Solucionario Mecánica Cuántica UAMI

7/25/2019 Solucionario Mecnica Cuntica UAMI

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Divisin de Ciencias Bsica e Ingeniera

Departamento de Fsica

Solucionario de Mecnica Cuntica

Versin 1.1

Salvador Cruz Jimnez, Roberto Verdel Aranda

y Lidia Gonzlez Morales

"#$%&'#()*'# +, -,&.('&) /%.(0'&)123454 3675859585


2/227

" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"

Solucionario del Curso de Mecnica Cuntica l

Tarea 1

1. Obtenga la longitud de onda de acuerdo con De Broglie, para las siguientes

partculas en movimiento:

a) Un electrn con energa cintica de 10 eV

b) Un protn con energa cintica de 100 keV

c) Una pelota de masa 0.14 Kg con velocidad de 160 km/h

Solucin.

a) Kg

Se calcula el mpetu del electrn con energa cintica ;

= =

Luego, del postulado de De Broglie, la longitud de onda asociada es:

b)


3/227

2 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

2

=

c)

= 6.216

2. La difraccin de neutrones se emplea usualmente para determinar la estructura

cristalina de materiales. Para que esto suceda, la longitud de onda asociada a los

neutrones debe ser del orden del espaciamiento entre los planos cristalinos. Un

valor tpico de .

a)

Obtenga un valor adecuado para la velocidad de los neutrones para que seandifractados

b) Qu energa cintica, en , deben tener estos neutrones?

c) Si se dispone de una fuente de neutrones, la cual se puede considerar como un gas

de neutrones a temperatura , qu temperatura en Kelvins debe tener este gas?

Solucin.

a)

Para una partcula , se tiene:


4/227

3 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

3

Usando la masa de un neutrn, cuyo valor es de y como se

pide que , resulta:

b)

c) De la teora cintica de los gases, suponiendo que se trata de un gas monoatmico,

se tiene:

de modo que con la constante de Boltzmann cuyo

valor es y la energa cintica promedio de una

partcula del gas. As, con , se obtiene:

3. Los experimentos ms precisos para estimar el radio nuclear consisten en

disparar electrones energticos, cuya longitud de onda sea del orden de . Si

( ).

a) Obtenga el valor del mpetu que deben tener los electrones

b)

Muestre que estos electrones son altamente relativistas y que por tanto su energa

debe obtenerse a travs de la relacin , con la masa en

reposo.

c) Compare los valores de vs y muestre que es una buena

aproximacin a la energa, por lo que .


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4 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

4

Solucin.

a) Como , entonces

b) Para mostrar que los electrones son altamente relativistas, ntese que la celeridad de

los mismos, obtenida en forma clsica, es:

Lo cual no es posible de acuerdo con la teora de la relatividad. Ahora vase que se

obtiene a partir de la frmula relativista del mpetu

Sustituyendo valores:

Esto muestra que los electrones tienen velocidades muy cercanas a la de la luz, o seaque son altamente relativistas, por lo que hay que emplear la relacin relativista:

para calcular su energa.

c)


6/227

5 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

5

!"# , de manera que , resulta ser una buena aproximacin parala energa de los electrones.

O bien, en

4. La ecuacin de Schredinger en una dimensin tiene la forma:

Para inducirla se emplearon argumentos heursticos basados en la estructura de la

ecuacin de onda clsica en una dimensin:

donde con y y la restriccin de que la energa

total es :

(3)

De donde se concluye que, a diferencia de la ecuacin (2), el trmino de evolucintemporal solamente debe incluir la derivada .

a) Siguiendo argumentos similares, muestre que la ecuacin de Schredinger en

tres dimensiones toma la forma:


7/227

6 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

6

donde es el operador Laplaciano en coordenadas

cartesianas.

b) Muestre que si , con la ecuacin (4) es

consistente con la ecuacin (3).

Solucin.

a) Considrese una partcula libre en 3D, de masa e mpetu . De

acuerdo al postulado de De Broglie en 3D:

Vase lo que pasa en una direccin; digamos x. La onda de materia asociada a la

partcula en consideracin, en dicha direccin, es de la forma:

donde se ha introducido (5) en la solucin de (2). Al derivar (6) con respecto y ,

se obtiene:


8/227

7 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

7

De acuerdo con (3) se deduce que una forma apropiada de la ecuacin de onda en

para estas ondas materiales, debe incluir una segunda derivada en (dependencia

en ) y una primera derivada en t (dependencia en ). As se propone

Sustituyendo (6) en (7) se llega a

donde se emple el hecho de que .

Con (8) y (7) toma la forma:

o bien

De manera anloga se llega a ecuaciones similares a (9) en y que son

consistentes con (5). Y como la energa total de una partcula en 3D es simplemente

la suma de las energas en las direcciones , , se tiene:

O bien, junto con (5)


9/227

8 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

8

Se infiere que una ecuacin de onda consistente con (10), que describa la

propagacin de la onda asociada a la partcula libre en 3D considerada, es:

donde .

En el caso general en que la partcula est bajo la influencia de un potencial

, y al tener que la energa total es la suma de energas cintica y

potencial, se postula (de forma inductiva) que la ecuacin de onda apropiada es:

De otra manera, bajo un enfoque distinto, se tiene.

Sea . Multiplicando por ambos lados de la ecuacin:

Si y , entonces .

Luego, se desarrolla el lado derecho de :

Anlogamente, y . As,


10/227

9 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

9

Entonces,

Pero . As,

Del lado izquierdo, se tiene:

Pero,

Entonces,

Multiplicando la ecuacin por se tiene:

Sumando con se obtiene:


11/227

": #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

":

Multiplicando la ecuacin por se tiene:

Pero , de modo que el lado izquierdo de la ecuacin se puede

reescribir como:

Finalmente, la ecuacin toma la forma:

b) Con , la ecuacin (7) se reduce a (11).

Sustituyendo con , en (11) queda


12/227


13/227

"2 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"2

En este caso:

Eligiendo la raz positiva se tiene que

b) Cualitativamente, el comportamiento de se bosqueja a continuacin:


14/227

"3 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"3

Figura 5.1.Comportamiento de en funcin de .

c) As, en el lugar en donde es ms probable encontrar a la partcula es en

Aqu, tiene su mximo.

d) La probabilidad de encontrar a la partcula a la izquierda de es:

Si

Que coincide con lo esperado, pues en este caso la partcula necesariamente se

encuentra a la izquierda de .

Si


15/227


16/227

"5 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"5

donde la derivada temporal se introdujo bajo el signo integral, ya que se est integrando con

respecto a y los lmites de integracin no dependen de . Adems, en el ltimo paso se ha

intercambiado el orden de derivacin en el primer trmino, puesto que las derivadas de

deben der continuas. Luego, como satisface la ecuacin de Schredinger se tiene lo

siguiente:

donde se supone que es real. Reescribiendo,

Derivando a (2) con respecto a :

Multiplicando ahora por se tiene:


17/227


18/227

"7 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"7

Interpretacin fsica:Este resultado constituye un principio de correspondencia entre la

mecnica cuntica y la mecnica clsica. Indica que en el lmite en que las cantidades

involucradas en l tengan una incertidumbre despreciable, los valores esperados

bsicamente coinciden con lo determinado clsicamente para tales cantidades, y se tieneas, una relacin completamente idntica a la segunda ley de Newton.

7. El estado basal del tomo de hidrgeno est definido por la funcin de onda radial:

donde , es la coordenada radial del electrn respecto del ncleo y

. Empleando coordenadas esfricas:

a) Obtenga la constante de normalizacin .

b) Calcule el valor esperado de la posicin radial .

c) Sabiendo que el operador Hamiltoniano para este sistema es:

con y la carga y masa del electrn, respectivamente. Calcule el valor

esperado de la energa .

d) Sustituya los valores numricos de las constantes fsicas involucradas y obtenga

los valores de (en Amstrong) y (en ).

Solucin.

a) Aplicando la condicin de normalizacin:


19/227

"8 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"8

Empleando coordenadas esfricas, esto es:

Luego,

Integrando por partes (con ) resulta:

Por lo tanto

b) Se calcula , esto es:


20/227

"9 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"9

Integrando por partes:

Esta ltima integral ya se ha calculado en a). Por lo que

Con lo cual

c)

Se calculan estos valores esperados por separado. Como la funcin de densidad de

probabilidad nicamente depende de , del Laplaciano en coordenadas esfricas,

slo se conserva la parte que involucra derivadas con respecto a dicha variable. Se

denota tal parte como .

Desarrollando la primera integral

La segunda integral es:


21/227

2: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

2:

Por lo tanto

Luego,

Finalmente:

Sustituyendo se tiene que:

d)

Sustituyendo estos valores resulta:


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2" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

2"

.

8. Determine la densidad de corriente de partcula libre si est descrita por la funcin:

Interprete fsicamente su resultado.

Solucin.

La expresin de la densidad de corriente de partcula libre est dada por:

Por definicin, la densidad de corriente de probabilidad (en 1D) es:

Calculando las derivadas


23/227

22 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

22

Multiplicando (3) por y a (2) por .

Sustituyendo (4) y (5) en (1), se obtiene:

Interpretacin fsica: Observando la funcin que representa a la partcula (combinacin

de dos ondas planas). Se tienen tres casos:

Caso 1. . La probabilidad de que la partcula se mueva hacia la

izquierda es mayor que la probabilidad de que viaje a la derecha.

Caso 2. . Sucede exactamente lo contrario al caso 1.

Caso 3. . La probabilidad de que la partcula se mueva hacia la

izquierda o a la derecha es la misma.


24/227

23 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

23

9. Las funciones de onda para los estados y del tomo de hidrgeno son:

; donde .

a) Encuentre la constante de normalizacin .

b) Pruebe que y son ortogonales.

c) Grafique y , cal es el significado fsico de y de ?

d) Obtenga la energa total para el estado y compare con el valor obtenido para el

estado en el problema 7.

Solucin.

a) En coordenadas esfricas, esto es:

Integrando por partes:


25/227


26/227

25 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

25

Las integrales son:

Adems, y son ortogonales.

c) A continuacin se muestran las grficas en Mathematica:

0 1 2 3 4 5

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

r

"1

s

2

Figura 9.1.Grfica de para .


27/227

26 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

26

0 1 2 3 4 5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

r

4!

r2

#1s

2


da la probabilidad de encontrar al electrn del tomo de hidrgeno en una

regin del espacio entre y .

representa la probabilidad de que el electrn sea encontrado a una

distancia entre y del origen (ncleo del tomo) en cualquier direccin.

0 2 4 6 8 10

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

r

"2s

2



28/227

27 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

27

0 2 4 6 8 10 12

0.00

0.05

0.10

0.15

r

4!

r2

#2s

2


d) La energa total para el estado se obtiene con el valor esperado del operador

Hamiltoniano, pero utilizando ahora la densidad . Con

donde, nuevamente solo se toma la parte radial del operador Laplaciano; esto es:

Entonces:


29/227

28 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

28

Se obtiene que para el estado , la energa total es , o bien,

introduciendo el valor de

Ntese que esta energa es igual a la energa calculada en el ejercicio 7

multiplicada por el factor , ya que en este caso .

Con lo que su valor numrico, de acuerdo al resultado del ejercicio 7, es:

Examen parcial 1

10. Una partcula de masa se encuentra sujeta a un potencial . Dos funciones

de onda que satisfacen la ecuacin estacionaria de Schredinger son:

donde es una constante y .

i) Muestre que las respectivas constantes de normalizacin son:


30/227

29 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

29

ii) Sabiendo que , cuando analice los valores de para los

cuales la amplitud de probabilidad y se hace cero en cada caso y

encuentre el valor de para el cul estas amplitudes de probabilidad son

mximas. Con esta informacin esboce una grfica de y vs. .

iii)Muestre que las funciones y son ortogonales.

iv) Obtenga el valor esperado para cada caso y explique fsicamente su respuesta

de acuerdo con lo observado en el inciso (ii).

v)

Muestre que el valor esperado de la energa cintica es:

vi)Si y se sabe que para el estado el eigenvalor de la energa es ,

encuentre la expresin del potencial tal que satisface la ecuacin de

Schredinger independiente del tiempo. Qu tipo de potencial es?

Integrales relevantes


31/227

3: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

3:

Solucin.

i) Para

Para

Pero por lo tanto:


32/227

3" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

3"

ii) Primero analicemos :

Esta funcin nicamente se anula en el lmite . Luego, se deriva

con respecto a para encontrar donde es mxima.

Y comprobando con la prueba de la segunda derivada que en se

tiene un mximo.

Por lo tanto, es mxima en y tiene el valor de .

A continuacin se muestra la grfica de .

Figura 10.1.Esbozo de la grfica de .

Para se tiene:


33/227

32 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

32

Esta funcin se anula en y cuando . Derivando,

Nuevamente, como con , se tiene:

hacen extrema a .

Ahora, como y en ; en

sta amplitud de probabilidad tiene que ser mxima.

A continuacin se muestra la grfica de .

Figura 10.2.Esbozo de la grfica de .


34/227

33 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

33

iii)

Pues cuando . Adems, del inciso (i) se tiene:

son ortonormales.

iv)En el caso de se tiene:

por lo calculado en el inciso anterior.

De la grfica correspondiente a se ve que el valor ms

probable de es . Lo que se acaba de calcular es que, en

promedio, la variable vale cero. Es decir, es muy probable que la

partcula se encuentre cerca de y es igualmente probable que est

a la izquierda o a la derecha de este valor. O sea, la situacin es muy

simtrica en torno a .

Para tenemos:


35/227


36/227

35 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

35

Por lo tanto,

Entonces,

Pero , as:

vi)

o bien

Del inciso anterior:


37/227

36 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

36

Sustituyendo (2) en (1) junto con , resulta:

Despejando :

Refirindose al oscilador armnico, en donde la frecuencia angular es

, se tiene que es precisamente un potencial de tipo

oscilador armnico. As,

Tarea 3

11.Considere una partcula de masa que se encuentra sujeta a un potencial como el

que se muestra en la figura 1. Si la energa de la partcula es .


38/227

37 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

37

Figura 11.1. Potencial de una partcula de masa y energa

a)

Muestre que la funcin de onda en la regin es oscilante del tipo

y en la regin y que las energas permitidas

satisfacen la relacin:

con , los nmeros de onda en las regiones y respectivamente:

Por lo que:

b) Sabiendo que la energa del estado base del tomo de hidrgeno es:

y que el radio de Bohr es , muestre que

y se pueden escribir como: y .

c) Muestre que la ecuacin (1) puede escribirse como:


39/227


40/227

39 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

39

La solucin de (1) es:

o bien

Por condicin de continuidad se tiene . Por lo tanto

Regin lll. , o bien (3)

donde


pero para tener una solucin acotada se requiere que . Por lo tanto

Ahora, aplicando las condiciones de frontera:

Se obtienen las siguientes relaciones:

Dividiendo (5) entre (6):


41/227

4: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

4:

Pero, como y se puede reescribir la ecuacin (7)

como:

b) Como para el tomo de hidrgeno se tiene; y , entonces:

As, si la masa de la partcula coincide con la masa del electrn y se puede reescribir

a y como:

c) Usando la relacin y de la ecuacin (8) se tiene que:

Y usando tambin la relacin se obtiene:


42/227

4" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

4"

Definiendo y multiplicando ambos lados de la ecuacin (11) por ,

entonces:

d) Solucin numrica y grfica de las energas permitidas.

Primero se visualizar grficamente las soluciones a la ecuacin (12). Los datos delproblema son:

Con el comando Plot en Mathematica, se obtiene la siguiente grfica.


43/227

Figura 11.2. Grfica de las soluciones a la ecuacin (12), energas permitidas.

Se observa que para los valores dados de la profundidad y el ancho del pozo

solamente hay una energa permitida, cuyo valor est cerca de .

Ahora, se utiliza el comando FindRoot para hallar un valor numrico de dicha

energa permitida.

e) De la condicin de normalizacin se tiene


44/227

43 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

43

Combinando (5) y (13) pueden obtenerse los coeficientes y en trminos de losnmeros de onda y .

De (5) :

Sustituyendo (14) en (13):

Y

Tomando a y reales y considerando la raz positiva, se obtiene:

Ahora, se grafica la funcin de onda para la energa permitida. Del inciso e) las

constantes A y D valen:


45/227

44 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

44

!2." 10!10 !1." 10!10 0 1." 10!10 2." 10!100

20000

40000

60000

80000

100000

x a0

$

x

Figura 11.3. Grfica de la funcin de onda para la energa permitida.

12.Obtenga el coeficiente de reflexin y el de transmisin para una partcula

de masa y energa en el caso que se indica. Muestre que:


46/227

donde .

Figura 12.1. Potencial de una partcula de masa y energa .

Solucin.

Se plantea la ecuacin de Schroedinger para cada una de las tres regiones.

Regin l.

O bien (1)

donde .


Regin ll.

O bien (3)

donde .


47/227

46 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

46


Regin lll.

O bien (5)

donde


Considerando que la partcula viaja de izquierda a derecha, entonces , puesto

que en la regin no puede haber onda reflejada. Por lo tanto, la ecuacin (6)

queda como:

Imponiendo las condiciones de frontera:


O bien, al dividir por :


48/227

47 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

47

Se elimina a , al combinar (8) y (9):

Ahora se resuelve para y , el sistema formado por las ecuaciones (10) y (11).

Multiplicando por a (10) y sumando con (11) se obtiene:

Multiplicando por a (10) y luego restndole (11) se obtiene:


49/227

48 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

48

Sustituyendo (13) y (14) en (12):

Simplificando el trmino entre parntesis

Luego, se escribe a y en trminos de :

Por lo tanto,

De modo que:


50/227

49 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

49

Se calcula puesto que va a estar relacionado con el coeficiente de transmisin.

As,

Ahora, considrese las densidades de corriente de probabilidad. Para ello tmese el

resultadodel problema 8:

Pero , por lo que:

Adems,

Pero , con lo cual:


51/227

5: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

5:

La conservacin de la probabilidad exige que:

O bien,

donde se identifica a los coeficientes de transmisin y de reflexin. Esto es:

Y con lo calculado anteriormente, se llega a los resultados deseados:

Luego,

donde se ha usado la identidad .

Tarea 4


52/227

5" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

5"

13.Despus de emitir una partcula alfa de energa , el istopo radioactivo

del bismuto decae al elemento hijo Talio: . El potencial nuclear, que

retiene a los nucleones puede idealizarse como un pozo de potencial muy profundo,el que dominan las fuerzas nucleares, las cuales son mucho ms intensas que las

fuerzas Coulombianas. Considerando una dimensin, podemos representar al

potencial que sentira una partcula alfa en todas las regiones del espacio como semuestra:

Figura 13.1. Potencial de una partcula alfa de energa .

a)

Se sabe experimentalmente que la mxima energa que se puede dar a una partculaalfa antes de rebasar la barrera coulombiana y ser absorbida por el ncleo de Talio

es de . Con esta informacin obtenga el valor del radio del ncleo para el

Talio

b) Tambin se ha observado experimentalmente que la energa caracterstica de laspartculas alfa emitidas por el bismuto es de 6 MeV y dicha energa corresponde a la

repulsin coulombiana que produce el ncleo hijo (Talio) justo cuando la partculaalfa deja al ncleo (tunelaje) en el punto (ver figura). Muestre que en este punto

el valor de es .

c) Tomando la barrera de potencial promedio que se muestra en rojo (figura),considere el problema de una partcula alfa con energa donde la altura de

esta barrera la definimos como: y el ancho de la barrera

como . Muestre que para los valores de y empleados aqu, el

coeficiente de transmisin(obtenido en clase)se aproxima a:


53/227

52 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

52

Obtenga el valor de T. [recuerde que puede poner sus unidades en trminos de

radios de Bohr y de Rydberg ( )].

d) Suponga una partcula alfa dentro del ncleo de bismuto. Si consideramos que lapartcula se est moviendo con una rapidez promedio a lo largo de todo el

dimetro nuclear , podramos imaginar que la partcula hace un intento de

escapar al chocar con la frontera del ncleo. La probabilidad de que escape en cada

choque est dada por el coeficiente de transmisin obtenido en el inciso anterior.

Muestre que, el nmero de veces por unidad de tiempo que la partcula choca conlas paredes del ncleo es:

Por tanto, la probabilidad de escape por unidad de tiempo es:

y que, por tanto el tiempo necesario para que ocurra el escape es:

para .

Este es el tiempo de vida media del ncleo, pues cuando la partcula alfa es emitida,deja de ser el ncleo del mismo elemento.

Solucin.

a) En el exterior de las fuerzas, una partcula alfa experimenta solo el potencial de

repulsin de Coulomb, esto es:

La altura mxima de esta barrera se consigue cuando , se tiene:


54/227

53 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

53

donde,

Por lo tanto

b) En este caso, Luego,

Sustituyendo los valores numricos resulta:

c) Se procede a escribir la ecuacin de Schredinger en las tres regiones, vase la

figura del potencial.

Regin l.

O bien (1)


55/227

54 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

54

donde


Regin ll.

O bien (3)

donde .


Regin III. (5)


Considerando que la partcula viaja de izquierda a derecha, entonces , puesto

que en la regin no puede haber onda reflejada. Por lo tanto, la ecuacin (6)

queda como:

Y dado que un mltiplo constante de estas soluciones es tambin una solucin de la

ecuacin correspondiente [(1), (3) o (7)], considrense las siguientes soluciones:


56/227

55 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

55

Imponiendo las condiciones de frontera:


donde .

Resolviendo simultneamente estas ecuaciones, se puede determinar el coeficiente

de transmisin.

Deduccin de la expresin del coeficiente de transmisin.

De (11) y (12):

De (13) y (14):


57/227

56 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

56

Sustituyendo (17) y (18) en (15) se obtiene:

de donde

Y

Aqu, se han empleado las siguientes propiedades de la conjugacin compleja:

i)

ii) ; con ,

iii)

De la conservacin de la probabilidad se deriva que el coeficiente de transmisin es:

Pero,

Con lo cual


58/227

57 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

57

Pero,

As,

En este problema:

.

Por lo tanto

Con lo que y el coeficiente de transmisin queda como:


59/227

58 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

58

Y sustituyendo los valores numricos en el segundo sumando del trmino entre

parntesis, se obtiene:

De ah que resulta completamente vlida la aproximacin:

Ahora bien, para calcular el valor numrico de , considrese el ancho promedio dela barrera de potencial, que es . As,

d) Para deducir la expresin del nmero de veces que la partcula alfa choca con las

paredes del ncleo por unidad de tiempo, se considera una partcula que se mueve

con velocidad promedio en el interior de una caja cbica de lado y con sus caras

paralelas a los planos de coordenadas. Entonces, la frecuencia de colisiones en una

direccin, por decir , esto es, el nmero de veces que la partcula golpea las dos

paredes que son perpendiculares al eje por unidad de tiempo es:


60/227

59 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

59

Ahora, en el caso de la partcula alfa dentro del ncleo del bismuto, la diferencia de

sus dimensiones es tan grande que puede considerarse que la partcula alfa se mueve

siempre a lo largo de todo el dimetro nuclear, de donde se sigue la relacin

deseada.

Por lo tanto, la probabilidad de escape por unidad de tiempo es:

Y por consiguiente, el tiempo de vida media del bismuto es:

donde . Finalmente se tiene:

En el enunciado , difiere del obtenido debido al grado de cifrassignificativas que se han tomado.

Tarea 5

14.Las eigenfunciones del Hamiltoniano asociado a un oscilador armnico

unidimensional estn dadas por:

con , los polinomios de Hermite y energa .

Obtenga la constante de normalizacin y muestre que es:


61/227

6: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

6:

Solucin.

El valor de la constante se determina al imponer la condicin de normalizacin

En este caso, las eigenfunciones del Hamiltoniano asociado a un oscilador armnico

unidimensional son:

Entonces, haciendo el cambio de variable ,

la ecuacin queda como:

Luego, de la relacin

Por lo tanto

Integrando por partes


62/227

6" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

6"

Pero de ( ) se tiene

'

Con lo cual

debido a la funcin exponencial .

As, despus de integrar por partes veces se obtiene

Ahora, de la ecuacin se puede ver que es un polinomio de n-simo orden cuyo

trmino dominante es , por lo que

Entonces,


63/227

62 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

62

Pero, por lo que, la condicin de normalizacin queda finalmente

como:

de donde

'

As,

15. Suponga que en el problema anterior.

a) Grafique las funciones d onda para los estados en el intervalo

. Qu observa respecto a la simetra de cada estado?

b) Grafique la densidad de probabilidad para los estados anteriores en el mismo

intervalo. En dnde encuentra la mayor probabilidad de encontrar a la partcula

en cada caso?

c) Para el estado explque fsicamente por qu la probabilidad de encontrar

a la partcula es mayor cerca de los extremos de oscilacin, como se esperara en

el caso clsico.

Solucin.

a) Las grficas pedidas en este problema se harn en Mathematica utilizando el

comando Plot. Con , se definen las siguientes cantidades:


64/227

donde el comando da el polinomio de Hermite de n-simo orden en la

variable , . As, las grficas de las funciones de onda para los estados

son las siguientes:


65/227

Figura 15.1.Grficas de las funciones de onda para los estados

respectivamente.

Se observa que para (nmeros pares), las funciones de onda

correspondientes son funciones pares, es decir, que su grfica es simtrica respecto

a su reflexin en el eje vertical. En cambio para , la funcin de onda es una

funcin impar; esto es, que su grfica es invariante bajo reflexiones sucesivas,

primero respecto al eje vertical y luego respecto al eje .

b) Las grficas de las densidades de probabilidad correspondientes a los estados

anteriores se muestran a continuacin.

Para


66/227

Figura 15.2.Grfica de la densidad de probabilidad correspondiente al estado

.

Se ve que es en donde se tiene la mayor probabilidad de encontrar a la

partcula.

Para

Figura 15.3.Grfica de la densidad de probabilidad correspondiente al estado

.


67/227


68/227

El valor de ms grande es:

Por lo que en se encuentra la mayor probabilidad de

encontrar a la partcula.

Para


69/227

68 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

68

Figura 15.5.Grfica de la densidad de probabilidad correspondiente al estado .

Aqu, seguramente ser ms engorroso buscar los ceros de la primera

derivada de en que se tengan los picos ms altos que se observan en

la grfica, as que por mera inspeccin de sta se ve que en , se

tienen los lugares donde es ms probable encontrar a la partcula.

c) Se sabe que la energa del oscilador armnico unidimensional cuntico es

, que muestra que los niveles de energa estn igualmente

espaciados. Sin embargo, esta relacin tambin muestra que cuando el valor de

es muy grande, la energa del sistema lo es tambin y la separacin entre los niveles

de energa es despreciable comparada con el valor de la energa total del sistema; esdecir, que para nmeros cunticos grandes se cae en el lmite clsico.

En otras palabras, la solucin de la mecnica cuntica al problema del oscilador

armnico sigue el llamado Principio de Correspondencia.

Esto explica que para , los picos ms grandes de estn cerca de los

extremos del intervalo de oscilacin, pues es lo que ocurre en el caso clsico. En

efecto, el movimiento clsico satisface:

Luego, la probabilidad de posicin clsica representa la probabilidad de

encontrar a la partcula en el intervalo en un tiempo dado. Si es el

periodo de oscilacin, y es la cantidad de tiempo en que el oscilador recorre el

intervalo dx, entonces

Pero

Con lo que


70/227

69 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

69

La comparacin grfica entre las densidades de probabilidad cuntica () yclsica (---) se muestra a continuacin para el estado considerado .

!4 !2 0 2 4x

0.1

0.2

0.3

0.4

Figura 15.6.Comparacin grfica entre las densidades de probabilidad cuntica ()

y clsica (---).

16.Una partcula de masa y carga se mueve bajo la accin de un potencial de

oscilador armnico y en un campo elctrico , tal que el

potencial correspondiente es .

a) Muestre que la ecuacin de Schroedinger independiente del tiempo puede

escribirse como:


71/227

7: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

7:

b) Haciendo el cambio de variable:

muestre que la ecuacin (1) se reduce a:

con

c) Obtenga las soluciones de la ecuacin (3) y muestre que la energa est dada

por:

;

y que la funcin de onda es:

con los polinomios de Hermite, y dado por la

ecuacin (2).

Solucin.

a) La ecuacin de Schredinger independiente del tiempo es:


72/227

7" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

7"

donde

Y completando el cuadrado

Por lo tanto, la ecuacin de Schredinger independiente del tiempo queda como:

b)

Haciendo el cambio de variable

se tiene

Con lo cual, la ecuacin (1) se puede escribir como:


73/227

72 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

72

O bien, simplemente

donde se ha definido

c) Si , la ecuacin (3) se comporta como:

Dado que la ecuacin diferencial anterior involucra a la segunda derivada de la

funcin de onda y a ella misma, se prueba con

'

'

Sustituyendo en (5)


74/227

73 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

73

ycomo se est considerando el lmite ,seobtiene que

Con lo que

Pero para tener una solucin fsicamente aceptable con lo cual

Ahora, se propone la solucin completa como

donde no se pone el signo igual, puesto que hace falta normalizar la solucin. Por lo

tanto

Al sustituir en la ecuacin (3)

de donde se obtiene la ecuacin diferencial que debe satisfacer la funcin :

Se propone ahora una solucin en serie de potencias


75/227

74 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

74

Por lo tanto

Sustituyendo en la ecuacin diferencial para :

o bien,

Al tomar el cociente entre dos trminos sucesivos de la serie propuesta (9), para

valores de muy grandes se tiene que

Es decir, la serie (9) crece tan rpido como la funcin para valores de muy

grandes. As, es necesario truncar la serie a partir de cierto valor de para tener

soluciones finitas.


76/227

75 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

75

Sean para . Entonces de (10) se tiene

,

y por la ecuacin (4),

'

A su vez la funcin de onda para el estado n es, de acuerdo con la ecuacin (7):

donde se ha identificado a la serie (9) con los polinomios de Hermite . La

constante de normalizacin se obtiene de manera idntica a como se hizo en el

problema 14, aun cuando est dado ahora por la ecuacin (2). As,

17.Suponga una partcula de masa dentro de un potencial de oscilador armnico

truncado tal que , (ver figura). Con

. Utilizando el mismo escalamiento de coordenadas como en los

problemas anteriores:

a) Resuelva la ecuacin de Schroedinger para este problema y obtenga las

energas permitidas, compatibles con las condiciones de frontera.

b) Comente su resultado respecto al caso del potencial de oscilador armnico

completo.


77/227

76 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

76

Figura 17.1.Potencial de una partcula de masa dentro de un potencial de

oscilador armnico.

Solucin.

a) Si la partcula tiene una energa finita E, entonces la funcin de onda es nula para. Para , la ecuacin de Schredinger independiente del tiempo es:

O bien, con el cambio de variable que se us en el problema 14 :

donde

La ecuacin diferencial obtenida es idntica a la ecuacin (3) del problema 16, y

como el tratamiento para resolver dicha ecuacin en ese problema es independientede las definiciones de y , la solucin hallada vale para este caso. Lo nico que

falta por hacer es determinar adecuadamente los coeficientes en la serie (9), demanera que de la ecuacin (7) se pueda obtener una solucin compatible con la

condicin de frontera adicional para este problema .

Se tiene que


78/227

77 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

77

Imponiendo la condicin antes mencionada

'

Pero de la relacin de recurrencia entre los coeficientes

se ve que si entonces, todos los coeficientes con subndice par son nulos

tambin. As, las energas permitidas en este problema son:

Y la funcin de onda para cada estado:

b) Ya se ha visto que en el caso en que se considera el potencial de un osciladorarmnico truncado como el que se presenta en este problema, slo se obtienen las

soluciones impares del caso en que se toma al potencial de oscilador armnicocompleto. Esto, como se hizo notar antes, es debido a la condicin de frontera

.

Examen 2

18.Un haz de partculas idnticas, de masa , incide por la izquierda con una energa

y es dispersado por un potencial como el que se muestra en la figura. La energa de

las partculas es tal que . Plantee las ecuaciones que relacionan a las

amplitudes de onda en cada regin, tales que se satisfagan las condiciones de

frontera y asintticas.


79/227

78 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

78

Figura 18.1. Potencial de un haz de partculas idnticas, de masa y energa .

Solucin.

El potencial est dado por:

La ecuacin de Schredinger independiente del tiempo en cada una de las tres

regiones es:

Regin l. , o bien

donde .


Regin ll. , o bien

donde .



80/227

79 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

79

Regin lll. , o bien

donde


Dado que el haz de partculas viaja de izquierda a derecha, y como en la regin III

no hay ms barreras en las que se puedan reflejar las ondas de materia asociadas,

entonces:

Aplicando ahora las condiciones:

.



81/227

8: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

8:

Estas cuatro ecuaciones son las relaciones buscadas entre las amplitudes de onda de

cada regin.

Para completar el ejercicio, obtnganse los coeficientes de transmisin y de

reflexin.

Las densidades de corriente de las ondas incidente y transmitida estn dadas por:

!()*+,-./(0/

Luego,

De donde, el coeficiente de transmisin es:

y el coeficiente de reflexin es


82/227

8" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

8"

Ahora, sumando (8) y (9) se obtiene

Restando (8) y (9)

Sumando (10) y (11)

1/"0-(2+ 345% 6 344%

Sustituyendo (15) y (16) en (13), se obtiene:

Pero,

y


83/227

82 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

82

Entonces, la ecuacin (17) queda como:

Luego,

Finalmente, se obtiene el coeficiente de reflexin

entonces:

19.Un electrn est atrapado en un pozo definido por la funcin de energa potencial:

donde es una constante.


84/227

83 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

83

a) Escriba la ecuacin de Schredinger independiente del tiempo para este sistema

y considere estados ligados , utilizando las siguientes definiciones:

b) Analice el comportamiento asinttico de esta ecuacin y muestre que la funcin

de onda fsicamente aceptable con la condicin de acotamiento debe

comportarse como ,con una funcin tal que sea

solucin de la ecuacin de Schredinger.

c) Obtenga la ecuacin que satisface la funcin y muestre que dicha ecuacin

es singular al origen .

d)

Remueva la singularidad y muestre que la solucin fsicamente aceptable debe

comportarse como:

con tal que cuando con una funcin a determinar.

e) Muestre que satisface la ecuacin:

f) Proponga una solucin en serie de potencias en : y muestre

que los coeficientes satisfacen la relacin de recurrencia:

g) Muestre que para valores grandes de y , la relacin entre coeficientes

consecutivos se comporta como . Compare con la relacin entre

trminos consecutivos de la serie exponencial y muestre que tienen

el mismo comportamiento. Qu debe hacer para que la funcin S no

diverja?

h) Muestre que la energa est cuantizada y dada por:


85/227

84 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

84

Solucin.

a) Para claramente la funcin de onda debe ser nula puesto que el electrn

tiene una energa finita.

Para la ecuacin de Schredinger independiente del tiempo es:

Considerando estados ligados, es decir , y usando las definiendo dadas:

y

puede reescribirse la ltima ecuacin como

b) Para , entonces de modo que se puede despreciar el trmino . As,

la ecuacin (1) se reduce a:

,

y como se tiene que

.

Para que sea finita cuando se hace , as:


86/227

85 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

85

Luego, se propone la solucin completa como:

donde la funcin es tal que es solucin de la ecuacin de

Schredinger.

Otra forma de determinar es:

y multiplicando por se tiene

Pero

Y

Entonces,

Pero

entonces


87/227

86 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

86

con una constante de integracin. Despejando , se tiene

Luego, si y son acotadas cuando . As,

e integrado se tiene

Es la solucin fsicamente aceptable pues garantiza que cuando. Nuevamente, es la solucin completa.

c) Derivando dos veces la ecuacin (2), se obtiene:

Sustituyendo (3) y (2) en (1) resulta:

Ntese que, esta ecuacin es singular en el origen debido al coeficiente quemultiplica a la funcin .

d) Para remover la singularidad, se propone :


88/227

87 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

87

Por lo tanto,

Y sustituyendo en la ecuacin (4) se obtiene:

Multiplicando por :

Dado que no se ha determinado an el valor de y como es de inters el caso

lmite en que , los trminos que llevan con entero se anulan en tal

lmite. Entonces se llega a:

Pero, no es de utilidad puesto que, y se recupera la

ecuacin (4) (solucin trivial). Entonces, con se tiene la solucin

fsicamente aceptable

en el sentido de que cuando , suponiendo que la funcin

es bien comportada en el origen y siendo an una funcin por determinar.


89/227

88 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

88

e) Basta con sustituir (6) junto con sus derivadas en la ecuacin (4), lo cual

conduce a la ecuacin (5) con , esto es:

como haba que demostrar.

f) Se propone una solucin en serie de potencias en , esto es:

Derivando esta ecuacin dos veces

Ntese que, el trmino para en es cero, sin embargo; conviene dejar

dicho cero en la suma como se ver a continuacin.

Sustituyendo (8), (9) y (10) en (7) se obtiene:

donde en el tercer trmino se ha sumado un cero para que el ndice corra desde

cero. Para los dos primero trminos se hace,


90/227

89 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

89

.

Entonces,

Y dado que los ndices en las sumas son ndices mudos, se puede reescribir la

ecuacin anterior como:

para todo . De donde se obtiene la relacin de recurrencias entre los

coeficientes:

g) De la relacin de recurrencia se tiene

y multiplicando por resulta:

Sin embargo, para valores grandes de se tiene:


91/227

9: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

9:

As,

Para la serie exponencial

Se tiene:

Con lo que la serie en (8) tiene el mismo comportamiento que la serie

exponencial. De modo que debe truncarse la serie a partir de cierto valor de ,

pues se buscan soluciones acotadas.

h) Sea tal que con . Entonces de (11) se tiene:

Pero, y , por lo tanto

Que exhibe la naturaleza cuntica del espectro de energas.


92/227

9" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

9"

Tarea 6

20. Una partcula de masa est confinada dentro de una caja cilndrica de radio y

altura , con paredes infinitamente rgidas, de manera que el potencial es:

Figura 20.1. Partcula de masa est confinada dentro de una caja cilndrica

de radio y altura

*; Escriba la ecuacin de Schredinger correspondiente en coordenadas cilndricasy aplique el mtodo de separacin de variables para obtener las ecuaciones

para las eigenfunciones , y y muestre que dichas ecuaciones resultan:

con y , las constantes de separacin y la funcin de onda se ha

representado como .


93/227

92 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

92


94/227

93 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

93

=; Para el caso y : (sugerencia: use Mathematica)

i) Construya y grafique la funcin de onda para los estados:

ii) Construya y grafique la distribucin de probabilidad para los

dos casos anteriores, la cual ha sido promediada angularmente (sugerencia: emplee

Mathematica y una vez construida la amplitud de probabilidad use la instruccin:

Plot3D[fi2=,{r,0,2},{z,0,2}]).

Solucin.

a) Como el potencial dentro de la caja es cero, la ecuacin de Schredinger

independiente del tiempo es

Donde es el operador Laplaciano en coordenadas cilndricas:

Esto es:

Como el potencial es independiente de las variables espaciales (as como del

tiempo), puede emplearse el mtodo de separacin de variables para buscar

soluciones de la ecuacin anterior. Se propone la solucin

Sustituyendo (4) en (3):


95/227

94 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

94

Dividiendo por , en ambos lados de la ecuacin (5):

o bien

donde . Como el lado izquierdo de la ecuacin (6) slo depende de y ,yel lado derecho slo depende de , se concluye que ambas partes de esta ecuacin

son iguales a una constante, digamos , de donde resultan

Multiplicando la ecuacin (7) por , se obtiene

donde es una segunda constante de separacin, con lo que de (9) se tienen las

siguientes dos ecuaciones:


96/227

95 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

95

Finalmente, reescribiendo las ecuaciones (8), (10) y (11), se tiene

b) Se resuelven las ecuaciones . Las soluciones de la ecuacin tienen la

forma . Ahora bien, en la variable deben cumplirse condiciones de frontera

peridicas:

Imponiendo estas condiciones se obtiene

Por lo tanto, las soluciones de son

con

Donde la constante se obtiene de la condicin de normalizacin

Con lo cual,

con


97/227

96 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

96

Ahora, se resuelve la ecuacin sujeta a las condiciones de frontera de tipo

Dirichlet:

Que provienen de la continuidad de la funcin de onda en las fronteras de la caja

, en , y en .

La solucin general de es

donde .

De imponer resulta , con lo que (14) se reduce a

Al imponer resulta

Como se buscan soluciones no triviales, el argumento de la funcin seno debe serun mltiplo entero de , esto es:

, con

De donde

, con

As, las soluciones de la ecuacin adquieren la siguiente forma

Ntese que no puede tomar el valor ya que eso dara y lo que se busca

es soluciones no triviales. Es decir, el cero no es eigenvalor del problema de


98/227

97 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

97

eigenvalores . Adems no se toman en cuenta valores negativos de , pues los

eigenvalores dependen del cuadrado de , tal como lo indica la ecuacin (15).

La ecuacin (15) representa tambin la condicin de cuantizacin de la energa. En

efecto, como y , se tiene

donde se va a definir al resolver la ecuacin con las condiciones de frontera

adecuadas.

c) Desarrollando el primer trmino en la ecuacin , resulta

Haciendo el cambio de variable

se tiene ; . Con lo cual, la ecuacin adopta la forma:

o bien, multiplicando por


99/227

98 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

98

Que es la ecuacin de Bessel, cuya solucin general, cuando , es:

donde y son las funciones de Bessel de primera y segunda clase. Se puede

demostrar que en el origen, la funcin no es acotada, mientras que si lo

es. Por lo cual, para construir funciones de onda fsicamente admisibles, debe

hacerse en la ecuacin anterior. As, tomando

Ahora bien, para que la funcin de onda sea contina en las fronteras de la caja,

en la parte que depende de se debe satisfacer la condicin de frontera:

De donde se obtienen los valores de para un radio dado. Sea la -

raz de la ecuacin (23), entonces

d) De la ecuacin (18) se obtiene la energa (en unidades de )del estado base, es

decir, cuando , y , donde , en el caso en que la

altura de la caja sea y el radio .Numricamente esto es

e) Se han obtenido las soluciones en la forma producto (ecuacin (3)) de la ecuacin

(1), las cuales estn dadas por


100/227

99 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

99

La constante se obtiene de imponer la condicin de normalizacin:

Evaluando estas dos ltimas integrales por separado.

Finalmente se va a demostrar el siguiente resultado, que permitir evaluar la

integral sobre .

Primero se reescribe la ecuacin (20) como sigue

donde la prima significa derivar con respecto de . Multiplicando por la

ecuacin (30), resulta


101/227

":: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"::

Integrando esta ltima ecuacin de a , se sigue que

Y como la funcin de Bessel satisface la ecuacin (30), queda demostrada la

ecuacin (29). As,

pero en vista de (23), simplemente se tiene

Por lo tanto, la condicin de normalizacin queda

de donde

f) Con , se tiene:

i) La funcin de onda con , de acuerdo con las ecuaciones (26)

y (33), es:


102/227

":" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

":"

Cuando :

Usando las relaciones y

se pueden reescribir (34) y (35) como:

A continuacin se muestran las grficas de estas funciones de onda, hechasconMathematica.

Haciendo , se tiene


103/227


104/227

":3 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

":3

Figura 20.3.Grfica de la funcin .

Haciendo , se tiene

Si se elige , entonces la funcin queda como

La grfica para la parte real es


105/227

":4 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

":4

Figura 20.4.Grfica de la parte real de la funcin .

La grfica para la parte imaginaria es


106/227

":5 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

":5

Figura 20.5.Grfica de la parte imaginaria de la funcin .

ii) Ahora, se construyen las densidades de probabilidad correspondientes a los

casos que se estn analizando.

Para

La grfica de densidad de probabilidad se muestra en seguida, con


107/227

":6 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

":6

Figura 20.6.Grfica de densidad de probabilidad .

La grfica de densidad de probabilidad se muestra en seguida, con


108/227

":7 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

":7


Para

La grfica de densidad de probabilidad con es



109/227

":8 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

":8

La grfica de densidad de probabilidad con es


Tarea 7

21.Un operador lineal , tiene las siguientes propiedades: y

, con un nmero complejo en general. Muestre cuales de los

siguientes operadores son lineales:


110/227

":9 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

":9

i)

ii)

iii)

iv)

v)

Solucin.

En todos los casos se supone que y pertenecen al dominio de definicin de cada

uno de los operadores, y que es un nmero complejo en general.

i) Se tiene:

es un operador lineal.

ii)

Sin embargo no se cumple la segunda propiedad

no es un operador lineal.

iii)



111/227

"": #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"":

iv)

es un operador lineal.

v)


22. y son operadores que conmutan entre s. Sea una eigenfuncin de con

eigenvalor .

a) Muestre que , es tambin eigenfuncin de en el caso de que

corresponda a un estado no degenerado.

b) Si se tiene un conjunto de eigenfunciones de con el mismo

eigenvalor , muestre que una combinacin lineal de estas funciones estambin eigenfuncin de .

Solucin.

a) Como es tambin eigenfuncin de con eigenvalor , entonces se cumple

que:

.

Aplicando el operador por la izquierda en ambos lados de la ecuacin

anterior:

Y usando el hecho de que y conmutan entre s, as como de que cualquier

operador conmuta con una constante, se obtiene:


112/227

""" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"""

de donde se sigue que es una eigenfuncin de con eigenvalor , pero

por hiptesis corresponde a un estado no degenerado, es decir, que es lanica eigenfuncin de con eigenvalor . Por lo tanto, se concluye que

es un mltiplo constante de , esto es:

Pero, esta es la ecuacin de eigenvalores del operador , con lo que se sigue que

es tambin eigenfuncin de .

b) Se denota por una combinacin lineal del conjunto :

.

Entonces, si es lineal

Con lo cual,

Pero, es la eigenfuncin ms general de que corresponde al eigenvalor ,

de donde se sigue que:

.

De modo que es una eigenfuncin de .


113/227

""2 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

""2

23.Pruebe que si son operadores arbitrarios, se cumple que:

i)

ii)

iii) ;

Solucin.

i) De la definicin del conmutador entre dos operadores, se tiene:

ii)

iii) Aplicando el operador a una funcin de prueba :


114/227


115/227

""4 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

""4

Por lo tanto, es un operador Hermitiano.

Adems:

Si es una constante real, entonces:

Por lo tanto, es un operador Hermitiano.

25.De los siguientes operadores, diga cules son Hermitianos y por qu:


116/227

""5 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

""5

i)

ii)

iii)

iv)

Solucin.

En todos los casos se asume que los operadores estn definidos en el espacio

, dado por:

i) Se desea saber si se satisface la siguiente relacin:

.

Al integrar por partes:

Como y son funciones cuadrado integrables, el primer trmino en el

lado derecho de la ltima igualdad es nulo . As,

Esto es, el operador no satisface la condicin de Hermiticidad.

ii) pero


117/227

""6 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

""6

Con lo cual,

Si y son ortonormales se tiene

As,

El trmino domina cuando , y al ser y cuadrado

integrables

Por lo tanto, no es Hermitiano.

iii)


118/227

""7 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

""7

Por lo tanto, es Hermitiano.

iv)

Donde se ha usado el resultado del inciso anterior. Luego, no es

Hermitiano.

Tercer examen

26.

Considere una partcula de masa limitada a moverse dentro de una caja

bidimensional rectangular de dimensiones y cuyas paredes son infinitamente

rgidas, es decir, la partcula est confinada por el potencial:

Figura 26.1. Potencial de una partcula que se mueve dentro

de una caja rectangular de dimensiones y .

a) Obtenga las eigenfunciones (sin normalizar) y eigenenergas para la

ecuacin de Schrdinger estacionaria asociada.

b) Construya una tabla para la energa de los tres primeros estados en

funcin de e indique la degeneracin de cada uno.


119/227

""8 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

""8

Solucin.

a) Como las paredes de la caja son infinitamente rgidas, la probabilidad de

encontrar a la partcula fuera de sta es nula, de forma que slo se tiene

la ecuacin de Schredinger estacionaria en la regin:

Entonces:

Con ; es decir,

Ahora, usando el mtodo de separacin de variables para resolver la

ecuacin (1). Se propone una solucin de la forma:

Con lo que,

O bien,

Derivando la ecuacin (3) con respecto a resulta:


120/227


121/227

"2: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"2:

Para tener soluciones no triviales se requiere que:

Anlogamente resolviendo el problema se Sturm-Liouville regular en :

As, las eigenfunciones del problema de eigenvalores (1), para un estadodado, son:

con

y una constante de normalizacin.

Los eigenvalores estn dados por la relacin (6):


122/227

"2" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"2"

b) Suponiendo , se tiene:

Para simplificar, se hace .

La tabla que se pide se muestra a continuacin:

Degeneracin

1 1 1

1

2

2

12

2 2 1

Tabla 26.1. Energa de los tres primeros estados en funcin de

27. El operador Hamiltoniano de una partcula sujeta a un potencial es (en una

dimensin):

Verifique si este operador es o no Hermitiano.

Solucin.

La condicin de Hermiticidad es:

donde y son eigenfunciones de . Entonces:


123/227

"22 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"22

Desarrollando cada trmino se tiene:

Evaluando esta integral por partes dos veces, y teniendo en cuenta que para tener funciones

de onda fsicamente admisibles

, cuando

, cuando .

Se obtiene:

As,


124/227

"23 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"23

Por otra parte, si es real:

Con lo cual,

Por lo tanto, es Hermitiano.

28.Evale los siguientes conmutadores:

a) con

b)

con

c) con

Solucin.


125/227

"24 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"24

a)

b)

c)


126/227

"25 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"25

29.Muestre que los eigenvalores de un operador Hermitiano son reales.

Solucin.

Sea una eigenfuncin de un operador Hermitiano con eigenvalor .

Entonces,

Multiplicando a (i) por e integrando sobre todo el espacio se tiene:

Multiplicando a (ii) por e integrando sobre todo el espacio se tiene:

Pero como es Hermitiano, se satisface que:


127/227

"26 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"26

Po lo tanto, de (iii) y (iv):

Y como , adems no es eigenfuncin,

entonces:

Solucionario del curso de mecnica cuntica II

Tarea 1

30. El operador adjunto, , asociado a un operador est definido por el

producto interior:

es decir;

i) Pruebe que para dos operadores y

y que por tanto se sigue que: .

ii) Empleando la definicin de Hermiticidad y la definicin (1) de operador

adjunto, muestre que un operador Hermitiano es auto-adjunto, es decir

.


128/227


129/227

"28 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"28

iii)Si y son Hermitianos, por (ii) se tiene: y . De manera que para

estos operadores, el resultado de (i) queda como:

iv)Asumiendo vlidas las siguientes propiedades para operadores arbitrarios:

a)

b) .

Entonces,

. (por (i))

v) Por demostrar: . Aplicando la propiedad (a) usada en el

inciso anterior, as como el resultado del inciso (i), se obtiene:

(por ser Hermitianos)

vi)Se tiene:

Por otra parte

De (1) y (2) . De manera que la nica posibilidad para que

sea Hermitiano es que:


130/227

"29 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"29

31.Para el oscilador armnico unidimensional, cuyo operador Hamiltoniano es:

, con

se definen los operadores

i) Muestre que .

ii) Muestre que .

Solucin.

i) Se tiene:

El conmutador vale , como se puede obtener al evaluar su accin sobre

una funcin de prueba .


131/227

"3: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"3:

Usando este resultado y como , resulta:

ii) Se tiene:

Evaluando estos dos ltimos conmutadores por separado, primero

Ahora, se calculando usando el hecho de que

. Entonces:

Pero, y . Por lo tanto,


132/227

"3" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"3"

Luego,

As, finalmente se tiene que:


133/227

"32 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"32

Tarea 2

32.Los operadores de ascenso y descenso para el oscilador armnico unidimensional se

definen como:

a) Muestre que el operador de energa cintica queda representado por:

b)

Sea una eigenfuncin correspondiente al eigenvalor ; es decir

, con . Empleando el resultado (2), muestre que

el valor esperado de la energa cintica es .

c) Sabiendo que , muestre que .

d) De las definiciones dadas por (1), muestre que .

e) Muestre que . De este resultado,

muestre a continuacin que .

f) Empleando las definiciones (1), muestre que: con

.

g) Muestre finalmente que si la relacin de incertidumbre

se cumple para valores de no muy grandes.

Solucin.

a) Hay que mostrar que:


134/227

"33 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"33

Desarrollando el trmino :

Pero,

Anlogamente,

Luego,

Por otro lado,


135/227

"34 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"34

Igualando (2) con (3) resulta

b) A partir del resultado del inciso a)

Sabiendo que la accin de los operadores sobre un estado est dada por

Entonces,

Y


136/227

"35 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"35

As,

Pero , entonces se llega a

c) El Hamiltoniano est dado por:

y como , se tiene que

Pero , obtenido en el inciso anterior, entonces

d) De las definiciones (1)


137/227

"36 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"36

Luego,

Pero,

Por lo tanto,

e) Por definicin, la desviacin del operador es :

Luego,

!"#7

8/9+ :+.+ 7 9/";*0-

Y como ya se vio , se llega a


138/227


139/227

"38 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"38

Pero, ya se vio que . Por lo tanto

Finalmente, resulta

g) Del inciso e) se demostr que:

y del inciso f)

De (4)

De (5)

Luego,

Pero , por lo que

Finalmente, si . As


140/227

"39 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"39

33.Los operadores de ascenso ydescenso para momento angular se definen como:

.

Muestre que:

a)

b)

c)

Solucin.

Para realizar los clculos se necesitarn las siguientes relaciones de conmutacin

entre los operadores y :

Tambin se ocuparn las definiciones de los operadores de ascenso y descenso

para momento angular

a) Usando la propiedad , se tiene

y en vista de (2) y (3); esto es


141/227

"4: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"4:

b) Calculando el producto

Pero, y de (1) , por lo

tanto

Anlogamente,

c)

Por un lado se tiene que

y de las definiciones de y , ecuacin (4), este producto puede

escribirse tambin como

De manera que


142/227


143/227

"42 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"42

Para calcular el valor esperado de , se reescribe este operador en trminos de y ,de

la siguiente manera

As,

.

Y usando nuevamente las relaciones (2) y (3), se obtiene

donde

Pero como las eigenfunciones son ortogonales, simplemente queda


144/227

"43 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"43

puesto que y . As, despus de simplificar, se llega a

Adems se ha obtenido que

35.

Un trompo simtrico con momentos de inercia est descrito por el

Hamiltoniano:

en donde los momentos de inercia son parmetros y no operadores.

a) Obtenga los eigenvalores y eigenfunciones asociados a la ecuacin de Schredinger

correspondiente:

De qu eigenfunciones se trata?

b) Muestre que el valor esperado con el nmero cuntico

azimutal.

Solucin.

Se tiene que el Hamiltoniano del sistema est dado por


145/227

"44 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"44

a) L a ecuacin de Schredinger estacionaria correspondientes, es

O bien,

Pero , por lo que

Pero ya se ha visto que se satisface

Donde las eigenfunciones son los armnicos esfricos, .Y

tambin

Entonces, la ecuacin de eigenvalores (3), queda como

De manera que los eigenvalores son


146/227

"45 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"45

Y las eigenfunciones correspondientes, ya normalizadas, son los armnicos

esfricos:

donde para y para .

b) Se tiene

En el problema 34, se encontr que , y revisando la forma en que se lleg

a ese resultado, es fcil ver tambin que . Por lo tanto

Pero en vista de (4) y con , sta ecuacin se convierte en

ya que los armnicos esfricos forman un conjunto ortonormal.

Tarea 3

36.Empleando los operadores de creacin y aniquilacin para el oscilador armnico

1D:

donde . Obtenga el valor esperado del potencial , donde

es eigenfuncin del Hamiltoniano con eigenvalor .


147/227

"46 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"46

Solucin.

De la definicin de los operadores de creacin y aniquilacin

se tiene que

Por lo tanto

Y sabiendo que aplicando los operadores de creacin y aniquilacin (tal como se han

definido aqu) sobre una eigenfuncin, se obtiene

Se sigue entonces que


148/227

"47 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"47

Y como las eigenfunciones del operador Hamiltoniano del oscilador armnico forman un

conjunto ortonormal, es decir, , se obtiene

37.Considere el Hamiltoniano de una partcula de carga y masa movindose en

una dimensin sujeta a un potencial de oscilador armnico y un campo elctrico

en la direccin :

Sea una funcin arbitraria bien comportada, tal que:

donde son eigenfunciones del Hamiltoniano del oscilador no perturbado:

Empleando los operadores y , y sabiendo que

, obtenga una

expresin para los elementos de matriz .

Solucin.

El Hamiltoniano es


149/227

"48 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"48

O bien, con el Hamiltoniano del oscilador no perturbado, es decir

Se tiene

Luego, los elementos de matriz estn dados por

donde y son eigenfunciones de , las cuales forman una base completa. As, y

haciendo uso de la ecuacin (2.b), encontramos que los elementos de matriz

correspondientes a , son

Para evaluar los elementos de matriz asociados a , primero hay que expresar este operador

en trminos de los operadores de creacin y aniquilacin, tal como se hizo en el ejercicioanterior, esto es

Y recordando las relaciones (3.a) y (3.b)del ejercicio 36, se obtiene lo siguiente


150/227

"49 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"49

donde en el ltimo paso se utiliz la relacin , con la masa de la partcula.

Sustituyendo (4) y (6) en (3), se obtiene la expresin buscada para los elementos de matriz

de :

38.Empleando los operadores de escalera ysabiendo que:

i) Muestre que:

ii) Muestre que:

Solucin.

a) Se sabe que


151/227

"5: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"5:

Aplicando los operadores a las ecuaciones anteriores. Primero,

pero los operadores y conmutan. Por lo tanto

Luego,

Y recordando que

se tiene

As,

De las ecuaciones (3) y (6) se infiere que al aplicar los operadores sobre el

estado solamente da como resultado un cambio en el valor del nmero

cuntico . Por lo cual, se propone

donde es una constante a ser determinada. Para encontrar dicha constante, hay

que tomar el complejo conjugado de la ecuacin (7) y luego se multiplica lo que

resulte, miembro a miembro, con dicha ecuacin. Esto es,


152/227

"5" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"5"

Pero . En efecto, esto es consecuencia de que de y son operadores

Hermitianos (pues representan observables fsicas), con lo que

.

As pues

Por otro lado, utilizando el resultado obtenido en la tarea 2 (problema 33, inciso

b)

se tiene que

.

Y en vista de las ecuaciones (1) y (2), y por estar las eigenfunciones normalizadas

As, de (8) y (10), se sigue que

Finalmente, al sustituir (11) en (7), se obtienen las relaciones que se deseaban

probar:


153/227

"52 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"52

b) De las definiciones de los operadores , se puede escribir al operador como

De manera que

Por lo tanto

Y usando (12) y (13)

Pero, y , con lo cual


154/227

"53 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"53

Ahora, nuevamente de las definiciones de los operadores , se tiene que

As,

Luego,

39.Considere una partcula cuya funcin de onda se representa por:

con una constante de normalizacin y un parmetro.

Se hace una medicin de los valores de y de . Muestre que la probabilidad de

que las medidas den los valores: es .


155/227

"54 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"54

Ayuda: Exprese la funcin de onda en coordenadas esfricas y muestre que se

puede escribir como un producto e identifique la funcin y

normalcela. Aprovechando la completez de la base de los armnicos esfricos, la

funcin puede expresarse como:

obtenga los coeficientes y por tanto y utilice la interpretacin fsica de

esto ltimo.

Solucin.

En coordenadas esfricas:

Por lo tanto, la funcin de onda de la partcula, en estas coordenadas, es

Que puede ser reescrita como

donde

y

En vista de que la funcin de onda es separable, la condicin de normalizacin


156/227

"55 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"55

puede satisfacerse normalizando la parte radial [ec. (3)] y la parte angular [ec. (4)],

individualmente. Ahora bien, se ha visto que las cantidades y , dependen, en

coordenadas esfricas, exclusivamente de las variables angulares. Por tanto, se

ocuparn solamente la parte angular para determinar la amplitud de probabilidad

asociada a cierta medicin de estas observables.

Imponiendo la condicin de normalizacin sobre :

De donde,

Con lo cual,

Luego, dada la completez de la base de los armnicos esfricos , se puede

expandir a como


157/227

"56 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"56

donde los coeficientes , estn dados por

con

Luego, recordando que, en la expresin

donde es el operador asociado a la observable , y los eigenvalores de tal

operador; el cuadrado de la amplitud de los coeficientes , da la probabilidad de

encontrar al sistema en el estado , cuando se efecta una medicin. Ahora bien,

como los armnicos esfricos son eigenfunciones de los operadores asociados a y

, se sigue que, se puede evaluar la probabilidad pedida a partir de los coeficientes

dados en (8). Ms an, y significa, de acuerdo con las ecuaciones

(1) y (2) del problema anterior, que el valor de los nmeros cunticos

correspondientes es y . Por lo que nicamente hay que calcular la

integral

Donde , est dado por

As,


158/227


159/227

"58 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"58

Sea un eigenestado del operador asociado al oscilador armnico unidimensional

y tal que para otro eigenestado se cumple que . Empleando la

informacin anterior, obtenga los valores esperados: y .

Solucin.

De la definicin de los operadores , haciendo , se tiene

Entonces,

Y usando las relaciones (2), se obtiene

,

donde se ha empleado el hecho de que los estados son ortonormales. As,


160/227

"59 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"59

Anlogamente se hace , para obtener el operador :

Entonces,

41.Una molcula de se encuentra en el estado:

con los armnicos esfricos , los cuales son eigenfunciones

de y tales que , .

Qu posibles valores de y arrojar una medicin y con qu probabilidad

ocurren dichos valores?

Solucin.

Uno de los postulados fundamentales de la mecnica cuntica establece que si es un

operador asociado a una observable fsica, con eigenfunciones y eigenvalores ,

entonces considerando


161/227

"6: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"6:

el valor esperado de la observable est dado por

Donde son los posibles los valores que puede tomar la observable durante una

medicin y es la probabilidad de que ocurran dichos valores.

As, al realizar una medicin simultnea de y en la molcula de en el estado

dado, los posibles valores y su respectiva probabilidad de ocurrencia, son

y con

y con

y con

Ya que los eigenvalores de son y de son , correspondientes al estado

.

42.Un sistema tiene momento angular total . El operador asociado al sistema

est dado por la matriz:

a) Es hermitiano?

b) Cules son los posibles eigenvalores de ?

c)

Obtenga los eigenvectores normalizados correspondientes.

Solucin.

a) Un operador es Hermitiano si . Para el operador se tiene


162/227

"6" #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"6"

es Hermitiano.

b) La ecuacin secular es

Esto es,

Por lo tanto, los eigenvalores de son:

c) Ahora, hay que determinar los eigenvectores.

Para , se tiene:

de donde

Y usando la condicin de normalizacin resulta:


163/227

"62 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"62

As, el eigenvector (normalizado) asociado a , es

Para , se tiene:

de donde

Y usando la condicin de normalizacin resulta:



164/227

"63 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"63

Finalmente, para :

Y usando la condicin de normalizacin se tiene:


Ntese adems que los eigenvectores son ortogonales, tal como se sabe es el caso

para eigenvectores de operadores autoadjuntos, correspondientes a distintos

eigenvalores.


165/227


166/227

"65 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"65

Y como es real se tiene:

As, la funcin normalizada es:

b) Sabiendo que

con

Se tiene

puesto que Adems, como queda

c) Primero hay que expresar a en trminos de los operadores de escalera:


167/227

"66 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"66

As,

Por lo que hay que encontrar . Para esto, recurdese que:

donde

Con lo cual,

ya que y . As, el valor esperado de en el estado

es

Luego, para calcular el valor esperado de , recurdese que:


168/227

"67 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"67

As,

d) Teniendo en cuenta que satisface,

que significa que . Por lo tanto, la probabilidad de obtener en

una medicin est dada por la amplitud al cuadrado del coeficiente de ,

esto es:

e) Primero,

As, y por la ortonormalidad de los armnicos esfricos,

Luego, por lo calculado en el inciso c), se tiene:


169/227

"68 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"68

Por lo tanto,

44.Considere un sistema de momento angular total . Queremos llevar a cabo

mediciones de

a)

Cules son los posibles valores que obtendremos cuando se mida ?b) Calcular , si el sistema est en el estado .

Solucin.

a) De acuerdo con uno de los postulados de la Mecnica Cuntica, los resultados de las

mediciones de una observable fsica, estn dados por los eigenvalores del operador

asociado a dicha observable. As, los posibles valores que se obtendrn al medir ,

estn dados por los eigenvalores de , los cuales son . (Que se

obtienen por simple inspeccin por ser una matriz diagonal.).

b) Primero, se calcula la matriz que representa a . Para ello recurdese que,


170/227

"69 #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"69

y que

Es decir, (para ):

Por lo tanto,

Luego, calculando el estado correspondiente a , que se denota por . Se

tiene

de donde

En realidad se debera escribir el estado como . Para simplificar

slo se refiere a este estado como . De manera que,


171/227

"7: #$%&'($)*+($ ,- .-'/)('* 0&/)1('*

"7:

45.Considere una partcula cuyo operador Hamiltoniano est dado por:

a) Pruebe si el estado es un eigenestado de , es decir, se cumple

que , con ?

b) Es

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