Skripta Za Diplomski

Skripta za diplomskiAndrea Bosak, Andrea Ostojic i Tihana Trivic

3.11.2012.

Sadrzaj

Sadrzaj 1

1 Matematicka analiza 1 i 2 21.1 Supremum i infimum. Arhimedov aksiom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Nizovi. Podnizovi. Ogranicenost, monotonost i konvergencija nizova. . . . . . . . . . 31.3 Limes funkcije. Neprekidnost funkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Derivacija funkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Teoremi srednje vrijednosti. Taylorov teorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Derivacije i monotonost, lokalni ekstremi, konveksnost i infleksije. . . . . . . . . . . . 101.7 Riemannov integral. Primitivna funkcija. Newton-Leibnitzova formula. . . . . . . . . 121.8 Redovi. Konvergencija redova. Kriteriji konvergencije. . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9 Redovi potencija. Taylorov red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Diferencijalni i integralni racun 202.1 Diferencijabilnost funkcija vise varijabli. Parcijalne derivacije. . . . . . . . . . . . . . 202.2 Ekstremi funkcija vise varijabli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Visestruki integral. Fubinijev teorem. Zamjena varijabli. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Linearna algebra 1 i 2 263.1 Vektorski prostor. Baza i dimenzija. Potprostor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Determinanta matrice: definicija i svojstva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Rang matrice: definicija i svojstva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Regularna matrica. Inverz. Karakterizacije regularnih matrica. . . . . . . . . . . . . 323.5 Rjesivost sustava linearnih jednadzbi. Opis skupa rjesenja. . . . . . . . . . . . . . . . 333.6 Linearni operatori. Jezgra, slika, rang i defekt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.7 Svojstvene vrijednosti linearnog operatora. Svojstveni polinom matrice i linearnog

operatora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.8 Unitarni prostori. Ortogonalni komplement potprostora. . . . . . . . . . . . . . . . . 373.9 Ortonormirana baza. Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije. . . . . . . . . . . . 393.10 Svojstvene vrijednosti hermitskih operatora/simetricnih matrica. Dijagonalizacija. . 40

1

Poglavlje 1

Matematicka analiza 1 i 2

1.1 Supremum i infimum. Arhimedov aksiom.

Definicija 1.1.1.Kazemo da je S ⊂ R, S 6= ∅, omeden odozgo u R, ako postoji broj M ∈ R takav da vrijedi∀x ∈ S, x ≤M . Broj M zovemo gornja meda ili majoranta skupa S.Kazemo da je S ⊂ R, S 6= ∅, omeden odozdo u R, ako postoji broj m ∈ R takav da vrijedi∀x ∈ S,m ≤ x. Broj m zovemo donja meda ili minoranta skupa S.Skup S ⊂ R, S 6= ∅, je omeden u R, ako je omeden odozdo i odozgo u R.

Definicija 1.1.2.Broj L ∈ R koji je najmanja majoranta nepraznog odozgo omedenog skupa S ⊂ R nazivamo supre-mum skupa S i pisemo L = supS.L = supS je karakteriziran sljedecim svojstvima:

• ∀x ∈ S, x ≤ L

• ∀a ∈ R, a < L, ∃x ∈ S, a < x

Cesto je prakticno drugi uvjet pisati u obliku: ∀ε > 0, ∃x ∈ S, L− ε < x.Supremum koji je u skupu nazivamo maksimum, tj. ako je L = supS ∈ S onda je L = maxS.

Teorem 1.1.3. (Arhimedov aksiom)U skupu R vrijedi tvrdnja: ∀a, b ∈ R, a > 0, b > 0, ∃n ∈ N, na > b.

Definicija 1.1.4.Broj l ∈ R koji je najveca minoranta nepraznog odozdo omedenog skupa S ⊂ R nazivamo infimumskupa S i pisemo l = inf S.l = inf S je karakteriziran sljedecim svojstvima:

• ∀x ∈ S, l ≤ x

• ∀a ∈ R, a > l, ∃x ∈ S, x < a

Cesto je prakticno drugi uvjet pisati u obliku: ∀ε > 0, ∃x ∈ S, x < l + ε.Infimum koji je u skupu nazivamo minimum, tj. ako je l = inf S ∈ S onda je l = minS.

Teorem 1.1.5.Neka je S ⊂ R, S 6= ∅, odozdo ogranicen skup. Tada postoji l = inf S ∈ R.

Napomena 1.1.6. (Aksiom potpunosti)Svaki neprazan odozgo omeden podskup S ⊆ R ima supremum u R.

2

POGLAVLJE 1. MATEMATICKA ANALIZA 1 I 2 3

Teorem 1.1.7. (O potpunosti)Neka za svaki n ∈ N imamo segmente [an, bn] ⊂ R takve da vrijedi [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn],∀n ∈ N.Tada postoji x ∈ R takav da je x ∈ [an, bn],∀n ∈ N.

1.2 Nizovi. Podnizovi. Ogranicenost, monotonost i konvergencijanizova.

Definicija 1.2.1.Funkciju a : N→ S zovemo niz u S.Uobicajena oznaka za niz je (an)n∈N ili (an)n ili samo (an). Kodomena niza moze biti bilo kojineprazan skup.

Evo nekoliko primjera nizova:

1) Niz (an)n s an = 1n , ∀n ∈ N, je niz u R.

2) Niz (an)n s an = in , ∀n ∈ N, je niz u C.

3) Niz (an)n je niz realnih funkcija, gdje je ∀n ∈ N, an : R → R funkcija definirana s an(x) =sinnx, ∀x ∈ R.

Monotonost je vazno svojstvo koje niz moze zadovoljavati. Za to je neophodno da je niz u skupu nakojem je definiran uredaj.

Definicija 1.2.2. Neka je (an)n u R.

• Niz (an)n je rastuci ako ∀n ∈ N, an ≤ an+1.

• Niz (an)n je strogo rastuci ako ∀n ∈ N, an < an+1.

• Niz (an)n je padajuci ako ∀n ∈ N, an ≥ an+1.

• Niz (an)n je strogo padajuci ako ∀n ∈ N, an > an+1.

Definicija 1.2.3.Za niz b : N→ S kazemo da je podniz niza a : N→ S, ako postoji strogo rastuci niz p : N→ N u Ntakav da je b = a p.

U oznakama (an)n i (bn)n za nizove pisali bismo bn = b(n) = (a p)(n) = a[p(n)] = ap(n) =apn . Podniz nekog niza dobijemo tako da izbacimo neke clanove polaznog niza, a preostali clanovizadrzavaju prijasnji medusobni poredak.

Npr. podniz (a2n) niza an = (−1)n nn+1 glasi 2

3 ,45 ,

67 , . . ., a podniz (a2n−1) istog niza glasi

− 12 ,−

34 ,−

56 , . . ..

Definicija 1.2.4.Za niz (an)n kazemo da je ogranicen odozgo ako postoji konstanta M takva da je an ≤M, ∀n.Za niz (an)n kazemo da je ogranicen odozdo ako postoji konstanta m takva da je an ≥ m, ∀n.Za niz kazemo da je ogranicen ako je ogranicen odozgo i odozdo, tj. ako postoje konstante M i mtakve da je m ≤ an ≤M, ∀n.

Npr. niz 1n2 pada, a niz n−1

n raste. Ti nizovi su ograniceni sa m=0 i M=1.

Definicija 1.2.5.Niz realnih brojeva (an)n konvergira ili tezi k realnom broju a ∈ R ako svaki otvoreni intervalpolumjera ε oko tocke a sadrzi gotovo sve clanove niza, tj.

(∀ε > 0), (∃nε ∈ N), (∀n ∈ N), ((n > nε)⇒ (|an − a| < ε)).


Tada a zovemo granicna vrijednost ili limes niza (an)n i pisemo a = limn→∞

an. Ako niz ne

konvergira onda kazemo da on divergira.

Teorem 1.2.6.Konvergentan niz u R je ogranicen.Konvergentan niz u R ima samo jednu granicnu vrijednost.

Teorem 1.2.7.Svaki podniz konvergentnog niza u R i sam je konvergentan i ima istu granicnu vrijednost kao i niz.

Od interesa je naci jednostavno provjerive dovoljne uvjete za konvergenciju niza.

Napomena 1.2.8.

• Ogranicenost nije dovoljna za konvergenciju niza. Npr. niz an = (−1)n,∀n ∈ N. Ogranicenje, ali nema limes. Za 0 < ε < 1

2 i bilo koji a ∈ R izvan otvorenog intervala 〈a−ε, a+ε〉 uvijekse nalazi beskonacno clanova niza. Dakle, taj interval ne sadrzi gotovo sve clanove niza.

• Monotonost nije nuzna za konvergenciju niza. Npr. niz (−1)nn konvergira prema 0, ali nije

monoton.

Definicija 1.2.9.Kazemo da je niz (an)n realnih brojeva Cauchyjev niz ako

∀ε > 0, ∃nε ∈ N, ∀n,m ∈ N, n,m > nε ⇒ |an − am| < ε.

Osim operacija na skupu R imamo zadan uredaj ≤. Konvergencija nizova je u skladu s tim uredajem.

Teorem 1.2.10. (Operacije s konvergentnim nizovima)Neka su (an)n i (bn)n konvergentni nizovi u R. Tada vrijedi:

1. Niz (an ± bn)n je konvergentan i limn→∞

(an ± bn) = limn→∞

an ± limn→∞

bn.

2. Niz (an · bn)n je konvergentan i limn→∞

(an · bn) = limn→∞

an · limn→∞

bn.

3. Ako je ∀n ∈ N, bn 6= 0, i limn→∞

bn 6= 0, onda je i niz

(anbn

)n

konvergentan i

limn→∞

(anbn

)=

limn→∞ anlimn→∞ bn

.

4. Niz (|an|)n je konvergentan i limn→∞

|an| = | limn→∞

an|.

Teorem 1.2.11. (Teorem o sendvicu)Neka su (an)n i (bn)n konvergentni nizovi u R.

1. Ako je ∀n ∈ N, an ≤ bn, onda je limn→∞

an ≤ limn→∞

bn.

2. Ako je (cn)n niz za kojeg vrijedi ∀n ∈ N, an ≤ cn ≤ bn i limn→∞

an = limn→∞

bn = c, onda je (cn)n

konvergentan i limn→∞

cn = c.

Teorem 1.2.12.Niz u R je konvergentan ako i samo ako je Cauchyjev.

Teorem 1.2.13.Svaki niz (an)n u R ima monoton podniz.


Teorem 1.2.14. (Weierstrass)Ogranicen niz u R ima konvergentan podniz.

Definicija 1.2.15.Kazemo da je α ∈ R gomiliste niza (an)n realnih brojeva, ako postoji podniz (apn)n niza (an)ntakav da vrijedi lim

n→∞apn = α.

Iz definicije slijedi da je α ∈ R gomiliste niza (an)n ako i samo ako ∀ε > 0 okolina 〈α − ε, α + ε〉sadrzi beskonacno clanova niza.

Definicija 1.2.16.Neka je (an)n ogranicen niz realnih brojeva i A ⊂ R skup svih gomilista tog niza.

• Supremum skupa A zovemo limes superior niza (an)n i oznacavamo s lim supn→∞

an ili limnan.

• Infimum skupa A zovemo limes inferior niza (an)n i oznacavamo s lim infn→∞

an ili limnan.

Broj L ∈ R je limes superior niza (an)n ako i samo ako vrijedi:

1. ∀ε > 0, je an < L+ ε za gotovo sve clanove niza.

2. ∀ε > 0, je L− ε < an za beskonacno clanova niza.

Broj l ∈ R je limes inferior niza (an)n ako i samo ako vrijedi:

1. ∀ε > 0, je l − ε < an za gotovo sve clanove niza.

2. ∀ε > 0, je an < l + ε za beskonacno clanova niza.

Teorem 1.2.17.Ogranicen niz (an)n u R je konvergentan ako i samo ako je

lim infn→∞

an = lim supn→∞

an.

1.3 Limes funkcije. Neprekidnost funkcije.

Neka su A i B bilo koja dva neprazna skupa. Funkcija sa skupa A u skup B je pridruzivanjeelemenata skupa A elementima skupa B, tako da je svakom elementu iz A pridruzen tocno jedanelement iz B. Tada pisemo f : A → B, s tim da skup D(f) = A zovemo podrucje definicije ilidomena funkcije f , skup K(f) = B nazivamo podrucje vrijednosti ili kodomena funkcije f .

Definicija 1.3.1.Neka je I ⊆ R otvoren interval i c ∈ I. Za funkciju f : I \ c → R kazemo da ima limes u tockic jednak L ako za svaki niz (cn)n u I \ c vrijedi:

limn→∞

cn = c ⇒ limn→∞

f(cn) = L.

Tada pisemo limx→c

f(x) = L.

Teorem 1.3.2. (Cauchyjeva definicija limesa)Neka je I ⊆ R otvoren interval, c ∈ I i f : I \ c → R. Limes funkcije f u tocki c postoji ilimx→c

f(x) = L ako i samo ako vrijedi

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ I)((0 < |x− c| < δ) ⇒ (|f(x)− L| < ε)).

Limes funckije je u skladu sa operacijama zbrajanja i mnozenja s funkcijama.


Teorem 1.3.3. (Svojstva)Neka je I ⊆ R otvoren interval, c ∈ I i f, g : I \ c → R za koje postoje lim

x→cf(x) i lim

x→cg(x). Tada

vrijedi:

1. Funkcija f ± g ima limes u c i limx→c

(f(x)± g(x)) = limx→c

f(x)± limx→c

g(x).

2. Za svaki λ ∈ R funkcija λf ima limes u c i limx→c

λf(x) = λ limx→c

f(x).

3. Funkcija f · g ima limes u c i limx→c

(f(x) · g(x)) = limx→c

f(x) · limx→c

g(x).

4. Ako je g(x) 6= 0, ∀x ∈ I \ c, i limx→c

g(x) 6= 0, funkcijaf

gima limes u c i

limx→c

f(x)

g(x)=

limx→c f(x)

limx→c g(x).

5. Funkcija |f | ima limes u c i limx→c|f(x)| = | lim

x→cf(x)|.

Teorem 1.3.4. (Teorem o sendvicu)Neka je I ⊆ R otvoren interval, c ∈ I i f, g : I \ c → R za koje postoje lim

x→cf(x) i lim

x→cg(x).

1. Ako je f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ I \ c, onda je limx→c

f(x) ≤ limx→c

g(x).

2. Ako je h : I \ c → R takva da vrijedi f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), ∀x ∈ I \ c i limx→c

f(x) =

limx→c

g(x) = L, onda funkcija h ima limes u c i limx→c

h(x) = L.

Definicija 1.3.5. (Cauchyjeva definicija)

• Neka je I ⊆ R otvoren interval i c ∈ I. Za funkciju f : I \ c → R kazemo da ima limesslijeva u tocki c jednak L ako vrijedi

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ I)((0 < c− x < δ) ⇒ (|f(x)− L| < ε)).

Tada pisemo limxc

f(x) = limx→c−

f(x) = f(c−) = L.

• Neka je I ⊆ R otvoren interval i c ∈ I. Za funkciju f : I \ c → R kazemo da ima limeszdesna u tocki c jednak L ako vrijedi

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ I)((0 < x− c < δ) ⇒ (|f(x)− L| < ε)).

Tada pisemo limxc

f(x) = limx→c+

f(x) = f(c+) = L.

Jednostrani limes funkcije ima ista svojstva kao i limes funkcije.Npr. funkcija signum definirana s

sgn(x) =

x

|x|, x 6= 0

0 , x = 0

nema limes u nuli, ali ima i lijevi i desni limes u nuli i oni su razliciti. Za svaki x < 0 je sgn(x) = −1,a za x > 0 je sgn(x) = 1. Odatle zakljucujemo da za svaki niz koji konvergira k nuli slijeva, pripadniniz funkcijskih vrijednosti ima limes jednak -1, a za one s desna je jednak 1. To znaci da funkcijasgn nema limes u nuli, ali je zato lim

x→0−sgn(x) = −1 i lim

x→0+sgn(x) = 1.

Teorem 1.3.6.Neka je I ⊆ R otvoren interval, c ∈ I i f : I \ c → R. Za funkciju f postoji lim

x→cf(x) ako i samo

ako postoje i jednaki su limx→c−

f(x) i limx→c+

f(x).


Teorem 1.3.7.Neka je I ⊆ R otvoren skup i f : I → R monotona funkcija. U svakoj tocki c ∈ I funkcija f imalijevi i desni limes. Ako f raste, onda je f(c−) ≤ f(c) ≤ f(c+), a ako pada f(c−) ≥ f(c) ≥ f(c+).

Definicija 1.3.8.Neka je I ⊆ R otvoren interval i tocka c ∈ I. Za funkciju f : I → R kazemo da je neprekidna utocki c ako postoji limes funkcije f u tocki c i lim

x→cf(x) = f(c). Funkcija je neprekidna na skupu I

ako je neprekidna u svakoj tocki c ∈ I.

Slika 1.1: Postojanje limesa u tockije nuzan uvjet da bi funkcija bila ne-prekidna, ali to nije i dovoljan uvjet.Iz grafa funkcije je vidljivo da funk-cija ima limes u tocki c, ali je tocka(c,f(c)) izdvojena.

Teorem 1.3.9. (Cauchyjeva definicija)Neka je I ⊆ R otvoren interval, c ∈ I i funkcija f : I → R. Funkcija f je neprekidna u tocki c akoi samo ako vrijedi

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ I)((|x− c| < δ) ⇒ (|f(x)− f(c)| < ε)).

Primjer: f : R→ R, f(x) = d, ∀x ∈ R neprekidna u svakoj tocki c ∈ R. Uvijek vrijedi implikacija

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ I)((|x− c| < δ) ⇒ (0 = |d− d| < ε))

Teorem 1.3.10. (Svojstva)Neka je I ⊆ R otvoren interval, c ∈ I i neka su funkcije f, g : I → R neprekidne u c. Tada vrijedi:

1. Za svaki λ, µ ∈ R je funkcija λf + µg neprekidna u c.

2. Funkcija f · g je neprekidna u c.

3. Ako je g(x) 6= 0, ∀x ∈ I, onda je funkcijaf

gneprekidna u c.

Teorem 1.3.11.Neka su I, J ⊆ R otvoreni intervali, f : I → R, g : J → R funkcije za koje vrijedi f(I) ⊆ J , tj.dobro je definirana funkcija g f : I → R. Ako je funkcija f neprekidna u tocki c ∈ I i funkcija gneprekidna u d = f(c) ∈ J , onda je g f neprekidna u c.

Definicija 1.3.12. (Neprekidnost na segmentu)Neka je [a, b] ⊆ R i funkcija f : [a, b] → R razlicita od konstantne funkcije. Kazemo da je funkcijaf neprekidna na [a, b] ako postoji otvoren interval I ⊆ R i funkcija g : I → R takva da vrijedi:

• [a, b] ⊂ I

• g(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b]

• g je neprekidna na I.


Teorem 1.3.13. (Bolzano - Weierstrass)Neka je funkcija f : [a, b]→ R neprekidna na segmentu [a, b] ⊆ R. Tada je f([a, b]) = [m,M ] takodersegment.

Teorem 1.3.14.Neka je I ⊆ R otvoren interval, funkcija f : I → R monotona na I i I ′ = f(I) otvoren interval.Tada je f neprekidna funkcija na I.

Definicija 1.3.15.Neka je I ⊆ R otvoren interval i f : I → R. Kazemo da f ima u tocki c ∈ I prekid prve vrsteako u c postoje i lijevi limes f(c−) i desni limes f(c+) funkcije i ako su oni razliciti. Ostali prekidisu prekidi druge vrste.

Teorem 1.3.16.Neka je I ⊆ R otvoren interval i f : I → R monotona funkcija.

1. Monotona funkcija moze imati samo prekide prve vrste.

2. Monotona funkcija ima najvise prebrojivo mnogo prekida.

Cinjenica da je funkcija neprekidna u nekoj tocki ima utjecaj na ponasanje funkcije u okolini tetocke. Ako je funkcija neprekidna u tocki c, onda je ona lokalno ogranicena oko tocke c.Svaki polinom je neprekidna funkcija na R.Svaka racionalna funkcija je neprekidna na cijelom podrucju definicije.

Definicija 1.3.17.Neka je I ⊆ R otvoren interval i tocka c ∈ I. Za funkciju f : I → R kazemo da je neprekidnaslijeva u tocki c ako postoji limes slijeva funkcije f u tocki c i lim

x→c−f(x) = f(c). Funkcija f je

neprekidna zdesna u tocki c ako postoji limes zdesna funkcije f u tocki c i limx→c+

f(x) = f(c).

• Funkcija f je neprekidna u c ako i samo ako je neprekidna i slijeva i zdesna u c.

1.4 Derivacija funkcije.

Definicija 1.4.1.Kazemo da je funkcija f : I → R diferencijabilna ili derivabilna u tocki c otvorenog intervalaI ⊆ R, ako postoji

limx→c

f(x)− f(c)

x− c.

Taj broj zovemo derivacija funkcije f u tocki c i pisemo

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)

x− c.

Definicija 1.4.2.Analogno se definira n-ta derivacija (ako postoji) od f na I, tj. f (n) : I → R

f (n+1)(c) = limx→c

f (n)(x)− f (n)(c)x− c

.

Primjer: f(x) = x, ∀x ∈ R u tocki c ∈ R

f ′(c) = limx→c

f(x)− f(c)

x− c= limx→c

x− cx− c

= 1 ⇒ f ′(x) = 1, ∀x ∈ R.


Teorem 1.4.3.Ako je funkcija f : I → R diferencijabilna u tocki c otvorenog intervala I, onda je f neprekidna u c.

Teorem 1.4.4.Neka je funkcija f : I → R diferencijabilna u tocki c otvorenog intervala I i neka je g(x) =f ′(c)(x− c) + f(c), ∀x ∈ R. Ako je h polinom, st h ≤ 1 i h 6= g, onda postoji δh > 0 tako da vrijedi

∀x ∈ I, (0 < |x− c| < δh) ⇒ (|f(x)− g(x)| < |f(x)− h(x)|).

Drugim rijecima, polinom g je medu svim polinomima stupnja ≤ 1 lokalno oko c najbolja aproksi-macija funkcije f .

Teorem 1.4.5. (Svojstva derivacije)Neka su funkcije f, g : I → R diferencijabilne u tocki c otvorenog intervala I.

1. Funkcija f + g je diferencijabilna u tocki c i (f + g)′(c) = f ′(c) + g′(c)

2. Funkcija f · g je diferencijabilna u tocki c i (f · g)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c)

3. Ako je funkcija fg definirana na I, onda je i diferencijabilna u tocki c i

(f

g

)′(c) =

f ′(c)g(c)− f(c)g′(c)

g(c)2

Teorem 1.4.6. (Derivacija kompozicije funkcija)Neka su f : I → R, g : J → R i neka je f(I) ⊆ J , tj. kompozicija gf : I → R je dobro definirana naI. Ako je funkcija f diferencijabilna u tocki c ∈ I i funkcija g diferencijabilna u tocki d = f(c) ∈ J ,onda je kompozicija g f diferencijabilna u c i vrijedi (g f)′(c) = g′(d)f ′(c).

Teorem 1.4.7. (Derivacija inverzne funkcije)Neka je f : I → J , I, J ⊆ R, I otvoren interval, bijekcija i neka je f neprekidna na I. Ako f imaderivaciju u tocki c ∈ I i ako je f ′(c) 6= 0, onda je f−1 diferencijabilna u tocki d = f(c) i vrijedi

(f−1)′(d) =1

f ′(c)ili (f−1)′(x) =

1

f ′(f−1(x)).

Napomena 1.4.8. (Logaritamsko deriviranje)Neka su f : I → 〈0,+∞〉, g : I → R, I ⊆ R otvoren interval, diferencijabilne funkcije. Tada je ifunkcija h : I → R, definirana sa h(x) = f(x)g(x), ∀x ∈ I, diferencijabilna i vrijedi

h′(x) = f(x)g(x)[g′(x) ln (f(x)) + g(x)

f ′(x)

f(x)

].

Teorem 1.4.9. (L’Hospitalovo pravilo)Neka su f i g funkcije definirane na I \ c ⊂ R i neka su diferencijabilne na tom skupu. Nekavrijedi

limx→c

f(x) = 0, limx→c

g(x) = 0, g(x) 6= 0, g′(x) 6= 0, ∀x ∈ I \ c.

Ako je limx→c

f ′(x)

g′(x)= L, tada je lim

x→c

f(x)

g(x)= L.


1.5 Teoremi srednje vrijednosti. Taylorov teorem.

Teorem 1.5.1. (Rolle)Neka je f : I → R diferencijabilna na otvorenom intervalu I ⊆ R i neka za a, b ∈ I, a < b, vrijedif(a) = f(b) = 0. Tada postoji c ∈ 〈a, b〉 takav da je f ′(c) = 0.

Teorem 1.5.2. (Lagrange)Neka je f : I → R, diferencijabilna na otvorenom intervalu I ⊆ R i neka su a, b ∈ I, a < b. Tadapostoji c ∈ 〈a, b〉 takav da je f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Definicija 1.5.3. (Taylorov polinom i n-ti ostatak funkcije)Neka je I ⊆ R otvoren interval i f : I → R ima n-tu derivaciju na I. Za c ∈ I polinom

Tn(x) = f(c) +

n∑k=1

f (k)(c)

k!(x− c)k, x ∈ R,

zovemo Taylorov polinom n-tog reda za funkciju f u tocki c, a funkciju

Rn(x) = f(x)− Tn(x), x ∈ I,

zovemo n-ti ostatak funkcije f u c.

Teorem 1.5.4. (Taylor)Neka je I ⊆ R otvoren interval i neka f : I → R ima derivaciju n+ 1-vog reda na I. Neka je c ∈ I iTn Taylorov polinom za f u tocki c definiran kao u prethodnoj definiciji. Tada ∀x ∈ I, ∃cx izmeduc i x, tako da je

Rn(x) =f (n+1)(cx)

(n+ 1)!(x− c)n+1, (Lagrangeov oblik ostatka).

1.6 Derivacije i monotonost, lokalni ekstremi, konveksnost i infleksije.

Teorem 1.6.1. (Rast i pad funkcije)Neka je f : I → R, diferencijabilna na otvorenom intervalu I ⊆ R. Funkcija f raste na I ako isamo ako je f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I. Funkcija f pada na I ako i samo ako je f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I.

Uvjet da je f ′(x) > 0, ∀x ∈ I, je dovoljan za strogi rast funkcije f na I, ali taj uvjet nije nuzan.

Teorem 1.6.2. (Nuzan i dovoljan uvjet za strogi rast)Neka je f : I → R, diferencijabilna na otvorenom intervalu I ⊆ R i neka je S = x ∈ I : f ′(x) = 0.Funkcija f strogo raste (pada) na I ako i samo ako skup S ne sadrzi otvoreni interval i f ′(x) > 0(f ′(x) < 0) , ∀x ∈ I \ S.

Definicija 1.6.3.Za funkciju f : I → R kazemo da u c otvorenog intervala I ⊆ R ima

• lokalni maksimum f(c), ako ∃δ > 0 takav da ∀x ∈ I (|x− c| < δ) ⇒ (f(x) ≤ f(c))

• lokalni minimum f(c), ako ∃δ > 0 takav da ∀x ∈ I (|x− c| < δ) ⇒ (f(x) ≥ f(c))

Takve tocke zovemo tockama lokalnih ekstrema.

Kod strogih lokalnih ekstrema vrijede stroge nejednakosti i |x− c| > 0.

Teorem 1.6.4. (Fermat)Neka je f : I → R u tocki c otvorenog intervala I ⊆ R ima lokalni ekstrem. Ako je f diferencijabilnau c, onda je f ′(c) = 0.


Tocke iz otvorenog intervala u kojima je derivacija jednaka nuli nazivamo stacionarnim tockama.Ako realna funkcija f ima derivaciju f ′ na otvorenom intervalu I ⊆ R, onda funkcija f ′ nemaprekida prve vrste na I.

Teorem 1.6.5. (Dovoljan uvjet za lokalne ekstreme)Neka je f : I → R, diferencijabilna na otvorenom intervalu I ⊆ R.

1. Ako je c ∈ I, f ′(c) = 0 i ako ∃δ > 0, 〈c− δ, c+ δ〉 ⊆ I, tako da

x ∈ 〈c− δ, c〉 ⇒ f ′(x) > 0 i x ∈ 〈c, c+ δ〉 ⇒ f ′(x) < 0

onda f ima u tocki c strogi lokalni maksimum.

2. Ako je c ∈ I, f ′(c) = 0 i ako ∃δ > 0, 〈c− δ, c+ δ〉 ⊆ I, tako da

x ∈ 〈c− δ, c〉 ⇒ f ′(x) < 0 i x ∈ 〈c, c+ δ〉 ⇒ f ′(x) > 0

onda f ima u tocki c strogi lokalni minimum.

Teorem 1.6.6. (Dovoljan uvjet za lokalne ekstreme)Neka je I ⊆ R otvoren interval, f : I → R, f ∈ C(n+1)(I). Neka je c ∈ I stacionarna tocka, tj.f ′(c) = 0. Ako postoji n ∈ N, takav da ∀k ∈ 1, . . . , n vrijedi f (k)(c) = 0 i f (n+1)(c) 6= 0, tada uslucaju

1. ako je n+ 1 paran broj i f (n+1)(c) > 0, f ima strogi lokalni minimum u c,

2. ako je n+ 1 paran broj i f (n+1)(c) < 0, f ima strogi lokalni maksimum u c,

3. ako je n+ 1 neparan broj, f nema lokalni ekstrem u c (ima horizontalnu infleksiju).

Definicija 1.6.7.Za realnu funkciju f kazemo da je konveksna na intervalu I ⊆ R, ako

(∀x1, x2 ∈ I) (x1 < x2) ⇒(f

(x1 + x2

2

)≤ f(x1) + f(x2)

2

).

Funkcija f je konkavna ako vrijedi

(∀x1, x2 ∈ I) (x1 < x2) ⇒(f

(x1 + x2

2

)≥ f(x1) + f(x2)

2

).

Funkcija je strogo konveksna (konkavna) ako vrijedi stroga nejednakost.

Teorem 1.6.8. (Jensenova nejednakost)Ako je f neprekidna i konveksna funkcija na intervalu I ⊆ R, onda vrijedi

(x1, x2 ∈ I) , (∀t ∈ [0, 1]) , f((1− t)x1 + tx2) ≤ (1− t)f(x1) + tf(x2).

Ako jednakost vrijedi za neko t ∈ 〈0, 1〉, onda jednakost vrijedi ∀t ∈ [0, 1].

Teorem 1.6.9.Neka je f : I → R diferencijabilna funkcija na otvorenom intervalu I ⊆ R. Funkcija f je konveksnana I, ako i samo ako je njena derivacija f ′ rastuca funkcija na I.

• Neka je f : I → R dva puta diferencijabilna funkcija na otvorenom intervalu I ⊆ R. Funkcija f jekonveksna na I ako i samo ako je f ′′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I.


Definicija 1.6.10.Neka je I ⊆ R otvoren interval i f : I → R. Tocka c ∈ I je tocka infleksije ili prijevojna tocka,ako postoji δ > 0 takav da je na intervalu 〈c − δ, c〉 funkcija f strogo konveksna, a na intervalu〈c, c + δ〉 je f strogo konkavna ili obratno. Jos kazemo da je tocka (c,f(c)) tocka infleksije grafafunkcije f .

Teorem 1.6.11. (Infleksija)Neka je f : I → R dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija na otvorenom intervalu I ⊆ R.Tocka c ∈ I je tocka infleksije funkcije f ako i samo ako je f ′′(c) = 0 i funkcija f ′ ima u c strogilokalni ekstrem.

1.7 Riemannov integral. Primitivna funkcija. Newton-Leibnitzovaformula.

Ako je funkcija f : [a, b]→ R ogranicena na segmentu [a, b] onda ona poprima infimum (m) i supre-mum (M) na tom segmentu.Infimum na podsegmentu je veci ili jednak infimumu na segmentu, a supremum na podsegmentu jemanji ili jednak supremumu na segmentu.Za n ∈ N podijelimo (izvrsimo subdiviziju) segment [a, b] tockama a = x0 < x1 < . . . < xn−1 <xn = b na n dijelova. Neka je mk = inf

[xk−1,xk]f i Mk = sup

[xk−1,xk]

f, k = 1, . . . , n.

Sada definiramo donju Darbouxovu sumu s =

n∑k=1

mk(xk−xk−1) i gornju Darbouxovu sumu

S =

n∑k=1

Mk(xk − xk−1). Jasno je da vrijedi m(b− a) ≤ s ≤ S ≤M(b− a).

Neka je A skup svih donjih Darbouxovih suma s i B skup svih gornjih Darbouxovih suma S funkcijef na segmentu [a, b]. Iz gornje nejednakosti slijedi da su skupovi A i B ograniceni odozdo s m(b−a)i odozgo s M(b− a). Prema aksiomu potpunosti postoje

I∗(f ; a, b) = supA, I∗(f ; a, b) = inf B.

Definicija 1.7.1.Broj I∗ zovemo donji Riemannov integral funkcije f na segmentu [a, b], a broj I∗ zovemo gornjiRiemannov integral funkcije f na segmentu [a, b].

Definicija 1.7.2.Za funkciju f : [a, b]→ R ogranicenu na segmentu [a, b] kazemo da je integrabilna u Riemanno-vom smislu ili R-integrabilna na segmentu [a, b] ako je

I = I∗(f ; a, b) = I∗(f ; a, b).

Tada se broj I naziva integral funkcije f na segmentu [a, b].

Teorem 1.7.3. (Nuzan uvjet)Neka je f : [a, b] → R ogranicena funkcija na [a, b] ⊂ R. Funkcija f je integrabilna na [a, b] akoi samo ako ∀ε > 0 postoji subdivizija segmenta [a, b] takva da za pripadne Darbouxove sume vrijediS − s < ε.

Teorem 1.7.4. (Svojstva)Neka su f, g : [a, b]→ R integrabilne funkcije na [a, b] ⊂ R. Za bilo koje α, β ∈ R funkcija αf + βgje integrabilna na [a, b] i vrijedi


∫ b

a

(αf + βg) = α

∫ b

a

f + β

∫ b

a

g.

Ako je f ≤ g na [a, b] onda je

∫ b

a

f ≤∫ b

a

g.

Takoder vrijedi

∣∣∣∣∣∫ b

a

f

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

|f | ≤ (b− a) sup[a,b]

f .

Teorem 1.7.5. (Svojstva)Neka je f : [a, b] → R ogranicena funkcija na [a, b] ⊂ R i c ∈ 〈a, b〉. Ako je funkcija f integrabilna

na segmentima [a, c] i [c, b], onda je f integrabilna na [a, b] i

∫ b

a

f =

∫ c

a

f +

∫ b

c

f .

• Svaka funkcija koja je ogranicena na segmentu nije i Riemann integrabilna na tom segmentu.Npr. promotrimo funkciju f : [0, 1] → R za koju je f(x) = 1 ako je x ∈ Q ∩ [0, 1] i f(x) = 0 akoje x /∈ Q ∩ [0, 1]. Za svaki [α, β] ⊆ [0, 1] vrijedi inf

[α,β]f = 0 i sup

[α,β]

f = 1, sto daje I∗ = 0 i I∗ = 1, tj.

I∗ 6= I∗.

Definicija 1.7.6.Za funkciju f : [a, b] → R kazemo da je monotona po dijelovima na segmentu [a, b] ako postojisubdivizija a = c0 < c1 < . . . < ck−1 < ck < . . . < cn−1 < cn = b takva da je f |[ck−1,ck] monotonafunkcija za sve k = 1, . . . , n.

Teorem 1.7.7.Neka je f : [a, b] → R po dijelovima monotona funkcija na [a, b] ⊂ R. Tada je ona R-integrabilnana [a, b].

Teorem 1.7.8. (Riemann)Neka je f : [a, b] → R neprekidna funkcija na [a, b] ⊂ R. Tada je ona R-integrabilna na [a, b].

Takoder, postoji tocka c ∈ [a, b] takva da je

∫[a,b]

f(x)dx = f(c)(b− a).

• Ako ogranicena funkcija ima na segmentu najvise konacno tocaka prekida prve vrste, tada je onaR-integrabilna na tom segmentu.

Definicija 1.7.9.Neka je I ⊆ R otvoren interval i f : I → R. Primitivna funkcija funkcije f na skupu I je svakafunkcija F : I → R sa svojstvom F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I.

Teorem 1.7.10.Neka je I ⊆ R otvoren interval i f : I → R zadana funkcija. Ako su F i G bilo koje dvije primitivnefunkcije od f na intervalu I, onda postoji konstanta C ∈ R takva da vrijedi G(x) = F (x)+C, ∀x ∈ I.

Teorem 1.7.11. (Dovoljni uvjeti za primitivnu funkciju)Neka je I ⊆ R otvoren interval i f : I → R funkcija neprekidna na I. Tada postoji primitivnafunkcija od f na I.

Teorem 1.7.12. (Newton-Leibniz)Ako je f neprekidna funkcija na otvorenom intervalu I i F bilo koja primitivna funkcija funkcije fna I, onda za svaki segment [a, b] ⊂ I vrijedi∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a).


• Gornja formula daje vezu izmedu primitivne funkcije (odnosno pojma derivacije) i Riemannovogintegrala funkcije.• Prethodni teorem je istinit i bez pretpostavke da je f neprekidna na I. Dovoljno je pretpostavitida je f integrabilna i da postoji primitivna funkcija od f .• Ako je F primitivna funkcija od f na I, onda je ona diferencijabilna na I.

1.8 Redovi. Konvergencija redova. Kriteriji konvergencije.

Definicija 1.8.1.Neka je (an)n niz realnih brojeva. Nizu (an)n pridruzujemo niz (sn)n definiran sa:

s1 = a1s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3...

sn = a1 + a2 + · · ·+ an...

Red je uredeni par ((an)n, (sn)n) nizova (an)n i (sn)n. Element an zovemo opci clan reda, a snje n-ta parcijalna suma reda.

Definicija 1.8.2. (Konvergencija reda)Za red

∞∑n=1

an (1.1)

realnih ili kompleksnih brojeva kazemo da je konvergentan, ako je niz (sn)n parcijalnih suma reda(1.1) konvergentan. Ako je red (1.1) konvergentan onda broj s = lim

n→∞sn zovemo sumom reda i

oznacavamo sa

s =

∞∑n=1

an.

Red (1.1) je divergentan ako je niz (sn)n divergentan.

Primjer: Red

∞∑n=1

1

n(n+ 1)konvergira.

• ∀n ∈ N je1

n(n+ 1)=

1

n− 1

n+ 1, pa je sn =

n∑k=1

1

k(k + 1)=

n∑k=1

(1

k− 1

k + 1

)= 1− 1

n+ 1

• limn→∞

sn = 1, tj.

∞∑n=1

1

n(n+ 1)= 1

Teorem 1.8.3. (Nuzan uvjet konvergencije reda)

Ako red

∞∑n=1

an konvergira, onda niz (an)n konvergira k nuli, tj. vrijedi

∞∑n=1

an konvergira ⇒ limn→∞

an = 0. (1.2)

• Obratna implikacija u (1.2) nije opcenito istinita. Npr. harmonijski red

∞∑n=1

1

ndivergira k +∞, a

vrijedi limn→∞

1

n= 0.


Primjer: Za q ∈ C, |q| < 1, red

∞∑n=0

qn konvergira i ima sumu1

1− q. Za |q| ≥ 1 red divergira.

Teorem 1.8.4. (Svojstva)

Neka su

∞∑n=1

an i

∞∑n=1

bn konvergentni redovi sa sumama A i B. Za svaki par λ, µ ∈ C je red

∞∑n=1

(λan + µbn) konvergentan i vrijedi

∞∑n=1

(λan + µbn) = λ

∞∑n=1

an + µ

∞∑n=1

bn.

Definicija 1.8.5.

Za red∑

an kazemo da je red s pozitivnim clanovima ako je ∀n ∈ N, an ≥ 0.

Teorem 1.8.6.

1. Red∑

an s pozitivnim clanovima konvergira ako i samo ako je njegov niz parcijalnih suma

(sn)n ogranicen. Tada je∞∑n=1

an = supsn : n ∈ N.

2. Ako red

∞∑n=1

an s pozitivnim clanovima konvergira, onda njegova suma ne ovisi o poretku

clanova.

Napomena 1.8.7. (Usporedivanje redova)

Neka su∑

an i∑

bn redovi s pozitivnim clanovima i neka postoji K > 0 tako da je an ≤ Kbn,

∀n ∈ N. Ako konvergira∑

bn, onda konvergira i∑

an i vrijedi∑

an ≤ K∑

bn. Ako red∑

an

divergira, onda divergira i red∑

bn.

Primjer:

• Red∞∑n=1

1

npkonvergira za p ≥ 2, jer je np ≥ n2 sto povlaci

∞∑n=1

1

np≤∞∑n=1

1

n2

• Red

∞∑n=1

1

npdivergira za p ≤ 1, jer je np ≤ n sto povlaci

∞∑n=1

1

n≤∞∑n=1

1

np,

a red

∞∑n=1

1

ndivergira.

Teorem 1.8.8.

Neka je (an)n niz u C. Ako konvergira red

∞∑n=1

|an|, onda konvergira i red

∞∑n=1

an i vrijedi∣∣∣∣∣∞∑n=1

an

∣∣∣∣∣ ≤∞∑n=1

|an|.


Definicija 1.8.9.

Za red

∞∑n=1

an kazemo da je apsolutno konvergentan ako je red

∞∑n=1

|an| konvergentan. Red

∞∑n=1

an

je uvjetno konvergentan ako konvergira, ali red

∞∑n=1

|an| divergira.

Teorem 1.8.10.Neka su

∑an,

∑bn redovi u C i neka postoji K > 0 tako da je |an| ≤ K|bn|, ∀n ∈ N.

Ako red∑

bn apsolutno konvergira, onda apsolutno konvergira i red∑

an.

Ako red∑

an ne konvergira apsolutno, onda niti red∑

bn ne konvergira apsolutno.

Dovoljni uvjeti za konvergenciju reda

Teorem 1.8.11. (Leibnitzov kriterij)

Ako niz (an)n realnih pozitivnih brojeva strogo pada i limnan = 0, tada red

∞∑n=1

(−1)n−1an konvergira

k broju A za koji vrijedi 0 < A < a1.

Teorem 1.8.12. (D’Alambertov kriterij)Neka je (an)n niz u C i an 6= 0, ∀n ∈ N.

1. Ako postoje m ∈ N i q ∈ 〈0, 1〉 ⊂ R takvi da vrijedi

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ ≤ q, ∀n ≥ m, onda red

∞∑n=1

an

apsolutno konvergira.

2. Ako postoji m ∈ N takav da vrijedi

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ ≥ 1, ∀n ≥ m, onda red

∞∑n=1

an divergira.

Primjer: ∀z ∈ C red

∞∑n=0

zn

n!apsolutno konvergira jer

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∣zn+1

(n+ 1)!zn

n!

∣∣∣∣∣∣∣∣ =|z|n

n→∞−−−−→ 0 < 1

Teorem 1.8.13. (Cauchyjev kriterij)Neka je (an)n niz u C.

1. Ako postoje m ∈ N i q ∈ 〈0, 1〉 ⊂ R takvi da vrijedi n√|an| ≤ q, ∀n ≥ m, onda red

∞∑n=1

an

apsolutno konvergira.

2. Ako vrijedi n√|an| ≥ 1 za beskonacno mnogo indeksa n ∈ N, onda red

∞∑n=1

an divergira.

• Ako D’Alambertov kriterij daje odluku, onda ju daje i Cauchyjev kriterij. Obratna tvrdnja nijeistinita.

Primjer: Redovi za koje niti D’Alambertov i Cauchyjev kriterij ne daju odluke o konvergenciji ilidivergenciji

•∞∑n=1

1

n(n+ 1)konvergira i

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =n(n+ 1)

(n+ 1)(n+ 2)=

n

n+ 2−→ 1


•∞∑n=1

1

ndivergira i

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =n

n+ 1−→ 1

•∞∑n=1

1

n2konvergira i n

√1

n2=

(1n√n

)n−→ 1

•∞∑n=1

1

ndivergira i n

√1

n=

(1n√n

)−→ 1

Teorem 1.8.14. (Integralni Cauchyjev kriterij)Neka je f : [1,+∞〉 → [0,+∞〉 neprekidna i padajuca funkcija na [1,+∞〉.

1. Red

∞∑n=1

f(n) konvergira ako i samo ako integral

∫ +∞

1

f(x)dx konvergira.

2. Ako red konvergira onda vrijedi

∫ +∞

1

f(x)dx ≤∞∑n=1

f(n) ≤ f(1) +

∫ +∞

1

f(x)dx.

Primjer: Funkcija f(x) =1

xpje neprekidna i padajuca na [1,+∞〉. Integral

∫ +∞

1

dx

xpkonvergira

za p > 1 pa i red

∞∑n=1

1

npkonvergira za p > 1. Oboje divergiraju za p ≤ 1.

Definicija 1.8.15.

Neka su

∞∑n=0

an i

∞∑n=0

bn redovi u R ili C. Definirajmo niz (cn)n sa

cn =

n∑k=0

akbn−k, k = 0, 1, 2, . . . (1.3)

Red

∞∑n=0

cn zovemo produktom redova∞∑n=0

an i

∞∑n=0

bn.

Teorem 1.8.16.

Ako red

∞∑n=0

an apsolutno konvergira k A i red

∞∑n=0

bn konvergira k B, onda red

∞∑n=0

cn definiran s

(1.3) konvergira k AB.

• U prethodnom teoremu nije moguce izostaviti uvjet apsolutne konvergencije kod oba reda.

1.9 Redovi potencija. Taylorov red.

Definicija 1.9.1.

Neka je (fn)n niz funkcija fn : I → R (ili C), I ⊆ R (ili C). Red

∞∑n=0

fn zovemo redom funkcija.

Definicija 1.9.2.Ako je ∀n ∈ N0, fn(x) = an(x− c)n, x ∈ C, onda se red

∞∑n=0

an(x− c)n (1.4)


naziva red potencija oko tocke c.Neka je K = z ∈ C : red (1.4) konvergira u tocki z. Sada definiramo r = sup|z − c| : z ∈ K inazivamo ga radijus konvergencije reda (1.4).

• Za c = 0, imamo red potencija oko nule

∞∑n=0

anxn. Red

∞∑n=1

nanxn−1 zovemo derivacijom reda po-

tencija oko nule clan po clan, a red

∞∑n=0

ann+ 1

xn+1 zovemo antiderivacijom (neodredenim integralom)

reda potencija oko nule clan po clan.

Teorem 1.9.3. (O radijusu konvergencije)

1. Red (1.4), derivacija reda (1.4) i antiderivacija reda (1.4) imaju jednak radijus konvergencije.

2. Ako je r radijus konvergencije reda (1.4) i r > 0, onda svi redovi apsolutno konvergiraju zasvaki z ∈ C, |z| < r, i divergiraju za svaki z ∈ C, |z| > r.

3. Ako je ρ = lim supn

n√|an|, onda je r =

1

ρ.

Taylorovi redovi

Neka je f : 〈c − r, c + r〉 → R zadana s f(x) =

∞∑n=0

an(x − c)n, gdje je r > 0 radijus konvergencije

reda. Tada je f ∈ C∞(〈c− r, c+ r〉) i vrijedi

f(c) = a0f ′(c) = a1f ′′(c) = 2a2

...f (n)(c) = n!an

Formula za koeficijente je an =f (n)(c)

n!, (n = 0, 1, . . .).

Definicija 1.9.4.Neka je funkcija f ∈ C∞(〈c− r, c+ r〉). Red

∞∑n=0

f (n)(c)

n!(x− c)n (1.5)

zovemo Taylorov red funkcije f oko tocke c. Taylorovi polinomi Tn(x) =

n∑k=0

f (k)(c)

k!(x − c)k su

parcijalne sume Taylorovog reda.

Teorem 1.9.5.Neka je I ⊆ R otvoren interval, c ∈ I i f : I → R klase C∞(I). Ako postoje δ > 0 i C > 0 takvi daje

|f (n)(x)| ≤ C, ∀x ∈ I ′ = 〈c− δ, c+ δ〉 ∩ I, ∀n ∈ N,

onda red (1.5) konvergira k f(x), ∀x ∈ I ′.


Primjer: Za funkciju f(x) = ex, x ∈ R i c = 0 je f (n)(0) = 1, pa je Taylorov red oko nule

∞∑n=0

xn

n!.

Za δ > 0 vrijedi (x < δ) ⇒ (ex < eδ), tj. ∀x ∈ 〈−δ, δ〉 je |ex| < eδ = C. Sada, za svaki x ∈ R,postoji δ > 0, takav da je x ∈ 〈−δ, δ〉, pa red konvergira k funkciji na citavom R.

Primjer: Za funkcije f(x) = sinx i f(x) = cosx je |f (n)(x)| ≤ 1, ∀x ∈ R, pa vrijedi

sinx =

∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!i cosx =

∞∑n=0

(−1)nx2n

(2n)!za sve x ∈ R.

Teorem 1.9.6. (Abelov teorem)

Ako red

∞∑n=0

an konvergira i ima sumu s, onda je s f(x) =

∞∑n=0

anxn, |x| < 1, definirana funkcija

f : 〈−1, 1〉 → R i vrijedi s = limx→1−

f(x).

Primjer: Naci Taylorov red oko c = 0 funkcije f(x) = ln(1 + x) i ispitati njegovu konvergenciju.

Vrijedi f ′(x) =1

1 + x=

∞∑n=0

(−1)nxn, za x ∈ 〈−1, 1〉 (geometrijski red). Tada (po teoremu o

radijusu konvergencije) imamo f(x) = ln(1+x) =

∞∑n=0

(−1)nxn+1

n+ 1=

∞∑n=1

(−1)n−1xn

n, za x ∈ 〈−1, 1〉.

Primjer: Vrijedi

∞∑n=1

(−1)n−1

n= ln 2. Naime, funkcija f iz gornjeg primjera i prethodni red

zadovoljavaju uvjete Abelovog teorema.

Poglavlje 2

Diferencijalni i integralni racun

2.1 Diferencijabilnost funkcija vise varijabli. Parcijalne derivacije.

Definicija 2.1.1.Neka je A ⊆ Rn. Funkcija f : A → Rm je diferencijabilna u tocki c ∈ A ako postoji linearnioperator L : Rn → Rm (L ∈ L(Rn,Rm)) takav da vrijedi

limx→c

‖f(x)− f(c)− L(x− c)‖‖x− c‖

= 0.

Funkcija je diferencijabilna na A ako je diferencijabilna u svakoj tocki skupa A.

• Norma u ovoj definiciji je Euklidska, ali zbog ekvivalencije normi na konacnodimenzionalnomprostoru definicija ne ovisi o izboru norme.

Teorem 2.1.2.Neka je A ⊆ Rn otvoren i f : A → Rm diferencijabilna u c ∈ A. Tada je linearni operator izdefinicije diferencijala jedinstven.

Neka je A ⊆ Rm i neka je f : A → Rm. Tada smo definirali komponentne funkcije sa f(x) =(f1(x), f2(x), . . . , fm(x)). Svaka od funkcija fi funkcija je n varijabli, no za danu tocku c mozemodefinirati realne funkcije jedne varijable gij(h) = fi(c1, . . . , cj−1, cj + h, cj+1, . . . , cn), za h iz nekogskupa sto sadrzi 0.Ovime zapravo promatramo samo ponasanje funkcije fi na presjeku neke okoline tocke c i skupa A,i to samo duz osi xj .

Definicija 2.1.3.Parcijalne derivacije funkcije f u tocki c ∈ A, u oznaci ∂fi

∂xj(c), dane su sa

∂fi∂xj

(c) = g′ij(0) = limh→0

fi(c1, . . . , cj−1, cj + h, cj+1, . . . , cn)− fi(c1, . . . , cn)

h

(parcijalna derivacija i-te komponente funkcije f po varijabli xj), i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Teorem 2.1.4.Neka je A ⊆ Rn otvoren i f : A → Rm diferencijabilna u c ∈ A. Tada sve parcijalne derivacije∂fi∂xj

(c) postoje, te je matrica diferencijala Df(c) u paru kanonskih baza od Rn i Rm, oznacavat cemo

je ∇f(c) (znak ∇ citamo ”nabla”), dana sa

∇f(c) =

∂f1∂x1

(c) · · · ∂f1∂xn

(c)...

. . ....

∂fn∂x1

(c) · · · ∂fn∂xn

(c)

20

POGLAVLJE 2. DIFERENCIJALNI I INTEGRALNI RACUN 21

• Ovu matricu nazivamo Jacobijeva matrica funkcije f u tocki c, a ponekad i derivacija vektorskefunkcije vise varijabli.

Definicija 2.1.5.Neka je A ⊆ Rn i f : A→ Rm, te neka je v ∈ Rn, jedinicni vektor ‖v‖ = 1. Ako postoji limes

limh→0

f(c+ hv)− f(c)

h

nazivamo ga derivacija funkcije u smjeru vektora v u tocki c i oznacavamo sa ∇vf(c) ili ∂f∂v .

Stoga je parcijalna derivacija ∂f∂xi

zapravo derivacija u smjeru koordinatne osi xi (v = ei).

Teorem 2.1.6.Neka je A ⊆ Rn i f : A → Rm, te neka je v ∈ Rn, jedinicni vektor ‖v‖ = 1. Ako je funkcijadiferencijabilna u tocki c tada postoji ∂f

∂v (c) i vrijedi

∂f

∂v(c) = Df(c)v.

Teorem 2.1.7.Neka je A ⊆ Rn otvoren i f : A→ Rm diferencijabilna u c ∈ A. Tada vrijedi

∃δ > 0, M > 0, ∀x ∈ A ‖x− c‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(c)‖ ≤M‖x− c‖

pa je f neprekidna na A.

• Funkciju koja zadovoljava gornje svojstvo zovemo lokalno Lipschitzova u tocki c. Funkcija jelokalno Lipschitzova na skupu ako je lokalno Lipschitzova u svakoj tocki skupa.

Teorem 2.1.8.Neka je A ⊆ Rn otvoren i f : A → Rm. Ako sve parcijalne derivacije ∂fi

∂xjpostoje i neprekidne su

na A, tada je f diferencijabilna na A.

Teorem 2.1.9. (Derivacija kompozicije)Neka je A ⊆ Rn otvoren i f : A→ Rm diferencijabilna u c ∈ A. Neka je B ⊂ Rm otvoren, f(A) ⊆ Bi g : B → Rp diferencijabilna u d = f(c). Tada je kompozicija funkcija g f diferencijabilna u c i

D(g f)(c) = Dg(f(c))Df(c).

Teorem 2.1.10.Neka je A ⊆ Rn, f, g : A→ Rm diferencijabilne u c ∈ A, te α, β ∈ R. Tada je αf + βg diferencija-bilna u tocki c i vrijedi

D(αf + βg)(c) = αDf(c) + βDg(c).

Teorem 2.1.11.Neka je A ⊆ Rn otvoren, f : A → Rm i g : A → R diferencijabilne funkcije u tocki c ∈ A. Tada jegf diferencijabilna u tocki c i njen diferencijal D(gf)(c) je dan sa

D(gf)(c)e = g(c)Df(c)e+ (Dg(c)e)f(c)

za sve e ∈ Rn.

Definicija 2.1.12.Funkcija f : A → Rm je neprekidno diferencijabilna ili diferencijabilna klase C1, ako je dife-rencijabilna na A i funkcija Df : A→ L(Rn,Rm) je neprekidna.


• Neka je A ⊆ Rm otvoren. Tada vrijedi f ∈ C1(A,Rm) ako i samo ako sve parcijalne derivacijepostoje i neprekidne su na A.

Definicija 2.1.13.Ako je funkcija Df : A→ L(Rn,Rm) diferencijabilna u tocki c ∈ A kazemo da je f dva puta dife-rencijabilna. Pripadni diferencijal D(Df)(c) ∈ L(Rn, (Rn,Rm)) oznacavamo s D2f(c) i zovemodrugi diferencijal ili diferencijal drugog reda.

Teorem 2.1.14.Neka je A ⊆ Rn otvoren i f : A → R dva puta diferencijabilna u tocki c. Tada je matrica drugogdiferencijala D2f(c) : Rn × Rn → R u kanonskoj bazi dana Hesseovom matricom

Hf (c) =

∂2f

∂x1∂x1(c) · · · ∂2f

∂xn∂x1(c)

.... . .

...∂2f

∂x1∂xn(c) · · · ∂2f

∂xn∂xn(c)

• Funkcija f : A → Rm je klase Ck, k ∈ N, ako postoje diferencijali svakog reda do ukljucivo k ineprekidni su. Skup svih takvih funkcija oznacavamo s Ck(A,Rm). Funkcija f : A → Rm je klaseC∞ ako je klase Ck za svaki k ∈ N. Skup svih takvih funkcija oznacavamo s C∞(A,Rm).

Teorem 2.1.15. (Schwarzov teorem)Neka je A ⊆ Rn otvoren i f : A→ R funkcija klase C2. Tada je D2f(c) simetricna bilinearna formaza svaki c ∈ A, tj. D2f(v, w) = D2f(w, v), v, w ∈ Rn tj. Hesseova matrica je simetricna, tj.

∂2f

∂xi∂xj(c) =

∂2f

∂xj∂xi(c), i, j ∈ 1, 2, . . . , n.

2.2 Ekstremi funkcija vise varijabli.

Definicija 2.2.1.Neka je A ⊆ Rn otvoren, f : A→ R i c ∈ A.

• Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) maksimum

∀x ∈ U(c) f(c) ≥ f(x),

kazemo da je c lokalni maksimum, a f(c) je vrijednost lokalnog maksimuma.

• Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

∀x ∈ U(c) f(c) ≤ f(x),

kazemo da je c lokalni minimum, a f(c) je vrijednost lokalnog minimuma.

• c je lokalni ekstrem ako je lokalni minimum ili lokalni maksimum funkcije f .

• c je stacionarna tocka ako je funkcija f diferencijabilna u c i Df(c) = 0.

Teorem 2.2.2. (Nuzan uvjet za lokalni ekstrem)Neka je A ⊆ Rn otvoren i f : A → R diferencijabilna u c ∈ A. Ako je c lokalni ekstrem funkcije fonda je Df(c) = 0 (tj. c je stacionarna tocka funkcije f).

Definicija 2.2.3.Simetricna matrica H ∈Mn(R) je


• pozitivno definitna (pisemo H > 0) ako je ∀x ∈ Rn \ 0 (Hx | x) > 0.

• pozitivno semidefinitna (pisemo H ≥ 0) ako je ∀x ∈ Rn (Hx | x) ≥ 0.

• negativno definitna (pisemo H < 0) ako je ∀x ∈ Rn \ 0 (Hx | x) < 0.

• negativno semidefinitna (pisemo H ≤ 0) ako je ∀x ∈ Rn (Hx | x) ≤ 0.

• indefinitna ako nije ni pozitivno ni negativno semidefinitna.

Teorem 2.2.4. (Dovoljni uvjeti za lokalni ekstrem)Neka je A ⊆ Rn otvoren i f : A→ Rn klase C2.

1. Ako je c ∈ A stacionarna tocka i Hf (c) je negativno definitna matrica onda f ima lokalnimaksimum u c.

2. Ako f ima lokalni maksimum u c onda je Hf (c) negativno semidefinitna.

3. Ako je c ∈ A stacionarna tocka i Hf (c) je pozitivno definitna matrica onda f ima lokalniminimum u c.

4. Ako f ima lokalni minimum u c onda je Hf (c) pozitivno semidefinitna.

5. Ako je c ∈ A stacionarna tocka i Hf (c) je indefinitna matrica onda f nema u tocki c lokalniekstrem, tj. c je sedlasta tocka funkcije f .

Teorem 2.2.5. (Sylvesterov kriterij)Neka je H = (hij) ∈Mn(R) simetricna. Oznacimo redom determinante

∆1 = h11, ∆2 =

∣∣∣∣h11 h12h21 h22

∣∣∣∣ , . . . , ∆n =

∣∣∣∣∣∣∣h11 · · · h1n

.... . .

...hn1 · · · hnn

∣∣∣∣∣∣∣• H je pozitivno definitna ako i samo ako je ∆i > 0, i = 1, . . . , n.

• H je negativno definitna ako i samo ako je ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, . . .

2.3 Visestruki integral. Fubinijev teorem. Zamjena varijabli.

Neka je f : A = [a, b] × [c, d] → R ogranicena funkcija. Subdivizijom P pravokutnika A zvat cemoizbor tocaka

a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b; c = y0 < y1 < · · · < ym−1 < ym = d.

Te tocke odreduju subdiviziju pravokutnika A na mn pravokutnika

Aij = [xi−1, xi]× [yj−1, yj ], i = 1, . . . , n; j = 1, . . . ,m.

Neka je mij , Mij oznacavaju redom infimum i supremum funkcije f na pravokutniku Aij . Donju igornju Darbouxovu sumu pridruzenu subdiviziji P definiramo kao

s = s(P ) =

n∑i=1

m∑j=1

mij(xi − xi−1)(yj − yj−1); S = S(P ) =

n∑i=1

m∑j=1

Mij(xi − xi−1)(yj − yj−1).

Ako oznacimo sa m odnosno M infimum odnosno supremum funkcije f na citavom pravokutnikuA, onda ocito za bilo koju particiju P vrijedi

m(b− a)(d− c) ≤ s(P ) ≤ S(P ) ≤M(b− a)(d− c).


Slijedi da je skup svih donjih Darbouxovih suma ogranicen, pa ima supremum. Skup svih gornjihDarbouxovih suma je takoder ogranicen pa ima infimum. Kazemo da je funkcija f integrabilnana A ako je sup

Ps(P ) = inf

PS(P ). U tom slucaju taj broj nazivamo integralom funkcije f po A i

oznacavamo sa ∫A

f = supPs(P ) = inf

PS(P ).

Za

∫A

f koriste se i oznake

∫∫A

f ili

∫∫A

f(x, y)dxdy.

Za skup S ⊂ R2 kazemo da ima (Lebesgueovu) mjeru nula ako se za bilo koji ε > 0 skup Smoze pokriti sa najvise prebrojivo mnogo otvorenih pravokutnika cija je ukupna povrsina (tj. sumanjihovih povrsina) manja od ε.

Teorem 2.3.1. (Lebesgue)Ogranicena funkcija f : A = [a, b]× [c, d]→ R integrabilna je na A (u Riemannovom smislu) ako isamo ako skup njezinih prekida S ima (Lebesgueovu) mjeru nula.Posebno, svaka je neprekidna funkcija na A integrabilna.

Neka je A ⊂ Rn n-dimenzionalni kvadar, tj.

A = [a1, b1]× [a2, b2]× · · · × [an, bn].

Volumen kvadra A definira se kao ν(A) = (b1 − a1)(b2 − a2) · · · (bn − an). Subdivizija P kvadra Aje uredena n-torka P = (P1, P2, . . . , Pn), gdje je Pi subdivizija intervala [ai, bi]. Subdivizija P dajepodjelu kvadra A na kvadre Ai1,...,in .Za ogranicenu funkciju f : A→ R i za subdiviziju P kvadra A definiramo donju i gornju Darbouxovusumu:

s(P ) =∑

i1,...,in

mi1,...,inν(Ai1,...,in); S(P ) =∑

i1,...,in

Mi1,...,inν(Ai1,...,in)

gdje su mi1,...,in i Mi1,...,in infimum odnosno supremum funkcije f na kvadru Ai1,...,in . Buduci daza bilo koju subdiviziju P kvadra A vrijedi

mν(A) ≤ s(P ) ≤ S(P ) ≤Mν(A),

gdje su m i M infimum odnosno supremum funkcije f na kvadru A, skup svih donjih Darbouxovihsuma ima supremum, donji integral I∗(f) funkcije f na A, dok skup svih gornjih Darbouxovih sumaima infimum, gornji integral I∗(f) funkcije f na A.Ako je I∗(f) = I∗(f), kazemo da je f integrabilna na A i definiramo njezin integral kao∫

A

f = I∗(f) = I∗(f).

Teorem 2.3.2. (Fubini)Neka je f : A = [a, b] × [c, d] → R integrabilna funkcija. Pretpostavimo da je funkcija sa [c, d] u Rdana sa y 7→ f(x, y) integrabilna na [c, d] za svaki (fiksirani) x ∈ [a, b]. Tada je funkcija g : [a, b]→ R

dana sa g(x) =

∫ d

c

f(x, y)dy integrabilna na [a, b], i vrijedi

∫A

f =

∫ b

a

g(x)dx =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx.

Analogno, ako pretpostavimo da je funkcija sa [a, b] u R dana sa x 7→ f(x, y) integrabilna na [a, b] za

svaki (fiksirani) y ∈ [c, d], tada je funkcija h : [c, d] → R dana sa h(y) =

∫ b

a

f(x, y)dx integrabilna

na [c, d], i vrijedi

∫A

f =

∫ d

c

h(y)dy =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy.


Definicija 2.3.3.Proizvoljan skup C ⊆ R2 ima (Lebesgueovu) mjeru 0 ako se za svaki ε > 0 skup C se moze pokritisa najvise prebrojivo mnogo otvorenih pravokutnika cija je ukupna povrsina manja od ε.

Definicija 2.3.4.Kazemo da C ima povrsinu ako je funkcija χC integrabilna na C, odnosno na nekom pravokutniku

koji sadrzi C. U tom slucaju, povrsina skupa C je ν(C) =

∫C

χC .

Teorem 2.3.5.Neka je A = [a, b]× [c, d] pravokutnik i neka su f, g : A→ R integrabilne funkcije. Tada

• Ako su α, β ∈ R, onda je funkcija αf + βg integrabilna na A i vrijedi∫A

(αf + βg) = α

∫A

f + β

∫A

g

• Ako je f(x) ≤ g(x) za svako x ∈ A, onda je

∫A

f ≤∫A

g

• Funkcija |f | je integrabilna na A i vrijedi

∣∣∣∣∫A

f

∣∣∣∣ ≤ ∫A

|f |

Teorem 2.3.6. (Teorem srednje vrijednosti za dvostruki integral)Neka je C ⊆ R2 kompaktan i povezan i pretpostavimo da ima povrsinu vecu od 0. Neka je f : C → Rneprekidna funkcija. Tada postoji tocka c ∈ C takva da je f(c) srednja vrijednost funkcije f na C,

tj. f(c) =1

ν(c)

∫C

f .

Teorem 2.3.7.Neka je C ⊆ R2 ogranicen skup mjere nula i neka je f : C → R integrabilna (posebno, f je

ogranicena). Tada je

∫C

f = 0.

Obratno, ako je C ⊆ R2 ogranicen, ako je f : C → R integrabilna i nenegativna, te ako je

∫C

f = 0,

onda skup x ∈ C : f(x) 6= 0 ima mjeru 0.

Teorem 2.3.8. (Zamjena varijabli)Neka je C ⊂ R2 otvoren ogranicen skup koji ima povrsinu. Neka je ϕ : C → R2 injekcija klase C1.Pretpostavimo da je Jacobijeva determinanta Jϕ(x) razlicita od 0 za svaki x ∈ C i da su |Jϕ(x)| i

1|Jϕ(x)| ogranicene funkcije na C. Pretpostavimo da D = ϕ(C) ima povrsinu.

Ako je f : D → R integrabilna funkcija, tada je funkcija (f ϕ)|Jϕ| integrabilna na C i vrijedi∫D

f =

∫C

(f ϕ)|Jϕ|.

Poglavlje 3

Linearna algebra 1 i 2

3.1 Vektorski prostor. Baza i dimenzija. Potprostor.

Definicija 3.1.1.Neka je V neprazan skup na kojem su zadane binarna operacija zbrajanja + : V ×V → V i operacijamnozenja skalarima iz polja F, · : F→ V . Kazemo da je uredena trojka (V,+, · ) vektorski prostornad poljem F ako vrijedi:

1. a+ (b+ c) = (a+ b) + c, ∀a, b, c ∈ V ,

2. postoji 0 ∈ V sa svojstvom a+ 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ V ,

3. za svaki a ∈ V postoji −a ∈ V tako da je a+ (−a) = −a+ a = 0,

4. a+ b = b+ a, ∀a, b ∈ V ,

5. α(βa) = (αβ)a, α, β ∈ F, ∀a ∈ V ,

6. (α+ β)a = αa+ βa, α, β ∈ F, ∀a ∈ V ,

7. α(a+ b) = αa+ αb, α ∈ F, ∀a, b ∈ V ,

8. 1 · a = a, ∀a ∈ V .

Obicaj je da se elementi vektorskog prostora uvijek nazivaju vektorima. Vektore cemo oznacavatimalim latinskim slovima. F moze biti bilo koje polje. Ipak, najvazniji su slucajevi vektorskihprostora sagradenih nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva. U oba slucaja elemente poljaoznacavat cemo malim grckim slovima i zvati skalarima.Primjer vektorskog prostora: R2, R3

Teorem 3.1.2.Neka je V vektorski prostor nad poljem F. Tada je:

• Za α ∈ F i a ∈ V vrijedi αa = 0 ako i samo ako je α = 0 ili a = 0,

• (−α)a = α(−a) = −(αa), ∀α ∈ F, ∀a ∈ V ,

• α(a− b) = αa− αb, ∀α ∈ F, ∀a, b ∈ V ,

• (α− β)a = αa− βa, ∀α, β ∈ F, ∀a ∈ V .

Definicija 3.1.3.Neke je V vektorski prostor nad F. Izraz oblika α1a1 + . . . + αkak, pri cemu je a1, . . . , ak ∈ V ,α1, . . . , αk ∈ F i k ∈ N, naziva se linearna kombinacija vektora a1, . . . , ak s koeficijentimaα1, . . . , αk.

26

POGLAVLJE 3. LINEARNA ALGEBRA 1 I 2 27

• Uocimo da je linearna kombinacija pojam definiran samo za konacno mnogo vektora.

Definicija 3.1.4.Neka je V vektorski prostor nad F i S = a1, . . . , ak, k ∈ N, konacan skup vektora iz V . Kazemoda je skup S linearno nezavisan ako vrijedi α1, . . . , αk ∈ F

k∑i=1

αiai = 0 ⇒ α1 = . . . = αk = 0.

U suprotnom kazemo da je skup S linearno zavisan.

Linearna nezavisnost skupa S znaci da je to jedini nacin kako mozemo dobiti 0 linearno kombinirajucielemente skupa S.Za svaki a ∈ V , a 6= 0, jednoclan skup a je nezavisan.Svaki skup koji sadrzi nulvektor je zavisan.

Teorem 3.1.5.Skup S = a1, . . . , ak, k ≥ 2, u vektorskom prostoru V je linearno zavisan ako i samo ako postojij ∈ 1, 2, . . . , k takav da je aj linearna kombinacija preostalih elemenata skupa S.Ako je skup S = a1, . . . , ak, k ≥ 2, linearno zavisan, ureden, te ako je a1 6= 0, onda postoji l ∈2, . . . , k takav da je al linearna kombinacija svojih prethodnika u skupu S, tj. vektora a1, . . . , al−1.

Prethodni teorem daje jednostavan kriterij za utvrdivanje zavisnosti danog skupa. Posebno, kad jeskup zavisan, bar jedan vektor se sigurno moze izraziti kao linearna kombinacija ostalih. U tomsmislu druga tvrdnja je vrijedno profinjenje ove konstatacije: ako znamo da je skup S zavisan, akoporedak njegovih elemenata drzimo fiksnim te ako znamo da je prvi vektor netrivijalan (tj. razlicitod 0) onda, stovise, postoji element u S koji se moze prikazati cak kao linearna kombinacija svojihprethodnika.Linearna nezavisnost je apstraktno poopcenje pojmova nekolinearnosti, odnosno nekomplanarnostikoje poznajemo iz prostora radijvektora.

Definicija 3.1.6.Neka je V vektorski prostor nad poljem F i S ⊆ V , S 6= ∅. Linearna ljuska skupa S oznacava se

simbolom [S] i definira kao [S] =

k∑i=1

αiai : αi ∈ F, ai ∈ S, k ∈ N

.

Dodatno, definira se [∅] = 0.

Linearna ljuska nepraznog skupa S je, dakle, skup svih mogucih linearnih kombinacija elemenataskupa S. Uocimo da u definiciji nema ogranicenja na broj elemenata skupa S; on moze biti ibeskonacan. No u svakom slucaju, u definiciji linearne ljuske uzimaju se u obzir samo konacnelinearne kombinacije elemenata iz S.

Definicija 3.1.7.Neka je V vektorski prostor i S ⊆ V . Kaze se da je S sustav izvodnica za V (ili S generira V )ako vrijedi [S] = V .

Skup S je sustav izvodnica za V ako se svaki vektor iz V nalazi u [S], tj. ako se svaki vektor iz Vmoze prikazati kao linearna kombinacija elemenata skupa S.

Teorem 3.1.8.Neka je S sustav izvodnica za vektorski prostor V te neka u S postoji vektor x koji se moze prikazatikao linearna kombinacija (nekih drugih) elemenata iz S. Tada je i S \ x sustav izvodnica za V .

Definicija 3.1.9.Konacan skup B = b1, . . . , bn, n ∈ N, u vektorskom prostoru V se naziva baza za V ako je Blinearno nezavisan sustav izvodnica za V .


Teorem 3.1.10.Neka je V vektorski prostor nad poljem F, te neka je B = b1, . . . , bn baza za V . Tada za svaki

vektor v ∈ V postoje jedinstveno odredeni skalari α1, . . . , αn ∈ F takvi da vrijedi v =

n∑i=1

αibi.

Definicija 3.1.11.Kaze se da je vektorski prostor V konacnodimenzionalan ili konacnogeneriran ako postoji nekikonacan sustav izvodnica za V .

Teorem 3.1.12.Neka je S = a1, . . . , am, m ∈ N, sustav izvodnica za vektorski prostor V 6= 0. Tada postoji bazaprostora V koja je podskup skupa S.

Teorem 3.1.13.Svaki konacnodimenzionalan vektorski prostor V 6= 0 ima bazu.

• Neka je B = b1, . . . , bn sustav izvodnica za vektorski prostor V , te neka je A = a1, . . . , ak ⊂ Vlinearno nezavisan. Tada je k ≤ n.

Definicija 3.1.14.Neka je V 6= 0 konacnodimenzionalan vektorski prostor. Dimenzija prostora V se definira kaobroj elemenata bilo koje njegove baze. Dodatno, uzima se da je dimenzija nul-prostora 0.

Teorem 3.1.15.Neka je A = a1, . . . , ak, k ∈ N, linearno nezavisan skup u konacnodimenzionalnom prostoru V .Tada se A moze nadopuniti do baze.

Neka je V vektorski prostor, te neka je dimV = n <∞.

• Svaki linearno nezavisan skup u V ima n ili manje elemenata. Svaki linearno nezavisan skupu V koji ima tocno n elemenata je baza za V .

• Svaki sustav izvodnica za V ima n ili vise elemenata. Svaki sustav izvodnica za V koji imatocno n elemenata je baza za V .

Definicija 3.1.16.Neka je V vektorski prostor nad F i M ⊆ V , M 6= ∅. Ako je i (M,+, · ) vektorski prostor nad F uziste operacije iz V , kazemo da je M potprostor od V .

• Kad je M potprostor od V , pisat cemo M 6 V .• Jasno je da svaki vektorski prostor ima dva ”rubna” potprostora, to su 0 i sam V .

Teorem 3.1.17.Neka je V vektorski prostor nad F i M neprazan podskup od V . Tada je M potprostor od V ako isamo ako vrijedi

1. a+ b ∈M, ∀a, b ∈M ,

2. αa ∈M, ∀α ∈ F, ∀a ∈M .

Cesto se tvrdnja prethodnog teorema izrice tako da se kaze kako je neprazan podskup M prostoraV potprostor od V ako i samo ako je M zatvoren na zbrajanje i mnozenje skalarima.Neka je V vektorski prostor takav da je dimV = n < ∞, te neka je M potprostor od V . Tada jedimM ≤ n.Ako je M potprostor od V takav da je dimM = n, onda je M = V .Neka je V vektorski prostor te neka su L i M njegovi potprostori. Tada je i L∩M potprostor od V .


Definicija 3.1.18.Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori. Suma potprostora L i Moznacava se s L+M i definira kao L+M := [L ∪M ].

Teorem 3.1.19.Neka je V vektorski prostor, te neka su L i M njegovi potprostori.Tada je L+M = x+ y : x ∈ L, y ∈M.

Teorem 3.1.20.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad F, neka su L,M 6 V . Tada je

dim(L ∩M) + dim(L+M) = dimL+ dimM .

3.2 Determinanta matrice: definicija i svojstva.

Definicija 3.2.1.Neka je n proizvoljan prirodan broj. Permutacija skupa 1, 2, . . . , n je bilo koja bijekcija p :1, 2, . . . , n → 1, 2, . . . , n. Cesto se kaze i da je p permutacija od n elemenata. Skup svihpermutacija od n elemenata oznacavamo sa Sn.

Definicija 3.2.2.

Neka je p =

(1 2 . . . np(1) p(2) . . . p(n)

)∈ Sn. Svaki par (i, j) takav da vrijedi i < j i p(j) < p(i)

naziva se inverzija u permutaciji p. Broj svih inverzija u p se oznacava s I(p). Ukoliko je I(p)paran broj, kazemo da je permutacija parna; u suprotnom kazemo da je p neparna permutacija.

Primjer: Za p =

(1 2 33 2 1

)vrijedi I(p) = 3, pa je p neparna permutacija.

Definicija 3.2.3.Za p ∈ Sn definira se predznak kao sign p = (−1)I(p).

Definicija 3.2.4.Neka je F bilo koje polje, koje cemo zvati osnovno polje, a njegove elemente skalarima. Neka sum,n ∈ N, a sa Dmn neka je oznacen Kartezijev produkt Dmn = 1 . . .m × 1 . . . n.Svako preslikavanje A : Dmn → F tog produkta u osnovno polje nazivamo matrica tipa (m,n)nad poljem F. Vrijednost funkcije A na mjestu (i, k) oznacavamo s A(i, k) = αi,k ∈ F. Kako jedomena A konacna, matricu A zapisujemo tablicno kao

A =

α11 . . . α1n

.... . .

...αm1 . . . αmn

Definicija 3.2.5.Neka je n ∈ N i A = (aij) ∈Mn(F). Determinanta matrice A oznacava se sa detA i definira sa

detA =∑p∈Sn

(−1)I(p)a1p(1)a2p(2) · · · anp(n).

Prvo uocimo da je determinanta definirana samo za kvadratne matrice, te da je detA skalar. Deter-minanta matrice A je dakle definirana kao konacna suma pri cemu se sumacija vrsi po permutacijamaod n elemenata. Zato imamo n! pribrojnika; svaka permutacija p generira clan (−1)I(p)a1p(1)a2p(2) · · · anp(n)koji se naziva osnovni sumand (pridruzen permutaciji p ili generiran permutacijom p). Predznak tog


sumanda je upravo signum dane permutacije. Jer je svaka permutacija bijekcija skupa 1, 2, . . . , nna sebe sama, svaki osnovni sumand sadrzi jedan i samo jedan koeficijent iz svakog stupca od A.

Svojstva determinante

Teorem 3.2.6.Neka je A = [aij ] ∈Mn proizvoljna donjetrokutasta kvadratna matrica.Tada je detA = a11a22 · . . . · ann.

• Neka je A = [aij ] ∈Mn dijagonalna matrica (aij = 0, ∀i 6= j). Tada je detA = a11a22 · . . . · ann.

Teorem 3.2.7.Za svaku matricu A ∈Mn vrijedi detAτ = detA.

• Determinanta svake gornjetrokutaste matrice je produkt dijagonalnih elemenata.

Teorem 3.2.8.Pomnozimo li neki redak (ili stupac) matrice skalarom λ, za determinantu tako dobivene matrice Bvrijedi detB = λ detA.

• Za svaku matricu A ∈Mn vrijedi det (λA) = λn detA.

Teorem 3.2.9.Neka matrica B nastaje zamjenom dva retka (ili stupca) u matrici A ∈Mn. Tada je detB = −detA.

• Ako matrica A ∈Mn ima dva jednaka retka (ili stupca), onda je detA = 0.

Teorem 3.2.10.Neka matrica B = [bij ] nastaje iz matrice A = [aij ] ∈ Mn tako da s-tom retku (ili stupcu) u Apribrojimo r-ti redak (stupac) matrice A pomnozen skalarom λ. Tada je detB = detA.

Definicija 3.2.11.Neka je A ∈Mmn. Elementarne transformacije matrice A (ili nad matricom A) su:

1. zamjena dva retka (stupca)

2. mnozenje nekog retka (stupca) skalarom λ 6= 0

3. pribrajanje nekom retku (stupcu) drugog retka (stupca) prethodno pomnozenog skalarom λ 6= 0

Teorem 3.2.12. (Laplaceov razvoj determinante)Neka je A = [aij ] ∈Mn, n ≥ 2. Tada je

detA =n∑j=1

aijAij, ∀i = 1, 2, . . . , n, i detA =

n∑i=1

aijAij, ∀j = 1, 2, . . . , n,

pri cemu, za sve i, j, vrijedi Aij = (−1)i+j4ij, a 4ij je determinanta matrice (n− 1)-og reda kojanastaje tako da iz matrice A uklonimo i-ti redak i j-ti stupac.

Obje formule se zovu Laplaceov razvoj. Uocimo da se u prvoj formuli radi o razvoju po i-tom retku(jer u prvoj formuli indeks i je fiksan i svi koeficijenti aij i njihovi algebarski komplementi Aij podznakom sume pripadaju i-tom retku), a teorem tvrdi da ta jednakost vrijedi za svaki i.Ocito je da se Laplaceovim razvojem racunanje determinante n-tog reda svodi na racunanje ndeterminanti 4ij koje su (n− 1)-og reda.

Teorem 3.2.13.Neka je A = [aij ] ∈Mn. Tada vrijedi


n∑j=1

aijAkj = 0, ∀i 6= k i

n∑i=1

aijAik = 0, ∀j 6= k.

Definicija 3.2.14.Neka je A ∈ Mn. Adjunkta matrice A je matrica A = [xij ], pri cemu je xij = Aji, ∀i, j =1, 2, . . . , n.

• Za svaku kvadratnu matricu A vrijedi AA = AA = (detA)I.

Teorem 3.2.15. (Binet-Cauchy)Za sve A,B ∈Mn vrijedi det (AB) = detA · detB.

3.3 Rang matrice: definicija i svojstva.

Definicija 3.3.1.

Neka je A = [aij ] ∈ Mmn(F), te neka su S1 =

a11a21

...am1

, S2 =

a12a22

...am2

,. . ., Sn =

a1na2n

...amn

∈ Mm1(F)

njezini stupci. Rang matrice A, r(A), se definira formulom r(A) = dim[S1, S2, . . . , Sn].

Po definiciji linearne ljuske, S1, S2, . . . , Sn je sistem izvodnica za potprostor [S1, S2, . . . , Sn] paje zato, r(A) = dim[S1, S2, . . . , Sn] ≤ n. Tako vidimo da za svaku matricu A ∈ Mmn vrijedir(A) ≤ m i r(A) ≤ n, dakle, r(A) ≤ min m,n.Rang je funkcija koja poprima iskljucivo cjelobrojne vrijednosti. Jos uocimo da je nul-matrica jedinamatrica ranga 0. Takoder se odmah vidi da za jedinicnu matricu I ∈Mn vrijedi r(I) = n.Rang je broj linearno nezavisnih stupaca u danoj matrici.

Svojstva ranga

Teorem 3.3.2.Neka je rang matrice A = [aij ] ∈Mmn jednak r. Tada i broj linearno nezavisnih redaka u Aiznosi r.

• Za svaku matricu A ∈Mmn vrijedi r(A) = r(Aτ ).

Teorem 3.3.3.Neka je matrica A′ dobivena iz matrice A ∈ Mmn primjenom neke elementarne transformacije.Tada je r(A′) = r(A).

Definicija 3.3.4.Kazemo da je matrica B ∈Mmn ekvivalentna matrici A ∈Mmn (i pisemo A ∼ B) ako se B mozedobiti iz A primjenom konacno mnogo elementarnih transformacija redaka ili stupaca.

• Neka su A,B ∈Mmn. Tada vrijedi: A ∼ B ⇔ r(A) = r(B).

Definicija 3.3.5.Neka je n ∈ N. Elementarne matrice n-tog reda su


Ei,j =

1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 00 1 · · · 0 · · · 0 · · · 0...

.... . .

......

...0 0 · · · 0 · · · 1 · · · 0...

......

......

0 0 · · · 1 · · · 0 · · · 0...

......

.... . .

...0 0 · · · 0 · · · 0 · · · 1

, i, j = 1, . . . , n, i 6= j

Ei,λ =

1 0 · · · · · · 00 1 · · · · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λ 0 · · · 00 0 · · · 0 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · · · · 1

, i = 1, . . . , n, λ ∈ F \ 0

Ei,j,λ =

1 0 · · · 0 · · · 00 1 · · · 0 · · · 0...

.... . .

...0 · · · λ 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 0 · · · 1

, i, j = 1, . . . , n, i 6= j, λ ∈ F \ 0

Podrazumijevamo da je u matrici Ei,j,λ skalar λ na mjestu (i, j) (pa je u gornjoj definiciji matricaEi,j,λ prikazana u slucaju kad je j < i).Primijetimo da Ei,j nastaje zamjenom i-tog i j-tog stupca (ili retka) u matrici I. Zato jedetEi,j = −1, te je Ei,j regularna matrica.Iz istog razloga su i matrice Ei,λ i Ei,j,λ regularne. Naime, te su matrice trokutaste, pa im jedeterminanta jednaka produktu dijagonalnih koeficijenata. Dakle, detEi,λ = λ 6= 0 i detEi,j,λ = 1.Stovise, lako je odrediti i inverze elementarnih matrica. Vrijedi

E−1i,j = Ei,j , E−1i,λ = Ei, 1λ , E−1i,j,λ = Ei,j,−λ.

Teorem 3.3.6.Mnozenjem proizvoljne matrice A ∈Mmn s elementarnim matricama s lijeve, odnosno desne stranerealiziraju se elementarne transformacije nad retcima, odnosno stupcima matrice A.

• Svaka regularna matrica je produkt konacnog broja elementarnih matrica.• Matrice A,B ∈Mmn su ekvivalentne ako i samo ako postoje regularne matrice S ∈Mm i T ∈Mn

takve da vrijedi B = SAT .

3.4 Regularna matrica. Inverz. Karakterizacije regularnih matrica.

Definicija 3.4.1.Kaze se da je matrica A ∈ Mn(F) regularna ako postoji matrica B ∈ Mn(F) takva da vrijediAB = BA = I. U tom slucaju se matrica B zove multiplikativni inverz ili inverzna matrica odA i oznacava s A−1.Matrica A ∈Mn(F) se naziva singularnom matricom ako nema multiplikativni inverz.


• Umnozak dviju donjetrokutastih (gornjetrokutastih) matrica je donjetrokutasta (gornjetrokutasta)matrica.• Inverz donjetrokutaste (gornjetrokutaste) matrice je donjetrokutasta (gornjetrokutasta) matrica.

• Skup svih regularnih matrica oznacavamo sa GL(n,F). Uocimo da matrica A ∈ Mn moze imatinajvise jedan inverz.• Matrica I je regularna i sama sebi inverzna.• Ako je A regularna onda po definiciji vrijedi AA−1 = A−1A = I. To pokazuje da je i A−1 regularnamatrica te da vrijedi (A−1)−1 = A.• Ako su matrice A,B ∈ Mn regularne, regularan je i njihov umnozak AB i vrijedi (AB)−1 =B−1A−1.

Teorem 3.4.2.U GL(n,F) vrijedi:

• ∀A,B ∈ GL(n,F) AB ∈ GL(n,F)

• ∀A,B,C ∈ GL(n,F) A(BC) = (AB)C

• ∀A ∈ GL(n,F), ∃A−1 ∈ GL(n,F) AA−1 = A−1A = I

• ∃I ∈ GL(n,F) AI = IA = A, ∀A ∈ GL(n,F)

Skup (GL(n,F), · ) je grupa.

Teorem 3.4.3.Matrica A ∈Mn je regularna ako i samo ako je detA 6= 0. U tom slucaju je inverzna matrica A−1

dana formulom A−1 = 1detA A. Jos vrijedi detA−1 = 1

detA .

Teorem 3.4.4.Matrica A ∈Mn je regularna ako i samo ako je r(A) = n.

Teorem 3.4.5.Matrica A ∈Mn je regularna ako i samo ako je A produkt konacnog broja elementarnih matrica.

3.5 Rjesivost sustava linearnih jednadzbi. Opis skupa rjesenja.

Definicija 3.5.1.Linearna jednadzba nad poljem F u nepoznanicama x1, x2, . . . , xn je jednadzba oblika a1x1 +a2x2 + . . .+ anxn = b, pri cemu su a1, . . . , an, b ∈ F.

Opci sustav linearnih jednadzbi nad poljem F sastoji se od m linearnih jednadzbi s n nepoznanica,m,n ∈ N:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm

(3.1)

Skalari aij zovu se koeficijenti sustava, a b1, . . . , bm slobodni clanovi.

Definicija 3.5.2.Rjesenje sustava (3.1) je svaka uredena n-torka (γ1, . . . , γn) ∈ Fn za koju supstitucija x1 = γ1,x2 = γ2, . . ., xn = γn zadovoljava sve jednadzbe (tj. ta supstitucija sve jednadzbe prevodi u numerickeidentitete).


Uz sustav (3.1) uobicajeno vezemo sljedece matrice:

A =

a11 · · · a1n...

...am1 · · · amn

, X =

x1...xn

, B =

b1...bm

, Ap =

a11 · · · a1n b1...

......

am1 · · · amn bm

One se redom zovu matrica sustava, matrica nepoznanica, matrica slobodnih clanova i prosirenamatrica sustava. Uz pomoc uvedenih matrica, sustav (3.1) mozemo pisati u ekvivalentnom obliku:

AX = B (3.2)

Teorem 3.5.3.Uredena n-torka (γ1, . . . , γn) ∈ Fn je rjesenje sustava (3.1) ako i samo ako vrijedi B = γ1S1 + . . .+γnSn gdje je S1, . . . , Sn stupcana reprezentacija matrice A.

Teorem 3.5.4. (Kronecker-Capelli)Sustav AX = B je rjesiv ako i samo ako vrijedi r(A) = r(Ap).

Definicija 3.5.5.Kaze se da je sustav linearnih jednadzbi (3.1) homogen ako vrijedi b1 = · · · = bm = 0. Opci oblikhomogenog sustava je dakle:

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0

...am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0

(3.3)

odnosnoAX = 0. (3.4)

Teorem 3.5.6.Homogeni sustav je uvijek rjesiv. Skup svih rjesenja homogenog sustava (3.3) je vektorski prostor.

• Prostor rjesenja Ω homogenog sustava AX = 0 je uvijek konacnodimenzionalan.

Teorem 3.5.7.Neka je dan proizvoljan sustav AX = B, neka je C0 bilo koje njegovo rjesenje, te neka je Ω prostorrjesenja pridruzenog homogenog sustava AX = 0. Tada je C0 + Ω := C0 + C : C ∈ Ω skup svihrjesenja sustava AX = B.

Definicija 3.5.8.Dva sistema linearnih jednadzbi nad poljem F su ekvivalentni ako imaju isti broj nepoznanica i istiskup rjesenja.

Definicija 3.5.9.Elementarne transformacije sustava linearnih jednadzbi su:

1. zamjena poretka dviju jednadzbi,

2. mnozenje neke jednadzbe skalarom λ 6= 0,

3. pribrajanje neke jednadzbe pomnozene skalarom, nekoj drugoj jednadzbi sustava.

• Primjenom elementarnih transformacija dobiva se ekvivalentan sistem.


Definicija 3.5.10.Kaze se da je sustav AX = B Cramerov ako je A ∈ Mn (dakle, broj jednadzbi je jednak brojunepoznanica) i ako je A regularna matrica.

Teorem 3.5.11.Cramerov sustav AX = B je rjesiv, a rjesenje mu je jedinstveno i dano formulom X = A−1B.

3.6 Linearni operatori. Jezgra, slika, rang i defekt.

Definicija 3.6.1.Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F. Preslikavanje A : V → W zove se linearanoperator ako vrijedi A(αx+ βy) = αAX + βAy, ∀x, y ∈ V , ∀α, β ∈ F.

• Svaki linearan operator nulvektor prevodi u nulvektor: A0 = 0

Primjer: Neka je V vektorski prostor nad poljem F, a λ ∈ F dani skalar. Neka je h : V → Voperator definiran s h(x) = λx.

h(αx+ βy) = λ(αx+ βy) = λ(αx) + λ(βy) = (λα)x+ (λβ)y =

= (αλ)x+ (βλ)y = α(λx) + β(λy) = αh(x) + βh(y)

te je h linearni operator. Specijalno, za λ = 0 i λ = 1 vidimo da su nuloperator n(x) = 0, ∀x ∈ V ijedinicni operator (identiteta) e(x) = x, ∀x ∈ V , linearni operatori.

Teorem 3.6.2. (Zadavanje na bazi i prosirenje po linearnosti)Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F, neka je b1, . . . , bn bilo koja baza za Vi (w1, . . . , wn) bilo koja uredena n-torka vektora iz W . Tada postoji jedinstven linearan operatorA : V →W takav da je Abi = wi, ∀i = 1, . . . , n.

• A : V → W je linearni operator ako A(αx + βy) = αAx + βAy, ∀α, β ∈ F, ∀x, y ∈ V . Svakilinearan operator je jedinstveno odreden svojim djelovanjem na bazu.

Teorem 3.6.3.Neka je A : V →W linearan operator.

• Ako je L 6 V onda je A(L) 6W .

• Ako je M 6W onda je A−1(M) 6 V .

A(L) = Ax : x ∈ L, A−1(M) = x ∈ V : Ax ∈M.

Definicija 3.6.4.Neka je A : V →W linearan operator. Potprostori

ImA = A(V ) = Av : v ∈ V 6W i KerA = A−1(0) = x ∈ V : Ax = 0 6 V

zovu se slika, odnosno jezgra operatora A. Kad su V i W konacnodimenzionalni, rang i defektoperatora A definiraju se kao brojevi r(A) = dim (ImA), odnosno d(A) = dim (KerA).

Teorem 3.6.5.Linearan operator A : V → W je injekcija ako i samo ako je KerA = 0 (tj. ako i samo ako jed(A) = 0).

Teorem 3.6.6.Neka je A : V →W linearan operator. A je injekcija ako i samo ako je za svaki linearno nezavisanskup S u V skup A(S) = Ax : x ∈ S linearno nezavisan u W .


Teorem 3.6.7. (Teorem o rangu i defektu)Neka je A : V →W linearan operator, te neka je dimV <∞. Tada je r(A) + d(A) = dimV .

Definicija 3.6.8.Linearan operator A : V →W naziva se:

1. monomorfizam ako je A injekcija

2. epimorfizam ako je A surjekcija

3. izomorfizam ako je A bijekcija

• Posljedica teorema o rangu i defektu: Neka je A : V →W linearan operator te neka jedimV = dimW <∞. Vrijedi: A je monomorfizam ⇔ A je epimorfizam ⇔ A je izomorfizam.

• Kompozicija dvaju monomorfizma (epimorfizma, izomorfizma) je opet monomorfizam (epimorfi-zam, izomorfizam). Kompozicija dva linearna operatora je linearni operator. Bijektivan linearanoperator se zove regularan.

• Neka su V , W vektorski prostori nad istim poljem F. Tada sa L(V,W ) oznacavamo skup svihlinearnih operatora sa V u W . Skup L(V,W ) je vektorski prostor.

• Neka je dimV = n, dimW = m <∞. Tada je dimL(V,W ) = nm.

3.7 Svojstvene vrijednosti linearnog operatora. Svojstveni polinommatrice i linearnog operatora.

Definicija 3.7.1.Neka je V vektorski prostor nad poljem F i A ∈ L(V ). Kaze se da je skalar λ0 ∈ F svojstvenavrijednost operatora A ako postoji vektor x ∈ V , x 6= 0, takav da je Ax = λ0x. Svaki takav xse zove svojstveni vektor (pridruzen λ0). Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva sespektar (operatora A) i oznacava sa σ(A).

Napomene:

• Istaknimo odmah da je skalar λ0 svojstvena vrijednost operatora A tek ako postoji netrivijalanvektor x sa svojstvom Ax = λ0x.

• Vektor x iz navedene definicije naziva se svojstveni vektor pridruzen svojstvenoj vrijednostiλ0. Treba primijetiti da svojstveni vektor nije jedinstven.

• Neka je VA(λ0) = x ∈ V : Ax = λ0x. Ovaj skup se naziva svojstveni potprostorpridruzen svojstvenoj vrijednosti λ0.

• Ako je λ0 ∈ σ(A) onda se dimenzija svojstvenog potprostora VA(λ0) naziva geometrijskakratnost (ili geometrijski multiplicitet) svojstvene vrijednosti λ0 i oznacava se sa d(λ0). Izdefinicije je jasno da je d(λ0) ≥ 1.

Definicija 3.7.2.Neka je A ∈Mn(F). Polinom kA(λ) = det (A− λI) naziva se svojstveni polinom matrice A.

Primijetimo da je kA(λ) zaista polinom u varijabli λ s koeficijentima iz polja F i to n-tog stupnja -to slijedi izravno iz definicije determinante. Takoder iz definicije determinante odmah uocavamo daje vodeci koeficijent tog polinom (−1)n.Slicne matrice (matricni prikazi operatora A u raznim bazama) imaju jednake svojstvene polinome.

Definicija 3.7.3.Neka je V konacnodimenzionalan prostor, neka je A ∈ L(V ) te neka je [A]ee matricni zapis operatoraA u nekoj bazi e prostora V . Svojstveni polinom operatora A, kA, definira se kao svojstvenipolinom matrice [A]ee ; kA(λ) = k[A]ee

(λ).


Teorem 3.7.4.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor nad poljem F te neka je A ∈ L(V ). Skalar λ0 ∈ Fje svojstvena vrijednost operatora A ako i samo ako vrijedi kA(λ0) = 0.

Napomene:

• Svojstvene vrijednosti operatora su upravo nultocke njegovog svojstvenog polinoma.

• U realnim prostorima svojstvene vrijednosti su samo realne nultocke svojstvenog polinoma.

• Ako je dimV = n i A ∈ L(V ) onda A ima najvise n svojstvenih vrijednosti, jer polinom n-togstupnja ima najvise n nultocaka.

• Polje R nije algebarski zatvoreno, tj. ima polinoma s realnim koeficijentima bez realnihnultocaka, pa operatori na realnim prostorima ne moraju imati svojstvenih vrijednosti (npr.

operator rotacije

[cosϕ − sinϕsinϕ cosϕ

])

Definicija 3.7.5.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor te neka je A ∈ L(V ) i λ0 ∈ σ(A). Neka jekA(λ) = (λ − λ0)lp(λ), l ∈ N, p(λ0) 6= 0. Broj l zovemo algebarskom kratnoscu svojstvenevrijednosti λ0 i oznacavamo ga s l(λ0).

Teorem 3.7.6.Neka je V konacnodimenzionalan vektorski prostor, te neka je A ∈ L(V ) i λ0 ∈ σ(A). Tada jed(λ0) ≤ l(λ0).

Teorem 3.7.7. (Hamilton-Cayley)Neka je A ∈Mn(F). Tada je kA(A) = 0.

• Matrica A ∈Mn je regularna ako i samo ako je kA(0) 6= 0.

Definicija 3.7.8.Neka je A ∈Mn(F). Neka je mA(λ) polinom najnizeg stupnja u varijabli λ, s koeficijentima iz poljaF, koji matrica A ponistava tj. za koji vrijedi mA(A) = 0. Onda kazemo da je mA jedan minimalnipolinom za matricu A, a pripadnu jednadzbu mA(λ) = 0 nazivamo minimalna jednadzba matriceA.

Prema Hamilton-Cayleyevom teoremu A ponistava svoj karakteristicni polinom, tada stupanj mini-malnog polinoma nije veci od reda n matrice A, tj. st mA ≤ n = st kA.

Teorem 3.7.9.Karakteristicni polinom matrice djeljiv je njezinim minimalnim polinomom.

3.8 Unitarni prostori. Ortogonalni komplement potprostora.

Skalarno mnozenje u V 3 je preslikavanje · : V 3 × V 3 → R, pa je skalarni produkt na vektorskomprostoru V nad poljem F preslikavanje V × V → F.

Definicija 3.8.1.Neka je V vektorski prostor nad poljem F. Skalarni produkt na V je preslikavanje 〈·, ·〉 : V ×V → Fkoje ima sljedeca svojstva:

1. 〈x, x〉 ≥ 0, ∀x ∈ V ,

2. 〈x, x〉 = 0 ⇔ x = 0,


3. 〈x1 + x2, y〉 = 〈x1, y〉+ 〈x2, y〉, ∀x1, x2, y ∈ V ,

4. 〈αx, y〉 = α〈x, y〉, ∀x, y ∈ V , ∀α ∈ F,

5. 〈x, y〉 = 〈y, x〉, ∀x, y ∈ V .

Napomene:

• Svojstva 3. i 4. se zovu aditivnost i homogenost na prvom argumentu.

• Prije svega, treba primijetiti da skalarni produkt poprima vrijednosti u polju nad kojim jedani vektorski prostor izgraden; ako je, dakle, prostor kompleksan, zadnje svojstvo kaze dasu skalarni umnosci medusobno konjugirani kompleksni brojevi. Ako je pak prostor realan,skalarni umnozak bilo koja dva vektora je realan broj pa kompleksno konjugiranje nema efekta.Stoga se u realnim prostorima 5. svojstvo naziva simetricnost, a u kompleksnim prostorimahermitska simetricnost.

• 〈x, 0〉 = 0, ∀x

• 〈0, y〉 = 0, ∀y

• Uocimo da i u kompleksnom slucaju, premda su vrijednosti skalarnog produkta opcenito kom-pleksni brojevi, 1. uvjet iz definicije zahtijeva da prodkut 〈x, x〉 bude realan, cak nenegativan,za sve vektore x.

Definicija 3.8.2.Vektorski prostor na kojem je definiran skalarni produkt zove se unitaran prostor.

Primjeri:

• U Rn skalarni produkt je definiran sa 〈(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)〉 =

n∑i=1

xiyi.

• U Cn skalarni produkt je definiran sa 〈(x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn)〉 =

n∑i=1

xiyi.

• U Mn(F) skalarni produkt je definiran s 〈A,B〉 = tr(B∗A), pri cemu je matrica B∗ hermitskiadjungirana matrici B tj. ako je B = [bij ] i B∗ = [xij ] tada je xij = bji. Za realne matrice sehermitsko adjungiranje svodi na transponiranje.

Teorem 3.8.3. (Cauchy-Schwarzova nejednakost)Neka je V unitaran prostor. Tada je |〈x, y〉|2 ≤ 〈x, x〉〈y, y〉 za sve x, y iz V . Jednakost vrijedi ako isamo ako su vektori x i y linearno zavisni.

Definicija 3.8.4.Neka je V unitaran prostor. Norma na V je funkcija ‖ · ‖ : V → R definirana sa ‖x‖ =

√〈x, x〉.

Teorem 3.8.5.Norma na unitarnom prostoru V ima sljedeca svojstva:

1. ‖x‖ ≥ 0, ∀x ∈ V ,

2. ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0,

3. ‖αx‖ = |α|‖x‖, ∀x ∈ V , ∀α ∈ F,

4. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖, ∀x, y ∈ V .


• Cauchy-Schwarzovu nejednakost mozemo pisati u obliku |〈x, y〉| ≤ ‖x‖‖y‖.• Norma na svakom unitarnom prostoru V zadovoljava relaciju paralelograma: ‖x+y‖2+‖x−y‖2 =2‖x‖2 + 2‖y‖2.

Definicija 3.8.6.Neka je V unitaran prostor. Kaze se da je vektor x ∈ V normiran ako je ‖x‖ = 1.

Definicija 3.8.7.Neka je V unitaran prostor. Kaze se da su vektori x, y iz V medusobno okomiti ili ortogonalni(oznaka: x ⊥ y) ako je 〈x, y〉 = 0. Konacan skup vektora e1, . . . , ek je ortogonalan ako je ei ⊥ ej,∀i 6= j. Skup e1, . . . , ek je ortonormiran ako je ortogonalan i ako je ‖ei‖ = 1, ∀i = 1, . . . , k.

Teorem 3.8.8.Neka je V unitaran prostor. Svaki ortogonalan skup e1, . . . , ek ⊆ V , k ∈ N, ciji su svi clanovinetrivijalni vektori je linearno nezavisan. Posebno, svaki ortonormiran skup je linearno nezavisan.

Definicija 3.8.9.Neka je V unitaran prostor i M potprostor od V . Ortogonalni komplement potprostora M jeM⊥ = x ∈ V : 〈x, v〉 = 0, ∀v ∈M.

Teorem 3.8.10.Neka je V unitaran prostor i M potprostor od V . Ortogonalni komplement potprostora M je takoderpotprostor od V .

• Uvijek je 0 ∈M⊥ pa je M⊥ 6= ∅.• Vrijedi V ⊥ = 0, 0⊥ = V .

Teorem 3.8.11.Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor i M potprostor od V . Tada je M⊥ (jedan)direktan komplement od M u V .

• Obicno pisemo V = M ⊕M⊥.• Vrijedi: (M⊥)⊥ = M i (L+M)⊥ = L⊥ ∩M⊥.

3.9 Ortonormirana baza. Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije.

Definicija 3.9.1.Ortonormiran skup e1, . . . , en u unitarnom prostoru V je ortonormirana baza ako je taj skupujedno i baza za V .

• Ortonormiran skup e1, . . . , en ce biti ortonormirana baza unitarnog prostora V cim je taj skupujedno i sistem izvodnica za V .

• Primijetimo usput da je kanonska baza −→i ,−→j ,−→k prostora V 3 ortonormirana te da je ortonor-

mirana i kanonska baza e1, . . . , en u prostoru Rn (i u Cn).

Teorem 3.9.2. (Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije)Neka je dan linearno nezavisan skup x1, . . . , xk, k ∈ N, u unitarnom prostoru V . Tada postojiortonormiran skup e1, . . . , ek u V takav da je [e1, . . . , ej] = [x1, . . . , xj], ∀j = 1, . . . , k.

Dokaz. Konstrukciju skupa e1, . . . , ek provodimo induktivno.Baza indukcije je lagana: stavi se e1 = 1

‖x1‖x1 sto je dobro definirano jer je x1 6= 0. Ocito su e1 i x1kolinearni pa razapinju isti potprostor.Pretpostavimo sada da je naden ortonormiran skup e1, . . . , ej takav da je [e1, . . . , ej] = [x1, . . . , xj]i konstruirajmo ej+1.


Najprije uvedimo pomocni vektor: fj+1 = xj+1 −∑ji=1〈xj+1, ei〉ei.

Prvo, izravno iz definicije okomitosti vidi se da je fj+1 ⊥ ei, ∀i = 1, . . . , j.Drugo, vrijedi i [e1, . . . , ej , fj+1] = [x1, . . . , xj , xj+1].Da se u ovo uvjerimo, dovoljno je utvrditi da generatori s jedne strane jednakosti pripadaju potpros-toru s druge strane, i obratno. Sada je e1, . . . , ej ∈ [x1, . . . , xj , xj+1] po pretpostavci indukcije, afj+1 ∈ [x1, . . . , xj , xj+1] po definiciji vektora fj+1. Obratno je takoder jasno (i argumenti su isti);

uocimo da je xj+1 = fj+1 +∑ji=1〈xj+1, ei〉ei.

Sada je jasno da skup e1, . . . , ej , fj+1 ima gotovo sva trazena svojstva; tek ne znamo kolika jenorma vektora fj+1. No, lako je zakljuciti da, za svaki skalar λ 6= 0, i vektor λfj+1 moze posluzitiumjesto fj+1.Naime, 〈fj+1, ei〉 = 0 ⇒ 〈λfj+1, ei〉 = 0, ∀i = 1, . . . , j, a iz jednakosti [e1, . . . , ej , fj+1] =[x1, . . . , xj , xj+1] dobivamo i [e1, . . . , ej , λfj+1] = [x1, . . . , xj , xj+1] za svaki skalar λ 6= 0.Preostaje uzeti λ = ‖fj+1‖−1, tj. definirati ej+1 = 1

‖fj+1‖fj+1. Jedini problem moze nastati ako je

fj+1 = 0 jer tada je i ‖fj+1‖ = 0, i s tim brojem ne smijemo dijeliti. Medutim, to je nemoguce!

Naime, fj+1 = 0 bi znacilo da je xj+1 =∑ji=1〈xj+1, ei〉ei ∈ [e1, . . . , ej] = [x1, . . . , xj], a to se

kosi s nezavisnoscu polaznog skupa x1, . . . , xk.

• Gram-Schmidtov postupak ortogonalizacije je zapravo ime dokaza, odnosno konstrukcije, a netvrdnje teorema.• Svaki konacnodimenzionalan unitaran prostor ima ortonormiranu bazu.

3.10 Svojstvene vrijednosti hermitskih operatora/simetricnih matrica.Dijagonalizacija.

Teorem 3.10.1.Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor i A ∈ L(V ). Postoji jedinstven operator A∗ ∈L(V ) takav da je 〈Ax, y〉 = 〈x,A∗y〉 za sve vektore x, y iz V .

Definicija 3.10.2.Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor i A ∈ L(V ). Operator A∗ ∈ L(V ) sa svojstvom〈Ax, y〉 = 〈x,A∗y〉, ∀x, y ∈ V , zove se hermitski adjungiran operator operatoru A.

• Adjungiran operator unitarnog operatora upravo je njegov inverz.

Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor. Preslikavanje A 7→ A∗ koje svakom operatoruA ∈ L(V ) pridruzuje hermitski adjungiran operator A∗ ∈ L(V ) ima sljedeca svojstva:

• (A+B)∗ = A∗ +B∗, ∀A,B ∈ L(V ),

• (αA)∗ = αA∗, ∀α ∈ F, ∀A ∈ L(V ),

• (AB)∗ = B∗A∗, ∀A,B ∈ L(V ),

• (A∗)∗ = A, ∀A ∈ L(V ).

Teorem 3.10.3.Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor i A ∈ L(V ). Tada je V = KerA ⊕ ImA∗ iV = KerA∗ ⊕ ImA. Nadalje, r(A∗) = r(A).

Definicija 3.10.4.Kaze se da je kompleksna kvadratna matrica A unitarna ako vrijedi AA∗ = A∗A = I. Realnakvadratna matrica A je ortogonalna ako vrijedi AAτ = AτA = I.


Definicija 3.10.5.Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor i A ∈ L(V ). Kazemo da je operator A hermitskiako vrijedi A∗ = A.

Primjer: jedinicni i nuloperator.

• Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor i neka je A ∈ L(V ) hermitski operator. Tadaje V = KerA⊕ ImA.

Definicija 3.10.6.Kaze se da je kvadratna matrica A = [αij ] ∈ Mn hermitska ako vrijedi A∗ = A, tj. αij = αji,∀i, j = 1, . . . , n.

• U slucaju kad je matrica realna, pojam hermitske matrice svodi se na pojam simetricne matrice.

Teorem 3.10.7.Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor i neka je A ∈ L(V ). Sljedece tvrdnje su medusobnoekvivalentne:

1. A je hermitski operator,

2. za svaku ortonormiranu bazu b u V matrica [A]bb je hermitska,

3. postoji ortonormirana baza e u V takva da je matrica [A]ee hermitska.

Teorem 3.10.8. (Teorem o dijagonalizaciji hermitskog operatora)Neka je V realan i H : V → V hermitski. Tada postoji ortonormirana baza f1, . . . , fn takva da jeHfj = λjfj za neke λ1, . . . , λn ∈ R.

Teorem 3.10.9.Neka je V kompleksan konacnodimenzionalan unitaran prostor i A ∈ L(V ) hermitski operator. Svesvojstvene vrijednosti operatora A su realni brojevi.

Napomene:

• Nultocke svojstvenih polinoma hermitske matrice su realne.

• Neka su λ1 ≤ · · · ≤ λn svojstvene vrijednosti hermitskog operatora. Tada je λ1 = min‖x‖=1

〈Hx|x〉

i λn = max‖x‖=1

〈Hx|x〉.

Teorem 3.10.10.H ≥ 0 ⇔ (0 ≤ λ1 ≤ · · · ≤ λn) tj. λ ≥ 0, ∀λ ∈ σ(H).H > 0 ⇔ λ > 0.

Teorem 3.10.11.Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor i A ∈ L(V ) hermitski operator. Svojstveni pot-prostori pridruzeni razlicitim svojstvenim vrijednostima operatora A medusobno su okomiti.

Teorem 3.10.12.Neka je V konacnodimenzionalan realan unitaran prostor, neka je A ∈ L(V ) hermitski operator.Tada je spektar operatora A neprazan.

• Realna simetricna matrica ima svojstvenu vrijednost.

Sljedeci teorem moze se smatrati glavnim rezultatom za hermitske operatore: svaki hermitski ope-rator dopusta dijagonalizaciju u nekoj ortonormiranoj bazi. Treba uociti da u formulaciji teoremanema razlike izmedu realnih i kompleksnih prostora.


Teorem 3.10.13.Neka je V konacnodimenzionalan unitaran prostor, neka je A ∈ L(V ) hermitski operator. Postojiortonormirana baza e prostora V u kojoj je matricni zapis [A]ee operatora A dijagonalna matrica.

Teorem 3.10.14.Neka je V konacnodimenzionalan netrivijalan realan unitaran prostor i neka je A ∈ L(V ). A jeortogonalno dijagonalizabilan ako i samo ako je A hermitski.

• Svaka kvadratna realna matrica je ortogonalno slicna dijagonalnoj matrici ako i samo ako jesimetricna.

Definicija 3.10.15.A je pozitivno poludefinitan (semidefinitan) ili pozitivan ako je hermitski i vrijedi ∀x ∈ V〈Ax|x〉 ≥ 0, odnosno pozitivno definitan ako je hermitski i ∀x ∈ V \ 0 〈Ax|x〉 > 0.

Teorem 3.10.16.Neka je V konacnodimenzionalan netrivijalan unitaran prostor. Ako je A ∈ L(V ), onda je Aortogonalno dijagonalizabilan ako i samo ako postoje netrivijalne hermitske projekcijep1, . . . , pk : V → V i razliciti skalari λ1, . . . , λk takvi da je:

• A =

k∑i=1

λipi,

•k∑i=1

pi = 1,

• i 6= j ⇒ pi pj = 0.

Teorem 3.10.17.Neka je V konacnodimenzionalan netrivijalan unitarni prostor i neka je A ∈ L(V ). Ekvivalentnoje:

• A je pozitivno poludefinitan,

• A je hermitski i σ(A) ⊆ R+,

• postoji hermitski operator B ∈ L(V ) takav da je B2 = A,

• postoji C ∈ L(V ) takav da je C∗C = A.

Documents

Skripta Za Diplomski