Sistemas de Control - UNICEN · Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 12 Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA S C ÁREA DE ELECTRÓNICA FACULTAD

Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 1

Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA

SC ÁREA DE ELECTRÓNICA

FACULTAD DE INGENIERÍA

U.N.C.P.B.A.

© Copyright de G. Acosta - Prohibida la reproducción o utilización de esta obra sin autorización expresa del autor.

Prof. Dr. Gerardo Acosta

Sistemas de Controlapuntes capítulo III

(estabilidad)

Facultad de Ingeniería -UNCPBA

Dto. de Ingeniería Electromecánica

Prof: Dr. Gerardo Acosta





U.N.C.P.B.A.



Estabilidad de Sistemas Lineales Continuos

y(t) = y (t)natural + y(t)forzada

Ø básicamente 4 posibilidades cuando se extingue la excitación:ü salida oscila alrededor de cierto valorü salida persiste en un valor constanteü salida crece sin más límite que la saturación

del sistemaü salida se extingue (se hace = 0)

Ø consideraremos estabilidad:

0=∞→ ny

tlim

y(t)r(t)





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PdhdhMty

dtrhdtrhty

Mr(t)r(t)

dtrhty

<⇒≤∴

−≤−=∴

≤⇒

−=

∫∫

∫∫

∫

∞∞

∞∞

∞

00

00

0

)( )()(

)()( )()()(

acotadaser debe

nconvolució de integral ; )()()(

Schwartz) de (Lema

ττττ

ττττττ

τττ

el área bajo la respuesta impulsional del sistema debe ser finita.


Ø ¿Qué significa esto en el Dominio de Laplace?

ü Polos con parte real negativa en el plano (sq CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE

)()(1)(

)(sHsG

sGsT

+=

-G(s)

H(s)





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Ø es decir, analizar el comportamiento de la

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA (EC)

Ø que puede expresarse como:

Ø para analizar la estabilidad de los LTIS:

qCriterio de Routh-HurwitzqMétodo del lugar de las raíces (Evans)qDiagramas de Bode qDiagrama de Nyquist

0)()(1 =+ sHsG

0...)()(

1)(1 01

1 =+++=+=+ −− asasa

sqsp

KsF nn

nn





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Criterio de Routh-Hurwitz

ü indica si existen o no polos en el spl. derecho (estabilidad absoluta) q si bien contamos con la facilidad de µpq sin necesidad de calcular las raíces de ECq útil para parámetros desconocidos (k)

Ø a partir de la expresión de la EC:

ü la condición necesaria para que existan raíces con parte real negativa:q todos los coeficientes de esta ecuación tengan

el mismo signoq ninguno de estos coeficientes se anule

ü la condición suficiente:q todos los determinantes de Hurwitz

Dk ; k=1, 2, …,n

deben ser positivos

0... 011

1 =++++ −− asasasa n

nn

n





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Método de Routh-Hurwitz

Ø tabla de Routh:

üCRITERIO: habrá tantas raíces en el spl. derecho como inversiones de signo en la primera columna de la Tabla de Routh

...1

21311

1

5412

1

3211

bbaab

c

aaaaa

b

aaaaa

b

nn

n

nnnn

n

nnnn

−−

−

−−−

−

−−−

−=

−=

−=

n

nn

nnn

nnn

n

nn

nnn

nnn

nn

nnn

a

a

aaaaaaaa

D

aaaaaaaa

Daaaa

DaD

.000.....

00000000

;...0

; ;

0

31

42

531

31

42

531

32

31211

LOMMMLLL

−−

−−

−−−

−−

−−

−−−

−

−−−

=

===

üdonde los coeficientes de la expresión anterior con subíndice > n o <0 se reemplazan por 0.

sn a n a n-2 a n-4 ...

s n-1 a n-1 a n-3 a n-5 ...

s n-2 b 1 b 2 b 3 ...

s n-3 c 1 c 2 c 3 ...

... ... ... ... ...





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s 4 1 6 7

s 3 2 1 0 0

s 2 1 7 0

s 1 - 4 0

s 0 7


Ø Ejemplo 1:

ü 2 polos en el spl. derecho

Ø Ejemplo 2:

ü 2 inversiones y por lo tanto 2 polos en el spl. derecho

0322 :EC 234 =++++ ssss

071062 :EC 234 =++++ ssss

s0

s1

...30s2

021s3

321s4

3s0

00(2 ε-3)/ ε

s1

03εs2

021s3

321s4

0 pues 3

→−

≅ εε





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ØAplicación:

ØEstabilidad relativa:

q desplazar el eje imaginario una constante a q aplicar el criterio en esta nueva situación


k 12 4 63 2s s s s( )+ + +

R(s) C(s)-

kssssk

sT++++

=642

)( 234s 4 1 4 k

s 3 2 6 0

s 2 1 k

s 1 6-2k 0

s 0 k

k>0

6-2k>0

0<k<3

ass +=′-a σ

j sωj sω ′





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R(s) C(s)

-G(s)

H(s)

K

C sR s

G sG s H s

T L A F s G s H s

( )( )

( )( ) ( )

. . . ( ) ( ) ( )

=+

= =1

Método del Lugar de Raíces o Diagrama de Evans

ü se trazan las raíces de la EC en el plano (s variando un parámetro cualquiera, en general, una ganancia de lazo K.

ü 1+F(s)=0 debe poder escribirse con el parámetro a variar (K) como factor:q sino, se la lleva a esta forma.

ü A partir de 1+F(s)=0 surgen los puntos que pertenecen al LR, satisfaciendo las condiciones de módulo y fase:

por lo tanto, los polos de LC también satisfacen la [1].

0)()(

1 =+sqsp

K

[ ]

=+±==

,...2,1,0);12(º180)()(1)()(

1jjsHsG

sHsG





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Lugar de raíces

REGLAS CONSTRUCTIVAS� Ubicar los polos y ceros de F(s)

� Variando 0<K<infinito continuamente, las raíces se mueven desde los polos de F(s) hacia los ceros de F(s)

� Las porciones del eje real a la izquierda de un nº impar de singularidades de F(s) pertenecen al diagrama, lo cual se verifica fácilmente con puntos de prueba (s1):

°±°=−−−−−+−+−

−−−−

=

360180

)...)(()...)((

)(

2121

21

21

j...psps...zszs

pspszszs

sF

:fase de condiciónpor

los ángulos de los polos complejos conjugados son = y opuestos, luego se anulan. Sólo queda el de 180º que verifica la [1].

s1

p1

p2

p2*

z1

jω

σ





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Lugar de raíces

�Determinar las asíntotas:üEl LR tiene n ramas, donde n es el grado de la EC.üSi F(s) tiene un 0 de orden m en el infinito, habrá m

ramas del LR que se aproximen a infinito cuando Ktienda a infinito, y serán asintóticas a rectas de pendientes:

üestas rectas cortan al eje real en un punto σ0 dado por:

�Encontrar los puntos de ruptura de llegada y partida:üsabiendo que entre 2 polos será una partida y entre 2

ceros, una llegadaüson raíces múltiples de la EC, por lo tanto, se obtienen

derivando el parámetro respecto de s :

,...3,2,10,=j ;)12(

mj

j

πα

+=

m

zpi

ii

i ∑∑ −=0σ

0)(

)()()()(0)()()(1

2 =′−′

−=

=+=+

spsqspspsq

dsdK

sKpsqsF





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Lugar de raíces

� Determinar los ángulos de partida (llegada) para los polos (ceros) complejos:ü se consideran las contribuciones del resto de las

singularidades

� Encontrar los puntos en los que se corta al eje imaginario:ü criterio de Routhü hacer s = jω en la EC e igualar parte real e imaginaria a

0 y despejar K

� Utilizar la condición de módulo para:ü encontrar una ganancia K correspondiente a un dado

lugar de las singularidades sk del LRü encontrar la ubicación de las singularidades sk del LR

para un dado valor de K; sabiendo que:

∏∏

=

j y ze/sdistancias

i y pe/sdistancias

Kjk

ik

∑ ∑

∑ ∑

Θ=−−−+°∴

Θ=−+−−°∴

illegada

jji

ipartida

jji

zsps

zsps

180

180





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Lugar de raíces

Ø Ejemplo:

R(s) C(s))3)(2)(1( +++ sssk

-





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Sistemas con retardo

üAplicando la propiedad de traslación de una función de la TL:

üSea la FT para la figura:q construiremos su lugar de raíces

G(s)X(s) Y(s)

-

Circulación de aire

l

pt100Calefactor

l[=]m

v[=]m/segRetardo τ = l/v [=]seg y(t) = x (t-τ )

{ }{ }

{ } )()(

)()(

0);()(

sXsXe

txtx

retardo

sFetfs

s

//

=−

=∴

≥=−−

−

τ

α

τ

αα

LL

L

ske

sGs

+=

−

1)(

τ

Ec. Trascendente que da infinitas raíces

01

1.. =+

+=−

ske

CEsτ





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ωτ

ω

3,57º1801

:0

−±=+

==

s

p


ü la cantidad de ramas del L.R. será infinita y la pendiente = 0

ü la condición de ángulo establece que:

ü pero como τ es constante, la fase del retardo es función de ωq para

q para el resto de las ωi, se traza una recta que pasa por σ = -1 con pendiente 180º - 57,3 ωiτ . La intersección de esta recta con la horizontal jωi es un punto del L.R.§ si τ=1el punto de ruptura es -2

)12(º18013,57

(gra)3,57)(

sencos

,...2,1,0);12(º1801

+±=+−−∴

−=−=∴

−==∴

=

=+±=+−

−

−−

−−−

−

ps

radianese

jee

eepero

ppse

s

js

js

s

ωτ

ωτωτ

ωτωττ

ωττ

ωττστ

τ

= 0 (estado estacionario)

= 0





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ü Se verifica que si s tiende a infinito, la FT a LA tiende a menos infinito:q es también polo de L.A.

ü La E.C. tiene infinitas ramas al ir variando p:

ü interesa la rama primaria desde el punto de vista de la estabilidad

Ø CONCLUSIÓN: q el retardo introduce inestabilidadq aun en un primer orden

ωτπωτ −±=−±=+= 33,57º5401:1 si sp

−∞=s

-10 -5 0 5 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Real Axis

Imag

Axi

s

Lugar de raíces para 1er orden con retardo

-jπ

jπ

p=0

p=1

p=1

-j3π

j3π

kc=8kc=2





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Respuesta en Frecuencia

Ø ¿Cómo se encuentra la RF de un LTIS?ü se varía la frecuencia de una sinusoide a la

entrada y se registra cómo varía la salida

Ø Ventajasü sencillas y bastante exactasü determinación en forma experimental de la

FT de componentes complejos

ü sea un LTIS estable:

por lo tanto

G(s)G(s)X(s) Y(s)

tXsentx ω=)(

))...()(()(

)()(

)(21 nsssssssP

sQsP

sG+++

==

)()()(

)( sXsQsP

sY =





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Ø Desarrollando en fracciones parciales:Y(s) = G(s) X(s) = G(s)

ü a y bi (i = 1,2,...n) son constantes y a* es el complejo conjugado de a.

ü Antitransformando:

y como el sistema es estable, en estado estacionario tendremos que:

ü Esto para polos distintos, si se incluyen polos sj de multiplicidad mj, y(t) incluirá términos como

n

n

ssb

ssb

ssb

jsa

jsa

sY+

+++

++

+−

++

= ...*

)(2

2

1

1

ωω

tsn

tststjtj nebebebeaaety −−−− +++++= ...*)( 2121

ωω

tjtjss eaaety ωω *)( += −

1,...,1,0con −=

−

ji

tsh

mhet ji

22 ωω+sX

Seno @ Laplace





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ü luego

ü así se demuestra que LTIS ante una señal senoidal de entrada, una vez alcanzado el estado estacionario, posee una salida deigual frecuencia

ü en estado estacionario se puede reemplazar en la FT s por jω

jjXG

aj

jXGa

2)(

2)( * ωω

=−−

=

{ }{ }

=== −

)(Re)(Im

)(;)()( 1

ωω

ωθωω θ

jGjG

tgjGejGjG j

θθ ωωω jj ejGejGjG −− =−=− )()()(

)sen()(2

)()()()(

θωωωθωθω

+=−

=+−+

tjGXjee

jGXtytjtj

ss

)sen()( θω += tYty ss

ωω

ωω

jsjs

sX

sGa−=

++

= )()( 22





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ü La amplitud de salida S esüEl desfasaje entre E y S esü de este modo módulo y fase de la función

de transferencia senoidal son:

ü ejemplo

si se puede hallar reemplazando s por jω

)( ωjGX

)()(

)(;)()(

)(ωω

ωωω

ωJXjY

jGJXjY

jG ==

)( ωjG

)( ωθ jG=

1+TskX(s) Y(s)

eetyttx )(sin)( →= ω

1)(

+=

Tjk

jGω

ω

221)(

T

kjG

ωω

−= ωθ Ttg 1−−=

)(1

)( 1

22ωω

ωTtgtsen

T

Xkty ee

−−+

=∴





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Relación con el mapacero - polar

; p y z son reales

ü elijo un punto de prueba P:

ü es posible obtener módulo y fase a partir del mapa cero-polar de la FT

)()(

)(psszsk

sG++

=

)()(

)(pjj

zjkjG

++

=∴ωω

ωω

21

11 90

θθϕ

ωω

−−=

−−= −−

ptg

ztg o

BPOP

APk

pjjzjk

jG =+

+=

ωωω

ω )(

pjjzjjG +−−+= ωωωω)(

O

ωj

σ2θ ϕ

AB

P

O XX 1θ





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Diagramas de Bode

Ø Se tienen dos gráficos:ü log vs. logü vs. log

ü normalización del módulo ü en (db), escala logarítmica de

q su ventaja es la sencillez

ü factores básicos:ganancia k:

20 log k = cte. (si k>1) ó k = -cte. (si k<1)q amplificación o atenuación

)( ωjG ω)( ωjG ω

)(log20 ωjG→ω

1 10 100

cte.

-cte.

[ ] db

ωlog





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Diagramas de Bode

ü factor integral:ü polo:

q ubicamos un puntoq la pendiente es -20 db/década

ü factor derivativo:ü cero:

ωω

log201

log20 −=j

ωj1 [ ]db

º901

−=ωj

1;0 =ωdb

( )ωj ωω log20log20 =jº90=ωj

[ ]db

ωlog

ϕ

ωlog1 10 100 1 10 100

20

-20

l l db

-90

ωlog ωlog

ϕ

1 10 100 1 10 100

l l db

9020

-20





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Diagramas de Bode

Ø En definitiva:ü si orden del sistema = n, entonces pendiente = -

20n y fase = -90nü Ejemplo: para un sistema de segundo orden:q pendiente = - 40 db/dec., fase = - 180

Ø Primer ordenüPolo en 1/T:

[db] 1log201

1log20 22T

Tjω

ω+−=

+

[ ]dbTT 01log201log201 22 =−≅+−∴<< ωω si

[ ]dbTTT ωωω log201log201 22 −≅+−∴>> si

1 0-3

1 0-2

1 0-1

1 00

1 01

-4 0

-2 0

0

F re q u e n c y ( r a d /s e c )

Gai

n dB

1 0-3

1 0-2

1 0-1

1 00

-2 0 0

-1 0 0

0

F re q u e n c y ( r a d /s e c )

Pha

se d

eg





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Diagramas de Bode

üCero en 1/T:

ü para ambos casos, error entre curva real y asíntotas= 3 db

Ø Factores cuadráticosü sistema de segundo orden

2

2

222

2

21

1)(

21

12

)(

++

=∴

++=

++=

nn

nn

nn

n

jjjG

sssssG

ωω

ωω

ξ

ω

ωωξωωξ

ω

10-3

10-2

10-1

100

101

0

20

40

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10-3

10-2

10-1

100

0

100

200

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

Tjω+1log20





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Diagramas de Bode

ümagnitud:

ü fase:

magnitud y fase dependen del amortiguamiento

222

2

21log20

21

1log20

2

+

−−=

+

+ nn

nn

jj ω

ξω

ωω

ωω

ωωξ

[ ]db

db

nnn

n

ωω

ωω

ωω

ωω

log40log20

][01log20

2

2

−=−→>>

=−→<<

si

si

( )

−

−= −2

1

1

/2

n

ntg

ωω

ωωξϕ

nωω

log

nωω

log

-40

-90

-180

2.0=ξ

1=ξ

7.0=ξ

db

ϕ





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Sistemas de no mínima fase

ü estos dos sistemas poseen = módulo, pero difieren en la fase

(Relación biunívoca fase y módulo)

11

21

1 011

)(11

)( TTTJTj

jGTJTj

jG <<+−

=++

=ωω

ωωω

ω

ωj

σσ

ωj

o x ox-1/T

-1/T1 -1/T1

1/T

Mínima fase No mínima fase

10-2 10-1 100 101-10

-5

0

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10-2

10-1

100

101

-200

-100

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

10-2 10-1 100 101-10

-5

0

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10-2

10-1

100

101

-200

-100

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg





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ü Aunque los dos sistemas son estables (no poseen polos en el semiplano derecho), el de no mínima fase puede tornarse inestable

ü si es de mínima fase, entonces:

q los de no mínima fase se evitan por lentitud (debida a respuesta inversa)

Ø Sistemas con retardoq Análisis frecuencial:

ksbsbsasa

sG pp

pp

qq

qq

......

)( 11

11

−−

−−

++

=

−−→−−→

∴∞→ )(º90

/)(20pq

décadadbpqdependientedbω

−=−==−=

∴= −

][º3,57][)(1cos)(

)(TradTjG

TjsenTjGejG Tj

ωωωωωω

ω ω

-600º

-57.3º1 10ϕ

logωT





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ü Ejemplo:

ü Conclusión: el retardo no aporta al módulo, pero si a la fase, y tiende a inestabilizar al sistema


Tje

jGLj

ωω

ω

+=

−

1)(

Tjdb

TjeMagnitud Lj

ωωω

++=

++

11

log20)(01

1log20log20:

TtglTj

ejGFase Lj ωωω

ω ω 1

11

)(: −− −−=+

+=

-20

1 100

ωlog

l l db

ωlog

ϕ1 10

-90

-180





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Coeficientes de error

Ø Determinación de los coeficientes de errorü sistema tipo 0:

ü sistema tipo 1:

ü sistema tipo 2:

pkjG =)(lím ω0→ω ωlog

-20db/dc

-40db/dc

ll db20log kp

kp= coeficiente de error de posición

kv=coef. de error de velocidad

vk=1ω ωlog

-20db/dc

-40db/dc

1ω

ll db

ωlog1ω

ll db-40db/dc

-60db/dc

( ) ak=21ω

ka=coef.de error de aceleración





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)(

1

fcjGMG

ω=

)( ωjG

Análisis de estabilidad relativa mediante

margen de fase y margen de ganancia

ü Ganancia crítica: el o los puntos en que la amplitud de

ü Fase crítica:

Ø a partir de esta sintaxis definimos:

Margen de fase:cantidad de retraso de fase que se requiere añadir para llevar al sistema al borde de la inestabilidad, en el punto de ganancia crítica

Margen de ganancia:el recíproco dea la frecuencia de fase crítica

)(01)(1)( dbojGjG =⇒= ωω

°=180)( ωjG

ϕ+= º180MF )( ωϕ jG=





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Ø Sistema estable:

Ø Sistema inestable:

10-1

100

101

102

-100

0

100

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10-1

100

101

102

-300

-200

-100

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

10-1

100

101

102

-100

-50

0

50

Frequency (rad/sec)

Gai

n dB

10-1

100

101

102

-300

-200

-100

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se d

eg

Análisis de estabilidad relativa mediante

margen de fase y margen de ganancia

0

ll db

MG NEGATIVO

ωlog

MF NEGATIVO

-90

-180

ϕωlog

ωlog0

ll db

MG POSITIVO

-90

-180MF POSITIVO

ϕωlog





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Análisis de estabilidad relativa mediante margen de fase y margen de ganancia

Ø CONCLUSIÓN:üPara que el sistema sea estable, MG y

MF, deben ser positivos (sistema de mínima fase)

Ø si el sistema es estable podemos estudiar qué tanto lo es (estabilidad relativa)

ØMF y MG se definen para distintos rangos de funcionamiento en frecuencia, para cubrirse por variaciones en componentes

Ø valores usuales: 30º<MF<60º y MG>6db





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Diagramas polares

üGraficar en un solo diagrama módulo y fase de la FT senoidal

Ø Factores básicos:ü Factor integral:

q el eje imaginario negativo

ü Factor derivativo:q el eje imaginario positivo

ü Factores de 1er. Orden:q POLO:

Im

ReIm[G(jω)]

Re[G(jω)]

)( ωjG

)( ωjG

º90111

)(ωωω

ω =−== jj

jG

ωω jjG =)(

TTTj

jG ωωω

ω 1

22tg

1

11

1)( −−

+=

+=





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Diagramas polares

§ Probamos con varios puntos:

q CERO:

ü Factores cuadráticos:q POLOS:

º900)(:

º452

1)/1(:/1

º01)0(:0

−=∞∞→

==

==

jG

TjGT

jG

ω

ω

ω

TjjG ωω += 1)(Im

Re

1/T

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

Nyquist Diagrams

-2 -1 0 1 2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

ζ crece

º1800)(

º01)(

0;)()(21

1)(

0

2

−=

=

>++

=

∞→

→

ω

ω

ξ

ωω

ωω

ξω

ω

ω

jGlim

jGlim

jjjG

nn





U.N.C.P.B.A.



Diagramas polares

º180)(

º01)(

0;21)()(21)(

0

2

22

−∞=

=

>+

−=++=

∞→

→

ω

ω

ξωω

ξωω

ωω

ωω

ξω

ω

ω

jGlim

jGlim

jjjjGnnnn

q CEROS:

Ø Principio del Argumentoümapeo de funciones analíticas de

variables complejasüSea F(s)=U(σ,ω) + jV(σ,ω), es analítica sii

verifica que para un dominio D, dF/ds es continua en D.





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Principio del argumento

ü es posible si se verifican las ecuaciones de Cauchy-Riemann en D:

ü Las FT de los sistemas físicos reales son analíticas en todo el plano (s, excepto en los polos

üCualquier punto del plano (s puede mapearse al plano (F

Ø Ej.:

σω

ωσ

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

VU

VU

35,095,0)(21;532

)( 11 jsFjsss

sF +=∴+=++

=

Función de mapeo





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ü Si F(s) es una función analítica en el plano (s, excepto para un # finito de polos dentro de una curva Cs, entonces con un recorrido alrededor de Cs , el contorno correspondiente Cf en el plano (F encerrará al origen (punto crítico) N veces.

N= z - p; z = # de ceros y p = # de polos de F(s)

dentro de Cs

üEj.1:

jω

σ1

jV

U

2

0.95

0.35

2)( += ssFjω

σ

jV

U-2

(s (F

C1s C1fC2s C2f





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üEj. 2:

Ø Caso N>0ü se encierran más ceros que polos en (süCf rodea al origen de (F en la misma

dirección que Cs

Ø Caso N=0ü se encierran igual cantidad de ceros que

de polos en (süCf no rodea al origen de (F

Ø Caso N<0ü se encierran más polos que ceros en (süCf rodea al origen de (F en la dirección

opuesta que Cs

2)(

+=

ss

sF

jω

σ

jV

U-2

(s (F

C1sC1f

C2s

C2f





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Criterio de estabilidad de Nyquist

Ø Introducción:q Sea

ü Interesa analizar la posición de polos y ceros de lazo abierto (G(s)H(s)) para determinar la estabilidad de lazo cerrado:q polos de LC = ceros de F(s) (raíces de la EC)q polos de LA = polos de F(s)q ¬∃ restricción en cuanto a la ubicación de los polos

de LA para que el sistema sea estable a LC

Ø Objetivo:ü determinar las raíces de F(s) en el spl.

derecho de (sq son los polos del sistema realimentado

ü emplea el principio del argumento

G

H

R C

)()...()()()...()(

)()(1)(1..

)()(1)(

)()(

21

21

n

m

pspspszszszs

sHsGsFCE

sHsGsG

sRsC

++++++++++

=+=+=

+=





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qpara que el sistema sea estable, F(s) no debe tener ceros encerrados por la siguiente curva (paso de Nyquist)

qsi en lugar de transformar sobre (Flo hacemos sobre (G(s)H(s)(transferencia de lazo abierto), el punto crítico cambia del origen al -1+j0

jω

σ

R=∞





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üde este modo, dado un sistema de control que tiene una EC = 1+G(s)H(s)=0, se siguen los siguientes pasos:

1. Dibujar la gráfica de G(s)H(s) en el plano

(GH2. Observar el # de rodeos al punto crítico -1+j0

(N = Z - P)

èZ = # de ceros de 1+ GH dentro del paso de Nyquist

èP = # de polos de 1+ GH dentro del paso de

Nyquist (los mismos que los de GH)

3. Analizar la condición de estabilidad a lazo cerrado (Z=0)

∴ N = - P

ENUNCIADO: Un sistema realimentado será estable si y sólo si el número de rodeos al punto - 1 + j0 en sentido anti-horario por parte del contorno de Nyquist en el plano GH(s), es igual al número de polos de GH(s) dentro paso de Nyquist en el plano (s





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Nociones de Compensación

Ø No siempre se consiguen las especificacionesü transitorias (@t; @f)ü permanentes (precisión)

Ø con sólo variar una ganancia de lazoØ Necesidad de:ü variar el mapa cero-polar

→→ COMPENSADORESCOMPENSADORESqmezcla de análisis (de lo que tengo) y síntesis

(de lo que quiero)q camino de baja potencia (señal)

§ en serie (cascada con el proceso)§ en paralelo (lazo de realimentación)

2

PlantaK 1

variables fijos





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Compensadores en serie

Ø su FT:

ü se requiere conocer el modelo de la planta ü las diferentes posiciones relativas de p y z

permiten variar módulo y faseü existen 3 tipos básicos:

q por avance de fase (derivadores)q por retraso de fase (integradores)q por avance-retraso

Ø Compensadores por avanceq se define

G s Ks zs pc c( )

( )( )

=++

σ

jω

p z

α τ

ωα

ωατωτ

= =−

∴ =++

∴ =+

+

pz p

G s Kz s zp s p

G jK j

j

c c

cc

;

( )( / )( / )

( )( )( )

1

11

11





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Compensador por avance de fase

ü cuyo diagrama de Bode es:

ωτ α

ϕα

α

ϕαα

m

max

max

=

=−

=−+

1 1

12

11

tg

sen

10-1

100

101

102

-20

-10

0

Frecuencia (rad/sec)

Mód

ulo

dB

10-1

100

101

102

-200

0

200

Fas

e [º

]


20 log α

ωm1/ατ 1/τ

ϕmax

8para que la fase sea máxima en el punto de interés se ubican polo y cero en la media geométrica (en el Bode).

8efecto deseado: aporte de fase

8efecto secundario: módulo, que se corrige con Kc .

8se lo emplea para corregir transitorios





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Compensador por retraso de fase

q se definen

q y valen las expresiones siguientes:σ

jω

pz

α τ= =−z

p z;

1

G s Kz s zp s p

G j Kj

j

c c

c c

( )( / )( / )

( )( )

( )

=++

=++

11

11

ω αωτ

ωατ


Mód

ulo

dBF

ase

[º]

Frecuencia (rad/sec)10

-110

010

110

2-200

-100

0

10-1

100

101

102

0

10

20

ωm1/ατ

1/τ

20 log α

ϕmax





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Compensador por retraso de fase

Ø El compensador por retraso de fase:ü efecto deseado: ganancia en un rango de

frecuenciaü efecto secundario: aporte de fase

negativaü se emplea para compensar errores de

precisión (vinculados al estado estacionario)

ØØConclusionesConclusionesüambos son los más simples de

proyectarüsensibles a variacionesüno aseguran estabilidad absolutaüsuelen usarse combinados (avance

y retraso)üsintetizados en el PID industrial





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Compensación en el lazo de realimentación

ürequieren menor información del modelo de la plantaüsistemas más robustosüno existe una técnica específica

(con los modelos vistos), sino varios casos

ØArquitectura general:

-

Hc(s)-

C(s)R(s)

k Gp(s)A(s)





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Ø APLICACIONES:üCASO 1: (planta con polos conocidos)sea:

con lo que la EC es:

G sk

s s sA s A

G sGG H

C sR s

AGAG

AGG HAGG H

H k s

p

xp

p c

x

x

p

p c

p

p c

c d

( )( )( )

; ( )

( )( )( )

=+ +

=

=+

⇒ =+

=+

++

=

1 5

1 11

11

(amplificacion)

(taquigenerador)

0)5)(1()/(

1

0)/()5)(1(

0)5)(1(

0)5)(1()5)(1(

1

01

=++

++

=++++=++++

=++

+++

+

=++

ssskAskk

kAskksss

Akskkssssss

kAsk

sssk

AGHG

dd

dd

d

d

pcp





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Ø graficando el lugar de raíces:

ü contamos con A, k, kd (grados de libertad) para hacer cumplir las especificaciones

q el taquigenerador ha “traído” un cero desde infinito-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

-15

-10

-5

0

5

10

15

eje Real

eje

Im

agin

ario

cero en -3(-) y en -5,5(o)

___) (línea 5 para ooo); (línea 65 para

23

2/51

0

dd

d

dii

ii

kA

kA

kAkA

m

zp

≥<<∴

+−=+−−

=−

=∑∑

σ





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üCASO 2: (planta con polos inciertos)q busco hacer dominantes las singularidades de Hcq las conozco y las puedo compensar

ü la incertidumbre está en b ó b’q no son dominantes frente a a

q el sistema se vuelve así más robusto, ya que el polo dominante pasa a ser c,

que es conocido por diseñoq ¿qué sucede si Hc=1?

log ω

| | db

1/Hc a

bb’

csas

sAasH c ++

=+= )();(

1 si

1 si 1

1

<<=

>>=

⇒+

=

c

cc

c

GHGT

GHH

T

GHG

T





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ØØConclusiones Conclusiones ü a favor...

q disminuye la sensibilidad a perturbaciones y variaciones de parámetros

qmejora las constantes de tiempoqmejora la estabilidad eligiendo apropiadamente

Hcqmejora la linealidad del amplificador

ü ...en contraq aumenta la cantidad de componentes

(complejidad)

q puede inestabilizar si Hc no se diseña correctamente

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Sistemas de Control - UNICEN · Tema: Estabilidad y compensación - Estabilidad - 12 Asignatura de Sistemas de Control-Facultad de Ingeniería-UNCPBA S C ÁREA DE ELECTRÓNICA FACULTAD