Embed Size (px)
Citation preview
1
SRP 2014 SPILTEORI OG NASH-‐LIGEVÆGT
LASSE MARLING 3.I – 2012-‐2015
”MINE DAMER OG HERRER – GENIET JOHN NASH”
2
Titelblad
Navn: Lasse Marling
Klasse: 3.i – idrætsgymnasiet 2012-‐2015
Rapportens titel: Spilteori og Nash-‐ligevægt
Uddannelse: ITX
Skolens Navn: Viborg Tekniske Gymnasium, Mercantec
Dato: D. 19/12/2014
Fag: Matematik A og Dansk A
Vejledere: Ejnar Jensen (Matematik A), HTX -‐ Anne-‐Marie Østergaard (Dansk A), Viborg
Katedralskole
Opgavebesvarelsens anslag m. mellemrum: 37.566
Antal sider: 26
3
Abstract This assignment is written in connection with SRP 2014, where mathematics A and Danish A
has been used to write a complete answering of the attached questions/tasks.
Following paper focuses on the man John Nash and his mathematical theory called Nash-‐
equilibrium. An equilibrium that will occur if no player involved will get a better output by
chancing strategy under the condition that the other players keeps their strategies. A theory
based on a lot of mathematics calculations and explanations, where some of them will be
explained in this assignment.
Beside the math part this task will also analyze the man behind this theory. A film analysis as
well as excerpts from other sources will be focusing on his working methods and original
approaches that both proved to lead to mathematical wonders, but also a terrible
schizophrenia.
4
Indholdsfortegnelse
INDLEDNING 5
SPILTEORI 6
NASH-‐LIGEVÆGTEN 6 EKSEMPLER 7 MATEMATISK LIGEVÆGTSOPSTILLING 9 BLANDEDE STRATEGIER 10
JOHN NASH – ”ET SMUKT SIND” 16
EN ULIGEVÆGTIG MAND 21
TEORIENS ANVENDELSE 23
KONKLUSION 25
LITTERATURLISTE 26
5
Indledning
I starten af det 19. århundrede var spilteori et begreb, som ikke mødte stor anderkendelse på
de matematiske studier, da det i virkeligheden ikke blev anset som en videnskabelig fakultet.
En vinterkoldnat på en bar i USA fik en mand dog lavet om på denne kendsgerning. En mand
hvis matematiske evner og indsigt førte til revolutionerende tendenser indenfor områder af
det matematiske felt, og for alvor fik gjort spilteori til et videnskabeligt studie, takket være
hans banebrydende teori. En teori udarbejdet gennem originale arbejdsmetoder og et enormt
arbejdsiver, der førte manden bag ud i bemærkelsesværdige op-‐ og nedture, der både indebar
psykiske sygdomme og priser. En mand ved navn John Nash.
Følgende SRP-‐opgave vil omhandle spilteori og Nash-‐ligevægten. Gennem kritisk udvalgte
kilder, vil det spilteoretiske begreb med fokus på Nash-‐ligevægten blive gennemgået ved
hjælp af teori samt eksempler. En gennemgang som vil blive efterfulgt af et detaljeret syn på
manden bag denne teori, hvor en filmanalyse af filmen ”Et smukt sind” vil blive anvendt til
dette. Denne analyse vil, med hjælp fra andre kilder, blive koblet sammen med en detaljeret
redegørelse for, hvilke faktorer der kunne have påvirket ”den gale videnskabsmand” til at
udarbejde noget så kompleks og banebrydende som den gennemgået teori, at den gjorde op
med tidligere store matematikers tanker og teorier. Til slut vil disse tanker samles sammen i
en perspektivering til udbredelsen samt nutidens brug af Nash’ teori, hvor en konklusion vil
fungere som afrunding.
Der er i denne opgave blevet arbejdet med en kildekritisk tilgang, hvor der er blevet sat fokus
på at opstille den matematiske teori med egne eksempler, dog med hjælp fra nævnte kilder
som henvises til gennem fodnoter i bunden af siderne, således en bred forståelse af emnet
”Spilteori” afspejles. Samtidig er sammenhængen mellem de to fag forsøgt at blive skabt
gennem en rød tråd, der skal sammenholde opgavens formål, nemlig at vise en analyserende
sammenhæng mellem de naturvidenskabelige og humanistiske felter, som skal understøttes
af en indholdsfortegnelse, der skal følges kronologisk. God læselyst.
6
Spilteori
Omkring år 1930 blev en ny videnskabelig disciplin præsentret for den matematiske verden.
En disciplin kaldet spilteori, som beskæftiger sig med matematisk modellering af spil, hvor
minimum to antal spillere arbejder ud fra et sæt af strategier med det formål at opnå størst
mulig ”payoff”. Begrebet slog for alvor igennem, da matematikeren Johannes von Neumann i
1928 fik udarbejdet en banebrydende teori, der beviste at selve spilteorien kunne anvendes
til analyser af en større mængde konflikter, end de matematiske hoveder havde forestillet sig.
Et gennembrud der i 1944, under samarbejde med nationaløkonomen Oskar Morgenstern,
resulterede i udgivelsen af bogen ”Theory of Games and Economic Behavior”, som gennem
matematisk modellering behandler flere typer af konflikter/spil. Bogen beskæftiger sig
primært med ”nulsums-‐spil”, der i kort forstand er spil, hvor den ene spiller vinder det, den
anden spiller taber. Et eksempel på sådan et spil kan findes i mange tilfælde, herunder simpel
gambling. ”Spiller 1 smider 100 kr. på at Danmark vinder verdensmesterskaberne i håndbold.
Spiller 2, som i dette tilfælde er udbyderen, giver odds. 2:1 på dette væddemål. Danmark vinder
mesterskaberne og spiller 1 vinder altså 100 kroner i profit, som spiller 2 (udbyderen) taber”.
Der er her tale om et ”topersoners spil”, som ofte medfører forsimplede udgaver af spilteorien
ligesom i ovenstående eksempel.
Nash-‐ligevægten
Denne forsimplede tilgang forsvinder dog lige så snart flere strategier eller spillere involveres
i problemstillingen, hvilket en anden kendt matematiker i 1950 beskæftigede sig med. John
Forbes Nash udarbejde nemlig i sin ph.d.-‐afhandling i 1950 et spilteoretisk begreb, der skabte
revolutionerende tilstande indenfor bl.a. den økonomiske verden. Begrebet kaldes i dag
”Nash-‐ligevægten”, hvor der findes flere enstydige formuleringer af denne. En overordnet
formulering kan dog lyde således:
"ʺEt sæt af strategier (én strategi for hver spiller) er en Nash ligevægt, hvis hver
spillers strategi er "ʺbest response"ʺ til de andre spilleres strategier"ʺ. 1
1 Axelsen, Peter og Bo Kristensen, Lars – ”Spilteori” http://www.google.dk/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CD0QFjAD&url=http%3A%2F
7
Ovenstående betyder altså, at når en Nash-‐ligevægt er tilstede under et givent spil, resulterer
dette i at alle spillere har valgt den strategi, der bedst muligt kan svarer sig ift. de andre
spilleres strategier. Spillerne vil altså ikke få noget ud af at afvige fra deres strategi
medmindre de andre spillere gør dette. Der er altså tale om en løsning, hvor alle spillere har
opnået bedst mulig resultat, givet den information de har.
Eksempler
Der findes flere eksempler indenfor spilteorien, hvor Nash-‐ligevægten findes. Et af de mest
anvendelige, som John Nash også benyttede, kaldes dog fangernes dilemma.
”To mistænkte er blevet anholdt af politiet. De to personer holdes adskilt, så de ikke kan
kommunikere. Politiet har ikke beviser nok til at få dem dømt for deres grove forbrydelse, men
de kan få de mistænkte fængslet i et halvt år for en mindre forbrydelse. Politiet giver hver at de
mistænkte dette valg: De kan vælge at forråde den anden eller holde mund. Hvis begge holder
mund, får de hver et halvt års fængsel, hvis den ene forråder den anden og den anden holder
mund, slipper forræderen fri og den anden får ti års fængsel, og hvis begge forråder den anden,
får de hver fem års fængsel. Skal de mistænkte forråde den anden, eller skal de holde mund?”2
Ovenstående kan opstilles som et udbyttematrix, hvor fængselsstraffene er lig værdierne.
Forråde Holder mund
Forråde -‐5, -‐5 0, -‐10
Holder mund -‐10, 0 -‐1/2, -‐1/2
Ovenstående matrix skal læses således at første tal er fange 1’s udbytte og andet tal er fange
2’s udbytte. Nash-‐ligevægten er markeret med understregning, hvilket vil sige at denne
løsning vil stille begge fangere i den optimale situation. Denne Nash-‐ligevægt viser sig dog kun
at være teoretisk, idet fangerne hurtigt kan være nødsaget til at ændre strategi, givet den
information at den ene forråder. Lad os sige fange 1 vælger at forråde, og fange 2 får givet
%2Ffou.emu.dk%2Foffentlig_download_file.do%3Fid%3D151598&ei=KoSLVLz7OYPEPN_6gLgN&usg=AFQjCNGLzKTOpyUJ4Zjm0cvdL5bIRAKlOw&bvm=bv.81828268,d.ZWU 2 http://da.wikipedia.org/wiki/Fangernes_dilemma
8
denne information. For at bibeholde Nash-‐ligevægten vil fange 2 vælge også at forråde fange
1, da dette er ”best response” (mindre straf) til fange 1’s strategi. Derfor kaldes dette
fangernes dilemma.
Ovenstående dilemma er et eksempel på et ikke-‐kooperativt spil, hvilket vil sige at spillerne
ikke har mulighed for at indgå aftaler indbyrdes. Eksemplet kan dog udbygges og give en
bredere forståelse af Nash-‐ligevægten, hvilket følgende skal være behjælpeligt med.
”To spillere skal samtidigt vælge et heltal mellem 0 og 3. Begge spillere får det mindste af de
valgte tal i point, og hvis den ene har et højere tal end den anden skal han afgive 2 point til
modstanderen”3
Endnu engang opstilles en udbyttematrix hvor spiller 1 vil have det første tal i talparret (x;y)
og spiller 2 det andet tal:
Vælger 0 Vælger 1 Vælger 2 Vælger 3
Vælger 0 0, 0 2, -‐2 2, -‐2 2, -‐2
Vælger 1 -‐2, 2 1, 1 3, -‐1 3, -‐1
Vælger 2 -‐2, 2 -‐1, 3 2, 2 4, 0
Vælger 3 -‐2, 2 -‐1, 3 0, 4 3, 3
I dette tilfælde indtræder Nash-‐ligevægten når begge spillere vælger 0, da ingen således vil få
noget ud af at ændre strategi. Dette er i modsætning til fangernes dilemma, da spillerne her
kunne maximere deres output ved at ændre strategi. Dette dilemma er som sagt ikke tilstede i
ovenstående, da ingen af spillerne vil få noget ud af at afvige fra deres strategi. Dette vil altså
sige, at der her er tale om en ren strategi, idet spilleren vælger én bestemt strategi ud af
mange. Nash-‐ligevægten er altså ikke nødvendigvis til fælles fordel, men kan også være et
udtryk for egoistisk spilstrategi.
3 http://da.wikipedia.org/wiki/Nash-‐ligevægt
9
Matematisk ligevægtsopstilling
John Nash beviste altså at alle topersoners spil har minimum én ligevægt, også selvom denne
ikke altid virker lige rationel. Grundet den manglende logik, som til tider optræder under
Nash-‐ligevægtens indtræden, er det derfor nødvendigt at opstille en matematisk model, der
kan illustrere, hvorfor de valgte strategier stadig giver bedst mulig output for de involverede
spillere.
Vi opstiller følgende model, som kan kobles på vores udbyttematrix fra ”0-‐3 spillet”:
-‐ Nash-‐ligevægten lyder (xi;yi)
-‐ Xi skal være større end alle x-‐værdierne i
den kolonne af udbyttematrixen, hvor Nash-‐
ligevægten befinder sig.
-‐ yi skal være større end alle y-‐værdierne i
den række af udbyttematrixen, hvor Nash-‐
ligevægten befinder sig.
-‐ Alle ovenstående faktorer skal opfyldes for
at der er tale om en ligevægt!
Kigges der på alle x-‐værdierne i den kolonne, hvor ligevægten angiveligt skulle befinde sig. I
denne antager alle værdierne -‐2, hvorfor vi kan sætte flueben ved krav et. Herefter kigger vi
på rækken af udbyttematrixen og y-‐værdierne heri. Det ses igen at alle tallene antager
værdien -‐2, hvorfor dette krav også er opfyldt. Det er dermed bevist at ovenstående model
kan fremfinde en Nash-‐ligevægt4.
4 Axelsen, Peter og Bo Kristensen, Lars – ”Spilteori”
10
Blandede strategier Ovenstående har vi som sagt beskæftiget os med de såkaldte rene strategier, hvor spillerne
har én optimal strategi ift. modstanderens. Det er dog ikke altid at denne Nash-‐ligevægt er
tilstede i et spil, enten fordi der f.eks. er tale om et ”nulsumsspil”, som vi beskæftigede os med
tidligere, eller der optræder flere ligevægte i problemstillingen. I situationer hvor dette er
gældende, bliver spillerne derfor nød til at overveje deres strategier på andre måder. Dette
gør spillerne ved at blande deres rene strategier, og med udgangspunkt i
sandsynlighedsregning beregnes strategien spilleren skal vælge for at have størst mulig
chance for at få det optimale ”output”. For at overskueliggøre denne form for spilteoretisk
problemstilling opstilles en udbyttematrix for et tilfældigt spil:
b0 b1
a0 5 1
a1 2 4
I dette spil ses at der ikke er nogen Nash-‐ligevægt tilstede idet matrixen ikke opfylder de
opstillede krav til ”ligevægts-‐talparret”. For at beskrive dette kort er ligevægten ikke tilstede,
idet der ikke findes en dominerende strategi, hvilket betyder at uanset hvilken strategi spiller
1 vælger, vil der altid være en strategi der vil resulterer i større output til spiller 2 og
omvendt. Der er altså her tale om et nulsumsspil, også selvom spillerne skulle vælge den
samme strategi.
For at løse ovenstående problem kan de to spillere vælge at blande deres strategier, hvis
dette altså tillades. For at forstå dette begreb tages der udgangspunkt i minimax-‐sætning. som
lyder:
”Et topersoners nulsums-‐spil har en Nash-‐ligevægt, netop hvis:
5
Dette er specielt gældende, hvis det tillades at bruge blandede strategier”.
5 Harremoës, Peter og Brock, Niels – ”Spil-‐ og beslutningsteori” – 2010, 26. november -‐ http://www.harremoes.dk/Peter/Undervis/Score.pdf
11
Ovenstående siger blot af hvis spiller 1, som tages udgangspunkt i fra nu af, med strategierne
(a1, a2) og spiller 2 med strategierne (b1,b2) gælder det at en Nash-‐ligevægt er tilstede hvis
spiller 1 største minimum er lig med spiller 2 største maximum. Altså spiller 1’s mindste
output er lig med spiller 2s største output. Når sådanne blandede strategier tillades findes der
en fælles værdi også kendt som spillets værdi. En værdi som spiller 1s output afhænger af, og
kan beskrives således. Bemærk V = værdi:
𝑉𝑠𝑝𝑖𝑙 > 0 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣 𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡𝑓𝑜𝑟 𝑠𝑝𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟 1
𝑉𝑠𝑝𝑖𝑙 < 0 = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣 𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 𝑓𝑜𝑟 𝑠𝑝𝑖𝑙𝑙𝑒𝑟 1
𝑉𝑠𝑝𝑖𝑙 = 0 = 𝑚𝑖𝑑𝑑𝑒𝑙𝑜𝑢𝑡𝑝𝑢𝑡 𝑝å 0
Ovenstående beskriver blot situationen for spiller 1, hvis spillets værdi er positiv, negativ og
0. Et middeloutput lig 0 er hverken optimalt for spiller 1 eller 2, da dette uanset
modstanderens strategi vil give 0.
Ovenpå denne konklusion ønsker vi at udregne ovenstående spils værdi samt de optimale
strategier. hvilket gøres ved hjælp af en lineær optimering. Spiller 1’s strategier kaldes. Spiller
1 blander de to strategier således:
OBS! Vi antager der ikke findes nogle dominerede strategier.
1− 𝑠 𝑜𝑔 𝑠, 𝑠∈ 0: 1
Ovenstående strategi kalder vi for at og spiller 2s strategier kaldes fortsat (b0,b1). Lad os antage spiller 2 vælger strategien b0 – dette vil resulterer i følgende middelværdi for kriteriefunktionen.
Bemærk reglen 𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑓 𝑎 ∗ 𝑓(𝑏) -‐ hvis disse er uafhængige af hinanden:
𝑓 𝑎! , 𝑏! = 1− 𝑡 ∗ 𝑓 𝑎!, 𝑏! + 𝑠𝑓(𝑎!, 𝑏!)
Ovenstående funktion har den generelle forskrift 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏, og kan altså udregnes
således:
12
Grafen for ovenstående funktionsforskrift tegnes:
Bemærk variablen x bruges i stedet for s af hensyn til CAS-‐værktøjet.
Lad os nu antage at spiller 2 vælger b1, hvilket vil give en anden ret linje, som vil lede til
følgende funktionsforskrift:
Grafen tilhørende denne funktionsforskrift tegnes i samme koordinatsystem:
13
Ovenstående funktionsforskrifter f(as,b0) og f(as,b1) skærer hinanden i et givent punkt s (x på
figuren). Da vi antager at fspiller1(a1,a2) = -‐fspiller2(b1,b2) og omvendt må det altså gælde at spiller
1 ønsker at mindske spiller 2’s kriteriefunktion. Skæringspunktet mellem de to linjer s,
angiver derfor det optimale blandingsforhold af spiller 1s strategier. Dette skæringspunkt
findes ved at sætte de to funktionsforskrifter lig hinanden og isolere s:
Bemærk der anvendes CAS-‐værktøj til denne udregning.
Spiller 1 skal altså blande sine strategier i blandingsforholdet 1/3, vi betegner dette s*=1/3, og
strategien med dette blandingsforhold as*. For denne gælder:
f(as,b0) = f(as,b1)
Sættes dette ind i den tidligere opstillet formel fås:
1− 𝑠 <=> 1− !!= !
! -‐ hvor 𝑠∈ 0: 1 6
6 Harremoës, Peter og Brock, Niels – ”Spil-‐ og beslutningsteori” – 2010, 26. november -‐ http://www.harremoes.dk/Peter/Undervis/Score.pdf
14
Ovenstående viser altså blot af spiller 1 skal vælge a1 eller a2 !! af gangene og den modsatte
strategi !! af gangene.
Spillets værdi udregnes nu med brug af ovenstående værdier:
Bemærk der igen anvendes CAS-‐værktøj.
Det interessante i denne sammenhæng er om spiller 2 vil få samme spilværdi, hvis denne
blander hans strategier i samme blandingsforhold. Dette tjekkes gennem samme
fremgangsmåde som anvendt ved spiller 1. Vi springer dog de første udregninger over, og
springer direkte til funktionsforskrifternes skæringspunkt, og kalder blandingsforholdet t:
Ligninger sættes lig hinanden, og isoleres med hensyn til t:
Spillets værdi udregnes:
Det ses igen at spillets værdi er 3, hvorfor vi har fundet en Nash-‐ligevægt, da givet at spiller 1
vælger dette blandingsforhold for at maksimere det minimale output, så vil spiller 2s
strategier give samme middeloutput. Dette betyder altså, at hvis blot spiller 1 benytter sig af
blandingsstrategien, hvis begge spiller tænker rationelt, vil dette give en Nash-‐ligevægt
kaldet:
(as*,bt*), hvor bt* er den optimale blandingsstrategi for spiller 2.
Ovenstående kan illustreres ved hjælp af følgende figur:
15
Ovenstående figur skal illustrere spiller 1 og spiller 2s taktik i form af parabler. Spiller 1’s
strategi er rød og spiller 2s blå. Som beskrevet tidligere ønsker spiller 1 at minimere spiller 2s
maksimum. Dette lykkes spiller 1 ved at finde det såkaldte saddelpunkt, som også svarer til
den vandrette tangenthældning til de to grafer. Et punkt som defineres:
𝑓 𝑎, 𝑏!∗ ≤ 𝑓 𝑎!∗, 𝑏!∗ ≤ 𝑓(𝑎!∗, 𝑏) , hvor 𝑠∈s*, t∈t*7
Ovenstående giver altså blot et udtryk for, at hvis spiller 1 afviger fra sin strategi, vil dette
betyde et større middeloutput til spiller 2. Spiller 1 skal derfor finde saddelpunktet (Nash-‐
ligevægten) og holde sig til denne strategi, da dette give rationel tænkning vil give det
optimale middeloutput.
På denne måde kom vi igennem nogle af de vigtigste og forholdsvis komplekse beregninger
indenfor spilteori. Teorier som blev udarbejdet af specielt en mands ph.d. afhandling, som
skabte nye indgange til den matematiske spilteoretiske verden. En mand kaldet John Nash.
7 Statens Naturvidenskabelige Forskningsråd – ”Netværk i Matematikkens Historie og Filosofi” nr. 5 – 1999, Marts. -‐ http://mathnet.ruc.dk/news/total_5.pdf
16
John Nash – ”Et smukt sind”
Der er altså ingen tvivl om at geniet John Nash stod bag revolutionerede tankegange, hvor han
bl.a. gjorde op med liberaløkonomiens fader Adam Smiths tanker. En beslutning som udover
dette også åbnede disse nye indgange til den spilteoretiske verden, som ikke blot krævede
mod og en enormvis af selvsikkerhed, men også en arbejdsmoral der strakte udover det
normale. Dette var dog alle egenskaber geniet John Nash besad, og måske i en så ekstrem grad
at det førte ham ud på galskabens vildfarende veje. Sådan skildres geniet John Nash primært i
dramafilmen ”Et smukt sind”, som følger matematikeren gennem hans bemærkelsesværdigeliv
på godt og ondt. En film som blev udgivet i 2001 og senere hen fik stor anderkendelse bl.a.
gennem flere oscarstatuetter. En film hvis tema ikke har fokus på ligevægten og de
spilteoretiske vidundere, men derimod manden bag disse. En mand hvis iver efter at finde sin
originale idé og blive matematisk anderkendt, førte ham ud i en decideret psykologisk
rutsjebanetur, der medførte store nederlag men også sejre for den geniale matematiker.
Året er 1947 på Princeton universitet. Den ivrige unge hjerne John Nash har fået tildelt det
prestigefyldte Carnegie-‐stipendium, og befinder sig i en situation, hvor den kolde krig er
under opsejling. Dette har medført en enorm brug for kloge matematiske hoveder, der skal
hjælpe USA med bekæmpelsen af det kommunistiske Sovjetunionen. En problemstilling som
fra filmens første sekund iscenesættes gennem den indledende tale forstanderen for
universitetet holder til de mange nye matematiske genier. ”For at triumfere, behøver vi
resultater, som kan fremvises og bruges. – Hvem er jer bliver den næste Morse? Den næste
Einstein? I dag lægger vi Amerikas fremtid i jeres hænder”8. Dette citat kombineret med en
storslået baggrundsmusik og en fokuseret John Nash i billedet, ligger fra filmens start op til én
ting. Denne matematiker vil udrette noget stort og originalt.
En fakta som hele filmens tema bygger på, og samtidig skaber rammerne for en autentisk
skildring af John Nash’ liv og fremgangsmetoder, der specielt gennem filmens start afspejles.
”Jeg må finde en original ide – kun sådan kan jeg blive velanset”9. Således udtaler Nash sig til sin
”værelseskammerat” Charles, og udviser dermed den tankegang der fodre matematikeren
med gåpåmod og lyst til at udvikle noget banebrydende. En tankegang som ikke blot påvirkes
8 01:29 – ”Et smukt sind” 9 08:21 – ”Et smukt sind”
17
af denne sensationslyst, men også udspringer fra et konkurrencepræget miljø på
universitetet. Nash befinder sig nemlig blandt matematikere som Nielson, der brød en Japansk
kode eller Martin Hansen der hjalp med at bryde Nazi-‐koderne10, hvilket har medført enorm
respekt og anderkendelse, hvilket den gode John Nash på alle måder også ønsker at få. En
faktor som afspejles tydeligt under forstanderens tale, hvor kameravinklen vises fra Nash’
synspunkt, hvor der kigges op på den belyste Martin Hansen11. Dette resulterer i en konstant
høj arbejdsindsat, som dog ikke bærer præg af nogen form for traditionelle
fremgangsmetoder, men derimod en original arbejdsmåde, som på mange måder afspejler
den sande John Nash. ”Undervisning vil sløve din hjerne – ødelægge potentialet for en autentisk
kreativitet”.12 Denne udtalelse viser på mange punkter den geniale galskab, der førte geniet ud
i hans livs bedste opdagelse. For som filmen afslører går den særpræget matematiker ikke,
ligesom resten af hans studiekammerater, til forelæsninger og normal undervisning. Tiden
bruges nemlig på at lære alle de matematiske fakulteter fra bunden, og på denne måde få et
større kendskab til disse. En fremgangsmåde som tvinger Nash ud i en enorm og utraditionel
arbejdsiver, der skildres gennem den personbundne 3.personsfortæller, hvilket resulterer i et
meget autentisk forløb gennem hele hans niches fødsel. Vinduer fyldt med matematiske
formler, skriveborde som kastes ud fra 3. sal og lussinger fra den smukke tøs i baren, er blot
nogle af de konsekvenser som udspringer fra Nash’ konstante trang til at finde på en original
ide. En ide som skal vise sig at komme til ham under noget så bemærkelsesværdigt som et
barbesøg.
Nash sidder endnu engang og skiller sig ud fra mængden idet alle de matematiske bøger er
medbragt i baren. ”Når man konkurrer, er der altid nogen, der taber. – Hvis nu jeg kunne opnå
en ligevægt, domineret af flere udfald uden tabere. – Forestil dig effekten på konflikter,
valutaveksling…”13. Således udtaler Nash sig til Charles tidligere i filmen, og giver for første
gang udtryk omkring den tidligere nævnte Nash-‐ligevægt. En ide som geniet finder frem til
præcist 20 minutter inde i filmen i denne nævnte barscene. En pige som alle drengenes
opmærksomhed rettes imod, træder ind ad døren, hvilket medfører en klar
konkurrencestemning, idet alle vil have ”the blond”. Dog vælger Nash, igen takket være sin
10 04:05 – ”Et smukt sind” 11 02:03 – ”Et smukt sind” 12 09:14 – ”Et smukt sind” 13 00:12 – ”Et smukt sind”
18
arbejdsiver, at ignorer den faktor at kvinden kigger på ham, for i stedet at se en matematiske
tilgang omhandlende, hvordan alle drengene kan få en pige hver, og ikke blot minimere deres
chancer ved alle at gå efter den smukkeste. Altså der er her tale om en konkurrence ”uden
tabere”.
Den ellers til tider egoistiskpræget John Nash, der udelukkende tænker på sin egen ide, får
altså gennem en fællesskabstankegang udarbejdet hans niche. Der er altså her tale om to
modsætninger, hvor Nash ”springer” fra den ene modsætning til den anden, hvorefter der
sker en opblomstring. I dette tilfælde brydes den egoistiske facade af den fælleskabsorienteret
tankegang, der i sidste ende fører til hans niche (ligevægten). En komposition som gennem
hele filmen bruges til at afspejle opblomstringer eller nedture i Nash’ liv. Dette ses bl.a. under
selve udarbejdelsen af det revolutionerende spilteoretiske begreb, hvor geniet sidder i sit
vindue og skriver sin ph.d., mens årstiden går fra vinter til sommer. Dette modsætningsskift i
form af de ændrede årstiger bruges altså her til at illustrere Nash’ store gennembrud, og
dermed signalerer ”lysere tider”. Samtidig bruges underlægningsmusikken til at skabe en
storslået atmosfærer og følelse, gennem spændingsmusik samt energiholdige og glade toner,
hvilket også er en aspekt som afspejler denne modsætningsopbyggende komposition.
Underlægningsmusikken bruges i filmen ”Et smukt sind” til at skabe en helt unik stemning
omkring de forskellige sekvenser, hvilket ikke mindst illustreres gennem anden halvdel af
filmen, som primært omhandler Nash’ sygdomsforløb.
Præcis halvvejs i ”Et smukt sind” indlægges John Nash på en psykiatrisk afdeling med
sygdommen skizofreni14. En sygdom der har resulteret i paranoide forestillinger samt
hallucinationer, som ikke blot har ført John Nash ud i en manglende kontakt til virkeligheden,
men samtidig også ført læseren ud i skizofreniens mørke hjørner. Filmen anvender som sagt
den personbundet 3.personsfortæller, som konstant er knyttet til John Nash. En faktor som
resulterer i et meget autentisk forløb, der med filmens sene decideret afsløring af sygdommen
og dermed hallucinationerne, får frembragt en følelse af at have haft skizofreniens dystre
konsekvenser helt inde tæt på kroppen. Dette kombineret med den omtalte
underlægningsmusik udgør tilsammen en farlig cocktail af gådefulde handlinger og
overraskende afsløringer, da det viser sig Nash’ tætteste bekendtskaber blot er
hallucinationerne, og en tophemmelige mission med kodebrydning, han har arbejdet på, blot
14 1:03 – ”Et smukt sind”
19
er indbildning. Afsløringer som alle forstærkes af endnu et modsætningsskift, som i dette
tilfælde sker i den vigtige underlægningsmusik. Under delenene af filmen hvor
matematikgeniet finder de omtalte koder i aviser, bøger osv. bruges baggrundstonerne til at
skabe den tidligere nævnte storslået atmosfære gennem spændingsmusik og ophøjede toner.
Dette ændrer sig dog efter indlæggelsen, hvor kodebrydningen går fra at være en ”optur” i
Nash’ liv til at være et kæmpe tilbageslag, der forhindrer ham i at udnytte ”hans smukke sind”.
Dette illustreres gennem dette modsætningsskifte i musikken, hvor de glade toner udskiftes
med dyster og nærmest gyseragtige musik, hver gang Nash stifter bekendtskab med den ene
af hans tre hallucinationer William Parcher, som tvinger ham ud i den ”tophemmelige mission
med kodebrydningen for at kunne lokalisere en sovjetisk atombombe”.
Underlægningsmusikken bruges altså ikke blot til at skabe en helt bestemt stemning i de
givne situationer, men har samtidig virket som en manipulerende effekt, der har medført en
så troværdig tilgang til hele Nash’ sygdom inden indlæggelsen, at læseren selv kan
identificerer sig med Nash og skizofreniens konsekvenser. Dette er altså endnu et eksempel
på et modsætningsskifte i filmen, der illustrerer enten Nash’ opture eller nedture, og er en
komposition som bruges gennem hele filmen.
Skildringen af John Nash’ sygdomsforløb i ”Et smukt sind” skal dog anses med kritiske briller
idet filmen som sagt har mere fokus på at skabe et billede af et geni med hjertet på det rette
sted, og derfor har undladt flere vigtige elementer om denne person, som bl.a. står beskrevet i
bogen, hvor filmen er baseret ud fra.15 Derudover ligger filmen som tidligere nævnt vægt på
historien bag de matematiske udregninger, og ikke selve teorien. Derfor flyttes fokus over på
andre elemeter i Nash’ liv såsom kærlighedshistorien om hans studerende, og hans måske lidt
for overspillet sygdomsforløb. Dog er der ingen tvivl om at ”Et smukt sind” giver et unikt og
stadig sandfærdigt indtryk af en mand, der formåede gennem hans originale
fremgangsmetoder at skabe en banebrydende teori, men samtidig også at føre ham selv ud i
en uoverskuelig sygdomskamp. En sygdom som ikke mindst udsprang af hans iver efter
anderkendelse, originale ideer og arbejdsmetoder, der resulterede i en meget sen
sygdomsopdagelse, og altså en langt svære kamp end nødvendigt. En kamp som Nash længe
kæmper med, hvor selv ikke indlæggelsen ender med at gøre ham noget godt. Geniet vælger 15 http://www.information.dk/66459 -‐ Novrup Redvall, Eva – ”Medrivende matematik”, Information – 2002, 1. Marts
20
derfor, karakteristisk nok, at tage sagen i egen hænder, da ”han endelig forstår” at
hallucinationerne ikke er virkelig16, grundet hallucinationen ”unge Marcee” ikke bliver ældre.
En skildring som også har mødt kritik, da denne ”selvhelbredelse” har et meget lille fokus
område i filmen, hvilket medfører et større fokus på de egentlige nedture i Nash’ liv.17 Nedture
Nash formår at overvinde ikke mindst grundet hans tilbagevenden til Princeton, hvor fokusset
på hallucinationerne flyttes over på matematikken i stedet. Dette medfører en markant
opblomstring gennem de næste mange år, der forholdsvist hurtigt gennemgås i sidste del af
filmen. En opblomstring som ikke mindst illustreres af filmens ændrende farve-‐ og
lyssammensætning, hvor farverne går fra triste og kolde under sygdomsforløbet til lysere
samt varmere under hele ”selvhelbredelsen” på Princeton. Altså endnu et modsætningsskifte
som illustrerer en optur i Nash’ liv. En optur som toppes af Thomas Kings besøg i 1994, hvor
den gode Nash indstilles til Nobels Fredspris. En nominering der fører til filmens slutning,
hvor John Nash i Sverige under overrækkelsen, holder en hjerteskærende tale til den måske
vigtigste person i hans liv18. Hans kone Alicia. En kone som satte sin egne behov sit, og i stedet
fokuserede på at holde sammen på en familie, der mest af alt var på mig mod afgrunden. En
egenskab som Nash takker hende for gennem den rørende tale, og altså tydeligt viser at hans
optur er permanent – John Nash’ smukke sind er tilbage.
16 1:34 – ”Et smukt sind” 17 http://www.information.dk/66459 -‐ 18 2:00 – ”Et smukt sind”
21
En uligevægtig mand
At geniet John Nash var en meget speciel mand med meget specielle matematiske evner, er
der vist ingen tvivl om. Evner som blev brugt til udarbejde denne banebrydende teori, og ikke
mindst skabe rammerne for revolutionerede tendenser indenfor den økonomiske verden. Det
interessante i denne sammenhæng er dog, hvordan en mand så speciel kunne udrette noget så
stort, og ikke mindst hvordan det var muligt, selvom han var hårdt plaget af sygdom. Et helt
præcist svar på dette spørgsmål, bliver nok ikke fundet foreløbigt. Dog findes der faktorer i
Nash’ liv som skildres gennem diverse medier, der kan give en ide omkring, hvordan denne
geniale galskab kunne fører til et matematisk vidunder. Faktorerne som afspejles i ”Et smukt
sind” i form af det konkurrencepræget miljø, og Nash’ konstante arbejdsiver og originale
arbejdsmetoder, er blevet fremhævet i filmanalysen, så disse vil vi ikke have den store fokus
på i følgende afsnit. Nej, andre og måske endnu vigtigere elementer i Nash’
bemærkelsesværdige liv (som lever endnu), kan måske endnu bedre belyse det interessante
spørgsmål.
”Hvordan kunne du. En matematiker, en mand viet til fornuft og logik... Hvordan kunne du
tro, at fremmede væsner fra det ydre rum rekrutterede dig til at redde verden? Hvordan kunne
du?” ”Fordi,« sagde John Nash langsomt og nærmest til sig selv, »jeg fik de idéer om
overnaturlige væsner på samme måde, som jeg fik mine matematiske idéer. Derfor tog jeg dem
seriøst.”19 Således svarede John Nash til en af sine matematiske venner George Mackey, da
ovenstående spørgsmål blev stillet. Et svar som afspejler en mand, der ikke lærte matematik,
som os andre, men i stedet fik resultater gennem visioner og indblik. ”Nash var i 1959
anerkendt og anset som et geni, der ikke blot tænkte hurtigere, koncentrerede sig mere intenst
og huskede mere, men også som én, der fik indsigter, ingen anden kunne få”20. En indsigt geniet
betroede sig til, og gennem denne fik udarbejdet storslået teorier. Teorier som blev lært fra
bunden idet ”Nash nærede en dyb afsky for blot at absorbere viden og en stærk tro på at lære
tingene ved selv at gøre alt fra grunden21”. En tro som denne der muligvis kunne have fodret
Nash’ hjerne med matematiske begreber lige fra barnsben, og dermed givet ham en større
indsigt og tro på egne evner, som ikke mange andre matematikere har haft. Alt sammen
19 http://www.information.dk/66531 -‐ Bo Sørensen, Rasmus – ”Matematikeren, der blev forrådt af sin forstand”, Information – 2011, 28. nov. 20 ibid. 3. afsnit 21 ibid. 3. afsnit
22
faktorer som afspejler sig i Nash’ fremgangsmåde, der bliver beskrevet i artiklen ”Lyset der gik
i sort”. ”Nash så den matematiske situation som et billede i sit hoved. Løsningen var der, men
ikke alle trinene, der skulle til for at føre et egentligt bevis. »Visionerne kom typisk tidligt i
processen, og han konstruerede de tunge arbejdskrævende beviser bagefter”. En sætning som
beviser Nash’ helt unikke tilgang til matematikken, men som dog ikke kun hjalp ham gennem
matematikkens svære gåder. I ”Et smukt sind” får matematikeren en af disse visioner under
sygdomsforløbet, der for alvor giver ham troen på, at hallucinationerne ikke er virkelige.22 En
Vision der førte til Nash’ selvhelbredelse og senere hen muligheden for at undervise på
Princeton igen.
Udover disse nærmest overnaturlige egenskaber geniet besad, var der også en helt anden
ting, som påvirkede matematikeren til at gå sin egne veje. ”Han yndede at sige, at der kun var
tre egentlige genier på MIT, »og jeg er nok den klogeste”. Nash udstrålede altså en enorm
selvsikkerhed, der muligvis var med til at give ham modet til en fremlæggelses overfor
spilteoriens fader John von Neumann, hvor hans, ifølge John Nash’, mangelfulde teorier blev
belyst. Fejl som von Neumann dog valgte og afvise, hvilket dog ikke slog den gode John Nash
ud. I stedet for at lade sig påvirke at en af spilteoriens største hjerner, valgte det unge geni i
stedet at arbejde endnu hårdere og motiveret for at bevise sin holdte stand23, hvilket den i den
grad gjorde. Et kraftig eksempel på en målrettet mand, der grundet sin selvsikkerhed, var
stensikker på at hans matematiske viden ville række langt nok til at overbevise skeptikerne.
John Nash fik udarbejdet sin ”ligevægts-‐teori” i sin ph.d.-‐afhandling på Princeton i starten af
de 19. Århundrede. En teori som i starten ikke blev anderkendt, som at være matematisk.24,
men dog senere hen skulle vise sig, at være en af matematikkens større gennembrud. Et
gennembrud der blev skabt af en mand, hvis matematiske forståen kom gennem visioner,
selvsikkerhed og enormt arbejdsiver. En mand som ikke lod sig slå ud af nedslående tanker og
blikke, men i stedet lod disse fungerer som motiverende faktorer, der i 1994 resulterede i
nobelprisens anderkendelse.
22 1:34 – ”Et smukt sind” 23 http://www.information.dk/286234 -‐ Bo Sørensen, Rasmus – ”Matematikeren, der blev forrådt af sin forstand”, Information – 2011, 28. nov. 24 ibid. afsnit ”blærerøv”.
23
Teoriens anvendelse
Nash-‐ligevægten blev som sagt for alvor først anderkendt i 1994, da geniet sammen med to
kollegaer fik overrakt Nobelprisen med følgende begrundelse.
”John Nash – Deres analogier for ligevægt, ikke-‐kooperative spil og alle Deres andre bidrag til
spilteori har haft stor betydning for økonomisk teori de sidste årtier”
En begrundelse der beskriver præcist, hvordan John Nash’ teori hovedsagligt bliver anvendt i
nutidens samfund, hvor denne har haft stor betydning for økonomiske forhandlinger men
også, ”hvordan man inden for evolutionærbiologien beskriver arternes konkurrence med
hinanden over tid”25. Lad os tage et eksempel med udgangspunkt i en økonomisk forhandling
mellem to firmaer, som er blevet hårdt ramt af finanskrisen:
To teleselskaber med økonomiske problemer ønsker at opkøbe et andet teleselskab, så de kan slå
alle tre sammen til et stort, og dermed øge deres indtjening. Vi betegner udbytte i dette tilfælde
som økonomisk stabilitet, og opstiller de tidligere nævnte udbyttematrix:
Hjælpe med opkøb Ikke opkøbe
Hjælpe med opkøb 4, 4 2, 0
Ikke opkøbe 0, 2 -‐2, -‐2
Ovenstående Nash-‐ligevægt befinder sig i at begge hjælper med opkøb af firmaet, da dette vil
stille begge parter optimalt idet deres økonomiske ansvarlighed har fået tildelt værdien 4.
Hvis det ene firma opkøber og det andet ikke gør vil dette give en økonomisk stabilitet på 0 til
firmaet, der ikke opkøber og derimod øge den økonomiske stabilitet til 2, hos det firma der
opkøber. Vælger ingen at opkøbe, står begge selskaber med en økonomisk stabilitet på -‐2, og
de risikerer at gå konkurs. I dette tilfælde giver Nash-‐ligevægten altså den strategi, der bedst
kan svarer sig for begge parter, givet begge parter tænker rationelt.
25 http://www.information.dk/286234 -‐ Bo Sørensen, Rasmus – ”Matematikeren, der blev forrådt af sin forstand”, Information – 2011, 28. nov.
24
Lad os nu forestille os at det ene firma er en del mindre end det andet, og dermed ikke kan
investere med ligeså mange penge som det store firma. Andre overvejelser såsom budgetter,
teknologisk udvikling osv., skal altså inddrages i vores beregninger nu. Dette vil give følgende
udbytte matrix. Det store firma har rækkerne, og det lille firma søjlerne:
Hjælpe med opkøbe Ikke opkøbe
Hjælpe med opkøb 1,1 0, 2
Ikke opkøbe 2, 0 -‐2, -‐2
Ovenstående viser nu, at det der tidligere var en Nash-‐ligevægt i form af (Opkøbe, opkøbe), er
ikke længere en mulighed, da det lille selskab vil få mere ud af at ændre strategi til ikke at
hjælpe med opkøb. Dette giver dog problemstillingen, at i begge de markerede Nash-‐ligevægte
”taber” den ene. Det er derfor en mulighed at ingen vælger at opkøbe selskabet, og altså ender
med det værst mulig udfald (konkurs). Selskaberne har dog nu den mulighed ”to play hard”,
hvor det gælder om at overbevise det andet selskab om, at man er villig til at løbe risikoen ved
ikke at opkøbe, og dermed gå konkurs. Dette kan få det andet selskab til at ”ryste i bukserne”,
og dermed hjælpe med opkøbet. Det er altså ikke muligt, at finde en decideret løsning i
ovenstående problemstilling, men ved hjælp af blandede strategier, som er gennemgået i
teoriafsnittet, kan selskaberne ved hjælp af disse få nogle bedre grundlag for deres
beslutninger.
Således blev et eksempel på anvendelsen af Nash’ teori anvendt. Dog findes der mange flere
og mere komplekse eksempler på, hvordan hans begreber i nutidens samfund benyttes.
25
Konklusion
John Nash var altså der manden, som for alvor fik sat begrebet spilteori på det matematiske
verdenskort. En faktor han fik skabt gennem unikke arbejdsmetoder og ideer, der bestod i
visioner og indsigter i matematiske aspekter, som kun dette geni kunne ske. Alt sammen
noget der resulterede i den banebrydende teori, Nash-‐ligevægten. En ligevægt der beskriver
en tilstand i et spil, hvor alle parter, givet rationel tænkning, kan ende i et punkt, hvor det ikke
kan svare sig at ændre strategi for nogle spillere, givet alle har forstået denne faktor. En
ligevægt som dog ikke altid er tilstede, men kan forekomme, hvis spillerne tillades at bruge de
nævnte blandede strategier. En ligevægt som blev udviklet gennem simpel og komplekse
gennemgået matematiske udregninger, der alle er udtryk for den originale ide geniet fandt på
takket være et barbesøg i Princeton.
Disse begreber blev udviklet takket være hans enorme arbejdsiver, der dog ikke kun førte
matematiske vidunderteorier med sig, men også førte ham ud skizofreniens dystre verden,
som skildres i filmen ”Et smukt sind”, hvor matematikeren følges i en indædt kamp mellem
den virkelig verden og fantasiens skræmmende overtag. En kamp som Nash gennem længere
tid arbejder på at vinde, hvor han gennem en selvhelbredende fremgangsmetode får sat skik
på den uhyggeligt sygdom. En helbredelse som toppes af en Nobelprismodtagelse i 1994, hvor
matematikkens døre for alvor åbner og op, og byder geniet John Nash indenfor i deres
videnskabelig verden.
Denne modtagelse i 1994 blev overrakt takket være Nash’ teoriers anvendelse indenfor flere
områder end geniet selv havde forestillet sig. Områder som dækker over alt fra økonomiske
forhandlinger til biologiske kampe, og som i dag bruges i flittigt i nutidens samfund. En teori
som blev skabt af en mand, der som en af de få gennemskuede matematikkens gådefulde
mysterier, men som aldrig formåede at gennemskue sin egen hjerne.
”Mine damer og herrer – Geniet John Nash”.
26
Litteraturliste
1) Howard, Ron -‐ ”Et smukt sind”, 2001
2) Howard, Ron – ”Bonusmateriale”, 2001
3) Bo Sørensen, Rasmus – ”Matematikeren, der blev forrådt af sin forstand”, Information –
2011, 28. nov. -‐ http://www.information.dk/286234
4) Kragh Jakobsen, Rasmus – ”Lyset der gik i sort”, Information – 2002, 4. marts
5) Novrup Redvall, Eva – ”Medrivende matematik”, Information – 2002, 1. marts
6) Harremoës, Peter og Brock, Niels – ”Spil-‐ og beslutningsteori” – 2010, 26. november -‐
http://www.harremoes.dk/Peter/Undervis/Score.pdf
7) Statens Naturvidenskabelige Forskningsråd – ”Netværk i Matematikkens Historie og
Filosofi” nr. 5 – 1999, Marts.
8) Filmanalyseark udleveret af Anne-‐Marie Østergaard.
9) Axelsen, Peter og Bo Kristensen, Lars – ”Spilteori”
http://www.google.dk/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CD0QFj
AD&url=http%3A%2F%2Ffou.emu.dk%2Foffentlig_download_file.do%3Fid%3D1515
98&ei=p_-‐SVI6FNs7sO-‐-‐
igYgB&usg=AFQjCNGLzKTOpyUJ4Zjm0cvdL5bIRAKlOw&bvm=bv.82001339,d.ZWU
