Statistika dan-probabilitas

STATISTIKA & STATISTIKA & PROBABILITAS PROBABILITAS

Statistics & ProbabilityStatistics & ProbabilityIr. Zakaria, MMIr. Zakaria, MM

Program Studi EKPProgram Studi EKPUniversitas Samudra LangsaUniversitas Samudra Langsa

20 Maret 201120 Maret 2011

Filosofi PembelajaranFilosofi Pembelajaran

Tell me, I’ll forgetTell me, I’ll forget Show me, I’ll rememberShow me, I’ll remember Involve me, I’ll understandInvolve me, I’ll understand

1. PENGANTAR1. PENGANTARFilosofi ProbabilitasFilosofi Probabilitas

20 Maret 201220 Maret 2012

Apakah yang Anda pikirkan Apakah yang Anda pikirkan tentang Probabilitas?tentang Probabilitas?

Kondisi Tidak Pasti Kondisi Tidak Pasti ((uncertaintyuncertainty) v.s. ) v.s. Acak (Acak (randomnessrandomness))

Frekuensi Relatif Frekuensi Relatif ((relative frequencyrelative frequency) ) v.s. Derajat v.s. Derajat Yakin/Pasti Yakin/Pasti ((plausibilityplausibility))

Ilustrasi-1Ilustrasi-1

Ketika Anda melemparkan uang logam (Ketika Anda melemparkan uang logam (coincoin), ), terdapat dua kemungkinan hasil: “gambar “dan terdapat dua kemungkinan hasil: “gambar “dan “angka”.“angka”.

Hasil tersebut Hasil tersebut tidak pastitidak pasti atau atau acakacak? ?

Kita mengganggap uang logam tersebut Kita mengganggap uang logam tersebut seimbang. Sehingga probabilitas hasil berupa seimbang. Sehingga probabilitas hasil berupa “gambar” adalah 0,5. “gambar” adalah 0,5.

Untuk ilustrasi ini, apakah yang Anda pikirkan Untuk ilustrasi ini, apakah yang Anda pikirkan ketika mengatakan probabilitas gambar yang ketika mengatakan probabilitas gambar yang muncul adalah 0,5?muncul adalah 0,5?


Anda berdiri dibawah pohon, dan seseorang Anda berdiri dibawah pohon, dan seseorang bertanya: “Berapa banyak daun yang ada pada bertanya: “Berapa banyak daun yang ada pada pohon?”pohon?”

Jawabannya “Tidak Pasti” atau “Acak”.Jawabannya “Tidak Pasti” atau “Acak”.

Setelah Anda melihat pohon, lalu, menjawab: Setelah Anda melihat pohon, lalu, menjawab: “probabilitas jumlah daun lebih dari 1000 adalag “probabilitas jumlah daun lebih dari 1000 adalag 0,1”.0,1”.

Dengan demikian, Apakah yang dimaksud Dengan demikian, Apakah yang dimaksud dengan Probabilitas menurut Anda?dengan Probabilitas menurut Anda?


Anda adalah seorang Insinyur Sipil yang Anda adalah seorang Insinyur Sipil yang membangun suatu gedung, lalu seseorang membangun suatu gedung, lalu seseorang bertanya: “Berapa reaksi pada fondasi?”bertanya: “Berapa reaksi pada fondasi?”

Anda tidak yakin dan secara jujur mengatakan: Anda tidak yakin dan secara jujur mengatakan: “Saya tidak yakin berapa reaksinya, tapi saya “Saya tidak yakin berapa reaksinya, tapi saya pikir probabilitas reaksinya lebih dari 100 kN pikir probabilitas reaksinya lebih dari 100 kN sangat kecil yaitu 0,01”. sangat kecil yaitu 0,01”.

Untuk ilustrasi ini, Apakah yang dimaksud Untuk ilustrasi ini, Apakah yang dimaksud dengan Probabilitas menurut Anda?dengan Probabilitas menurut Anda?

Kondisi Acak – Frekuensi Kondisi Acak – Frekuensi RelatifRelatif

Kondisi acak adalah satu kondisi dimana hasil Kondisi acak adalah satu kondisi dimana hasil atau keadaan tidak dapat diprediksi.atau keadaan tidak dapat diprediksi.

Jika dilakukan percobaan maka akan Jika dilakukan percobaan maka akan memberikan hasil yang berbeda dari waktu ke memberikan hasil yang berbeda dari waktu ke waktu.waktu.

Sehingga pada ilustrasi 1, probabilitas 0,5 Sehingga pada ilustrasi 1, probabilitas 0,5 merupakan merupakan frekuensi relatif frekuensi relatif bahwa hasil bahwa hasil lemparan berupa gambar.lemparan berupa gambar.

Tidak Pasti – Derajat Yakin Tidak Pasti – Derajat Yakin (plausibility)(plausibility)

Konsep frekuensi relatif dapat membingungkan dalam Konsep frekuensi relatif dapat membingungkan dalam bidang teknik sipil.bidang teknik sipil.

Pada ilustrasi 3, apakah reaksi pada fondasi merupakan Pada ilustrasi 3, apakah reaksi pada fondasi merupakan kondisi acak?kondisi acak?

Tentu saja reaksi pada fondasi bukanlah kondisi acak. Tentu saja reaksi pada fondasi bukanlah kondisi acak. Sehingga, Sehingga, frekuensi relatif frekuensi relatif tidak bisa menunjukkan tidak bisa menunjukkan probabilitas.probabilitas.

Probabilitas yang dimaksud adalah derajat yakin atau Probabilitas yang dimaksud adalah derajat yakin atau pasti. Maka probabilitas ini ukuran dari derajat yakin atau pasti. Maka probabilitas ini ukuran dari derajat yakin atau pasti (plausibility) seperti pada ilustrasi 2 dan 3.pasti (plausibility) seperti pada ilustrasi 2 dan 3.

2. DASAR-DASAR 2. DASAR-DASAR MODEL PROBABILITASMODEL PROBABILITAS

20 Maret 201120 Maret 2011

2.1. Probabilitas dan 2.1. Probabilitas dan KejadianKejadian

KONSEP PROBABILITASKONSEP PROBABILITAS

Banyaknya kejadian yang sulit diketahui dengan Banyaknya kejadian yang sulit diketahui dengan pasti.pasti.

Akan tetapi kejadian tersebut dapat kita ketahui Akan tetapi kejadian tersebut dapat kita ketahui akan terjadi dengan melihat fakta-fakta yang akan terjadi dengan melihat fakta-fakta yang ada.ada.

Dalam statistika fakta-fakta tersebut digunakan Dalam statistika fakta-fakta tersebut digunakan untuk mengukur derajat kepastian atau untuk mengukur derajat kepastian atau keyakinan yang disebut dengan Probabilitas keyakinan yang disebut dengan Probabilitas atau Peluang dan dilambangkan dengan P.atau Peluang dan dilambangkan dengan P.

Karakteristik ProbabilitasKarakteristik Probabilitas

Probabilitas dapat diartikan sebagai Probabilitas dapat diartikan sebagai kemungkinan (kemungkinan (likelihoodlikelihood) terjadinya suatu ) terjadinya suatu kejadian (kejadian (eventevent) relatif terhadap kejadiannya ) relatif terhadap kejadiannya lainnya. Dalam arti, dapat terjadi lebih dari satu lainnya. Dalam arti, dapat terjadi lebih dari satu kejadian.kejadian.

Secara kuantitative, probabilitas adalah Secara kuantitative, probabilitas adalah pengukuran numerik terhadap kemungkinan pengukuran numerik terhadap kemungkinan terjadinya suatu kejadian dalam rangkaian terjadinya suatu kejadian dalam rangkaian alternatif kejadian yang akan dapat terjadi.alternatif kejadian yang akan dapat terjadi.

Contoh Probabilitas dalamContoh Probabilitas dalamTeknik Sipil (1)Teknik Sipil (1)

Contoh 1: Suatu kontraktor alat-alat Contoh 1: Suatu kontraktor alat-alat berat memerlukan bulldozer untuk berat memerlukan bulldozer untuk mengerjakan suatu proyek baru. mengerjakan suatu proyek baru. Berdasarkan pengalaman Berdasarkan pengalaman sebelumnya, hanya 50% bulldozer sebelumnya, hanya 50% bulldozer yang masih dapat dijalankan selama yang masih dapat dijalankan selama 6 bulan. Bila kontraktor tersebut 6 bulan. Bila kontraktor tersebut membeli 3 bulldozer baru, berapakah membeli 3 bulldozer baru, berapakah probabilitas bahwa hanya 1 bulldozer probabilitas bahwa hanya 1 bulldozer saja yang masih beroperasi setelah 6 saja yang masih beroperasi setelah 6 bulan?bulan?

Kemungkinan hanya 1 bulldozer Kemungkinan hanya 1 bulldozer yang beroperasi yaitu: ONN, NNO, yang beroperasi yaitu: ONN, NNO, NON.NON.

Bila kemungkinan terjadinya adalah Bila kemungkinan terjadinya adalah sama, maka probabilitasnya adalah sama, maka probabilitasnya adalah 3/83/8

Kemungkinan beroperasinya bulldozer Kemungkinan beroperasinya bulldozer baru setelah 6 bulan dapat dinyatakan:baru setelah 6 bulan dapat dinyatakan: OOO : semua bulldozer masih OOO : semua bulldozer masih

beroperasiberoperasi OON : hanya bulldozer ke-1 dan OON : hanya bulldozer ke-1 dan

ke-2 yang beroperasi, sedangkan ke-2 yang beroperasi, sedangkan bulldozer ke-3 tidak beroperasibulldozer ke-3 tidak beroperasi

ONN : hanya bulldozer ke-1 yang ONN : hanya bulldozer ke-1 yang beroperasiberoperasi

NNN : tidak ada bulldozer yang NNN : tidak ada bulldozer yang beroperasiberoperasi

NOONOO NNONNO ONOONO NONNON

Contoh Probabilitas dalamContoh Probabilitas dalamTeknik Sipil (2)Teknik Sipil (2)

Contoh 2: Di suatu ruas jalan direncanakan untuk membuat jalur khusus belok kanan. Probabilitas 5 mobil menunggu berbelok diperlukan untuk menentukan panjang garis pembagi jalan. Untuk keperluan ini dilakukan survey selama 2 bulan dan diperoleh 60 hasil pengamatan.

Probabilitas kejadian 5 mobil Probabilitas kejadian 5 mobil menunggu untuk berbelok kanan menunggu untuk berbelok kanan adalah 3/60 (2/60 + 1/60)adalah 3/60 (2/60 + 1/60)

Banyaknya Banyaknya MobilMobil

Jumlah Jumlah PengamatanPengamatan

Frekuensi Frekuensi relativerelative

00 44 4/604/60

11 1616 16/6016/60

22 2020 20/6020/60

33 1414 14/6014/60

44 33 3/603/60

55 22 2/602/60

66 11 1/601/60

77 00 00

88 00 00

.. .. ..

PERUMUSAN PROBABILITASPERUMUSAN PROBABILITAS

Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari seluruh Bila kejadian E terjadi dalam m cara dari seluruh n cara yang mungkin terjadi dimana masing-n cara yang mungkin terjadi dimana masing-masing n cara tersebut mempunyai kesempatan masing n cara tersebut mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuk muncul, atau kemungkinan yang sama untuk muncul, maka probabilitas kejadian E adalah :maka probabilitas kejadian E adalah :

n

m EP

PERUMUSAN PROBABILITASPERUMUSAN PROBABILITAS(lanjutan)(lanjutan)Contoh :Contoh :

Hitung probabilitas memperoleh kartu hati bila Hitung probabilitas memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge yang lengkap!seperangkat kartu bridge yang lengkap!

Jawab:Jawab:

Jumlah seluruh kartu Jumlah seluruh kartu = 52= 52

Jumlah kartu hatiJumlah kartu hati = 13= 13

Misal E adalah kejadian munculnya kartu hati, Misal E adalah kejadian munculnya kartu hati, maka :maka :

52

13

n

m EP

2.2. Kejadian dan 2.2. Kejadian dan Rangkaian KejadianRangkaian Kejadian

BILANGAN FAKTORIALBILANGAN FAKTORIAL

Bilangan faktorial ditulis n!Bilangan faktorial ditulis n!Rumus :Rumus :

n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1n! = n(n-1)(n-2)…3.2.1dimana : 0! = 1 dan 1! = 1dimana : 0! = 1 dan 1! = 1

Contoh :Contoh :5! = 5.(5-1).(5-2).(5-3).(5-4)=5.4.3.2.15! = 5.(5-1).(5-2).(5-3).(5-4)=5.4.3.2.1 =120=120

PERMUTASI (1)PERMUTASI (1)

Susunan-susunan yang dibentuk dari Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan himpunan dan memberi arti pada urutan memberi arti pada urutan anggotaanggota dari masing-masing susunan dari masing-masing susunan tersebut.tersebut.

Permutasi ditulis dengan Permutasi ditulis dengan PP..


Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak r, maka banyaknya susunan yang sebanyak r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah :dapat dibuat adalah :

Contoh :Contoh :

Bila n=4 dan r=2, makaBila n=4 dan r=2, maka

n,r

n!P =P

n-r !rn

4,2

4! 4! 4.3.2.1P 12

4-2 ! 2! 2.1


Bila himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama, maka Bila himpunan tersebut mempunyai anggota yang sama, maka banyak permutasi yang dapat dibuat adalah :banyak permutasi yang dapat dibuat adalah :

dimana ndimana n11+n+n22+n+n33+…+n+…+nkk = n = nContoh :Contoh :Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kata TEKNIK SIPIL?Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kata TEKNIK SIPIL?

Banyak n = 11Banyak n = 11Huruf E = 1 = nHuruf E = 1 = n11 Huruf I = 3 = nHuruf I = 3 = n22 Huruf K = 2 = nHuruf K = 2 = n33

Huruf L = 1 = nHuruf L = 1 = n44 Huruf N = 1 = nHuruf N = 1 = n55 Huruf P = 1 = nHuruf P = 1 = n66

Huruf S = 1 = nHuruf S = 1 = n88 Huruf T = 1 = nHuruf T = 1 = n99

Maka banyak permutasi adalah :Maka banyak permutasi adalah :

!n ... !n !n !n

n!

k321

nn ,...,n ,n ,n k321

111,3,2,1,1,1,1,1

11! 39.916.800 =3.326.400

1!3!2!1!1!1!1!1! 12

KOMBINASI (1)KOMBINASI (1)

Susunan-susunan yang dibentuk dari Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu anggota himpunan itu tanpa memberi arti tanpa memberi arti pada urutanpada urutan anggota dari masing-masing anggota dari masing-masing susunan tersebut.susunan tersebut.

Kombinasi ditulis dengan Kombinasi ditulis dengan CC..


Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil Bila himpunan terdiri dari n anggota dan diambil sebanyak r, maka banyaknya susunan yang sebanyak r, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat adalah :dapat dibuat adalah :

Contoh :Contoh :

Bila n=4 dan r=2, makaBila n=4 dan r=2, maka

!r-nr!

n! C n

rrn

6 1.2.2!

4.3.2!

2!2!

4!

!2-42!

4! C 4

224


Contoh :Contoh :Dalam suatu kelompok terdiri dari 4 orang ahli geoteknik Dalam suatu kelompok terdiri dari 4 orang ahli geoteknik dan 3 orang ahli struktur. Buatlah juri yang terdiri dari 2 dan 3 orang ahli struktur. Buatlah juri yang terdiri dari 2 orang ahli geoteknik dan 1 orang ahli struktur!orang ahli geoteknik dan 1 orang ahli struktur!Jawab :Jawab :

Banyaknya jenis juri yang dapat dibentuk adalahBanyaknya jenis juri yang dapat dibentuk adalah6 x 3 = 18 pasangan juri.6 x 3 = 18 pasangan juri.

44 2 2

33 1 1

4! 4! 4.3.2.1C 6

2! 4-2 ! 2!2! 2.1.2.1

3! 3! 3.2!C 3

1! 3-1 ! 1!2! 1!2!

LATIHANLATIHAN

1.1. Dalam berapa cara 6 kelereng yang warnanya berbeda Dalam berapa cara 6 kelereng yang warnanya berbeda dapat disusun dalam satu baris?dapat disusun dalam satu baris?

2.2. Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana teknik sipil dan Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana teknik sipil dan 7 sarjana ekonomi. Akan dibuat tim kerja yang terdiri 7 sarjana ekonomi. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana teknik sipil dan 3 sarjana ekonomi. atas 2 sarjana teknik sipil dan 3 sarjana ekonomi. Berapa banyak cara untuk membuat tim itu jika :Berapa banyak cara untuk membuat tim itu jika :a. tiap orang dapat dipilih dengan bebasa. tiap orang dapat dipilih dengan bebasb. seorang sarjana ekonomi harus ikut dalam tim itub. seorang sarjana ekonomi harus ikut dalam tim ituc. dua sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim ituc. dua sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu

2.3. Ruang Sampel dan 2.3. Ruang Sampel dan KejadianKejadian

Definisi PentingDefinisi Penting Ruang sampel (Ruang sampel (sample spacesample space) adalah himpunan yang ) adalah himpunan yang

unik dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi unik dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan kondisi acak. Ruang sampel pada suatu percobaan kondisi acak. Ruang sampel dilambangkan dengan S dan anggota-anggotanya dilambangkan dengan S dan anggota-anggotanya disebut titik sampel.disebut titik sampel.

Kejadian sederhana (Kejadian sederhana (simple eventsimple event): satu hasil dari ): satu hasil dari ruang sampel atau hasil yang dimungkinkan dari suatu ruang sampel atau hasil yang dimungkinkan dari suatu kondisi acak.kondisi acak.

Kejadian (Kejadian (eventevent) adalah himpunan dari hasil yang ) adalah himpunan dari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan acak. muncul atau terjadi pada suatu percobaan acak. Kejadian dilambangkan dengan A dan anggota-Kejadian dilambangkan dengan A dan anggota-anggotanya disebut juga titik sampel.anggotanya disebut juga titik sampel.

Ruang Sampel dan Digram VennRuang Sampel dan Digram Venn

Ruang sampel SRuang sampel S Himpunan semesta SHimpunan semesta S

Kejadian AKejadian A Himpunan bagian AHimpunan bagian A

Titik sampelTitik sampel Anggota himpunanAnggota himpunan

A

S

Ruang Sampel dan Kejadian (1)Ruang Sampel dan Kejadian (1)

Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam n cara ruang sampel S yang terjadi dalam n cara maka probabilitas kejadian A adalah :maka probabilitas kejadian A adalah :

dimana :dimana : n(A) = banyak anggota An(A) = banyak anggota A n(S) = banyak anggota Sn(S) = banyak anggota S

n

m

Sn

An AP


Contoh :Contoh :Pada pelemparan 2 buah uang logam :Pada pelemparan 2 buah uang logam :a.a. Tentukan ruang sampel!Tentukan ruang sampel!b.b. Bila A menyatakan kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari Bila A menyatakan kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari

2 uang logam tersebut, tentukan probabilitas kejadian A!2 uang logam tersebut, tentukan probabilitas kejadian A!Jawab :Jawab :a.a. Ruang sampelnya :Ruang sampelnya :

b.b. A = {(,g,g),(a,a)} , maka n(A) = 2 dan n(S) = 4, sehingga A = {(,g,g),(a,a)} , maka n(A) = 2 dan n(S) = 4, sehingga probabilitas kejadian A adalah :probabilitas kejadian A adalah :

Uang logam 2Uang logam 2

gg aa

UangUang

Logam 1Logam 1

gg (g,g)(g,g) (g,a)(g,a)

aa (a,g)(a,g) (a,a)(a,a)

2

1

4

2

Sn

An AP


Latihan :Latihan :Pada pelemparan dua buah dadu :Pada pelemparan dua buah dadu :a.a. Tentukan ruang sampelnya!Tentukan ruang sampelnya!b.b. Bila A menyatakan kejadian munculnya dua Bila A menyatakan kejadian munculnya dua

dadu dengan muka sama, tentukan P(A)!dadu dengan muka sama, tentukan P(A)!c.c. Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah

muka dua dadu kurang dari 5, tentukan P(B)!muka dua dadu kurang dari 5, tentukan P(B)!d.d. Bila C menyatakan kejadian munculnya jumlah Bila C menyatakan kejadian munculnya jumlah

muka dua dadu lebih dari sama dengan 7, muka dua dadu lebih dari sama dengan 7, tentukan P(C)!tentukan P(C)!

2.4. Matematika 2.4. Matematika ProbabilitasProbabilitas

Sifat Probabilitas Kejadian ASifat Probabilitas Kejadian A

Bila 0<P(A)<1, maka n(A) akan selalu Bila 0<P(A)<1, maka n(A) akan selalu lebih sedikit dari n(S)lebih sedikit dari n(S)

Bila A = 0, himpunan kosong maka A tidak Bila A = 0, himpunan kosong maka A tidak terjadi pada S dan n(A)=0 sehingga P(A) = terjadi pada S dan n(A)=0 sehingga P(A) = 00

Bila A = S, maka n(A)=n(S)=n sehingga Bila A = S, maka n(A)=n(S)=n sehingga P(A) = 1P(A) = 1

Perumusan Probabilitas Kejadian Perumusan Probabilitas Kejadian MajemukMajemuk

Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah :Maka banyak anggota himpunan gabungan A dan B adalah :

n(An(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB)B)

Kejadian majemuk adalah gabungan atau irisan kejadian A dan Kejadian majemuk adalah gabungan atau irisan kejadian A dan B, maka probabilitas kejadian gabungan A dan B adalah:B, maka probabilitas kejadian gabungan A dan B adalah:

P(AP(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)B)

BA

S S

AB

Perumusan Probabilitas Kejadian Perumusan Probabilitas Kejadian Majemuk (2)Majemuk (2)

Untuk 3 kejadian maka :Untuk 3 kejadian maka :

Maka Probabilitas majemuknya adalah :Maka Probabilitas majemuknya adalah :

P(AP(AB B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB)B) – – P(AP(AC) – P(BC) – P(BC) + P(AC) + P(AB B C)C)

BA

S

C

Contoh Kejadian GabunganContoh Kejadian Gabungan

Ketika menjelaskan kondisi pengadaan Ketika menjelaskan kondisi pengadaan bahan konstruksi, bila Ebahan konstruksi, bila E11 adalah kejadian adalah kejadian

yang menunjukkan kekurangan beton, dan yang menunjukkan kekurangan beton, dan EE22 adalah kejadian yang menunjukkan adalah kejadian yang menunjukkan

kekurangan baja. Maka gabungan kekurangan baja. Maka gabungan kejadian Ekejadian E11EE22 adalah kekurangan beton adalah kekurangan beton

atau baja.atau baja.

PERUMUSAN PROBABILITAS PERUMUSAN PROBABILITAS KEJADIAN MAJEMUK (lanjutan)KEJADIAN MAJEMUK (lanjutan)

AB

E1

E2


Contoh 1 :Contoh 1 :

Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge Diambil satu kartu acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya yang lengkap. Bila A adalah kejadian terpilihnya kartu As dan B adalah kejadian terpilihnya kartu kartu As dan B adalah kejadian terpilihnya kartu wajik, maka hitunglah P(Awajik, maka hitunglah P(AB) B)

Jawab :Jawab :

13

4

52

16

52

1

52

13

52

4

BAPBPAP BAP Maka

wajik)As(kartu 52

1 BAP ,

52

13 BP ,

52

4 AP


Contoh 2 :Contoh 2 :

Peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adalah 2/3 dan peluang ia lulus Peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adalah 2/3 dan peluang ia lulus Statistika adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di Statistika adalah 4/9. Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut?atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah tersebut?

Jawab :Jawab :

Misal A = kejadian lulus KalkulusMisal A = kejadian lulus Kalkulus

B = kejadian lulus StatistikaB = kejadian lulus Statistika

2 4 4P A , P B , P A B

3 9 5P A B P A P B P A B

P A B P A P B P A B

2 4 4 14 0,311

3 9 5 45

DUA KEJADIANDUA KEJADIANSALING LEPASSALING LEPAS

Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan berlaku Adan berlaku AB = 0, maka A dan B dikatakan dua B = 0, maka A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas.kejadian yang saling lepas.

Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan.bersamaan.

Dengan demikian probabilitas Dengan demikian probabilitas AABB adalah : adalah :

BA

S

BPAPBAP

DUA KEJADIANDUA KEJADIANSALING LEPAS (lanjutan)SALING LEPAS (lanjutan)

Contoh :Contoh :Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan probabilitas Pada pelemparan dua buah dadu, tentukan probabilitas munculnya muka dua dadu dengan jumlah 7 atau 11!munculnya muka dua dadu dengan jumlah 7 atau 11!Jawab :Jawab :Misal A = kejadian munculnya jumlah 7Misal A = kejadian munculnya jumlah 7 B = kejadian munculnya jumlah 11B = kejadian munculnya jumlah 11Tentukan ruang sampelnya dulu! Dari ruang sampel akan Tentukan ruang sampelnya dulu! Dari ruang sampel akan diperoleh :diperoleh :A = {(6,1),(5,2),(4,3),(2,5), (1,6), (3,4)}A = {(6,1),(5,2),(4,3),(2,5), (1,6), (3,4)}B = {(6,5),(5,6)}B = {(6,5),(5,6)}Maka P(AMaka P(AB) = 0 yang berarti A dan B saling lepas.B) = 0 yang berarti A dan B saling lepas.P(A) = 6/36 , P(B)=2/36 sehinggaP(A) = 6/36 , P(B)=2/36 sehingga

6 2 8 2P A B P A P B

36 36 36 9

Dua Kejadian Saling KomplementerDua Kejadian Saling Komplementer

Bila ABila AB, maka AB, maka Acc atau A’ adalah himpunan S atau A’ adalah himpunan S yang bukan anggota A. yang bukan anggota A.

Dengan demikian Dengan demikian

dandan

Rumus probabilitasnya :Rumus probabilitasnya :

S

AA’

0A'A SA'A AP1A'P

Dua Kejadian Saling KomplementerDua Kejadian Saling Komplementer

LatihanLatihan

Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukan probabilitas terpilihnya:tentukan probabilitas terpilihnya:

a. Bola meraha. Bola merah

b. Bola putihb. Bola putih

c. Bola biruc. Bola biru

d. Tidak merahd. Tidak merah

e. Merah atau putihe. Merah atau putih

Dua Kejadian Saling BebasDua Kejadian Saling Bebas

Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B juga tidak mempengaruhi kejadian A.B juga tidak mempengaruhi kejadian A.

Rumus :Rumus : BP.APBAP

Dua Kejadian Saling Bebas Dua Kejadian Saling Bebas (Lanjutan)(Lanjutan)

Contoh :Contoh :Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka X 3 dadu I dan kejadian munculnya 3 dadu I dan kejadian munculnya muka Y muka Y 5 dadu II saling bebas? 5 dadu II saling bebas?Jawab :Jawab :A= kejadian munculnya muka X A= kejadian munculnya muka X 3 dadu I 3 dadu IB= kejadian munculnya muka Y B= kejadian munculnya muka Y 5 dadu II 5 dadu IIDari ruang sampel diperoleh :Dari ruang sampel diperoleh :A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5), (2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)}B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6),B={(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6), (4,6),(5,6),(6,6)}(4,6),(5,6),(6,6)}

Maka diperoleh Maka diperoleh

P(A) = 18/36 = ½ dan P(B) = 12/36 = 1/3P(A) = 18/36 = ½ dan P(B) = 12/36 = 1/3Tetapi juga berlakuTetapi juga berlaku

maka A dan B saling bebas.maka A dan B saling bebas.

(3,6)}(2,6),,(3,5)(1,6)(2,5),{(1,5), BA

B.PAP3

1.

2

1

6

1BAP

6

1

36

6 BAP

Probabilitas BersyaratProbabilitas Bersyarat

Kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B Kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dulu terjadi, dikatakan kejadian A bersyarat lebih dulu terjadi, dikatakan kejadian A bersyarat B dan ditulis A/B.B dan ditulis A/B.

Probabilitas terjadinya A bila kejadian B telah Probabilitas terjadinya A bila kejadian B telah terjadi disebut probabilitas bersyarat P(A/B).terjadi disebut probabilitas bersyarat P(A/B).

Rumusnya :Rumusnya :

0BP , BP

BAPA/BP

Probabilitas BersyaratProbabilitas Bersyarat(Lanjutan)(Lanjutan)

Contoh :Contoh :Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut :

Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia :a. Laki-laki b. wanitaa. Laki-laki b. wanita

BekerjaBekerja MenganggurMenganggur JumlahJumlah

Laki-lakiLaki-laki

WanitaWanita

460460

140140

4040

260260

500500

400400

JumlahJumlah 600600 300300 900900

Probabilitas BersyaratProbabilitas Bersyarat(Lanjutan)(Lanjutan)

Jawab :Jawab :A=kejadian terpilihnya sarjana telah bekerjaA=kejadian terpilihnya sarjana telah bekerjaB=kejadian bahwa dia laki-lakiB=kejadian bahwa dia laki-lakia. a.

b. Cari sendiri!b. Cari sendiri!

30

23

600

460

AP

BAPA/BP

900

600AP maka 600An

900

460BAP maka 460BAn

PROBABILITAS BERSYARATPROBABILITAS BERSYARATUntuk Kejadian Saling BebasUntuk Kejadian Saling Bebas

Bila A dan B dua kejadian dalam ruang sampel S Bila A dan B dua kejadian dalam ruang sampel S yang saling bebas dengan P(A)=0 dan P(B)=0 yang saling bebas dengan P(A)=0 dan P(B)=0 maka berlaku :maka berlaku :

BilaBila

Untuk kejadian A,B, dan C maka :Untuk kejadian A,B, dan C maka :

BPB/APdan APA/BP

BP.A/BPBAP

maka , BP

BAPA/BP

CP.B/CP.CA/BPCBAP

Probabilitas BersyaratProbabilitas BersyaratUntuk Kejadian Saling BebasUntuk Kejadian Saling Bebas

Contoh :Contoh :Misal kita mengambil 3 kartu (diambil 3 kali) Misal kita mengambil 3 kartu (diambil 3 kali) pada kartu bridge yang lengkap. Setiap pada kartu bridge yang lengkap. Setiap mengambil kartu, kartu yang terpilih tidak mengambil kartu, kartu yang terpilih tidak dikembalikan pada kelompok kartu tersebut. dikembalikan pada kelompok kartu tersebut. Hal ini dikatakan pengambilan kartu tanpa Hal ini dikatakan pengambilan kartu tanpa pengembalian. Tentukanlah probabilitas pengembalian. Tentukanlah probabilitas untuk memperoleh 3 kartu As!untuk memperoleh 3 kartu As!

Probabilitas BersyaratProbabilitas BersyaratUntuk Kejadian Saling BebasUntuk Kejadian Saling Bebas

Jawab :Jawab :

S = kumpulan kartu dimana n(S) = 52S = kumpulan kartu dimana n(S) = 52

A = terpilih kartu As pada pengambilan pertamaA = terpilih kartu As pada pengambilan pertama

B/A = terpilih kartu As pada pengambilan kedua B/A = terpilih kartu As pada pengambilan kedua dengan syarat pada pengambilan pertama dengan syarat pada pengambilan pertama terpilih kartu Asterpilih kartu As

= terpilih kartu As pada pengambilan = terpilih kartu As pada pengambilan ketiga dengan syarat pada pengambilan ketiga dengan syarat pada pengambilan pertama dan kedua terpilih kartu Aspertama dan kedua terpilih kartu As

C A B

PROBABILITAS BERSYARATPROBABILITAS BERSYARATUntuk Kejadian Saling BebasUntuk Kejadian Saling Bebas

Pengambilan 1 : n(A)=4 dan n(S)=52Pengambilan 1 : n(A)=4 dan n(S)=52

Pengambilan 2 : n(B/A)=3 dan n(S)=51Pengambilan 2 : n(B/A)=3 dan n(S)=51

Pengambilan 3 : n( )=2 dan n(S)=50Pengambilan 3 : n( )=2 dan n(S)=50

Maka :Maka :

C/A B

525.5

1

52

4.

51

3.

50

2

AP.B/AP.BC/APCBAP

RUMUS BAYESRUMUS BAYES

A1, A2, A3 adalah tiga kejadian yang saling lepas.A1, A2, A3 adalah tiga kejadian yang saling lepas.

Maka kejadian B dapat ditentukan :Maka kejadian B dapat ditentukan :

B

S A1 A2 A3

3

1i

AiP.B/AiP

A3P.B/A3PA2P.B/A2PA1P.B/A1P

A3BPA2BPA1BP BP

adalah B asprobabilit maka

A3BA2BA1B B

RUMUS BAYES (lanjutan)RUMUS BAYES (lanjutan)

Probabilitas kejadian bersyarat :Probabilitas kejadian bersyarat :

AiP.B/AiP

A3P.B/A3P

BP

A3BP A3/BP

AiP.B/AiP

A2P.B/A2P

BP

A2BP A2/BP

AiP.B/AiP

A1P.B/A1P

BP

A1BP A1/BP


Secara umum bila A1,A2,…,An kejadian saling Secara umum bila A1,A2,…,An kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B adalah lepas dalam ruang sampel S dan B adalah kejadian lain yang sembarang dalam S, maka kejadian lain yang sembarang dalam S, maka probabilitas kejadian bersyarat Ai/B adalah :probabilitas kejadian bersyarat Ai/B adalah :

n

1i

AiP.B/AiP

AiP.B/AiP

BP

AiBP Ai/BP


Contoh :Contoh :Ada 3 kotak yang masing-masing berisi 2 bola. Ada 3 kotak yang masing-masing berisi 2 bola. Kotak I berisi 2 bola merah, kotak II berisi 1 bola Kotak I berisi 2 bola merah, kotak II berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak III berisi 2 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak III berisi 2 bola putih.putih.Dengan mata tertutup anda diminta mengambil Dengan mata tertutup anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil bola 1 bola secara acak dari kotak yang terambil bola 1 bola secara acak dari kotak yang terambil tersebut. Anda diberitahu bahwa bola yang tersebut. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil ternyata berwarna merah. Berapakah terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kotak I, II, peluangnya bola tersebut terambil dari kotak I, II, dan III?dan III?


Jawab :Jawab :A1 = kejadian terambilnya kotak IA1 = kejadian terambilnya kotak IA2 = kejadian terambilnya kotak IIA2 = kejadian terambilnya kotak IIA3 = kejadian terambilnya kotak IIIA3 = kejadian terambilnya kotak IIIB = kejadian terambilnya bola merahB = kejadian terambilnya bola merahDitanya : P(A1/B), P(A2/B), dan P(A3/B)Ditanya : P(A1/B), P(A2/B), dan P(A3/B)Karena diambil secara acak maka :Karena diambil secara acak maka :P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak I adalah P(B/A1)=1.Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak I adalah P(B/A1)=1.Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak II adalah P(B/A2)=1/2.Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak II adalah P(B/A2)=1/2.Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak III adalah P(B/A3)=0.Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak III adalah P(B/A3)=0.P(B)= P(B/A1).P(A1)+P(B/A2).P(A2)+P(B/A3).P(A3)P(B)= P(B/A1).P(A1)+P(B/A2).P(A2)+P(B/A3).P(A3) = 1.1/3 + 1/2.1/3 + 0.1/3= 1.1/3 + 1/2.1/3 + 0.1/3 = 1/2= 1/2


Jadi :Jadi :

0

21

31

0

BP

A3P.B/A3P

BP

A3BP A3/BP

3

1

21

31

21

BP

A2P.B/A2P

BP

A2BP A2/BP

3

2

2131

1

BP

A1P.B/A1P

BP

A1BP A1/BP

LATIHANLATIHAN1. Diketahui banyak mahasiswa dari 500 mahasiswa yang mengikuti mata 1. Diketahui banyak mahasiswa dari 500 mahasiswa yang mengikuti mata

kuliah :kuliah :- Matematika = 329- Matematika = 329- Statistika = 186- Statistika = 186- Fisika = 295- Fisika = 295- Matematika dan Statistika = 83- Matematika dan Statistika = 83- Matematika dan Fisika = 217- Matematika dan Fisika = 217- Statistika dan Fisika = 63- Statistika dan Fisika = 63Berapa mahasiswa yang mengikuti :Berapa mahasiswa yang mengikuti :a. 3 mata kuliah tersebut?a. 3 mata kuliah tersebut?b. Matematika tetapi tidak Fisika?b. Matematika tetapi tidak Fisika?c. Statistika tetapi tidak Matematika?c. Statistika tetapi tidak Matematika?d. Fisika tetapi tidak Statistika?d. Fisika tetapi tidak Statistika?e. Matematika atau Fisika tetapi tidak Statistika?e. Matematika atau Fisika tetapi tidak Statistika?f. Matematika tetapi tidak Statistika atau Fisika?f. Matematika tetapi tidak Statistika atau Fisika?

LATIHAN (lanjutan)LATIHAN (lanjutan)

2. Dua kartu diambil secara acak (satu-satu) dari kumpulan 2. Dua kartu diambil secara acak (satu-satu) dari kumpulan kartu Bridge lengkap yang telah dikocok. Tentukan kartu Bridge lengkap yang telah dikocok. Tentukan probabilitas untuk memperoleh 2 kartu As jika :probabilitas untuk memperoleh 2 kartu As jika :a. Pengambilan kartu pertama dikembalikana. Pengambilan kartu pertama dikembalikanb. Pengambilan kartu pertama tidak dikembalikanb. Pengambilan kartu pertama tidak dikembalikan

3. Tiga kartu diambil secara acak (satu-satu) dari kumpulan 3. Tiga kartu diambil secara acak (satu-satu) dari kumpulan kartu Bridge lengkap yang telah dikocok. Tentukan kartu Bridge lengkap yang telah dikocok. Tentukan probabilitas kejadian terambilnya :probabilitas kejadian terambilnya :a. 2 kartu Jack dan 1 kartu Kinga. 2 kartu Jack dan 1 kartu Kingb. 3 kartu dari satu jenisb. 3 kartu dari satu jenisc. Paling sedikit 2 kartu Asc. Paling sedikit 2 kartu As

LATIHAN (lanjutan)LATIHAN (lanjutan)

4. Diberikan 2 kejadian X dan Y.4. Diberikan 2 kejadian X dan Y.P(X)=0,32 ; P(Y)=0,44 ; P(X)=0,32 ; P(Y)=0,44 ; a. Apakah X dan Y saling lepas?a. Apakah X dan Y saling lepas?b. Apakah X dan Y saling bebas?b. Apakah X dan Y saling bebas?

5. Suatu perusahaan besar menyediakan 3 hotel bagi akomodasi 5. Suatu perusahaan besar menyediakan 3 hotel bagi akomodasi rekanannya. Dari catatan sebelumnya diketahui bahwa 20% rekanannya. Dari catatan sebelumnya diketahui bahwa 20% rekanannya diinapkan dihotel A, 50% dihotel B, dan 30% rekanannya diinapkan dihotel A, 50% dihotel B, dan 30% dihotel C.dihotel C.Bila 5% diantara kamar-kamar dihotel A, 4% di hotel B, dan 8% Bila 5% diantara kamar-kamar dihotel A, 4% di hotel B, dan 8% dihotel C terdapat kerusakan pipa air di kamar mandinya, dihotel C terdapat kerusakan pipa air di kamar mandinya, hitung peluang bahwa :hitung peluang bahwa :a. seorang rekanan mendapat kamar dengan pipa air yang a. seorang rekanan mendapat kamar dengan pipa air yang rusak!rusak!b. seorang rekanan yang diketahui mendapat kamar dengan b. seorang rekanan yang diketahui mendapat kamar dengan pipa air yang rusak ternyata menginap di hotel A!pipa air yang rusak ternyata menginap di hotel A!

0,88YXP

Documents

Statistika dan-probabilitas