SUCESIONES Y SERIES

Una sucesión es una función, cuyo dominio es un conjunto de enteros positivos consecutivos. El dominio de una sucesión infinita son los enteros positivos y el codominio o rango es el conjunto de los números reales.

Con frecuencia representamos a las sucesiones mediante letras minúsculas, como a y los valores del rango mediante an, que

también se llaman los términos de la sucesión. Muchas veces las sucesiones se especifican enunciando su término general o enésimo término. Así, el término general de las

Sucesión, que antes era Y=X2 , se vuelve an=n2. Las Sucesiones es una función de los números Naturales con respecto a los números reales. F(x) : N R

an={f(n)} n=1,2,3,4……regla que define la sucesión. Para determinar una sucesión infinita se puede presentar dos formas:

1. Encontrar los términos a partir de la fórmula del n-ésimo término. 2. Definir la sucesión enunciando la fórmula n-ésimo término.

Ej) ¿Sea la sucesión 52nan, hallar los 5 primeros términos?

751*21a , 952*22a , 1153*23a , 1354*24a 1555*25a , 15,13,11,9,7na

Ej) ¿Sea la sucesión 2

1

n

nan

, hallar los 4 primeros términos?

01

1121a ,

4

1

2

1222a ,

9

2

3

1323a ,

16

3

4

1424a ,

16

3,

9

2,

4

1,0na

Ej) ¿Sea la sucesión n

nan

3

1, hallar los 5 primeros términos?

3

2

1*3

111a ,

2

1

6

3

2*3

122a ,

9

4

3*3

133a ,

12

5

4*3

144a ,

15

6

5*3

155a ,

15

6,

12

5,

9

4,

2

1,

3

2na

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 3, 6, 9, 12…….?

12,9,6,3na , 3*131a , 3*262a , 3*393a , 3*4124a Entonces la fórmula general es: nan 3

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 1, 3, 7, 15,….?

15,7,3,1na 11a , 12143 2

2a 12187 3

3a 1211615 4

4a Entonces la fórmula general es: 12n

na

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 2, 4, 8, 16, 32….?

32,16,8,4,2na 1

1 22a , 2

2 24a , 3

3 28a 4

4 216a , 5

5 232a

Entonces la fórmula general es: n

na 2

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión 1, 3, 5, 7, 9….?

9,7,5,3,1na 11*211a , 12*232a 13*253a , 14*274a 15*295a

Entonces la fórmula general es: 12nan

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo

término de la sucesión ......5

4,

4

3,

3

2,

2

1 ?

5

4,

4

3,

3

2,

2

1na ,

11

1

2

11a ,

12

2

3

22a ,

13

3

4

33a ,

14

4

5

41a

Entonces la fórmula general es: 1n

nan

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ......9

16,

7

9,

5

4,

3

1 ?

9

16,

7

9,

5

4,

3

1na

12

1

3

11a ,

12*2

2

5

4 2

2a , 13*2

3

7

9 2

3a , 14*2

4

9

16 2

4a

Entonces la fórmula general es: 12

2

n

nan

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ......5

1,

4

1,

3

1,

2

1 ?

5

1,

4

1,

3

1,

2

1na

11

1

2

11a ,

12

1

3

12a ,

13

1

4

13a ,

14

1

5

14a

Entonces la fórmula general es: 1

1

nan

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ......2

1,

5

2,

4

1,0,

2

1 ?

2

1,

5

2,

4

1,0,

2

1na

11

21

2

11a ,

12

2202a ,

13

23

4

13a

14

24

5

24a ,

2

1

6

3

15

25

2

15a

Entonces la fórmula general es: 1

2

n

nan

Ej): Encuentre la fórmula general, es decir el n-ésimo término de la sucesión ......8

7,

6

5,

4

3,

2

1?

8

7,

6

5,

4

3,

2

1na

1*2

11*2

2

11a

2*2

12*2

4

32a

3*2

13*2

6

53a

4*2

14*2

8

74a

Entonces la fórmula general es: n

nan

2

12

EJERCICIOS DE SUCESIONES Ej) ¿Halle los 5 primeros términos de cada sucesión?

( a)1

23n

nan , (b)

n

nan

23

( c )13* n

n na , (d)1

1

nan

( e)1n

nan , ( f)

3

11

na

n

n

( g ) 1

11

nnan ( h)

2

42

n

nan

( i )21 nn

nan , (j ) nn

na

2

SUMATORIA DE UNA SUCESION

Que sucede si nos piden averiguar la adición de muchos términos de una sucesión infinita, tendríamos que efectuar una adición de muchos sumandos y además diferentes, para tal caso vamos a introducir un nuevo concepto llamado sumatoria.

Los n primeros términos de la sucesión es:

n

n

nn aaaaaaaa1

654321 ....

Ej): Hallar la suma de los 5 primeros términos de la sucesión 24nan

25*424*423*422*421*45

1n

na

50181410625

1n

na

Ej): Hallar la suma de los 6 primeros términos de la sucesión n

nan

2

12

6*2

16*2

5*2

15*2

4*2

14*2

3*2

13*2

2*2

12*2

1*2

11*26

1n

na

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

16

1n

na

40

191

120

573

120

11010810510090606

1n

na

Ej): Hallar la suma de los 6 primeros términos de la sucesión n

a

n

n

11

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1 6543216

1n

na

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

6

1n

na

60

37

60

101215203060

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

6

1n

na

Ej): Evalúa las sumatoria: 10

5n

na sí:

n

nan

23

10

210*3

9

29*3

8

28*3

7

27*3

6

26*3

5

25*310

5n

na

10

32

9

29

8

26

7

23

6

20

5

1710

5n

na

5

16

9

29

4

13

7

23

3

10

5

1710

5n

na

7,191260

24811

1260

40324060409541404200428410

5n

na

Ej): Evalúa las sumatoria:

5

2n

na sí:

2*3 1n

na

2*32*32*32*3 151413125

2n

na

240162541865

2n

na

Ej): Evalúa las sumatoria:

3

1n

na sí: 1

23n

nan

13

3*2

12

2*2

11

1*2333

3

1n

na

126

209

252

418

252

54112252

28

6

9

41

3

1n

na

PROGRESION ARITMETICA

La progresión aritmética es una Sucesión en la cual todo término después del primero se obtiene sumando una constante al término anterior. En la progresión aritmética cada uno de sus componentes es un término y la diferencia constante entre sus términos es la razón: En la sucesión ascendente 3, 6, 9, 12, 15, 18 a=1 término = 3 r=razón =3 L=último término =18 N=número de términos =6 FORMULAS PROGRESION ARITMETICA

rnaL *1 rnLa *1 1n

aLr 1

r

aLn

La suma de los términos de una Sucesión se llama serie y cuando la sucesión es una progresión aritmética se denomina serie aritmética y está definida por la formula:

2

*nLaS

EJER CICIOS DE PR OGR ESION ES

AR ITM ETICAS

1) Ej: ¿hallar el octavo término de la siguiente progresión aritmética? 5, 10 ,15 ,20 ,25

rnaL *1 5*185L 40355L

2) Ej: ¿hallar el noveno término de la siguiente progresión aritmética? -3, -6, -9, -12, -15

rnaL *1 3193L 27243L

3)Ej: ¿hallar el primer término sabiendo que el quinto es 17 y la razón es 4 de la progresión aritmética?

rnLa *1 4*1517a 11617a

4) Ej: ¿hallar el primer término sabiendo que el octavo es 48 y la razón es 6 de la progresión aritmética?

rnLa *1 6*1848a

64248a 5) Ej: ¿Cuál será la razón de una progresión aritmética si el primer término es 6 y el quinto es 30?

1n

aLr

15

630r

64

24r

6) Ej: ¿insertar 10 términos entre los extremos de la progresión aritmética 12 y 45?

1n

aLr

112

1245r 3

11

33r

La serie es: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ,33, 36, 39, 42, 45 7) Ej: ¿cuántos términos tendrá una progresión aritmética, si el primero es 3, la razón es 7 y el último término es 45?

1r

aLn 1

7

345n 71

7

42n

8) Ej: ¿cuántos términos tendrá una progresión aritmética, si el primero es 4, la razón es 4 y el último término es 32?

1r

aLn 1

4

432n 81

4

28n

9) Ej: ¿cuál será la suma de la progresión aritmética: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63?

2

*nLaS

2

9*637S 315

2

630S

10) Ej: ¿Entre los extremos 25 y 60, insertar 6 términos, realizar la suma y escribir la progresión aritmética?

1n

aLr

18

2560r 5

7

35r

2

*nLaS

2

8*6025S 340

2

680S

2 5, 30, 35 , 40 , 4 5, 5 0, 55, 60

11) Ej: Se recibe un préstamo Bancario de $120.000, el cual se acuerda pagar mediante 12 pagos mensuales de $10.000 más interés sobre saldos, a razón del 5% mensual ¿qué cantidad de interés se paga en total?

CiI *1 000.6$000.120*05.01I

CiI *2 500.5$000.110*05.02I

CiI *3

000.5$000.100*05.03I

CiI *4 500.4$000.90*05.04I

El 1 pago= $10.000 + $6.000 = $16.000 El 2 pago= $10.000 + $5.500 = $15.500 El 3 pago= $10.000 + $5.000 = $15.000 El 4 pago= $10.000 + $4.500 = $14.500

rnaL *1 500112000.6L

500.50.5000.6L

2

*nLaS

2

12*500000.6S

000.39$2

000.78S

Deberá pagar $39.000 de intereses. 12) Ej: La Empresa de Pedro Márquez recibe un préstamo Bancario de $300.000, el cual se acuerda pagar mediante 10 pagos semestrales de $30.000 más interés sobre saldos, a razón del 10% semestral ¿qué cantidad de interés se paga en total?

CiI *1 000.30$000.300*1.01I

CiI *2 000.27$000.270*1.02I

CiI *3

000.24$000.240*1.03I

CiI *4 000.21$000.210*1.04I

El 1 pago= $30.000 + $30.000 = $60.000 El 2 pago= $30.000 + $27.000 = $57.000 El 3 pago= $30.000 + $24.000 = $54.000 El 4 pago= $30.000 + $21.000 = $51.000

rnaL *1 000.3110000.30L

000.3000.27000.30L

2

*nLaS

2

10*000.3000.30S 000.165$

2

000.330S

Deberá pagar $165.000 de intereses. 13) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo quinto término es -9, su diferencia común es -3 y su suma es-81? Primero se halla el primer término conociéndose el quinto término -9 y por lógica se sobre entiende que hay 5 términos y su diferencia -3

rnLa *1 3*159a 3129a Se combinan estas dos fórmulas para obtener una sola que me permita hallar en número de términos con respecto a la suma total de los términos que es -81

2

*nLaS rnaL *1

2

**1 nrnaaS

2

**12 nrnaS rna

nS *12

2 rnra

nS 2

2

Se ubican los valores en la fórmula final:

rnran

S 22

33322

81 nn

3362

81 nn

nn 39162 239162 nn 016293 2 nn

Se factoriza la ecuación cuadrática:

016293 2 nn 01839 nn 0183,09 nn Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva? 3n + 18 =0 donde n=-6 n – 9 = 0 donde n=9 Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 9

14) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo sexto término es -3, su diferencia común es 0.2 y su suma es-33? Primero se halla el primer término conociéndose el sexto término -3 y por lógica se sobre entiende que hay6 términos y su diferencia 0.2

rnLa *1 2.0*163a 413a

Se ubican los valores en la fórmula:

rnran

S 22

2.02.0422

33 nn

2.02.082

33 nn

nn 2.02.866 22.02.866 nn 0662.82.0 2 nn

Se factoriza la ecuación cuadrática:

0662.82.0 2 nn 02.22.030 nn 02.22.0,030 nn

Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva? 0.2n + 2.2= 0 donde n=-11 n -30 =0 donde n=30 Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 30

15) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo tercer término es 8, su diferencia común es 3 y su suma es 155? Primero se halla el primer término conociéndose el tercer término 8 y por lógica se sobre entiende que hay 3 términos y su diferencia 3

rnLa *1 3*138a 268a Se ubican los valores en la fórmula:

rnran

S 22

33222

155 nn

3342

155 nn

nn 31310 23310 nn 03103 2 nn

Se factoriza la ecuación cuadrática:

03103 2 nn 031310 nn 0313,010 nn Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva? 3n + 31= 0 donde n = -31/3 n -10 =0 donde n = 10 Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 10

16) Ej: ¿cuántos términos tiene una progresión aritmética cuyo primer término es -2, su diferencia común es ¼ y la suma de sus términos es 21?

Se ubican los valores en la fórmula:

rnran

S 22

4/14/1222

21 nn

4/14/42

21 nn

4/4/1742 nn 4/4/1742 2nn 217168 nn 0168172 nn

Se factoriza la ecuación cuadrática:

0168172 nn 0724 nn 07,024 nn Como la progresión no puede tener números negativos, la solución es la positiva?

n - 24= 0 donde n = 24 n + 7 =0 donde n = -7 Entonces el número de términos de la progresión aritmética descrita es 24 17) Ej: ¿Un montón de troncos tiene 24 de ellos en la primera capa, 23 en la segunda, 22 en la tercera y así sucesivamente, ¿si la última capa contiene 10 troncos, ¿cuántos troncos hay en total?

1r

aLn 1

1

2410n

15114n

2

*nLaS

2

15*1024S

cos2552

15*34tronS

18) Ej: ¿Un niño decide hacer una pirámide con los cubos que tiene de tal forma que cada etapa tiene un cubo menos que el anterior, ¿cuántos cubos forman la pirámide si en la base hay 6 cubos?

1r

aLn 1

1

61n

615n

2

*nLaS

2

6*16S

cubosS 212

6*7

18) Ej: ¿Un niño decide hacer una pirámide con los cubos que tiene de tal forma que cada etapa tiene un cubo menos que el anterior, ¿cuántos cubos forman la pirámide si en la base hay 6 cubos?

1r

aLn 1

1

61n 615n

2

*nLaS

2

6*16S cubosS 21

2

6*7

19) Ej: ¿Cuánto ganó un profesor de matemáticas en 8 años si su sueldo inicial fue de $800.000 y recibió aumentos anules de $230.000?

rnaL *1 000.230*18000.800L 000.410.2000.610.1000.800L

2

*nLaS

2

8*000.410.2000.800S 000.840.12$

2

8*000.210.3S

20) Ej: ¿En un teatro hay en la primera fila 20 asientos y tres asientos mas en cada una de las filas restantes, ¿cuántos asientos hay en las primeras 9 filas?

rnaL *1 3*1920L 442420L

2

*nLaS

2

9*4420S as ien tosS 288

2

8*64

21) Ej: ¿La tarifa de un taxi es de $2.000 por km y $1.200 por cada km adicional , ¿Cuánto se paga por un recorrido de 15 kms?

rnaL *1 200.1*115000.2L 800.18800.16000.2L

2

*nLaS

2

15*800.18000.2S 000.156

2

15*800.20S

22) Ej: Daniel ahorró $20.000 el primer mes. Si en los siguientes meses incrementa su ahorro en $5.000 mensuales, ¿qué cantidad tiene ahorrada al cabo del 5 mes?

rnaL *1 000.5*15000.20L 000.40000.20000.20L

2

*nLaS

2

5*000.40000.20S

000.150$2

5*000.60S

23) Ej: La calificación de Carlos Alberto fue de 3.1 en el primer de siete exámenes de matemáticas. Si en cada examen siguiente obtuvo 0.5 más que en examen anterior, ¿cuánto obtuvo en el último examen?.

rnaL *1 5.0*171.3L 1.60.31.3L

INTERES SIMPLE

CONCEPTOS FUNDAMENTALES Es importante estudiar la terminología, los conceptos y símbolos fundamentales en los cuales están basadas las matemáticas financieras. Las matemáticas financieras son una Herramienta que facilita la toma de decisiones económico-financieras. EQUIVALENCIA Este concepto es generado tanto por el valor del dinero a través del tiempo, como por la tasa de interés aplicada. El principio de equivalencia establece: una o varias sumas de dinero, pueden transformarse en otra u otras equivalentes, ubicadas en fechas distintas, siempre y cuando la tasa de interés utilizada para efectuar las transformaciones, satisfaga a ambas partes de la negociación. Equivalencia del dinero en años diferentes

tasa anual

Índice equivalencia 2009 2010 2011

8% 1.08 $ 439.814,80 $ 475.000 $ 513.000

12% 1.12 $ 513.392,85 $ 575.000 $ 6.44.000

15% 1.15 $ 765.217,40 $ 880.000 $ 1.012.000

20%

1.20

$ 1.000.000

$ 1.200.000

$ 1.440.000

SIMBOLOS Durante el desarrollo de los temas se utilizaran los siguientes símbolos, cada texto cambia la totalidad o alguno de estos símbolos según los convencionalismos usados: P: valor presente de una suma de dinero C: cantidad de dinero depositado M: es el capital inicial más los intereses F: valor futuro de una suma de dinero A: serie de cantidades periódicas e iguales de dinero n: número de periodos: años, meses, trimestres, bimestres, días, ects… i: tasa de interés aplicado para el periodo acordado y se expresa como la relación que existe entre el número porcentual y 100. FLUJO DE CAJA Es el resultado de comparar ingresos y egresos de dinero: este puede ser positivo o negativo Flujo de caja= Ingreso – Egreso Tabulación flujo de caja: Es la presentación esquemática del flujo de caja. FLUJO DE CAJA

Año Ingreso Egreso saldo flujo de caja

2007 $ 5.000.000 $ 4.000.000 $ 1.000.000

2008 $ 8.000.000 $ 5.000.000 $ 3.000.000

2009 $ 10.000.000 $ 8.000.000 $ 2.000.000

2010 $ 9.500.000 $ 12.500.000 -$ 3.000.000

Diagrama de flujo de caja Es la presentación gráfica de los flujos de caja. Las flechas hacia arriba indican entrada de dinero y hacia abajo salidas. Cada número indica el periodo de capitalización.

Una progresión es una serie que se rige por leyes fijas y el interés simple es la aplicación de la progresión aritmética que se define como una serie en la cual cada término se forma al sumar al anterior una cantidad fija llamada razón. El interés (I) es el dinero pagado por recibir o depositar una suma de dinero llamada capital (Ċ) durante un tiempo (n) dado, una tasa de interés (i) pagada o cobrada. La tasa de interés (i) es el resultado de dividir el interés ganado o pagado entre la suma depositada o recibida.

%C

Ii

INTERES SIMPLE: (I) Es cuando el capital recibido o invertido permanece fijo durante el tiempo que dure la transacción, es decir, que al final de la operación financiera se hace efectivo y por consiguiente no se acumula al capital. El interés simple se caracteriza por: La tasa de interés se aplica únicamente sobre el capital

inicial que se invierte u otorga en préstamo.

El capital inicial permanece invariable en el tiempo que dura la operación

El interés es igual para cada uno de los periodos del plazo de la operación

CinI ICM

.....CinCinCinCM inPF 1

Por ser el interés simple una progresión aritmética, su grafica es una línea recta, es decir cada año el interés es constante. INTERESES ANTICIPADOS: Son los que se pagan en el momento de la inversión.

INTERESES VENCIDOS: Son los que se acuerdan que el rendimiento de la inversión se cancele al cumplir el Plazo pactado. CAPITAL o VALOR PRESENTE: (C) o (P) Es la cantidad de dinero base de la operación del préstamo. TIEMPO: (n) Es el tiempo que dura la operación de imposición del capital y que se puede especificar en años, meses, días etcs…. TASA o TANTO POR CIENTO: (i) se expresa como la relación que existe entre el número porcentual y 100 y cuando al tanto se le especifica un tiempo o periodo determinado recibe el nombre de tasa; ese periodo puede ser anual, semestral, bimestral, mensual etcs….. MONTO o VALOR FUTURO: (M) o (F) Es la cantidad de dinero que resulta al sumar el capital Inicial más los intereses.

Las formulas quedan: CinI ICM CinCM inPF 1 Ej: Se depositan $1.000.000 a una tasa del 10% anual simple durante 4 años, cual será el interés producido y el monto?

000.1001*10.0*000.000.1I , 000.2002*10.0*000.000.1I , 000.3003*10.0*000.000.1I

000.4004*10.0*000.000.1I

i=10% 1 año 2 año 3 año 4 año

Ċ $ 1.000.000 $ 1.000.000 $ 1.000.000 $ 1.000.000

I $ 100.000 $ 200.000 $ 300.000 $ 400.000

M $ 1.100.000 $ 1.200.000 $ 1.300.000 $ 1.400.000

INTERES

$ 500.000

$ 400.000

$ 300.000

$ 200.000

$ 100.000

1 2 3 4 5

AÑOS

Interés Simple Acumulado

n= años Interés anual Interés acumulado

1 $ 100.000 $ 100.000

2 $ 100.000 $ 200.000

3 $ 100.000 $ 300.000

4 $ 100.000 $ 400.000

CALCULO DEL INTERES SIMPLE

1)EJ: Encontrar el interés producido por un capital de $ 1.500.000 depositado por el señor Pedro Díaz, durante un periodo de 4 años a una tasa del 12.5% anual? I=? Ċ= $1.500.000 n=4 años i= 12.5% anual

000.7504*125.0*000.500.1I

2)EJ: Que interés produce un capital de $2.200.000 al 6.6% semestral durante un periodo de 3 años y 10 meses? I=? Ċ=$2.200.000 n= 3 años y 10 meses = 46 meses

i=6.6 % semestral = 1.1% mensual CinI

200.113.146*011.0*000.200.2$I 3)Jaime hace u deposito de $1.000.000 por un año, en una Entidad Financiera, que le reconoce una tasa del 7.5% trimestral, el interés es cancelado al final del año, ¿Qué suma recibe? I=?

Ċ=$1.000.000 n= 1 año = 4 trimestres

i=7.5% trimestral CinI

000.3004*075.0*000.000.1$I

4) Carlos hace un depósito de $50.000 por 6 meses, en el Banco de Colombia que le reconoce una tasa de interés del 4% trimestral, ¿Qué interés recibe Carlos? I=? Ċ=$50.000 n= 6 meses = 2 trimestres

i=4% trimestral CinI

000.42*04.0*000.50$I

5) El señor Jairo Bermúdez obtiene un préstamo de $5.000.000 y acepta liquidarlo dentro de de año y medio y acuerda pagar unos intereses del 2.5% mensual ¿Cuánto deberá pagar de interés al mes y al año y medio? I=? Ċ=$5.000.000 n= 1 año y medio =18 meses

i=2.5% trimestral CinI

000.1251*025.0*000.000.5$I 000.250.218*025.0*000.000.5$I

6) EJ: Que interés produce un capital de $1.200.000 al 3 % Bimestral durante un periodo de 1 años y 3 meses y 15 días? I=? Ċ= $1.200.000 n=1 año, 3 meses y 15 días = 465 días

i= 3% bimestral = 0.05% diario CinI

000.279465*0005.0*000.200.1I 7) EJ: Cual es el capital que impuesto a la tasa del 14.5% anual ha producido $3.000.000 en 4 años? C=? I= $3.000.000 n=4 años

i= 14.5% anual in

IC

79,413.172.5

4*145.0

000.000.3C

8) EJ: La sección de ahorros del banco popular liquida el interés a sus clientes, sobre saldos en trimestre calendario y reconoce una tasa de interés del 4.25%; si Luz Miriam recibió $ 60.000 de interés cada trimestre, ¿Qué suma deposito? C=? I= $60.000 n=1 trimestre

i= 4.25% trimestral in

IC

71,764.411.11*0425.0

000.60C

9) EJ: los Intereses producidos en 3 años y 6 meses alcanzan la cifra de $1.500.000 a una tasa del 7.5% semestral, se desea conocer el capital base de dicha operación? C=? I= $1.500.000 n= 3 años y 6 meses = 7 semestres

i= 7.5% semestral in

IC

86,142.857.27*075.0

000.500.1C

10) EJ: Un capital de $1.000.000 ha producido intereses por la cantidad de $ 80.000 en 350 días, a que tasa anual fue colocado? i=? I= $80.000 Ċ= $1.000.000

n=350 días Cn

Ii

360

0823.0350*000.000.1

000.80*360i

anuali %23.8 11) EJ: Doris Navarro compra un radio por $150.000, paga unos intereses de $30.000 en 6 meses, ¿Qué tasa de interés pago? i=? I= $30.000 Ċ= $150.000

n=6 meses Cn

Ii

03333.0

6*000.150

000.30i

mensuali %33.3 12) EJ: Si por un deposito $2.000.000 realizado a un año por Juan Navarro en una cuenta de ahorros pagan $200.000 por concepto de intereses, ¿ Que tasa de interés trimestral reconoce la Entidad bancaria? i=? I= $200.000 Ċ= $2.000.000

n=12 meses = 4 trimestres Cn

Ii

025.0

4*000.000.2

000.200i

trimestrali %5.2 13) EJ: Por un depósito de 5.000.000 la Corporación Financiera liquida $100.000 de interés mensual, ¿Qué tasa de interés se reconoce? i=? I= $100.000 Ċ= $5.000.000

n=1 mes Cn

Ii

02.0

1*000.000.5

000.100i

mensuali %2 14) EJ: Mario Castañeda desea saber cuánto tiempo en años, meses y días debe tener invertidos $800.000 para que produzca una ganancia de $ 120.000 a una tasa del 6.75% semestral? n= ¿ Ċ= $800.000 I= $120.000

i=6.75% semestral Ci

In

180

400

0675.0*000.800

000.120*180n

díasn 400

añosn 11.1360

400

mesesn 32.112*11.0 díasn 1030*32.0

diasmesañon 10,1,1

15) EJ: José Bautista desea saber cuánto tiempo en años, meses y días debe tener invertidos un capital $ 1.000.000 para que le reditúen un interés de $ 250.000 a una tasa del 4.5% trimestral? n= ¿ Ċ=$1.000.000 I= $250.000

I= 4.5% trimestral = 0.05% diario Ci

In

5000005.0*000.000.1

000.250n

díasn 500

añosn 3888888889.1360

500

mesesn 666666667.412*388888888.0 díasn 2030*66666666.0

diasmesesañon 20,4,1

16) EJ: hace un deposito Juan Carlos por $1.500.000 en una Institución Financiera, que paga el 2.5% mensual,¿ cuánto tiempo debe dejarse el depósito para obtener por concepto de intereses la suma de $450.000? n= ¿ Ċ=$1.500.000 I= $450.000

I= 2.5% mensual Ci

In

12025.0*000.500.1

000.450n

mesesn 12 17) EJ: La empresa Noel emitió bonos en el 2000 con una tasa de interés del 23% anual, si María Cristina compro un bono de $50.000 y obtuvo $57.500 por concepto de interés en todo el plazo, ¿cuál es el periodo en años en que estuvo el bono en liquidación? n= ¿

Ċ=$50.000 I= $57.500

I= 23% anual Ci

In

5

23.0*000.50

500.57n

añosn 5

VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE EN INTERES SIMPLE P: valor presente de una suma de dinero C: cantidad de dinero depositado M: es el capital inicial más los intereses F: valor futuro de una suma de dinero A: Serie de cantidades periódicas e iguales de dinero (Anualidad) n: Número de periodos: años, meses, trimestres, bimestres, días, ects… i: tasa de interés aplicado para el periodo acordado y se expresa como la relación que existe entre el número porcentual y 100.

FORMULAS

P

Ii

PFI

CinI

ICM CinCM inCM 1

inPF 1 in

FP

1

11

P

F

in

Pi

PFn

11

P

F

ni Pn

PFi

EJERCICIOS INTERES SIMPLE, VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

1) EJ: ¿Que cantidad de dinero debe depositar ahora Pedro Medina a interés simple en una cuenta que paga el 12% anual si se desea retirar al final del tercer periodo $ 1.000.000? P=? F=$1.000.000 n= 3 años

i= 12% anual in

FP

1

294.735)3*12.0(1

000.000.1P

2) EJ: Juan Pablo participa en un sorteo y le tocó el decimo octavo mes para cobrar y recibe $3.200.000, ¿cuánto debe depositar inicialmente para participar, sabiendo que reconocen una tasa del 1% mensual? P=? F=$3.200.000 n= 18 meses

i= 1% mensual in

FP

1

41,864.711.2)18*01.0(1

000.200.3P

3) EJ: ¿Luis Castro presta hoy $4.200.000 a un interés del 6% Bimestral, ¿ al final de los 18 meses que valor debe recibir? F=? C=$4.200.000 n= 18 meses = 9 bimestres

i= 6% bimestral inPF 1 000.468.6)9*06.01(000.200.4F

4) EJ: Que tasa anual se está aplicando, si por $500.000 que coloca Juan Ramírez durante 4 años recibe al final del periodo $ 800.000?

11

P

F

ni

15.01

000.500

000.800

4

1i

anuali %15

Pn

PFi

15.0

4*000.500

000.500000.800i

anuali %15

5) EJ: Cuanto tiempo debe esperar Luis Cárdenas para que un capital de $4.000.000 se convierta en $5.600.000 a un interés de 2% mensual simple?.

11

P

F

in

1

000.000.4

000.600.5

02.0

1n

14.150n

mesesn 204.050

Pi

PFn

mesesn 20

02.0*000.000.4

000.000.4000.600.5

6) Ej: Juan Caicedo tiene un capital de $10.000.000 y lo invierte a una tasa del 12% anual, ¿ cuál es el valor de los Intereses producidos en 18 meses? I=? Ċ=$10.000.000 n= 18 meses i=12% anual = 1% mensual

CinI

000.800.118*01.0*000.000.10$I

7) Ej: Cuál será el capital que coloca Ana Becerra al 8% anual, el cual produce en 2 años unos interés de $720.000? Ċ=? I= $720.000 n= 8 años i=8% anual

in

IC

000.500.4

2*08.0

000.720C

8) Ej: Cuál será la tasa de interés anual a la que fue colocado un capital de $4.000.000 por Carmen Botello, para que en 42 meses produjera unos intereses de $800.000? i=? Ċ=$4.000.000 I= $800.000 n=42 meses 3.5 años

Cn

Ii

05714.0

5.3*000.000.4

000.800i

anuali %71.5

9) Ej: Durante cuánto tiempo en días debe imponerse un capital de $7.200.000 para que al 18% anual produzca unos interés de$1.800.000? n=? Ċ=$7.200.000 I=$1.800.000 i=18% anual = 0.05% diario

Ci

In

díasn 500

0005.0*000.200.7

000.800.1

10) Ej: Si Pedro Rojas deposita $3.500.000 y al cabo de cinco meses gana $70.000 de intereses, cuál es la tasa de interés mensual de la transacción? i=? I= $70.000 P=$3.500.000

P

Ii

02.0

000.500.3

000.70i

mensuali %2

11) Ej: Antonio Castro presta hoy $20.000.000 a un interés del 1.5% mensual, ¿Cuánto es lo que recibe al final de los 24 meses?

F=? P= $20.000.000 i=1.5 % mensual n= 24 meses

inPF 1 000.200.27)24*015.01(000.00.20F

12) Ej: ¿Cuál será el valor acumulado de un capital de $1.548.000, que se prestó durante 300 días a una tasa del 18% anual? F=? P= $1.548.000 i=18% anual 1.5% mensual n=300 días = 10 meses

inPF 1 200.780.110*015.01000.548.1F

13) Ej: ¿Que capital fue prestado por Martha Díaz a la tasa del 15% anual, si al vencimiento de los 360 días se recibió el pago de $7.500.000? P=? F= $7.500.000 i=15% anual n=360 días = 1 año

in

FP

1 13,739.521.6

1*15.01

000.500.7P

14) Ej: El valor Final que ha recibido Betty Díaz como pago de un préstamo es de $12.250.000, el tiempo que estuvo vigente el préstamo es de 1 año y 6 meses a la tasa del 18% anual. Qué capital se prestó? P=? F= $12.500.000 i=18% anual 1.5% mensual n= 1 año,6meses = 18 meses

in

FP

1 3,669.645.9

18*015.01

000.250.12P

15) Ej: La señora Carmen Bautista debe cancelar dentro de 20 meses la suma de $ 14.200.000 a un interés del 2.5 mensual. ¿Cuál era el valor inicial de la obligación?

P=? F= $14.200.000 i=2.5% mensual n=20 meses

in

FP

1

67.666.466.920*025.01

000.200.14P

16) EJ: ¿Que tasa mensual se está aplicando, si por $2.000.000 que coloca Juan Díaz a interés simple durante 40 meses se recibe al final $ 4.000.000? i=? F= $4.000.000 P=$2.000.000 n=40 meses

n

P

F

i

1

025.040

1000.000.2

000.000.4

i

mensuali 5.2

Pn

PFi

025.0

40*000.000.2

000.000.2000.000.4i

mensuali 5.2

17) EJ: ¿Que tasa semestral se está aplicando, si por $1.500.000 que coloca Pedro Bautista a interés simple durante 4 años se recibe al final $ 3.000.000? i=?

F= $3.000.000 P=$1.500.000 n=4 años = 8 semestres

n

P

F

i

1

125.0

8

1000.500.1

000.000.3

i

semestrali 5.12

Pn

PFi

125.0

8*000.500.1

000.500.1000.000.3i

semestrali 5.12

18) EJ: Jairo Rojas compra una automóvil el 1 de Enero de 2009 en $10.000.000 y lo vendió 16 meses después en $16.000.000, ¿que tasa de interés mensual le rindió su inversión? i=? F= $16.000.000 P=$10.000.000 n= 16 meses

n

P

F

i

1

03 75.0

16

1000.000.10

000.000.16

i

mensuali 75.3

Pn

PFi

0375.0

16*000.000.10

000.000.10000.000.16i

mensuali 75.3

19) EJ: ¿Cuánto tiempo debe esperar Luis Jácome para que un capital de $2.500.000 se convierta en $5.000.000 a un interés de 2.5% mensual simple?. n=? F= $5.000.000 P=$2.500.000 i=2.5% mensual

i

P

F

n

1

mese sn 40

025.0

1000.500.2

000.000.5

Pi

PFn

mesesn 40025.0*000.500.2

000.500.2000.000.5

20) EJ: ¿Cuánto tiempo meses debe esperar Sergio Santos para que un capital de $2.500.000 se convierta en $4.000.000 a un interés de 4% semestral simple?. n=? F= $4.000.000 P=$2.500.000 i= 4% semestral

i

P

F

n

1

s eme s t r e sn 1504.0

1000.500.2

000.000.4

mesesn 906*15

Pi

PFn

semestresn 1504.0*000.500.2

000.500.2000.000.4

mesesn 906*15

21) EJ: ¿ En cuánto tiempo en años, meses y días Luis Pérez triplica un capital, si se paga a una tasa de interés del 16% anual? n=? F= $3 P=$1 i= 16% anual

i

P

F

n

1

a ño sn 5.12

16.0

11

3

mesesañosn 6,12

TALLER GRUPAL DE INTERES SIMPLE, VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO

CinI in

IC

Cn

Ii

Ci

In

inPF 1 in

FP

1 n

P

F

i

1

i

P

F

n

1

1)Ej: Juan Caicedo tiene un capital de $10.000.000 y lo invierte a una tasa del 12% anual, ¿ cuál es el valor de los Intereses producidos en 18 meses? 2)Ej: Cuál será el capital que coloca Ana Becerra al 8% anual, el cual produce en 2 años unos interés de $720.000?

3)Ej: Cuál será la tasa de interés anual a la que fue colocado un capital de $4.000.000 por Carmen Botello, para que en 42 meses produjera unos intereses de $800.000? 4)Ej: Durante cuánto tiempo en días debe imponerse un capital de $7.200.000 para que al 18% anual produzca unos interés de$1.800.000?

5)Ej: Si Pedro Rojas deposita $3.500.000 y al cabo de cinco meses gana $70.000 de intereses, cuál es la tasa de interés mensual de la transacción?

6)Ej: Antonio Castro presta hoy $20.000.000 a un interés del 1.5% mensual, ¿Cuánto es lo que recibe al final de los 24 meses? 7)Ej: Cuál será el valor acumulado de un capital de $1.548.000, que se prestó durante 300 días a una tasa del 18% anual?

8)Ej: Que capital fue prestado por Martha Díaz a la tasa del 15% anual, si al vencimiento de los 360 días se recibió el pago de $7.500.000?

9)Ej: El valor Final que ha recibido Betty Díaz como pago de un préstamo es de $12.250.000, el tiempo que estuvo vigente el préstamo es de 1 año y 6 meses a la tasa del 18% anual. Qué capital se prestó?

10)Ej: La señora Carmen Bautista debe cancelar dentro de 20 meses la suma de $ 14.200.000 a un interés del 2.5 mensual. ¿Cuál era el valor inicial de la obligación?

11)EJ: ¿Que tasa mensual se está aplicando, si por $2.000.000 que coloca Juan Díaz a interés simple durante 40 meses se recibe al final $ 4.000.000?

12)EJ: ¿Que tasa semestral se está aplicando, si por $1.500.000 que coloca Pedro Bautista a interés simple durante 4 años se recibe al final $ 3.000.000?

13)EJ: ¿Jairo Rojas compra una automóvil el 1 de Enero de 2009 en $10.000.000 y lo vendió 18 meses después en $16.000.000, ¿qué tasa de interés mensual le rindió su inversión?

14)EJ: ¿Cuánto tiempo debe esperar Luis Jácome para que un capital de $2.500.000 se convierta en $5.000.000 a un interés de 2.5% mensual simple?.

15)EJ: ¿Cuánto tiempo en meses debe esperar Sergio Santos para que un capital de $2.500.000 se convierta en $4.000.000 a un interés de 4% semestral simple?. 16)EJ: ¿ En cuánto tiempo en años, meses y días Luis Pérez triplica un capital, si se paga a una tasa de interés del 16% anual?