Sintonia de Controladores PID - dt.fee.unicamp.brvargas/principiosCap12.pdf · • Métodos de sintonia automática vêm sendo desenvolvidas e algumas ... R(s) Y(s) 4500K s(s+361.2)

Sintonia de Controladores PID

Objetivo: Determinar Kp, Ki e Kd de modo a satisfazer

especificacoes de projeto.

Os efeitos independentes dos ganhos Kp, Ki e Kd na resposta de malha fechadado sistema sao resumidos na Tabela seguinte:

tr MO ts ess Estabilidade

Kp Decresce Aumenta Aumenta pouco Decresce Degrada Ki Decr. Pouco Aumenta Aumenta Decr. Muito Degrada Kd Decr. Pouco Decresce Decresce Influi Pouco Melhora

Figura: Controle PID de uma planta.

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B. A. Angelico, P. R. Scalassara, A. N. Vargas, UTFPR, Brasil


PID apresenta muitas vantagens. A industria percebeu isso, o que justificaque a maior parte dos controladores industriais empregam esquemas decontrole baseados em PID.

Os controladores PID na industria comumente sao ajustadosempiricamente (tentativa-erro).

Metodos de sintonia automatica vem sendo desenvolvidas e algumasimplementacoes industriais de controlador PID tem a capacidade deefetuar a sintonia automatica on-line.

Regras empricas sao propostas na literatura e permitem ajustar osparametros do PID sem conhecimento do modelo matematico da planta.

Tais regras fornecem estimativas dos valores dos parametros docontrolador e proporcionam um ponto de partida para uma sintonia maisfina, caso necessaria.

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+

R(s) Y (s)Gp(s)Gc(s)

plantacontrolador

entrada sada

O controlador e

Gc(s) = Kp +Ki

s+ Kds.

Objetivo: Como escolher Kp, Ki e Kd de modo a satisfazer

especificacoes de projeto?

A resposta pode ser muito difcil de se obter.

A literatura sugere alguns metodos, mas estes ainda possuem muitaslimitacoes.

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PD Estudo de caso

ProjetoDesejamos projetar um controlador de posicao para um aviao.

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PD Estudo de caso

+R(s) Y (s)

Gp(s)Gc(s)

plantacontrolador

entrada sada

Esquematico em blocos do aviaoO esquematico em blocos do aviao pode ser representado de uma maneirasimplificada pelo diagrama de blocos acima no qual

Gp(s) =4500K

s(s + 361.2)

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PD Estudo de caso

+

R(s) Y (s)4500K

s(s+361.2)Gc(s)

plantacontrolador

entrada sada

ProjetoDetermine o controlador Gc(s) de modo que:(a) Erro estacionario devido a entrada rampa unitaria 0.000433.(b) Maximo overshoot 5%.(c) Tempo subida tr 0.005 seg.(d) Tempo assentamento ts 0.005 seg.

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Solucao 1: Vamos adotar o controlador no formato proporcional:

Gc(s) = 1

Para satisfazer item (a), temos

lims0

sG(s) = 12.45K .

Entao

0.000443 ee =1

12.45K K 181.18.

Usando a malha fechada

4500K

s(s + 361.2) + 4500K=

2ns2 + 2ns + 2n

e adotando K = 181.18 encontramos = 0.2. Este valor produz maximoovershoot de 52.7% que nao satisfaz especificacao. Aumentando-se Ktambem aumenta Movershoot. Conclusao: controlador proporcional naoatende o projeto.

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Solucao 2:Vamos adotar o controlador PD:

Gc(s) = Kp + Kds

Vamos adotar K = 181.18 . Entao a nova G(s) resultante (ou sejaG(s) = Gc(s)Gp(s)) e

G(s) =815265(Kp + Kds)

s(s + 361.2)

M(s) =815265(Kp + Kds)

s2 + (361.2 + 815265Kd)s + 815265Kp

Para calcular a especificacao do item (a) temos:

Kv = lims0

s

(

815265(Kp + Kds)

s(s + 361.2)

)

= 2257.1Kp

Entao

0.000443 ee =1

Kv=

1

2257.1Kp Kp 1 .

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Vamos considerar Kd muito pequeno, ou seja, Kd 0. Entao

M(s) =815265(Kp + Kds)

s2 + (361.2 + 815265Kd)s + 815265Kp

815265Kp

s2 + (361.2 + 815265Kd)s + 815265Kp=

2ns2 + 2ns + 2n

Logo

2n = 361.2 + 815265Kd 2n = 815265Kp

Para satisfazer item (b) temos que Mo 0.05, o que implica em

= ln(0.05)

2 + ln2(0.05)= 0.7

Portanto Mo 0.05 requer 0.7 < 1. Vamos adotar = 0.7 .

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Vamos adotar Kp = 1 pois satisfaz item (a). Lembre-se que

2n = 361.2 + 815265Kd 2n = 815265Kp (1)

Entao usamos a Eq. (1) para encontrar n = 902.92 e Kd = 0.001107. Comestes valores calculamos

tr =0.8 + 2.5

n= 0.00282 seg. ts =

4

n= 0.00632 seg.

O tempo ts nao atende especificacao.

E necessario escolher outro valor para Kp. Vamos entao agora adotar Kp = 10pois satisfaz item (a). Usando a Eq. (1) novamente encontramosn = 2855.28 e Kd = 0.00446. Com estes valores calculamostr = 0.00089 seg.; ts = 0.002 seg. Agora sim as especificacoes sao satisfeitas eKd encontradoe muito pequeno.

Conclusao: Kp = 10 e Kd = 0.00446 atendem as especificacoesdesejadas para o controlador de posicao do aviao.

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PI Estudo de caso

+

R(s) Y (s)815265s(s+361.2)

Gc(s)

plantacontrolador

entrada sada

ProjetoDetermine o controlador Gc(s) de modo que:(a) Erro estacionario devido a entrada parabolica unitaria 0.2.(b) Maximo overshoot 5%.

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Solucao:Vamos adotar o controlador PI:

Gc(s) = Kp +Ki

s

Entao a nova G(s) resultante (ou seja G(s) = Gc(s)Gp(s)) e

G(s) =815265(Kp + Ki/s)

s(s + 361.2)=

815265Kp(s + Ki/Kp)

s2(s + 361.2)

Para calcular a especificacao do item (a) temos:

Ka = lims0

s2(

815265Kp(s + Ki/Kp)

s2(s + 361.2)

)

=815265Ki361.2

= 2257.1Kp

Entao

0.2 ee =1

Ka=

1

2257.1Kp Ki 0.002215 .

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Para satisfazer item (b) temos que Mo 0.05, o que implica em

= ln(0.05)

2 + ln2(0.05)= 0.7

Portanto Mo 0.05 requer 0.7 < 1. Vamos adotar = 0.7 .Vamos considerar Ki/Kp muito pequeno, ou seja, Ki/Kp 0. Entao

G(s) =815265Kp(s + Ki/Kp)

s2(s + 361.2)

815265Kps(s + 361.2)

Usando essa G(s) aproximada acima encontramos

M(s) 815265Kp

s2 + 361.2s + 815265Kp=

2ns2 + 2ns + 2n

Logo

2n = 361.2 2n = 815265Kp

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Usando = 0.7 nas formulas

2n = 361.2 2n = 815265Kp

obtemos n = 255.4 e Kp = 0.08.Perceba que a unica restricao que nos e imposta e que Ki/Kp seja muitopequeno, ou seja, Ki/Kp 0. Aqui adotamosmuito pequenocomo sendoKi

Kp= 0.5 pois esse valor quando comparado ao 815265 e desprezvel.

Conclusao: Kp = 0.08 e Ki = 0.04 satisfazem as especificacoes doprojeto.

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PI Estudo de caso

A figura mostra a influencia da escolha de Ki/Kp no maximo overshoot,tempo de subida tr e tempo de assentamento ts .

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Discussao de Metodos

Fatos

Note que nos metodos anteriores realizamos um desenvolvimentoalgebrico-matematico para determinar Kp e Ki (ou Kp e Kd). Naodesenvolvemos metodo para computo simultaneo dos tres parametros Kp,Ki , e Kd .

Os metodos anteriores necessitam de um modelo matematico G(s). Sem oconhecimento de G(s) nao se pode aplicar os metodos.

Os metodos anteriores so se aplicam para restricoes basicas em controle,tais como o maximo overshoot, tempo de subida, tempo de assentamento.

Os metodos anteriores so se aplicam para sistemas de ordem pequena,grau 2.

Ha metodos mais elaborados que tratam de sistemas de ordem superior a2, mas nao ha garantia de cumprimento das especificacoes.

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Metodos Baseados na Curva de Reacao

Baseados na resposta experimental da planta (em malha aberta) ao sinalde excitacao em degrau. Aplica-se entrada degrau na entrada e observa sea sada possui um formato emS.

Figura: Resposta ao degrau unitario de uma planta.

Caso a planta nao possua integradores nem polos complexos, a resposta aodegrau pode ter o aspecto de umS(curva de reacao). Os metodosbaseados na curva de reacao se aplicam somente em plantas com respostaao degrau que tenham esse aspecto.

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A curva emSpode ser caracterizada pelo ganho estatico K , pelo atraso L ea constante de tempo T . A funcao de transferencia pode ser aproximada porum sistema de primeira ordem com atraso de transporte. A funcao detransferencia eLs corresponde a um atraso no tempo. Da o nome atraso detransporte (ou tempo morto).

Y (s)

R(s)=

K eLs

Ts + 1

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A seguir sao apresentadas tres formas distintas de se obter K , L e T . Naprimeira forma, desenha-se uma linha tangente ao ponto de inflexao edetermina-se a interseccao desta linha com c(t) = 0 e c(t) = K . T e dadopela distancia AC , enquanto que L e dado pela distancia desde a origem ate oponto de interseccao da reta tracada com o eixo t. A inclinacao da reta eP = K

T, como mostrado na Figura.

Figura: Curva de resposta em forma deS.

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Metodo 1 de Ziegler e Nichols:

Ziegler e Nichols sugeriram escolher Kp, Ti e Td de acordo com a seguintetabela:

Controlador Kp Ti Td

PT

KL 0

PI0.9T

KL

L

0.30

PID1.2T

KL2L 0.5L

O metodo Ziegler-Nichols considerou a forma de identificacao curvaS.Os valores nesta tabela foram determinados de forma emprica. Ocontrolador PID sintonizado por esse metodo fornece

Gc(s) = Kp

(

1 +1

Tis+ Tds

)

=0.6

P

(

s + 1L

)2

s, (2)

Controlador Z-N possui um polo na origem e zeros duplos em s = 1/L.20 of 33


Metodo de Cohen-Coon:


PT

KL

(

1 +0.35

1

)

0

PI0.9T

KL

(

1 +0.92

1

)

3.3 31 + 1.2

0

PID1.35T

KL

(

1 +0.18

1

)

2.5 21 0.39

L0.37 0.371 0.81

L

= L/(L+ T ) .

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Metodo de Chien-Hrones-Reswick (CHR):

Chien, Hrones and Reswick (CHR) propuseram dois criterios de sintonia:resposta mais rapida com 0% de ultrapassagem e resposta mais rapida com20% de ultrapassagem.

Sobresinal 0% 20%

Controlador Kp Ti Td Kp Ti Td

P 0.3TKL

0.7TKL

PI 0.35TKL

1.2T 0.6TKL

T

PID 0.6TKL

T 0.5L 0.95TKL

1.4T 0.47L

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ExemploConsidere um processo a ser controlado com a seguinte funcao detransferencia

G(s) =1

(s + 0.5)(s + 1)(s + 1)(s + 2)

O sistema de controle engloba um controlador PID em serie com a planta(compensacao em serie) e realimentacao unitaria.Utilize o metodo de sintonia de Ziegler-Nichols em malha aberta para obteruma estimativa dos parametros de controlador PID.

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Figura: A resposta ao degrau de G(s).

Solucao: Verifica-se que L = 1.3; T = 5.45; K = 1. Logo, segundo o metodode Ziegler e Nichols da curva de reacao, tem-se que Kp = 5.03; Ti = 2.6;Td = 0.65. A funcao de transferencia do controlador PID e dada por

Gc(s) = 3.27(s + 0.7692)2

s(3)

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Figura: Reposta ao degrau do sistema em malha fechada.

Os valores Kp = 5.03; Ti = 2.6; Td = 0.65 geram resposta bastanteoscilatoria. Note todavia que a regra permite se ter um ponto de partidapara, logo apos, realizar-se uma sintonia fina.

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Metodos Baseados na Sensibilidade Limite

Baseado na resposta em malha fechada do sistema de controle,considerando, inicialmente, somente a acao proporcional Kp para levar osistema a condicao de oscilacao sustentada.

Inicialmente, assuma Ti = e Td = 0. Utilizando apenas a acao proporcional, aumente Kp de 0 a Kcr , no qual asada atinja uma oscilacao sustentada, ou seja, o sistema equivalentetorne-se marginalmente estavel.

Se a sada nao apresentar uma oscilacao sustentada, entao esse metodonao se aplica, ou seja, o sistema deve ser capaz de instabilizar com oaumento do ganho para que o metodo seja aplicado.

Figura: Sistema em malha fechada com controlador proporcional.

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Metodos Baseados na Sensibilidade Limite

Figura: Oscilacao sustentada com perodo Pcr .

Se a sada apresentar uma oscilacao sustentada, entao marque o valor Pcr .A formula a seguir e valida:

Pcr =2

cr

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Metodo 2 de Ziegler e Nichols

Ziegler e Nichols sugeriram escolher Kp, Ti e Td de acordo com a seguintetabela:


P 0.5Kcr 0PI 0.45Kcr

Pcr1.2 0

PID 0.6Kcr 0.5Pcr 0.125Pcr

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Metodo 2 de Tyreus e Luyben

Tyreus e Luyblen propuseram uma tabale para o ajusta dos parametros doscontroladores PI e PID, baseados na sensibilidade limite.


PI Kcr/3.2 2.2Pcr 0

PID Kcr/2.2 2.2Pcr Pcr/6.3

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Exerccio

Considere o sistema de controle acima. Considere

G(s) =1

s(s + 1)(s + 5)

Aplique o 2o. metodo de Ziegler-Nichols para obter um controlador PID.

Solucao: A funcao de transferencia de malha fechada do sistema considerandoTi = e Td = 0 e dado por

Y (s)

R(s)=

GC (s)G(s)

1 + GC (s)G(s)=

Kp

s(s + 1)(s + 5) + Kp

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O valor de Kp que leva o sistema a uma oscilacao sustentada (Kcr ) pode serobtido pelo criterio de Routh-Hurwitz.

s3 1 5s2 6 Kp

s130 Kp

6s0 Kp

Como isso, Kcr = 30. A frequencia de oscilacao sustentada e encontradasubstituindo-se s = j na equacao caracterstica, ou seja,

(j)3 + 6(j)2 + 5(j) + 30 = 0 6

(

5 2)

+ j(

5 2)

= 0.

Logo, 2 = 5 =5. Portanto,

Pcr =2

=

25= 2, 8099.

Encontramos:

Kp = 0.6Kcr = 18Ti = 0.5Pcr = 1.405Td = 0.125Pcr = 0.35124

.

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A funcao de transferencia do controlador PID e dada por

GC (s) = Kp

(

1 +1

Tis+ Tds

)

= 18

(

1 +1

1.405s+ 0.35124s

)

=6.3223 (s + 1.4235)2

s

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Dica de atividades

Dica

1. Fazer os Exerccios apresentados no livro K. OGATA,Engenharia deControle Moderno.

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Sintonia de Controladores PIDMtodos sintonia PID

Mtodos Baseados na Sensibilidade Limite

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