Stærðfræði – stærðfræðikennarinn

2. misseri – vorönn 2004Hlutföll og (mynstur)

Meyvant Þórólfssonapríl-2004

Mynstur og „algebraic reasoning“

Horfðu á tölurnar í eina mínútu og leggðu þær á minnið:

2 5 8 1 1 1 4 1 7 2 0 2 3

Mynstur og „algebraic reasoning“

Mikilvægt er að nemendur komi auga á ýmis mynstur í stærðfræði, geti framlengt þau og alhæft um þau. Dæmi: 1, 4, 9, 16... eða 0, 1, 5, 14, 30 ...

Breytur í stæðum og jöfnum hjálpa til við að setja fram almennar reglur um mynstur og vensl.

Breytur geta haft mismunandi eiginleika eða merkingu eftir því í hvaða samhengi þær eru notaðar.

Jöfnur eru notaðar til að tákna vensl tveggja magnstærða. Mikilvægt er að kynna þær sem “jöfnur”.

Mynstur og „algebraic reasoning“ Nemendur þurfa að skoða ýmiss konar mynstur, bæði

töluleg og rúmfræðileg Vandasamt er að kenna nemendum að nota breytur.

Hafa jöfnurnar 7x+22=109 og 7y+22=109 sömu lausn eða ekki?

Ég á þrefalt fleiri epli en Jóhanna. Ef ég tákna mín epli með 3a, þá stendur a ekki fyrir epli, heldur fjölda epla.

Við notum breytur í mismunandi tilgangi: a•b = b•a 3x+2=4x-1 U = 2r

Framsetning getur valdið misskilningi t.d. ab=a•b og ab=ba, en 35≠53

Jöfnur séu kenndar sem “jöfnur”, gegnum hugmyndina um jafnvægi.

Að reikna með brotum

Skoðum dæmið 3/4 + 7/8

Búum fyrst til sögu um það: Páll og bróðir hans eru að borða sams konar súkkulaði.

Páll á 3/4 af sínu eftir en bróðir hans á 7/8 af sínu eftir. Hve mikið eiga þeir til samans eftir?

Öll kennslufræðileg rök mæla með því að notuð séu líkön þegar leiða á börn í skilning um svona dæmi og lausn þess.

Að reikna með brotum

Páll: Bróðirinn:

Tökum til dæmis 2/8 hluta frá Bróðurnum, breytum í 1/4 og færum yfir til Páls svo til verður heilt súkkulaði, 4/4 = 1. Þá eru 5/8 eftir hjá bróðurnum.

Þetta má líka reikna 6/8 + 7/8 = 8/8 + 5/8 = 1 5/8

Hlutfall

Hlutfall (ratio) er margfeldislegur samanburður tveggja talna eða mælistærða. Ath: Hluti-heild, hluti-hluti og hluti-hluti-heild.

Hlutfallssamband ýmissa fyrirbæra (proportional situations) byggist á margfeldissambandi. Jöfn hlutföll (ratios) fást með margföldun eða deilingu, ekki með samlagningu eða frádrætti.

Hlutföll

Dæmi um jafngild hlutföll (proportions): Tvö “ratio” eru “proportional” þá og því aðeins að brotin

sem standa fyrir þau séu jafngild. Dæmi: 7/12 = 14/24 eru jafngild hlutföll.

Reynslan sýnir okkur a fólk reiknar hlutföll með mjög marvíslegum hætti.

Sumir hafa lært reiknirit, til dæmis a/b = x/d þar sem maður leysir jöfnuna fyrir x með því að “margfalda í kross”.

Sumir gera töflur, aðrir teikna myndir (líkön), teikna gröf og svo framvegis. Börn búa sér til ýmis líkön og tákn.

Hlutföll

Ath.merkingu orða: Ratio: Samanburður tveggja mælistærða sem getur birst

í nokkrum ólíkum myndum. Nokkurs konar “fast hlutfall”. Öll brot eru í raun af þessari gerð. Dæmi: “2/5 Íslendinga borða fisk einu sinni í mánuði eða oftar”.

Rate: Ratio sem er samanburður ólíkra mælistærða, lýsir hlutfallslegum vexti eða minnkun af einhverju tagi, sem er mjög algengt í eðlisfræði. Nokkurs konar “mælt hlutfall”, t.d. km/klst. eða kr/kg

Hlutföll

Proportion, sem gefur til kynna sambandið milli tveggja eða fleiri ratios, t.d. 3/9=4/12. Í þessu tilviki mætti e.t.v. tala um “stýrt hlutfall”. Dæmi um hlutföll af þessu tagi gæti verið magn af litarefnum sem sett eru í málningu. Hugsum okkur að 3 hlutar af litnum fari í 4 lítra dós. Hve marga hluta þarf þá í 10 lítra dós svo hlutfallið haldi sér, það er að samsetningin sé það sem kallað er proportional?

Hlutföll hjálpa til við að skilja samhengi hlutanna Jonathan nokkur Swift, sá er skrifaði Ferðir

Gullivers, var “lunkinn lygari”. Á þeim tíma þegar sögur hans urðu til, vissi fólk

sáralítið um fjarlæg lönd og staði. Hann skrifaði sögur í 1. persónu um smáfólk og

fimbulrisa, eyjar sem svifu í lausu lofti og fleira í þá veru. Í frásagnirnar fléttaði hann stærðfræðihugtök. Sögurnar njóta enn vinsælda, þótt þær séu orðnar um 270 ára gamlar.

Hlutföll hjálpa til við að skilja samhengi hlutanna Hvað sem sagt verður um Swift, þá sýndi hann okkur

rækilega fram á það, að ekkert er stórt og ekkert er smátt án samanburðar við annað.

Hann sýndi að stærðfræði og eðlisfræði eru til dæmis fremur óspennandi fræði ef getum ekki tengt þau með vitrænum hætti eða tengt þau við önnur sviði.

Stærðir og umfang hafa ýmislegt með krafta, hreyfingu og vöxt að gera til dæmis.

Hlutföll hjálpa til við að skilja samhengi hlutannaSkoðum hlutföll mannslíkama: Nýfætt barn: Lengd um 52 cm og höfuðið um 13 cm. Hve

langt væri höfuð 180 cm fullorðins manns ef þessi hlutföll héldust?

Gulliver hitti risa sem voru á við kirkjuturna að stærð. Hve langt væri höfuð 30 metra risa ef þessi hlutföll héldust?

Í bekkjartíma: Mælum hve mikill þungi hvílir á fersentimetra við hnjálið venjulegrar manneskju. Væri hægt að nota hlutföll til að finna sömu stærð hjá 30 m risa? 3 m risa?

Hlutföll hjálpa til við að skilja samhengi hlutannaAllt í náttúrunni lýtur stærðfræðilegum lögmálum: Lögun lífvera, massi þeirra, hreyfing, hraði, staðsetning,

vöxtur, víddir og svo framvegis. Sjá um þetta á vefnum: http://www.fandm.edu/Academics/Foundations/NTW114/sca/sca-intro.html

Svipaða sögu er að segja um manngerða hluti, s.s. vélar, samgöngukerfi, bíla, flugvélar (flugvélavængi), skip, húsgögn, listaverk og fleira.

Alls staðar koma hlutföll við sögu. Þess vegna getur verið erfitt að semja vísindaskáldsögur ef menn vilja vera sannfærandi.

Rannsóknir á hlutfallaskilningi...

Ekkert svið skólastærðfræði er eins flókið vitsmunalega:

Fjölmargar rannsóknir hafa verið gerðar á brota- og hlutfallaskilningi barna.

Þrautin um Hr. Trítil og Hr. Slána hefur víða verið notuð til að rannsaka hlutfallaskilning barna.

Lengd Hr. Trítils jafngildir 6 bréfaklemmum. Ef lengd hans væri mæld með káputölum væri hún 4 tölur.

Hæð Hr. Slána jafngildir 6 káputölum. Hver er hæð hans þá mæld í bréfaklemmum. Rökstyddu svarið.

Rannsóknir á hlutfallaskilningi...Dæmi: Hr Trítill (Mr. Small) og Hr. Sláni (Mr. Tall) :

Rannsóknir á hlutfallaskilningi...

Þrautin notuð til að meta hlutfallaskilning barna

(proportional thinking, proportional reasoning).

Stig I (illogical): Engin vitræn útskýring fyrir hendi.

Stig A (additive): Nemandi horfir á muninn á 6 og 4 tölum og kemst að þeirri niðurstöðu að munurinn sé sá sami á bréfklemmum, Hr. Sláni sé því 8 bréfaklemmur.

Rannsóknir á hlutfallaskilningi...

Stig TR (transitional): Hr. Trítill er 6 bréfaklemmur, 2 fleiri en 4 tölur. Svo að fyrir hverjar 2 tölur koma þrjár bréfaklemmur. Hr. Sláni er því 9 bréfaklemmur (2+1)+(2+1)+(2+1).

Stig R (ratio): Nemandi áttar sig á margfeldissambandi mælistærðanna. Fyrir hverja tölu hjá Hr. Trítli kemur 1 ½ tala hjá Hr. Slána. Sama gildir um bréfaklemmurnar. Hr. Sláni er sem sagt 6 • 1 ½ = 9 bréfaklemmur.

Rannsóknir á hlutfallaskilningi...

Skoðað með skrefaðferð (scaling):

Gefið hlutfall

Helming-að

Aftur helmingað

Sexfaldað

Trítill 4 2 1 6 • 1 = 6

Sláni 6 3 1 ½ 6 • 1 ½ = 9

Að kenna um hlutföll...

Ekkert svið skólastærðfræði er eins erfitt kennslufræðilega:

Brot og hlutföll birtast í óvæntum myndum sem nemendum gengur oft illa að skilja og tengja stærðfræðilega.

Við höfum tilhneigingu til að lýsa stærðfræðilegum samböndum með samlagningu og frádrætti fremur en margföldun og deilingu.

Vænlegasta leiðin er að láta nemendur skoða, rannsaka og ræða sem flestar ólíkar framsetningar þar sem “ratio”, “rate” og “proportion” koma fyrir. Ath. líkön.

„Innbyrðis“ og „á milli“ hlutföll o.fl.

3 á móti 12 og 5 á móti 20 (innbyrðis = within) 2 á móti 6 og 6 á móti 18 (bæði) 3 á móti 7 og 6 á móti 14 (á milli = between) 4 á móti 6 og 10 á móti 15 (hvorugt liggur ljóst fyrir)

Nemendur skoði og ræði hlutföll í töflum, gröfum, myndum o.fl. Athuga bæði tvívíðar og þrívíðar rúmræðimyndir.

Beiti óformlegum aðferðum t.d. skrefaðferð (scaling)

„Innbyrðis“ og „á milli“ hlutföll o.fl.

Dæmi: 3 kúlur kosta 12 krónur. Hvað kosta 5 kúlur? Hér sjáum

við að samband talnanna 3 og 12 er þægilegt (within ratio). 3 • 4 = 12 kr. og 5 • 4 = 20 kr. Þ.e. 3/12 = 5/20

3 bréfaklemmur jafngilda 7 cm. Hvað jafngilda 6 bréfaklemmur mörgum cm? Hér er þægilegt samband milli 3 og 6 (between). Fáum því 3 • 2 = 6 og því 7 • 2 = 14. Við höfum því 3/7 = 6/14.

Hvað með 4/6 = x/15 ?

Undraheimur stærðfræðinnar

Ekkert svið er eins heillandi þegar maður skilur það...

Undraheimur stærðfræðinnar er óháður tíma og rúmi. Hann leynist alls staðar og á öllum tímum.

Fegurðin á sér engin takmörk. Þar skipa brot og hlutföll stærstan sess.