85

STRATEGI MENYEDERHANAAN MASALAH YANG SERUPA

(Simpler Analogous Problem)

Seperti yang telah kita ketahui bersama bahwa ada lebih dari satu cara untuk

menyelesaikan suatu masalah. Persoalannya adalah bagaimana menemukan metode

terbaik, cara yang efisien, atau metode yang mampu membuka pikiran kita untuk

menyelesaikan masalah tertentu. Sebuah metode kadang menghasilkan suatu masalah

terlihat menjadi lebih sederhana dan menjadi sesuatu yang mungkin lebih mudah untuk

dipecahkan. Strategi pemecahan masalah dengan menyederhanakan masalah ini

biasanya dengan mencobakan masalah ke suatu bentuk yang lebih sederhana, kemudian

setelah didapatkan solusi yang berupa pola penyelesaian masalah sederhana ini, kita

dapat menggunakannya untuk menyelesaikan pada masalah awal yang lebih kompleks

(rumit). Sehingga untuk melakukannya diperlukan pemahaman atau pengetahuan

bagaimana cara menyelesaikan masalah yang lebih kompleks menjadi masalah yang

sederhana.

Penerapan metode ini dalam kehidupan sehari-hari misalnya seorang koki ingin

membuat atau menemukan resep kue baru. Untuk membuat kue dalam porsi yang besar

tentunya koki tersebut harus menemukan takaran (ukuran) yang pas dari bahan-

bahannya. Agar tidak banyak bahan yang terbuang dalam pembuatan porsi yang besar,

dia harus mencobanya dulu dalam takaran yang kecil (menyederhanakan masalah).

Apabila dia telah menemukan takaran yang pas, maka koki tersebut dapat membuat kue

dalam porsi yang besar dengan menggunakan perbandingan dari takaran yang telah

ditemukannya tadi.

Contoh lain yaitu apabila seorang pengendara mobil hendak bepergian jauh, dan dia

tidak ingin mengisi bahan bakar selama perjalanannya. Sehingga dia harus mengetahui

jumlah bahan bakar yang diperlukannya untuk menempuh perjalanan tersebut. Dengan

metode penyederhanaan masalah ini, pengendara mobil dapat menentukan berapa liter

bensin yang harus dipersiapkannya dengan cara memperkirakan banyaknya penggunaan

bahan bakar dalam jarak yang lebih dekat. Misalkan, 7 km dapat ditempuh dengan

menghabiskan 2 liter bensin. Sehingga pengendara tersebut dapat menghitung berapa

86

jumlah bahan bakar yang dibutuhkannya dengan menggunakan perbandingan dalam

perkiraannya tadi. Berikut ini beberapa contoh permasalahan yang dapat dikerjakan

dengan menggunakan metode ini :

Problem 1

Faktor dari 360 bila dijumlahkan yaitu 1170. Berapa jumlah kebalikan faktor dari 360 ?

Solusi :

Sebagian besar solusi yang digunakan yaitu menemukan seluruh faktor dari 360,

membaliknya, lalu menjumlahkannya. Faktor dari 360 adalah 1, 2, 3,4 ,5 ,6 ,8, 9, …,

120, 180, 360. Kebalikannya yaitu 1, , , , , , , , … , , , . Kemudian

menjumlahkannya menjadi : 1 + + + + + + + + ⋯+ + + .

Namun kita harus menentukan penyebutnya terlebih dahulu yaitu 360, lalu merubahnya

ke dalam bentuk pecahan yang ekuivalen lalu menjumlahkannya. Tetapi cara ini akan

sangat panjang dan memakan banyak waktu.

Dengan menggunakan metode simpler analogous problem, kita dapat menyelesaikan

masalah tersebut dengan lebih mudah. Misal tentukan penjumlahan dari kebalikan

faktor dari 12. Faktor dari 12 yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Kemudian jumlahnya 1 + 2 + 3

+ 4 + 6 + 6 + 12 = 28. Sekarang, kita menjumlahkan kebalikan dari faktor tersebut

menjadi :

11 + 12 + 13 + 14 + 16 + 112 = 2812Dari perhitungan diatas, hasil penjumlahan dari pembilang sama dengan jumlah dari

penyebutnya. Sekarang kita bisa menyelesaikan masalah awal kita, dari informasi

bahwa penjumlahan faktor dari 360 adalah 1170. Dengan demikian penjumlahan

kebalikan dari faktor 360 adalah

Problem 2

Diberikan 4 bilangan : 7, 895 ; 13, 127 ; 51, 873 ; 7, 356.

Berapa persentasi rata-rata dari jumlah bilangan-bilangan diatas ?

87

Solusi :

Cara yang umumnya digunakan :

Menjumlahkan bilangan-bilaangan tersebut kemudian membaginya dengan empat

untuk memperoleh rata-ratanya, yaitu :

, , , ,=

, = 20, 06275Kemudian menghitung persentasi rata-rata dari jumlah bilangan-bilangan tersebut

adalah

20, 0627580, 251 100% = 0, 25 100% = 25%

Menyelesaikan masalah dengan simpler analogous problem dengan

mempertimbangkan kasus secara umum. Misal, jumlah dari bilangan-bilangan

tersebut adalah S. kemudian rata-ratanya adalah S/4. Sekarang kita dapat

menemukan persentasi rata-rata dari penjumlahan, pertama dengan membagi

/ = . Langkah terakhir yaitu merubah ke dalam persen menjadi 25%.

Problem 3

Tentukan nilai dari :

2 + 4 + 6 + 8 + ⋯+ 34 + 36 + 383 + 6 + 9 + 12 + ⋯+ 51 + 54 + 57Solusi :

Cara klasik yang digunakan menjumlahkan seluruh bilangan pada pembilang dan

penyebut lalu membaginya dalam pecahan.

2 + 4 + 6 + 8 + ⋯+ 34 + 36 + 383 + 6 + 9 + 12 + ⋯+ 51 + 54 + 57 = 380570 = 23Namun, cara ini membutuhkan banyak usaha dan perhitungan dan menyebabkan

kita mudah melakukan kesalahan.

Menyelesaikan masalah dengan simpler analogous problem. Kita memulai dengan

satu bentuk pembilang dan penyebut kemudian dengan dua bentuk dan seterusnya.

= = =

= =

= = Dapat disimpulkan bahwa hasil dari :

88

2 + 4 + 6 + 8 + ⋯+ 34 + 36 + 383 + 6 + 9 + 12 + ⋯+ 51 + 54 + 57 = 23Cara alternatif yang juga menggunakan simpler analgous problem yaitu dengan

menyedehanakan bentuknya menggunakan faktornya :

2(1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ 17 + 18 + 19)3(1 + 2 + 3 + 4 + ⋯+ 17 + 18 + 19) = 23Problem 4

Pada gambar berikut, CD dan EF adalah bagian utara dan selatan tepi sungai dengan

lebar sungai 1 mil (lebar sungai dianggap sama). Jarak kota A 3 mil dari utara CD dan

jarak kota B 5 mil dari selatan EF dan 15 mil dari kota A. Jika menyeberangi sungai

hanya dapat melalui bagian tepi sungai yang tepat, tentukan jarak terpendek dari kota A

ke kota B !

Solusi :

Banyak cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah ini. Cara yang cerdas

yaitu menggunakan strategi simpler analogous problem. Kita dapat menggabungkan

tepi sungai CD dan EF, kemudian diperoleh jarak terpendek AB seperti pada gambar

berikut.

89

AB2 = 152 + 82 maka AB = 17. Karena sebelumnya terdapat pemindahan selebar 1 mil

pada persilangan titik H, sehingga jarak terpendeknya adalah 17 + 1 = 18 mil.

Problem 5

Pada akhir babak ketujuh dari suatu permainan bisbol, diperoleh skor, Thunder: 8 dan

Rifles : 8. Berapa banyak kemungkinan perolehan skor masing-masing tim pada akhir

babak ke enam?

Solusi :

Pendekatan yang paling sering digunakan untuk menyelesaikan soal di atas adalah

dengan mendaftar semua kemungkinan perolehan skor. Walaupun pendaftaran skor

dilakukan secara sistematis, ini akan menjadi tugas yang sulit, dan para siswa belum

tentu telah mendaftar semua kemungkinan yang ada. Sekarang kita akan melakukan

dengan cara yang berbeda, yaitu dengan menggunakan strategi simpler analogous

problem. Kita menggunakan penyederhanaan dengan menggunakan skor 0-0, 1-1, 2-2,

dan 3-3 untuk mencari polanya kemudian kita aplikasikan untuk mencari solusi dengan

skor 8-8.

Perhatikan tabel berikut

Skor Banyak

kemungkinan

Kemungkinan skor

0-0 1 0-0

1-1 4 0-1,1-0,0-0,1-1

2-2 9 2-0,0-2,2-1,1-2,0-0,0-1,1-0,1-1,2-2

3-3 16 3-0,0-3,3-1,1-3,3-2,2-3,2-1,1-2,2-0,0-2,1-0,0-1,0-0,1-1,2-

2,3-3

Dari tabel tersebut terlihat pola bahwa pada kolom banyak kemungkinan merupakan

kuadrat sempurna dengan aturan untuk skor − , maka terdapat banyak kemungkinan

perolehan skor sebanyak ( + 1) .

Dengan demikian solusi untuk skor 8-8 adalah (8 + 1) = 9 = 81.

90

Problem 6

Untuk memperlambat habisnya sebotol wine berukuran 16 ons, Bob memutuskan untuk

menentukan suatu aturan minum. Pada hari pertama, dia akan meminum 1 ons saja dan

menggantinya dengan air. Pada hari kedua, Bob meminum 2 ons dari wine campuran air

tersebut, dan sekali lagi memenuhi kembali botol tersebut dengan air. Pada hari ketiga,

Bob meminum 3 ons dari wine campuran tersebut dan kembali memenuhi botol dengan

air. Bob melakukan dengan cara yang sama hingga ia meminum habis 16 ons wine

campuran tersebut pada hari ke-16. Berapa ons air yang diminum oleh Bob?

Solusi :

Masalah ini biasanya diselesaikan dengan membuat tabel yang menunjukkan banyak

wine dan air dalam botol setiap harinya dan cenderung menghitung perbandingan

banyak masing-masing campuran wine dan air yang Bob minum setiap harinya. Kita

dapat memecahkan masalah ini dengan lebih mudah apabila menggunakan cara pandang

yang lain, yaitu “Berapa banyak air yang Bob tambahkan ke dalam botol setiap

harinya?” Perhatikan bahwa Bob menghabiskan isi botol seluruhnya pada hari ke-16,

berarti pada saat tersebut ia tidak menambahkan air ke dalam botol lagi. Hari pertama,

menambahkan 1 ons air, hari kedua menambahkan 2 ons air hingga hari ke-15

menambahkan 15 ons air. Sehingga, banyak air yang diminum oleh Bob adalah :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 120 ons

Ada suatu cara lain, dengan menggunakan pemecahan masalah serupa yang lebih

sederhana (simpler analogous problem) untuk digunakan menjawab dua pertanyaan

sekaligus, yaitu :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 − 16 =120 ons

Dari sini, kita dapat mengetahui bahwa banyak cairan yang diminum adalah 136 ons

dan banyak air yang diminum adalah 120 ons.

91

Problem 7

Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi (3 + 7) = 1.

Solusi :

Penggunaan penyelesaian cara aljabar biasa untuk masalah di atas menuntut

kemampuan aljabar yang bagus.

Bagaimanapun juga, dengan menggunakan penyelesaian masalah serupa yang lebih

sederhana (simpler analogous problem) dapat menemukan jawaban dari persamaan di

atas. Sebagai contoh, perhatikan = 1. Masalah ini lebih mudah untuk diselesaikan

dan didiskusikan. Persamaan tersebut memiliki nilai 1 jika bilangan basis a, adalah 1,

karena (1) = 1 untuk semua nilai b. Secara serupa, persamaan juga memiliki nilai 1

ketika pangkat b, adalah 0, karena = 1 untuk semua nilai a. Sekarang kita memiliki

cara untuk menyelesaikan masalah yang sebenarnya.

Kasus I:

Untuk bilangan basis sama dengan satu dengan sebarang pangkat, kita peroleh:

Kasus II:

Untuk bilangan pagkat sama dengan nol dengan sebarang basis, kita peroleh:

Kasus III:

Untuk bilangan basis sama dengan -1 dengan pangkat genap, kita peroleh:

3 + 7 = −1

92

= − , yang bukan merupakan bilangan bulat.

Kasus IV:

Untuk bilangan basis sama dengan nol dengan pangkat nol,kita peroleh:

3 + 7 = 0 menghasilkan = − sedangkan − 9 = 0 menghasilkan = ±3 (tidak

mungkin).

Jadi nilai yang mungkin adalah -2,-3, dan 3.

Problem 8

Dua kereta yang melayani rute dari chicago ke New York, dengan jarak 800 mil,

berangkat dari arah yang berlawanan pada waktu yang sama (sepanjang lintasan yang

sama). Kereta yang satu berjalan dengan kecepatan 60 mil per jam dan yang lain 40 mil

per jam. Pada waktu yang sama, seekor lebah terbang dari salah satu bagian depan

kereta menuju bagian depan kereta yang lain, dengan kecepatan 80 mil per jam. Setelah

menyentuh bagian depan kereta kedua, lebah berbalik arah dan terbang dengan

kecepatan yang sama menuju kereta pertama. Lebah bolak-balik melakukan hal yang

sama hingga kereta bertabrakan dan menghancurkan si lebah. Berapa mil jarak terbang

yang telah ditempuh lebah?

Solusi :

Cara yang biasa digunakan untuk menemukan jarak yang ditempuh lebah adalah dengan

menggambar. Selanjutnya, membuat persamaan berdasarkan hubungan kecepatan x

waktu sebagai jarak tempuhnya. Bagaimanapun juga, kita akan mengalami kesulitan

pada bagian bolak-balik yang dilakukan oleh lebah. Selain itu, penghitungan dengan

cara ini juga sulit dilakukan.

Pendekatan menggunakan simpler analogous problem (kita juga dapat mengatakan

menggunakan cara pandang yang berbeda) dapat menyelesaikan masalah di atas dengan

93

lebih mudah. Kita mencari jarak yang ditempuh lebah. Jika kita tahu waktu yang

digunakan lebah, kita akan dapat pula mengetahui jarak tempuhnya, karena kita telah

mengetahui berapa kecepatan lebah.

Waktu yang ditempuh oleh lebah dapat kita hitung dengan mudah, karena lebah terbang

selama seluruh waktu yang digunakan oleh kedua kereta (sebelum mereka saling

bertabrakan). Untuk menentukan waktu t, waktu tempuh kereta, kita menggunakan

persamaan sebagai berikut. Jarak tempuh kereta pertama 60t dan kereta kedua 40t. Jarak

total yang ditempuh oleh kedua kereta adalah 800 mil. Oleh karena itu, kita peroleh nilai

t sebagai berikut 60t+40t=800 dan t=8.

Jadi jarak tempuh lebah adalah(8)(80)=640 mil.

Problem 9

Tentukan hasil perkalian dari 0,333 x 0,666 !

Solusi :

Biasanya siswa menyelesaikan permasalahan ini dengan menggunkan kalkulator.

Dengan menggunakan cara simpler analogous problem, siswa cukup mencari ekivalen

dari kedua decimal tersebut dalam bentuk pecahan biasa yakni :

Kemudian tinggal mengalikan kedua pecahan tersebut menjadi :

Problem 10

Tentukan jumlah dari setiap koefisian dari binomial ( + ) 8

94

Solusi :

Dalam menyelesaikan permasalahan ini siswa biasanya menjabarkan bentuk ( + ) 8sehingga menemukan setiap koefisien yang membentuknya seperti dibawah ini :

Kemudian menjumlahkan setiap koefisien-koefisiennya :

Selain itu, cara lain yang biasa digunakan siswa adalah dengan mencari koefisien

kombinasinya :

Selanjutnya tinggal menjumlahkan koefisien-koefisiennya sehingga mendapatkan

jumlah keseluruhan adalah 256

Jika menggunakan cara simpler analogous problem, kita cukup mensubtitusikan x = y

= 1 kedalam bentuk ( + ) = ( + ) =( ) = 256

Problem 11

Sebuah tim Basket mengambil bagian dalam pertandingan Free-throw. Pemain pertama

mencetak x leparan bebas pada free-throw yang diambil. Pemain kedua mencetak y

lemparan bebas pada free-throw berikutnya. Sedangkan pemain ketiga membuat jumlah

lemparan bebas sebagai rata-rata dari jumlah lemparan bebas pemain pertama dan

kedua. Setiap penembak berikutnya dalam pertandingan ini mencetak rata-rata dari

jumlah lemparan bebas yang dilakukan oleh semua pemain sebelumnya. Berpakah

banyak lemparan bebas dari pemain ke 12 ?

95

Solusi :

Beberapa siswa mungkin mencoba untuk memecahkan masalah ini dengan mencari

rata-rata dari setiap giliran dari 12 pemain yang ada. Hal ini membutuhkan banyak

waktu dan usaha, dan sangat mudah terjadi kesalahan dalam manipulasi aljabar.

Sebaiknya, mari kita menyelesaikannya dengan cara simpler analogous problem.

Caranya dengan mensubtitusikan x dan y dengan angka-angka yang sederhana, dan

melihat hasil dari subtitusi tersebut. Misalkan permain pertama membuat 8 lemparan

bebas (x) dan pemain kedua membuat 12 lemparan bebas (y). Kemudian pemain ketiga

mendapatkan lemparan yang sama dengan rata-rata dari lemparan pemain pertama dan

kedua, yang berarti = = 10. Sekarang, pemain keempat mendapatkan lemparan

bebas sebanyak rata-rata dari jumlah lemparan ketiga pemain sebelumnya, yang berarti

= = 10. Sama halnya ketika pemain kelima mendapatkan kesempatan,

dimana jumlah lemparan yang didapatkan adalah rata-rata dari jumlah lemparan pemain

sebelumnya, yakni = = 10. Dalam hal ini kita dapat menarik kesimpulan

bahwa jumlah lemparan pemain ke 12 adalah 10 lemparan.

Problem 12

Misalkan kereta penumpang jalur Surabaya - Madiun selalu berangkat tiap jam dari

masing-masing kota. Dalam perjalanan dari Madiun ke Surabaya, suatu kereta shuttle

akan bertemu dengan banyaknya kereta shuttle yang lain dengan arah yang

berlawanan. Jika waktu yang dibutuhkan kereta untuk sekali jalan tepat 4 jam, berapa

nilai ?

Solusi:

Untuk menentukan kecepatan kereta dan melakukan simulasi untuk menghitung berapa

kereta yang lewat tentunya akan memakan banyak waktu.

Kita dapat menggunakan simpler analogous problem untuk mempermudah

memecahkan masalah tersebut. Perhatikan kasus berikut. Pada saat suatu kereta, sebut

96

kereta A, meninggalkan Madiun, misalkan pada pukul 14.00, maka ia akan bertemu

kereta yang berangkat dari Surabaya pukul 10.00. Dan ketika kereta A tiba di Surabaya

pada pukul 18.00 (lama perjalanan 4 jam), maka ia akan bertemu dengan kereta yang

akan meninggalkan Surabaya pada pukul 18.00. Jadi kereta A tersebut akan bertemu

dengan kereta yang berangkat dari Surabaya pada pukul 10.00,

11.00,12.00,13.00,14.00,15.00,16.00,17.00,18.00 (karena kereta berangkat tiap jam dari

masing-masing kota). Jadi total ada 9 kereta.