Stabilnost autonomnih sustava

Za motivaciju pojma stabilnosti prisjetimo se logističke diferencijalne jed-nadžbe

u′ = u

(1 − 1

κu

), , κ zadani pozitivni brojevi.

Nultočke desne strane f(u) := u(1 − 1

κu)

predstavljaju ravnotežna stanja:konstantne funkcije

u ≡ 0 i u ≡ κ

predstavljaju rješenja jednadžbe. Izračunali smo i (jedinstveno) rješenje jed-nadžbe uz početni uvjet u(0) = u0 (za u0 > 0):

u(x) =κ u0

u0 + (κ − u0) exp(− x).

Uočavamo da za x → +∞ rješenje u(x) teži prema κ, neovisno o u0. Posebno,ravnotežna stanja su bitno različite prirode: Kako god u0 bio blizak nulirješenje ipak teži daljem ravnotežnom stanju κ.

Osnovne definicije ćemo uvesti za proizvoljno rješenje (ne nužno ravnotežno)autonomnog sustava

U ′ = f(U) , (1)

pri čemu je f : Ω ⊆ Rn → Rn. U daljnjem s | · | označavamo normu na Rn, as ‖ · ‖ induciranu matričnu normu.Definicija. Kažemo da je rješenje Φ sustava (1)

a) stabilno ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da za svako rješenje Usustava koje u početnom trenutku zadovoljava

|U(0) − Φ(0)| < δ

vrijedi|U(x) − Φ(x)| < ε , x > 0 .

b) asimptotski stabilno ako je stabilno i ako postoji ρ > 0 tako da za svakorješenje U sustava

|U(0) − Φ(0)| < ρ =⇒ limx→+∞

[U(x) − Φ(x)] = 0 . (2)

Primjer. Pitanje stabilnosti je od iznimne važnosti u raznim primjenamazbog činjenice da početne uvjete sistema nikad ne možemo izmjeriti egzaktno.Za primjer uzmimo predmet mase 1kg, koji visi o opruzi krutosti 4N/m.Radi jednostavnosti, uzmimo da se predmet može gibati samo vertikalno bez

1

trenja (neka je os x usmjerena prema dole s ishodištem u hvatištu opruge).Na predmet još djeluje sila teža F = 10N (radi jednostavnosti uzimamog = 10m/s2). Ako s x(t) označimo položaj predmeta (na osi x) u trenutkut, Newtonova jednadžba gibanja predmeta glasi

d2

dt2x = 10 − 4x .

Zapišemo ovu jednadžbu drugog reda pomoću sustava prvog reda (stan-dardno) za funkciju U(t) = (x(t), x′(t))τ :

d

dtU1 = U2 ,

d

dtU2 = −4U1 + 10 .

Opće rješenje sustava možemo zapisati u obliku (lakše je riješiti polaznujednadžbu višeg reda i očitati rješenje pripadnog sustava)

U(t) = c1

(cos 2t

−2 sin 2t

)+ c2

(sin 2t

2 cos 2t

)+

(5

2

0

).

Uzmimo da u početnom trenutku t = 0 izmjerimo početne uvjete: početnipoložaj x(0) = 1 (metar) i početnu brzinu x′(0) = 0. Lako računamo da uzte uvjete vrijedi c1 = −3

2i c2 = 0; rješenje sustava dakle glasi

U(t) =

(−3

2cos 2t + 5

2

3 sin 2t

). (3)

Doduše, kako mjerni instrumenti nisu savršeni, pretpostavimo da je pogreškamjerenja početnih uvjeta unutar 10−4 (dakle za početni položaj desetinka

milimetra). Hoće li se rješenje sustava U uz nove početne uvjete puno raz-likovati od gornjeg?

Zapišimo preciznije nove početne uvjete: |x(0)−1| < 10−4, |x′(0)| < 10−4,što je ekvivalentno s |c1+

3

2| < 10−4, |c2| < 5·10−5. Razlika od starog rješenja:

U(t) − U(t) =

((c1 + 3

2

)2+ c2

2

) 1

2

cos(t − δ1)

2((

c1 + 3

2

)2+ c2

2

) 1

2

cos(t − δ2)

,

tg δ1 =2c2

2c1 + 3

tg δ2 = −3 + 2c1

2c2

,

odakle slijedi |Ui(t)− Ui(t)| <√

5 ·10−4 (i = 1, 2), za svaki t ≥ 0, što znači dasu stvarni položaj x(t) i brzina x′(t) s velikom preciznošću zadani formulom(3). Također, koristeći gornji račun, možemo zaključiti da je rješenje (3)stabilno, ali ne asimptotski stabilno (ispitajte definicije).

2

U daljnjem ispitujemo stabilnost rješenja linearnog autonomnog sustava

U ′ = AU , (4)

pri čemu je A realna matrica reda n.Lema. Za svako rješenje Φ sustava (4) vrijedi: Φ je (asimptotski) stabilnoako i samo ako je stacionarno rješenje 0 (asimptotski) stabilno.

Dokaz. Koristimo formulu za rješenje sustava (4): U(x) = E(x, 0)U(0) =W (x)W (0)−1U(0), pri čemu je E(x, y) evoluciona matrica, a W fundamen-talna matrica sistema (npr. exA). Po definiciji Φ je stabilno rješenje ako zasvaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da za svaki U0 ∈ Rn

|U0 − Φ(0)| < δ =⇒ |E(x, 0)U0 − E(x, 0)Φ(0)| < ε

ili ekvivalentno (jednostavno U(0) − Φ(0) označimo sa Z): za svaki ε > 0postoji δ > 0 takav da za svaki Z ∈ R

n

|Z| < δ =⇒ |E(x, 0)Z| < ε (5)

što upravo predstavlja definiciju stabilnosti nul–rješenja. Slično, za asimp-totsku stabilnost proizvoljnog rješenja Φ, zahtjev (2) možemo ekvivalentnozapisati na način: postoji 0 < ρ < δ takav da za svaki Z ∈ Rn

|Z| < ρ =⇒ limx→+∞

E(x, 0)Z = 0 .

Zbog prethodne Leme, možemo govoriti o stabilnosti, asimptotskoj sta-bilnosti odnosno nestabilnosti linearnog autonomnog sustava, jer sva rješenjaimaju jednako ponašanje.

Stupci matrice W predstavljaju rješenja sustava (4), pa je (prema Teo-remu 3 iz točke Linearni sistemi s konstantnim koeficijentima), svaka kom-ponenta matrice W (x) linearna kombinacija funkcija

I) eλx , xeλx , . . . , xkλ−1eλx , za proizvoljni realni λ ∈ σ(A)

II) eαx cos βx , xeαx cos βx , . . . , xkλ−1eαx cos βx ,eαx sin βx , xeαx sin βx , . . . , xkλ−1eαx sin βx , za proizvoljni komplek-sni λ = α + iβ ∈ σ(A).

Pritom kλ ∈ N je potencija faktora koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ uminimalnom polinomu matrice A.Teorem. Neka je A ∈ Mn(R) i σ(A) njen spektar. Tada je linearni au-tonomni sustav U ′ = AU

3

a) stabilan ako i samo ako

(∀λ ∈ σ(A)) Reλ ≤ 0 &

Reλ = 0 =⇒ aλ = gλ ,

pri čemu je aλ algebarska, a gλ geometrijska kratnost svojstvene vrijed-nosti λ.

b) asimptotski stabilan ako i samo ako

(∀λ ∈ σ(A)) Reλ < 0

Dokaz. a) (⇐) Navedeni uvjeti povlače ograničenost (za x ≥ 0) svake odfunkcija navedenih u I) i II), pa je stoga i svaka komponenta matrice Wij(x)ograničena za x ≥ 0, odnosno postoji c1 > 0: ‖W (x)‖ ≤ c1 za x ≥ 0. Sadaza Z ∈ R

n norme manje od δ vrijedi

|E(x, 0)Z| = |W (x)W (0)−1Z| ≤ ‖W (x)‖‖W (0)−1‖|Z| ≤ c1c2δ , (6)

gdje je c2 = ‖W (0)−1‖. Dakle za provjeru stabilnosti nul-rješenja dovoljnoje za zadani ε > 0 uzeti δ = ε

c1c2.

(⇒) U suprotnom imamo tri mogućnosti: među funkcijama iz I) odnosnoII) se javljaju

1. eλx, pri čemu je λ > 0, ili

2. eαx cos βx i eαx sin βx, pri čemu je α > 0 ili

3. x cos βx i x sin βx .

No svaka od njih je neomeđena na [0, +∞〉. Kako se svaka od njih pojavljuje ubar jednoj komponenti nekog rješenja U sustava (prisjetite se eksponencijalnefunkcije matrice A, odnosno njene Jordanove forme) onda bi za to rješenje|U(x)| bilo neomeđeno na [0, +∞〉, a ovo daje kontradikciju s definicijomstabilnosti nul-rješenja (uvjerite se!).

b) (⇐) Kako za svaki i, j ∈ 1, . . . , n vrijedi limx→+∞ Wij(x) = 0, to jei limx→+∞ W (x)W (0)−1Z = 0, za proizvoljan Z ∈ Rn.

(⇒) U suprotnom se, pored gornjih 1-3, među funkcijama iz I) i II) mogupojaviti cos βx i sin βx, što slično vodi na kontradikciju jer te funkcije ne teženuli za x → +∞.

Primjer. Ispitajmo stabilnost sustava U ′ = AU ako je

4

a) A =

(0 −32 0

). Računamo karakteristični polinom: kA(λ) = λ2 +

6; svojstvene vrijednosti su ±i√

6. Dakle, sustav je stabilan, ali neasimptotski stabilan.

b) A =

(1 55 1

). Karakteristični polinom je kA(λ) = (λ − 1)2 − 25;

svojstvene vrijednosti su −4, 6. Dakle, sustav je nestabilan.

c) A =

2 −3 00 −6 −2−6 0 −3

. Karakteristični polinom je kA(λ) = −λ2(λ +

7); svojstvene vrijednosti su 0 i −7. Računanjem svojstvenih vektora zasvojstvenu vrijednost 0 dolazimo do jednodimenzionalnog potprostorarazapetog vektorom (3, 2,−6)τ , tj. a0 6= g0. Prema Teoremu, sustav jenestabilan.

Za kraj ćemo navesti rezultat o stabilnosti ravnotežnog stanja autonomnogsustava (1). Kao i u slučaju jedne jednadžbe, točku ξ ∈ Rn nazivamoravnotežnim stanjem ako je f(ξ) = 0. Tada je konstanta U ≡ ξ rješenjesustava.Teorem. Neka je f klase C2 i ξ ravnotežno stanje autonomnog sustava (1).Ako sa S označimo spektar Jacobijeve matrice funkcije f u točki ξ tadavrijedi

a) Ako je S ⊂ z ∈ C : Re z < 0, onda je U ≡ ξ asimptotski stabilnorješenje sustava.

b) Ako je S ∩ z ∈ C : Re z > 0 6= ∅, onda je U ≡ ξ nestabilno rješenjesustava.

Primjer. Ravnotežna stanja sustava

d

dtx = 1 − xy ,

d

dty = x − y3

računamo iz jednadžbi 1 − xy = 0, x − y3 = 0; to su (1, 1) i (−1,−1).

Jacobijeva matrica Df(1, 1) =

(−1 −11 −3

)ima karakteristični polinom

k(λ) = (λ + 2)2, pa je prema Teoremu ravnotežno stanje (1, 1) asimptotski

stabilno. S druge strane, Df(−1,−1) =

(1 11 −3

)ima svojstvene vrijed-

nosti λ1 = −1−√

5 < 0 i λ2 = −1+√

5 > 0, pa je prema Teoremu ravnotežnostanje (−1,−1) nestabilno.

5