Slajdovi sa predavanja

Lokacijski problemi

Osnovne postavke teorije lokacije

• Od lokacije (položaja) objekata na transportnoj mreži bitno zavise kvalitet saobraćajnih usluga kao i ukupni troškovi transportnog sistema.

• Lociranje objekata na transportnoj mreži (u kojima se vrši neka opsluga) zavisi od vrste samog sistema u kome se vrši opsluživanje korisnika (npr. u vazdušnom saobraćaju aerodromi se moraju iz ekoloških razloga locirati što dalje od centra grada, a sa druge strane ne predaleko jer bi se time smanjio kvalitet opsluge, ili stanice u javnom prevozu treba locirati tako da se minimizira ukupno pešačenje korisnika, dok se stanice hitne pomoći, policije kao i vatrogasne stanice lociraju tako da se minimizira rastojanje do najudaljenijeg korisnika...)

• Broj i lokacija određenih objekata na transportnoj mreži u kojima se vrši opsluga u funkciju su od određenih kriterijuma i zahteva koji se postavljaju pred transportni sistem.


Primeri: skladišta, robni centri, deponije za odlaganje opasnih materijala, deponije za odlaganje smeća, aerodromi, habovi, škole, garaže, autobuske stanice, stanice hitne pomoći, bolnice, bazeni, obdaništa, domovi zdravlja, vatrogasne brigade, restorani brze hrane i stanice za brzo otklanjanje naftnih mrlja


Teorija lokacije pokušava da odgovori na sledeća pitanja:

a) Koliki je ukupan broj objekata na mreži u kojima se obavlja opsluga?

b) Gde locirati ove objekte?

c) Na koji način izvršiti alokaciju klijenata koji zahtevaju opslugu po pojedinim objektima? (Odrediti za svaki od objekata skup klijenata koji će da budu opsluženi iz objekta).


U određenim slučajevima objekte je moguće locirati u bilo kojoj tački posmatranog regiona (kontinualni lokacijski problemi)

Drugu grupu lokacijskih problema predstavljaju problemi u kojima se podrazumeva da je lociranje objekata moguće izvršiti samo u određenim, unapred definisanim tačkama (diskretni lokacijski problemi).


Predmet našeg razmatranja biće lokacijski problemi kod kojih je lociranje objekata dozvoljeno samo u određenim tačkama. Najveći broj saobraćajnih terminala moguće je zbog postojanja geografskih, urbanističkih, pravnih, ekonomskih i organizacionih ograničenja locirati samo u određenom broju čvorova. Modeli razvijeni za rešavanje lokacijskih problema zasnovani su na matematičkom programiranju ili teoriji grafova.


Prvi rad posvećen delom i lokacijskim problemima potiče iz 19‑tog veka. Znameniti matematičar Fermat je ukazao u svom radu na sledeći problem:

“Za zadate tri tačke u ravni pronaći četvrtu, tako da zbir rastojanja između četvrte tačke i datih triju tačaka bude minimalan.”

Začetnikom moderne lokacijske analize se smatra Alfred Weber koje je razmatrao problem lokacije skladista (1909) i težio u svojoj analizi da minimizira rastojanja izmedju skladišta i korisnika skladišta

Klasifikacija lokacijskih problema

A. Broj objekata na mrežiNa transportnoj mreži treba locirati samo jedan objekat

Na transportnoj mreži treba locirati veći broj objekata

B. Dozvoljena mesta za lociranje objekataObjekte je moguće locirati u bilo kojoj tački posmatranog regiona (kontinualni lokacijski problem)

Objekte je moguće locirati samo u određenim, unapred definisanim tačkama (diskretni lokacijski problemi)

Klasifikacija lokacijskih problemaC. Vrsta objekta na mreži

Medijane (Potrebno je locirati jedan ili više objekata na mreži, tako da se minimizira prosečno rastojanje između objekata i korisnika usluga)

Centri (Potrebno je locirati jedan ili više objekata na mreži, tako da se minimizira rastojanje do najudaljenijeg korisnika)

Objekti sa prethodno definisanim perfomansama sistema (Potrebno je locirati jedan ili više objekata na mreži, tako da se zadovolje unapred definisani standardi u pogledu pređenih rastojanja, vremena putovanja, vremena čekanja na opslugu ili nekog drugog atributa. Ovaj tip problema sa naziva problemima zahtevanja)

Klasifikacija lokacijskih problema

D. Tip algoritma za rešavanje lokacijskih problema

• Egzaktni algoritmi• Heuristički algoritmi

E. Broj kriterijumskih funkcija na osnovu kojih se određuje lokacija objekata

• Postoji jedna kriterijumska funkcija• Postoji više kriterijumskih funkcija

(problemi višekriterijumske optimizacije)

Merenje rastojanja u lokacijskim problemima

• Osnovne ulazne podatke za rešavanje lokacijskih problema predstavljaju rastojanja između korisnika koji zahtevaju opslugu i čvorova u kojima je moguće locirati objekte.

• Dva vrste rastojanja :– Euklidska rastojanja i– Manhattan (pravougaona) rastojanja


y

x

Manhattan rastojanje

Euklidsko rastojanje

Manhattan rastojanje i Euklidsko rastojanje


Rešetkasta mreža (ulica)


Manhattan rastojanje

• Neka su date koordinate čvorova J(xj, yj) i

I(xi, yi):

• Manhattan rastojanje m(I, J) između čvora I(xi, yi)

i čvora J(xj, yj) je jednako

jiji yyxxJIm ,


Euklidsko rastojanje e(I, J):

• Manhattan rastojanje i Euklidsko rastojanje su specijalni slučajevi lp rastojanja

e I J x x y yi j i j, 2 2

l I J x x y yp i j

p

i j

p p,

1


p = 1: Manhattan rastojanje

p = 2: Euklidsko rastojanje

Vangradska rastojanja u putnoj mreži su obično 10‑30% veća od odgovarajućih Euklidskih rastojanja Pod “rastojanjem” se pored fizičkog rastojanja može podrazumevati i vreme putovanja, troškovi putovanja i sl.

m I J l I J, , 1

e I J l I J, , 2

Medijane

U slučaju problema medijane potrebno je locirati jedan ili više objekata na mreži‚ tako da se minimizira prosečno rastojanje (prosečno vreme putovanja, prosečni transportni troškovi) od objekta do korisnika ili od korisnika do objekta.

Problemi medijane su naročito značajni za transportnu delatnost, s obzirom da se ova grupa problema javlja prilikom projektovanja različitih distributivnih sistema.

Problem p medijana prvi je formulisao Hakimi (1964).

Medijane

G = (N, A) - neorijentisana transportna mreža N - skup čvorova mrežeA - skup grana (linkova)n - broj čvorova mreže

ai - potražnja (broj zahteva) u čvoru i

dij – rastojanje između čvora i i čvora jp - ukupan broj objekata koje treba locirati

Objekti mogu da budu locirani u bilo kom od n čvorova mreže.

Medijane

Problem p medijana:

Minimizirati (ukupno pređeno rastojanje između objekata i korisnika)

suprotnomu ,0

cvoru u lociranomobjektu u opsluzuje cvora izkorisnik se ukoliko,1 jix ji

n

i

n

jjijii xdaF

1 1

min

Medijane

pri ograničenjima:

nixn

jji ,,2,1,1

1

pxn

jjj

1

jinjixx jijj ;,,2,1,,

njix ji ,,2,1,,1,0

svaki klijent (svaki čvor) opslužuje se od strane samo jednog objekta.

na mreži treba da postoji ukupno p objekata

Svaki klijent lociran u nekom od objekata dobija opslugu iz tog objekta

Medijane

Hakimi (1964) je pokazao da postoji najmanje jedan skup p‑medijana u čvorovima mreže G, što znači da p optimalnih lokacija objekata u mreži mora da se nalazi isključivo u čvorovima mreže.

Ova činjenica u znatnoj meri olakšava proceduru iznalaženja p‑medijana, jer je potrebno ispitati samo lokacije koje se nalaze u čvorovima.

Medijane

Kategorije algoritama za rešavanje problema p medijana:– Algoritmi za generisanje skupa

dopustivih rešenja– Algoritmi zasnovani na teoriji grafova– Heuristički algoritmi– Algoritmi zasnovani na matematičkom

programiranju

Medijane

• Algoritam za generisanje skupa dopustivih rešenja podrazumeva ispitivanje svih mogućih rešenja lokacija p‑medijana, izračunavanje odgovarajućih vrednosti definisane kriterijumske funkcije i određivanja optimalnog rešenja.

• Ovakav pristup moguće primeniti jedino u slučaju mreža sa manjim brojem čvorova na kojima treba locirati manji broj objekata.

• Broj mogućih različitih rasporeda p objekata na mreži u kojoj postoji n čvorova je:

p

n

Algoritam za određivanje jedne medijane mreže

Jednostavan algoritam kojim se generiše skup dopustivih rešenja i određuje lokacija jedne medijane u slučaju neorijentisane mreže predložio je Hakimi (1965).

Algoritam se sastoji od sledećih koraka:


KORAK 1: Izračunati dužine najkraćih puteva dij između svih parova čvorova (i, j) mreže G i prikazati ih u matrici najkraćih puteva D (Čvorovi i predstavljaju moguće lokacije za medijanu, a čvorovi j predstavljaju lokacije klijenata koji zahtevaju opslugu).


KORAK 2. Pomnožiti j‑tu kolonu matrice najkraćih puteva sa

brojem zahteva za opslugom aj iz čvora j. Element ajdij matrice [ajdij]

predstavlja “rastojanje” koje prevale korisnici iz čvora j koji se opslužuju u čvoru i. Matricu [ajdij] označiti sa D’.


KORAK 3: Izvršiti sumiranje duž svake vrste i matrice D’. Izraz

predstavlja ukupno “rastojanje” koje prevale korisnici u slučaju kada je objekat lociran u čvoru

i.

KORAK 4: Čvor čijoj vrsti odgovara najmanje ukupno “rastojanje” predstavlja lokaciju za medijanu.

a dj i jj

n

1


Primer

Transportna mreža na kojoj treba odrediti lokaciju jedne medijane

zahtevi za opslugom

duzina grane


Problem koji treba da rešimo sastoji se u sledećem:

Gde locirati objekat u kome se pruža određena opsluga, tako da ukupno rastojanje koje prevale korisnici usluga do objekta bude minimalno (Korisnici usluga se nalaze u čvorovima).

Na osnovu Hakimi‑jeve teoreme (1964) možemo da zaključimo da postoji 8 mesta‑kandidata za lociranje objekta. To su čvorovi A, B, C, .., H.


Matrica najkraćih rastojanja (korak 1):

02734486

20626475

76049647

32405253

469503105

44623072

874510705

65735250

H

G

F

E

D

C

B

A

d

HGFEDCBA

ji


U drugom koraku izračunajmo vrednosti ajdij, tako što ćemo svaku kolonu j matrice najkraćih rastojanja di,j pomnožiti sa brojem zahteva za opslugom aj u čvoru j.


0602800608003204800600

1000024004012003204200500

350018008018004802400700

1500601600010001603000300

2000180360010002406000500

200012024004060004200200

4000210160010020005600500

3000150280060100016030000

H

G

F

E

D

C

B

A

da

HGFEDCBA

jij


Sumiranjem po vrstama matrice [ajdij] dobijaju se ukupna rastojanja koja bi prešli korisnici usluga, ukoliko bi objekat bio smešten u pojedinim čvorovima duž čijih vrsta se vrši sumiranje.

Objekat treba locirati u onom čvoru duž čije vrste je dobijen najmanji zbir po izvršenom sumiranju.


Brojevi ostvarenih putničkih kilometara

Lokacija objekta je u čvoru Broj ostvarenih putničkih kilometara

A 10170

B 8970

C 9560

D 12620

E 7620

F 9140

G 9660

H 9440


Objekat treba locirati u čvoru E

Lociranje objekta u čvoru E

Određivanje medijane u orijentisanoj mreži

Izloženi algoritam za određivanje lokacije jedne medijane u slučaju neorijentisane mreže, može se u potpunosti primeniti i u slučaju orijentisanih mreža

Neophodno je jedino voditi računa o orijentaciji mreže, odnosno o dužinama najkraćih puteva između pojedinih parova čvorova.

U orijentisanoj mreži treba razlikovati slučajeve: ulazne medijane – slučaj kada korisnici odlaze u objekat da bi bili opsluženi izlazne medijane – slučaj kada saobraćajna sredstva polaze iz objekta i odlaze u čvorove koji zahtevaju opslugu.

Algoritam za određivanje jedne medijane orijentisane mreže

Primer mreže u kojoj treba odrediti lokaciju ulazne medijane


Čvorovi: A, B, C, D, E

Matrica najkraćih rastojanja :

04367

40523

46054

62702

74510

E

D

C

B

A

d

EDCBA

ji


Ukoliko ulazna medijana bude locirana u čvoru A, ukupno rastojanje koje će preći korisnici iznosi:

Na isti način se izračunavaju ukupna rastojanja koja korisnici prelaze u slučajevima kada su ulazne medijane locirane u čvorovima B,C,D ili E.

5420740032046002800100


Lokacija ulazne medijane je u čvoru

Broj ostvarenih putničkih kilometara

A 5420B 5540C 2160D 4240E 3660

Broj ostvarenih putničkih kilometara


• Ulazna medijana treba da bude locirana u čvoru C

Lokacija ulazne medijane u čvoru C

Rešavanje problema p-medijana primenom algoritma za generisanje dopustivih rešenja

Algoritam za generisanje skupa dopustivih rešenja podrazumeva sledeće korake:

• Generisanje svih mogućih rešenja lokacija p medijana,

• Izračunavanje vrednosti kriterijumske funkcije za svako dopustivo rešenje

• određivanje optimalnog rešenja

Ovaj algoritam se može primenjivati samo u slučajevima manjih vrednosti veličine

p

n


• Ukupan broj dopustivih rešenja u mreži sa n čvorova i p objekata iznosi

• n - ukupan broj čvorova u mreži (tj. broj čvorova kandidata za lociranje p objekata-medijana)

• dij – dužina najkraćeg puta od čvora i do čvora j

• dij’ = ajdij - “rastojanje” koje pređu svi korisnici

iz čvora j koji se opslužuju u čvoru i

p

n


• D’ -matrica čiji su elementi dij’ • Xp = {vj1, vj2, ..., vjp} - jedan od mogućih

podskupova od p čvorova• za svaki od podskupova p čvorova treba

izračunati sumu

• Podskup p-čvorova kome odgovara najmanja vrednost sume predstavlja skup čvorova u kojima treba locirati p medijana.

n

jjjjjjj p

ddd1

,,,min 21

p

n

Primer : za mrežu prikazanu na slici odrediti lokacije 2 medijane(p=2)



• Čvorovi mreže: A, B, C, D, E • Ukupan broj čvorova n=5• Ukupan broj kombinacija za lociranje p=2

medijane u mreži sa n=5 čvorova iznosi

• Medijane je moguće locirati u sledećim parovima čvorova

102

5

EDECDCEBDBCBEADACABA ,i,,,,,,,,,,,,,,,,,


• Izračunajmo ukupno rastojanje koje bi prelazili svi korisnici ukoliko bi medijane bile locirane u prvom paru čvorova (čvorovi A i B)

• Korisnici iz čvora A opslužuju se u čvoru A, a korisnici iz čvora B se opslužuju u čvoru B.

• Korisnici iz čvora C se opslužuju u čvoru A (jer je rastojanje od C do A manje nego rastojanje od čvora C do čvora B.

• Korisnici iz čvora D biće opsluživani u čvoru B (jer je rastojanje od D do B manje nego rastojanje od D do A)

• Na isti način, korisnici iz čvora E će biti opsluživani u čvoru B.

2040801112058079001000

Ukupno pređeno rastojanje u slučaju lokacije medijana u čvorovima A i B iznosilo bi :

(A, D)


Par čvorova u kojima su

locirane

medijane

Ukupno pređeno

rastojanje od strane

korisnika

Par čvorova u kojima su

lociranemedijane

Ukupno pređeno

rastojanje od strane

korisnika

(A, B) 2040 (B, D) 1660(A, C) 2190 (B, E) 1780

1410 (C, D) 1630(A, E) 1830 (C, E) 2410(B, C) 1780 (D, E) 1730

Ukupno pređeno rastojanje u zavisnosti od lokacije medijaneRešenje: Medijane treba locirati u čvorovima A i D


Medijane A i D i čvorovi koji se opslužuju preko njih


• Primer 2: odrediti lokacije p=2 medijane u transportnoj mreži sa n=8 čvorova, prikazanoj na slici .

282

8

Broj mogućnosti za lociranje 2 medijane:


Par čvorova

Ukupno rastojanje

Par čvorova

Ukupno rastojanje

1. (A, B) 5970 15. (C, E) 69602. (A, C) 8160 16. (C, F) 55603. (A, D) 8170 17. (C, G) 86404. (A, E) 7380 18. (C, H) 75005. (A, F) 6770 19. (D, E) 66206. (A, G) 7600 20. (D, F) 54007. (A, H) 6880 21. (D, G) 83808. (B, C) 4560 22. (D, H) 84609. (B, D) 4620 23. (E, F) 5420

10. (B, E) 4620 24. (E, G) 710011. (B, F) 6530 25. (E, H) 592012. (B, G) 4660 26. (F, G) 546013. (B, H) 3340 27. (F, H) 424014. (C, D) 8960 28. (G, H) 8260


Medijane locirane u čvorovima B i H i čvorovi mreže koje ove medijane opslužuju

Korisnici će prelaziti najmanje rastojanje ukoliko su medijane locirane u čvorovima B i H.

Heuristički algoritam “zamene” za rešavanje problema p-medijana

• Teitz & Bart su (1968) originalno predložili, a Larson & Odoni (1981) unapredili sledeći heuristički algoritam za rešavanje problema p-medijana

• Algoritam započinje pronalaženjem lokacije jedne medijane, a u svakom sledećem koraku se ispituje lokacija još jedne medijane sve dok broj lokacija koje se ispituju ne bude jednak p.

• Označimo sa: – M – skup čvorova u kojima su privremeno locirane medijane– m – broj čvorova u skupu MTokom procesa iznalaženja lokacija p medijana, m raste od 1 do p.


• Korak 1: neka je m = 1. Pronaći lokaciju jedne medijane primenom algoritma za iznalaženje lokacije jedne medijane. Neka je ova medijana locirana u čvoru i. To znači da je M = {i}.

• Korak 2: Sledeću medijanu locirati u jednom čvoru iz skupa čvorova N\M, tako da se ostvari najbolje poboljšanje u kriterijumskoj funkciji. Povećati vrednost m za 1, tj. staviti da je m = m + 1.


• Korak 3: Pokušati sa poboljšanjem vrednosti kriterijumske funkcije zamenjujući na sistematski način jedan od čvorova skupa M, jednim od čvorova skupa N\M. Svaki put kada se ostvari poboljšanje, čvor koji je doveo do poboljšanja uvrstiti u skup M umesto čvora koji se prethodno u njemu nalazio. Ponoviti korak 3. Kada su ispitane sve moguće pojedinačne zamene čvorova skupa M čvorovima iz skupa N\M, pri čemu se više ne može ostvariti poboljšanje vrednosti kriterijumske funkcije, preći na korak 4.

• Korak 4: Ukoliko je m = p završiti sa algoritmom. Ukoliko je m<p, preći na korak 2.


Primer: odrediti 2 medijane u slučaju mreže prikazane na slici primenom opisanog heurističkog algoritma


• U prvom koraku, određuje se optimalna lokacije jedne medijane (čvor E). Sledi M = {E}.

• Sledeću medijanu treba locirati u nekom od čvorova iz skupa N\M={A,B,C,D,F,G,H}

• U drugom koraku vrši se poređenje vrednosti kriterijumske funkcije u slučajevima lokacije 2 medijane u sledećim parovima čvorova

• Paru čvorova (B, E) odgovara najmanja vrednost kriterijumske funkcije (4620). Znači da je M = {B, E}, a N\M={A,C,D,F,G,H}

5920 7100 5420 6620 6960 4620 7380

,i,, ,, ,, ,, ,, ,, EHEGEFEDECEBEA


• Sada poredimo ovo rešenje sa sledećim rešenjima:

• Pošto rešenju (B, H) odgovara vrednost kriterijumske funkcije od 3340, što predstavlja poboljšanje (u odnosu na prethodno rešenje (B,E)) to sledi da je sada M = {B, H}

• Uporedimo sada vrednost kriterijumske funkcije rešenja (B,H) sa vrednostima kriterijumske funkcije sledećih rešenja:

HBGBFBDBCBBA ,i,,,,,,,,,

HGHFHEHDHCHA ,i,,,,,,,,,


• Posle ovih poređenja ne postiže se poboljšanje u vrednosti kriterijumske funkcije. Rešenje (B, H) poredi se i sa rešenjima

• Ni posle ovih poređenja se ne postiže poboljšanje u vrednosti kriterijumske funkcije

• Pošto je m=2=p, završavamo sa algoritmom sa rešenjem M = {B, H}.

GBFBEBDBCBBA ,i,,,,,,,,,


Mediane locirane u čvorovima B i H

Određivanje centara transportne mreže

• Pod problemima centra transportne mreže podrazumeva se pronalaženje lokacije jednog ili više objekata na mreži tako da se minimizira rastojanje (vreme putovanja) do najudaljenijeg korisnika

• Primeri: hitna pomoć, vatrogasci, stanice policije i dr

• Najkraći putevi između svih parova čvorova moraju biti unapred određeni, pre pnego što se primeni neki od algoritma za pronalaženje centra transportne mreže.


• Neka je x bilo koja tačka u mreži G (tačka x može biti locirana u bilo kom čvoru ili na bilo kom linku u mreži)

• f (x) - rastojanje između tačke x i čvora mreže G koji je najudaljeniji od tačke x

ixNi

dxf ,max

dx‚i - najkraće rastojanje

između tačke x i nekog čvora i

G = (N, A) - transportna mreža


• Neka je sa a € A označena proizvoljna grana (link) u mreži G

• Tačka xa na grani a naziva se lokalni centar grane a ako je za svaku tačku x € a ispunjeno

• Drugim rečima, rastojanje između lokalnog centra grane i čvora koji je najudaljeniji od njega manje je ili jednako rastojanju između bilo koje tačke na grani i odgovarajućeg najudaljenijeg čvora.

xfxf a


• Čvor j(c) naziva se centrom čvorova mreže G ukoliko je za svaki čvor i € N zadovoljen sledeći uslov

• Drugim rečima, rastojanje između centra čvorova i njemu najudaljenijeg čvora manje je ili jednako rastojanju između bilo kog čvora i odgovarajućeg najudaljenijeg čvora.

• Rastojanje od čvora koji predstavlja centar čvorova mreže do najudaljenijeg čvora je minimalno.

ifjf c )(


• Tačka x0 se naziva apsolutnim centrom mreže G ukoliko je za svako x € G zadovoljen uslov:

• tj. rastojanje između apsolutnog centra i njemu najudaljenijeg čvora manje je ili jednako rastojanju između bilo koje tačke i odgovarajućeg najudaljenijeg čvora.

xfxf 0

Algoritam za određivanje centra mreže

• Bazira se na određivanju lokalnih centara i sastoji se od sledećih koraka:

• Korak 1: za svaku granu a u mreži G odrediti odgovarajući lokalni centar xa

• Korak 2: od svih lokalnih centara xa izabrati onaj kome odgovara najmanja vrednost f (xa). Ovaj lokalni centar je ujedno i apsolutni centar x0 mreže G.


Primer transportne mreže za koju je potrebno odrediti :centar čvorova mreže i apsolutni centar mreže


• Dužine najkraćih puteva između svih parova čvorova date su matricom [ di,j]

0243

2062

4604

3205

5450

5E

D

C

B

A

d

EDCBA

ji

7

7

7

7


• Čvor koji od svih čvorova ima najmanju vrednost maksimuma vrednosti elemenata svoje vrste predstavlja lokaciju centra čvorova mreže.

• U našem slučaju centar čvorova mreže je čvor E.

0243

2062

4604

3205

5450

5E

D

C

B

A

d

EDCBA

ji

7

7

7

7 7

7

7

7

5

Pronalaženje lokalnog centra granePrimer: pronalaženje lokalnog centra grane (A, B)

Za sve tačke x koje se nalaze na grani (A,B) nacrtajmo funkcije najkraćih rastojanja dx,i između tačke x i nekog čvora i,za i=A,B,C,D,E

dx,i

Pronalaženje lokalnog centra grane

• ako stavimo da je x = 0 nalazimo se u čvoru A, a kada je x = 5 nalazimo se u čvoru B, tada je:

50, , xzaxd Ax

50,5 , xzaxd Bx

54z,1275

40z,4 , xaxx

xaxd Cx

50,725 , xzaxxd Dx

55.1z,835

5.10z,5 , xaxx

xaxd Ex

x

5-x

• dužina grane (A, B) je 5 jedinica


Drugi lokalni centar grane (A,B)

Prvi lokalni centar grane (A,B)

Funkcija f(x) ix

Nidxf ,max

dx,i


grana Funkcija f(x)

Lokalni centar

(A, B) f(xa) = 6 1 jedinica od čvora A ili 2 jedinice od čvora A

(A, E) f(xa) = 4.5 0.5 jedinica od čvora E

(A, C) f(xa) = 7 u čvoru A i čvoru C

(E, C) f(xa) = 5 u čvoru E

(B, E) f(xa) = 5 u čvoru E

(B, D) f(xa) = 6.5 1.5 jedinica od čvora B

(D, E) f(xa) = 5 U čvoru E

Lokalni centri pojedinih grana

Apsolutni centar mreže (korak 2)

• Zasniva se na pronalaženju lokalnog centra sa najmanjom vrednošću f(xa)

• U našem slučaju , čvor E ima najmanju vrednost f(xa) (f(xa) =5), zbog čega je on i apsolutni centar mreže.

Lociranje čvorva za pristup (access nodes) u telekomunikacionoj mreži

access nodes

Struktura telekomunikacione mreže

access nodes

POSTAVKA PROBLEMA• Posmatra se skup od N čvorova

(access nodes) koje treba povezati sa odgovarajućim čvorovima u jezgru mreže (core nodes) P, pri čemu je P<N.

• Problem -Problem - kako povezati pojedine access čvorove na core čvorove tako da cena mreže bude najmanja?

• Cilj je odrediti optimalne lokacije za core čvorove u mreži, uzimajući pri tome u obzir i troškove povezivanja (cene linkova) access i core čvorova.

POSTAVKA PROBLEMA

Pretpostavke:

1) lokacije svih access čvorova koje treba povezati u posmatranoj mreži unapred su poznate.

2) svaka od datih lokacija predstavlja potencijalnu lokaciju i za core čvorove.

3) svaki access čvor treba povezati sa po jednim core čvorem.

4) kapaciteti core čvorova su takvi da raspolažu dovoljnim brojem interfejsa potrebnim za povezivanje sa ostalim čvorovima.

5) čvorovi u core mreži međusobno su petljasto povezani – svaki sa svakim.

FORMULACIJA PROBLEMA

ILP – Integer Linear Programming (0/1)

Celobrojne binarne (0/1) promenljive:

,, ako je čvor povezan na čvor

, u suprotnom.i jaccess i core j

x

1

0

, ako je čvor dodeljen lokaciji ,

, u suprotnom.jcore j

y

1

0

, , gde je skup svih ( ) čvorova u mreži.i j N N access


ILP – Integer Linear Programming (0/1)

kapacitet čvora (broj portova),jK core j

- ukupan broj čvorova u jezgru mreže, P core P N

cena otvaranja čvora na lokaciji ,jw core j

, - cena povezivanja para čvorova ( , ) , , i jc i j i j N

, ( , )

, -

( , ) - rastojanje između čvorova i .

i jC dist i j

const

dist i j i j


KRITERIJUMSKA FUNKCIJA:

Cilj optimizacionog zadatka je minimiziranje ukupne cene mreže, koju čine troškovi povezivanja access i core čvorova + troškovi otvaranja (instalacije) core čvorova na pojedinim lokacjama.

, , N N N

i j i j j ji j i j

F c x w y min

1 1

, , , , , , ,..., .i j jx y i j N 01 1 2


OGRANIČENJA:

1) Svaki access čvor mora biti povezan sa po jednim core čvorem.

2) Svaki core čvor mora biti povezan sa najmanje jednim access čvorem i sa svim preostalim (P-1) core čvorovima (petljasto povezivanje):

3) Svaki core čvor može biti povezan sa najviše Kj access čvorova i sa svim preostalim core čvorovima,

, , , ,...N

i jjx i N

11 1 2

, , , ,..,N

i jix P j N

11 2

, , , ,...,N

i j jix K P j N

11 1 2


OGRANIČENJA:

4) Ukupan broj lokacija na kojima treba da budu postavljeni core čvorovi mora biti jednak P

5) Access čvorovi koji se nalaze na lokacijama dodeljenim core čvorovima moraju zadovoljavati uslov međusobne povezanosti

6) Ukupan broj linkova u mreži: po jedan link između svakog access i core čvora + P(P-1)/2 linkova u core mreži:

N

jj

y P

1

,

N

i iix P

1

, ( ) /N N

i ji j i

x N P P

1

1 2

REŠAVANJE ILP PROBLEMA

• Programski kod• Ulazni parametri:

N – ukupan broj access čvorova i njihove fizičke lokacije (koordinate), P - broj čvorova core mreže, K - kapacitet core čvorova (izražen brojem portova, odnosno access

čvorova koji se na njega mogu povezati), i w - cena otvaranja core čvora na posmatranoj lokaciji.

• Izlaz: optimalne lokacije core čvorova u mreži, optimalan skup linkova kojima se access čvorovi povezuju na

pojedine core čvorove, i optimalna vrednost cene mreže.

NUMERIČKI PRIMER• primer mreže sa N=20 access čvorova, čije

su lokacije generisane slučajno. • nezavisni eksperimenti sprovedeni su za

različiti broj core čvorova u mreži P (1< P<10),

• vrednosti ulaznih parametara:– kapaciteti svih core čvorova isti i

iznose Kj=K=20 portova (maksimalan broj access čvorova koji se mogu povezati na svaki core čvor),

– cena otvaranja (instalacije) core čvora na svakoj lokaciji je ista i iznosi wj=30n.j.

– cena povezivanja para čvorova (i,j), ci,j, zavisi samo od njihove međusobne fizičke udaljenosti, tj. parametri i u izrazu za cenu ci,j imaju vrednosti:

i 0 1

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

1

2

3

4

6

7

9

11

12

13

15

16

17

18

19

20

5

2

4

3

7

9

1118

16

1519

20

14

17

12

136

8

10

REZULTATI OPTIMIZACIJE - 1

• P=1 • P=2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

1

2

3

4

6

7

9

10

11

12

13

15

16

17

18

19

20

5

2

4

3

7

9

1118

16

1519

20

14

17

12

136

8

10

core čvor {10}

access čvorovi

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

13

15

16

17

18

19

20

1 5

2

4

3

7

9

18

16

1519

20

14

17

136

8

10

12

11

core čvorovi {11,12}

access čvorovi


• P=3 • P=4

core čvorovi {5,11,12}

access čvorovi

core čvorovi {8,10,11,12}

access čvorovi

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

15

16

17

18

19

20

1

2

4

3

7

9

18

16

1519

20

14

17

136

8

10

12

11

5

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

4

3

7

9

18

16

1519

20

14

17

136

5

12

10

11

8


• P=5 • P=6

core čvorovi {5,8,10,11,12}

access čvorovi

core čvorovi {5,8,10,12,14,15}

access čvorovi

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

4

3

7

9

18

16

1519

20

14

17

136

12

10

11

8

5

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

4

3

7

9

18

16

19

20

11

17

136

12

10

14

8

5

15


• P=5, K=20 • P=5, K=4


access čvorovi


access čvorovi

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

4

3

7

9

18

16

1519

20

14

17

136

12

10

11

8

5

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

4

3

5

9

18

16

11

19

20

14

17

136

12

10

8

7

15


• P=4, K=20, • P=4, K=20,


access čvorovi


access čvorovi

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

4

3

7

9

18

16

1519

20

14

17

136

5

12

10

11

8

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

5

10

15

20

25

30

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

2

4

3

5

9

18

16

19

20

11

17

136

14

8

7

15

10

12

i 0 1 , , 10 0 01


Broj core čvorova P

Lokacije core čvorova Vrednost krit. fun. F CPUvreme

1 10 207.1 2 s

2 11,12 193.1 8 s

3 5,11,12 222.5 43 s

4 8,10,11,12 266.1 9 min

5 5,8,10,11,12 318.2 18 min

6 5,8,10, 12,14,15 377.2 1,36 h

7 5,8,10,12, 14,15,20 448.8 48 min

8 5,8,10,12, 14,15,17,20 533.3 40 min

9 4,5,8,10,12, 14,15,17,20 635.1 32 min

10 4,5,7,8,10,12,14,15,17,20 753.3 29 min

N=20, K=20, w=30n.j. Broj promenljivih = 230. Broj ograničenja = 43.

Documents

Slajdovi sa predavanja