa a dissipação de calor, sendo o termo que resulta da
mudança de variável. toma a seguinte forma
(3.3)
Com base no modelo de colisão BGK, um novo modelo de colisão é introduzido para a
evolução de g,
35
(3.4)
do qual resulta a equação
(3.5)
Sumariamente, o modelo contínuo proposto para resolver problemas não isotérmicos abrange
as equações 2.1 e 3.5,
(2.1)
o conjunto de equações 2.5, com excepção em 2.5c, que será substituída pela equação 3.6
∫ (2.5a)
∫ (2.5b)
∫ (3.6)
e as equações de equilíbrio, 2.4 para e a equação 3.7 para
⁄ (
) (2.4)
⁄ (
) (3.7)
3.2 Modelo não-isotérmico discreto
Tal como foi feito anteriormente para o modelo isotérmico, é também necessário neste caso
efectuar uma discretização do modelo não–isotérmico que possa ser codificada computacionalmente.
Essa discretização, a seguir exposta, incluirá tanto a discretização da equação 3.5, como uma nova
discretização da equação 2.1, coerente com o novo modelo que se pretende introduzir. Tal é necessário
pois a hipótese de que o modelo de colisão BGK é constante no tempo, utilizada na maior parte dos
modelos isotérmicos de LBM, introduz um erro de segunda ordem quando é parte integrante no
modelo térmico. Uma discussão mais detalhada sobre esta matéria pode ser consultada em He et
al.[39] e Sterling&Chen[54].
Começando pela discretização adequada para escoamentos não-isotérmicos da equação 2.1,
esta será feita em dois passos, através da sua integração ao longo de um caminho característico.
36
Substituindo já à partida o termo por e passando para o lado direito da equação, o
primeiro passo é apresentar o resultado do integração do lado esquerdo da equação 2.1, obtendo-se
∫ [ ( ) (
)]
(3.8)
Num segundo passo, é resolvido o integral do lado direito da equação, que deve conduzir a
uma discretização com precisão de segunda ordem. Para tal, é utilizada a regra do trapézio, capaz de
satisfazer esse requisito. Substituindo, antes da integração, o operador de colisão pelo modelo de
colisão BGK (equação 2.3), a equação resultante é:
[
]
[
]
[ ]
(3.9)
Para evitar que o modelo se torne num esquema implícito, uma nova variável é proposta:
(
)
(3.10)
Finalmente, é obtida a equação que define a evolução de e, consequentemente, da parte
hidrodinâmica do modelo
(
)
(3.11)
A mudança de variável proposta na equação 3.10 conduz a que os momentos de ordem zero e
de primeira ordem, no cálculo das variáveis macroscópicas, sejam
∑
(3.12a)
∑
(3.12b)
O processo de discretização da equação 3.5, que rege a evolução de , segue o mesmo
procedimento descrito anterioremente. Usando o mesmo esquema de integração de segunda ordem no
tempo, a discretização da equação 3.5 resulta em
(3.13)
37
[
]
[
]
Aplicando também, neste caso, uma mudança de variável,
(
)
(3.14)
o resultado final é semelhante à equação para a evolução de ,
(
)
(3.15)
Os momentos de permitem calcular os valor da energia interna e do fluxo de calor17
,
∑
∑
(3.16a)
(∑
∑
)
(3.16b)
Importa referir que o termo toma a seguinte forma discreta,
( ) [ ] (3.17)
Quanto à função distribuição de equilíbrio , a sua discretização é obtida também por uma
expansão de Taylor da equação 3.6, seguida pela aplicação de uma quadratura de Gauss-Hermite.
Sendo que esta é feita para uma lattice D2Q9, diferentes expressões são deduzidas para as diferentes
direcções[46]
[
] (3.18a)
[
] (3.18b)
17
Devido ao facto de não ser necessário utilizar mais a distribuição , assume-se deste ponto em diante, por simplicidade de representação, que representa
38
[
] (3.18c)
3.3 Expansão de Chapman-Enskog
Uma análise multi-escala à equação 3.5, com recurso à expansão de Chapman-Enskog,
semelhante à que foi feita anteriormente, permite recuperar a equação de balanço de energia
interna[39].
(3.19)
Devido ao facto dos procedimentos para recuperar esta equação serem, como já foi referido,
em tudo semelhantes aos que foram já apresentados, com a diferença de serem mais exaustivos,
remete-se o leitor para discussões mais detalhadas nesta matéria noutras referências[7,39,41]. Serão
aqui apenas salientadas as consequências importantes que derivam dessa análise multi-escala: as
relações entre os tempos de relaxação, e , e a viscosidade e a difusividade térmica,
respectivamente.
(3.20)
(3.21)
3.4 Condições de fonteira
O esquema de condições de fronteira (CF) escolhido para utilizar neste trabalho é o proposto
por D’Orazio et al.[44,45] e D’Orazio e Succi[46], referido na literatura como o esquema de condições
de fronteira capaz de alcançar maior precisão em paredes rectas[47,55].
Este esquema recupera o que é proposto por Inamuro et al.[23] para condições de fronteira de
velocidade. A ideia proposta por estes autores é de que as funções distribuição desconhecidas são
iguais às suas respectivas funções de equilíbrio, corrigidas por uma velocidade de counter-slip, ou
seja, um parâmetro que ajuste o seu valor. Esse ajuste tem a função de garantir que o resultado do
primeiro momento estatístico num nó da fronteira terá o valor imposto; neste caso, um valor imposto
de velocidade. Nos casos em que se aplica este esquema de CF às populações , procura-se fixar a
temperatura ou o fluxo de calor.
Para exemplificar a aplicação deste esquema, suponha-se que se quer resolver o caso de ter
temperatura imposta na parede superior do domínio representado na Figura 2.2. É então necessário
determinar as populações , e . O valor destas populações é determinado através da seguintes
fórmulas,
39
( )
[
] (3.22a)
( )
[
] (3.22b)
( ) ( )
[
] (3.22c)
Isto significa que o valor da função distribuição de equilíbrio é ajustado por , à semlhança
do que é feito para a velocidade por Inamuro et al.[23] O valor da energia interna de counter-slip, , é
determinado com recurso à equação 3.16a, reescrita a seguir de modo a facilitar a compreensão do
raciocínio que se pretende transmitir,
(∑
)
(∑
)
∑
(3.23)
Se se estender o segundo termo do lado esquerdo da equação acima, ele toma a seguinte
forma,
(∑
)
( )
[
]
( )
[
]
( )
[
]
(3.24)
Juntando finalmente as equações 3.23 e 3.24, é possível resolver o valor de e, através dele,
resolver os valores das populações indeterminadas - no presente exemplo, , e .
Apresentam-se a seguir as equações para a resolução de em três casos distintos, aplicadas na
parede superior da Figura 2.218
:
Para condição de não-escorregamento na fronteira,
∑
(3.25)
Para velocidade imposta na fronteira,
18
Por simplicidade de notação, referir-se-á a como .
40
(
)
(3.26)
Para resolução dos cantos da fronteira
(
)
(3.27)
Para resolver o caso de fluxo imposto, , numa fronteira, é necessário conjugar as equações
3.16b e 3.22. O procedimento para obter o valor das populações desconhecidas é igual ao descrito
anteriormente para o caso de temperatura imposta. Aplicadas ao exemplo seguido até agora (Figura
2.2), apresentam-se as equações para calcular directamente o valor das populações , e na
situação de a velocidade na parede ser nula.
[
] [∑
∑
]
(3.28a)
[
] [∑
∑
]
(3.28b)
[
] [∑
∑
]
(3.28c)
3.5 Solução analítica para campo de temperaturas com fluxo
imposto na parede
Antes de serem apresentados os resultados, é exposta aqui a dedução da equação que permite
calcular o campo de temperaturas num escoamento entre placas planas, paralelas e infinitas, quando é
imposto um fluxo de calor constante na parede, seguindo o esquema de Incropera et al. para o caso de
um tubo de secção circular. Note-se que a dedução é apenas válida na região hidrodinâmica e
termicamente desenvolvida do escoamento.
41
O primeiro passo é escrever a equação de energia19
,
(
) (
) (3.29)
e simplificá-la segundo as hipóteses seguintes:
i. Não existem termos de fonte e a dissipação viscosa é desprezável;
ii. A componente da velocidade em y é nula - ;
iii. Em escoamento completamente desenvolvido, para fluxo imposto na parede, , é válida a
seguinte equação[56]:
(3.30)
Aplicando estas hipóteses, o balanço de energia reduz-se a
(3.31)
Figura 3.1- Balanço de energia a volume de controle
Para resolver o termo
é necessário efectuar o balanço representado na Figura 3.1, dando
origem à seguinte expressão
(3.32)
em que é o caudal mássico.
Através desta expressão calculada e da equação para o perfil de velocidades (equação 1.5),
substituídas na equação 3.31, obtém-se a seguinte expressão para o campo de temperaturas,
(
)
(3.33)
19
representa a massa volúmica, representa o calor específico, representa a condutividade térmica e
representa o termo da dissipação viscosa; ((
)
[(
)
(
)
])
42
Para resolver os coeficientes e , aplicam-se as condições de fronteira seguintes,
| (3.34)
(3.35)
em que que é a temperatura na parede. A equação que resolve o campo de temperaturas toma
então a seguinte forma
(
) (3.36)
Para ser possível resolver esta equação, é imperativo deduzir uma equação que devolva o valor
da temperatura na parede. Uma forma de o fazer é resolvendo a temperatura média pela sua definição,
através do seguinte integral:
(3.37)
em que é a velocidade média.
A resolução deste integral conduz à seguinte equação que relaciona a temperatura na parede e
a temperatura média:
(3.38)
Para fechar a resolução do problema é necessário uma equação para determinar a temperatura
média. Esta pode ser encontrada na literatura[56], e tem a forma seguinte
(3.39)
em que é a temperatura média à entrada. Juntando as equações 3.36, 3.38 e 3.39, é então possível
descrever analiticamente o campo de temperaturas num escoamento desenvolvido através da seguint
equação
(
)
(3.40)
Relativamente ao número de Nusselt teórico para este escoamento, é possível calculá-lo a
partir da equação 1.15, sendo o seu valor 8.23. Este valor também pode ser encontrado na
literatura[56], assim como o valor na situação de haver temperatura imposta na parede, em vez de
fluxo: o seu valor é 7.54. O número de Nusselt é definido da seguinte maneira:
43
(3.41)
em que é o coeficiente de convecção.
3.6 Resultados e discussão
Serão agora apresentados os resultados computacionais do modelo e esquema de condições de
fronteira, introduzidos previamente neste capítulo, para resolver os escoamentos não-isotérmicos em
estudo.
Algumas das características de implementação que foram utilizadas para a simulação do
escoamento isotérmico serão também aqui utilizadas. Em concreto, a definição do número de
Reynolds será mantida, a geometria do canal permanecerá com o mesmo aspect ratio, e o critério de
convergência da equação 2.37 será aplicado igualmente à temperatura num ponto do centro do
domínio.
Para resolver a parte hidrodinâmica dos escoamentos, foram utilizadas condições de fronteira
periódicas e o esquema de Zou He nas paredes, de modo a que o campo de velocidades tenha a
precisão da máquina. Isto significa que o escoamento está hidrodinamicamente desenvolvido em todo
o domínio para todas as simulações realizadas.
Um pormenor importante da implementação a ter em conta é a escolha dos tempos de
relaxação. Os tempos de relaxação relacionam-se mutuamente através do número de Prandtl pela
seguinte equação,
(3.42)
o que implica que e estão relacionados entre si. Como o número de Reynolds depende do e o
número de Prandtl de ambos, no contexto da simulação o é sempre um parâmetro a ser definido, e o
valor de está sempre dependente dos valores atribuídos ao Pr e ao .
Os número de Prandtl para os quais se apresentam os resultados das simulações foram 0,5, 1,
1,5 e 2, enquanto que, para o tempo de relaxação , os valores utilizados nas simulações aqui
expostas são de 0,4, 0,6 e 0,8.
Para verificar as soluções numéricas, foram utilizados procedimentos distintos para os caso de
fluxo imposto e temperatura imposta, consoante as ferramentas disponíveis para tal.
No caso de fluxo imposto, foi possível verificar o código através da solução analítica deduzida
anteriormente neste capítulo, recorrendo ao cálculo do erro global na região termicamente
desenvolvida do domínio. O primeiro passo é calcular o erro em cada nó a partir da seguinte equação:
(3.43)
44
em que é o valor analítico da temperatura no nó e é o valor numérico da
temperatura que a simulação fornece. O erro global é seguidamente calculado somando o valor
absoluto do erro em cada nó e dividindo esse valor pelo número de nós em que foi calculado o erro.
É importante frisar que este cálculo do valor do erro global só é válido na região em que o
escoamento está completamente desenvolvido, o que significa que os valores do erro não são
calculados em todos os nós do domínio mas somente a partir da secção transversal de nós em que o
escoamento aparenta estar desenvolvido. O critério para reconhecer a partir de que secção começar o
cálculo do erro é identificar aquela a partir da qual o valor da temperatura adimensional não varia
longitudinalmente, como expressa a seguinte equação
[
]
(3.44)
onde é o valor da temperatura adimensional.
Para verificar as soluções do escoamento com temperatura imposta, as opções que se
encontraram para o fazer revelaram-se todas limitada. A opção que acabou por ser escolhida foi
verificar os resultados desta solução através da comparação com a solução fornecida pelo programa de
CFD comercial Fluent. No entanto, não se conseguiu recriar neste software uma situação de
escoamento desenvolvido em todo o domínio. Tendo isso em conta, tentou-se recriar as condições do
escoamento de outra forma.
A alternativa encontrada foi criar um canal com um comprimento de 10 metros e com uma
altura de 1 metro, em que nos primeiros 7 metros, o escoamento é isotérmico, e nos últimos 3, onde o
escoamento ja está completamente desenvolvido, se aplica a condição de temperatura constante na
parede. Em termos hidrodinâmicos, o escoamento desenvolve-se desde um perfil de velocidade
uniforme à entrada até a um perfil desenvolvido. De modo a assegurar que a distância de 7 metros
seria suficiente para que o escoamento desenvolve-se completamente, calculou-se o erro do perfil de
velocidades nessa secção relativamente à solução analítica e obteve-se um valor para o erro de cerca
de 0.008%. Esse valor foi considerado um baixo o suficiente para assumir o escoamento como
hidrodinamicamente desenvolvido.
Devido ao facto de as simulações serem feitas para baixos números de Reynolds, surgiram
fenómenos de condução na direcção contrária ao escoamento, havendo linhas isotérmicas a
atravessarem a secção . De modo que a única solução encontrada foi fazer uma comparação
entre os perfis adimensionais de temperatura que, como foi exposto acima , devem manter-se iguais
em toda a região termicamente desenvolvida do domínio.
No que diz respeito aos métodos numéricos utilizados no Fluent, para resolver a pressão foi
utilizado o método Standard e para a quantidade de movimento e energia o método das diferenças
finitas de segunda ordem. O critério de convergência utilizado foi de que o resíduo para a velocidade e
energia fosse menor que 10-15
e que fosse menor que 10-10
para a massa.
45
O cálculo do número de Nusselt foi feito também com recurso ao campo de temperaturas
adimensional. Por definição, o número de Nusselt é[56]:
(3.45)
em que é o valor da coordenada adimensionalizada pelo diâmetro hidráulico. Em termos práticos,
ou seja, para que o valor do Nusselt seja calculado através dos resultados da simulação, divide-se a
diferença das temperaturas adimensionais na parede e no nó vizinho pela diferença das suas
coordenadas adimensionalizadas.
O cálculo da temperatura média é feito a partir da equação 3.37. Para resolver numericamente
o integral do numerador utiliza-se a regra de integração do trapézio.
3.6.1 Resultados com CF de fluxo imposto
Começa-se a exposição dos resultados obtidos na simulação de um escoamento com fluxo
imposto na parede por apresentar os gráficos e figuras que caracterizam o comportamento do
escoamento no que diz respeito ao campo de temperaturas na região termicamente desenvolvida. Em
primeiro lugar, apresenta-se na Figura 3.3 o aspecto do campo de temperaturas obtido na simulação,
que deve ser comparado com o que se obtém resolvendo analiticamente a evolução da temperatura –
Figura 3.2. Pode constatar-se que são extremamente semelhantes, excepto no que diz respeito junto
aos canto na saída do canal.
Figura 3.2 – Linhas isotérmicas na região termicamente desenvolvida, obtido analiticamente, para um
escoamento com fluxo imposto na parede.
Y
X
5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30
40
50
60
70
80
2.1
2.15
2.2
2.25
2.3
46
Figura 3.3 – Linhas isotérmicas, na região termicamente desenvolvida do domínio, resultante das simulações
numéricas do escoamento com fluxo imposto na parede. Simulação obtida para , ,
, 120x40 nós.
Mostra-se também a Figura 3.4, que representa as evoluções da temperatura média e da
temperatura na superfície, e a Figura 3.5, que ilustra o campo de temperaturas adimensional. Segundo
a literatura[56], espera-se que a evoluções da temperatura média e na superfície do canal sejam sempre
lineares e paralelas na região desenvolvida. No entanto, verifica-se que junto à saída do canal essa
evolução, no caso da temperatura na superfície (Tparede), perde a linearidade e deixa, portanto, de ser
paralela à linha da temperatura média.
Por outro lado, olhando para a figura que representa o campo de temperaturas adimensional –
Figura 3.5 - , é notório que o seu comportamento à saída do domínio é também contrário ao que seria
esperado, pois as isolinhas de temperatura deveriam manter-se paralelas entre si (e às paredes).
Uma nota importante a ter em conta é o facto de que todas as figuras expostas até aqui traduziram o
comportamento de todos os escoamentos simulados com esta condição de fronteira, particularmente a
deficiente simulação à saída.
Y
X
5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30
40
50
60
70
80
2.1
2.15
2.2
2.25
2.3
47
Figura 3.4 - Evolução da temperatura média (Tmédia) e da temperatura na superfície do canal (Tparede) nas
simulações de escoamentos com fluxo imposto na parede.
Figura 3.5 – Linhas isotérmicas calculadas numericamente para um domínio de 120x40 nós e os seguintes
parâmetros: , , , .
Após vistos todos estes resultados, é nítido que a causa destes fenómenos está relacionada com
a modelação dos cantos que se situam à saída do domínio. Para confirmar totalmente o problema
identificado, é apresentada na Figura 3.6 o valor do erro na porção do domínio em que o escoamento
está desenvolvido. Como se pode ver nesta figura, o valor do erro tem uma ordem de grandeza
uniforme em todos os nós menos naqueles que estão junto aos cantos20
. Para perceber as causas desta
ocorrência começa-se por explicar a lógica da sua modelação.
20
Também a Figura 3.6 é válida para todos os escoamentos simulados com fluxo imposto na parede
1,95
2
2,05
2,1
2,15
2,2
2,25
2,3
2,35
0 20 40 60 80 100 120
Tem
pe
ratu
ra
X
Tparede
TmédiaX
Y
5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
48
Figura 3.6 - Valor do erro dos nós na região termicamente desenvolvida nos quais este foi calculado, para uma
simulação com 120x40 nós, , , , .
A equação 3.27, utilizada para calcular as populações indeterminadas nos cantos, baseia-se no
pressuposto de que o valor da temperatura nesse nó é conhecido. Para o caso de estudo deste
escoamento, sabe-se já à partida que a temperatura na parede de uma região termicamente
desenvolvida terá uma variação linear, de modo que se extrapolou o valor da mesma para o canto
segundo a seguinte fórmula,
(3.46)
em que representa a temperatura superfície no ponto de coordenada . Neste caso é igual ao
comprimento do canal em número de nós.
Posto isto, a única explicação encontrada para a ocorrência deste fenómeno tem a ver com o
parâmetro , introduzido na secção 3.4, que ajusta o valor da energia interna no nó. Este parâmetro
toma o valor necessário para corrigir a função distribuição de equilíbrio das várias populações
indeterminadas, ou seja, corrige todas com o mesmo valor. Estas podem então tomar qualquer valor
desde que o seu somatório conserve o valor macroscópico da temperatura. E parece surgir, nestas
circunstâncias, uma incapacidade nos nós vizinhos de absorverem convenientemente os valores dessas
populações, após serem transmitidas no passo da propagação, resultando no fenómeno fisicamente
incorrecto que foi identificado.
Tendo agora uma noção clara deste problema existente nos cantos, é possível fazer uma
análise mais coerente dos restantes resultados, pois fazê-la sem considerar este problema torna-a numa
análise enviesada. Esses resultados, que agora se expõem, têm por fim compreender quais as
consequências para o valor do erro, nas várias simulações, quando os seus parâmetros são variados.
Y
X
5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30
40
50
60
70
80
2
4
6
8
10
12
14
16x 10
-3
49
Em primeiro lugar, veja-se o que acontece quando a malha é refinada, à semelhança do que foi
feito no caso isotérmico, variando o tempo de relaxação e, por consequência, o tempo de relaxação
. Estas simulações foram realizadas com os seguintes valores para os restantes parâmetros21,22
:
, , , . Os resultados do valor do erro encontram-se expostos na
Tabela 3.1.
Y
40 20 10
0,4 0,2 0,04 0,10 0,41
0,6 0,3 0,04 0,11 0,39
0,8 0,4 0,06 0,20 0,72 Tabela 3.1 - Erro(%) em função do número de nós do domínio e dos valores dos tempos de relaxação
Um facto interessante que se pode observar na tabela é existirem valores para o erro muito
semelhantes para os valores de de 0,2 e 0,3, e respectivos de . Esta situação repetiu-se em
simulações com outros números de Reynolds e outros valores para o fluxo. No entanto, não é possível
inferir solidamente algo sobre estes resultados, já que a experiência mostrou que noutros casos esta
pequena diferença nos tempos de relaxação tem uma influência maior no valor do erro. Isto deve-se à
dependência desse valor em relação a outros parâmetros, como os números Reynolds ou Prandtl. A
grande diferença que foi notada na utilização de tempos de relaxação progressivamente mais elevados
foi o número de iterações necessárias para a solução convergir, quer a parte térmica quer a
hidrodinâmica. Por exemplo, para estes tempos de relaxação em que o valor do erro é semelhante (0,2
e 0,3), o número de iterações difere numa ordem de grandeza – para 0,2 são necessárias cerca de 4x104
iterações para a solução convergir e para 0,3 são necessárias cerca de 4x105.
Pelo que se pode analisar pela Figura 3.7, é possível reconhecer que a ordem de convergência
não se distancia muito da 2ª ordem, embora para os tempos de relaxação de 0,2 e 0,3 ela seja de
cerca de 1,7. Mas esta será talvez a análise que pode resultar mais enviesada, pois a “contaminação”
provocada pelos nós nos cantos não varia de forma “regrada”, de modo que é uma análise mais
qualitativa do que quantitativa; daí que o comentário feito seja sobretudo baseado na inspecção visual
do gráfico.
21
representa o valor do fluxo e a temperatura de entrada 22
Para o escoamento com fluxo imposto na parede, a temperatura de entrada utilizada é sempre , de modo que se omitirá daqui em diante essa informação
50
Figura 3.7 - Ordem de convergência para valores de 0.2, 0.3 e 0.4 para o tempo de relaxação , e ,
, .
Apresenta-se também o Figura 3.8 com a comparação do perfil analítico de temperaturas com
o perfil numérico correspondente, numa zona distante o suficiente dos cantos. É possível reconhecer,
apesar dos perfis serem quase coincidentes, que é no centro do perfil onde se verifica a maior distância
entre os dois, e que junto às paredes eles são praticamente coincidentes – o valor do erro nos nós do
meio do perfil é de 0,008%. Este comportamento verificou-se nos resultados das várias simulações.
Figura 3.8 - Perfis de temperatura calculados analítica e numericamente numa secção transversal da região
termicamente desenvolvida. Parâmetros de simulação: 120x40 nós, , , , .
Algo que também é de referir relativamente à variação do erro, é o facto de este diminuir com
o aumento do aspect ratio da geometria. No caso de uma geometria com 120x40 nós, comparada com
uma de 240x40, o valor do erro na situação da primeira foi de cerca de 0,04%, como foi já visto, e a
para a segunda o valor do erro de cerca de 0,02%, ou seja, cerca de metade. Este é o resultado
0,01
0,10
1,00
10,00
1 10 100
err
o(%
)
Y
0.2
0.3
0.4
2ª ordem
2,04
2,06
2,08
2,1
2,12
2,14
2,16
0 10 20 30 40
Tem
per
atu
ra
y
analítico
numérico
51
expectável tendo em consideração a menor influência dos cantos no domínio, pois para um
determinado número de nós na direcção y, a região “contaminada” pelo erro existente nos cantos
mantém-se constante – comparar a Figura 3.5 com a Figura 3.9. Estes resultados (240x40 nós) foram
obtidos para a seguinte conjugação de parâmetros: , , , .
Figura 3.9 - Campo de temperaturas para um domínio de 240x40 nós e os seguintes parâmetros: ,
, , .
Relativamente à evolução com o número de Reynolds, pode constatar-se na Tabela 3.2 que
para valores desse parâmetro mais elevados o erro vai diminuindo ligeiramente. A tendência verificou-
se em várias simulações com parâmetros diferentes, de modo que os que se expõem na Tabela 3.2 são
representativos da tendência.
Tabela 3.2 - Variação do valor do erro(%) com o Re, para simulações com , , ,
domínio de 120x40 nós.
Os resultados do valor do erro em função da variação do número de Prandtl são
exemplificados na Tabela 3.3. Os valores dos outros parâmetros dos escoamentos com que foram
simulados estes números de Prandtl são: , , .
Relembre-se que, pela equação 3.42, se o for fixado, à medida que o valor do número de
Prandtl aumenta, o valor de vai diminuindo. Daí que quando o Pr tem um valor igual a 2, a solução
Y
X
5 10 15 20 25 30 35 40
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Re 10 20 40
Erro(%) 0,05 0,041 0,040
52
instabilize, pois , o que conjugado com os restantes parâmetros dá origem a uma solução
instável. Por exemplo, se se atribuir ao Reynolds um valor de 40, a solução já é estável e o valor que
se obtém para o erro global é de 0,16%, o que mostra que a escolha dos parâmetros de simulação –
principalmente uma escolha adequada dos tempos de relaxação - é determinante para obter bons
resultados no LBM.
Tabela 3.3 - Variação do erro(%) com o número de Prandtl em simulações com , , ,
domínio de 120x40 nós
A influência da variação do número de Prandtl no comportamento do escoamento pode ser
verificada comparando as figuras 3.4 e 3.7, constatando-se que na Figura 3.10, num escoamento para
um Pr=0,2, a região de desenvolvimento térmico é mais curta que na Figura 3.5, onde o escoamento
tem um Pr=1.
Figura 3.10 – Linhas isotérmicas de para um escoamento com um número de Prandtl
No que diz respeito à variação do valor do fluxo, a mostra também resultados representativos
dos que se obtiveram para diferentes parâmetros, e mostra que o valor do erro vai diminuindo para
valores do fluxo de calor mais baixos.
Y
X
5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pr 0,5 1 1,5 2
Erro(%) 0,02 0,04 0,05 instável
53
Tabela 3.4 - Variação do erro(%) com o aumento do valor do fluxo imposto num domínio com 120x40 nós e
,
Considerou-se importante, no contexto da análise deste parâmetro – o fluxo – desenvolver um
pouco a forma de abordar os problemas quando são implementados em LBM. Como se pode ver na
tabela 3.4, o fluxo não apresenta unidades. Na realidade, no universo do LBM todos os problemas e as
suas grandezas físicas são tratados de forma adimensional. Em particular, se se quiser transpor o valor
de um parâmetro físico como o fluxo para uma simulação do LBM, este não pode ser contabilizado
isoladamente (pois não existem unidades de potência na lattice), mas sim o rácio , ou seja, o rácio
entre o fluxo e a condutividade térmica. Este rácio é igual ao gradiente de temperatura na parede, e
esse é possível adimensionalizar através de uma temperatura de referência. Significa isto que, se a
condutividade for mantida constante, quando o fluxo é variado, o que objectivamente se está a fazer é
variar a diferença de temperatura entre a parede e o nó vizinho dentro do escoamento.
Por último, conclui-se esta análise apresentando os resultados para o número de Nusselt. Na
tabela 3.5, apresenta-se a evolução do seu valor calculado com a discretização do domínio. É possível
constatar que o valor do Nusselt para um domínio com 120x40 nós já está perto do valor teórico – 8,23
– e é mesmo excedido quando a malha possui 240x80 nós.
Tabela 3.5 - Valor do número de Nusselt para diferentes discretizações do domínio para , ,
Para todas as simulações realizadas com uma malha de 120x40 nós, os valores obtidos
encontram-se numa gama entre 8,17 e 8,22. Para malhas com um número de nós mais elevado
(240x80) os valores encontram-se entre 8,25 e 8,32, o que indica a tendência de o valor do Nu,
calculado numericamente, ser ligeiramente superior ao teórico.
É importante fazer um comentário final para referir que os problemas encontrados na
modelação dos cantos, amplamente aqui discutidos, encontram paralelo na literatura[45], onde é
reportada pouca concordância entre os valores numéricos e analíticos nas regiões junto às fronteiras
onde são impostas condições de fluxo imposto.
0,001 0,005 0,01
Erro(%) 0,04 0,08 0,11
Y 10 20 40 80
Nu 5,4 7,84 8,18 8,25
54
3.6.2 Resultados com CF de temperatura imposta
Devido às limitações já descritas, a verificação e análise dos resultados das simulações para
escoamentos com temperatura imposta nas paredes como condição de fronteira será feita através de
comparação gráfica e numérica (através do valor do erro médio).
O primeiro resultado que se apresenta é a comparação dos valores da temperatura
adimensional numa secção transversal da região termicamente desenvolvida, entre um escoamento
simulado no Fluent e no código de LBM23
. Os parâmetros de simulação foram: , ,
, . Em específico para o LBM, e . Essa comparação apresenta-
se de duas formas: na primeira, o erro médio de uma solução relativamente à outra, que foi de 1,82%;
na segunda comparação, gráfica, percebe-se em que pontos dos perfis as soluções são mais distintas. A
comparação gráfica pode ser feita consultando a Figura 3.11. Refira-se que o número de nós da secção
transversal utilizado foi igual nas duas simulações e que esta é a única comparação através do valor do
erro que será feita.
Analisando os dados existentes, por um lado na Figura 3.11 é notório que na sua região central
as soluções não coincidem, e por outro, o valor do erro calculado tem uma magnitude duas ordens de
grandeza acima dos valores calculados para o escoamento com fluxo imposto na parede. Foi também
calculado o número de Nusselt para ambas as simulações, sendo o valor obtido para a simulação do
Fluent de 7,69 e o obtido para o LBM foi de 7,6024
.
Estas comparações permitem desde já justificar estes resultados com dois raciocínios distintos:
ou o LBM simula o escoamento com melhor precisão; ou a verificação de resultados não está a ser
feita de forma correcta.
23
No contexto da análise destes resultados, quando existem comparações de resultados entre LBM e Fluent, sempre que o texto se refere a temperatura está implícita, deste ponto em diante, a referência à temperatura adimensional 24
Para relembrar, o valor analítico do Nu para um escoamento entre placas planas, paralelas e infinitas com a condição de fronteira de temperatura imposta é de 7,54.
55
Figura 3.11 - Comparação dos perfis de para simulações do mesmo escoamento usando o software Fluent e o
código de LBM produzido. Os parâmetros da simulação são: , , , ,
.
Comparem-se agora as soluções do LBM entre si. Comece-se por comparar, para os
parâmetros da situação simulada anteriormente, a utilização de diferentes tempos de relaxação , à
semelhança do que foi feito na análise de resultados para fluxo imposto na parede. Olhando para a
Figura 3.12, pode comparar-se os resultados obtidos para e . É notório que para
qualquer um dos tempos de relaxação simulados, os perfis que se obtêm são praticamente
coincidentes, o que significa que a variação do tempo de relaxação , na gama em que é variado, tem
pouca influência no resultado final do escoamento.
Figura 3.12 - Resultados de para diferentes tempos de relaxação , para um domínio com 300x100nós,
, , , .
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
θ
y/Y
Fluent
LBM
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
θ
y/Y
0.2
0.3
0.4
56
Apresenta-se agora graficamente o efeito da variação do número de nós da malha para dois
desses mesmos tempos de relaxação referidos – 0,2 e 0,3. Só são expostos estes dois gráficos pois são
representativos dos resultados que se obtém para outros tempos de relaxação.
Figura 3.13 - Perfis de para diferentes números de nós em Y, mantendo o aspect ratio, para
Figura 3.14 - Perfis de para diferentes números de nós em Y, mantendo o aspect ratio, para
É possível constatar nestes gráficos que não existe uma diferença apreciável nas soluções dos
escoamentos quando a malha do escoamento é refinada. Importa referir que os resultados para uma
malha com 100 nós na direcção transversal, presentes nas Figura 3.14 e 3.14 para os respectivos
tempos de relaxação, são as mesmas que estão presentes na Figura 3.12, já comparadas anteriormente
com os resultados presentes na Figura 3.11.
Compare-se agora os resultados que se obtêm para diferentes números de Prandtl, com os
resultados que se obtêm novamente através do Fluent . Nos gráficos 3.8 e 3.9 é possível observar o
resultado de simulações realizadas para e .
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
θ
y/Y
100
50
25
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
θ
y/Y
100
50
25
57
Figura 3.15 - Perfis de para e obtidos das simulações de Fluent e do código de LBM
Figura 3.16 - Perfis de teta para e obtidos das simulações de Fluent e do código de LBM
a) b)
Figura 3.17 - Detalhe do centro do perfil para escoamentos com diferentes números de Prandtl das figuras (a)
3.15 e (b)3.16
A Figura 3.17 mostra em detalhe a zona central do perfil, onde existe a maior diferença entre
os perfis, na qual se pode observar que para o a concordância entre os dois perfis parece ser
ligeiramente melhor que para o caso de . Nestes casos não é possível calcular o valor do erro
médio entre os perfis pois as coordenadas dos nós nas duas simulações não são coincidentes.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
θ
y/Y
Fluent
LBM
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
θ
y/Y
Fluent
LBM
58
Esta ligeira diferença na concordância foi também notada quando foi simulado um escoamento
com - Figura 3.18 -, comparado com um e mantendo os restantes parâmetros
constantes ( , , , ).
Figura 3.18 - Perfis de para obtidos através do Fluent e do código de LBM
Expõem-se agora algumas figuras que demonstram o correcto comportamento do escoamento
nas simulações do LBM. Uma figura importante para caracterizar a correcta simulação deste
escoamento é a Figura 3.19, que é exemplificativa do comportamento da temperatura para todos os
escoamentos simulados no código de LBM, e onde é notório que as isolinhas de temperatura se
mantém paralelas em toda a região desenvolvida, ao contrário do que sucede num escoamento com
fluxo imposto.
Figura 3.19- linhas isotérmicas típico para as várias simulações de LBM
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
θ
y/Y
Fluent
LBM
Y
X
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
50
100
150
200
250
300
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
59
A comparação das Figura 3.20 e 3.21 é também útil para esta análise pois ambas ilustram o
campo de temperaturas para diferentes números de Reynolds. Pode conferir-se que para um
escoamento com um número de Reynolds mais baixo, a temperatura do escoamento aproxima-se mais
rapidamente da temperatura das paredes do que com um número de Reynolds mais elevado. Este
resultado é expectável pois quanto mais baixo for o número de Reynolds, maior peso terão os
processos difusivos em relação aos convectivos. Por conseguinte, se o número de Prandtl for mantido
para os dois escoamentos, espera-se que a temperatura da parede se difunda mais rapidamente para
todo o domínio com do que com .
Figura 3.20 – Linhas isotérmicas para uma simulação com Re=10.
Figura 3.21 – Linhas isotérmicas para uma simulação com Re=40
Y
X
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
20
40
60
80
100
120
140
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Y
X
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
20
40
60
80
100
120
140
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
60
Em termos dos valores para o número de Nusselt obtidos nas várias simulações de LBM que
aqui foram descritas, estes estiveram sempre entre 7,60 e 7,56. Nos casos em que foram testadas
diferentes malhas, com e , em malhas com 300x100 e 150x75 nós os Nu rondaram
sempre valores ligeiramente inferiores a 7,60, sendo iguais entre si até à segunda casa decimal. Para
uma malha com 75x25 nós, os valores diferiram um pouco dos anteriores, sendo ligeiramente mais
baixos. Nos outros casos testados de / e / , e aqui apresentados, o valor
foi para ambos de 7,56. O valor máximo do número de Nusselt que se obteve em todas as simulações
registadas foi de 7,60 para e .
Estes resultados obtidos para o valor do número de Nusselt estão em excelente concordância
com o valor teórico e os resultados reportados na literatura[44,45].
Numa nota relativa às causas das diferenças entre os resultados do LBM e do Fluent, é
importante ter em conta que o Fluent resolve de forma discreta o balanço de energia total. Assim
sendo, factores como a dissipação viscosa são contabilizados na resolução do escoamento, e serão
provavelmente os causadores das pequenas diferenças que se verificaram entre os perfis obtidos pelos
dois métodos. Contudo, esta análise não foi detalhada nesta tese por sair do seu âmbito.
61
4 Conclusões
4.1 Sintese conclusiva
O trabalho desenvolvido nesta tese teve como objectivo o estudo de um método numérico – o
LBM – aplicado ao estudo de escoamentos não-isotérmicos, uma área em que este método carece
ainda de afirmação devido às limitações que possui. Este estudo incidiu no teste de modelos e
esquemas de condições de fronteira num problema de teste não testado na literatura- o escoamento de
Poiseuille entre placas planas, paralelas e infinitas.
O estudo deste método foi feito, numa primeira fase, recuperando os fundamentos do LBM e
um modelo e esquemas de condições de fronteira para escoamentos isotérmicos, o que forneceu uma
base para o compreender e resolver a parte hidrodinâmica dos escoamentos. Numa segunda fase, foi
deduzido um modelo e um esquema de condições de fronteira, escolhidos pela sua adequação à
resolução deste problema de referência. A implementação destes modelos teóricos incidiu na
resolução de escoamentos com temperatura e fluxo de calor impostos nas paredes.
Foram criados diferentes códigos computacionais para resolver ambos os escoamentos
isotérmico e não-isotérmico, dos quais se obtiveram os resultados pretendidos.
Os resultados das simulações feitas para escoamentos isotérmicos referem-se às diferentes
condições de fronteira utilizadas – velocidade, pressão e periódicas – recorrendo aos esquemas de
implementação das mesmas – Zou He e bounceback.
Os resultados obtidos com condições de fronteira periódicas, no caso de soluções estáveis,
estavam afectadas de erros em relação à solução analítica do escoamento da ordem da precisão da
máquina, para condições de fronteira na parede implementadas com o esquema Zou He. Com o
esquema bounceback implementado nas paredes, o menor erro obtido foi de 0,06% e obteve-se sempre
convergência de segunda ordem, com excepção do caso em que se utilizou o tempo de relaxação
mágico, para o qual o valor do erro é da ordem da precisão da máquina. Os valores do erro obtidos
nestas condições não variaram com o número de Reynolds, e, para uma dada discretização do
domínio, diminuíram quando os valores do tempo de relaxação se aproximaram do tempo mágico
Com a utilização de condições de fronteira de velocidade imposta à entrada e saída, os
resultados obtidos com esquema bounceback nas paredes exibiram um erro mínimo de 0,03%, para
cujos parâmetros também se verificou convergência de segunda ordem. Para outros parâmetros de
simulação, a ordem de convergência alcançada também rondou a segunda ordem, sendo o valor mais
62
baixo alcançado de 1,7. Os valores do erro apresentaram uma tendência de diminuição com a
diminuição do tempo de relaxação e do número de Reynolds.
Quando foi usado o esquema de Zou He nas condições de fronteira na parede, com condições
de velocidade à entrada e à saída, obtiveram-se resultados surpreendentes, para os quais não se
encontrou paralelo na literatura. A convergência alcançada para os resultados foi de primeira ordem,
verificando-se uma tendência de diminuição do erro com o aumento do número de Reynolds e a
aproximação do tempo de relaxação aqui chamado mágico. O valor mais baixo do erro obtido foi ,
surpreendentemente, para uma malha de 60x20 nós, e não para malhas mais refinadas, sendo o seu
valor de 0,52%. Se for excluído este caso anómalo, os erros mais baixos obtidos rondaram o valor de
1,5%.
No caso das condições de fronteira de pressão imposta à entrada e saída, verificaram-se
problemas de convergência da solução à entrada e à saída do domínio, dependendo do esquema
implementado na parede – Zou He ou bounceback, respectivamente. Os resultados obtidos com o
esquema de Zou He nas paredes apresentam muitas semelhanças com os resultados obtidos através do
software Fluent, onde também se detectou a dificuldade de convergência com diferença de pressão
imposta entre a entrada e saída. Para testar o escoamento nestas condições recorreu-se à utilização de
outro modelo – o modelo D2Q9i incompressível – através do qual se obtiveram erros da ordem da
precisão da máquina. Recomenda-se assim a utilização deste modelo quando são simulados
escoamentos com estas condições de fronteira.
Com base na análise em todos os resultados obtidos em escoamentos isotérmicos, optou-se por
implementar condições de fronteira periódicas com esquema de Zou He na parede para resolver a
parte hidrodinâmica dos escoamentos não-isotérmicos.
Para verificar os resultados das simulações de escoamentos não-isotérmicos, duas estratégias
foram utilizadas, dependendo da condição de fronteira imposta: para escoamentos com fluxo de calor
imposto as soluções foram verificadas na região termicamente (e hidrodinamicamente) desenvolvida
através da comparação com a solução analítica, deduzida no contexto deste trabalho; para o
escoamento com temperatura imposta, as soluções foram verificadas através da comparação do perfil
de temperaturas adimensional com o mesmo perfil obtido da simulação de um escoamento utilizando o
software Fluent, simulado nas mesmas condições.
No que diz respeito aos resultados obtidos em escoamentos com fluxo imposto na parede, é
importante salientar que em todos eles o valor do erro global, para malhas com pelo menos 120x40
nós, se situa sempre abaixo de 0,07%.
Para a simulação deste escoamento, foi identificada uma modelação deficiente dos cantos à
saída do domínio, surgindo nos resultados uma região em torno destes onde a ordem de grandeza do
erro local difere da do restante domínio. Não foi possível encontrar uma solução satisfatória para
atenuar este erro nos cantos. No entanto, os valores máximos do erro local registados ficaram sempre,
para qualquer simulação realizada, abaixo de 2,5%.
63
Tanto quanto a ordem de convergência pôde ser estudada, tendo em conta o enviesamento que
o erro nos cantos pode introduzir, os resultados obtidos indicam que aquele pouco se distancia da
segunda ordem.
Quanto à evolução do erro com os restantes parâmetros, registou-se uma diminuição do erro
com a diminuição do número de Prandtl, aumento do número de Reynolds e diminuição fo fluxo
imposto.
No cálculo do número de Nusselt, para o escoamento com fluxo imposto na parede, os
resultados deste tenderam para valores entre 8,25 e 8,32. Boa concordância com o valor teórico – 8,23-
foi assim alcançada.
Nos resultados das simulações para escoamentos com temperatura imposta, a única verificação
numérica feita entre os resultados extraídos do Fluent e dos códigos de LBM devolveu um erro médio
entre os perfis de temperatura adimensional de 1,8%, embora o número de Nusselt calculado com o
LBM esteja mais próximo do valor teórico correcto - 7,54 – do que o calculado a partir do Fluent –
7,60 contra 7,69. Em termos de comparação gráfica, observou-se que os perfis distanciavam-se mais
na sua zona central.
Compararam-se os perfis das soluções obtidas com LBM para diferentes discretizações do
domínio, em diferentes tempos de relaxação, e verificou-se que independentemente da discretização os
perfis coincidem quase perfeitamente.
Para números de Prandtl e Reynolds mais elevados, verificou-se que a concordância entre os
perfis obtidos das simulações de LBM e Fluent é ligeiramente melhor.
Uma observação importante, que permite concluir que os erros da modelação dos cantos no
escoamento com fluxo de calor imposto são próprios da simulação desse escoamento, é o facto do
campo de temperaturas adimensional para o escoamento com temperatura imposta na parede, ter
linhas perfeitamente paralelas em toda a região desenvolvida.
Os valores obtidos para o número de Nusselt para escoamento com temperatura imposta
tenderam para valores entre 7,60 e 7,56. Estes resultados encontram-se em boa concordância com os
valores teóricos esperados – 7,54 – e com os resultados reportados na literatura.
64
4.2 Propostas de trabalho futuro
Concluído este trabalho, ficam ainda algumas questões por solucionar ou resultados sem
respostas satisfatórias para os justificar.
Em primeiro lugar, propõe-se para trabalho futuro desenvolver melhores ferramentas de
verificação dos resultados obtidos para escoamentos com temperatura imposta na parede.
Seguidamente, propõe-se também investigar formas de resolver o valor das populações
indeterminadas nos cantos do domínio quando lhe é imposta uma condição de Neumann ( fluxo
imposto).
Partindo dos códigos computacionais já desenvolvidos, propõe-se que estes sejam utilizados e
melhorados em trabalho futuro para resolver problemas com geometrias mais complicadas ou sejam
testados noutros problemas de referência.
O escoamento que foi testado com condições de fronteira de velocidade imposta à entrada e
saída do canal e esquema de Zou He nas paredes deixou várias interrogações, e poderá ser alvo de um
estudo mais aprofundado que forneça respostas mais esclarecedoras.
65
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