Sơ lược về cách ra bài và giải đáp SUDOKU

Tô Đồng

Lời nói đầu Tiếp theo "Vài nét về Sudoku", viết về một puzzle đặc sắc của thế kỷ 21, tác giả xin trình bầy thêm khía cạnh thực tiễn của trò giải trí này. Phải nói là sơ lược, vì trên mạng lưới toàn cầu, những bài về sự sắp xếp các con số trong lưới Ô-số, nhất là cách giải đáp Sudoku 9x9 thật đã quá đầy đủ cả về lý thuyết lẫn thực hành. Trong Ô-số Sudoku 9x9, người ta cho biết vị trí của một số con số cho sẵn trong tổng số 81 ô vuông của lưới (grid, grille). Mổi ô (O, cell, cellule) chứa một con số có thể là 1, hay 2, 3... cho đến 9. Ta phải điền vào các ô trống còn lại sao cho ra một Sudoku, mà chín hàng ngang (N, row/line, rangée), chín cột dọc (D, column, colonne) và chín khu/vùng nhỏ (K, box/region, région) là những tập hợp (set, ensemble) đều chứa đủ 9 con số, từ 1, 2, 3 cho đến 9. Các tập hợp N, D cắt nhau ở một ô, trong khi N, D có chung với K ba ô liên tiếp. N, D, K được đánh dấu theo thứ tự từ trái sang phải, trên xuống dưới. Thí dụ N2 là hàng ngang thứ nhì, D4 là cột dọc thứ tư, O93 là ô nằm trên hàng ngang 9 và cột dọc 3. Lời giải sẽ do sự tìm kiếm các con số đặt/viết vào ô trống, và thử nghiệm lại sao cho các điều kiện trên được thỏa mãn. Nếu các số cho sẵn càng nhiều thì càng dễ kiếm Sudoku, nhưng nếu quá ít và lại đặt vào các ô đặc biệt thì rất khó tìm lời giải.

Ra bài Ô-số

Để giữ tính cách phổ thông/giải trí, và để dễ kiểm chứng, bài Ô-số chỉ có một lời giải duy nhất. Như vậy, nếu bài đố cho ra nhiều đáp số, ta cần xác định thêm vị trí của một vài con số là đáp ứng được nguyên tắc này. Hình 1 là Ô-số #1 thuộc loại khó, có 23 con số cho trước. Ô-số này cho hai bài giải 1 và 2, mà tổng cộng 9 con số cùa hai đường chéo chính là 41-57 và 43-52, được mô tả trong Hình 2 và Hình 3. Các hình này có bốn ô chứa hai cặp đôi 79 (in đậm) là nguyên nhân. Nếu ta xác định vị trí tương ứng của 7 hay 9 thì chỉ còn một lời giải.

1

8

9 4 6 3

7 1 8

5

4 2

6 8 9 7

3 1 4

8 5

5 6 3Hình 1 (Ô-số #1, 23 số cho trước)

8 1 6 7 9 3 5 2 4

5 9 4 6 2 8 1 3 7

7 3 2 4 1 5 8 9 6

2 4 5 1 8 7 3 6 9

9 7 1 3 4 6 2 8 5

6 8 3 9 5 2 4 7 1

3 5 9 2 6 1 7 4 8

1 6 7 8 3 4 9 5 2

4 2 8 5 7 9 6 1 3Hình 2 (Bài giải 1, Ô-số #1, 41-57)

2

8 1 6 7 9 3 5 2 4

5 9 4 6 2 8 1 3 7

7 3 2 4 1 5 8 9 6

2 4 5 1 8 7 3 6 9

9 7 1 3 4 6 2 8 5

6 8 3 9 5 2 4 7 1

3 5 7 2 6 1 9 4 8

1 6 9 8 3 4 7 5 2

4 2 8 5 7 9 6 1 3Hình 3 (Bài giải 2, Ô-số #1, 43-52)

Nếu ta thêm con số 7 vào Ô-số #1 trong K7, thí dụ ô O93, ta được Ô-số #2 (Hình 4), loại 24 số cho trước. Ô-số #2 chỉ có một đáp số duy nhất (Hình 5):

8

9 4 6 3

7 1 8

5

4 2

6 8 9 7

3 1 4

8 5

7 5 6 3Hình 4 (Ô-số #2, 24 số cho trước)

3

8 1 2 3 5 7 4 9 6

5 9 4 6 2 8 7 3 1

7 3 6 4 1 9 8 2 5

2 4 5 7 8 6 3 1 9

9 7 3 1 4 5 2 6 8

6 8 1 9 3 2 5 7 4

3 5 8 2 6 1 9 4 7

4 6 9 8 7 3 1 5 2

1 2 7 5 9 4 6 8 3Hình 5 (Bài giải duy nhất, Ô-số #2, 43-52)

Cũng vậy, nếu ta thêm con số 7 vào Ô-số #1 trong K 7, vào O92, ta sẽ được Ô-số #3 (Hình 6) với một bài giải duy nhất (Hình 7):

8

9 4 6 3

7 1 8

5

4 2

6 8 9 7

3 1 4

8 5

7 5 6 3Hình 6 (Ô-số #3, 24 số cho trước)

4

8 1 6 3 5 2 4 9 7

5 9 4 6 7 8 1 3 2

7 2 3 4 1 9 8 6 5

2 4 5 7 8 6 3 1 9

9 3 7 1 4 5 2 8 6

6 8 1 9 2 3 5 7 4

3 5 9 2 6 1 7 4 8

4 6 2 8 3 7 9 5 1

1 7 8 5 9 4 6 2 3Hình 7 (Bài giải duy nhất, Ô-số #3, 49-53)

Nhưng nếu ta thêm con số 7 vào Ô-số #1 trong K 7, vào O83, ta sẽ được Ô-số #4 (Hình 8) và rất nhiều bài giải (Hình 9,10,... 16):

8

9 4 6 3

7 1 8

5

4 2

6 8 9 7

3 1 4

7 8 5

5 6 3Hình 8 (Ô-số #4, 24 số cho trước)

5

8 1 3 4 7 9 5 2 6

5 9 4 6 2 8 1 3 7

7 2 6 3 1 5 8 9 4

4 7 5 1 8 2 3 6 9

9 3 1 7 4 6 2 8 5

6 8 2 9 5 3 4 7 1

3 5 9 2 6 1 7 4 8

1 6 7 8 3 4 9 5 2

2 4 8 5 9 7 6 1 3Hình 9 (Bài giải 1, Ô-số #4, 46-49)

8 3 1 4 7 9 5 2 6

5 9 4 6 2 8 1 3 7

7 2 6 3 1 5 8 9 4

4 7 5 1 8 2 3 6 9

9 1 3 7 4 6 2 8 5

6 8 2 9 5 3 4 7 1

3 5 9 2 6 1 7 4 8

1 6 7 8 3 4 9 5 2

2 4 8 5 9 7 6 1 3Hình 10 (Bài giải 2, Ô-số #4, 46-49)

6

8 1 3 4 9 7 5 2 6

5 9 4 6 2 8 1 3 7

7 2 6 3 1 5 8 9 4

4 7 5 1 8 2 3 6 9

9 3 1 7 4 6 2 8 5

6 8 2 9 5 3 4 7 1

3 5 9 2 6 1 7 4 8

1 6 7 8 3 4 9 5 2

2 4 8 5 7 9 6 1 3Hình 11 (Bài giải 3, Ô-số#4, 46-49)

8 3 1 4 9 7 5 2 6

5 9 4 6 2 8 1 3 7

7 2 6 3 1 5 8 9 4

4 7 5 1 8 2 3 6 9

9 1 3 7 4 6 2 8 5

6 8 2 9 5 3 4 7 1

3 5 9 2 6 1 7 4 8

1 6 7 8 3 4 9 5 2

2 4 8 5 7 9 6 1 3Hình 12 (Bài giải 4, Ô-số #4, 46-49)

7

8 1 3 4 7 9 5 2 6

5 9 4 6 8 2 1 3 7

7 2 6 3 1 5 8 9 4

4 7 5 1 2 8 3 6 9

9 3 1 7 4 6 2 8 5

6 8 2 9 5 3 4 7 1

3 5 9 2 6 1 7 4 8

1 6 7 8 3 4 9 5 2

2 4 8 5 9 7 6 1 3Hình 13 (Bài giải 5, Ô-số #4, 46-55)

8 3 1 4 7 9 5 2 6

5 9 4 6 8 2 1 3 7

7 2 6 3 1 5 8 9 4

4 7 5 1 2 8 3 6 9

9 1 3 7 4 6 2 8 5

6 8 2 9 5 3 4 7 1

3 5 9 2 6 1 7 4 8

1 6 7 8 3 4 9 5 2

2 4 8 5 9 7 6 1 3Hình 14 (Bài giải 6, Ô-số #4, 46-55)

8

8 1 3 4 9 7 5 2 6

5 9 4 6 8 2 1 3 7

7 2 6 3 1 5 8 9 4

4 7 5 1 2 8 3 6 9

9 3 1 7 4 6 2 8 5

6 8 2 9 5 3 4 7 1

3 5 9 2 6 1 7 4 8

1 6 7 8 3 4 9 5 2

2 4 8 5 7 9 6 1 3Hình 15 (Bài giải 7, Ô-số #4, 46-55)

8 3 1 4 9 7 5 2 6

5 9 4 6 8 2 1 3 7

7 2 6 3 1 5 8 9 4

4 7 5 1 2 8 3 6 9

9 1 3 7 4 6 2 8 5

6 8 2 9 5 3 4 7 1

3 5 9 2 6 1 7 4 8

1 6 7 8 3 4 9 5 2

2 4 8 5 7 9 6 1 3Hình 16 (Bài giải 8, Ô-số #4, 46-55)

Vì có 3 cặp đôi hoán vị được, nên có tất cả 23=8 lời giải trong hai nhóm, nhận biết/phân biệt qua trị số của hai đường chéo chính, là 46-49 và 46-55.

9

Ta có thể tạo những Ô-số với các dạng ngoạn mục, thí dụ #5, #6 (Hình 17, 18), và nhiều khi phải thêm bớt / đổi chỗ một vài con số để có một lời giải.

5 2

7 2 5 6 3

6 4

4

1 9 7 5

1

7 8

1 6 8 2 9

8 3 Hình 17 (Ô-số #5, có tính ma phương)

1 9

4 5 9 1 3 6

7 2

8

4 1 2

3

6 1

3 4 5 9 8 7

2 6 Hình 18 (Ô-số #6)

10

Tóm lại, tùy sự sắp xếp, ta có thể có Ô-số #7 không lời giải (Hình 19), Ô-số #8 nhiều lời giải (Hình 20), Ô-số #9 (Hình 21) có lời giải duy nhất.

2

2 7 8

9 1

1 6

1 9 8 5 7 3 4

4 9

2 8

4 6 5

4

Hình 19 (Ô-số #7, không lời giải)

2

2 7 8

9 1

1 6

1 9 8 5 6 3 4

4 9

2 8

4 9 5

4

Hình 20 (Ô-số #8, nhiều lời giải)

11

8

9 6 4

1 3

4 1

7 5 8 9 4 1 3

8 3

5 6

7 2 5

3

Hình 21 (Ô-số #9, một lời giải)

Giải bài Ô-số Cách giải một Ô-số dựa vào sự suy luận hợp lý, để kiếm từng bước một, các con số khả dụng cho mỗi ô, sẽ được trình bầy sơ lược sau đây. Riêng những phương thức thực hiện có hệ thống, phức tạp vì mỗi ô trống lúc đầu đủ 9 con số, với các định luật riêng e.g. XYZ-Wing, XY-Chain, Swordfish, Jellyfish... ta có thể tìm học qua mạng lưới trong phần thư mục. Những con số khả dụng cho mạng/lưới (grid, grille) của Ô-số, tạm gọi là số tuyển (candidate, candidat), có thể là: 1- số đơn độc (singlets, candidat unique), chỉ thấy ở một ô duy nhất 2- cặp đôi (doublets, paire unique) chỉ thấy trong hai ô duy nhất 3- cặp/bộ ba (triplets, triplet unique) chỉ thấy trong ba ô duy nhất 4- cặp/bộ bốn (quadruplets, quadruplet unique) chỉ thấy ở bốn ô duy nhất của một tập hợp N, D, K. Cặp bốn rất ít giá trị tiên liệu. 1) Trước hết là tuyển các số đơn độc để điền vào các ô thích hợp, thí dụ số 4 trong Hình 22: theo thứ tự O44, O16, O75, O27, và O33....Trong K5, O44 là ô trống duy nhất mà ta có thể điền vào số 4, vì N5, N6 đã chứa số 4. Trên

12

N1, O16 là ô trống duy nhất cho 4, vì các D của các ô trống khác đều đã chứa 4... Vị trí của 9 con số 4 đã được xác định. Đây là sự rút gọn/loại trừ theo đường thẳng hay chữ thập (reduction by cross, réduction/élimination par croix).

7 6 8 5

5

1 9

7 5 8

9 4

4 5 8 7 6

1 2

4 9 8

2 4

7 6 8 4 5

5 4

4 1 9

4 7 5 8

9 4

4 5 8 7 6

1 4 2

4 9 8

2 4

Hình 22 Hình 23

2) Tìm các số đơn độc để điền vào các ô trống trong một hàng ngang, thí dụ 1, 2, 4, 5 trong N4 của Hình 24: 1 ở O47 vì D7 đã có 2, 4, 5 ; 2 ở O43 vì K6 và C1 đã có 2; 5 ở O49 vì C9 đã có 4; chỉ còn lại 4 ở O41.

2 4

5

8 9 3 6 7

2

4

2 4

5

4 8 2 9 3 6 1 7 5

2

4

Hình 24 Hình 25

13

3) Tìm các số đơn độc để điền vào các ô trống trong một cột dọc, thí dụ số 5, 6, 9 trong D6 của Hình 26: 9 ở O66 vì N5 đã có 5, 6; 5 ở O76 vì N6 có 1, 6; và còn lại là 6 ở O86.

2 4

7

3

8

5 6 9

1 5 6

4

6 9

9

2 4

7

3

8

5 6 9

1 5 6

4

6 9

9

Hình 26 Hình 27 4) Kiếm cặp đôi để điền vào 2 ô thích hợp. Thí dụ trong K4 (Hình 24): cặp 1, 5 chỉ có thể ở O43, O63, vì 1, 5 nằm trên N5, tiếp theo là số 2 đơn độc ở O53, còn lại là cặp đôi 3, 6 cho 2 ô O51, O52. Những cặp đôi này chỉ được giải đáp sau những tìm tòi kế tiếp.

2 8 7 4

2 8

3 5

4 9 15 8

36

36 2 1 5

7 8 15 3 6

8 7

2 6

2 8 7 4

2 8

3 5

4 9 8 1 5

7 8 3 6

8 7

2 6

Hình 28 Hình 29

14

5) Tìm cặp ba để điền vào 3 ô trống liên hệ, đồng thời với các bước đã xác định số đơn độc và số cặp đôi, thí dụ cặp ba 2, 8, 9 ở D8 trong Hình 31.

2 4

3

7 6 4 5

8 6 1

2 1 4

7

6 5 1

1 3 8

4 8 9 Hình 30 (Ô-số #10)

2 4 89 13

3 7 289

7 6 4 5 289 13

8 6 1 25

2 1 89 4

89 7 25

6 38 38 5 1

1 64 64 3 56 8

4 8 56 9 Hình 31 (Ô-số #10, với các cặp đôi, cặp ba..)

15

6) Bài giải Ô-số #10 trong Hình 32 sau đây, được mô tả bằng các bước liên tiếp, ghi như số mũ mầu đỏ, của số mới tuyển in mầu xanh. Thứ tự các bước này có thể thay đổi, kể cả sự xác định lần hồi số đơn độc, số cặp đôi và số cặp ba. Thí dụ các cặp trong cột dọc, hay đường ngang như D8 có 5, 6, D9 có 1, 3, rồi 2, 5, D7 có 8, 9, N7 có 3, 8... D8 có 2, 8, 9... Tất cả 58 bước xác định 58 con số phải tìm trong 81 ô, đã có 23 con số cho sẳn.

957 346 558 2 628 726 4 831 142 444 143 214 539 3 830 79 956 629 832 7 6 140 927 4 5 215 341 751 445 953 348 8 554 6 1 213 552 2 833 750 1 636 938 36 4 349 62 13 447 212 955 837 7 520

6 834 335 921 5 211 1 44 78

1 922 716 619 418 3 27 523 8 210 525 4 8 717 11 35 624 9

Hình 32 (Ô-số #10, cách giải với các bước liên tiếp)

16

Lời kết

Sudoku 9x9 có số lượng quá nhiều nên tạo ra các Ô-số thuộc đủ loại khó dễ. Ta cũng không biết số tối thiểu cho sẵn trong bài đố là bao nhiêu để có lời giải đáp thỏa đáng, 17, 18 hay 19? Có người còn gom chồng năm ba Ô-số tạo nên những Ô-số lớn, hình thù đặc biệt, quái dị, để trò chơi trở nên phức tạp, mất hẳn tính giải trí thư giãn. Người ta cho rằng không nên phỏng đoán, mà phải dùng sự suy luận chính xác để tìm lời giải. Trên thực tế, chỉ cần dùng sự rút-gọn/loại-trừ con số y hệt trong các tập hợp liên hệ theo đường thẳng, song song hay chữ thập, để tìm các số tuyển thích hợp, mà không cần dựa vào các định luật rắc rối. Ta có thể từng bước một, điền vào các ô trống trước hết là các số đơn độc, đến các số cặp đôi, cập ba... Không nên dùng cặp bốn vì ít giá trị tiên liệu, trừ trường hợp vạn bất đắc dĩ. Các số cặp này, nếu tìm đúng, sẽ làm giảm số lượng các ô trống của tập hợp liên hệ, để sự tìm kiếm các số còn lại dễ dàng hơn. Cứ như thế tiếp tục cho đến một bước mà con số đơn độc khác mới kiếm ra làm lộ ngay trị số của số cặp. Tuy nhiên, 'trăm hay không bằng tay quen', sự tìm kiếm và kiểm nghiệm Sudoku chỉ dễ dàng nếu ta có đôi chút kinh nghiệm. Loại dễ làm mất 5, 10 phút, loại khó có khi cả tiếng đồng hồ. Lại nữa, trò chơi nào, không nhất thiết là khó dễ, cầu kỳ hay giản dị, cũng chỉ có giá trị nếu nó mang lại tính cách thư giãn, giải trí, vui qua thì giờ cho người tham dự. Sự may rủi thường gắn liền với bất cứ trò chơi nào. Với Sudoku, khi gặp trường hợp sự tìm kiếm tới lúc vô hiệu, ta phải lựa chọn 1 trong hai con số của cặp đôi, hay phải thử 1 trong ba con số của cặp ba, v..v... ví như một trò chơi sấp ngửa, gieo súc xắc...rồi từ bước ấy tiếp tục xem có được kết quả khả tín, hay chỉ tới một sự tắc nghẽn, thí dụ một tập hợp bỗng có 2 con số y hệt, hay thiếu hẳn một con số? May mắn chọn đúng thì Ô-số khó trở thành dễ, không thì dễ trở thành khó, vì phải đoán lại từ đầu. Như những Ô-chữ, môn đố vui Sudoku này có thể tồn tại lâu dài với thời gian. Tác giả xin ghi trong phần thư mục một ít tài liệu liên hệ, và một số tâm-mạng của lưới toàn cầu về môn Sudoku.

17

Thư Mục:

1) Will Shortz (2006):

Sudoku for Stress Relief St. Martin's Griffin, New York

2) A huge collection of the 21st Century's Hottest Puzzle 1001 Sudoku (2005): Thunder's Mouth Press, New York

Mạng Lưới:

1. Wikipédia, Encyclopédie libre: http://fr.wikipedia.org/wiki/Sudoku

2. Résoudre une grille de Sudoku: http://naxos.fr.free.fr/sudoku/hints.html

3. Mots-croisés.ch (Technique de résolution du Sudoku): http:/www.mots-croises.ch/Manuels/Sudoku/technique.htm

4. L'Internaute>Savoir (10 Techniques de Sudoku): http:/www.linternaute.com/savoir/sudoku/1.shtml

San Diego, 14 tháng 9, 2007

18