Embed Size (px)
DESCRIPTION
Citation preview
THANH TÙNG 0947141139
1
CHUYÊN ðỀ : SỐ PHỨC
Bài tập mẫu
Bài 1. Hãy viết các biểu thức sau dưới dạng số phức a bi+ ( , )a b∈�
1. 2(2 3 )
(1 2 )(3 ) 4 21
iA i i i
i
+= + − − + −+
2. 1 3 1 2
1 2 1
i i iB
i i i
+ − += + −− − +
3. 5 6
3 5
(2 ) (1 )
(1 2 ) (1 )
i iC
i i
+ += −− −
4. 2012 2013 2012 2013(1 ) (1 )D i i i i= − − − + +
Giải:
1. 2(2 3 ) 2(2 3 )(1 )
(1 2 )(3 ) 4 2 (3 2) ( 1 6) 4 21 (1 )(1 )
i i iA i i i i i
i i i
+ + −= + − − + − = + + − + − + −+ + −
2 2
2(5 )5 5 4 2 5 5 (5 ) 4 2
1 1
ii i i i i
+= + − + − = + − + + − =+
4 2i+
2. 21 3 1 2 (1 ) (3 )(2 ) (1 2 )(1 )
1 2 1 (1 )(1 ) (2 )(2 ) (1 )(1 )
i i i i i i i iB
i i i i i i i i i
+ − + + − + + −= + − = + −− − + − + − + + −
2 7 3 7 3 1 1
12 5 2 5 2 5 2
i i ii
+ + = + − = − + + − =
1 7
10 10i− +
3.3 55 6
23 5
(2 ) (1 ) 2 1.(2 ) .(1 )
(1 2 ) (1 ) 1 2 1
i i i iC i i
i i i i
+ + + + = − = + − + − − − −
53 2(2 )(1 2 ) (1 ).(3 4 ) .(1 )
5 2
i i ii i
+ + + = + − +
3 5
3 55 2.(3 4 ) .(1 ) .(3 4 ) (1 ) (3 4 ) (1 )
5 2
i ii i i i i i i i i i
= + − + = + − + = − + − + = 5 4i−
4.1006 10062012 2013 2012 2013 2 1006 2 1006 2 2(1 ) (1 ) ( ) ( ) . (1 ) (1 ) (1 )D i i i i i i i i i i = − − − + + = − − − + + +
1006 1006 1006 1006 1006 1006 2 503( 1) ( 1) . ( 2 ) (2 ) .(1 ) 1 (2 ) . 1 2 .( ) .i i i i i i i i i i= − − − − − + + = − + = − + = 10061 (1 2 )i− +
THANH TÙNG 0947141139
2
Bài 2. Cho số phức 1
1
iz
i
+=−
. Tính giá trị của biểu thức: 20132A iz= + .
Giải: Ta có: 21 (1 ) 2
1 2 2
i i iz i
i
+ += = = =−
2013 2013 2 1006 1006( ) . ( 1) .z i i i i i⇒ = = = − =
2013 22 2 2 1A iz i⇒ = + = + = − = 1. Vậy 1A =
Bài tập áp dụng 1) Tính các giá trị biểu thức sau:
1
1 32 2
A
i
=+
( ) ( )2 2
1 3 1 3B i i= + + − 2 2011 20121 ...C i i i i= + + + + +
100(1 )D i= − 16 8
1 1
1 1
i iE
i i
+ − = + − + 105 23 2012 34F i i i i= + + −
2) Cho số phức 1
1
iz
i
−=+
. Tính giá trị của 2013z .
3) Cho số phức 3 1
2 2z i= − . Tính các số phức sau: ( )3
2 2; ; ;1z z z z z+ + .
DẠNG 2: SỐ PHỨC VÀ CÁC ðẠI LƯỢNG ðẶC TRƯNG
THANH TÙNG 0947141139
3
Bài tập mẫu
1. (D – 2012) Cho số phức z thỏa mãn 2(1 2 )
(2 ) 7 81
ii z i
i
++ + = ++
. Tìm môñun của số phức 1w z i= + + .
Phân tích :
+) ðiều kiện 2(1 2 )
(2 ) 7 81
ii z i
i
++ + = ++
chỉ chứa z nên ta thực hiện các phép toán z a bi⇒ = +
+) Suy ra 1w z i= + + w⇒
Giải: Ta có: 2(1 2 )
(2 ) 7 81
ii z i
i
++ + = ++
2(1 2 )(1 )
(2 ) 7 8(1 )(1 )
i ii z i
i i
+ −⇔ + + = ++ −
2(3 )
(2 ) 7 82
ii z i
+⇔ + + = +
(2 ) 4 7i z i⇔ + = +
4 7 (4 7 )(2 ) 15 103 2
2 5 5
i i i iz i
i
+ + − +⇔ = = = = ++
2 21 3 2 1 4 3 4 3 5w z i i i i w⇒ = + + = + + + = + ⇒ = + = .
Vậy 5w =
THANH TÙNG 0947141139
4
2. ( A – 2010-NC): Cho số phức z thỏa mãn: 3(1 3 )
1
iz
i
−=−
. Tìm môñun của số phức z iz+ .
Phân tích :
+) ðiều kiện 3(1 3 )
1
iz
i
−=−
chỉ chứa z nên ta thực hiện các phép toán z a bi z a bi⇒ = + ⇒ = −
+) Suy ra z iz+ z iz⇒ +
Giải:
Ta có: 3 2 3(1 3 ) 1 3 3 3( 3 ) ( 3 ) 1 3 3 9 3 3 8 8(1 )
4 41 1 1 1 2
i i i i i i iz i
i i i i
− − + − − − + − − += = = = = = − −− − − −
Vậy 4 4 4 4z i z i= − − ⇒ = − + 2 24 4 ( 4 4 ) 8 8 8 8 8 2z iz i i i i⇒ + = − − + − + = − − = + = hay 8 2z iz+ =
3. (A, A1 – 2012 – NC): Cho số phức z thỏa mãn 5( )
21
z ii
z
+ = −+
. Tính môñun của số phức 21w z z= + + .
Phân tích :
+) Trong ñiều kiện 5( )
21
z ii
z
+ = −+
chứa ñồng thời zvà z nên gọi z a bi= + ( , )a b R∈
+) Từ ñiều kiện 5( )
21
z ii
z
+ = −+
biến ñổi về dạng 21 2
?1
?
az z z w z z w
b
== ⇒ ⇒ ⇒ = + + ⇒ =
Giải: +) Gọi z a bi= + ( , )a b R∈ , 1z ≠ −
+) Khi ñó: 5( )
2 5( ) ( 1)(2 ) 5( ) ( 1)(2 )1
z ii z i z i a bi i a bi i
z
+ = − ⇔ + = + − ⇔ − + = + + −+
(* )
(* ) 5 5( 1) (2 2 ) ( 1 2 )a b i a b a b i⇔ − − = + + − + −5 2 2 3 2 1
5( 1) 2 1 7 6 1
a a b a b a
b a b a b b
= + + − = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − + − = − =
⇒ 2 2 2 21 1 1 1 (1 ) 2 3 2 3 13z i w z z i i i w= + ⇒ = + + = + + + + = + ⇒ = + = . Vậy 13w =
4. ( D – 2010): Tìm số phức z thỏa mãn: 2z = và 2z là số thuần ảo.
Phân tích :
+) Trong ñiều kiện 2z = chứa z nên gọi z a bi= + ( , )a b R∈
+) Từ hai ñiều kiện 2z = và 2z là số thuần ảo 1
2
( , ) 0 ?
( , ) 0 ?
f a b az
f a b b
= = ⇒ ⇔ ⇒ = =
Giải:
+) Gọi z a bi= + ( , )a b R∈ 2 2 2 22 2 2z a b a b⇒ = ⇔ + = ⇔ + = (1)
+) Ta có: 2 2 2 2( ) 2z a bi a b abi= + = − + là số thuần ảo 2 2 0a b⇒ − = 2 2b a⇔ = (2)
THANH TÙNG 0947141139
Thay (2) vào (1): 2 1 12 2
1 1
a ba
a b
= ⇒ = ±= ⇔ = − ⇒ = ±
.
Vậy các số phức cần tìm là: 1 ;i+ 1 ;i− 1 ;i− + 1 i− − .
5. Tìm số phức z thỏa mãn ( 1)( 2 )z z i− + là số thực và 1 5z− = .
Phân tích :
+) ðiều kiện ( 1)( 2 )z z i− + chứa ñồng thời zvà z và 1 5z− = có 1z− nên gọi z a bi= + ( , )a b R∈
+) Từ hai ñiều kiện ( 1)( 2 )z z i− + là số thực và 1 5z− = 1
2
( , ) 0 ?
( , ) 0 ?
f a b az
f a b b
= = ⇒ ⇔ ⇒ = =
Giải:
+) Gọi z a bi= + ( , )a b R∈ ( 1)( 2 ) ( 1)( 2 ) [( 1) ][ ( 2) ]z z i a bi a bi i a bi a b i⇒ − + = + − − + = − + − −
[ ( 1) ( 2)] [ ( 1)( 2)]a a b b ab a b i= − + − + − − −
( 1)( 2 )z z i− + là số thực [ ( 1)( 2)] 0 2 2 0ab a b a b⇔ − − − = ⇔ + − = (1)
Ta có: 2 2 2 21 5 1 5 ( 1) 5 ( 1) 5z a bi a b a b− = ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ − + = (2)
Từ (1) 2 2b a⇒ = − thay vào (2) ta ñược: 2 2 2 0 2( 1) (2 2) 5 2 0
2 2
a ba a a a
a b
= ⇒ =− + − = ⇔ − = ⇔ = ⇒ = −
Vậy các số phức cần tìm là: 2i ; 2 2i− .
6. Trong các số phức thỏa mãn ñiều kiện 2 4 2z i z i− − = − . Tìm số phức z có môñun nhỏ nhất.
Phân tích :
+) ðiều kiện 2 4 2z i z i− − = − chứa môñun nên gọi z a bi= + ( , )a b R∈
+) Từ hai ñiều kiện 2 4 2z i z i− − = − và z có môñun nhỏ nhất 1
2
( , ) 0 ?
( , ) 0 ?
f a b az
f a b b
= = ⇒ ⇔ ⇒ = =
Giải:
+) Gọi z a bi= + ( , )a b R∈ 2 4 2 ( 2) ( 4) ( 2)z i z i a b i a b i⇒ − − = − ⇔ − + − = + −
2 2 2 2( 2) ( 4) ( 2)a b a b⇔ − + − = + −
4 8 20 4 4a b b⇔ − − + = − +
4b a⇔ = −
Khi ñó 2 2 2 2 2 2( 4) 2( 4 8) 2( 2) 8 8z a b a a a a a= + = + − = − + = − + ≥
min2 2z⇒ = khi 2 0 2 2a a b− = ⇔ = ⇒ = .
Vậy số phức 2 2z i= + Chú ý: Các em có thể tham khảo thêm cách giải thứ 2 của bài toán này ở Dạng 3 – Loại 1
THANH TÙNG 0947141139
Bài tập áp dụng 1) Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a) 3 3( 1 ) (2 )z i i= − + − . b)2013(1 )
1
iz
i
+=−
. c) 2 3 201 (1 ) (1 ) (1 ) ... (1 )z i i i i= + + + + + + + + +
2) Cho hai số phức 1 1 2z i= + , 2 2 3z i= − . Xác ñịnh phần thực và phần ảo của số phức 1 22z z− và 1 2.z z
3) ( B – 2011-NC): Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
1 3
1
iz
i
+= + .
4) ( A – 2010): Tìm phần ảo của số phức z, biết: ( )2
2 (1 2 )z i i= + − .
5) (Cð – 2009 – A): Cho số phức z thỏa mãn 2(1 ) (2 ) 8 (1 2 )i i z i i z+ − = + + + . Tìm phần thực, phần ảo của z.
6) (Cð – 2010): Cho số phức z thỏa mãn 2(2 3 ) (4 ) (1 3 )i z i z i− + + = − + . Tìm phần thực, phần ảo của z.
7) Tìm phần thực của số phức (1 )nz i= + , biết n N∈ thỏa mãn phương trình: 4 4log ( 3) log ( 9) 3n n− + + = .
8) Tìm số phức z, biết: a) (2 3 ) 1 9z i z i− + = − (D – 2011) b) 5 3
1 0i
zz
+− − = ( B – 2011)
9) (A – 2011): Tìm tất cả các số phức z, biết: 22z z z= + .
10) ( B – 2009): Tìm số phức z thỏa mãn: (2 ) 10z i− + = và . 25z z= .
11) Tìm số phức z thỏa mãn: . 3( ) 4 3z z z z i+ − = − .
12) Tìm số phức z thỏa mãn: 2 2z i− + = . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 ñơn vị.
13) Tìm số phức z, biết 2 5z = và phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó.
14) Tìm số phức z thỏa mãn:
a. (2 3 ) 1i z z+ = − b. 20
1 3z iz
− = − c. 2 0z z+ = . d. 22
2 8z zz z+ + = và 2z z+ = .
15) Tìm môñun của số phức: a. 31 4 (1 )z i i= + + − . b. (1 )(2 )
1 2
i iz
i
+ −=+
16) (A – 2011-NC): Tìm môñun của số phức z, biết: (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2z i z i i− + + + − = − .
17) Cho số phức z thỏa mãn11 8
1 2.
1 1
i ii z
i i
+ = + − + . Tìm môñun của số phức z iz+ .
18) Cho số phức z thỏa mãn 2 2 1z i− + = . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z .
19) Tìm số phức liên hợp của 1
(1 )(3 2 )3
z i ii
= + − ++
.
20) Cho số phức z thỏa mãn
1
2
z
iz
z
=
+ =
. Tìm số phức liên hợp của z.
21) Tìm số nghịch ñảo của số phức 3
2
1 3 2
1 (1 )
i iz
i i
− −= − + − .
22) Biết số phức z thỏa mãn 30 7z z iz i+ + = − . Tìm số ñối của z.
THANH TÙNG 0947141139
Bài tập mẫu
1. Xét các ñiểm A,B,C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 4 2 6
;(1 )(1 2 );1 3
i ii i
i i
+− +− −
.
a.Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân. b.Tìm số phức biểu diễn bởi ñiểm D, sao cho ABCD là hình vuông.
Giải: Ta có: 4 4 ( 1 )
2 21 2
i i ii
i
− −= = −−
(2; 2)A⇒ − ; (1 )(1 2 ) 3 (3;1)i i i B− + = + ⇒
2 6 (2 6 )(3 ) 20
2 (0;2)3 10 10
i i i ii C
i
+ + += = = ⇒−
a. Khi ñó : 2 2 10(1;3)
. 0(3; 1)
AB CBAB
AB CBCB
= == ⇒
== −
uuur
uuur uuuruuur Suy ra tam giácABC vuông cân tại B (ñpcm).
b. Gọi ( ; )D x y ( ;2 )DC x y⇒ = − −uuur
Vì tam giácABC vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông khi : DC AB=uuur uuur 1 1
2 3 1
x x
y y
− = = − ⇔ ⇔ − = = −
Vậy số phức biểu diễn bởi ñiểm ( 1; 1)D − − là: 1 i− −
2. Trong các số phức thỏa mãn ñiều kiện 2 4 2z i z i− − = − . Tìm số phức z có môñun nhỏ nhất.
Giải: Cách 1: (Các em xem lại cách giải bài toán này theo phương pháp ñại số Ví dụ thứ 6 ở DẠNG 2)
Cách 2: +) Gọi ñiểm ( ; )M x y biểu diễn số phức z x yi= + ( ; )x y R∈
+) Ta có: 2 4 2 ( 2) ( 4) ( 2)z i z i x y i x y i− − = − ⇔ − + − = + −
2 2 2 2( 2) ( 4) ( 2) 4 8 20 4 4 4 0x y x y x y y x y⇔ − + − = + − ⇔ − − + = − + ⇔ + − =
Vậy M thuộc ñường thẳng d có phương trình: 4 0x y+ − = (* ) +) Ta có: z OM= minmin
z OM OM d⇒ ⇔ ⇔ ⊥
. 0 0dOM u x y⇔ = ⇔ − =uuuur uur
(2*) (với ( ; ), (1; 1)dOM x y u= = −uuuur uur
)
Từ (*) và (2*) suy ra: 4 0 2
0 2
x y x
x y y
+ − = = ⇔ − = =
(2;2)M⇒ hay số phức 2 2z i= +
THANH TÙNG 0947141139 Bài tập áp dụng 1) Các ñiểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 1 – i, 2 + 3i, 3 + i và 3i, 3 – 2i, 3 + 2i. Chứng minh rằng tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. 2) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho A và B là hai ñiểm lần lượt biểu diễn hai nghiệm phức của phương
trình 2 6 18 0z z+ + = . Chứng minh rằng tam giác OAB vuông cân.
3) Tromg mặt phẳng phức, cho ba ñiểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức z, 3 3
3
iz
+
và 3
iz .
Chứng minh rằng: a. Tam giác OMA vuông tại M. b. Tam giác MAB là tam giác vuông. c. Tứ giác OMAB là hình chữ nhật.
Bài tập mẫu
1. Cho số phức z thỏa mãn 3 2z i z− + = + .
a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức z . b. Trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun bé nhất. Giải: a) Gọi ( ; )M x y là ñiểm biểu diễn số phức z x yi= + ( ; )x y R∈ trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:
3 2 3 2z i z x yi i x yi− + = + ⇔ + − + = − +
( 3) ( 1) ( 2)x y i x yi⇔ − + + = + −
2 2 2 2( 3) ( 1) ( 2)x y x y⇔ − + + = + +
6 2 10 4 4 5 3 0x y x x y⇔ − + + = + ⇔ − − =
Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z là ñường thẳng d có phương trình: 5 3 0x y− − = (*)
THANH TÙNG 0947141139 b) Cách 1 (Phương pháp ñại số)
Từ (*) ta có: 5 3y x= − ⇒ 2 2 2 2 2(5 3) 26 30 9z x y x x x x= + = + − = − +
Nên: min
z khi ( )2
min26 30 9x x− + 15
2 26
bx
a⇔ = − = từ ñó suy ra:
35 3
26y x
−= − =
Vậy số phức có môñun nhỏ nhất là: 15 3
26 26z i= −
Cách 2 (Phương pháp hình học)
ðường thẳng d có phương trình: 5 3 0x y− − = có véctơ chỉ phương (1;5)du =
uur
Ta có: z OM= minminz OM OM d⇒ ⇔ ⇔ ⊥ . 0 5 0dOM u x y⇔ = ⇔ + =
uuuur uur (2*) (với ( ; )OM x y=
uuuur)
Từ (*) và (2*) suy ra: 15
5 3 0 265 0 3
26
xx y
x y y
=− − = ⇔ + = − =
15 3;
26 26M
⇒ −
hay số phức 15 3
26 26z i= −
2. Cho số phức z thỏa mãn (1 )
2 11
i z
i
+ + =−
a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức z . b. Trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun lớn nhất và số có môñun nhỏ nhất. Giải: a) Gọi ( ; )M x y là ñiểm biểu diễn số phức z x yi= + ( ; )x y R∈ trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:
2(1 ) (1 )
2 1 2 1 2 11 2
i z i ziz
i
+ ++ = ⇔ + = ⇔ + =−
2 2( ) 2 1 ( 2) 1 ( 2) 1i x yi y xi y x⇔ + + = ⇔ − + + = ⇔ − + =
2 2( 2) 1y x⇔ − + = (*)
Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm (2;0)I có bán kính 1R = .
b) Cách 1 (Phương pháp ñại số)
Từ (*) 2( 2) 1 1 2 1 1 3y y y⇒ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ (1) Mặt khác từ (*) ta có: 2 2 4 3x y y+ = − (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2 21 9x y≤ + ≤ hay 2
1 9 1 3z z≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Do ñó: min
1z = khi 1y = và 0x = hay số phức có môñun nhỏ nhất là: z i=
max
3z = khi 3y = và 0x = hay số phức có môñun lớn nhất là: 3z i= .
THANH TÙNG 0947141139 Cách 2 (Phương pháp hình học)
3. Cho số phức z thỏa mãn 2
2 2( ) 2z z z i− = − −
a. Tìm tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy biểu diễn số phức z . b. Trong các số phức z thỏa mãn ñiều kiện trên, tìm số có môñun lớn nhất và số có môñun nhỏ nhất.
Giải: a) Gọi ( ; )M x y là ñiểm biểu diễn số phức z x yi= + ( ; )x y R∈ trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:
2
2 2( ) 2z z z i− = − − 22 2[ ( )] 2x yi x yi x yi i⇔ − − = + − − − 2 2( 2) 4 2x yi yi⇔ − − = −
⇔ 2 2( 2) 4 2x y y− + = − −
2 2( 2) ( 2) 2x y⇔ − + + =
(*)
Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm (2; 2)I − có bán kính 2R= .
b)
Ta có: 2 2z x y OM= + = nên min
z khi minOM .
Có: (2; 2)OI = −uur
nên phương trìnhOI : 2 2
x yy x= ⇔ = −
− (2*)
Ta tìm giao ñiểm của OI với ñường tròn (*) bằng cách thay (2*) vào (*) :
( )2 12 2
2
(1; 1)2 1 1 1( 2) 2 2 ( 2) 1
2 1 3 3 (3; 3)
Mx x yx x x
x x y M
−− = − = ⇒ = − − + − + = ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇒ − = = ⇒ = − −
1
2
2
3 2
OM
OM
=⇒
=
Mặt khác ñiểm thuộc ñường tròn có khoảng cách tới gốc tọa ñộ O lớn nhất, nhỏ nhất phải thuộc một trong
2 ñiểm 1 2,M M . Do ñó 1minz OM= hay 1(1; 1)M M≡ − nên số phức có môñun nhỏ nhất là: 1 1z i= −
2maxz OM= hay 2(3; 3)M M≡ − nên số phức có môñun lớn nhất là: 2 3 3z i= −
THANH TÙNG 0947141139 4. (B – 2010 – CB ): Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
(1 )z i i z− = +
Giải: Gọi ( ; )M x y là ñiểm biểu diễn số phức z x yi= + ( ; )x y R∈ trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:
(1 ) (1 )( ) ( 1) ( ) ( )z i i z x yi i i x yi x y i x y x y i− = + ⇔ + − = + + ⇔ + − = − + +
2 2 2 2 2 2 2 2( 1) ( ) ( ) 2 1 2 2x y x y x y x y y x y⇔ + − = − + + ⇔ + − + = +
2 2( 1) 2x y⇔ + + =
Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm (0; 1)I − bán kính 2R= .
5. (D – 2009 – CB ): Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
(3 4 ) 2z i− − = .
Giải: Gọi ( ; )M x y là ñiểm biểu diễn số phức z x yi= + ( ; )x y R∈ trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:
(3 4 ) 2 (3 4 ) 2 ( 3) ( 4) 2z i x yi i x y i− − = ⇔ + − − = ⇔ − + + =
2 2 2 2( 3) ( 4) 2 ( 3) ( 4) 4x y x y⇔ − + + = ⇔ − + + =
Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z là ñường tròn tâm (3; 4)I − bán kính 2R = .
6. Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng số phức 1 2w z i= − − biết số phức z thay ñổi thỏa mãn
1 1z i+ + = .
. Giải: Gọi ( ; )M x y là ñiểm biểu diễn số phức w x yi= + ( ; )x y R∈ trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, ta có:
1 2w z i= − − ⇒ 1 2 1 2 ( 1) ( 2)z w i x yi i x y i= + + = + + + = + + + ( 1) ( 2)z x y i⇒ = + − +
Do ñó 1 1 ( 1) ( 2) 1 1z i x y i i+ + = ⇔ + − + + + = 2 2( 2) ( 1) 1 ( 2) ( 1) 1x y i x y⇔ + − + = ⇔ + + + =
2 2( 2) ( 1) 1x y⇔ + + + =
Vậy tập hợp ñiểm biểu diễn số phức w là ñường tròn tâm ( 2; 1)I − − bán kính 1R = . Bài tập áp dụng 1) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn số phức z nếu như thỏa mãn một trong các ñiều kiện :
a. 3 4z z i= − + . b. 1 2z i− + = c. 2z i z+ = − . d. 4z i z i− + + = .
e. 4 4 10z i z i− + + = f. 2 2z i z z i− = − + . g. ( )22z z= h. 1
z i
z i
− =+
.
2) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn các số phức z sao cho: z i
z i
++
là số thực.
3) Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn các số phức z sao cho: 2z là số ảo.
4) Tìm tập hợp các ñiểm biểu diễn trong mặt phẳng số phức z biết (2 )( )z i z− + là số thuần ảo.
THANH TÙNG 0947141139 DẠNG 4 : CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC,PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài tập mẫu
1. (A – 2009): Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z+ + = .
Tính giá trị của biểu thức 2 2
1 2A z z= + .
Giải : Phương trình 2 2 10 0z z+ + = có biệt thức 2' 1 10 9 9i∆ = − = − = nên phương trình có hai nghiệm :
1 1 3z i= − + và 2 1 3z i= − − 2 2 2 2
1 2 1 3 1 3A z z i i⇒ = + = − + + − − 2 2 2 2(1 3 ) (1 3 ) 20= + + + =
Vậy 20A=
2. Cho số phức zcó phần ảo âm và thỏa mãn 2 6 13 0z z− + = . Tính môñun của số phức: 6
w zz i
= ++
Giải : Phương trình 2 6 13 0z z− + = có biệt thức 2' 9 13 4 4i∆ = − = − = nên phương trình có hai nghiệm :
6 6
3 23
w z iz i i
⇒ = + = − ++ −
6(3 ) 24 7
3 210 5 5
ii i
+= − + = −
2 224 7
55 5
w ⇒ = + =
Vậy 5w =
THANH TÙNG 0947141139 3. (D – 2012 – NC) Giải phương trình 2 3(1 ) 5 0z i z i+ + + = trên tập hợp các số phức. Giải :
Cách 1 : Phương trình 2 3(1 ) 5 0z i z i+ + + = có biệt thức 2 2' 9(1 ) 20 2 (1 )i i i i∆ = + − = − = −
nên phương trình có nghiệm : 1
2
3(1 ) (1 )1 2
23(1 ) (1 )
22
i iz i
i iz i
− + + − = = − −
− + − − = = − −
Chú ý : Việc viết ñược : 22 (1 )i i− = − ở phần tính ∆ trong bài toán trên có thể hiểu theo 3 hướng
+) Hướng 1 : Vì ta khá quen thuộc với công thức : 2(1 ) 2i i± = ±
+) Hướng 2 : Ta chọn ,a b thỏa mãn 2 2
2 2 2 02 ( ) 2
1
a bi a bi a b abi
ab
− =− = + = − + ⇔
= −và “ñoán”:
1
1
a
b
= = −
+) Hướng 3 : (ðây là hướng ñi tổng quát – khi không nhìn thấy luôn theo Hướng 1, Hướng 2)
Gọi a bi+ là căn bậc hai của 2 2 22 ( ) 2 2 2i a bi i a b abi i− ⇒ + = − ⇔ − + = −
2 2 2 2 1; 10
1 1; 12 2 1
a b a ba b a b
ab a bab ab
= ± = = − − = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − = − == − = −
Vậy căn bậc hai của 2i− là : 1 i− và 1 i− + nên phương trình có nghiệm :
1
2
3(1 ) (1 )1 2
23(1 ) ( 1 )
22
i iz i
i iz i
− + + − = = − −
− + + − + = = − −
Cách 2 (mang tính chất tham khảo : Chỉ chứng tỏ một ñiều có một con ñường khác dẫn tới ñáp số - nhưng khá dài ) Gọi z a bi= + ( ,a b R∈ )
Khi ñó : 2 3(1 ) 5 0z i z i+ + + = trở thành : 2( ) 3(1 )( ) 5 0a bi i a bi i+ + + + + =
2 2 2 3[( ) ( ) ] 5 0a b abi a b a b i i⇔ − + + − + + + =
2 2[ 3( )] (2 3 3 5) 0a b a b ab a b i⇔ − + − + + + + =
2 2 ( )( 3) 0 (1)3( ) 0
2 3( ) 5 0 (2)2 3( ) 5 0
a b a ba b a b
ab a bab a b
− + + = − + − = ⇔ ⇔ + + + =+ + + =
(1)3
a b
b a
=⇔ = − −
+) Với a b= thay vào (2) ñược : 22 6 5 0a a+ + = ( vô nghiệm với a R∈ ) +) Với 3b a= − − thay vào (2) ta ñược : 2 ( 3) 4 0a a− − − =
2 3 2 0a a⇔ + + =
1 2
2 1
a b
a b
= − ⇒ = −⇔ = − ⇒ = −
Vậy 1 2z i= − − hoặc 2z i= − − .
THANH TÙNG 0947141139 4. (Cð – 2010) Giải phương trình 2 (1 ) 6 3 0z i z i− + + + = trên tập hợp các số phức. Giải :
Phương trình 2 (1 ) 6 3 0z i z i− + + + = có biệt thức 2 2(1 ) 4(6 3 ) 2 24 12 24 10 (1 5 )i i i i i i∆ = + − + = − − = − − = −
(Làm ra nháp: Nhẩm ,a b thỏa mãn 2 2 24
1; 55 (2 10)
a ba b
ab ab
− = −⇒ = = −
= − = −)
nên phương trình có hai nghiệm :1
2
(1 ) (1 5 )1 2
2(1 ) (1 5 )
32
i iz i
i iz i
+ + − = = −
+ − − = =
5. (Cð – 2009) Giải phương trình sau trên tập số phức : 4 3 7
2z i
z iz i
− + = −−
.
Giải : +) ðiều kiện : z i≠
+) Với ñiều kiện trên : 4 3 7
2z i
z iz i
− + = −−
4 3 7 ( )( 2 )z i z i z i⇔ − + = − −
2 (4 3 ) 1 7 0z i z i⇔ − + + + =
phương trình có biệt thức 2 2(4 3 ) 4(1 7 ) 7 24 4 28 3 4 (2 )i i i i i i∆ = + − + = + − − = − = −
(Làm ra nháp: Nhẩm ,a b thỏa mãn 2 2 3
2; 12 (2 4)
a ba b
ab ab
− =⇒ = = −
= − = −)
nên phương trình có hai nghiệm :1
2
(4 3 ) (2 )3
2(4 3 ) (2 )
1 22
i iz i
i iz i
+ + − = = +
+ − − = = +
(thỏa mãn ñiều kiện).
Bài tập áp dụng
1) Tìm căn bặc hai của số phức z biết :
a) 5 12z i= − + . b) 8 6z i= + . c) 4 6 5z i= + . d) 1 2 6z i= − − . 2) Giải các phương trình trên tập hợp các số phức:
a) 23 2 0x x+ + = . b) 2 1 0x x+ + = . c) 3 1 0x − = .
d) 2 (3 4 ) 5 1 0x i x i− + + − = . e) 2 (1 ) 2 0x i x i+ + − − = .
3) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 1 24 3 ; 2 5z i z i= + = − + .
4) Tìm m ñể phương trình : 2 3 0x mx i+ + = có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.
5) Tìm số thực b, c ñể phương trình 2 0z bz c+ + = nhận số phức z = 1 + i làm một nghiệm.
6) Cho 1z và 2z là các nghiệm phức của phương trình 22 4 11 0z z− + = . Tính giá trị biểu thức
2 2
1 22
1 2( )
z zA
z z
+=
+
THANH TÙNG 0947141139 7) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 4 0z z+ + = . Tính giá trị của
2 2 3
1 2 1 23A z z z z= + − +
8) Cho 1 2;z z là hai nghiệm của phương trình 2(1 2 ) (3 2 ) 1 0i z i z i+ − + + − = .
Không giải phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau :
a. 2 21 2A z z= + ; b. 2 2
1 2 1 2B z z z z= + ; c. 1 2
2 1
z zC
z z= + .
9) Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a. 2 2 2( ) 4( ) 12 0z z z z+ + + − = . b. 2 2 2 2( 3 6) 2 ( 3 6) 3 0z z z z z z+ + + + + − =
c. 4 26 25 0z z− + = . c. 4 3 22 2 1 0z z z z− − − + = . 10) Giải các hệ sau trên tập số phức :
a. 2 21 2
1 2
5 2
4
z z i
z z i
+ = +
+ = − b. ( )
3 51 2
421 2
0
1
z z
z z
+ =
=
.
11) Giải hệ phương trình sau trong tập số phức : 2
2
2 2 2 2
65
( ) 6 0
a aa a
a b ab b a a
+ − = + + + + − =
.
DẠNG 5 : DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (Ban Nâng Cao)
THANH TÙNG 0947141139 Bài tập mẫu
(B – 2012 – NC) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 3 4 0z iz− − = .
Viết dạng lượng giác của 1z và 2z .
Giải :
Phương trình 2 2 3 4 0z iz− − = có biệt thức 2' ( 3 ) 4 3 4 1i∆ = + = − + =
Suy ra phương trình có hai nghiệm : 1 1 3z i= + và 2 1 3z i= − +
+) Với 1 1 3z i= +1 3 2
1 3cos ;sin
2 2 3
r
πϕ ϕ ϕ
= + =
⇒ = = ⇒ =
.Vậy dạng lượng giác của 1 2 cos sin3 3
z iπ π = +
+) Với 2 1 3z i= −1 3 2
1 3 2cos ;sin
2 2 3
r
πϕ ϕ ϕ
= + =
⇒ = − = ⇒ =
.Vậy dạng lượng giác : 2
2 22 cos sin
3 3z i
π π = +
Bài tập áp dụng 1) Viết các số phức z sau dưới dạng lượng giác
a. (1 3)(1 )z i i= − + . b.1 3
1
iz
i
−=+
. c. sin cosz iϕ ϕ= + .
d. 5
tan8
z iπ= + e. 2( 3 )z i= − . f.
1
2 2i+.
2) Tính 10 5
10
(1 ) ( 3 )
( 1 3)
i iz
i
− +=− −
.
3) Viết dưới dạng lượng giác của số phức z biết 2z = và một acgumen của 1
z
i+là
3
4
π− .
4) Viết dưới dạng lượng giác của số phức z biết 1 3z z i− = − và iz có một acgumen là 6
π.
5) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z sau :
a. 10
9
(1 )
( 3 )
iz
i
+=+
. b. 5 7(cos sin ) (1 3 )3 3
z i i iπ π= − + .
6) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết 2 2 2 3z i= − + .
7) Tìm số n là số nguyên dương và [1;10]n∈ sao cho số phức (1 3)nz i= + là số thực.
8) Tìm n ñể số phức 3 3
3 3
n
i
i
− −
là số thực, là số ảo ?.
9) Tìm phần thực và phần ảo của số phức 20132013
1z
z+ . Biết
11z
z+ = .
THANH TÙNG 0947141139 DẠNG 6 : CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG SỐ PHỨC (tham khảo thêm)
1) Chứng minh rằng: 2012 2010 20085(1 ) 7 (1 ) 6(1 )i i i i+ = + − + .
2) Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất ñẳng thức sau xảy ra :
1
12
z+ ≥ hoặc 2 1 1z + ≥ .
3) Cho số phức 0z ≠ thỏa mãn 33
12z
z+ ≤ . Chứng minh rằng :
12z
z+ ≤ .
4) Cho số phức 1 3
2 2z i= − + . Chứng minh rằng : 2 1 0z z+ + = ; 2 1
z zz
= = và 3 1z = .
5) Cho 1 2,z z C∈ . Chứng minh rằng : 1 2 1 2. .E z z z z R= + ∈ .
6) Chứng minh rằng 7 7(2 5) (2 5)E i i R= + + − ∈ .
7) Cho z và z’ là hai số phức bất kì. Chứng minh rằng :
a. ' 'z z z z+ = + b. ' 'z z z z− = − c. . ' . 'z z z z=
d. ' '
z z
z z
=
( ' 0z ≠ ) e. . ' . 'z z z z= f. ' '
zz
z z= ( ' 0z ≠ )
Cảm ơn các em và các bạn ñã ñọc tài liệu !
Mọi ý kiến ñóng góp các em và các bạn gửi qua E- mail: [email protected] hoặc ñịa chỉ : số 9 – Ngõ 880 – Bạch ðằng – Hai Bà Trưng – Hà Nội ðiện thoại : 043.9871450 hoặc Dð: 0947141139 Các em có thể tham khảo thêm các chuyên ñề khác trên web: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
