Embed Size (px)
Citation preview
Sveučilište Josipa Jurja StrossmayeraSveučilište Josipa Jurja StrossmayeraPravni fakultet u OsijekuPravni fakultet u Osijeku
Godina 2009Godina 2009
Prof.dr.sc. Nihada MujićProf.dr.sc. Nihada MujićMr.sc. Jelena LegčevićMr.sc. Jelena LegčevićMr.sc.Mr.sc. Martina MikrutMartina Mikrut
STATISTIKA STATISTIKA ZA ZA
PRAVNIKEPRAVNIKE
2
STATISTIKA STATISTIKA ZA ZA
PRAVNIKEPRAVNIKE
Autori: Autori: Prof.dr.sc. Nihada MujićMr.sc. Jelena LegčevićMr.sc. Martina Mikrut
Recenzenti: Recenzenti: Prof.dr.sc. Ivana BarkovićProf.dr.sc. Jasna Horvat
Lektorica: Lektorica: Nataša Balaban, prof.
ISBN 978-953-6072-47-7978-953-6072-47-7
3
SadržajSadržaj1. Pojam i predmet proučavanja statistike2. Izvori podataka i metode prikupljanja podataka3. Faze rada statističke metode4. Statističko tabeliranje5. Grafičko prikazivanje nominalnih i redoslijednih
nizova6. Relativni brojevi kvalitativnih nizova7. Numerički nizovi8. Grafičko prikazivanje numeričkih nizova9. Srednje vrijednosti10. Aritmetička sredina11. Medijan12. Mod13. Mjere disperzije14. Standardizirano obilježje15. Analiza vremenskih nizova16. Indeksna metoda17. Individualni indeksi stalne baze18. Verižni indeksi19. Preračunavanje individualnih indeksa20. Srednje vrijednosti vremenskih nizova 21. Skupni indeksi 22. Linearni trend 23. Regresija i korelacija 24. Metoda uzoraka
4
5
“Statistički način mišljenja jednog će
dana za svakodnevni život građana postati jednako
neophodan kao znanje čitanja i pisanja.”
H.G.Wells (1866. – 1946.)
6
Preko 100 definicija pojma “statistika”
“Nijedna definicija ne znači mnogo tako dugo dok nismo proučili ono na čemu radimo – a tada je svaka definicija gotovo nepotrebna”;
Mainland
Statistika je znanstvena disciplina koja se bavi prikupljanjem, analizom i tumačenjem podataka masovnih pojava
U svakodnevnom govoru, riječ statistika koristi se i za već prikupljenje i uređene podatke, brojčane pokazatelje, koji su objavljeni u obliku tablica, grafikona i sl.
Definicija statistikeDefinicija statistike
7
Statistika u svakodnevnom Statistika u svakodnevnom životuživotu
Pojam statistike ne odnosi se isključivo nastatističke podatke, već uz način proučavanja pojava koje nas okružuju, a u svakodnevnom životu susrećemo se s njom kroz:
Prosjek ocjena Stopu inflacije Postotak porasta nezaposlenih Prosječnu starost stanovnika RH ...
8
Deskriptivna statistika
Temelji se na potpunom obuhvatu statističkog skupa, koristi brojčane (numeričke) i grafičke metode kako bi opisala populaciju (N)
mjere centralne tendencije, mjere disperzije, mjere asimetrije, mjere zaobljenosti...
Inferencijalna statistika
Temelji se na dijelu (uzorku (n)) jedinica izabranih iz statističkog skupa, radi donošenja zaključaka o parametrima populacije
procjene parametara, testiranje hipoteza, neparametrijski testovi (hi-kvadrat test)...
Podjela statistikePodjela statistike
9
Predmet proučavanja statistikePredmet proučavanja statistike
Varijacije (različitost, promjenjivost) i kovarijacije (sličnost, povezanost, međuovisnost) podataka koji prikazuju različite pojave u prirodi i društvu ili su rezultat mjerenja
Zakonitosti koje se javljaju u masovnim
pojavama
Masovne pojave su skupine istovrsnih, ali ujedno i varijabilnih elemenata koje imaju jedno ili više zajedničkih svojstava i nazivamo ih statističkom masom ili statističkim skupom
10
Definiranje statističkog skupaDefiniranje statističkog skupa
Statistički skup potrebno je definirati:
ŠTO: Pojmovno
GDJE: Prostorno
KADA: Vremenski u jednom trenutku u intervalu
Opseg statističkog skupa je broj njegovih elemenata
Skup može biti konačan (jer ima konačan opseg) i beskonačan (jer ima beskonačno mnogo članova)
11
STATISTIČKA STATISTIČKA JEDINICAJEDINICA
Elementi statističkog skupaElementi statističkog skupa
1.) osoba2.) stvar3.) ustanove i poduzeća4.) usluge5.) događaji6.) djelovanje
1.) stanovništvo, studenti2.) knjige,vozila3.) bolnice, sudovi, škole4.) u zdravstvu, 5.) rođenje, nezgode6.) krivična djela, djela socijalne zaštite
STATISTIČKA STATISTIČKA MASAMASA
Sastav statističkog skupa ovisi o pojedinačnom slučaju – ovisi o pojavama koje se istražuju
12
Statističko obilježjeStatističko obilježje
Svojstvo po kojemu jedinice statističkog skupa međusobno nalikuju i međusobno se razlikuju (npr. spol, dob, visina, ocjene...)
Statističko obilježje naziva se i varijabla
Pojavljuje se u različitim oblicima ili stupnjevima
Obilježja mogu biti: KVALITATIVNAKVALITATIVNA (izražavaju se opisno) KVANTITATIVNAKVANTITATIVNA (izražavaju se
brojčano)
13
Kvalitativna obilježja mogu biti:Nominalna
Atributivna (spol, zanimanje)Geografska (mjesto rođenja, mjesto
studiranja)Redoslijedna (ocjena, školska sprema,
stupanj zadovoljstva studiranjem)
Kvantitativna (numerička) obilježja mogu biti:
Prekidna ili diskontinuirana (broj studenata na godini, broj počinjenih kaznenih djela)
Neprekidna ili kontinuirana (visina, težina, duljina, cijena)
Statističko obilježjeStatističko obilježje
14
15
Podaci su osnova svake statističke analize Pribavljanje podataka ovisi o cilju i
predmetu istraživanja, prirodi pojava, raspoloživim resursima...
Prema izvoru, podatke dijelimo na: Sekundarni podaci: podaci prikupljeni u
skladu s nekim ciljem i na određen način, opseg i vrsta ne izviru neposredno iz potreba danog istraživanja
Primarni podaci: podaci koji se prikupljaju u skladu s ciljem istraživanja, za sve članove skupa ili dio njih
Podaci prema izvoruPodaci prema izvoru
16
INTERNI PODACI
EKSTERNI PODACI
-Računovodstvo- Referada- Knjižnica
...
-Statistički uredi-Zavodi za istraživanje
tržišta-Državne institucije
...
Sekundarni podaciSekundarni podaci
Sekundarni podaci su u pravilu lako dostupni, a njihovo pribavljanje nije povezano uz velike troškove, no ponekad su nedovoljni
Mogu biti interni i eksterni:
17
Primarni podaciPrimarni podaci Metode prikupljanja podataka dijele se na:
Osobno– F2F (uz pomoć papirnatog upitnika PAPI ili računala CAPI)
Telefonsko (uz pomoć računala CATI) Poštansko (klasična pošta ili fax) Internet (web, mail, chat, …) Opažanja (mjerenje)
Ili ovisno o tome gdje se anketira npr. Upitnicima u kućanstvu Anketiranje na centralnoj lokaciji...
Za sve metode i mjesta postoje prednosti i nedostatci, potreban je odabir metode s najpovoljnijim odnosom uloženog i dobivenog
18
19
Faze rada statističke metodeFaze rada statističke metode
Statističko promatranje
Grupiranje ili klasifikacija
Statistička analiza
Tumačenje rezultata
20
S obzirom na vrijeme:PeriodičnoJednokratnoTekuće
S obzirom na obuhvat:Sveobuhvatno (iscrpno)Reprezentativno (uzorak)
Statističko promatranjeStatističko promatranje
21
Uređivanje izvornih podataka na temelju utvrđenog pravila
Veliki broj podataka uređuje se grupiranjem prema određenom pravilu razvrstavanja podataka
Broj podataka u jednoj grupi naziva se frekvencijom grupe, koja može biti apsolutna ili relativna
Zbroj svih frekvencija čini opseg skupa
Grupiranje ili klasifikacijaGrupiranje ili klasifikacija
22
Grupiranje ili klasifikacijaGrupiranje ili klasifikacija
Formiranje grupa:IscrpnoIsključivo
Raspoređivanje podataka u grupe ili razrede koji mogu biti:
Jednaki ili nejednakiZatvoreni ili otvoreni
23
Statistička analizaStatistička analiza
Uređivanjem izvornih podataka na temelju utvrđenog pravila kreira se statistički niz
Statistički niz = suma frekvencija svih grupa statističkog skupa,čine ga grupe poredane po određenom principu...
24
a) Negrupirani statistički niz - podaci su zapisani slijedom kojim su i prikupljani
Xi: X1, X2, X3,...., XN
studenti prema ocjeni iz statistike: 5, 5, 5, 5, ..., 5
Vrste statičkih nizova s obzirom na grupiranje:
NEGRUPIRANI Xi: X1, X2, X3,..., XN
GRUPIRANI statističke tablice
Vrste statističkih nizova Vrste statističkih nizova (skupova):(skupova):
25
b) Grupirani statistički nizpodaci se prikazuju u tablicama distribucije frekvencija
STATISTIČKE SKUPINE- modaliteti obilježja (redovi)
FREKVENCIJE- broj jedinica modaliteta obilježja
(stupci)
Spolxi
Broj studenata
fi
M 40Ž 60
Ukupno 100
26
NOMINALNI NIZ - prema veličini frekvencija, abecedno,nomenklaturno
REDOSLIJEDNI NIZ – prema intenzitetu
NUMERIČKI NIZ – prema vrijednosti num. obilježja
VREMENSKI NIZ – kronološki
Statistički nizoviStatistički nizovi
Vrste statičkih nizova s obzirom na obilježje:
27
Statistički ispravno
U skladu s pravilima struke
Nužno izbjeći manipulaciju rezultatima
Tumačenje rezultataTumačenje rezultata
28
29
Statističko tabeliranjeStatističko tabeliranje
Postupak svrstavanja podataka u tablice prema određenom pravilu
Cilj tabeliranja je olakšati praćenje i analizu podataka
Tablice mogu biti izvještajneizvještajne (veliki broj redova i stupaca, kao tablice DZS-a) i analitičkeanalitičke (u pravilu manjih dimenzija)
30
Elementi statističkeElementi statističke tablicetablice
Naslov tablice:
Ukupno
Ukupno
PRETSTUPAC
Z A G L A V LJ E
ZBIRNI
Brojčani dio tablice:Ø prosjek
… ne raspolaže se - nema podatka
( ) nepotpun podatak* ispravljen podatak
ZBIRNI RED (sume stupaca)
Izvor:
STUPAC
31
Vrste statističkih tablicaVrste statističkih tablica
Vrste statističkih tablica su
Jednostavne tablice:Jednostavne tablice: samo jedna pojava, jedan statistički niz kada je grupiranje provedeno prema jednom obilježju
Skupne ili složene tablice:Skupne ili složene tablice: dva ili više statističkih nizova grupiranih prema jednom obilježju
Kombinirane tablice:Kombinirane tablice: jedan statistički niz promatran prema dva ili više obilježja. Sadrži i zbirni red i zbirni stupac
32
Grafičko Grafičko prikazivanje prikazivanje nominalnih i nominalnih i
redoslijednih redoslijednih nizovanizova
Grafički prikazani statistički podaci razumljiviji su i pregledniji u odnosu na njihovo predstavljanje tablicom
Veća preglednost grafičkog prikaza i snaga prvog vizualnog utiska o karakteristikama promatrane pojave prednosti su grafičkih prikaza
Danas se grafički prikazi konstruiraju pomoću računalnih programa koji u sebi sadrže predefinirana načela opisne statistike
Grafičko prikazivanje Grafičko prikazivanje
34
Skupine grafičkih prikazaSkupine grafičkih prikaza
Grafički je moguće prikazati jedan ili više kvalitativnih nizova
Skupine grafičkih prikaza:
Površinski grafikoni
Linijski grafikoni
Kartogrami
35
podaci se prikazuju površinama geometrijskih likova, površine likova su upravno razmjerne brojevima koji se tim površinama prikazuju
Jednostavni stupci (P = a * b)
Razdijeljeni (strukturni) stupci
Dvostruki stupci
Površina kvadrata (P = a²)
Površinski grafikoniPovršinski grafikoni
36
Površina kruga (P = r²π)Površina polukrugaVarzarov znak ( RBK ili
RBS )(baza= nazivnik odnosa ,
visina= rel. broj)Histogram
Površinski grafikoniPovršinski grafikoni
37
Koriste se za prikazivanje nizova
a) NUMERIČKIH (kontinuirani i diskontinuirani)b) VREMENSKIH (trenutačni i intervalni)
Apscisa - A.M. za obilježjeOrdinata - A.M. za frekvenciju
Linijski grafikoniLinijski grafikoni
38
Grupiranje jedinica prema geografskom obilježju gdje sve grupe zajedno predstavljaju cjelovito geografsko područje
VRSTE: Dijagramske karte Piktogrami Statističke karte
KartogramiKartogrami
39
Grafičko prikazivanje Grafičko prikazivanje redoslijednih nizovaredoslijednih nizova
Grupiranje se vrši na isti način kao i grupiranje prema nominalnom obilježju s tim da je redoslijed modaliteta ili grupa uvijek određen rangom intenziteta obilježja koji pojedina grupa predstavlja, i to polazeći od najnižeg prema najvišem ili obratno
40
41
Relativni brojeviRelativni brojevi
RELATIVNI BROJRELATIVNI BROJ je logičan izraz mjerenja kada se neka veličina mjeri drugom veličinom (nazivnik=baza usporedbe)
Ova posljednja veličina postaje time mjera za veličinu koja se uspoređuje (mjeri)
Zadatak relativnih brojeva je:
Brojčano izraziti odnose među pojavama
Omogućiti i olakšati usporedbu
42
Vrste relativnih brojevaVrste relativnih brojeva
1. Relativni brojevi strukture (D/C)
proporcije, postoci, promili (p, %, ‰)
2. Relativni brojevi dinamike (indeksi)
bazni, verižniindividualni, skupni
3. Relativni brojevi koordinacije (RBK)
43
Ako se stavi u odnos broj elemenata dijela skupa prema broju elemenata u skupu, dobiva se relativan broj koji se zove PROPORCIJA tog dijela u skupu
Proporciju označavamo s p Budući da je dio uvijek manji od cjeline,
onda je: 0 < p < 1 Relativna frekvencija modaliteta ai je omjer
apsolutne frekvencije fi tog modaliteta i zbroja apsolutnih frekvencija N:
Relativni brojevi strukture Relativni brojevi strukture
k
ii
ii
afN
kicjelinadio
Nafap
1
)(
,...,3,2,1)()(
44
Relativne frekvencije su upravno proporcionalne apsolutnim frekvencijama
Relativne frekvencije se radi lakšeg tumačenja množe sa sto (%) ili sa tisuću (‰)
0 < fi < N ... fi=N 0 < pi <N ... pi=10 < Pi <N ... Pi=100
Ekstremni slučajevi: Dio pojave koji se uspoređuje = 0, tada je i p=0Dio pojave koji se uspoređuje = C (cjelina), tada je
p=1
Svojstva Svojstva
45
Kutno sto, vodoravno sto, Kutno sto, vodoravno sto, okomito stookomito stoAnaliziranje podataka u kombiniranoj tablici relativnim brojevima strukture: vodoravno 100, okomito 100, kutno 100
Primjer 1.
Upisani studenti Studenti Studentice Ukupno
Redovni 36.681 44.721 81.402
Izvanredni 8.180 16.360 24.540
Ukupno 44.861 61.081 105.942
Upisani studenti na stručni i sveučilišni studij prema spolu i načinu strudiranja u ak. g. 2008./2009
Izvor: Statistički ljetopis 2009., str.467
46
Kutno sto Kutno sto stavljanje u odnos svih brojeva u tablici prema ukupnoj statističkoj masi
Upisani studenti Studenti Studentice Ukupno
Redovni 36.681 44.721 81.402
Izvanredni 8.180 16.360 24.540
Ukupno 44.861 61.081 105.942
Upisani studenti Studenti Studentice Ukupno
Redovni 34,62 42,21 76,84
Izvanredni 7,72 15,44 23,16
Ukupno 42,34 57,66 100,00
+
+
47
Vodoravno sto Vodoravno sto stavljanje u odnos svih brojeva u tablici prema vrijednostima iz zbirnog stupca
Upisani studenti Studenti Studentice Ukupno
Redovni 36.681 44.721 81.402
Izvanredni 8.180 16.360 24.540
Ukupno 44.861 61.081 105.942
Upisani studenti Studenti Studentice Ukupno
Redovni 45,06 54,94 100,00
Izvanredni 33,33 66,67 100,00
Ukupno 42,34 57,66 100,00
+
48
Okomito sto Okomito sto stavljanje u odnos svih brojeva u tablici prema vrijednostima iz zbirnog reda
Upisani studenti Studenti Studentice Ukupno
Redovni 36.681 44.721 81.402
Izvanredni 8.180 16.360 24.540
Ukupno 44.861 61.081 105.942
Upisani studenti Studenti Studentice Ukupno
Redovni 81,77 73,22 76,84
Izvanredni 18,23 26,78 23,16
Ukupno 100,00 100,00 100,00
+
49
Relativni brojevi dinamikeRelativni brojevi dinamike
Nazivaju se INDEKSI
Pokazuju odnos između stanja jedne te iste pojave ili skupine pojava na različitim mjestima ili u različitim vremenskim razdobljima
Vrste indeksa: individualni (dinamika jedne pojave) skupni (odnosi stanja heterogene
skupine pojava)
50
Relativni brojevi koordinacijeRelativni brojevi koordinacije
Koristi se za uspoređivanje dvije pojave (P1 i P2), Koristi se za uspoređivanje dvije pojave (P1 i P2), npr. broja studenata prema broju nastavnika, broj npr. broja studenata prema broju nastavnika, broj optuženih u odnosu na broj prijavljenih ...optuženih u odnosu na broj prijavljenih ...
Izračunavaju se stavljanjem u odnos frekvencije Izračunavaju se stavljanjem u odnos frekvencije pojave koja se uspoređuje, s frekvencijom pojave pojave koja se uspoređuje, s frekvencijom pojave prema kojoj se provodi usporedbaprema kojoj se provodi usporedba
RBK se grafički prikazuje površinskim grafikonom RBK se grafički prikazuje površinskim grafikonom Varzarovim znakom Varzarovim znakom
RBK=P2
P1
RBK
1
P1
P2=
51
52
Numerički nizNumerički niz Numerički nizovi konstruiraju se uređenjem
vrijednosti kvantitativnih varijabli
Vrste: - NUMERIČKI KONTINUIRANIKONTINUIRANI NIZOVI
- NUMERIČKI DISKONTINUIRANIDISKONTINUIRANI NIZOVI
GRUPIRANJE GRUPIRANJE – raščlanjivanje statističkog skupa prema modalitetima obilježja
Grupiranje podataka:Grupiranje podataka: ISKLJUČIVO ISCRPNO
53
DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA = DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA = skup: (xi,fi) gdje jeskup: (xi,fi) gdje je
N - broj jedinica statističkog skupai=1,2,...,kk – broj modaliteta obilježjaxi – vrijednosti modaliteta obilježja f(i) APSOLUTNA FREKVENCIJAp(i) RELATIVNA FREKVENCIJA
Numerički nizNumerički niz
k
i=1fi=N
54
Pojedinačni par u distribuciji frekvencija predstavlja NUMERIČKU GRUPU, tj. broj jednakih vrijednosti modaliteta obilježja varijable x
Obilježje
(xi)
Broj jedinica
modaliteta obilježja
(fi)X1X1 f1f1
X2X2 f2f2
...... ......
XkXk fkfk
fi = Nfi = N
Numerički nizNumerički niz
Modalitetiobilježja
Distribucijafrekvencije
(x1, f1)
(x2, f2)...
(Xk, fk)
55
Sturgesovo praviloSturgesovo pravilo
za određivanje broja razreda k za N podatakak k 1 + 3,3 log N 1 + 3,3 log N
Uobičajeni broj k numeričkih grupa kreće se od 5 do 15 (maximalno 25)
Ako su razredi jednaki, širina im se aproksimativno određuje diobom raspona varijacija i broja razreda:
Xmax-XminΔX = k = kRV
56
Granice razredaGranice razreda
1.) NOMINALNE GRANICE (zadane) za izračunavanje parametara
diskontinuiranog numerickog niza
2.) PRAVE GRANICE (“popravljene”)za izračunavanja parametara kontinuiranog
numerickog nizacrtanje kontinuiranog numerickog niza
3.) PRECIZNE GRANICEsamo za crtanje diskontinuiranih numerickih
nizova
57
Formiranje razreda kod Formiranje razreda kod kontinuiranog n.o.kontinuiranog n.o.
PRAVILOPRAVILO:Gornja granica prethodnog razreda jednaka je donjoj granici idućeg razreda
Formiranje razreda kod Formiranje razreda kod diskontinuiranog n.o.diskontinuiranog n.o.
PRAVILOPRAVILO:Donja granica idućeg razreda za 1 jedinicu je veća od gornje granice prethodnog razreda
58
Veličina razredaVeličina razreda
Oznaka za veličinu razreda je “i” i = L1i +1 – L1i i = 1,2,...k
VELIČINA RAZREDA – od donje granice idućeg razreda oduzmemo donju granicu prethodnog razreda
59
za kontinuirane i diskontinuirane nizove
RAZREDNA SREDINA – jednaka je
poluzbroju donje (L1) i gornje (L2) prave granice i-tog razreda
Razredna sredinaRazredna sredina
xi=L1i+L2i2
60
Korigirane frekvencijeKorigirane frekvencije
Ako su veličine razreda međusobno različite, podijeliti originalne frekvencije pripadajućim veličinama razreda ili njima proporcionalnim vrijednostima
Frekvencije se obavezno korigiraju:
za crtanje poligona frekvencija za crtanje histograma pri izračunavanju moda
61
Korigirane frekvencijeKorigirane frekvencije
Fc = apsolutne korigirane frekvencije
Pc = relativne korigirane frekvencije
pc=pii
fc= fii
62
Grafičko Grafičko prikazivanje prikazivanje numeričkih numeričkih
nizovanizova
63
Grafičko prikazivanje Grafičko prikazivanje numeričkih nizovanumeričkih nizova
Numerički nizovi prikazuju se slijedećim vrstama grafikona:
LINIJSKIM GRAFIKONOMpoligon frekvencija
specifičnim vrstama POVRŠINSKOG GRAFIKONA
Histogram S-L dijagram
64
1. Linijski grafikon1. Linijski grafikon
POLIGON FREKVENCIJA (MNOGOKUTNIK)
- distribucija frekvencija (ili kretanje neke pojave) se prikazuje linijama- ako je prethodno nacrtan histogram: polovice vrhova stupaca (tj. sredine razreda Xi) spojiti linijama
- ucrtana linija: oblik distribucije frekvencija
- površina ispod linije: ukupan broj elemenata statističkog
skupa ili opseg stat. skupa
65
os X – vrijednost numeričkog obilježja izraženog sredinom razreda (xi )
os Y – frekvencija:- apsolutna (fi),- relativna (pi),
za razrede nejednakih veličina:- korigirati frekvencije!- aps. korigirana (fc)- rel. korigirana (pc)
66
2. Površinski grafikon2. Površinski grafikon
grafikon kontura stupaca stupci se crtaju bez razmaka visina pravokutnika – frekvencija
( fi, fc, pi, pc ) baza pravokutnika – veličina razreda površina svih pravokutnika jednaka je
zbroju apsolutnih frekvencija, tj. relativnih frekvencija (1 ili 100 ili 1000)
67
Grafičko prikazivanje Grafičko prikazivanje kumulativnih nizovakumulativnih nizova
Kumulativni nizovi se UVIJEK tvore od originalnih vrijednosti
KN “manje od”X : gornja granica promatranog razredaY: frekvencija kumulativnog niza
KN “više od”X: donja granica promatranog razredaY: frekvencija kumulativnog niza
68
Srednje Srednje vrijednostivrijednosti
69
Vrste srednjih vrijednostiVrste srednjih vrijednosti
Srednje vrijednosti ili mjere centralne tendencije
Vrste srednjih vrijednosti:Vrste srednjih vrijednosti:
1. POTPUNE SREDNJE VRIJEDNOSTI2. POLOŽAJNE SREDNJE VRIJEDNOSTI3. SPECIFIČNE SREDNJE VRIJEDNOSTI
70
Potpune srednje vrijednostiPotpune srednje vrijednosti
Aritmetička sredina – ( A.S.) X aritmetička sredina relativnih brojeva
strukture – P aritmetička sredina relativnih brojeva
koordinacije – R Harmonijska sredina – H Geometrijska sredina – G Aritmetička sredina aritmetičkih
sredina X
71
medijan – Me (ordinalni niz) mod - Mo (nominalni niz, ordinalni niz)
Položajne srednje vrijednostiPoložajne srednje vrijednosti
momenti distribucije frekvencija
Specifične srednje vrijednostiSpecifične srednje vrijednosti
72
Osnovne značajke srednjih Osnovne značajke srednjih vrijednostivrijednosti
Utjecaj ekstremnih obilježja na srednje vrijednosti
Utjecaj frekvencija u distribuciji frekvencija na srednje vrijednosti
Utjecaj svih obilježja koja su različita od srednje vrijednosti na tu srednju vrijednost
Odnos promatrane srednje vrijednosti i drugih obilježja
73
Zahtjevi srednjih vrijednostiZahtjevi srednjih vrijednosti
Mogućnost utvrđivanja srednje vrijednosti objektivnim računskim pravilom na jedinstven način
Srednja vrijednost mora biti sadržana između najmanje i najveće vrijednosti obilježja
Ako su sve srednje vrijednosti obilježja jednake, i srednja vrijednost mora biti jednaka toj vrijednosti
74
Aritmetička Aritmetička sredinasredina
75
Aritmetička sredina Aritmetička sredina (MEAN), X, x(MEAN), X, x
prosjek N-ti dio totala
vrijednosti N.O. osnovnog skupa(N – broj jedinica osnovnog skupa)X1,X2,Xi,...XN i=1,2,...,N
vrijednosti N.O. uzorka(n – broj jedinica uzorka)x1,x2,xi,...xn i=1,2,...n
76
Aritmetička sredina Aritmetička sredina osnovnog skupaosnovnog skupa
X=
suma vrijednosti num. obilježja osnovnog skupa
broj jedinica osnovnog skupa =
Total
N
Aritmetička sredina Aritmetička sredina uzorkauzorka
x=
suma vrijednosti num. obilježja uzorka
broj jedinica uzorka=
total
n
77
Jednostavna Jednostavna aritmetička sredinaaritmetička sredina
Jednostavna, neponderirana A.S. Jednostavna, neponderirana A.S. osnovnog skupaosnovnog skupa
Koristi se za negrupirani niz podatakaKoristi se za negrupirani niz podataka
Ako obiježje X od N elemenata ima vrijednosti Ako obiježje X od N elemenata ima vrijednosti mjerene na svakom elementu:mjerene na svakom elementu:
X: XX: X11,X,X22,X,X33,...X,...XNN
X=X1+X2+X3+...+Xk
N=
N
k
i
Xi1
78
A.S. vagana frekvencijamaA.S. vagana frekvencijama Koristi se za grupirani niz podatakaKoristi se za grupirani niz podataka
Ako je zabilježeno Ako je zabilježeno kk modaliteta obilježja, modaliteta obilježja, podaci predstavljaju distribuciju frekvencija podaci predstavljaju distribuciju frekvencija sa:sa:
Ponderirana, vagana Ponderirana, vagana aritmetička sredinaaritmetička sredina
X=f1X1+ f2X2+ f3X3+ ... + fkXk
f1 + f2 + f3 + ... + fk=
k
i
fiXi1
k
i
fi1
79
Relativne i apsolutne frekvencije Relativne i apsolutne frekvencije su upravno proporcionalne!su upravno proporcionalne!
X:X: X1,X2,Xi, ... , Xk X1,X2,Xi, ... , Xk i= 1,2, ..., ki= 1,2, ..., k
p:p: p1,p2, pi, ..., pk p1,p2, pi, ..., pki=1,2, ..., k i=1,2, ..., k
Ponderirana aritmetička Ponderirana aritmetička sredina relativnih frekvencijasredina relativnih frekvencija
X=p1X1 + p2X2 + piXi+ ... +pkXk
f1 + f2 + f3 + ... + fk=
k
i
piXi1
k
i
pi1
80
Svojstva aritmetičke sredineSvojstva aritmetičke sredine
1. svojstvo1. svojstvo Algebarski zbroj odstupanja originalnih
vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine jednak je nuli
Σ(Xi – X) = 0
2. svojstvo2. svojstvoZbroj kvadrata odstupanja originalnih vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine jednak je minimumu
Σ(Xi – X)2 = min.
81
3. svojstvo3. svojstvo
Aritmetička sredina Aritmetička sredina uvijek se nalazi između najmanje i najveće vrijednosti numeričkog obilježja varijable Xi
Xmin Xmin X X Xmax Xmax
4.svojstvo4.svojstvoAko je vrijednost numeričke varijable Xi jednaka konstanti c, aritmetička sredinaaritmetička sredina te varijable jednaka je konstanti c.
X = cX = c
XX1 1 = X= X22 = ... = X = ... = Xkk = c = c
5. svojstvo5. svojstvoAritmetička sredina je sklona ekstremima
82
MedijanMedijan
83
Medijan (Me) je srednja pozicijska vrijednost numeričkog obilježja ili redoslijednog obilježja
Medijan je srednja vrijednost redoslijednog ili numeričkog obilježja koja elemente osnovnog skupa (statističkog niza) dijeli na dva jednaka dijela, tako da se u jednom dijelu nalaze elementi koji imaju vrijednost obilježja manju ili jednaku MeMe ,a u drugom dijelu se nalaze elementi koji imaju vrijednost obilježja jednaku ili veću od MeMe
MedijanMedijan
84
Određivanje medijana moguće je kod: Individualnog numeričkog obilježja Redoslijednog numeričkog obilježja Diskontinuiranog numeričkog obilježja i=1
Određivanje medijanaOdređivanje medijana
Izračunavanje medijanaIzračunavanje medijana
Grafičko određivanje medijanaGrafičko određivanje medijana
Medijan se izračunava kod: Kontinuiranog numeričkog obilježja Diskontinuiranog numeričkog obilježja gdje su
razredi različiti od 1
Medijan se može grafički odrediti uz pomoć: Kumulativnog niza “manje od” Kumulativnog niza “manje od” i
kumulativnog niza “više od”
85
Određivanje medijana Određivanje medijana za individualne vrijednostiza individualne vrijednosti
Ako je broj elemenata u skupu:
a)a) NEPARANNEPARAN N=(2k+1)N=(2k+1) onda je Me=k+1Me=k+1b)b) PARAN N=2k onda je PARAN N=2k onda je Me= polusuma Me= polusuma
dva srednja elementadva srednja elementa
POSTUPAK:POSTUPAK: vrijednosti obilježja poredati po veličinivrijednosti obilježja poredati po veličini odrediti centralnu jedinicuodrediti centralnu jedinicu
86
Izračunavane Me kod Izračunavane Me kod grupiranih vrijednostigrupiranih vrijednosti
Medijan se ne može odrediti ne može odrediti nego se mora izračunatimora izračunati prilikom: prilikom: Kontinuiranog numeričkog obilježja Kontinuiranog numeričkog obilježja Diskontinuiranog numeričkog obilježja Diskontinuiranog numeričkog obilježja kada je i>1 kada je i>1
jer nije poznata vrijednost NO za svaki element, odnosno statističku jedinicu
POSTUPAK:POSTUPAK:
KORAK 1: Formirati kumulativni nizKORAK 2: Naći N/2KORAK 3: Odrediti medijalni razred
87
KORAK 4a: Uvrstiti podatke u formulu zakorištenje kumulativnog niza “manje od”
Me= l1 N/2 - fi+
fmed
*i
l1 – donja granica medijalnog razreda
fi – zbroj frekvencija odozgo prema doljeodozgo prema dolje do medijalnog razreda
i – veličina medijalnog razreda
fmed – originalna frekvencija medijalnog razreda
88
Me= l2 N/2 - fi-
fmed
*i
l2 – gornja granica medijalnog razreda
fi – zbroj frekvencija odozgo prema doljeodozgo prema dolje do medijalnog razreda
i – veličina medijalnog razreda
fmed – originalna frekvencija medijalnog razreda
KORAK 4b: Uvrstiti podatke u formulu zakorištenje kumulativnog niza “više od”
89
Grafičko određivanje Grafičko određivanje medijanamedijana
N/2
Me
Aritmetičko mjerilo za
frekvencije
Aritmetičko mjerilo za
obilježje
90
Uporaba medijanaUporaba medijana
Kod redoslijednog obilježja medijan je prihvatljivija mjera od aritmetičke sredine
Za vrlo asimetrične distribucije, te distribucije s ekstremno visokim i/ili niskim krajnjim vrijednostima
Za distribucije s otvorenim razredima gdje procjena donje odnosno gornje granice bitno utječe na aritmetičku sredinu
91
ModMod
92
MOD (Mo)MOD (Mo)
Mod je vrijednost redoslijednogredoslijednog ili numeričkognumeričkog obilježja koja se najčešćenajčešće javlja u statističkom nizu
Mod je vrijednost obilježja oko koje se elementi statističkog skupa najgušće gomilaju
Mod dijeli distribuciju frekvencija na lijevu (rastuću-uzlaznu) i desnu (opadajuću-silaznu) stranu
93
Utvrđivanje modaUtvrđivanje moda
Mod se utvrđuje ako su jedinice numeričkog obilježja grupirane u razrede veličine 1, tada je modalna vrijednost, vrijednost razreda koji ima najveću frekvenciju
Primjer:
Ocjena na ispitu
Br. studenata
11 121222 181833 313144 111155 99 8181
94
Izračunavanje modaIzračunavanje moda
Mod se izračunava kada su elementi statističkog skupa (niza) grupirani prema:
diskontinuirnom numeričkom obilježju s razredima i>1
kontinuiranom numeričkom obilježju
Kod distribucija koje su grupirane u
razrede nejednakih veličina, izračunavanju moda prethodi korigiranje frekvencija:
fc=fii
95
ll11 – – donja granica modalnog razreda
b –b – frekvencija modalnog razreda (najveća frekvencija)
a –a – frekvencija razreda ispredispred Mo razreda
c –c – frekvencija razreda izaiza Mo razreda
i –i – veličina modalnog razreda
i
)cb(abablMo 1
Na temelju određenog Mo razreda (b) te dva susjedna razreda: lijevog (a) i desnog (c), izračunava se vrijednost Mo
96
U distribuciji frekvencija može postojati:
jedna Mo vrijednost - UNIMODALNA DISTRIBUCIJA
dvije Mo vrijednosti - BIMODALNA DISTRIBUCIJA
više Mo vrijednosti - MULTIMODALNA DISTRIBUCIJA
Grafički se Mo može odrediti kada se na krivulji distribucije frekvencija (poligon frekvencija) pronađe najveća ordinata (ili tjeme) iz kojeg se spušta okomica na apscisu, gdje se potom pročita vrijednost Mo
97
Nedostaci i prednosti MoNedostaci i prednosti Mo NEDOSTACI ovisan je načinu formiranja razreda nema smisla ako se distribucija približava
pravokutnoj sporan je kod bimodalne ili multimodalne
distribucije
PREDNOSTI kod distribucija s ekstremno malim ili velikim
vrijednostima NO Me i x imaju težnju njihovom približavanju, pri čemu će primicanje Me biti značajno manje od primicanja x
Mo neće imati tu tendenciju jer ga određuje najveća frekvencija
98
Mjere disperzijeMjere disperzije
99
Mjere disperzijeMjere disperzije
Osim značajke distribucije frekvencija dane u srednjoj vrijednosti, nastaje potreba za drugom značajkom distribucije frekvencija koja će izražavati stupanj varijabilnosti vrijednosti obilježja
Ta se značajka zove MJERA DISPERZIJE ili MJERA RASPRŠENOSTI
100
Mjere disperzijeMjere disperzije
Osim značajke distribucije frekvencija dane u srednjoj vrijednosti, nastaje potreba za drugom značajkom distribucije frekvencija koja će izražavati stupanj varijabilnosti vrijednosti obilježja
Ta se značajka zove MJERA DISPERZIJE ili MJERA RASPRŠENOSTI
101
Mjere disperzije mogu biti: apsolutne (istorodne distribucije) relativne (raznorodne distribucije)
APSOLUTNE M.D. RELATIVNE M.D.
Raspon varijacija
Interkvartil
Kvartilna devijacija
Srednje apsolutnoodstupanje
Varijanca
Standardnadevijacija
Koeficijentvarijacije
Koeficijentkvartilnedevijacije
102
Apsolutne mjere Apsolutne mjere disperzijedisperzije prikladne za uspoređivanje disperzije samo istorodnih distribucija
Raspon varijacijaInterkvartilKvartilna devijacijaSrednje apsolutno odstupanjeVarijancaStandardna devijacija
103
1. Raspon varijacije (R)1. Raspon varijacije (R) ili raspon disperzije je gruba informacija o
veličini disperzije između najveće i najmanje vrijednosti numeričkog obilježja
R= Xmax- Xmin
Raspon varijacije za distribucije frekvencija s razredima određuje se kao razlika gornje granice posljednjeg i donje granice prvog razreda, ili izračunavanjem razlike razrednih sredina posljednjeg i prvog razreda
Nepouzdana mjera disperzije jer promatra razliku između ekstremnih vrijednosti, a ne uzima u obzir raspoređivanje ostalih podataka
104
2. Interkvartil (Iq)2. Interkvartil (Iq)
KVANTILI – vrijednosti NO koje niz uređen po veličini dijele na q jednakih dijelova
KVARTILI – niz uređen po veličini dijele na 4 jednaka dijela
Q1 – prvi ili donji kvartil
Me – drugi kvartil ili medijan
Q3 – treći ili gornji kvartil
105
Donji kvartil (QQ11)) – je vrijednost redosljednog ili numeričkog obilježja, koja sve elemente u distribuciji frekvencija dijeli na ¼ (25%) elemenata koji imaju vrijednost obilježja jednaku ili manju od vrijednosti donjeg kvartila i na ¾ (75%) elemenata koji imaju vrijednost obilježja jednaku ili veću od donjeg kvartila
Gornji kvartil (QQ33) – je vrijednost redosljednog ili numeričkog obilježja koja sve elemente u distribuciji frekvencija dijeli na ¾ (75%) elemenata koji imaju vrijednost obilježja jednaku ili manju od gornjeg kvartila i na ¼ (25%) elelmenata koji imaju vrijednost obilježja jednaku ili veću od gornjeg kvartila
106
Iq predstavlja raspon između QQ33 i QQ1 1
IQ = Q3-Q1
Q1 Me Q3
25% 25%
N/4 N/2 3N/4
50% elemenata
Izražen je u jedinicama u kojima je izraženo i obilježjeŠto je interkvartil brojčano manji to će polovica svih elemenata statističkog skupa biti više nagomilana oko Me, a to znači da će disperzija biti manja i obratno
107
Q1 i Q3 za grupirane vrijednosti izračunavaju se prema formulama:Prvi kvartil Q1
if
fN
lQQ1
1
114
Treći kvartil Q3
if
fN
lQQ3
1
1343
N – ukupan broj elemenataL1 – donja granica kvartilnog razredafi – suma frekvencija KN “m.o.” do kvartilnog razreda fQ – originalna frekvencija kvartilnog razredai – veličina kvartilnog razreda
108
Rang polu-interkvartila
3. Kvartilna devijacija 3. Kvartilna devijacija
213 QQ
Q
4. Srednje apsolutno 4. Srednje apsolutno odstupanjeodstupanje prosječna veličina odstupanja
pojedinačnih rezultata (bez obzira na smjer odstupanja)
N
XxMAD
N
ii
1
k
ii
k
iii
f
XxfMAD
1
1
Za negrupirane vrijednosti
Za grupirane vrijednosti
109
je aritmetička sredina kvadrata odstupanja vrijednosti numeričkog obilježja od x za...
5. Varijanca 5. Varijanca (ơ²) (ơ²)
X: x1, x2, ...,xN
Nxxi
2
22
22
)(
Za individualne vrijednosti:
Za grupirane vrijednosti:
i
ii
fxxf 2
22
22
)(
X: x1, x2, ...,xN
f: f1, f2, ..., fN
110
je drugi korijen iz varijance, standardno odstupanje od prosjeka
6. Standardna devijacija 6. Standardna devijacija (ơ) (ơ)
2
111
Relativne mjere Relativne mjere disperzijedisperzije prikladne i za uspoređivanje disperzije raznorodnih distribucija
Koeficijent varijacijeKoeficijent kvartilne devijacije
112
relativna mjera disperzije i služi za uspoređivanje varijabilnosti različitih pojava i svojstava
Postotni omjer standardne devijacije i aritmetičke sredine
1. Koeficijent varijacije1. Koeficijent varijacije
100X
V
113
Disperzija središnjih 50% jedinica
Može biti u intervalu od 0 do 1
2. Koeficijent kvartilne 2. Koeficijent kvartilne devijacije devijacije
13
13
QQQQ
V Q
StandardiziranoStandardiziranoobilježjeobilježje
115
Standardizirano obilježjeStandardizirano obilježje Odstupanja originalnih vrijednosti
numeričkog obilježja od aritmetičke sredine u raznorodnim distribucijama frekvencija izračunavaju se s pomoću standardiziranog obilježja:
Izračunata odstupanja vrijednosti num. obilježja od aritmetičke sredine su izražena u jedinicama standardnih devijacija, te je na taj način osigurana mogućnost usporedbe za raznorodne distribucije
116
Svojstva standardiziranog Svojstva standardiziranog obilježjaobilježja
aritmetička sredina standardiziranog obilježja jednaka je nuli
standardna devijacija standardiziranog obilježja je jednaka 1
Pravilo Čebiševa Pravilo Čebiševa Standardizirana varijabla može poprimiti
i pozitivne i negativne vrijednosti One će rijetko odstupati od aritmetičke
sredine za više od +3
116
-3 -2 2 3-
117
Pravilo Čebiševa Pravilo Čebiševa Za zvonolike distribucije (posebice normalne distribucije): +1 približno 68% podataka,+2 približno 95% podataka
(najmanje 75% svih podataka),+3 približno 99,7% podataka
(najmanje 88,89% svih podataka).
oko
oko
oko
118
Analiza Analiza vremenskih vremenskih
nizovanizova
119
Vremenski nizoviVremenski nizovisu nizovi istovrsnih podataka
prikupljenih u uzastopnim vremenskim razmacima ili trenucima
namjena analize VN je promatrati vremenski razvoj pojava, tražiti zakonitosti pojava i predviđati dalji razvoj pojava
ZADATAK DINAMIČKE ANALIZE:ZADATAK DINAMIČKE ANALIZE: ispitati promjene pojava kao funkciju
vremena y = f(t) y = f(t)
120
PROBLEM: PROBLEM: utvrđivanje homogenosti
podataka tijekom promatranog razdoblja
KOMPONENTE:KOMPONENTE:trend komponentaciklička komponenta sezonska komponentaslučajna komponenta
sistematske, determinističke komp. – kovarijacije pojave koje se daju izraziti nekom funkcijom vremena
121
Formiranje vremenskih Formiranje vremenskih nizovanizova
Vremenski niz je skup kronološki uređenih veličina koje su odraz razine intenziteta neke pojave u izabranim vremenskim točkama ili intervalima
Dvije vrste vremenskih nizova: INTERVAINTERVALNILNI i TRENUTAČNITRENUTAČNI
122
Intervalni vremenski nizIntervalni vremenski niz
Pojave s jednim smjerom kretanja Intervalno promatranje čijim
grupiranjem nastaje INTERVALNI NIZOVI
Intervali promatranja: godina, mjesec, tjedan, dan, sezona, školska (akademska) godina, kazališna ili športska sezona i sl.
Vremenski intervalni nizovi imaju svojstvo kumulativnosti
123
Trenutačni vremenski nizTrenutačni vremenski niz
Pojave s dva smjera kretanja
Promatraju se u presjeku vremena ili određenom trenutku ("kritičnom trenutku"), a nizanjem rezultata takvih promatranja formirat će se TRENUTAČNI VREMENSKI NIZ
Frekvencije trenutačnog vremenskog niza nemaju svojstvo kumulativnsti
124
Pojmovna i prostorna definicija ne smiju se mijenjati
Jednakost intervala vremena promatranja
Ako su vremenska razdoblja različita, potrebno je korigirati frekvencije prije uspoređivanja
Kod trenutačnih vremenskih nizova razmaci između vremenskih točaka promatranja nisu bitni za usporedbu frekvencija
Usporedivost frekvencija Usporedivost frekvencija vremenskoga nizavremenskoga niza
125
Grafičko prikazivanje Grafičko prikazivanje vremenskih nizovavremenskih nizova
INTERVALNI
TRENUTAČNI
Površinski grafikon
Linijski grafikon
Linijski grafikon
126
Intervalni vremenski nizIntervalni vremenski niz
a) površinski (pomoću stupaca)a) površinski (pomoću stupaca) izgledom i konstrukcijom nalikuje
histogramu na X-osi se nanosi vremensko razdoblje
svakog člana vremenskog niza na Y-osi se unosi član vremenskog niza za
određeno razdoblje (uz napomenu da mjerilo na ordinati mora UVIJEK započinjati s 0)
NAPOMENA:NAPOMENA: ako razdoblja nisu jednaka potrebno ih je svesti na zajedničko razdoblje, a na ordinatu nanositi korigirane vrijednosti članova vremenskog niza
127
b) linijski
na X-osi se ucrtava sredina vremenskog razdoblja
na Y-osi se unosi određena vrijednost pripadajućeg člana vremenskog niza, odnosno korigirana vrijednost ako se radi o različitim razdobljima
linijski grafikon pokazuje SMJER i INTENZITET promjene pojave u jednom rasponu vremena
postupnim zbrajanjem članova vremenskog INTERVALNOG NIZA odozgo prema dolje, nastaje kumulativni vremenski niz
128
Trenutačni vremenski nizTrenutačni vremenski niz
samo LINIJSKIM GRAFIKONOMLINIJSKIM GRAFIKONOM na X-os - trenutak promatranja na Y-os - pripadajući član vremenskog niza
(frekvenciju- koja je UVIJEKUVIJEK originalna)
podizanje ordinate na onom mjestu apscise koje odgovara trenutku promatranja pojave
jakost apsolutne promjene – strmina lin.graf.
razlika dvije susjedne ordinate- apsolutna promjena pojave u dva trenutka promatranja
mogući prekidi (i vodoravni i okomiti) aritmetičkog mjerila
129
Grafičko uspoređivanje Grafičko uspoređivanje vremenskih nizovavremenskih nizova
Dva se VN mogu usporediti linijskim grafikonom s aritmetičkim mjerilom samo ako su:
a) izražena u istim jedinicama mjere
b) približnih brojčanih vrijednostic) odnose se na isto vremensko
razdoblje
Indeksna Indeksna metodametoda
131
Indeksi Indeksi
relativni brojevi dinamike koji pokazuju relativan odnos između dva ili više stanja jedne te iste pojave na dva različita mjesta ili u dva različita vremenska intervala
pomoću indeksnih brojeva mogu se analizirati i trenutačni i intervalni vremenski nizovi
132
Podjela indeksaPodjela indeksa
Prema obuhvatu promatranih pojava:Prema obuhvatu promatranih pojava:
a) individualni indeksi S obzirom na bazu usporedbe:S obzirom na bazu usporedbe:
a) indeksi stalne ib) indeksi promjenjive baze
b) skupni ili grupni indeksia) indeksi cijenab) indeksi količinac) indeksi vrijednosti
133
Individualni Individualni indeksi indeksi
stalne bazestalne baze
134
Individualni indeksi Individualni indeksi stalne bazestalne baze Dinamika samo jedne pojave pomoću
indeksnih brojeva kroz nekoliko vremenskih razdoblja
Baznim indeksima izražavaju se relativne varijacije između dva stanja istog VN, od kojih je jedna pojava bazna veličina
Yt
It =
Yb Vrijednost kvocjenta pokazuje koliko
jedinica uspoređenih pojava odgovara svakoj jedinici baznog stanja
135
POSTUPAK:POSTUPAK:1. Izabiranje baze usporedbe:
Jedan član vremenskog nizakod određivanja stalne baze, treba izabrati
reprezentativan član (npr. najčešći član u
nizu), a ne najnižu ili najvišu vrijednost u
nizu
Neka druga vrijednost:Veličina promatrane pojave iz proteklog
vremenskog razdoblja koje nije obuhvaćeno
intervalom promatranja
AS vrijednosti pojave kada su varijacije
pojave znatne (u oba smjera); baza
usporedbe – prosjek varijacija vremenskog
niza
2. Svi članovi originalnog VN se stavljaju u odnos prema izabranoj bazi usporedbe
3. Kvocjente pomnožiti sa 100 (radi tumačenja)
136
PokazateljiPokazatelji
YtYb
YtYb
*100 = It
It – 100 = St
Koeficijent promjene
Indeks promjene
Stopa promjene (+ rast, - pad)
137
Yt = Yb It=100
Yt > Yb It>100
Yt < Yb It<100
Ako je:Ako je:
It je uvijek pozitivan
138
Individualni indeksi Individualni indeksi na bazi srednje vrijednosti na bazi srednje vrijednosti promatrane pojavepromatrane pojave
uspoređivanje dva ili više VN mjerenih raznorodnim obilježjima
grafički se prikazuju i površinskim i linijskim grafikonima
baza usporedbe – srednja vrijednost promatrane pojave
I yi = Yi
Y*100
i=1,2,...,N
139
Pravila za indekse Pravila za indekse na stalnoj bazina stalnoj bazi
Niz originalnih vrijednosti VN upravno je proporcionalan nizu indeksa na stalnoj bazi
Prikazuju se uglavnom površinskim grafikonima (ordinata-indeksi u artm. mjerilu; ishodište = 100 na ordinati)
Grafikon se čita u odnosu na bazu Usporedba varijacija različitih VN, ako svi
VN imaju jednaku bazu Izražavaju relativne promjene VN,
neovisne o sustavima i brojčanim razinama mjerenja u kojima su izražene originalne vrijednosti originalnih VN
140
Individualni indeksi Individualni indeksi s promjenjivom bazoms promjenjivom bazom
(verižni ili lančani (verižni ili lančani indeksi)indeksi)
141
Verižni ili lančani indeksiVerižni ili lančani indeksi
ako Y1, Y2, Y3, ... Yn, predstavljaju frekvencije nekog vremenskog niza ,i potrebito je saznati kako se pojava mjenjala iz razdoblja u razdoblje, koriste se VERIŽNI ILI LANČANI INDEKSI
to su indeksi na PROMJENJIVOJ BAZI ,a dobiju se dijeljenjem svakog člana vremenskog niza prethodnim članom te množenjem dobivenog rezultata sa 100
svaka originalna vrijednost javlja se kao:- tekuća vrijednost koja se uspoređuje- baza uspoređivanja
iznimke: prva i posljednja orig. vrijednost VN- prva orig. vrij.–samo baza uspoređivanja- posljednja orig.vrij.–samo kao tekuća vrij.
142
Verižni indeksi ne mogu biti negativne Verižni indeksi ne mogu biti negativne veličine, jer su frekvencije vremenskog veličine, jer su frekvencije vremenskog niza uvijek pozitivneniza uvijek pozitivne
Za verižne indekse vrijede sljedeće Za verižne indekse vrijede sljedeće relacijerelacije:
Yt > Y t-1 Vt > 100 Yt < Y t-1 Vt < 100 Yt = Y t-1 Vt = 100
Verižni indeks Vt pokazuje koliko jedinica pojave u vremenu t dolazi na svakih 100 jedinica u vremenu t-1
Govori o relativnoj promjeni neke pojave uvijek u odnosu na pojavu iz prethodnog perioda. Intenzitet promjene izražen u postotku dobije se kao razlika indeksa Vt i veličine 100 ( St=Vt-100 )
143
Grafičko prikazivanje verižnih Grafičko prikazivanje verižnih indeksaindeksa
specifična vrsta linijskog grafikona promjenjiva baza verižnih indeksa zahtjeva
prikazivanje svakog verižnog indeksa posebnom linijom
ishodište apscise (koja označava vrijeme) je na ordinati označeno vrijednošću 100
verižni indeksi >100: od apscise prema vrhu ordinate, unutar ili u sredini intervala jedne godine
verižni indeksi < 100: od apscise prema nižim vrijednostima ordinate
nagib ucrtane linije – intenzitet relativne promjene
144
Preračunavanje Preračunavanje individualnih individualnih
indeksaindeksa
145
Preračunavanje baznih Preračunavanje baznih indeksa u verižneindeksa u verižne
- postupnim dijeljenjem baznih indeksa (*100)
- kao da je riječ o originalnim frekvencijama VN
146
ako je bazno razdoblje prvo u nizu– postupnim množenjem:
I t-1 * VtIt =
100
t=2,3,..., N
ako bazno razdoblje nije prvo u nizu- bazni indeks za razdoblja koja prethode baznom:
I t-1 * Vt It = ; kada je t > b 100 I t I t-1 = *100 ; kada je t < b V t
I t = 100 ; kada je t = b
Preračunavanje verižnih Preračunavanje verižnih u bazneu bazne
147
Srednje vrijednosti Srednje vrijednosti vremenskih vremenskih
nizovanizova
148
Srednje vrijednosti Srednje vrijednosti vremenskih nizovavremenskih nizova neke pojave su statičkog karaktera nemaju opću razvojnu tendenciju analiziraju se statičnim srednjim
vrijednostima
VRSTE: - AS intervalnog VN- kronološka sredina trenutačnog VN- geometrijska sredina
(upotrebljava se u analizi intervalnog i trenutačnog VN)
149
Kronološka sredinaKronološka sredina
Vremenski trenutačni niz je sastavljen od frekvencija čije se vrijednosti u pravilu ne mogu zbrajati te iz toga proizlazi da se za VTN ne bi mogla izračunati srednja vrijednost
Stoga se VTN transformira u IVN te se pomoću kronološke sredine računa srednja vrijednost
150
Geometrijska sredina -Geometrijska sredina -srednja vrijednost verižnih srednja vrijednost verižnih indeksaindeksa(prosječan tempo promjene)(prosječan tempo promjene)
Primjena:a) u analizi VN negrupiranih i
grupiranih podataka (“prosječan tempo promjene”)
b) kao srednja vrijednost numeričkih nizova za nizove sa asimetričnim rasporedom podataka
151
Za N individualnih vrijednosti varijable X (numeričkog ili vremenskog niza):
rješava se logaritmiranjem:
Logaritam geometrijske sredine jednak je aritmetičkoj sredini logaritama promatrane varijable, odnosno, aritmetičke sredine logaritama elemenata vremenskog niza ili numeričkog niza.
Jednostavna, neponderirana Jednostavna, neponderirana geometrijska sredinageometrijska sredina
NN321 x...xxxG
iiNN
1ii xsvakiza0x,xG
N
xlogGlog
N
1ii
152
Podaci grupirani u distribuciju frekvencija:
ne računa se za nizove koji sadrže vrijednost 0na njenu veličinu utjecati će vrijednost svih elemenata promatranoga nizamanja je od aritmetičke sredine istoga niza (osim u slučajevima kada su sve vrijednosti promatranoga niza međusobno jednake)
Vagana, ponderirana Vagana, ponderirana geometrijska sredinageometrijska sredina
k
1ii
N fN
f3
f2
f1 fN,x...xxxG N321
k
1ii
k
1iii
fN,N
xlogfGlog
153
Skupni Skupni indeksiindeksi
154
Skupni indeksiSkupni indeksi
Skupnim indeksima se mjeri dinamika skupine pojava ili se utvrđuju varijacije heterogene skupine pojava na različitim mjestima (npr. potrošnja, izvoz, uvoz,industrijska proizvodnja )
Najčešće se dinamika heterogenih pojava prati kroz vrijednosni način izražavanja
Razlikujemo:- skupni indeksi količina- skupni indeksi cijena- skupni indeks vrijednosti
155
• p0 = cijene baznoga razdoblja
• p1 = cijene izvještajnoga razdoblja
• q0 = količine baznoga razdoblja
• q1 = količine izvještajnoga razdoblja
• p0q0 = ponder vrijednosti baznoga
razdoblja
• p1q1 = ponder vrijednosti izvještajnoga
razdoblja
Simboli Simboli
156
Zapamtiti kod izračunavanja Zapamtiti kod izračunavanja skupnih indeksaskupnih indeksa
Sve nizove koji su zadani svesti na istu bazu (stalnu ili promjenjivu)
Indekse na stalnoj bazi svesti na isto bazno razdoblje
157
Linearni Linearni trendtrend
158
TrendTrend
Ovisno o karakteru čimbenika koji djeluju u vremenu na neku pojavu, vremenski niz čine slijedeće komponente:
a) trend ili osnovna tendencija kretanja neke pojave kroz vrijeme
b) sezonske oscilacije, koje se pojavljuju unutar jedne godine
c) ciklične komponented) slučajne komponente, koje čine
slučajni, teško predvidivi događaji
159
Za utvrđivanje trenda mogu se primijeniti:
- neparametrijske i
- parametrijske metode
Metode utvrđivanja trendaMetode utvrđivanja trenda
160
Neparametrijske metode Neparametrijske metode
- ne rezultiraju matematičkom jednadžbom trenda.
metoda prostom rukom metoda poluprosjeka metoda pomičnih prosjeka
Prednost: jednostavno izračunavanjeNedostatak: ne postojanje trend vrijednosti za početna i završna razdoblja niza; osjetljivost aritmetičke sredine na ekstremne vrijednosti
- dobra prethodnica parametrijskim metodama
161
Najčešća: metoda najmanjih kvadrata
Izračunava se jednadžba linije kod koje će suma odstupanja između originalnih vrijednosti vremenskog niza i utvrđenih trend podataka biti jednaka nuli (model linearnog trenda jednak je modelu jednostavne linearne regresije)
Parametrijske metodeParametrijske metode
162
Metoda najmanjih kvadrataMetoda najmanjih kvadrata
izračunava se jednadžba linije kod koje će suma odstupanja između originalnih vrijednosti vremenskog niza i utvrđenih trend podataka biti jednaka 0
Označe li se podaci sa Yi, a trend podatke sa Yci, te primjeni li se metoda najmanjih kvadrata, vrijedi sljedeće:
Nadalje vrijedi sljedeće:
0)YY(N
1icii
imunmin)YY(N
1i
2cii
163
Da bi se uočila tendencija razvoja pojave dobro je:
imati što veći vremenski niz (više frekvencija)
grafički prikazati pojavu – gdje se iz približnog izgleda nacrtane funkcije donosi sud o mogućem obliku osnovne tendencije razvoja ili tipu trenda
Ako su promatranja po:
osnovna tendencija je linearna, linearni trend je polinom prvog
stupnja f(x) = a+bx
- jednakim intervalima i - ako su prve diferencije frekvencija približno
konstantne (u apsolutnom izrazu)
164
Linearni trendLinearni trend
Jednadžba linearnog trenda je jednadžba pravca:
YYcici=a+bx=a+bx , i=1,2,...k
gdje su:Yci – zavisna varijabla (trend vrijednosti)
Xi – oznaka za vrijeme (nezavisna varijabla)parametar a – vrijednost trenda u ishodištuparametar b – koeficijent smjera pravca, te kazuje koliko se pojava mijenja u jedinici vremena
165
Kada se izračunava linearni trend kojemu je ishodište u prvoj godini vremenskog niza, parametri se izračunavaju na sljedeći način:
parametar b: parametar a:
Suma trend vrijednosti mora biti jednaka sumi originalnih vrijednosti promatranog niza
N
i
N
iii
N
ii
N
iii
xxx
yxyxb
1 1
2
11 xbya
166
Izračunavanje parametara a i b za jednadžbu linearnog trenda može se pojednostaviti tako da se ishodište jednadžbe premjesti u sredinu čitavog promatranog razdoblja
Formule za izračunavanje parametara a i b su sljedeće:
yN
ya
N
ii
1
N
ii
N
iii
x
yxb
1
2
1
167
Pri preračunavanju godišnje jednadžbe trenda u trend s kraćim vremenskim razdobljima treba paziti da li se radi o trenutačnom ili intervalnom vremenskom nizu
Preračunavanje godišnjih Preračunavanje godišnjih jednadžbi u kraća jednadžbi u kraća vremenska razdobljavremenska razdobljaTrend se može izračunati i za vremenske nizove u kojima su podaci dati u vremenskim razdobljima koja nisu godišnje vrijednosti – npr. u polugodištima, kvartalima, mjesecima i dr.
168
A)TRENUTAČNI NIZ – preračunavanje godišnje jednadžbe u mjesečnu
parametar “a” ostaje jednak godišnjem ukoliko se nije promijenilo ishodište jednadžbe
B) INTERVALNI NIZ – preračunavanje godišnje jednadžbe u mjesečnu
N,...,2,1i,x12baY ici
N,...,2,1i,x144b
12aY ici
169
Regresija Regresija i korelacijai korelacija
170
KorelacijaKorelacija
utvrđivanje međusobne povezanosti pojava koje se proučavaju te na osnovi jedne pojave predviđaju promjene i zbivanja u drugoj pojavi
POVEZANOST MEĐU POJAVAMA MOŽE BITIuzročno-posljedična
(regresijski model y=a+bxregresijski model y=a+bx)korelativna
(korelacijski model x=f(y) ili y=f(x)korelacijski model x=f(y) ili y=f(x))
171
Uzročno - posljedična Uzročno - posljedična povezanostpovezanost
jednostavna - jedan uzrok jedna posljedica
složena - jedan uzrok - više posljedica- više uzroka - jedna posljedica- više uzroka i više posljedica
172
Korelativna povezanostKorelativna povezanost
pojava postoji kada promjene u jednoj i drugoj pojavi mogu postojati paralelno ,a da jedno nisu uzrok drugima
proučavanjem korelativnih odnosa ne utvrđuju se uzročno-posljedični odnosi ,ali se pridonosi boljem razumjevanju pojava i događaja koje istražujemo i njihovom boljem predviđanju
173
indikator povezanosti između pojava je KOEFICIJENT KORELACIJE ili KOEFICIJENT ASOCIJACIJE između varijabli
pokazuje smjer i intenzitet povezanosti između promatranih, registriranih i mjerenih pojava
koef. korelacije vrlo rijetko ukazuje na uzročno-posljedičnu povezanost,a puno češće ukazuje na korelativni odnos između promatranih pojava
174
Korelacijska analizaKorelacijska analiza
1. Utvrđivanje postojanja veze između pojava ili varijabli (A i B)
2. Utvrđivanje intenziteta i smjera povezanosti među varijablama
3. Utvrđivanje oblika veze među varijablama - funkcionalna
4. Utvrđivanje jakosti veze među pojavama - stohastička (statistička)
175
Linearna korelacijaLinearna korelacija
postoji kada je porast jedne pojave (Y) praćen linearnim porastom ili padom druge pojave
DIJAGRAM RASIPANJA (scatter diagram) – pruža informacije o obliku, smjeru i jakosti veze
UKUPNA VARIJANCA= PROTUMAČENI DIO + NEPROTUMAČENI DIO
176
Koeficijent determinacije Koeficijent determinacije (r(r22))
protumačeni dio odstupanja
Koeficijent determinacije= ukupna odstupanja
Kako je r2 dan u drugom stupnju češće se koristi PEARSONOV KOEFICIJENT KORELACIJE (r)
r = ± 1
(mjera jakosti samo za LINEARNU korelaciju)
177
kod tumačenja koeficijenta korelacije (r) treba imati u vidu da je nastao iz koeficijenta determinacije (r2), te da npr. r=0,70 znači r2=0,49, da je tek 50 % ukupnih odstupanja objašnjivo s promatrane dvije pojave
178
KrivolinijskaKrivolinijska
kada se veza među pojavama najbolje ilustrira krivom linijom
prva orjentacija o krivolinijskoj regresiji se dobiva preko dijagrama rasipanja na temelju kojeg se odlučuje koja se matematička krivulja najbolje prilagođuje nacrtanim originalnim vrijednostima.Jakost krivolinijske veze mjeri se INDEKSOM KORELACIJE (ro)
179
Odnos koeficijenta Odnos koeficijenta determinacije i koeficijenta determinacije i koeficijenta linearne korelacijelinearne korelacije
r 2 r Tumačenje
0 0 odsutnost korelacije
0,00-0,25 0,00-0,50 slaba korelacija
0,25-0,64 0,50-0,80 korelacija srednje jakosti
0,64-1,00 0,80-1,00 čvrsta korelacija
1 1 potpuna (perfektna) korelacija
180
Parcijalna korelacijaParcijalna korelacija
koristi se u slučaju utvrđivanja povezanosti između dviju pojava, eliminirajući utjecaj npr. neke treće zajedničke varijable
KORELACIJA RANGAjakost veze između pojava
promatranih po redoslijednom obilježju mjeri se koeficijentom korelacije ranga
181
Postupak izračunavanja:
1) upare se vrijednosti redoslijednog obilježja za svaku statističku jedinicu
2) jednom obilježju odredi se rang i poreda ga se po redoslijedu – drugo obilježje mu se pridružuje ne rasparujući prethodno stvorene parove
3) ako se u nizu pojavi više jednakih vrijednosti njihovi se rangovi zbroje i podijele s brojem pojavljivanja, te se tako izračunana vrijednost pridružuje jednakim članovima niza
182
4) najniži rang pripada najnižoj vrijednosti obilježja, najviši rang najvišoj vrijednoati obilježja
5) izračuna se di=xri – yri kao razlika ranga za svaku statističku jedinicu
6) izračuna se kvadrat razlika di2
183
Nedostaci:Nedostaci:
nije osobito precizna mjeraprimjenom ovog koeficijenta
korelacije ne mogu se izračunati ostali pokazatelji kao što su koeficijent regresije, koeficijent determinacije, jednadžba analize varijance, jednadžba regresije.
184
Koeficijent korelacije
Tumačenje
0,00–0,10 Nema povezanosti
0,11-0,25 Jako slaba veza
0,26-0,40 Slaba veza
0,41-0,50 Srednje jaka veza
0,51-0,75 Jaka veza
0,76-0,90 Veoma jaka veza
0,91-1,00 Izuzetno jaka veza
Opis koeficijenata korelacije Opis koeficijenata korelacije prema jačini vezeprema jačini veze
185
Korelacijsko-regresijska Korelacijsko-regresijska analizaanaliza
KORELACIJAKORELACIJA• ispitivanje veze i zavisnosti između dvije pojave ilipromjenjive veličine
Pokazatelji:Pokazatelji:•koeficijent korelacije•koeficijent determinacije•koeficijent nedeterminacije
REGRESIJAREGRESIJA• omogućava sagledavanje očekivane vrijednosti zavisno promjenjive veličine na osnovi vrijednosti nezavisno promjenjive veličine
Pokazatelji:Pokazatelji:• jednadžba regresije• standardna pogreška procjene regresije
186
Analiza regresijskih modelaAnaliza regresijskih modela Osnovicu za analizu reprezentativnosti Osnovicu za analizu reprezentativnosti
regresijskih modela čine sljedeći statistički regresijskih modela čine sljedeći statistički pokazatelji i metode:pokazatelji i metode:
Rezidualna odstupanja Relativna rezidualna odstupanja Standardizirana odstupanja Koeficijent determinacije Koeficijent korelacije Standardna greška regresije Analiza varijance (ANOVA) Testiranje razine signifikantnosti regresijskih koeficijenata Određivanje intervala povjerenja regresijskih
koeficijenata Određivanje intervala povjerenja prognoziranih
vrijednosti Testiranje razine signifikantnosti koeficijenta korelacije
187
Koeficijent multiple Koeficijent multiple determinacije Rdeterminacije R22 i koeficijent i koeficijent multiple korelacije Rmultiple korelacije R
Koristi se prosudbu valjanosti i primjenjivosti modela višestruke regresije
188
Metoda Metoda uzorakauzoraka
189
ORIGINALNE, EMPIRIJSKE, OPAŽENE DISTRIBUCIJE su formirane grupiranjem opažanja ili elemenata skupa prema nekom obilježju.
TEORIJSKE DISTRIBUCIJE očekivane distribucije u skladu s našim iskustvom ili na temelju teorijskih postavki. Pretpostavljamo ih u nekom statističkom modelu ili ih postavljamo kao hipotezu koju treba ispitati.
Pojavljuju se u funkciji distribucije vjerojatnosti
190
Teorijske distribucije Teorijske distribucije diskontinuirane diskontinuirane slučajne slučajne varijablevarijable
1. BINOMNA DISTRIBUCIJA
2. POISSONOVA DISTRIBUCIJA
191
1. BINOMNA DISTRIBUCIJA1. BINOMNA DISTRIBUCIJA
najjednostavnija teorijska distribucija distribucija za alternativna obilježja
2. POISSONOVA DISTRIBUCIJA2. POISSONOVA DISTRIBUCIJA koristi se za opis rijetkih događaja, tj.
događaja s malom vjerojatnošću (br. kvarova strojeva:mjesečni (tjedni), broj dolazaka po min. , broj ˇpadovaˇračunala u jednom mjesecu)
192
Teorijske distribucije Teorijske distribucije kontinuiranekontinuirane slučajne slučajne varijablevarijable
najpoznatije:
1) NORMALNA (GAUSSOVA) DISTRIBUCIJA2) STUDENTOVA (t) DISTRIBUCIJA3) HI-KVADRAT DISTRIBUCIJA4) F DISTRIBUCIJA
193
1. Normalna (gaussova) 1. Normalna (gaussova) distribucijadistribucija
Ima oblik zvona Unimodalna je Proteže se od - do + Simetrična je, pa je 3=0 Mjera zaobljenosti je 4=3 Egzaktan oblik normalne krivulje bit će
poznat ako su poznate arit.sred. i stand.devij.
194
2. Studentova (t) distribucija2. Studentova (t) distribucija
Kod uzoraka koji broje više od 30 jedinica približava se oblikom i svojstvima normalnoj distribuciji
Kod n<30 razvučena je po apscisi (u odnosu na normalnu)
195
3. F distribucija3. F distribucija
Odnos dviju varijanci
4 . Hi-kvadrat distribucija4 . Hi-kvadrat distribucija
Primjenjuje se kada treba donijeti odluku o signifikantnosti razlika između stvarnih (opaženih) i teorijskih (očekivanih) frekvencija
Može zauzeti vrijednosti od 0 do
196
Osnovni skup i uzorakOsnovni skup i uzorak
Populacija (odluka, koje jedinice sudjeluju u populaciji )
Okvir uzorka (popis jedinica, iz kojeg se izabiru jedinice u uzorak npr.popis zaposlenih, lista pretplatnika )
197
Zadaća metode uzorakaZadaća metode uzoraka
1. Na osnovi uzorka procijene karakteristike osnovnog skupa
2. Na osnovi podataka donosi se odluka o prihvaćanju, odnosno odbacivanju hipoteze koja se odnosi na neku karakteristiku osnovnog skupa
198
Koraci u procesu izabiranja Koraci u procesu izabiranja uzorkauzorka
1. Određivanje populacije2. Izabiranje primjerenog okvira
uzorka3. Izabiranje plana uzorka (metode
za izbor uzorka )4. Određivanje potrebne veličine
uzorka
199
Vrste planova uzorkaVrste planova uzorka
1. UZORCI BEZ PRIMJENE 1. UZORCI BEZ PRIMJENE VJEROJATNOSTIVJEROJATNOSTI
Prigodni uzorciNamjerni uzorciKvotni uzorci
200
2. UZORCI UZ PRIMJENU 2. UZORCI UZ PRIMJENU VJEROJATNOSTIVJEROJATNOSTI
Jednostavni slučajni uzorakStratificirani uzorak
proporcionalanneproporcionalan
Uzorak skupinasustavanpodručni
202
Literatura:1. Kazmier, Leonard J.: Business Statistics. McGraw-Hill, 2004.2. Neufeld, J. L.: Learning Business Statistics with Microsoft Excel,
Prentice Hall, New Jersey, 1997.3. Newbold, Paul / Carlson, William L. / Thorne, Betty M.: Statistics for
Business and Economics. Prentice-Hall, 2002.4. Petz, Boris: Osnovne statističke metode za nematematičare. Slap,
Jastrebarsko, 2004.5. Sekulić, Branko et al.: Primjena matematike za ekonomiste.
Informator, Zagreb 1996.6. Spiegel, Murray R. / Stephens, Larry J.: Statistics. McGraw-Hill, 1999.7. Studenmund, A. H.: Using Econometrics: A Practical Guide,
HarperCollins Publishers Inc., New York, 1996.8. Šošić, I.: Pregled formula iz statistike, Mikrorad, Zagreb9. Šošić, Ivan / Serdar, Vladimir: Uvod u statistiku. Školska knjiga,
Zagreb, 2002.10. Šošić, Ivan: Primijenjena statistika. Školska knjiga, Zagreb, 2004.11. Šošić, Ivan: Zbirka zadataka iz statistike. Mikrorad, Zagreb, 1998.12. Wonnacott, Thomas H. / Wonnacott, Ronald J.: Introductory
Statistics. Wiley, 1990.
Sve tekuće informacije bit će objavljene nawww.pravos.hr
203
Literatura:Internet:
1. http://www.efos-statistika.com/2. HyperStat Online (David M. Lane)3. Statistics: Power from Data! (Statistics Canada)4. Introductory Statistics: Concepts, Models and
Applications (David W. Stockburger)5. Introduction to Probability (Charles M. Grinstead, J.
Laurie Snell)6. Virtual Laboratories in Probability and Statistics 7. The R Project for Statistical Computing
Sve tekuće informacije bit će objavljene nawww.pravos.hr
