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STORIA DELLSTORIA DELL’’ALGEBRA 1ALGEBRA 1

Le equazioni Le equazioni di 1di 1°° di 2di 2°°gradogrado

Livia Giacardi - Maggio 2007

2

CronologiaCronologiaLe origini dell’algebra si possono rintracciare presso le civiltàarcaiche quando i matematici egizi e babilonesi trovarono metodiper risolvere problemi in cui si chiede di trovare i valori numerici di certe grandezze incognite, essendo tali grandezze sottoposte a determinate condizioni.I successivi sviluppi dipendono dal confluire di due conquiste del pensiero umano:

l’ampliamento del campo numericoil simbolismo

18001800--1650 a.C.1650 a.C. Egizi - insieme numerico: interi > 0 e le frazioni con numeratore 1calcoli aha (equazioni di primo grado), metodo di falsa posizione

2

3

18001800--1700 a.C.1700 a.C. Babilonesi - insieme numerico: numeri esprimibili in modo finito in base 60abile uso delle identità notevolimetodo del completamento del quadratometodo della semisomma e della semidifferenza

300 a. C.300 a. C. Greci - Euclide: “algebra geometrica”(perché solo con la geometria si poteva lavorare sulle grandezze incommensurabili)

III sec.III sec. Diofanto: recupero della tradizione babiloneseInsieme numerico: razionali positiviUso di abbreviazioni: algebra sincopata

4

VIIVII--XII sec.XII sec. India - Brahmagupta, Mahvira, Bhaskara IIsistema di numerazione decimale posizionale con lo zero considerato come un vero numero, uso dei razionali positivi e negativi, simbolismo rudimentalebîjaganita = scienza del calcolo analitico

“La bîja è l’innata capacità di comprendere aiutata da varisimboli, che per l’istruzione degli intelletti meno acuti è stataesposta dagli antichi saggi che illuminano i matematici come il sole il loto e che ora ha preso il nome di algebra (bîjaganita)”[Bhaskara II]

IX sec. IX sec. Islam - compare il termine al-jabrAl-Khwarizmi diffonde il sistema di numerazione indiano ed è considerato il padre dell’algebra. Insieme numerico: razionali e irrazionali positivi

3

5

XII sec. XII sec. Islam - Omar al Khayyam dà la seguente definizione di algebra:

“L’arte dell’ al-jabr e dell’ al-muqabalaè un’arte scientifica il cui oggetto è il numero puro e le grandezze misurabili in quanto incognite, ma rapportate ad una cosa nota, mediante la quale le si può determinare.”

al-jabr(completamento)al-muqabala(bilanciamento)

xxxx

xx

10581010682

58106822

2

+=+−+

=−+

xx 10102 2 =+

si eliminano i termini negativisi eliminano i termini negativi

si addizionano i termini similisi addizionano i termini simili

6

XVI sec.XVI sec. straordinari sviluppi dell’algebra in Italia: risoluzione delle equazioni di 3° e 4° grado (S. Dal Ferro, N. Tartaglia, G. Cardano, L. Ferrari). Introduzione dei numeri complessi (R. Bombelli)

XVII sec. XVII sec. R.R. Descartes: introduzione del simbolismo

16291629 A. Girard, Invention nouvelle en algèbre enuncia il teorema fondamentale dell’algebra (che sarà dimostrato in modo rigoroso oltre un secolo dopo)

Incertezze nel considerare veri numeri i numeri irrazionali, i numeri negativi (“falsi”) e i complessi (“anfibi fra essere e non-essere”)

4

7

inizi XIX sec.inizi XIX sec.

Algebra = teoria delle equazioni algebricheAlgebra = teoria delle equazioni algebriche

“L’algebra come la si intende comunemente, è l’arte di determinare quantità incognite in quanto funzioni di quantità conosciute osupposte tali; è altresì l’arte di trovare una soluzione generale per equazioni.Questa soluzione consiste nel ricercare per tutte le equazioni dello stesso grado, quelle funzioni dei coefficienti delle equazioni stesse che ne rappresentano tutte le radici. Finora il problema si può considerarerisolto solo per equazioni di 1°. 2°, 3°, 4° grado…”

[J.-L. Lagrange, 1808]

8

1799 1799 C.F. Gauss dimostra nella sua tesi di dottorato il teoremafondamentale dell’algebra: “Demonstratio nova theorematis omnemfunctionem algebraicam rationalemintegram unius variabilis in factoresreales primi vel secundi gradusresolvi posse”

Gauss diede altre tre dimostrazioni di questo teorema.Da allora sono state date circa un centinaio.

Ogni equazione algebrica ha sempre una radice

5

9

Inizi XIX secInizi XIX sec. P. Ruffini e N. Abel dimostrano che in le equazioni algebriche generali di grado

maggiore o uguale al 5° non sono risolubili mediante radicali

18311831--1832 1832 I lavori di E. Galois determinano un ampliamento degli orizzonti: dalla suaopera trae origine l’algebra astratta

18471847 G. Boole afferma che l’algebra deve occuparsi “delle operazioni in sé considerate indipendentemente dalle materie diverse alle quali possono essere applicate”

Algebra astrattaAlgebra astratta studio delle strutture algebrichestudio delle strutture algebriche

10

Evoluzione del simbolismoEvoluzione del simbolismo

1 810 2 +=− xx

ς è l’incognita x (arithmos) Δy è x2, dove Δ è l’iniziale di dúnamis, potenza

/|\

101

81002

2

+⋅+⋅

−⋅+⋅

xx

xx

yâyâ (yavat-tavat = tanto quanto) incognitayâyâ vava (yavat-varga) incognita al quadrato rrûû (rûpa=ciò che appare) termine noto

yâ va 0 yâ 10 rûyâ va 1 yâ 0 rû 1

•

8

6

11

xx 1092 =+

910 2 += xx

Census (possesso, ricchezza) è x2

12

Introduce le lettere per rappresentare le quantità incognite e le quantità note, indicando le prime con una vocale e leseconde con una consonante

910 2 += xx

1810 2 +=− xx

zxbx += 2

7

13

Gli scavi della Missione Italiana di Roma, iniziati nel 1964, hanno portato alla luce i resti della splendida civiltà di Ebla (III millennio a. C.) e una biblioteca di 20000 tavolette (testi di tipo economico

amministrativo, testi storici e giuridici, testi lessicali e grammaticali e letterari, enciclopedie, …)

Un problema Un problema ““algebricoalgebrico”” del III millennio a. C.del III millennio a. C.

14

Il problema delloIl problema delloscriba di scriba di KKĭĭšš, , IIššmama--IaIa

(2500 a. C.)(2500 a. C.)

Problema dello scriba di KišIšma-Ia

svoltonongal

gal gal

gal gal

6360000360000360003600600

×

I simboli numerici sono molto simili a quelli sumerici

8

15

Gli storici interpretano gal come fattore moltiplicativo 60 ×,allora il problema dello scriba di Kiš è

Qual Qual èè quel numero che moltiplicato per 60 dquel numero che moltiplicato per 60 dàà 600, 3600,600, 3600,……??

=×====

6360000 360000

36000 3600 600

La chiave interpretativa sta nel simbolo che letteralmente significa “ grande”

…

……

…

…

60 x = 600

16

Sistema di numerazione Sistema di numerazione presso gli Egizipresso gli Egizi

Sistema di numerazione decimale additivo senza lo zero (1800 a. C.)

1 10 100 1000 10.000 100.000 1.000.000100 101 … 106

Vedi STORIA 1

9

17

L'insieme numerico su cui operano gli Egizi è l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero cui vanno aggiunte tutte le frazioni del tipo 1/n con n intero positivo e la

frazione particolare 2/3.

< r > = parte

Cubito reale, circa 1550 a.C.

nn1

141

101

31

18

I calcoli I calcoli <<ahaaha>>‘h’w = mucchio, cumulo, quantità incognita

Rhind 24, 25, 26, 27 metodo della falsa posizione

RhindRhind 2424

bxn

x =+1

10

19

In che cosa consiste il metodo della In che cosa consiste il metodo della semplice falsa posizionesemplice falsa posizione

''

':''

partenza di equazionenell' ' osostituisc posizione) (falsa

' valgaincognita quantità la che suppongo

grado 1 di equazionel' risolvere Devo

bbxx

bbx:x' bax

x

xbax

=

==

=°

752

4952

7

49:52':

4977

7'

527

==

=

=⋅

=

=

x

xx

x

x

è un metodo aritmetico, non algebrico

20

Problema 24 del Papiro Rhind1. Una quantità, cui viene aggiunto un suo settimo, diventa 19Prova a prendere 7. Aggiungi 1/7 di esso ad esso, ottenendo 82. Opera su questo 8 per ottenere 19 [dividi 19 per 8]

3. Ora moltiplica 2 + 1/4+ 1/8 per 7

Allora la risposta è 16 +1/ 2 +1/8 4. Prendi 1/7 di questa quantità ed aggiungilo ad essa, il risultato è il

richiesto 19.

Tradurre con ilsimbolismo odiernoi passaggi indicati dallo scribaed eseguire le operazioni alla maniera degli Egizi

Es. 1Es. 1

11

21

Traduzione del testo 1.Una quantità, cui viene aggiunto un suo settimo, diventa 19 Prova a prendere 7. Aggiungi 1/7 di esso ad esso, ottenendo 8 2. Opera su questo 8 per ottenere 19 [dividi 19 per 8] 1 8 2 16 1/2 4 1/4 2 1/8 1

2+1/4+1/8 19

3. Ora moltiplica 2 + 1/4+ 1/8 per 7

1 2 +1/4 +1/8 2 4 +1/2 +1/4 4 8 + 1 +1/2

7 15+1+1/2+1/8 Allora la risposta è 16 +1/ 2 +1/8 4. Prendi 1/7 di questa quantità ed aggiungilo ad essa, il risultato è il richiesto 19.

Interpretazione 1. x +

71 x = 19

Metodo della falsa posizione Pongo x'= 7 7 +

71 7 = 8

2. 19 : 8 = x : 7 19 : 8 = 2+1/4 +1/8 3.

81

2116)

81

412.(7 ++=++=x

4.Verifica1

19

...561

141

7122

81

2116

)81

2116(

71

81

2116

=

=++++++

=+++++

RhindRhind2424

22

Fa la sua comparsa nell’ambiente colto all’inizio del II millennio a.C. come strumento per la matematica e più tardi per l’astronomia

I numeri da 1 a 59 sono scritti in modo additivo con la base ausiliaria 10, per i numeri superiori a 60 è utilizzato il principio

di posizione

Sistema di numerazione Sistema di numerazione sessagesimale posizionale babilonesesessagesimale posizionale babilonese

Vedi STORIA 1

12

23

Manca lo zero sia in posizione mediale che finaleManca lo zero sia in posizione mediale che finale

L’inverso di ogni numero regolare(contenente cioè solo i fattori 2, 3, 5)è esprimibile con una frazione sessagesimale finita.

Le frazioni sessagesimali sono Le frazioni sessagesimali sono poste sullo stesso piano degli interiposte sullo stesso piano degli interi

Gli inversi dei numeri irregolari come 7, 11, 13, … danno luogo a frazioni sessagesimali infinite periodiche: i Babilonesi usavano approssimazioni.

24

Il simbolismo algebrico è assente.Le incognite del problema sono espresse con termini tratti

dalla geometria, ma sono usati in modo del tutto astratto:lunghezza ušlarghezza sagarea a-sa

Vengono affrontati problemi che conducono a equazioni di 2°grado, a particolari equazioni di grado superiore al 2° e a particolari sistemi

metodo del completamento del quadratometodo della semisomma e della semidifferenzauso sistematico di identità notevoliriduzione di problemi quadratici alla forma:

trovare due numeri nota la loro somma (o differenza) e il loro prodotto

Il Il ““calcolo algebricocalcolo algebrico”” in Mesopotamiain Mesopotamia

13

25

IdentitIdentitàà notevoli usate dai babilonesi e loro notevoli usate dai babilonesi e loro visualizzazione geometricavisualizzazione geometrica

(a + b)2 = a2+2ab+b2 (a + b)(a - b) = a2 - b2

(a - b)2 = a2- 2ab + b2 (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab(a + b)2 + (a - b)2 = 2 (a2+b2)

b2

a2

b2

Non c’è però nessuna documentazione del fatto che i Babilonesi abbiano ottenuto così le identità notevoli

26

Es. 2Es. 2 Osservare le figure e individuare, in ciascun caso, l’identità illustrata

a

b

a

b

a2 – (a - b)2 2a⋅b – b2

14

27

a

b

a

a2 – b2 b(a-b) + a(a-b)

b

ca b ca b

(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 +2ab +2ac +2bc

280;30 è il lato del quadrato

0;30 che tu hai moltiplicato, lo sottrai da 1

1 è il quadrato di 1

Tu aggiungerai 0;15 a 0;45

Tu moltiplicherai 0;30 e 0;30 : 0;15

Tu dividerai in due l’unità: 0;30

Tu porrai 1 l’unità

Ho addizionato la superficie e il lato del mio quadrato: 0;45

Tradurre con ilsimbolismo odiernoi passaggi indicati dallo scribaed esprimere i numeri indicati in notazione decimale

Es. 3Es. 3

Problema 1, BM 13901Problema 1, BM 13901

15

29

Problema 1, Problema 1, BM 13901BM 13901metodo del metodo del

completamento del completamento del quadratoquadrato

Traduzione Interpretazione Ho addizionato la superficie e il lato del mio quadrato: 0;45

x2+x = 3/4 (0;45 = 45/60)

Tu porrai 1 l’unità 1 = 60/60 Tu dividerai in due l’unità: 0;30

1/2 = 30/60

Tu moltiplicherai 0;30 e 0;30 : 0;15

(1/2)2 = 1/4

Tu aggiungerai 0;15 a 0;45 3/4 + 1/4 = x2+x + 1/4 1 è il quadrato di 1 (x+1/2)2 = 3/4 + 1/4 =1 0;30 che tu hai moltiplicato, lo sottrai da 1

0;30 è il lato del quadrato x = 2

143

21 2

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1/2 (=0;30)

211

121

121

141

43

4143

2

2

2

−=

=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+=++

=+

x

x

x

xx

xx

Lo scriba calcola solo laradice positiva

cbbx +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

2

22

2x bx c+ =

30

Es. 4Es. 4 Trovare la soluzione positiva della seguente equazione con l’aiuto della geometria

Suggerimento:Costruire il quadrato di lato x e su due suoi lati consecutivi costruire due rettangoli di area complessiva 4x,completare il quadrato, …

x2 + 4x + 4 = 32+ 4(x+2)2= 36

x2 2x

2x 22

Dunque

da cui l’area del quadrato di latox+2 è 36, dunque il latox+2 = 6, da cui x = 4

x2 + 4x = 32

x+2

16

31Sottrarrai 5 dal secondo 25: 20 è ilsecondo quadrato

Aggiungerai il 5, che haimoltiplicato, al primo 25: 30, è ilprimo quadrato

Scriverai 25 due volteQuesto è il quadrato di 25Tu sottrarrai 25 da 10,50: 10,25Tu moltiplicherai 5 per 5 : 25Tu dividerai in due 10 : 5

Tu dividerai in due 21,40, tu scriverai 10,50

Ho sommato la superficie dei mieidue quadrati: 21,40, l’uno superal’altro di 10

Problema 9, BM 13901

Tradurre con ilsimbolismo odiernoi passaggi indicati dallo scribaed esprimere i numeri indicati in notazione decimale

Es. 5Es. 5

32

Problema 9, Problema 9, BM 13901BM 13901

metodo della metodo della semisomma e semisomma e

semidifferenzasemidifferenza

Traduzione Interpretazione Ho sommato la superficie dei miei due quadrati: 21,40, l’uno supera l’altro di 10

x2 + y2 = 1300 (= 21,40) x – y = 10

Tu dividerai in due 21,40, tu scriverai 10,50

(x2 + y2)/2 = 650 (=10,50)

Tu dividerai in due 10 : 5 (x – y )/2= 5 Tu moltiplicherai 5 per 5 : 25 ((x – y )/2)2= 25 Tu sottrarrai 25 da 10,50: 10,25

(x2 + y2)/2 - ((x – y )/2)2 = 625

(=10,25) Questo è il quadrato di 25 25

22

222=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+ yxyx

Scriverai 25 due volte Utilizzo due volte (x + y )/2= 25 Aggiungerai il 5, che hai moltiplicato, al primo 25: 30, è il primo quadrato

)( 3022

xyxyx==

−+

+

Sottrarrai 5 dal secondo 25: 20 è il secondo quadrato )( 20

22yyxyx

==−

−+

2222

222⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+ yxyxyx

17

33

In GreciaIn GreciaSistema di numerazione alfabetico Sistema di numerazione alfabetico

PIA = 100+10+1 poteva essere scritto anche così AIP o IAP

decimale additivodecimale additivo

34

MIGLIAIA

Per denotare i numeri superiori a 10000 viene usatoil segno M iniziale di miriade

λα

M ,Δ ρ ν θ = 31·10000 + 4000 + 100 + 50 + 9 = 314159

18

35

La scoperta, nell’ambito della Scuola pitagorica, delle grandezze incommensurabili (come il lato e la diagonale del quadrato), cioè grandezze per cui non esiste sottomultiplo comune, fece sì che l’aritmetica perdesse il suo primato.La geometria invece, potendo accogliere questa nuova realtà, si sviluppò notevolmente.

Vedi STORIA 1

Infatti una qualunque grandezza razionale o irrazionale può essere rappresentata con un segmento, il prodotto di due grandezze disuguali con il rettangolo avente per dimensioni i segmenti che le rappresentano, il prodotto di due grandezze uguali con il quadrato costruito sul segmento corrispondente,…Per questa ragione nella matematica greca classica troviamo solaPer questa ragione nella matematica greca classica troviamo solamente mente la la risoluzione geometricarisoluzione geometrica di problemi riconducibili a equazioni di 1di problemi riconducibili a equazioni di 1°° e e di 2di 2°° grado.grado.Sarebbe improprio parlare di algebra.Sarebbe improprio parlare di algebra.

36

Problemi di applicazione delle areeProblemi di applicazione delle aree

Applicazione parabolicaApplicazione parabolica: = applicazione

costruire un rettangolo di area data costruire un rettangolo di area data SS su una base su una base bb..Indicata con x l’altezza il problema si traduce per noiin un’equazione di 1° grado:

bx = S

b

x

Si tratta di problemi geometrici riconducibili ad equazioni di 1° e di 2° grado che Proclo (V sec.) fa risalire ai Pitagorici

e che vengono affrontati da Euclidenel I, II e VI libro degli Elementi

19

37

Applicazione ellittica o per difettoApplicazione ellittica o per difetto: : == mancanzamancanza, , difettodifetto

costruire un rettangolo di area data costruire un rettangolo di area data SS su una base su una base b b -- x x e altezzae altezza xx..Il problema si traduce per noi in un’equazionedi 2° grado:

(b - x)x = S

b

x

x

Applicazione iperbolica o per eccessoApplicazione iperbolica o per eccesso: = eccesso

costruire un rettangolo di area data costruire un rettangolo di area data SS su una base su una base b + x b + x e altezzae altezza xx..Il problema si traduce per noi in un’equazione di 2° grado:

(b + x)x = S b x

x

38

Euclide Euclide (300 a. C.)(300 a. C.)

Insegna matematica in Alessandria d’Egitto.La sua opera gli Elementi sono il piùperfetto esempio di assiomatica antica.

A partire da alcune proprietà primitive (assiomi)la cui intelligibilità è garantita dall’evidenza, Euclide ricava deduttivamente tutte le altre proposizioni (teoremi).

Visione della matematica di stampo platonico, dunque la matematica è razionalità pura.

Gli Elementi di Euclide, Classici della scienza, Utet, Torino 1988

Vedi STORIA 1

20

39

ElementiElementi, Libro II , Libro II dimostrazione geometrica rigorosa delle identità

usate dai BabilonesiPropProp. II. 4. II. 4“Se si divide a caso una linea retta, il quadrato di tutta la retta è uguale [in grandezza] alla somma dei quadrati delle parti e del doppio del rettangolo compreso dalle parti”. [p. 163]

a b

(a + b)(a + b)2 2 = a= a22 + b+ b22 +2ab+2ab

A

D E

BC

F

KHG

..

)(

retti sono angoli gli che Dico uguali lati i tutti ha CBKG rammalogparallo il cui per

BKGK BKCG e GKBC maCGBCGBCCGB dunque

GBCABDenticorrispond ADBCGB

=→===→=

===∧∧

∧∧∧∧

40

Per la stessa ragione HGFD è un quadrato.I rettangoli ACGH e GKEF sono uguali perché costruiti su segmenti uguali , dunque

A

D E

BC

F

KHG

quadrato. un èCBKG

altri gli pure così e (CG//BK) retto è GCB anche

dunque ipotesi per retto è KBC angoloL

⇓

∧

∧,'

+ + 2 eq.

a b

b2

a2

ab(a+b)2

21

41

PropProp. II.5. II.5“Se si divide una retta in parti uguali e disuguali, il rettangolo compreso dalle parti disuguali della retta, insieme col quadratodella parte compresa fra i punti di divisione, è uguale [in grandezza] al quadrato della metà della retta”. [p. 166]

(a +b)(a (a +b)(a -- b) = ab) = a22 -- bb22

a b a-b

(a+b)(a-b)eq.+

a2

b2

42

II. 5 R(AD, DB) + Q(CD) = Q(AC)II. 5 R(AD, DB) + Q(CD) = Q(AC)

ADFE = ACHE + CDFH

= CBKH + FKNM = Q(CB) - Q(CD)

cioèR(AD, DB) = Q(CB) - Q(CD)

A C D B

F

M

K

N

H

LE

R(AD, DB) = Q(AC) - Q(CD)

R(AD, DB) + Q(CD) = Q(AC)

c.d.d.

La dimostrazioneEuclidea segue questa traccia

22

43

Es. 6 Es. 6 Quale identità è dimostrata nella seguente proposizione degli Elementi di Euclide?

Prop. II.8 “Se si divide a caso una linea retta, il quadruplo del rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti, insieme col quadrato della parte rimanente, è uguale [in grandezza] al quadrato descritto, come su una sola linea retta, sulla somma ditutta la retta iniziale e della detta parte” [p. 175]

4ab +(a-b)2=(a+b)2

oppure

(a+b)2 - (a-b)2 = 4ab

A C B

a+bAB = aCB = b A Ba

b

b

b

a-b

ab

b

a-b

44

PropProp. VI.12 . VI.12 ““Date tre rette, trovare la quarta proporzionale dopo di esse” [p. 378]

Si tratta di trovare un segmento x tale chea : b = c : x

Usando il nostro simbolismo il problema equivale a risolvere l’equazione di 1° grado

ax = bc

a

cb

Si considerino due semirette DE e DF formanti un angolo qualsiasi. Si ponga DG = a, GE = be DH = c.Si congiunga H con G e si conduca per Eil segmento EF parallelo ad HG .Poiché nel triangolo DEF il segmento GH//EF si avrà: DG : GE = DH : HFHF .

D FH

E

G

HF è la quarta proporzionale cercata.

23

45

DiofantoDiofanto di Alessandria (III sec.)di Alessandria (III sec.)è l’ultimo matematico greco creativo, la cui opera,

Le Aritmetiche, si discosta nei metodi dalla matematica greca classica e recupera della tradizione logistica e l’eredità babilonese

““La sua giovinezza durò 1/6 della sua vita; poi la sua barba La sua giovinezza durò 1/6 della sua vita; poi la sua barba crebbe per 1/12; si sposò dopo 1/7 e gli nacque un figlio dopo 5crebbe per 1/12; si sposò dopo 1/7 e gli nacque un figlio dopo 5anni. Il figlio visse la metanni. Il figlio visse la metàà degli anni del padre e il padre mordegli anni del padre e il padre morìì 4 4

anni dopo il figlioanni dopo il figlio””

84 42

571

121

61

==+++++ xxxxxx

Le Aritmetiche 13 libri, circa 200 problemi6 libri (manoscritto greco), 4 libri (manoscritto arabo)

La formulazione del problema è astratta, solo in un secondo tempo vengono forniti i dati numerici e la risoluzione è puramente numerica e indipendente dall’interpretazione geometrica (sintomatico è l’uso di potenze superiori al cubo)

46

introduce delle abbreviazioniintroduce delle abbreviazioni (algebra sincopata)l’incognita x del problema → arithmos (numero) ς

x2 → Δy dove Δ è l’iniziale di dúnamis = potenzax3 → Ky (kúbos) x4 → Δy Δx6 → Ky K

→ unità (monás) e indica che ciò che segue è un numero puro/|\ → segno di sottrazione

x6 - 5x4 + x2 - 3x - 2 Ky K α Δy α /|\ Δy Δ ε ς γ β

(15x2-36)/(x4+36-12x2)

-l’insieme numerico è limitato ai razionali positivi- uso dei numeri negativi solo nei calcoli intermedi- soluzione di equazioni determinate e indeterminate- grande padronanza delle proprietà dei numeri, abilità nell’escogitare artifici

influenza sulla moderna teoria dei numeriinfluenza sulla moderna teoria dei numeri

o

M

o

M

ιβλςαμοριωενλςιε yyy ΔΔΔΔ /|\ /|\o

Mo

M

24

47

Alcune regole Alcune regole [[Le Aritmetiche, Le Aritmetiche, I, pp. 12I, pp. 12--13, 155]13, 155]

}Ariqmo\j me\n e}pi\ a}riqmo\n poluplasiasqei\j poiei~ du/namin, e}pi\de\ du/namin, ku/bon,…

Lei~vij e}pi\ lei~vin poluplasiasqei~a poiei~ u$parxin, lei~vij e}pi\ de\ u$parxin poiei~ lei~vin, kai\ th~j lei/vewj shmei~on V e}llipe\j ka/tw neu~on,

“Una mancanza moltiplicata per una mancanza fa un avere; una mancanza per un avere fa una mancanza e segno della mancanza [è] V troncato, rivolto in giù ”

Es. Nel problema Probl. III. 8 deve sottrarre 2x + 7 da x2 + 4x + 1 e scrivex2 + 2x - 6

Diofanto però usa i numeri negativi solo nei calcoli intermedi, mentre accetta come soluzioni dei problemi solo i razionali positivi.

,..., 322 xxxxxx =×=×

/|\

/|\

48

Fermat: “Al contrario è impossibile decomporre un cubo in due cubi, un biquadrato in due biquadrati, sia in generale una potenza qualunque superiore al quadrato in due potenze dello stesso grado: io ne ho scoperto una dimostrazione meravigliosa, ma il margine è troppo stretto per contenerla”Il Il ““teorema di teorema di FermatFermat”” sarsaràà dimostrato dimostrato da Andrew da Andrew WilesWiles solo nel 1994solo nel 1994--9595

P. de Fermat (1601-1665)

xxnn + + yynn = = zznn

non ammette soluzioni intere positive diverse da 0 per n ≥ 3

Aritmetica, Prop. II. 8

“Decomporre un quadrato dato in due quadrati”Sul Codice di Madrid che ci ha tramandato il testo c’èl’annotazione:“Che la tua anima, o Diofanto, sia con Satana per la difficoltà dei tuoi altri teoremi e soprattutto per questo”

25

49

La civiltà Hindu risale almeno al 2000 a.C., ma i primi documenti di carattere matematico risalgono solo al VII sec. a.C. e hanno un carattere primitivo.Il periodo più importante è quello che va dal II all’XII secolo e vede operare matematici come Aryabhata (V sec), Brahmagupta (VI -VII sec), Mahavira (IX sec. ), Bhaskara II (XII sec)

Il sistema di numerazione posizionale in base 10 con un simbolo per lo zero si può far risalire al 200 a. C., anche se è solo dopo il V sec. che divenne di uso comune, quando si ebbe una trattazione completa dell’aritmetica decimale e l’enunciazione delle proprietà dello zero.

Iscrizione sanscrita dell’876

In In IndiaIndia

50

VII VII -- IX sec.IX sec.

- uso delle frazioni (bhinna = rotto) indicate come facciamo noi senza la linea divisoria- uso dei numeri negativi rappresentati sovrapponendo un punto al simbolo numerico

= - 9, però generalmente non è considerata la soluzione negativa di un’equazione di secondo gradosama-karana equazione- uso di abbreviazioni

yâ (yavat-tavat = tanto quanto) incognitayâ va (yavat-varga) incognita al quadrato rû (rûpa=ciò che appare) termine noto

yâ va 0 yâ 10 rûyâ va 1 yâ 0 rû 1

•

9

1810 2 +=− xx•

8

12

14

113

14

12

12

13•12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+

31

21

31

21

21

21

31:1

41

41

21

12

.

26

51

Alcune Definizioni e RegoleAlcune Definizioni e RegoleBrahmagupta definisce lo zero come il risultato dell’operazione di sottrarre fra loro due numeri uguali.

“Il prodotto di un numero positivo per un negativo è negativo;di due negativi è positivo; un positivo moltiplicato per un positivo èpositivo” [Brahmagupta, VII sec.]

“Il quadrato di un numero positivo o negativo è positivo”[Brahmagupta, VII sec.]

“Se zero è aggiunto ad un numero, il numero è invariato; lo stesso è vero quando lo zero è sottratto. Nell’operazione di moltiplicazione o divisione di zero per un altro numero il risultato è zero” [Aryabhata II, X sec.]

[Datta,Singh, I, 238-243; II, 22-24]

52

Esempio tratto dall’opera

KuttakadyayaKuttakadyaya di Brahmagupta (VII sec.)

•9

•9

Il numero puro èmoltiplicato per il quadrato 1: . sia aggiunto al quadrato della metà del numero di mezzo 25, che fa 16, la cui radice è 4, meno la metàdell’incognita : 9Si divida 9 per il quadrato 1.Ecco il valore dell’incognita

yâ va 1 yârû

•5

•9

Traduzionesimbolica

xx22 -- 10x = 10x = --99

- 9×1= - 9

(-10 : 2)2 = 52

25 +(-9) = 16

4 - (-5) = 9

416 =

9

919

=

=

xa

acbb

x

a

acbb

acb ,acb

bb

accbxax

zioneFormalizza

−+−=

−+−

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=++

42

42

44

24

0

2

2

22

22

2

[Colebrooke, p. 347]

•10

27

53

Bhaskara II, BBîîjaganitajaganita (1150)(1150)

“Regola: la somma dei quadrati di due quantità differiscedal quadrato della loro somma di due volte il loro prodotto”Per esempio, siano le quantità 3 e 5. I loro quadrati sono 9 e 25. Il quadrato della loro somma, 64. Guarda:

Qui le celle quadrate sono chiaramente eguali a due volte il prodotto; e la proposizione è dimostrata”

[Colebrooke, p. 224]

352

32

8

5

(x+y)2- (x2+y2) = 2xy

3×5

54

Bhaskara II, BBîîjaganitajaganita (1150)(1150)Un problema di IV grado

“Se tu sei versato nelle operazioni dell’algebra, dimmi il numero il cui biquadrato meno il doppio della somma del quadrato e di duecento

volte il numero è uguale alla miriade meno 1”.

11101

2102)1(100122100212

2)1002(2)12(10000400241224110000400224

110000)2002(24

==−

=−=+−+=+

+=+++=++−+=−−

−=+−

xxx

xxxx

xxxxxx

xxx

:membro secondoal che primo al siaquadrato unavere di onimanipolazi ingegnose"" con cerca Baskara

xxx

aggiunge +4x2

ad ambo i membri

Eguaglia le radici positive

Trova una sola soluzione [Colebrooke, p. 215]

28

55

Nel mondo islamicoNel mondo islamico

La civiltà islamica si sviluppa a partire dal 622 (anno della fuga di Maometto a Medina) e raggiunge il massimo splendore tra il IX e il XIII sec.

56

I matematici e gli scienziati islamici danno contributi importanti all’algebra, alla trigonometria e alla geometria, e attraverso una fitta opera di traduzioni dei classici greci hanno fatto sìche il sapere antico non andasse perduto.

Verso l’830 il califfo al-Ma’mūn fonda a Bagdad la Casa della Casa della saggezza saggezza ((Bayt al-Hikma) che richiama scienziati e letterati. Fra di essi vi erano molti traduttori con il compito di tradurre dal greco i testi matematici e filosofici (Euclide, Archimede, Apollonio, Diofanto, Aristotele,…)Il fiorire della traduzioni si verificherà anche in Spagna dopo la conquista araba (Cordova, Toledo, Saragozza, …)

29

57

Omar al Omar al KhayyamKhayyam (1048-1131?) nell’opera Sulle dimostrazioni di al-jabr e al-muqabala ci dà la seguente definizione di algebra: “L’arte dell’ al-jabr e dell’al-muqabala è un’arte scientifica il cui oggetto è il numero puro e le grandezze misurabili in quanto incognite, ma rapportate ad una cosa nota, mediante la quale le si può determinare.”al-jabr(completamento)al-muqabala(bilanciamento)

xxxx

xx

10581010682

58106822

2

+=+−+

=−+

xx 10102 2 =+

si eliminano i termini negativisi eliminano i termini negativi

si addizionano i termini similisi addizionano i termini simili

MuhammedMuhammed ibnibn Musa Musa alal--KhwarizmiKhwarizmi (780-850), è considerato il padre dell’algebra. A lui si deve anche la prima esposizione del sistema di numerazione indiano decimale posizionale e delle operazioni in un’opera che ci èpervenuta solo nella versione latina Algoritmi de numero indorum

58

AlAl--KhwarizmiKhwarizmi, , AlAl--kitabkitab alal--mukhtasarmukhtasar fifi hisabhisabalal--jabrjabr wawa''ll--muqabalahmuqabalah"" [[830 circa]830 circa]

((Breve opera sul calcolo di spostare e raccogliereBreve opera sul calcolo di spostare e raccogliere))La forma espositiva adottata è quella dell’algebra retorica: i numeri sono chiamati dirham, l’incognita x con say’ (cosa) o gizr (radice) ed il quadrato dell’incognita x2 con mal (possedimento). I caratteri salienti del libro possono essere così riassunti:

- parte dalle equazioni e solo successivamente considera iproblemi. Ciò denota una visione dell’equazione come oggettomatematico in sé, svincolato dalle applicazioni

- ricerca la soluzione delle equazioni per via algebrica di cui forniscela giustificazione geometrica sfruttando l’eredità classica greca.

- si limita a considerare le equazioni di primo e secondo grado - nontiene conto delle soluzioni negative e nulle, nonostante conoscessel’esistenza dei numeri negativi dagli indiani, forse perché era legatoall’interpretazione geometrica delle grandezze (sempre positive).

- classifica le equazioni e fornisce il metodo risolutivo discutendone infine la risolubilità.

30

59

Distingue 6 tipi canonici di equazioni, dove i coefficienti a, b, c sono interi positivi:

1. Quadrati uguali a radici ax2 = bx 2. Quadrati uguali a numeri ax2 = c 3. Radici uguali a numeri ax = c 4. Quadrati e radici uguali a numeri ax2 + bx = c 5. Quadrati e numeri uguali a radici ax2 + c = bx 6. Radici e numeri uguali a quadrati bx + c = ax2

Non considera la soluzione x=0

Non utilizza quasi mai gli irrazionali gizr asamm = radice sorda

60

31

61

Come si vede egli ottiene le due soluzioni positive dell’equazione alle quali affianca il seguente commento: "…Se tu affronti un problema che si riconduce a questo tipo di equazione, verifica l'esattezza della soluzione con l'addizione, come si è detto. Se non è possibile risolverlo con l'addizione, otterrai certamente il risultato con la sottrazione. Questo è il solo tipo in cui ci si serve dell'addizione e della sottrazione, cosa che non trovi nei tipi precedenti. Devi inoltre sapere che se in questo caso tu dividi a metà la radice e la moltiplichi per se stessa e il prodotto risulta minore del numero che è aggiunto al quadrato, allora il problema è impossibile. Se invece risulta uguale al numero, ne segue che la radice del quadrato sarà uguale alla metà delle radici che sono col quadrato, senza che si tolga o si aggiunga qualcosa."

Dà una dimostrazione geometrica separatamente per le due soluzioni.

sp>⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2

→ Δ>0due soluzioni reali

sp<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2→ Δ<0

nessuna soluzione reale

sp=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2→ Δ=0due soluzioni reali coincidenti

62

Costruzione geometrica della prima soluzioneCostruzione geometrica della prima soluzione

il rettangolo GCDE, di lati GC= p e CD = x, è formato dal quadrato ABCD = x2 e dal rettangolo GBAE = (p-x)x = s. Se si pone x < p/2 si può innalzare da F, punto medio di GC, la perpendicolare FH a GC e prolungare FH del segmento HK=AH=p/2 - x.

M

p

M

x

32

63

Si costruiscono quindi i quadrati GFKM = 2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ p e IHKL =

2

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − xp .

Dalla costruzione risulta che i rettangoli EILM e FBAH sono uguali, per cui IHKL risulta essere la differenza fra q(GFKM) e r(GBAE),

cioè spxp−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

22

22.

Dunque IH = AH = sp−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2 e

AD = HD–AH =

= sppx −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

22

M

64

Quadrati e radici uguali a numeri “…un quadrato e 10 radici sono uguali a 39 unità. Il modo di risolvere questo tipo di equazione è prendere mezza radice appena menzionata. Adesso, le radici nel problema sono dieci. Quindi prendiamo la metà ossia 5, che moltiplicato per se stesso dà 25, una somma che unita a 39 dà 64. Avendo preso poi la radice quadrata di questo che è 8, sottratto della metà delle radici, 5, diventa 3. Il numero 3 quindi rappresenta una radice di questo quadrato, che è 9 naturalmente. 9 quindi dà il quadrato”

Traduzione simbolica

x2 + 10x = 39

10 : 2 = 5 5 · 5 = 25

25 + 39 = 64

64 =8

8 – 5 = 3 x = 3 x2 = 9

Formalizzazione

x2 + px = q

p : 2 2

222⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅

ppp

qp+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2

22

2 pqpx −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

33

65

Sapendo che x2 + 10x = 39, il quadrato esterno ha un'area 644

104392

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+ e il suo

lato misura 8. Dalla figura si osserva che il lato è di lunghezza 4

104

10++ x , quindi

x + 5 = 8, che dà x = 3.

Prova geometricaProva geometricaCompletamento Completamento

del quadratodel quadrato

Costruisce sui lati delquadrato di lato x quattrorettangoli di base 10/4 e per completare la figura occorrono quattroquadratini di lato 10/4:

x2 + 4·(10/4)x + 4·(10/4)2 == x2 +10x +25

x 410

2

410

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x2 + 10x = 39

66

Es. 7Es. 7 Trovare le soluzioni positive della seguente equazione come fa AlAl--KhwarizmiKhwarizmi

Suggerimento:Costruire il quadrato di lato x e sui suoi lati costruire 4 rettangolidi lato 1.Completare il quadrato, …

x2 + 4(1)x + 4(12) = x2 + 4x + 4 x2

1

Dunque

ma x2 + 4x vale 32dunque il quadrato esterno ha area32+4 =36 e il suo latox+2 sarà = 6, da cui x = 4

x2 + 4x = 32

x+2

12

34

67

Omar Omar alal--KhayyamKhayyam(1048 (1048 –– 1131?)1131?)

Astronomo, matematico e poeta persiano, celebre per le

sue Quartine (Rubáiyát)

“Il tuo oggi non ha potere sul domani, e il pensiero del domani non ti frutta che malinconia.

Non buttar via questo istante, se il tuo cuore non è pazzo, ché questo resto di vita non si sa quanto possa valere”

68

““Sulle dimostrazioni dei problemi di Sulle dimostrazioni dei problemi di alal--jabrjabr e e alal--muqabalamuqabala””..

Con al-Khayyam l'algebra diventa la teoria generale delleequazioni algebriche di grado minore o uguale a tre e concoefficienti interi positiviI risultati più importanti ottenuti da al-Khayyam si possono cosìriassumere

Osserva il principio di omogeneità dimensionale tra le grandezze Per le equazioni di terzo grado non riconducibili ad equazioni disecondo, riconoscendo il suo fallimento nella ricerca delle radiciper via algebrica, ricava le soluzioni per via geometricamediante intersezione di coniche

Considera solo le soluzioni positive (non le radici negative) dellequali discute le condizioni di esistenza

Nonostante l’analisi sia profonda e dettagliata gli sfugge il casodella terza soluzione positiva dell’equazione x3+ bx = ax2+ c

35

69

Classifica le equazioni secondo il loro grado e il numero di monomi che lecompongono, in particolare suddivide le equazioni di terzo grado in binomie,trinomie e quadrinomie, come segue (a, b, c costanti e positive):- equazione binomia x3 = c

- equazioni trinomie senza termine di secondo grado I. 3

33

x c bx bx c x c bx x

=+=+=+

- trinomie senza termine di primo grado II. 3223

23

x c ax ax c x

c axx

=+=+=+

- quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivo

I.

3223

2323

xc bxax axc bxx

bxc axx cbx axx

=++=++=++=++

- quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivi

II. bx axc xc axbxxcbxaxx

+=++=++=+

2323

23

70

Il primo matematico di rilievo in Occidente è

Leonardo Fibonacci Leonardo Fibonacci PisanoPisano

(ca. 1180(ca. 1180--ca.1240) ca.1240) che in giovane età imparò la matematica dagli arabi nella città di Bugia, dove il padre notaio curava nella dogana gli interessi dei mercanti, e

nei viaggi successivi in Egitto, Siria, Grecia, ...

36

71

Il frutto di questi viaggi e di questi studi è il LiberLiber AbaciAbaci (1202)(1202)

che è una summa del sapere aritmetico e algebrico del mondo arabo

Liber Abaci, I numeri di man dritta

Si compone di 15 capitoli - i primi 7 capitoli sono dedicati all’introduzione

delle cifre indoarabiche, alla numerazione decimale posizionale, agli algoritmi delle operazioni.

- 4 capitoli sono dedicati all’aritmetica mercantile- vi è poi un capitolo di problemi miscellanei,

fra cui problemi di “matematica ricreativa”- il cap. 13 è dedicato al metodo della falsa

posizione- i capitoli 14 e 15 sono dedicati alla teoria

delle proporzioni e all’algebra.

72

AbacistiAbacisti contro contro AlgoristiAlgoristiLeonardo Pisano diede un

notevole impulso alla diffusione in Italia delle

cifre indoarabiche(sistema decimale

posizionale) e del calcolo con carta e penna, ma nel

resto dell’Europa l’uso dell’abaco resistette a lungo, anche perché i

sistemi monetari e di misura non erano decimali.

Locuzioni come “prenderne uno, riportarne due, …” traggono origine dalla pratica dell’abaco.

37

73

Evoluzione delle cifre Evoluzione delle cifre indoarabicheindoarabiche

XII sec.

XIII sec.

XIV sec.

XV sec.

Inizi XVIsec.

74

LL’’ultimo capitolo del ultimo capitolo del LiberLiber AbaciAbaci èè dedicato alldedicato all’’algebraalgebra [pp. 406 segg.]

La trattazione è divisa in due parti: la prima di carattere teorico in cui, seguendo Al Khwarizmi,

Leonardo Pisano discute i sei tipi di equazioni di 2° grado, dà le regole per la soluzione e la dimostrazione geometrica

la seconda contiene un centinaio di problemi risolti con l’uso di queste regole

38

75

Le regole non sono date mediante formule, ma mediante una ricetta verbale.

Vediamo per esempio il caso ““censo e numero uguale a radicicenso e numero uguale a radici””

bxcx =+2

[p. 409]

Successivamente dà la dimostrazione geometrica basandosi sulla Prop. II. 5 degli Elementi di Euclide

76

“Quando avviene che il censo e il numero sono uguali alle radici,sappi che ciò non si può fare a meno che il numero sia uguale o minore del quadrato della metà delle radici. E se il numero èuguale, la soluzione è la metà delle radici. Se invece è minore, sottrai il numero dal quadrato della metà delle radici, e sottrai la radice del risultato dalla metà delle radici … ovvero somma la radice del risultato con la metà delle radici”

Es. 8Es. 8 Tradurre e interpretare il passo di Leonardo Pisano

cbbx −+= 2)2(2cbx b −−= 2)2(2

In questo modo Fibonacci trova sia la condizione per l'esistenza di radici reali dell'equazione x2 + c = bx, sia le due radici positive dell'equazione che noi scriviamo:

39

77

Il Liber Abaci era molto al di sopra delle comuni conoscenze matematiche del mondo occidentale; ci vorrà almeno un secolo prima che fosse pienamente compreso.In Italia furono le Scuole d’abaco a favorirne la diffusione.

78

Bibliografia Bibliografia Giusti E. (a cura di) Un ponte sul mediterraneo. Leonardo Pisano, la

scienza araba e la rinascita della matematica in Occidente, Il Giardino di Archimede. Un Museo per la matematica, Firenze, 2002, pp. 7-43

Franci R., Toti Rigatelli L., Storia della teoria delle equazioni algebriche, Mursia, Milano, 1979

Maracchia S., Storia dell'algebra, Liguori, 2005I testiI testi

Bombelli R., L’Algebra, (1572) Feltrinelli, Milano, 1966Brahmagupta, Bhaskara, Algebra, a cura di H.T. Colebrooke, 1817,

Rist., M. Sändig, Vaduz, 1973 Diophantus, Les Arithmétiques, a cura di R. Rashed, Paris, 1984

Euclide, Gli Elementi, Classici della scienza, Utet, Torino, 1988Leonardo Pisano, Liber Abaci, in Leonardo Fibonacci, Testi e Studi,

Il Giardino di Archimede, CD-Rom.Tannery P. ( a cura di), Diophanti Alexandrini Opera Omnia cum

Graecis Commentariis, Lipsiae, 1893