Teora de los Circuitos II

Capitulo 1: Frecuencia Compleja Teora de los Circuitos II

Teora de los Circuitos II

Captulo 1: Frecuencia compleja

1. Sistemas Lineales.

Los sistemas lineales son de gran utilidad para el estudio de los sistemas, aunque ningn sistema real es totalmente lineal por completo.

El anlisis de un sistema lineal se facilita frecuentemente utilizando un tipo determinado de seales de entrada o determinada representacin de seales.

Se representa un sistema lineal como una caja negra donde disponemos de entradas x1(t), x2(t), ...., xn(t) y salidas y1(t), y2(t), ...., ym(t) tal como se muestra en la figura1.

Las entradas xi(t), i=1, 2, ...,n y las salidas yj(t), j=1, 2, ..., m sern en general seales variables en tiempo.

La palabra lineal relaciona algo perteneciente a la lnea recta. De aqu que se pueda deducir a priori que un sistema lineal es aquel en el cual la relacin de salida es en cierta forma proporcional a la entrada. Es decir que si para la entrada x(t) obtenemos la salida y(t), entonces para (x(t) se obtendr (y(t) cualquiera que sea la constante (.

x(t) (( y(t)

(x(t) (( (y(t)

(1.1)

La caracterstica antes descripta es una propiedad de los sistemas lineales y se llama homogeneidad.

Tambin todo sistema lineal debe cumplir con la propiedad de superposicin. Es decir que s

x1(t) (( y1(t)

x2(t) (( y2(t)

entonces

x1(t) + x2(t) (( y1(t) + y2(t)

(1.2)

para determinado tipo de entradas {x(t)}.

Por lo tanto podemos concluir diciendo que un sistema es lineal si y slo si cumple las propiedades de superposicin y homogeneidad.

Podemos combinar las ecuaciones (1.1) y (1.2) en una sola ecuacin. De esta forma se define un sistema lineal s y slo s

(x1(t) + (x2(t) (( (y1(t) + (y2(t)

(1.3)

donde ( y ( son constantes.

Para representar la transformacin de entradas a salidas en forma funcional podemos reemplazar las flechas de (1.1), (1.2) y (1.3) por parntesis. As obtenemos

y(t) = H[x(t)]

(1.4)

El sistema representado es lineal si y slo si H es una transformacin lineal: es decir,

H[(x1(t) + (x2(t)] = (H[x1(t)] + (H[x2(t)]

Ejemplo1.1. Considrese el circuito mostrado en la figura 1.2, donde x(t) es el voltaje de entrada e y(t) es el voltaje de salida. Mientras que la tensin en el punto A se mantenga por debajo de VDD la salida y(t) ser

y(t) = x(t)/2

(1.5)

As para x1(t) tenemos y1(t)/2 y para x2(t) tenemos y2(t)/2. Esto implica que si tenemos una entrada (x1(t) + x2(t)) genera una salida y3(t) = (x1(t) + x2(t))/2, lo cual es cierto suponiendo que (x1(t) + x2(t)) < VDD. Por lo tanto el sistema es lineal en tanto el diodo no conduzca, esto implica que el voltaje en el punto A debe ser menor que VDD.

El sistema es lineal para

x(t) < VDD

1.2 Transformacin de Laplace.

Para trabajar con excitaciones no senoidales y aperidicas se debe trabajar en el dominio transformado de frecuencia compleja. Con la transformada de Laplace se permite pasar del dominio de la variable t al dominio de la variable de frecuencia compleja deseado y viceversa.

Las transformaciones nos permitirn reducir la solucin de ecuaciones diferenciales a procesos puramente algebraicos.

1.2.1. Transformacin de Laplace.

Una transformacin funcional es una generalizacin del concepto de funcin. En efecto, una funcin y = f(x), hace corresponder a cada nmero x otro nmero y. Una transformacin funcional F(y) = ([f(x)], hace corresponder a cada funcin f(x) de un conjunto de funciones, una funcin F(y) de otro conjunto. Se denomina funcin original u objeto a f(x) y funcin transformada o imagen a F(y).

Las transformaciones funciones integrales, son de la forma general indicada abajo

(1.2.1)

donde f(x) es la funcin original. La funcin de dos variables K(x,y) se denomina ncleo de la transformacin. F(y) es la transformada o imagen de f(x), que solo es funcin de la nueva variable y.

Cada tipo de transformacin queda caracterizada por los lmites de integracin y el ncleo de la transformacin.

En la transformada de Laplace x es el tiempo, mientras que la variable y, correspondiente al dominio transformado es la frecuencia compleja s = ( + j(.El ncleo de la transformacin es e-st y los lmites de la integracin son cero e infinito. La funcin transformada de Laplace resulta entonces

(1.2.2)

1.2.2 Condiciones de existencia.

Para que la transformada de Laplace de una funcin exista, la integral de la ecuacin (1.2.1.2) debe ser convergente, para ello debe existir el lmite

INCRUSTAR Equation.3

INCRUSTAR Equation.3

INCRUSTAR Equation.3 (1.2.1.3)

esto se cumple cuando la funcin f(t) satisface las siguientes condiciones:

a) Es seccionalmente continua. Esto es, tiene un nmero finito de discontinuidades de primera especie, es decir saltos finitos, para 0(0.1.2.2 Trasformada inversa.

Para retornar del dominio de frecuencia compleja al dominio del tiempo, dada una funcin F(s) debe hallarse la funcin f(t).

Esta trasformada inversa L-1[F(s)] resulta

(1.2.2.1)

donde (1 debe ser mayor que la abscisa de convergencia (0 definida anteriormente. Si no se conoce (0 un criterio equivalente consiste en adoptar como camino de integracin, una recta vertical que deje a la izquierda todos los puntos singulares de F(s), recordando que las singularidades de F(s) son los valores de S para los cuales la funcin es regular. Para que F(s) sea regular en un punto, debe ser derivable en dicho punto y en un entorno del mismo.

1.2.2.1 Propiedades.

a) Linealidad: sean K1 y K2 constantes, f(t) y g(t) funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente F(s) y G(s). Entonces resulta:

L[K1f(t) + K2g(t)] = K1F(s) + K2G(s) (1.2.2.2)

b) Derivacin temporal: si f(t) y su derivada son trasformable por Laplace, resulta:

(1.2.2.3)

Donde

para t>0

c) Integracin temporal: si F(s) es la trasformada de Laplace de f(t) y esta ltima es de orden exponencial, resulta:

(1.2.2.4)

d) Derivacin frecuencial: si F(s) es la trasformada de Laplace de f(t), puede escribirse:

(1.2.2.5)

e) Integracin frecuencial: si F(s) es la transformada de Laplace de f(t), puede escribirse

(1.2.2.6)

f) Desplazamiento frecuencial: si F(s) es la trasformada de Laplace de f(t) y a es una constante real positiva o negativa, resulta:

(1.2.2.6)

g) Desplazamiento temporal: si F(s) es la trasformada de Laplace de f(t) y a es una constante real positiva o negativa, resulta:

(1.2.2.7)

h) Teorema del valor inicial: si f(t) y su primera derivada poseen trasformada de Laplace, con una abscisa de convergencia finita, resulta:

(1.2.2.8)

i) Teorema del valor final: si f(t) y f ((t) son trasformable por Laplace y sF(s) es regular sobre el eje j( y en el semiplano de la derecha resulta:

(1.2.2.9)

1.2.3 Expansin en fracciones simples.

Un caso particular de antitrasformacin que conviene mencionar separadamente por la gran frecuencia con que s en la teora de circuitos, es el correspondiente a las funciones de la forma:

(1.2.3.1)

Donde N(s) y D(s) son polinomios, siendo el grado del numerador N(s) menor que el del denominador D(s), de tal modo que puede considerarse a F(s) como una trasformada de Laplace. Una funcin racional puede ser expresada como una suma de fracciones simples, cuyo nmero coincide con el grado del denominador.

Considerando en primer trmino el caso de que todas las races p1; p2;...; pi; ...; pn del polinomio del denominador sean distintas. La ecuacin (1.2.3.1) puede escribirse

(1.2.3.2)

o bien, expandiendo en fracciones simples:

(1.2.3.3)

que puede escribirse

(1.2.3.4)

Para hallar el coeficiente genrico Ki se multiplican ambos miembros de la ec. (1.2.3.3), por (s - pi):

y como todas las races pi son distintas, se toma el lmite para s teniendo a pi en ambos miembros, resulta:

(1.2.3.5)

Debido a la linealidad de la trasformacin de Laplace, resulta:

Teniendo en las propiedades de linealidad y de desplazamiento frecuencial se puede escribir

(1.2.3.6)

1.2.4 Clculo de residuos.

Una funcin es regular u holomorfa en un punto, cuando es derivable en dicho punto, cuando es derivable en dicho punto y un retorno del mismo. Para que la funcin sea regular en un recinto, debe serlo en todos los puntos del mismo. Cuando la funcin no es derivable en el punto, pero lo es en un entorno del mismo, se dice que en aqul existe una singularidad aislada. Si tampoco es derivable en el entorno, se trata de una singularidad esencial o punto de acumulacin de singularidades.

Los modelos circuitales idealizados de constantes concentradas, lineales e invariantes en el tiempo, son descriptos mediante funciones racionales(cociente de polinomios). Dichas funciones slo tienen singularidades aisladas llamadas polos. Se denomina polo al valor s = pi, para el cual la inversa de la funcin F(s) posee un cero.

o lo que es lo mismo

1.2.4.1 Teorema Integral de Cauchy.

Este afirma que una funcin regular en todos los puntos de una curva cerrada simple C y en su interior, como los abarcados por el recinto simplemente conexo, tiene una integral de valor nulo:

(1.2.4.1)

Si la funcin F(s) es regular en el recinto encerrado por las dos curvas y los sentidos de circulacin son positivos, la integral es nula.

Si se invierte el sentido de giro a lo largo de C2, resulta:

(1.2.4.2)

De donde se deduce que el resultado de la integral no depende del contorno elegido se mantenga dentro de la regin en la que la funcin es regular.

Si una funcin es regular en un recinto mltiplemente conexo, resulta, dejando siempre el dominio a la izquierda de la curva:

(1.2.4.3)

Esta ltima ecuacin expresa el valor de la integral de una funcin regular en un recinto mltiplemente conexo, recorridas todas en sentido antihorario.

Considerando ahora la funcin:

que es regular en todo el complejo, excepto en el punto s = p1 en que presenta un polo. Calculando la integral de F(s) a lo largo de una circunferencia C1, que tiene centro en p1 y radio r. Si se llama ( al argumento, resulta:

INCRUSTAR Equation.3

en estas condiciones es:

(1.2.4.4)

De acuerdo a la ec.(12.4.2), si se toma una curva C como la mostrada en la figura anterior, que contiene en su interior a C1, al ser regular F(s) entre las dos curvas y teniendo ambas sentido antihorario, resulta:

(1.2.4.5)

Esto significa que cualquiera sea la curva cerrada elegida, por ser la funcin F(s) regular en todo el plano complejo, excepto en el punto p1 en que presenta un polo, el resultado de la integral ser el mismo.

Este valor slo depende del punto p1 y de la funcin. Este importante resultado permite introducir el concepto de residuo de una funcin en un punto singular pi, definindolo mediante la expresin:

(1.2.4.6)

Donde C es cualquier camino cerrado alrededor de la singularidad pi, dentro del cual F(s) es regular con la nica excepcin del punto pi.

Generalizando, si se tiene una funcin F(s) que es regular en un recinto C, salvo en N puntos pi en los que existen singularidades aisladas, puede cortarse el recinto como se mostr en la Fig. 10.16 y en virtud de lo indicado por las ecs. (1.2.4.3) y (1.2.4.6), resulta:

(1.2.4.7)

que es la expresin del teorema de los residuos, segn el cual: El valor de la integral de una funcin a lo largo de un camino cerrado C, es igual a la suma de los residuos de la funcin en cada una de las singularidades encerradas por C, multiplicadas por 2(j.

Si se aplica este teorema para calcular la integral de la formula de inversin de Mellin , resulta:

(1.2.4.8)

La ltima ec. es vlida solo para t>0, que permite una fcil determinacin de la antitrasformada en una gran cantidad de casos.

Los polos pueden ser simples o mltiples. Puede demostrarse que el valor del residuo en un polo mltiple de orden n, est dado por la expresin:

(1.2.4.9)

o en este caso:

(1.2.4.10)

Para el caso de un polo simple resulta:

INCRUSTAR Equation.3 (1.2.4.11)

donde

(1.2.4.12)

Por lo tanto resulta:

(1.2.4.13)

Donde la ltima ecuacin vale solo para t ( 0.

Apndice A.

Funciones analticas.

Se dice que una funcin w = f(z), donde z = x + jy, definida en un dominio D, es una funcin analtica en D si w tiene derivada continua en D.

Tener una derivada continua implica tener una segunda derivada continua, tercera, etc., y de hecho, la convergencia de serie de Taylor en un entorno de cada z0 de D. Podemos definir una funcin analtica como una funcin que se puede representar por la serie de Taylor. La convergencia de la serie de Taylor en un entorno de z0 implica la continuidad de la derivada de todos lo ordenes.

Si una funcin f(z) tiene una derivada en D, la derivada es necesariamente continua, en D.

Teorema: Si w = u +iv = f(z) es analtica en D, entonces u y v tienen primeras derivadas parciales continuas en D y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Rieman

en D. Adems,

Teorema integral de Cauchy: Si f(z) es analtica en una regin simplemente conexa D, entonces

en cada trayectoria cerrada simple C en D.

Teorema: Si f(z) es analtica en la regin D simplemente conexa, entonces la integral de f(z) es independiente de la trayectoria en D.

Podemos escribir, para una trayectoria z1 y z2 en C

Formula Integral de Cauchy.

Sea D una regin simplemente conexa y sea z0 un punto fijo de D. Si f(z) es analtica en D, la funcin f(z)/(z z0) no es analtica en z0. Por tanto,

en general no ser cero sobre una trayectoria C que encierre z0. No obstante, esta integral tendr el mismo valor en todas las trayectorias C alrededor de z0. Para determinar este valor, escogemos C como un crculo z = z0 + Rei(, 0 ( ( ( 2(. Entonces, la integral se convierte en

Como f es analtica y por lo tanto continua, la integral debe ser continua en R. Pero vimos que el valor de la integral es el mismo para todas las trayectorias C que encierran a z0. Por tanto, el valor es independiente de R. Ahora encontramos el valor haciendo tender R a 0:

Formula Integral de Cauchy.

Sea f(z) analtica en una regin D. Sea C una curva cerrada simple en D, dentro de la cual f(z) es analtica, y sea z0 dentro de C. Entonces,

El valor de una funcin analtica en el centro de un crculo es igual al promedio (media aritmtica) de los valores sobre la circunferencia.

Singularidades aisladas de una funcin analtica. Ceros y polos.

Sea f(z) definida y analtica en la regin D. Decimos que f(z) tiene una singularidad aislada en el punto z0 su f(z) es analtica en toda en toda una vecindad de z0 excepto en z0 misma; es decir, para utilizar el trmino mencionado al final de la seccin precedente, f(z) es analtica en una vecindad perforada de z0, pero no en z0. El punto z0 es, pues, un punto frontera de D y se llama un punto frontera aislado.

Una vecindad perforada 0