SS_pred7

8/18/2019 SS_pred7

1/47

Fakultet elektrotehnike Univerziteta u TuzliLaboratorij za informacijsko-komunikacijske tehnologije

Signali i sistemiSignali i sistemi Analiza u frekventnom domenu. Analiza u frekventnom domenu.

Fourierovi redoviFourierovi redoviprof. dr. Nermin Suljanović

8/18/2019 SS_pred7

2/47


8/18/2019 SS_pred7

3/47


UvodUvod

Poseban slučaj kompleksnog eksponencijalnogsignala jeste e jω 0t Fourierov red = metod predstavljanjaperiodičnih funkcija preko harmonijskihfunkcijaFourierova transformacija => poopštenje zaaperiodične signale

8/18/2019 SS_pred7

4/47


Svojstvena funkcijaSvojstvena funkcija

Sistem)(t k φ )(t k k φ λ

Svojstvena

vrijednost

Svojstvena

funkcija

LTI sistem)()( t at x k k

k φ ∑= )()( t at y k k

k k φ λ ∑=

Odre ivanje odziva LT! sistema se svodi naodre ivanje koeficijenataλ k "

8/18/2019 SS_pred7

5/47


Predstavljanje kontinualnih periodičnihPredstavljanje kontinualnih periodičnihsignala pomo u Fourierovih redovasignala pomo u Fourierovih redova

Periodični signali! x(t)=x(t+T), ∀ t (*)T 0 => osnovni period "najmanja vrijednostT različita od nule za koju relacija # vrijedi$%snovna frekvencija! ω 0=2 π /T 0&Primjer! x(t)= cosω 0t i x(t)=e jω 0t .Oba signala su periodi na sa osno!no"

#rek!en$ijo" ω 0 i osno!ni" periodo" T 0.

8/18/2019 SS_pred7

6/47


'azni signali'azni signali(efiniramo skup baznih harmonijskih signala!φ k (t)=e jk ω 0t =e jk(2π /T)t , k=0, ± %,± 2,...'azni signal ima osnovnu frekvenciju koja jecjelobrojni multipl osnovne frekvencijeSvaki bazni signal je periodičan u periodu T &

8/18/2019 SS_pred7

7/47


Fourierov redFourierov red

)inearna kombinacija baznih harmonijskihsignala

Periodična u periodu *+lan za k =, je konstanta&k= ± % => prvi harmonik itd&

∑∑ ∞

−∞=

∞

−∞=

==k

t T

jk

k k

t jk k eaeat x

π ω

#$)(

8/18/2019 SS_pred7

8/47


-a realne periodične signale-a realne periodične signale

x(t)=x*(T) =&

-amijenimo k sa 'k !

Uporedimo dva gornja izraza!

∑∞

−∞=

−=k

t jk k eat x $%)( ω

∑∞−∞=

−=k

t jk k eat x $

%)( ω

k k aa −=%

8/18/2019 SS_pred7

9/47


-a realne periodične signale-a realne periodične signale

x(t) mo.emo zapisati u obliku!

=>

[ ]∑∞

=

−−++=

&$

$$)(k

t jk k

t jk k eaeaat x ω ω

k k aa −=%

[ ]{ }∑

∑∞

=

∞

=

−

+=

++=

&$

&

%

$

$

$$

'e#

)(

k

t jk k

k

t jk

k

t jk

k

eaa

eaeaat x

ω

ω ω

8/18/2019 SS_pred7

10/47


U eksponencijalnom obliku&&&U eksponencijalnom obliku&&&

{ }

∑

∑∞

=

∞

=

+

++=

+=

&$$

&

)($

)cos(#

'e#)( $

k k k

k

t k jk

t k (a

e (at x k

θ ω

θ ω k j

k k e (a θ =

Fourierov red realnih (eriodi nih signalaFourierov red realnih (eriodi nih signala

8/18/2019 SS_pred7

11/47

Fakultet elektrotehnike Univerziteta u Tuzli

Laboratorij za informacijsko-komunikacijske tehnologije

/li algebarskom obliku&&&/li algebarskom obliku&&&

*sincos+#)( $&

$$ t k $t k bat x k k

k ω ω −+= ∑∞

=

k k k j$ba +=

8/18/2019 SS_pred7

12/47



%dre0ivanje koeficijenata%dre0ivanje koeficijenataFourierovog reda& PrimjerFourierovog reda& Primjer

[ ] [ ]t jt jt jt j ee j

eet x π π π π ,,--##

#&

)( −− −++=

#.&/-$ == T π ω

a 0=0 01 nema 23 kom(onente

a 2= %/j a =0 a =0 ...

a %=%/2 a 2=%/j a =0 a =0 ...

a %=%/2

4eriodi an signal5 x(t)= cos π t + 2 sin π t

8/18/2019 SS_pred7

13/47



%dre0ivanje koeficijenata%dre0ivanje koeficijenataFourierovog redaFourierovog reda

4eriodi ansignal x(t)

∑∞

−∞=

=k

t jk k eat x $)(

ω Sa lijeve strane5

&) 4omno6imo sae jnω 0t

#) !ntegriramo du6 (erioda T

Sa desne strane5

&) 4omno6imo sae jnω 0t

#) !ntegriramo du6 (erioda T

8/18/2019 SS_pred7

14/47




dt eeadt et x t jnT

k

t jk k

T t jn $$$

$$

)( ω ω ω −∞

−∞=

− ∫ ∑∫ =

∫ ∫ ∫ −+−=−T T T

t nk j tdt nk jtdt nk dt e$ $

$$$

)( )sin()cos($ ω ω ω

∫$

T

x t e− jn $ t dt = ∑k =−∞

∞

a k [∫$T

x t e j k − n $ t dt ]

8/18/2019 SS_pred7

15/47




∫ ∫ ∫ −+−=−T T T

t nk j tdt nk jtdt nk dt e$ $

$$$

)( )sin()cos($ ω ω ω

4eriodi ne funkcije sa osnovnim (eriodomT/ I k nI

!ntegriramo du6 intervalaT koji je cijeli broj (eriodaovog signala" O igledno je da je integral jednak nulikadak n a T za k=n "

8/18/2019 SS_pred7

16/47




'educira se na Ta n"

∫ −=T

t jnn dt et xT

a$

$)(& ω

∫$

T

x t e j k − n $ t dt = {T , k = n$/ k ≠ n = T [k − n ] Ortogonalnost

∫$

T

x t e− jn $ t dt = ∑k =−∞

∞

a k [∫$T

x t e j k − n $ t dt ]

8/18/2019 SS_pred7

17/47



U opštem slučaju&&&U opštem slučaju&&&

∫ −=T

t jnn dt et xT

a $)(& ω

∫T

x t e j k − n $ t dt = {T , k = n$/ k ≠ n = T [k − n ]

8/18/2019 SS_pred7

18/47



-a zada u-a zada u

!zvesti koeficijente zabk i $k za F' utrigonometrijskom obliku"

8/18/2019 SS_pred7

19/47



1ada periodičan kontinualni signal mo.emo1ada periodičan kontinualni signal mo.emopredstaviti pomo u Fourierovog reda2predstaviti pomo u Fourierovog reda2

/ntegral u izrazu a k divergira3 tj&a k →∞ 21oeficijenti a k konačni3 Fourierov red divergira "nekonvergira izvornom signalu x(t)$21lasa signala koja se mo.e predstaviti sa F4 obuhvata

signale sa konačnom energijom u toku perioda!∫ ∞<T

dt t x #)(

Ovaj uslov garantira da su svi koeficijenti Fourierovog reda kona ni/ odnosno da

energija gre7ke a(roksimacije te6i nuli kada 8→∞

"

∫ ∑ =⇒−=∞

−∞= T k

t jk k dt t eeat xt e $)()()( #

$ω

) ( hlP&)& (i i hl

8/18/2019 SS_pred7

20/47



P&)& (irichletP&)& (irichletPostavka uslova koji garantiraju da je signal x(t)

jednak njegovoj predstavi pomo u Fourierovogreda3 osim u tačkama u kojim x(t) ima prekid&

U tačkama prekida3 Fourierov red konvergirasrednjoj vrijednosti signala sa obje straneprekida&

Ukupno 5 (ircihletova uslova &

8/18/2019 SS_pred7

21/47



6&6& x(t) x(t) mora biti apsolutno integrabilnomora biti apsolutno integrabilnodu. periodadu. perioda T T

∫ ∞<T

dt t x )(

Garancija da će koeficijenti ak biti konačni:

∫ ∫ =≤ −T T

t jk k dt t xT

dt et xT

a )(&

)(&

$ω

∞

8/18/2019 SS_pred7

22/47



Primjer periodičnog signala koji nePrimjer periodičnog signala koji nezadovoljava ovaj uslovzadovoljava ovaj uslov

&"&$/&

)( =≤

8/18/2019 SS_pred7

23/47



7&7& x(t) x(t) ima konačan broj maksimuma iima konačan broj maksimuma iminimuma unutar jednog perioda signalaminimuma unutar jednog perioda signala

Primjer funkcije koja zadovoljava uslov 6 ali ne i uslov7!

∫ <&

$

&)( dt t x ali funkcija ima beskona no mnogo maksimuma i minimumunutar jednog (erioda

&/&$/#

sin)( =≤

8/18/2019 SS_pred7

24/47



5&5& x(t) x(t) ima konačan broj prekida u nekomima konačan broj prekida u nekomkonačnom intervalu& Svaki od ovih prekidakonačnom intervalu& Svaki od ovih prekida

je konačan& je konačan&Primjer funkcije koja narušava uslov 3 je prikazan na sljedećoj slici.

Si nal sa periodom T !" čini konačan broj sekcija# a svaka sekcija ima polavisine i širine u odnosu na pret$odnu sekciju.

8/18/2019 SS_pred7

25/47



Primjer! povorka pravougaonihPrimjer! povorka pravougaonihimpulsaimpulsa

∫ −

==&

&

&$

#& T

T T T dt

T a

$/)sin()sin(# &$

$

&$ ≠== k k

T k T k

T k a k π

ω ω

ω

Srednja vrijednostSrednja vrijednost x(t) x(t) u (eriodu T:u (eriodu T:

x t ={&/ ∣t ∣ T &$/ T & ∣t ∣ T /#

a k =&

T

= ∫− T &

T &

e− jk $ t dt = − &

jk $ T

e− jk $ t ∣− T &T & = #

k $ T [ e jk $ T &− e− jk $ T &

#j ]

P i j ! k ihP i j ! k ih

8/18/2019 SS_pred7

26/47



Primjer! povorka pravougaonihPrimjer! povorka pravougaonihimpulsaimpulsa

&- T T = #&$π

ω =T

k a k arnoza$=

#

&$ =a

π &

&& ==− aa

π ;

&;; −==− aa

π <&

8/18/2019 SS_pred7

27/47



Predstavljanje povorke impulsa saPredstavljanje povorke impulsa sakonačnim brojem članova Fourierovog redakonačnim brojem članova Fourierovog reda

=ibbsov fenomen=ibbsov fenomen>m(lituda oscilacija se

ne smanjuje nego se onekom(resuju (rema ta ki (rekida:

8/18/2019 SS_pred7

28/47



Primjer! povorkaPrimjer! povorka δδ impulsaimpulsa

∑∞

−∞= −= n nT t t x )()( δ

:svakoza &

)(&

)(& #.

#.

#.

#.

$$

k T

dt et T

dt et xT

aT

T

t jk T

T

t jk k

=

== ∫ ∫ −

−

−

− ω ω δ

∑∞

−∞==

n

t jk eT

t x $&

)( ω

8/18/2019 SS_pred7

29/47



Parni i neparni signaliParni i neparni signali

8ko je periodični signal paran3 tada su sinusničlanovi nula

a ako je neparan vrijedi!

∑∞

=

+=&

$$ cos

#

)(k

k t k ba

t x ω

∑∞

=

=&

$sin)(k

k t k $t x ω

8 li d i i f i k

8/18/2019 SS_pred7

30/47



8mplitudni i fazni spektar8mplitudni i fazni spektarperiodičnih signalaperiodičnih signala

/zrazimo koeficijente Fourierovog reda u obliku!

(ijagram / a k / u zavisnosti od ugaone frekvencije ω naziva se amplitudni spektar periodičnog signala x(t) adijagram φ k ( ω ) fazni spektar&-a realni periodičan signal x(t) je

k jk k eaa

φ =

%k k $$ =−

k k $$ =− k k φ φ −=−

4arna funkcija odω 8e(arna funkcija odω

8/18/2019 SS_pred7

31/47



8mplitudni i fazni spektar8mplitudni i fazni spektarperiodičnih signalaperiodičnih signala

k jk k eaa

φ =>m(litudni i fazni s(ektar>m(litudni i fazni s(ektar

(eriodi nog signala su diskretni: (eriodi nog signala su diskretni:

8/18/2019 SS_pred7

32/47



%sobine F4&%sobine F4& -inearnost -inearnost 9eka su x(t) i y(t) dva periodična signala sa periodom T i neka imajukoeficijente Fourierovog reda a k i bk 3 respektivno!

x(t) i y(t) imaju jednake periode3 pa i njihova linearna kombinacija imaisti period&$k : koeficijenti linearne kombinacije&

k

./

at x ↔)( k ./

bt y ↔)(

k k k

./

ba$t yt xt 0 +=↔+= )()()(

b

8/18/2019 SS_pred7

33/47



%sobine F4&%sobine F4&1re"enski po"ak 1re"enski po"ak ;remenski pomak periodičnog signala x(t) ne utiče na njegovu

periodičnost&

k

./

bt t xt y ↔−= )()( $

dt et t x

T

bT

t jk k ∫ −−= $)(& $ ω

$t t −=τ

k

t T

jk

k

t jk

T

jk t jk

T

t jk k

aeae

d e xT

ed e xT

b

$$$

$$$$$

#

)( )(&

)(&

π ω

τ ω ω τ ω τ τ τ τ

−−

−−+−

==

== ∫ ∫

k t jk

./

aet t x $$)( $ω −↔−

P i j &P i j &

8/18/2019 SS_pred7

34/47



Primjer&Primjer& o"ak a T/2 o"ak a T/2

k

k jk

k

T jk

k aeaeaT t xt y )&()#.()( #.$ −==⇒−= −− π ω

T t y

k ./ )&()( −↔

8/18/2019 SS_pred7

35/47



%sobine F4&%sobine F4& 3n!er ija !re"ena 3n!er ija !re"ena

Period T periodičnog signala x(t) ostaje nepromijenjen i u slučajuobra anja vremena ": t $&

∑∞

−∞=

−=k

T t jk k eat x

.#)( π

"k −= ∑∞

−∞=−=−=

"

T t j"" eat xt y

.#)()( π k k ab −=

k

./

at x −↔− )(

% bi F4&% bi F4&

8/18/2019 SS_pred7

36/47



%sobine F4&%sobine F4&1re"ensko skaliranje1re"ensko skaliranjeα

=> realni skalar

?idimo da se koeficijenti Fourierovog reda ne mijenjajudok se mijenja (redstava (omo9u Fourierovog reda jer semijenja osnovna frekvencija"

Signal x( α t) (eriodi an sa (eriodomT/ α "

x t = ∑k =−∞

∞

a k e jk $ t

jj

8/18/2019 SS_pred7

37/47



8/18/2019 SS_pred7

38/47



aista3 neka jeaista3 neka je (t) x(t)y(t)5 (t) x(t)y(t)5

)()()()()()( t 0 t yt xT t yT t xT t 0 ==++=+

∑∞

−∞==

k

t jk k e4t 0 $)(

ω

∫ ∫ − −

−− ==#.

#.

#.

#.

$$ )()(&

)(& T

T

T

T

t jk t jk k dt et yt x

T

dt et 0

T

4 ω ω

= &T ∫− T /#

T /#

∑" =−∞

∞

a " e j" $ t y t e− j k $ t dt

= ∑" =−∞

∞

a " [&T ∫− T /#T /#

y t e− j k − " $ t dt ]= ∑" =−∞∞

a " b k − "

Parsevalov teorem za kontinualneParsevalov teorem za kontinualne

8/18/2019 SS_pred7

39/47



Parsevalov teorem za kontinualneParsevalov teorem za kontinualneperiodične signaleperiodične signale

Snaga signala u toku jednog perioda je!

∑∞

−∞==

k

t jk k eat x $)( ω

!z gornje relacije vidimo da ako sua k koeficijenti Fourierovog redasignala x(t)/ tada sua k * koeficijenti Fourierovog reda signala x*(t) "

= &T ∫T $∣ x t ∣

#dt

x% t = ∑k =−∞

∞

a k e jk $t = ∑

k =−∞

∞

a k %e− jk $ t = ∑

k =−∞

∞

a− k % e jk $ t

Parsevalov teorem za vremenskiParsevalov teorem za vremenski

8/18/2019 SS_pred7

40/47



Parsevalov teorem za vremenskiParsevalov teorem za vremenskikontinualne periodične signalekontinualne periodične signale

1oeficijenti Fourierovog reda proizvoda dva signala su jednaki!

∫ ∑∞

−∞=−

− ==T "

"k "t jk

k badt et yt xT 4 $)()(

& ω

∫ ∑∞

−∞=−=⇒=

T """ badt t yt xT k )()(

&$

∑ ∑∫ ∞

−∞=

∞

−∞=−==

k k k k k

T

T

aaadt t xt xT

#%

#.

#.

% )()(&

%%"""" abab =⇒= −−

4>'S@?>LO? T@O'@A B>4>'S@?>LO? T@O'@A B>CO8T!8U>L8@CO8T!8U>L8@

4@'!O2!D8@ S!=8>L@4@'!O2!D8@ S!=8>L@

Parse alo teorem a remenskiParsevalov teorem za vremenski

8/18/2019 SS_pred7

41/47



Parsevalov teorem za vremenskiParsevalov teorem za vremenskikontinualne periodične signalekontinualne periodične signale

Parsevalov teorem govori da je (ukupna) srednja snagaParsevalov teorem govori da je (ukupna) srednja snagaperiodičnog signala jednaka sumi srednjih snaga svih njegovihperiodičnog signala jednaka sumi srednjih snaga svih njegovihharmonijskih komponenti.harmonijskih komponenti.

Srednja snaga k-te harmonijskekomponente

&T ∫T ∣a k e

jk $ t ∣# dt = &

T ∫T ∣a k ∣# dt =∣a k ∣

#

Periodična konvolucijaPeriodična konvolucija

8/18/2019 SS_pred7

42/47




τ τ τ d t y xt yt x ∫ ∞

∞−

−= )()()(%)( x(t) i y(t) (ozitivni (eriodi ni signali5

∞=)(%)( t yt x


8/18/2019 SS_pred7

43/47




τ τ τ τ τ τ d t y xd t y xt yt x T T

T ∫ ∫ ∞

∞−−−=−= )()()()()(%)(

#.

#.

%ko inte riramo du& jedno perioda:

xT t ={ x t , − T /# t T /#$/ a ostalot


8/18/2019 SS_pred7

44/47




Ano6enje u frekventnom domenu:Ano6enje u frekventnom domenu:

$k =&T ∫T t e

− jk $t

dt =&T ∫T ∫T x y t − d e

− jk $ t

dt

= ∫T &T ∫T y t − e− jk $ t − dt x e− jk $ d

= ∫T

bk x e− jk $ d = Ta k b k

Fourierovi redovi i )*/ sistemiFourierovi redovi i )*/ sistemi

8/18/2019 SS_pred7

45/47



Fourierovi redovi i ) / sistemiFourierovi redovi i ) / sistemi

)*/ sistem je okarakteriziran svojim imulsnim odzivom 4(t) 3

odnosno prenosnom funkcijom!

1ada je s opšti kompleksan broj3 tada je 6(s) prenosna funkcijasistema&

{ } $'e =⇒= s j s ω t j st ee ω ⇒

τ τ τ d e4 s 6 s−∞

∞−∫ = )()(

dt et 4 j 6 t jω ω −∞

∞−∫ = )()(

Frekventni odziv sistemaFrekventni odziv sistema

Fourierovi redovi i )*/ sistemiFourierovi redovi i )*/ sistemi

8/18/2019 SS_pred7

46/47


Fourierovi redovi i ) / sistemiFourierovi redovi i ) / sistemi

8ko je x(t) periodičan kontinualni signal predstavljen pomo uFourierovog reda!

i ako je poznat frekventni odziv 6(j ω )!

∑∞

−∞=

=k

t jk k eat x $)(

ω

y(t) y(t) je (eriodi na funkcija sa istim (eriodom je (eriodi na funkcija sa istim (eriodomT T / odnosno osnovnom/ odnosno osnovnomfrekvencijomfrekvencijomω ω 00""

EEaa k k 6(jk 6(jk ω ω 00 ) ) je sku( koeficijenata Fourierovog reda odziva sistema je sku( koeficijenata Fourierovog reda odziva sistema y(t). y(t).

∑∞

−∞==

k

t jk k e jk 6 at y $)()( $ ω ω

)iteratura)iteratura

8/18/2019 SS_pred7

47/47


)iteratura)iteraturaSuljanovi 3

Documents

SS_pred7