1

SNAGA POTROAA NAIZMENINE STRUJE

U sluaju vremenski promenljivih struja, snaga generatora i snaga prijemnika mogu biti pozitivne i negativne. Isto vai i za rad. Ako je snaga prijemnika negativna, on se ponaa kao generator. Kada je snaga generatora negativna, energija se iz mree dovodi generatoru.

Pored trenutne snage, u kolu naizmenine struje definiu se: srednja ili aktivna snaga, reaktivna snaga i prividna snaga.

Neka su trenutne vrednosti struje i napona prijemnika impedanse Z dati sa

tIti sin)( m=

)sin()( m += tUtu

Trenutna snaga koju prima prijemnik jednaka je:

)sin(sin)()()( mm +== ttIUtitutp

smenom UU 2m =

II 2m =

dobija se:

)sin()sin(2)( += ttUItp

Uvodei trigonometrijsku transformaciju:

( ) ( )[ ] += coscos21sinsin

sledi:

)2cos(cos)()()( +== tUIUItitutp

odnosno, razlikuju se konstantna i naizmenina komponenta (dvostruke uestanosti) trenutne vrednosti snage potroaa.

Kao to se vidi sa vremenskog dijagrama snage, kod vremenski promenjivih struja i napona,

elektrini element u delu periode prima energiju od izvora, a u delu perioda vraa energiju izvoru. Sa slike se vidi da elektrini element u nekim intervalima vremena radi kao potroa, a drugim vremenskim intervalima kao generator.

U intervalima vremena u kojima su u i i istog znaka, trenutna snaga prijemnika je p > 0 (energija pristupa prijemniku i u njemu se jednim delom pretvara u toplotu i druge vrste energije, a drugim delom se nalazi u magnetnom i elektrinom polju prijemnika).

U intervalima vremena u kojima su u i i suprotnog znaka, trenutna snaga prijemnika je p < 0 (energija prelazi od prijemnika ostatku kola - npr. generatoru, u prijemniku se obavljaju nepovratni procesi).

2

Aktivna (srednja) snaga definie se kao: TT

ttUIT

dttpT

P00

)2sin(21cos1)(1

+==

+++= )04sin(

21)4sin(

21cos1

TT

TTUI

TP

+=

cos

21cos

21cos1 TUI

TP

cos= IUP

Jedinica za aktivnu snagu je vat [W].

Za | | /2 aktivna snaga prijemnika je pozitivna i vea je to je manji ugao , tj. to je vei cos.

Sada se moe zakljuiti da trenutna vrednost snage osciluje sa srednjom vrednou cosUI i amplitudom UI .

Reaktivna snaga predstavlja maksimalnu snagu povratnih procesa.

sin= IUQ

Reaktivna snaga je pozitivna u sluaju preteno induktivnog prijemnika ( > 0), a negativna u sluaju preteno kapacitivnog prijemnika ( < 0).

Jedinica za reaktivnu snagu je volt amper reaktivni ili var [VAr] ili [var].

Deo energije koji se vraa izvoru je reaktivna energija. Srednja vrednost reaktivne energije je nula.

Reaktivna energija predstavlja nepovoljnu pojavu u kolima naizmenine struje. Prenos reaktivne energije u oba smera predstavlja rasipanje energije.

Faktor snage predstavlja meru energetskog kvaliteta nekog elementa (cos). Distributeri elektrine

energije uslovljavaju snabdevanje visokom vrednou faktora snage.

Postupak poveanja faktora snage naziva se kompenzacija. Najpoznatiji potroai reaktivne energije su elektromotori i transformatori. Sa druge strane, postoje i ureaji koji koriste reaktivnu energiju suprotnog smera, koji ponitavaju (kompenzuju) reaktivnu energiju. Najpoznatiji ureaji takvih osobina su kondenzatorske baterije koje se postavljaju na mestu potroaa, tako da se potroai snabdevaju potrebnom reaktivnom energijom za rad npr. motora, ali se ona i kompenzuje kondenzatorom, te reaktivna energija ne ide dalje od potroaa, odnosno ne prolazi kroz brojilo elektrine energije.

3

Prividna snaga prijemnika definie se kao proizvod efektivne vrednosti napona i struje prijemnika i obeleava se sa S:

IUS =

Jedinica za prividnu snagu je volt amper [VA].

Prividna snaga jednaka je maksimalnoj snazi prijemnika (za maksimalni faktor snage cos =1) i ima veliki znaaj.

Prividna snaga se obino daje kao karakteristika aparata i oznaava na njihovim ploicama.

Trougao snage. Slino trouglu impedanse mogue je nacrtati i trougao snage:

Iz trougla snage mogu se izvesti sledei izrazi: cos= SP

sin= SQ

22 QPS +=

Faktor snage cos sada se moe definisati kolinikom aktivne i prividne snage prijemnika:

SP

=cos

Izrazi za aktivnu i reaktivnu snagu prijemnika mogu se predstaviti u vie oblika:

cos= IUP

cos2 = IZP 2IRP =

sin= IUQ

sin2 = IZQ 2IXQ =

IUS =

2IZS =

4

1. Izmeu krajeva prijemnika je uspostavljen prostoperiodini napon efektivne vrednosti U = 220 V. Struja prijemnika je prostoperiodina efektivne vrednosti I = 22 A i fazno zaostaje za naponom za /6, pri emu su referentni smerovi za napon i struju usaglaeni. Odrediti snage prijemnika i faktor snage prijemnika.

Aktivna snaga: kW8.36

cos20220 = P .

Prividna snaga: kVA4.420220 =S .

Reaktivna snaga: kVAr2.26

sin20220 = Q .

Kako je: Q >0 preteno induktivni prijemnik.

Faktor snage: 865.023

6coscos ===

Faktor snage mogue je odrediti i iz odnosa: 865.0104.4108.3cos 3

3=

==

SP

2. Dva prijemnika su vezana na red i ukljuena u kolo naizmenine struje. Pod ovim okolnostima su prividne snage prijemnika S1 = 4 kVA i S2 = 5 kVA. Napon izmeu krajeva prvog prijemnika fazno prednjai struji prijemnika za 5/12, a struja fazno prednjai naponu izmeu krajeva drugog prijemnika za /3. Odrediti prividnu snagu redne veze ovih prijemnika.

Aktivna i reaktivna otpornost redne veze prijemnika su:

21 RRR += i 21 XXX += .

Mnoenjem ovih jednaina kvadratom efektivne vrednosti struje prijemnika, za aktivnu i reaktivnu snagu redne veze prijemnika dobija se:

21 PPP += 21 QQQ +=

Prividna snaga redne veze prijemnika je:

22 QPS +=

2

212

21 )()( QQPPS +++=

2

2212

12

2212

1 22 QQQQPPPPS +++++=

21212

22

22

12

1 22)()( QQPPQPQPS +++++=

221122112

22

1 sinsin2coscos2 SSSSSSS +++=

)sinsincos(cos2 2121212

22

1 +++= SSSSS

)cos(2 21212

22

1 ++= SSSSS

12/51 = 3/2 = kVA57.3=S

5

3. Redna veza otpornika otpornosti R i kondenzatora kapacitivnosti C je prikljuena na strujni generator prostoperiodine struje ]A[)3/500sin(20g += ti . Izraz za trenutnu snagu koju prima ova redna veza je: ]W[)4/1000cos(6.0 += tp . Odrediti otpornost R i kapacitivnost C.

Neka su izrazi za trenutne vrednosti prostoperiodine struje i i prostoperiodinog napona u: )sin( 1m += tIi

)sin( 2m += tUu Trenutna vrednost snage odreuje se kao: )sin()sin( 21mm ++== ttIUiup

[ ])2(cos)(cos21

2121mm ++= tIUp

[ ])22(cos)(cos 121 ++= tIUp [ ]{ } ++= )(2coscos 1tIUp ])(2cos[cos 1 ++= tSSp

])(2cos[ 1 ++= tSPp

Poreenjem dobijenog izraza sa izrazom za trenutnu snagu, koji je dat u zadatku, dobija se:

W6.0=P VA1=S

Kako je: 2gIRP =

( )232m2m2g 1020

6.022

2

==

==

IP

I

PIPR

= k3R

Iz izraza za prividnu snagu sledi: ( )2

22g

22

g22

g22 11

+=

+=+=

CRII

CRIQPS

2

4g

2

1

RIS

C

=

A2

10202

3m

g

==

II F6.0=C

1s500 =

6

4. Za kolo naizmenine struje prikazano na slici poznato je U = 220 V, I = 1 A, U2 = 220 V. Aktivna i reaktivna otpornost prvog prijemnika su R1 = 20 i X1 = 20 . Odrediti:

a) faktor snage drugog prijemnika, b) faktor snage celog kola.

a) === 2201

220I

UZ impedansa celog kola

=== 2201

22022 I

UZ impedansa drugog prijemnika

=+= 50212

11 XRZ impedansa prvog prijemnika

75.0tg1

11 == R

X = 8.361 fazna razlika napona i struje prvog prijemnika

2212

2122 )()( XXRRXRZ +++=+=

)cos(2 21212

22

1 ++= ZZZZZ

( ) 1136.02

cos21

22

21

2

21 =

=ZZ

ZZZ

Jednaina ima dva reenja: = 52.96)( 21

= 48.263)( 21

Odakle se dobija: 602

68.2262

Kako se fazna razlika napona i struje moe nalaziti samo u granicama /2, da bi aktivna snaga prijemnika bila pozitivna ( 0cos >= UIP ), odnosno da prijemnik ne bi radio kao generator, fazni ugao 2 mora zadovoljiti uslov:

22 2 = 602 5.0cos 2 =

b) 687.0cos

cos 22121 =+

=+

==Z

ZRZ

RRZR

7

5. Otpornik otpornosti R = 200 , kalem induktivnosti L = 2 mH i kondenzator kapacitivnosti C = 100 nF vezani su paralelno, a izmeu njihovih krajeva je uspostavljen prostoperiodini napon efektivne vrednosti U = 8 V, krune uestanosti = 105 s1 i poetne faze U = /4 prema usvojenom poetnom trenutku i referentnom smeru. Odrediti struju kojom se napaja ova paralelna veza.

= 200R === 20010210 35LX L

=

==

1001010010

1195C

X C

Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: mA40==RUI R

mA40==L

L XUI

mA80==C

C XUI .

Ekvivalentna struja se odreuje kao: 2y2

x III +=

Sa fazorskog dijagrama se moe videti da je: mA40Rx == II mA40LCy == III

mA56mA240 ==I

Takoe, sa fazorskog dijagrama se oitava da je: 1R

CL =

=I

IItg

4 =

Fazni ugao se definie kao razlika poetnih faza napona i struje, odnosno:

IU =

I44 = 0I =

8

6. Paralelna veza, prikazana na slici, prikljuena je na napon U = 100 V. Odrediti struje pojedinih paralelnih grana i ukupnu struju kola, ako je: Z1 = 25.67 , 1 = 8 1032 i Z2 = 61.46 , 2 = 85020.

A9.31

1 == ZUI

A63.12

2 == ZUI

Sa vektroskog dijagrama struja i napona u kolu sledi:

A70.0)0285cos(63.1)2381cos(9.3coscos 2211 =+=+= III x

A48.5)0285sin(63.1)2381sin(9.3sinsin 2211 =+=+= III y

A52.52y2

x =+= III

3482arctgx

y ==II

9

7. Otpornik otpornosti R vezan je paralelno jednom elementu nepoznatih karakteristika. Ova paralelna veza je prikljuena na prostoperiodini napon intenziteta: ]V[)6/4000sin(120 = tu . Intenzitet struje grane napajanja je: ]A[)6/4000sin(6 += ti , pri emu su referentni smerovi za struju i napon usaglaeni. Odrediti otpornost R i parametre nepoznatog elementa.

]V[6

4000sin120

=

tu

]A[6

4000sin6

+=

ti

Fazna razlika napona i struje napajanja paralelne veze je: 366IU ===

Obzirom da fazna razlika napona i struje ima negativnu vrednost, celo kolo je kapacitivnog karaktera, odnosno nepoznati element je kondenzator.

Fazorski dijagram struja i napona paralelne veze otpornika i kondenzatora dat je na slici: Iz izraza za trenutne vrednost struje i napona imamo:

A24.42

62m ===

II

V85.842

1202m ===

UU

Sa fazorskog dijagrama sada sledi:

A12.221

2660cos

26cosR ==== II

== 40RI

UR

A67.323

2660sin

26sinC ==== II

== 12.23C

C IUX

C

X1

C = F82.1012.23400011

C=

=

=

XC

.

10

8. Dva prijemnika su vezana paralelno i prikljuena na prostoperiodini napon. Pod ovim okolnostima su: aktivna snaga prvog prijemnika P1 = 100 W, efektivna vrednost struje drugog prijemnika I2 = 1 A, faktor snage drugog prijemnika cos2 = 0.8, efektivna vrednost struje napojne grane I = 1.5 A i faktor snage paralelne veze prijemnika cos = 0.9. Drugi prijemnik, a i paralelna veza oba prijemnika su, pod datim okolnostima, preteno induktivni. Odrediti:

a) efektivnu vrednost struje prvog prijemnika, b) faktor snage prvog prijemnika, c) efektivnu vrednost prikljuenog napona.

a) 21 PPP += 21 QQQ +=

2211 coscoscos UIUIUI += (1)

2211 sinsinsin UIUIUI += (2)

2211 coscoscos III = 2211 sinsinsin III =

222

22222

122

1 coscoscos2coscos IIIII +=

222

22222

122

1 sinsinsin2sincos IIIII +=

)sinsincos(cos2 2222

222

1 ++= IIIII

)sinsincos(cos2 2222

22

1 += IIIII

)cos(2 222

22

1 += IIIII

8.0cos 2 = = 87.362

9.0cos = = 84.25

A553.01 =I

b) Iz jednaine (1) dobija se : 1553.055.0

553.08.019.05.1coscoscos

1

221 =

=

=

III

c) 111 cosUIP = V81.181

553.055.0553.0

100cos 11

1 =

==I

PU

11

9. Dva prijemnika su vezana paralelno i prikljuena na strujni generator prostoperiodine struje. Prvi prijemnik je preteno induktivan, a drugi preteno kapacitivan. Faktor snage prvog prijemnika je cos 1 = 0.8, a faktor snage drugog prijemnika je cos 2 = 0.9. Efektivna vrednost struje prvog prijemnika je tri puta manja od efektivne vrednosti struje drugog prijemnika.

a) Odrediti faktor snage celog kola. b) Ispitati da li je kolo preteno kapacitivno ili preteno induktivno.

S obzirom na karakter dva praralelno vezana prijemnika moe se nacrtati vektorski dijagram:

)ind(8.0cos 1 = = 87.361 )cap(9.0cos 2 = = 84.252

32

1II =

2y

2x III +=

2211 coscos III x +=

2211 sinsin III y +=

U raunu su uzete apsolutne vrednosti uglova, odnosno samo njihove brojne vrednosti bez obzira na znak.

2y

2x

2 I+= II

2121222

2122

12121222

2122

12 sinsin2sinsincoscos2coscos IIIIIIIII ++++=

)cos(2 21212

22

12 +++= IIIII

)84.2587.36cos(32)3( 112

12

1 +++= IIIII

+= 71.62cos610 212

1 III

+= 71.62cos6101II

157.3 II =

98.057.3

9.038.0cos3coscoscoscos 21112211x =+=+

=+

==I

III

III

I

Pod datim okolnostima, kolo je preteno kapacitivno.

12

10. Za kolo prikazano na slici poznate su: efektivna vrednost prikljuenog prostoperiodinog napona U = 50 V, kao i efektivne vrednosti struje svih grana I = 1 A, I1 = 1 A i I2 = 1 A. Odrediti aktivnu i reaktivnu snagu celoga kola.

Vektorski dijagram struja dva paralelno vezana prijemnika moe se predstaviti na sledei nain:

22yx III +=

Prvi prijemnik je isto kapacitivnog karaktera, te struja I1 fazno prednjai u odnosnu na napon za ugao = 901

(kao to se to vidi sa slike), odnosno bie:

22x cosII =

221 sinIII y =

222

22212

122

2 sinsin2cos IIIIII ++=

2212

22

1 sin2 IIIII +=

21

2sin

21

222

21

2 =+

=II

III

== 3062

W325coscos 221121 =+=+= UIUIPPP

VAr25sinsin 221121 =+=+= UIUIQQQ