Bab 4

Solusi Sistem Persamaan Linier dan Nilai E i g e n

I. Pendahuluan

Bab ini membahas metode penyelesaian sistem n persamaan linier simultan

dengan n nilai yang tidak diketahui x1,x2,....,xn , yang dinyatakan sebagai

berikut:

(1)

Sistem persamaan linier simultan dapat dituliskan sebagai berikut:

(2)

selanjutnya secara singkat ditulis:

( 3 )

B, x dan u masing-masing adalah matrik koefisien, vektor solusi dan vektor nilai

yang diketahui. Berikut ini akan diberikan beberapa metode penyelesaian sistem

persamaan linier simultan linier dengan operasi matrik.

II Metoda Eliminasi GAUSS-JORDAN

Untuk membei gambaran tentang metode ini, berikut diberikan contoh sebuah

sistem persamaan linier simultan.

V-1

(4)

Untuk itu matrik koefisien, vektor nilai yang diketahui serta matrik satuan ditulis

bersama dengan simbol [B| u | I] dalam bentuk sebagai berikut:

(5)

V-2

Langkah-langkah metode eliminasi Gauss-Jordan diberikan sebagai

beri kut:

Step 1 : normalisasi baris pertama dengan cara membagi elemen-elemen

baris pertama dengan nilai pivot (nilai elemen diagonal) baris pertama, yaitu 2.

Step 2 : reduksi elemen baris berikutnya (baris kedua), sehingga nilai

elemen baris kedua kolom pertama menjadi nol, dengan cara operasi baris,

yaitu mengurangi elemen-elemen baris kedua dengan elemen-elemen baris

pertama hasil step 1.

Step 3 : ulangi step 2 untuk elemen-elemen baris berikutnya (baris ketiga)

dengan cara operasi baris, yaitu mengurangi elemen-elemen baris ketiga

dengan 3 kali elemen-elemen baris pertama hasil step 1. Setelah step ini,

maka elemen-elemen matrik menjadi berikut:

Step 4 : ulangi step 1 untuk baris kedua: normalisasi baris kedua dengan

cara membagi elemen-elemen baris kedua dengan nilai pivot (nilai elemen

diagonal) baris kedua, yaitu 25/2.

Step 5 : reduksi elemen-elemen baris pertama, sehingga nilai elemen baris

pertama kolom kedua menjadi nol, dengan cara operasi baris, yaitu

mengurangi elemen-elemen baris pertama dengan -7/2 kali elemen-elemen

baris kedua yang baru hasil step 4.

Step 6 : ulangi step 2 untuk baris ketiga: reduksi elemen-elemen ketiga,

sehingga nilai elemen baris ketiga kolom kedua menjadi nol, dengan cara

operasi baris, yaitu mengurangi elemen-elemen baris ketiga dengan -5/2 kali

elemen-elemen baris kedua yang baru hasil step 4. Setelah step ini, maka

elemen-elemen matrik menjadi berikut:

(7)

Step 7 : ulangi step 1 untuk baris ketiga: normalisasi baris ketiga dengan

cara membagi elemen-elemen baris ketiga dengan nilai pivot (nilai elemen

diagonal) baris ketiga, yaitu 47/5.

Step 8 : ulangi step 5: reduksi elemen-elemen baris pertama, sehingga nilai

elemen baris pertama kolom ketiga menjadi nol, dengan cara operasi baris,

yaitu mengurangi elemen-elemen baris pertama dengan -6/25 kali elemen-

elemen baris ketiga yang baru hasil step 7.

Step 9 : ulangi step 8: reduksi elemen-elemen baris kedua, sehingga

nilai elemen baris kedua kolom ketiga menjadi nol, dengan cara operasi

baris, yaitu mengurangi elemen-elemen baris kedua dengan -16/25 kali

elemen-elemen baris ketiga yang baru hasil step 7. Setelah step ini,

maka elemen-elemen matrik menjadi

berikut :

(8)

B - 1 , u, x dan / masing-masing adalah matrik koefisien invers, vektor nilai

yang diketahui, vektor solusi serta matrik satuan. Secara umum matrik

dalam algoritma metoda eliminasi Gauss-Jordan membentuk

matriks dengan orde n x ( n + m ) yang terdiri dari matrik koefisien n x n

ditambah dengan m kolom yang terdiri dari vektor nilai yang diketahui

serta matrik satuan yang dituliskan dengan simbol berikut.

(9)

Misal k = 1,2, ........ ,n adalah index atau penghitung (counter) pivot, maka

algoritma metoda eliminasi Gauss-Jordan dapat dituliskan sebagai berikut:

Catatan

1. Jika elemen-elemen di sebelah kiri akksama dengan nol pada baris

ke k d i awal baris yang akan dinormalkan, maka tidak perlu

menormalkan akj, untuk j < k

2. Untuk menghindari modifikasi elemen-elemen terlalu dini pada

kolom pivot, maka index atau penghitung kolom j selalu diturunkan dari

nilai (n + m) tertinggi sampai dicapai nilai kolom pivot.

5.3. Metoda Iterasi Gauss-Siedel

Persamaan (52) dapat dimodifikasi menjadi persamaan berikut:

x1 = (u1 – b12 x2 – b13 x3 - ....- b1n xn)/b11

x2 = (u2 – b21x1 – b23 x3 - ....- b2n xn)/b22

.

.

xn = (un – bn1 x1 – bn2 x2 - ....- bn,n-1 xn,n-1)/bnn

(11)

contoh :

4x1 + 2x2 + x3 = 11

-x1 + 2x2 = 3

2x1 + x2 + 4x3 = 16(12)

Sesuai persamaan (11), maka persamaan (12) dapat dimodifikasi menjadi

sebagai berikut:

(13)

Untuk iterasi pertama, maka vektor solusi awal ditentukan dengan x0 = [1,

1, 1]. Proses perhitungan vektor solusi pada iterasi pertama ditunjukkan

sebagai berikut:

(14)

Jadi setelah iterasi pertama vektor solusi mempunyai nilai :

(15)

Selanjutnya setelah iterasi kedua dan ketiga diperoleh vektor solusi sebagai berikut :

(16)

dan (17)

Jadi algoritma metode iterasi Gauss – Seidel secara simbolik dapat dilakukan sebagai berikut :