Embed Size (px)
Citation preview
SISTEMI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA
Žarko ZečevićElektrotehnički fakultetUniverzitet Crne Gore
Mapa kursa
Modelovanje
2
Klasifikacija sistemaDiferencijalne jednačineFunkcija prenosa• Polovi, nule, pojačanje• Strukturni blok
dijagrami• Graf toka signalaModel u prostoru stanja• Kanonične forme• Linearizacija• Rješavanje jednačina
stanja
Kontrolabilnost i opservabilnostStabilnost sistema• Raus• NikvistPerformanse SAU-a• Stacionarno stanje• Prelazni proces• Kompleksni domenFrekvencijske karakteristike• Bodeovi dijagrami
Specifikacije sistemaKompenzatori• Pojačavač• Integralni kompenzator• Diferencijalni
kompenzator• Diferencijalno -
integralni kompenzatorPID regulatorFizičke realizacijeDiskretizacija kontinualnih regulatora
DizajnAnaliza
Predavanje 8
Ishodi učenja:Nakon savladavanja gradiva sa ovog predavanja studenti će moći da:
Definišu najznačajnije karakteristične veličine prelaznog procesa kod sistema prvog i drugog reda
Prepoznaju vezu između položaja polova u s-ravni i karakterističnih veličina tranzijentog režima kod sistema drugog reda
Aproksimiraju sistem većeg reda sistemom drugog reda i prepoznaju uslove pod kojima je to moguće odraditi
3
Performanse SAU-a: analiza tranzijenta
Zašto izučavamo prelazne procese?
Modelovanje:
Neki parametri sistema mogu biti estimirani i identifikovani naosnovu vremenskog odziva.
Analiza:
Evaluacija prelaznog procesa da bi vidjeli da li SAU-a zadovoljavazahtjevane performanse
4
u(t)?
y(t)
Agoritam za identifikaciju
G(s)Dinamički proces
Estimirani model
W(s)y(t)
Dinamički proces
-C(s)
e(t)r(t)
Regulator
??
Zašto izučavamo prelazne procese?
Dizajn
Prilikom dizajna regulatora vrši se specifikacija željenih performansisistema u prelaznom i stacionarnom režimu. Parametre regulatoratreba podesiti tako da se obezbijede željene performanse.
Zahtjevi za željenim performansama u stacionarnom stanju se zadajuu vidu željene vrijednosti signala greške ili u vidu željene vrijednostikonstante greške. U okviru današnjeg predavanja biće rađenipokazatelji performansi prelaznog procesa i njihova veza sapoložajem polova u s-ravni.
5
W(s)y(t)
Dinamički proces
-??
e(t)r(t)
Regulator
Sistemi prvog reda
Najprije razmotrimo sisteme prvog reda koji nemaju nula. Funkcijaprenosa sistema je:
Fizički ovom funkcijom prenosa se može modelovati RC kolo, sistemmasa-prigušnica, temperatura u prostoriji, protok tečnosti u rezervoaru,pritisak u cijevi, itd.
Step odziv sistema je jednak:
Odnosno, u vremenskom domenu:
6
( ) .a
G ss a
1 1( ) ,
1
a ay s
s as s s a
1
1/( ) 1 1 1 .tt
at ay t e e e
syms s a
G=a/(s+a)
ilaplace(1/s*G)
ans =
1 - exp(-a*t)
Sistemi prvog reda
Može se uočiti da prelazni režim zavisi samo od parametra a, odnosno odpola sistema:
Kada je parametar a pozitivan, odnosno kada pol leži u lijevoj poluravni,prelazni proces iščezava. Konstanta τ = 1/a se zove vremenskakonstanta sistema, zato što ona nosi informaciju o karakteristikamaprelaznog režima.
Vremenska konstanta se definiše kao vrijeme koje je potrebno daprelazni proces opadne za 37%. Ili, to je vrijeme koje je potrebno da stepodziv dostigne 63% od vrijednosti u stacionarnom stanju:
7
( ) 1 1 .t
aty t e ePrelazni proces
Stacionarno stanje
1( ) 1 1 0.63.ay t e e
Sistemi prvog reda
Pored vremenske konstante, za sisteme prvog reda se definišu još dvijekarakteristične veličine: vrijeme uspona i vrijeme smirenja.
Vrijeme uspona (Tu) je vrijeme koje protekne od trenutka kada odzivdostigne 10% vrijednosti u stacionarnom stanju, do trenutka kada odzivdostigne 90% vrijednosti u stacionarnom stanju. Primjenjujući ovudefiniciju na izraz za vremenski odziv procesa prvog reda, dobija se da jevrijeme uspona jednako:
Vrijeme smirenja (Ts) se definiše kao vrijeme koje je potrebno daamplituda odziva opadne na vrijednost manju od 2% od vrijednostiodziva u stacionarnom stanju. Uvrštavajući vrijednost 0.98 u izraz zaodziv sistema, dobija se da je vrijeme smirenja:
8
2.2
.uTa
44 .sT
a
Sistemi prvog reda
Na slici je prikazan step odziv sistema i karakteristične vremenskeveličine. Kako je statičko pojačanje sistema u razmatranom primjerujedinično, odziv konvergira ka jedinici. Treba naglasiti da karakterističneveličine ne zavise od vrijednosti pojačanja.
9
1
a
4
a
sTuT
63% odziva za vrijeme jedne vremenske konstante
Pošto se radi o procesu prvog reda, toznači da funkcija prenosa ima oblik:
Sa grafika se može uočiti da stepodziv konvergira ka vrijednosti 2, štoznači da je statičko pojačanje sistemajednako 2. Slijedi da je K/a=2. Stepodziv dostiže 98% stacionarnog stanja(1.96) u trenutku 0.8 sec, odakleslijedi da parametar a ima vrijednosta = 4/Ts=4/0.8 = 5. Dalje, vrijednostparametra K je jednaka:
K=2a=5×2=10.
Primjer – identifikacija sistema
U laboratoriji je snimljen jedinični step odziv sistema i prikazan na slici ispod.Odredite parametre procesa, ako je poznato da se on može modelovati funkcijomprenosa prvog reda.
10
( ) .K
G ss a
smirenja mora biti manje bar od 1s (jer sistem ima na raspolaganju 1s dadostigne vrijednosti 0.2 i 0). Funkcija spregnutog prenosa je:
Iz uslova da je vrijeme smirenja jednako 1 sec, dobija se da je K=3.9. Kakopojačanje sistema treba da bude jedinično, dobija se da je P=1.0256
Sa grafika vidimo da se signalskokovito mijenja. Da bi sistem mogaoda prati referentni signal, vrijeme
Primjer – praćenje reference
SAU je prikazan blok dijagramom. Odrediti pojačanja K i P, tako da sistemmože da prati referentni signal prikazan na slici.
11
(s)1/ 10
PKG
s K
K-
P1
0.1s
( )Y s( )R s E(s)
Primjer – praćenje reference
Na slici je prikazan odziv sistema za zadati referentni signal. Može se uočiti daizlazni signal uspijeva da isprati referentni signal.
12
>> t=0:0.01:10
>> r=0.2*heaviside(t)+0.8*heaviside(t-1)-heaviside(t-3)...
+0.4*heaviside(t-4)-0.3*heaviside(t-6)-0.1*heaviside(t-9)
>> s=tf('s');
>> W=3.9/(s+0.1)
>> G=4/3.9*feedback(W,1)
>> lsim(G,r,t)
Sistemi drugog reda
Sada ćemo analizu prelaznog procesa proširiti na sisteme drugog reda,koji imaju dva pola i nemaju nula:
Za razliku od sistema prvog reda kod kojih promjena parametra a utičesamo na brzinu odziva, ali ne i na njegov oblik, kod sistema drugog redapromjena parametara a i b utiče i na samu prirodu odziva. Naš zadatakje da definišemo pojmove i veličine kojima se može okarakterisati odzivsistema drugog reda, na sličan način kao što je odrađeno za sistem prvogreda. Prije toga, na narednom slajdu biće prikazani različiti oblici stepodziva kod sistema drugog reda, za razne parametre a i b.
U sisteme drugog reda spadaju RLC kolo, sistem masa oprugaprigušnica, klatno, itd.
13
2
( )b
G ss as b
Sistemi drugog reda
14
2
9
9 9s s
( )G s
( )Y s1
( )R ss
1.457.85 Re( )s
Im( )s
2
9
2 9s s
( )G s
( )Y s1
( )R ss
2
9
9s
( )G s
( )Y s1
( )R ss
2
9
6 9s s
( )G s
( )Y s1
( )R ss
3 Re( )s
Im( )s
1 2.83j
Re( )s
Im( )s
1 2.83j
3j
Re( )s
Im( )s
3j
Sistemi drugog reda
Posmatrajmo funkciju prenosa:
Prirodna neprigušena učestanost (ωn) se definiše kao frekvencija kojombi sistem oscilovao ukoliko ne bi bio prigušen, odnosno kada je a=0.Rješavanjem jednačine
dobija se da je ωn =± b. Faktor relativnog prigušenja se definiše kaoodnos σ (za kompleksni slučaj) i prirodne neprigušene učestanosti:
i on nosi informaciju o tome koliko su prirodne ocilacije prigušene.
15
2
1,22
4( ) i njene polove .
2 2
b a a bG s s j
s as b
2 2( ) ,n nj b b
/ 2,
n
a
b
Pretpostavimo da je negativno
Sistemi drugog reda
Ako se a i b izraze preko prethodno definisanih veličina i uvrste u G(s),dobija se:
Polovi sistema su jednaki:
Sistemi drugog reda se mogu klasifikovati u zavisnosti od parametra ζ,odnosno od oblika odziva. Kada je ζ=0, polovi su čisto imaginarni i tadasistem osciluje sa prirodnom frekvencijom ωn. Za ovakav sistem kažemoda je neprigušen. Kada ζ ima vrijednost između 0 i 1, polovi sistema sukompleksni:
Ovakvi sistemi se nazivaju prigušenim, jer njihov prelazni proces imaoblik prigušenih oscilacija.
16
2
2 2 2( ) .
2n
n n
bG s
s as b s s
21,2 1.n ns
21,2 1 .n ns j j
Sistemi drugog reda
Za ζ=1, sistem ima dvostruki realni pol. Ovakav sistem se zove kritičnoprigušenim i često je najpoželjniji slučaj u praksi. Konačno, za ζ>1sistem ima realne i različite polove. Ovaj sistem se zove previšeprigušenim, jer ima najsporiji odziv i najveće vrijeme smirenja.Napomenimo još da je kod nestabilnih sistema faktor relativnogprigušenja negativan.
17
Kod prugušenih sistema parametri ζ i ωn
imaju i geometrijsku interpretaciju.Parametar ωn predstavlja najkraćuudaljenost pola od koordinatnog početka,dok je ζ jednako kosinusu ugla kojizaklapa prava koja prolazi kroz pol ikoordinatni početak sa negativnimdijelom realne ose. Drugim riječima, sa ζ
i ωn je definisan položaj polova upolarnom koordinatnom sistemu.
j
n
21nj
n
21nj
cos
Zavisnost oblika odziva od ζ
18
n Re( )s
Im( )s
1n n
Re( )s
Im( )s
1n n
nRe( )s
Im( )s
1n
1n
Re( )s
Im( )s
nj
nj
0
0 1
1
1
Prigušeni sistemi drugog reda
Sada ćemo posmatrati prigušeni sistem drugog reda, odnosno slučaj kadaje 0<ζ<1. Step odziv ovog sistema ima oblik:
Dalje, primjenom tablica Laplasove transformacije dobija se odzivsistema u vremenskom domenu:
19
2
2 2
2 2 2 2 2
( ) 11 1 1
( ) .2 ( ) ( 1 )
n
n
n n n n
s
Y ss s s s s
2 2
2
2
2
( ) (cos 1 sin 1 )1
11 cos 1 .
1
n
n
tn n
tn
y t e t t
e t
Prelazni proces
Stacionarno stanje
Prigušeni odziv drugog reda
Na slikama je prikazanodziv sistema drugog reda.Na prvoj slici je ωn fiksno,dok je ζ promjenljivo. Nadrugoj slici ζ fiksno, a ωnpromjenljivo. Može se uočitida ove veličine utiču navrijeme smirenja, vrijemeuspona, periodu i amplituduoscilacija. Cilj je definisatikarakteristične veličineprigušenog sistema drugogreda i njihovu zavisnost odpoložaja polova u s-ravni,odnosno od parametra ζ, ωn,σ i ω.
20
Vrijeme smirenja
Karakteristične veličine sa sisteme drugog reda se definišu na sličannačin kao kod sistema prvog reda. Vrijeme smirenja je najkraće vrijemeza koje odziv sistema uđe u opseg y(∞) ± 2% i više ne izlazi iz njega.Vrijeme smirenja se aproksimativno nalazi iz uslova da amplitudaprelaznog procesa bude jednaka 0.02:
odakle slijedi da je vrijeme smirenja jednako:
Lako se može pokazati da brojilac gornjeg izraza varira u opsegu od 3.91do 4.74 za ζ ϵ (0,0.9), pa se vrijeme smirenja može aproksimirati sa:
21
2
10.02,
1
nte
2ln(0.02 1 ).s
n
T
4 4.s
n
T
Vrijeme uspona
Vrijeme uspona je ono vrijeme koje protekne od trenutka kada sistemdostigne 10% vrijednosti u stacionarnom stanju, pa do trenutka kadasistem dostigne 90% te vrijednosti. Precizan analitički izraz za vrijemeuspona se ne može naći.
Računarskim simulacijama se može dobiti normalizovana zavisnostvremena uspona od faktora relativnog prigušenja. Vrijeme uspona jeobrnuto proporcionalno ωn i direktno proporcionalno ζ.
22
Tuωn ζ
0.1 1.127
0.2 1.205
0.3 1.324
0.4 1.465
0.5 1.639
0.6 1.856
0.7 2.127
0.8 2.468
0.9 2.883
za 0.1 0.8
2.16 0.6u
n
T
Kraće vrijeme uspona ukoliko se polovi nalaze „lijevlje“ i
visočije u s-ravni
Vrijeme prvog maksimuma
Kako se kod sistema drugog reda mogu javiti oscilacije, potrebno jedefinisati veličine koje će ih okarektirisati. Jedan parametar je vrijemeprvog maksimuma, koje, kao što mu i ime kaže, predstavlja onajvremenski trenutak u kom se pojavljuje prvi maksimum. Vrijeme prvogmaksimuma (eng. peak time) se može naći diferenciranjem odziva sistema,iz čega se dobija da je:
Perioda prigušenih oscilacija je jednaka dvostrukoj vrijednosti vremenaprvog maksimuma:
Što se polovi sistema nalaze visočije u s-ravni, to će perioda prigušenihoscilacija biti manja.
23
2.
1p
n
T
2
2 2
1n
T
Preskok
Preskok se definiše kao:
gdje je ymax maksimalna vrijednost odziva, a y(∞) vrijednost odziva ustacionarnom stanju. Pokazuje se da preskok zavisi samo od faktorarelativnog prigušenja:
Prilikom projektovanja sistema cilj je da preskok bude što je mogućemanji, jer je on indikator velikih i neželjenih, iako prigušenih, oscilacija usistemu. Takođe, veći preskok ima za posljedicu i veću brzinu sistema,što je dobra osobina, tako da se prilikom projektovanja sistemaupravljanja mora tražiti kompromis između ova dva opozitna zahtjeva.
24
max ( )
100%( )
y y
y
21 100%.e
Karakteristične veličine
Bitno je naglasiti da karakteristične veličine ne zavise od pojačanjasistema, već samo od položaja polova. Prilikom izvođenja izraza zakarakteristične veličine, bez gubljenja na opštosti, usvojeno je jediničnopojačanje iz razloga što se dobijaju jednostavniji izrazi za analizu.
25
s=tf('s');
G=1/(s^2+s+1);
step(G,'r')
hold on
step(2*G,'b')
Karakteristične veličine
26
4s
n
T
21p
n
T
max ( )
100%( )
y y
y
( )y
maxy
0.9 0.1uT t t
2%y
Karakteristične veličine
Na slici su prikazane krive prave istog preskoka, vremena smirenja iperiode prigušenih oscilacija. Sistemi drugog reda koji imaju polove napravoj Π1 imaju isti preskok i on je manji nego kod sistema drugog redakoji imaju polove na pravoj Π2. Sistemi čiji polovi imaju veći imaginarnidio imaju kraću periodu prigušenih oscilacija (i vrijeme prvogmaksimuma), dok sistemi čiji se polovi nalaze lijevlje u s-ravni imajukraće vrijeme smirenja.
27
1sT
2sT
1pT
2pT
1
2
ravans
Karakteristične veličine
28
Re( )s
Im( )s
123
12
3
Re( )s
Im( )s
123
1
2
3
Re( )s
Im( )s
12
3
1 2 3
Isti preskok
Ista perioda
prigušenih osc.
Isto vrijeme
smirenja
Primjer 1
Odrediti vrijednost parametra K tako da preskok bude 4.3%.
29
Iz uslova za preskok dobija se željenavrijednost faktora prigušenja:
Funkcija spregnutog prenosa je:
2
2
2 26 23n
n n
KG
ss s K s
2 36 18 / 0.7077 25.4345n n
225.4345 646.9141K
>> syms s k z
>> zeta=eval(solve(exp(-
z*pi/sqrt(1-z^2))-0.043))
zeta =
-0.7077
0.7077
>> W=k/s/(s+36)
>> G=simplify(W/(1+W));
>> s=tf('s');
>> W=646.9141/s/(s+36)
>> G=feedback(W,1); >> step(G)
21 100% =4.3% =0.7077.e
R(s)
-
E(s) Y(s)
36
K
s s
Primjer 2
Odrediti vrijednost parametra a i b tako da preskok bude jednak 4.3%, a greška u
stacionarnom stanju 0, ako je ulazni signal jedinična step funkcija.
30
Iz uslova da greška u praćenju step signalabude jednaka 0, jasno da je jedan odparametra a i b treba usvojiti da budejednak nuli. Drugi parametar se određuje izuslova da je preskok jednak 4.3%, odnosnoda je ζ = 0.7077. Usvajajući da je a=0,funkcija povratnog prenosa je:
>> syms s b
>> W=100/s/(s+b)
>> G=simplify(W/(1+W))
G = 100/(s^2 + b*s + 100)
>> s=tf('s');
>> W=100/s/(s+14.154)
>> G=feedback(W,1);
>> step(G)
2
2
2 2100
100
2n
n n
Gs ss bs
2 2 0.7077 10 14.154nb
R(s)
-
E(s) Y(s)
( )
K
s a s b
Primjer 3
Servo sistem za upravljanje pozicijom je dat blok dijagramom na slici ispod.Izabrati pojačanje K tako da se postigne maksimalna brzina pozicioniranja bezpreskoka.
31
Da bi odziv bio bez preskoka, faktorprigušenja treba da bude jednak jedinici. Izkarakteristične jednačine:
se dobija da je K=2. Za K=2 sistem imadvostruki pol -1, pa je vrijeme smirenjapribližno jednako 4s. Da bi postigli manjevrijeme smirenja mora se koristiti brži motorili regulator sa više stepeni slobode. Takođeje moguće koristiti više senzora.
2( ) 2 0.5 ,f s s s K
R(s)
-
E(s) Y(s)
0.5
2s s K
R(s)
-
E(s) Y(s)
0.5
2s s ?
Regulator sa više parametara za podešavanje
K1 K2
pozicija
brzina
0.5
2s s
R(s) Y(s)
- -
s
Uticaj dodatnih polova
Izvedene formule za karakteristične veličine važe za sisteme drugog reda.Ukoliko sistem ima dodatne polove i nule, pod određenim uslovimasistem se može aproksimirati sistemom drugog reda koji ima samokompleksne polove. Konjugovano kompleksni polovi sistema sd1,2 koji sunajbliži imaginarnoj osi često se nazivaju dominantnim polovima, jerimaju najveći uticaj na odziv sistema.
Posmatrajmo specijalni slučaj kad sistem ima tri pola: dva konjugovanokompleksna sd1,2 i jedan realni pol p.
U literaturi se usvaja pravilo da se posmatrani sistem trećeg reda možeaproksimirati sistemom drugog reda ukoliko je realni pol bar 5 puta višeudaljen od imaginarne ose s-ravni u odnosu na realni dio kompleksnihpolova.
32
2 2
2 21 2
( )( )( ) ( )( )( )d d
b bG s
s p s as b s p s s s s
Uticaj dodatnih polova
Prilikom aproksimacije sistema trećeg reda sistemom drugog reda,potrebno je obezbijediti da pojačanja početnog i aproksimiranog sistemabudu jednaka:
33
1 2
( )( / 1)( / 1)
sa
d d
KG s
s s s s
0lim ( ) - pojačanje sistemass
K G s
2 23 3 1 2
( )( )( ) ( )( )( )d d
K KG s
s s as b s s s s s
Re( )s
Im( )s1ds
2ds
p
Re( )s
Im( )s1ds
2ds
pveći uticaj manji uticaj
Primjer – dominantni polovi
Funkcija povratnog prenosa sistema je:
Da li je opravdano spregnuti sistem aproksimirati sistemom drugog reda?
Funkcije spregnutog sistema za oba slučaja su:
Polovi sistema G1 su -3.9042, -1.0479 ± 1.3112i. Kako je odnos realnog pola irealnog dijela dominantnih polova jednak 3.725, u ovom slučaju nije opravdanokoristiti aproksimaciju drugog reda. Sa druge strane polovi sistema G2 su -4.3089, -0.8455 ± 1.7316i. U ovom primjeru je odnos realnog pola i realnog dijeladominantih polova 5.1, pa se ovaj sistem može grubo aproksimirati sistemomdrugog reda.
34
5a) ( )
( 1)( 2)( 3)W s
s s s
10b) ( )
( 1)( 2)( 3)W s
s s s
31 26 11
5) i
1(
1s s sG s
32 26
10( )
11 1.
6G
s ss
s
Primjer – dominantni polovi
Pojačanje sistema G2 je 10/16, dok su dominantni polovi jednaki -0.8455 ±i1.7316. Funkcija prenosa sistema drugog reda je jednaka:
35
>> s=tf('s');
>> W1=5/(s+1)/(s+2)/(s+3)
>> G1=feedback(W1,1); pole(G1)
>> W2=10/(s+1)/(s+2)/(s+3)
>> G2=feedback(W2,1); pole(G2)
>> sd1=-0.8455 + 1.7316i
>> G2a=10/16/[(-s/sd1+1)*(-s/sd1'+1)]
>> step(G2), hold on, step(G2a,'r-')
1 2
2
2
( )( / 1)( / 1)
2.321
1.691 3.713
sa
d d
KG s
s s s s
s s
Na slici je prikazan step odzivpočetnog i aproksimiranog sistema.Može se uočiti da oba sistemakonvergiraju ka istoj vrijednosti,jer im je pojačanje jednako. Sistemdrugog reda ima brži prelazniproces, jer je treći pol zanemaren.Odnosno, dodatni poloviusporavaju odziv, ali i smanjujupreksok.
Uticaj dodatnih nula
Dodatne nule ne utiču na prirodu odziva (aperiodičnost, ocilatornost), aliutiču na karakteristične veličine (amplitudu, vrijeme smirenja, preskok,itd.). Neka je funkcija prenosa sistema:
Odziv sistema u s domenu se može zapisati kao odziv sistema drugog redapomnožen sa faktorom s+a:
U vremenskom domenu odziv sistema predstavlja zbir dvije komponente:odziva sistema drugog reda y1(t) skaliranog sa a i izvoda te komponente(množenje sa s). Ukoliko je a mnogo veliko, komponenta izvoda se možezanemariti, te se može smatrati da nula samo skalira odziv drugog reda.
36
2 2 2 2
1( ) ( ) .
s aG s s a
s as b s as b
12 2
( )( ) (s) ( ) ( ) ( ) ( ).
X sY s X G s s a s a Y s
s as b
Uticaj dodatnih nula
Posmatrajmo funkcije prenosa i njihove step odzive:
37
1 2
1( )
1G s
s s
11 2
1( )
1
sG s
s s
2 2
20( )
1G s
s s
22 2
20( )
1
sG s
s s
>> s=tf('s');
>> G1=1/(s^2+s+1)
>> G11=(s+1)/(s^2+s+1)
>> step(G1), hold on, step(G11,'r')
>> G2=20/(s^2+s+1)
>> G22=(s+20)/(s^2+s+1)
>> step(G2), hold on, step(G22,'r')
Nule generalno ubrzavaju odziv(skraćuju vrijeme uspona), alipovećavaju preskok, što se može vidjetisa prve slike. Na drugoj slici se uticajnule može zanemariti, jer je koeficijent aveliki.
