Upload
can-ozan-ataman
View
249
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/25/2019 soyu zet
1/22
1
SOYUT CEBR
DERS 1-
1.BLM FONKSYONLARTanm:f,Adan Bye bir bant olsun. a A iin ( , )a b f olacak ekilde bir tek b B varsa
fye Adan Bye bir fonksiyondenir ve :f A B eklinde gsterilir.
Not:AxBnin bo olmayan her alt kmesine Adan Bye bir bantdenir.{( , ) | , }f AxB a b a A b B eklinde tanmlanr.
rnek: 2f={(x,y):x=y , x,y } bu bant bir fonksiyon deildir.
zm:x=4 iken 2y 4 2, 2y y olduundan fonksiyon deildir.( de tanml
olduundan negatif saylarda dahildir bundan tr fonksiyon olamaz.)
Tanm: :A
I A A a A iin ( )AI a a ile tanml fonksiyona Ann zdelik veya birim
fonksiyondenir. :f A A ve ( )f x x eklinde tanmlanr.
Tanm:f,g: A B iki fonksiyon olsun. f g a A iin f(a)=g(a) olmasdr.(Fonksiyonuneitliktanm).
Tanm:f: A B olsun;(i) ( ) { ( ) | }f A f A a A B ise fye rtendir denir. b B iin f(a)=b olacak ekilde a A
varsa fye rten denir.(ii)
1 2,a a A iin 1 2( ) ( )f a f a iken 1 2a a oluyorsa fye 1-1 (birebir) denir.
1 2 1 2[ ( ) ( )]a a f a f a eklindede tanmldr.
yi tanmllk: 1 2 1 2( ) ( )a a f a f a ise f iyi tanmldr denir.(Kendimiz fonksiyon
tanmlyorsak iyi tanmlln incelemeliyiz.)
rnek:
(i)Birim fonksiyon 1-1 ve retendir.zm: :f A A olduundan rtendir.
( ) ( )f x f y x y olduundan 1-1 dir.
(ii) :f ( ) xf x e birebirdir fakat rten deildir.
zm: ( ) ( ) x yf x f y e e x y olduundan 1-1 dir.rten olmadn gstermek iin bir rnek gstermemiz yeterli onun iin rnein 2y
iin f(x)=-2 olacak ekilde bir mevcut deildir bundan dolay rten olamaz.
(iii) :f 2( )f x x 1-1 ve rten deildir.zm:f(x)=4 iin x2=4 olup 2x dir . 2 2 olduundan 1-1 deildir.Ayn ekilde
negatif saylar bu fonksiyonla oluturulamayacandan reten deildir.
7/25/2019 soyu zet
2/22
2
Tanm: : , :f A B g B C iki fonksiyon olsun.
Her a A iin h(a)=g(f(a)) ile tanml :h A C fonksiyonuna f ile gnin bilekesidenir vegof ile gsterilir.
nerme : : , :f A B g B C , :h A C fonksiyon olsun.Bu durumda
ho(gof)=(hof)ofdr.
spat:ho(fog):A B a A iin [ho(gof)](a)=ho(gof)(a)
=ho(g(f(a))= h(g(f(a))
Tanm: :f A B bir fonksiyon ve u B ise 1( ) { : ( ) }f u a A f a u A alt kmesineunun f altndaki ters grntsdenir.
Tanm: :f A B 1-1 ve rten fonksiyon olsun b B elemanna f(a)=b olacak ekilde (tektrl) bir a A eleman karlk getiren Bden Aya tanml fonksiyona fin ters fonksiyonudenir ve 1 :f B A ile gsterilir.
f 1-1 ve rten ise 1( ) ( )f a b a f b dir.Yaplmas gereken ey her taraf f-1ile
arpmaktr.Yani 1 1( ( )) ( )f f a f b .
Bileke fonksiyon tanmndan 1 1, ' .A B
f of I fof I dir
1f f
A B A
1f f
B A B
nerme: : , :f A B g B C fonksiyonlar verilsin.
i)f ve g rten ise gof da rtendir.ii)f ve g 1-1 ise gofda 1-1dir
spat:i)gof A C gstermemiz gereken c C iin(gof)(a)=c olacak ekilde a A vardr.
c C iin :B C rten olduundan c C iin g(b)=c olacak ekilde b B vardr.:f A B rten olduundan b B iin f(a)=b olacak ekilde en az bir a A vardr. g(b)=c
g(f(a))=(gof)(a)=b olur.ii)gof(a1)=gof(a2) a1=a2 gsterilecek olandr.g(f(a1))=g(f(a2)) g birebir olduundan;f(a1)=f(a2) f birebir olduundan;a1= a2 dir.
Teorem: : , :f A B g B C fonksiyonlarnn tersi varsa :gof A C fonksiyonunda tersi
vardr ve 1 1 1( )gof f og dir.spat: :f A B 1-1 ve rten gof da
:g B C 1-1 ve rten 1-1 ve rtendir
O halde gofun tersi mevcuttur.
7/25/2019 soyu zet
3/22
3
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) c
gof o f og go fof og gog I
I
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) Bf og o gof f o g og of f of I
I1 1 1( )gof f og dir.
KL LEMLER
Tanm:A bir kme olmak zere :f AxA A fonksiyonuna Ada bir ikili ilem denir.
Tanm:X,Ada bir ikili ilem olsun.i) ,a b A iin a b b a ise ilemi deimelidir.ii) , ,a b c A iin ( ) ( )a b c a b c ise ilemi birlemelidir.
rnek : ( , ) ( ,.)ve cebirsel yaplar verilsin.+ve . ilemleri de hem deimeli hemde
birlemelidir.
Tanm: ve A kmesi zerinde tanml ilem olsun. , ,a b c A iin;i) ( ) ( ) ( )a b c a b a c ise n da soldandalma zelliivardr denir.ii) ( ) ( ) ( )a b c a c b c ise n da sadan dalma zelliivardr denir.
Tanm: Ada bir ikili ilem olsun a A iin a e=e a=a olacak ekilde bir e A varsabu elemana ileminin etkisiz elemandenir.
Tanm: Ada bir ikili ilem olsun a A iin 1 1a a a a e olacak ekilde 1a A varsa bu 1a elemanna ann tersidenir ve 1a ile gsterilir.
nerme: Ada bir ikili ilem olsun ileminin etkisiz eleman varsa tektir.
spat:varsayalm 1 2,e e ileminin iki etkisiz eleman olsun.
e1etkisiz eleman olduundan 1 2 2e e e 2 1e e e2etkisiz eleman olduundan 1 2 1e e e bulunmu olur.
nerme: Ada bir ikili ilem ve e A etkisiz eleman olsun. a A eleman varsa tersi tektir.
spat:Var sayalm ann b ve c gibi iki tane tersi olsun.b ann tersi olduu iin a b b a e c ann tersi olduu iin a c c a e dir.
( ) ( )b b e b a c b a c e c c
b c elde edilir.
7/25/2019 soyu zet
4/22
4
nerme: Ada bir ikili ilem ve a A olsun.1 1( )a a
dr.
spat:1
,a x y a
alalm.1 1y a a a a e
1 1( )a a
nerme: ,a b A iin 1 1 1( )a b b a dir.
spat: 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )a b b a a b b a a a e
e e
ayn ekilde 1 1( ) ( )b a a b e dir.Ohalde;
1 1 1
( )a b b a
dir.
2.BLM GRUPLAR
Tanm:G bo olmayan bir kme .(nokta) da G zerinde tanml bir ikili ilem olsun.Eeraadaki zellikler salanyorsa (G,.) yapsna bir grupdenir.
i) ,a b G iin .a b G (kapallk)
ii) , ,a b c G iin .( . ) ( . ).a b c a b c (birleme)iii) a G iin a.e=e.a=a olacak ekilde e G (etkisiz eleman)
iv) a G iin1 1
. .a a a a e
olacak ekilde1
a G
(ters eleman)
Eer ,a b G iin a.b=b.a oluyorsa Gye abelyen (geimeli) gruptur.
1)En basit grup {e,.}gruptur.2) ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) birer abel gruptur.
3) ( {0},.), ( {0},.), ( {0},.), ( {0},.)
Gruptur Grup deildir
rnek:A={1,-1,i,-i} kmesi kompleks saylarda bilinen arpma ilemi ile bir gruptur.
zm:
7/25/2019 soyu zet
5/22
5
* , ,a b c A iin a.(b.c)=(a.b).c olduundan birlemelidir.
* a A iin a.1=1.a=a olduundan 1 A etkisiz elemandr.* 1 1 1 11 1, ( 1) 1, ( ) , ( )i i i i (her elemann tersi vardr)
A bir gruptur.
renek:i) ,n m olmak zere elemanlar den olan mxn tipinde matrislerden oluan mxn kmesitoplama ilemi ile beraber bir gruptur.arpama ilemine gre grup olams iin determinantsfrdan farkl olan matrisler kmesi olmaldr.ii) 1n iin;
( ) { : det 0}nxnn
GL A A (n. Dereceden genel lineer grup)
( ) { : det 1}nxnn
SL A A ( n. Dereceden zel lineer grup)
Tanm:M bir kme olsun.Mden Mye birebir ve rten dnme Mnin bir
permtasyonudenir.Mnin tm permtasyonlarnn kmesi P(m)ile gsterilir.
rnek:M bir kme olmak zere P(m) kmesi bilinen fonksiyon bilekesi ilemi ile birgruptur.zm:
i) , ( )f g P m olsun ( )fog P m midir?
1-1ve rten iki dnmn bilekesi de 1-1 ve rten olduundan fog 1-1 ve rten olup( )fog P m dr.
ii)Bileke ilemi birlemeli olduundan ikinci zellikte salanr.iii) :
mI M M dnmn bileke ileminin etkisiz elemandr.
iv) ( )f P m iin f 1-1 ve rten olduundan1
( )f P m
( ( ), )P m bir gruptur.
Tanm:n bir pozitif tam say ve ,a b olsun. (mod ) |a b n n a b eklinde tanmlanan
( (mod )n ) bants bir denklik bantsdr.(yansma simetri geime zelliklerini
salar.)bu bantya gre olan denklik snflarna modln kalan snflardenir.
{0, 1,..., 1}n n eklindedir.Bura da ve ilemini;
.
a b a b
a b a b
eklinde tanmlanr.
rnek: 6 {0,1,2,3,4,5}
2 5 2 5 7 1 (7 nin 6 ile blmnden kalan 1 olduundan tr.)u halde ( , ) bir gruptur ve buna modlon kalan snflargrubu denir.
* nn etkisiz eleman 0 dr.* nn etkisiz eleman 1 dir.
Teorem:G bir grup olsun
i)Gde sadan ve soldan ksaltma zellii vardr.
[ ]ab ac b c ba ca b c
7/25/2019 soyu zet
6/22
6
ii) a G ve a.a=a a e dir.
iii) ,a b G olmak zere ax=b veya ya=b denklemlerini salayan tek bir tane x,y vardr ve
x=a-1b ve y=ba-1dir.
spat:i)ab=ac olsun a G olup G grup olduundan 1a G mevcuttur.Her taraf ann tersi ilearparsak;
1 1( ) ( )a ab a ac 1 1( ) ( )a a b a a c birleme zellii
eb ec b c .
ii)a.a=a olsun 1a G vardr.1 1( . ) .a a a a a e
1
( )a a e
ea e
iii)ax=b olsun 1a G mevcuttur.1 1( )a ax a b
1ex a b
1
a b
Teklik:Var sayalm x1,x2ax=b denkleminin iki zm olsun.
1
2
ax b
ax b
1 2 1 2( )ax ax i x x
Tanm:(G,.) bir gurup olsun G kmesinin eleman saysna G grubunun mertebesidenir ve|G| ile gsterilir Eer G sonsuz elemanl bir kme ise | |G yazlr.
Tanm:G bir grup ve a G olsuni) 0a e olarak tanmlanr.ii)1 n iin . ......na a a a
n tane
iii)1 n iin 1 1 1 1( ) . .......n na a a a a
n taneTeorem:G bir grup ,a b G ve ,n m olsun.
i) .n m n ma a a dir.
ii) ( )n m nma a dir
iii)ab=ba ( ) .m m mab a b dir
ispat dev:i) .n m n ma a a olduunu n zerinde tme varm uygulayarak ispatlayalm.n=1 iin
1.m ma a a olduu tanmdan kolayca grlr.n iin kabul edip, n+1 iin eitlii ispatlyalm;1 1. .( . ) ( . ). .m n m n m n m n m na a a a a a a a a a a
7/25/2019 soyu zet
7/22
7
ii) ( )n m nma a zerinde tme varm uygulayarak ispatlayalm.n=1 iin 1( )ma = ma olduutanmdan kolayca grlr. n iin kabul edip, n+1 iin eitlii ispatlyalm;
1 1 1( ) ( . ) ( ) ( )n m n m n m m nm ma a a a a a
iii) ( )mab deimeli grup olduunu gz nne alp ispatlayalm.
( ) . . .....m
ab ab ab ab ab her biri kendi arasnda yer deitire bilit deimeli nk ohalde;
m tane
( ) . .... . . ....mab a a a b b b .m ma b
m tane m tane
Tanm:G bir grup a G olsun na e olacak ekilde en kk n doal says var ise bu sayyaann derecesidenir ve |a| ile gsterilir.
rnek:i) ( , ) grubunu gz nne alalm. , : 0na n a biz bu a saysn aryoruz ve bu a
says sadece 0 olabildiini gryoruz o yzden 10 ,1 : 0 0 e olup 0n derecesi1dir.
ii) 5 {0,1,2,3,4} | 4 | 4 4 4 4 16 1 | 4 | 4 dr.
DEVRL GRUPLARTanm:G bir grup a G olsun.
{ : }na a n kmesi tarafndan retilen devirli alt grupdenir.Toplamsal gsterimde={na: n } eklinde yazlr.Eer G= olacak ekilde bir a G varsa Gye devirligrupdenir.
rnek:A={1,-1,i,-i} grubunu ele alalm.
*reteci i ve i dir.*Devirli alt gruplar ={1},={1,-1}dir*={i,-1,-i,1}=A olduundan A devirli bir gruptur.
rnek:i) ( , ) toplamsal grubu bir devirli gruptur.
nk;1 , 1
ii) ( , ) grubuna rettiklerini bulalm;3 {3 | } {..., 6, 3,0,3,6,...}k k
iii) ( , ) gruplar devirlidir nk daima 1 tarafndan retilirler.
rnein 5 {0,1,2,3,4}
51 '
1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 4 1 5 0
dir
7/25/2019 soyu zet
8/22
8
Not: {..., ,...}n
m n ile m aralarnda asal ise m retetir.
Tanm:G bir grup ve a G olsun a elemann rettii devirli grubunun mertebesine aelemann mertebesidenir ve ||veya o(a) ile gsterilir.
Not: a G eleman sonlu n mertebeli ise n tam says na e olacak ekilde en kkpozitif tamsaydr.
Tanm:G bir grup ve S G olsun.S kmesini kapsayan Gnin tm alt gruplarnn ara kesitineSnin rettii alt grupdenir ve ile gsterilir. , ,
i iS H H G S G
alt grup gsterimiSonu:Bir G grubunun devirli olmas iin gerek ve yeter art |G|=|a| olcak ekilde en az bira G bulunmasdr.
Not:Bir grupta |a|= ise = 3 2 1 2{..., , , , , , ,....}a a a e a a eklinde yazlr.Fakat eer |a|=n sonlu ise ann negatif bir kuvveti pozitif bir kuvvette eit olacandan =
2 1{ , , ,..., }ne a a a eklinde yazlabilir.
Teorem(kacak)(12 puan):Her devirli grup bir abel gruptur.
spat:G=={ |na n }olsun.Gstermemiz gereken ,x y G iin xy=yx olmas.
G olduundan : nn x a y G olduundan : mm y a
. .n m n m m ny a a a a .m n olup m n olduundan toplam yer deie birli.
. .m na a y x G deimelidir.
Blme algoritmas(kacak)(15puan):pozitif m ve n tam saylar verildiinde tek trlolarak belirli yle bir q,r tam saylar vardr ki n=qm+r ve 0 r m olur.
spat:Tme varm prensibini uygulayarak yapalm.n=1 olsun.Eer m=1 ise q=1,r=0 ve m>1ise q=0,r=1 alnarak n=1 iin iddiann doruluu grlr.n
7/25/2019 soyu zet
9/22
9
Teorem(snavda kacak)****:Devirli her alt grubu da devirlidir.
spat :G= ve Holduunu gsterelim:
i)H< < ma > ii) < ma > dir.
spat:
i)G=sonsuz devirli bir grup olsun.G devirli olduundan
Teorem(snavdakacak)****gerei her alt grubu da devirlidir. sonsuz devirli olduundan ann hibirkuvveti bir birine eit olamaz mH a G olduunu biliyoruz .O halde ma ninde hibirkuvveti birbirine eit olamaz O halde H=< ma >de sonsuz devirlidir.
ii)G= n. Mertebeden devirli grup olsun .Bu taktirde G={ 2 3 1, , ,...., ,n na a a a a e }
olduunu biliyoruz.H
7/25/2019 soyu zet
10/22
10
(Not:0
7/25/2019 soyu zet
11/22
11
nerme:G= sonsuz devirli bir grup olsun.Bu durumda Gnin reteleri a veya 1a dir.
spat:G= sonsuz devirli bir grup olsun b G Gnin reteci olsun b=a v b= 1a
veya iareti
G== 2 1 2{..., , , , ,...}a a a a olup bir m iin mG a olmaldr ( b G olup) ayrca breteci her n iin zmnn olmas iin m= 1 olams gerekir.
mb a olduundan b=a veya b= 1a dir.
ALT GRUPLAR
Tanm:G bir grup ,H
7/25/2019 soyu zet
12/22
12
nerme(Snavda kacak):Bir G grubunun herhangi alt gruplarnn ara kesiti de Gninbir alt grubudur.
spat:{ | , }i i
H i I H G Gnin alt gruplarnn bir ailesi olsun.Gstermemiz gereken i)
i
i I
e k H
ii)x,y ii I
k H
iken 1 ii I
y k H
olduudur.
i) i I iin i
H G olduundani
e H dir. ii I
e H
dir.
ii) , ii I
y H
olsun i I iin , iy H dir.
i I iini
H G olduundan 1i
xy H
1i
i I
y H
dir.
Tanm:G bir grup H ve Kda Gnin iki alt kmesi olsun.
i)HK={hk| ,h H k K }kmesine H ile Knn arpmdenir.ii)H+k={h+k| ,h H k K }kmesine H ile Knn toplamdenir.
iii) 1 1{ | }H h h H kmesine Hn ters kmesidenir.
nerme(snav sorusu): 2 1,H H G olsun 1 2 1 2 2 1H H G H H H H olmasdr.
spat: 1 2" :"H H G olsun gstermemiz gereken 1 2H H = 2 1H H (yani 2 1 1 2H H H H ve
1 2 2 1H H H H ) 1 2H H G olduundan 1 1h H ve 2 2h H iken1
1 1h H 12 2h H
dir.1 1
1 2 1 2h h H H dir.
1 1 11 2 1 2 1 2( ) ' ( )h h H H dir H H G
1 1 1 1
2 1 2 1 2 1( ) ( )h h h h H H kmesine ahittir.
Ohalde;
1 2 2 1...(1)H H H H
Benzer ekilde 1 2 2 1...(2)H H H H olduu grlr.Her iki kapsamadan da eitlik elde edilir.
" :" 1 2 2 1H H H H olsun. 1 2H H G olduunu gsterelim.Gstermemiz gereken;i) 1 2e H H
ii) 1 2y H H iken1
1 2y H H olmasdr.
i) 1 1
2 2
'
'
H G olduundan e H dir
H G oldu undan e H dir
1 2.e e H H dir 1 2e H H dir.
ii) 1 2,y H H olsun1 2
' '1 2
h h
y h h
,
1 2 1 2
' '1 2 1 2
h h H H
h h H H
olacak ekilde 1h ve 2h vardr.
1 ' ' 1 ' 1 ' 11 2 1 2 1 2 2 1. . .( . ) . . .y h h h h h h h h
1H 2H 1H
7/25/2019 soyu zet
13/22
13
' 1 ' 1 ' 1 ' 12 2 1 3 1 3 2 1 1. . . , ,h h h h h h H h H
o halde;' 1 ' 1
2 2 1 2 1 1 2. .h h h H H H H o halde;
' 1 ' 12 2 1 1 2. . '' . ''h h h h h
elde etik.
' 1 ' 11 2 2 1 1 1 2 1 2. . '' ''h h h h h h h H H
1H 2H
O halde 1 1 2.y H H elde edilir.
dev (snavda kacak) :G= mertebesi 24 olan bir devirli grup olsun Gnin altgruplarn belirleyiniz.
zm:mertebesi 24 olduundan tr gerekli teorem uyarnda alt gruplar 24n blenleriolmas gerekir. Ohalde;24 212 26 23 31 1Buradan 24 saysnn blenlerinin:1,2,4,6,8,12,24 olarak bulduk.O halde alt gruplar belirlersek
*1 merebelisi ={e}dir.24
241a a
*2mertebelisi24
12 12 242 { , }a a a a e
*4 mertebelisi24
6 6 12 18 244 { , , , }a a a a a a e
*6 mertebelisi24
4 4 8 12 16 20 246 { , , , , , }a a a a a a a a e
*12 mertebelisi24
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 2412 { , , , , , , , , , , , }a a a a a a a a a a a a a a e *24 mertebelisi:
241 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2424 { , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , }a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a e
3.BLM DENKLK SINIFLARI(YANKMELER) LAGRANGE TEOREM
Tanm:G bir grup ,a b G ve H
7/25/2019 soyu zet
14/22
14
Teorem:G bir grup ve H
7/25/2019 soyu zet
15/22
15
a aH dr.ii) aH bH olduunu kabul edelim.
x aH bH vardr x aH ayrca x bH dr.
1 2 1 2, : ,ah x bh h h H gstermemiz gereken aH=bH(yani aH
7/25/2019 soyu zet
16/22
16
a-b-c=-d her tarafa c ekleyelim a-b=c-d f((a,b))=f((c,d))
1-1lik: f((a,b))=f((c,d)) iken (a,b)=(c,d) olduunu gstermeliyiz.
f((a,b))=f((c,d)) a-b=c-d a=8,b=5,c=4,d=1 olsun (8,5) (4,1) olduundan f 1-1 deildir.rtenlik: n iin f((a,b))=n olacak ekilde ( , )a b M var mdr? 0 dir (bize hepsorularda byle kabul edeceiz doal saylarda 0 var.) fakat f(a,b)=0 olacak ekilde bir( , )a b M yoktur nk f((a,b))=0 a-b=0 a=b Mden aldmz saylarn a>b olduundan
bu daima imkanszdr.2) :f A B bir dnm ,M N A olsun.f(M N) ( ) ( )f M f N f 1-1dir
gsteriniz.zm(dev):ilk nce f(M N) ( ) ( )f M f N olduunu gsterelim.
f (M N)a olsun;, ( )M N a f x
x M ve , ( )N a f x ( )a f M ve ( )a f N
( ) ( )a f M f N gerektirmelerinden, f(M N) ( ) ( )f M f N bulunur.
imdi f(M N) ( ) ( )f M f N olduunu gsterelim.f 1-1 olsun. ( ) ( )b f M f N iinbakalm;
( )b f M ve ( )b f N
, ( )M b f x ve , ( )y N b f y ( ) ( ), ( , )b f y f x x M y N
y M N (f 1-1 olduundan)
( )b f M N o halde f(M N) ( ) ( )f M f N elde edildi.Eitlik salansn fonksiyonun birebir olduunu gsterelim: ,y A ve x y alalm.M={x} ve N={y} alt kmeleri iin bu eitlii yazarsak ;f(M N) = ( )f = ={f(x)} {f(y)} ( ) ( )f x f y bulunur.u halde f,1-1 dir.
3)G bir grup H G olsun. 1( )H Hx eklinde tanmlanan fonksiyonun 1-1 olduunugsteriniz.zm:
yi tanmllk: xH=yH olsun gstermemiz gereken 1 1( ) ( )H yH Hx Hy olmasdr.1H yH y xH H 1
x H
(nermelerin birinde bu gsterildi)1
1 1
( ) ( )
Hy x H
Hy Hx
xH yH
iyi tanmldr.1-1lik: ( ) ( )H yH iken XH=YH olmasn gstermeliyiz.
( ) ( )H yH 1 1Hx Hy 1Hx y H
1y H (bir nermede yapld)1X YH H
YH XH
7/25/2019 soyu zet
17/22
17
4) , , 0a b a olmak zere de tanmlanan f(x)=ax+b fonksiyonun varsa tersini bulunuz.
: ; , ,f x ax b a b .zm:Tersinin mevcut olmas iin 1-1 ve rten olmas gerekir.
1-1lik:f(x)=f(y) ax+b=ay+b0a
ax ay x y
f 1-1 dir.
retenlik:Gstermemiz gereken y iin f(x)=y olacak ekilde bir x varmdr?f(x)=y ax+b=y
ax=y-by b
xa
olup 0a olduundan bu eitlik alna bilinir.
y bx
a
rtendir.
1-1ve rten olduundan tersi vardr ve bu tersi y= 1( ) b
f xa
dr.
5)
pozitif rasyonel saylar kmesi zerinde x*y=
.
2
x y
ilemi tanmlanyor.(
,*)birgruptur gsteriniz.Cavap:
Kapallk:(fonksiyonun iyi tanmll gibi dne biliriz) ,x y iin.
*2
x yx y
olduundan * ilemi kapaldr.
Birleme:Gstermemiz gereken x,y,z (x*y)*z=x*(y*z) olmasdr.
. .2 2( * )* * . * *( * )
2 2 2 2 2 2
xy yzz x
xy x yz yzx y z z x x y z olur.
Birim eleman:x*e=x x*e= 22
xex e o halde birim eleman 2dir.
Ters eleman:x*y=e * 22
xyx y olmasdr. . 4
yx y y
x olur.o halde 1
yx
x
olur. Bu zellikleri saladndan ( ,*) bir gruptur.
6)(dev): n olmak zere { : }G nk k kmesi bilinen toplama ve arpma ilemine grebir deimeli gruptur gsteriniz.zm:
7)(dev):G={ : 1}a a ve ,a b G iin *1
a ba b
ab
ile bir * ilemi
tanmlansn.{G,*}n bir deimeli grup olduunu gsteriniz.zm:grup aksiyomlarn saladn gsterelim.
7/25/2019 soyu zet
18/22
18
Kapallk: ,a b G iin *1
a ba b
ab
ve -H 6 GH 6 G1
7/25/2019 soyu zet
19/22
19
0 0,0
0 0X
buradaki ilemin etkisiz elemandr.
Ters eleman: 2 2xA M iin A+Y=e=0 0
0 0
olacak ekilde bir 2 2xY M var mdr?
a bA
c d
iina b
Yc d
alnrsa A+Y= 0 0
0 0
olur o halde
1 a bAc d
dir.
Not:deimeli bir gruptur da.9) 1 2H veH deimeli grup ikin 1 2H xH direk arpmada deimeli grup olduunu gsteriniz.
Cevap: 1 2 1 2 1 1 2 2{( , ) | , }H xH h h h H h H
1 2 1 2 1 2( , ), ( ', ')h h h h H xH alalm. 1 2 1 2 1 1 2 2( , ).( ', ') ( * ', ')h h h h h h h h (ilemler
bahsedilmediinden byle yaptk)= 1 1 2 2( '* , ' )h h h h
1 2H veH deimeli grup olduundan.=1 2 1 2 1 2( ', ').( , )h h h h H xH deimelidir.dev grup olduunu gsteriniz.
10)G bir grup ve 1 2H H G olsun 1 2 1 2H H G H H veya 1 2H H olmasdr.
Cevap: 1 2" :"H H veya 1 2H H 1 2 2H H H G veya 1 2 1H H H G .
1 2" :"H H G olsun gstermemiz gereken 1 2H H veya 1 2H H aksini varsayalm
1 2H H ve 1 2H H olduunu dnelim. 1 2 1|a H H a H fakat 2a H ayn ekilde
2 1 2|b H H b H fakat 1b H 1 2,a b H H dr.
* 11 1( )ab H a ab b H eliki!!!
1H
* 12 2( )ab H ab b a H
2H
O halde iki elikiden varsaymmzn doruluu grlr.
11)G bir grup a G olsun C(a)= { : }G ax xa kmesine ann merkezleyenidenir.Her
a G iin C(a)
7/25/2019 soyu zet
20/22
20
12)G bir grup a G olsun.h={x :G n iin x= na }kmesi Gnin bir alt
grubudur.Gsteriniz.
Cevap:Gstermemiz gereken i) , ) ,e H ii x y H iin 1y H olmasdr.
i)G grup olduundan e G olup ne e olduundan e H dir.
ii) ,y H keyfi alalm , : ,n m
n m x a y a 1 1. ( ) .n m n m n my a a a a a ,n m olduundan n-mde tamsaydr.
O halde 1 'xy H dr ve H
7/25/2019 soyu zet
21/22
21
Cevap: 3 6 ={(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5), (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5),
(2,0), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5)} 18 elemanldr.O halde bu grubun devirli olduunugstermemiz iin bir elemann mertebesinin 18 olduunu gstermeliyiz.
3 6( , )a b x iin,
6( , ) (6 ,6 ) (0, 0)a b a b Olduundan,grupta her elemann mertebesi 6 olur.Halbuki,grubun mertebesi 3.6=18olduundan devirli olamaz.rnek vermek gerekirse (2,1)i ele alalm(2,1)+ (2,1)= (4,2) (1,2)(2,1)+ (1,2)=(3,3) (0,3)(2,1)+ (0,3)=(2,4) geri kalanlar retilemedi(2,1)+ (2,4)=(4,5) (1,5)(2,1)+(1,5)=(3,6) (0,0)Not:Bunun teoremi var bul ve ispatna bak can.
19)(dev)G= 20. Mertebeden bir devirli grup olsun bu grubun tm retelerini ve altgruplarn bulunuz.
Cevap:G grubunun reteleri ma eklindedir ve buradaki m 20 ile aralarnda asaldr (m,20)=1O halde bu mleri belirlersek m=1,3,7,9,11,13,17,19dur. O halde;
3 7 9 11 13 17 19G a a a a a a a a dur.imdi alt gruplarn belirleyelim bunun iin 20 nin blenlerini bulamalyz20 210 25 51 1
O halde;20
10 10 202 { , )a a a a e 20
5 5 10 15 204 { , , , )a a a a a a e 20
4 4 8 12 16 205 { , , , , )a a a a a a a e 20
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010 { , , , , , , , , , )a a a a a a a a a a a a e 20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2020 { , , , , , , , , , , , , , , , , , , , )a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a e 20
20 201 { )a a a e
20)(dev) 18 in tm retelerini ve alt gruplarn bulunuz.
Cevap:
*sonsuz elemanlysa ve 1a reteleri olur.* 18 {0,1, 2,3, 4,5, 6,7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17} 18 elemanldr.
*Toplamsal devirli bir gruptur.*Mertebesi 18 ile aralarnda asal saylardan oluur. Yani (m,18)=1 eklindeki mleriaramalyz. m=1,3,5,7,11,13,15,17 olup
18 1 3 5 7 11 13 15 17 reteleridir.
7/25/2019 soyu zet
22/22
22
imdi alt gruplarn belirleyelim bunun iin 18in blenlerini bulmalyz.18 29 33 31 1
O halde alt gruplar;1818 181 { }a a a e
189 9 182 { , }a a a a e
186 6 12 183 { , , }a a a a a e
183 3 6 9 12 15 186 { , , , , , }a a a a a a a a e
182 2 4 6 8 10 12 14 16 189 { , , , , , , , , }a a a a a a a a a a a e
18
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1818 { , , , , , , , , , , , , , , , , , }a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a e Olarak bulunur.
21) 6( , ) da 6nn rettii grubu bulunuz.
Cavap:={6k| k }={---,-6,0,6,12,---}
. 6x y iken 1. 6x y dir grlmekte.
22) ( , ) 'da 4 alt grubunun farkl tm sa koset (kalan snflarn) bulunuz.Cevap: 4 ={----,-8,-4,0,4,8,----}0+ 4 ={----,-8,-4,0,4,8,----}= 4+4 = ..1+ 4 ={----,-7,-3,0,5,9,----}= 5+4 =..2+ 4 ={----,-6,-2,0,6,10,----}= 6+ 4 =..3+ 4 ={----,-5,-1,0,7,11,----}= 7+ 4 =
Snavda kacak sorular:1)alt grup olduunu gster.
2)grup olduunu gster.3)devirli her grubun alt grubu da devirlidir.
4)devlerden 1 tane.5)?