Quantizzazione canonica. Teorema di Noether Tensore ...ragusa/2019-2020/elettrodeboli...Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 176 Quantizzazione canonica yAnche nel caso continuo

prof. Francesco RagusaUniversità di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2019-2020

Lezione n. 821.10.2019

Quantizzazione canonica. Teorema di NoetherTensore energia impulso

Invarianza di gauge globale

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 176

Quantizzazione canonicaAnche nel caso continuo si può utilizzare il formalismo Hamiltoniano

Dobbiamo trovare il momento coniugato della variabile dinamicaLa variabile dinamica è il campo φ

La densità Hamiltoniana è

A questo punto si può procedere come nel caso della quantizzazione dell’oscillatore armonico unidimensionale

Si trasformano la variabile dinamica φ e il suo momento coniugato π in operatori

Osserviamo che si tratta di operatori dipendenti dal tempoIn realtà di famiglie di operatori che dipendono dal "parametro" r

Si impongono regole canoniche di commutazione fra la variabile dinamica e il momento coniugato corrispondente

Lp

q∂

=∂

πφ

∂=

∂L

( ),H p q pq L= − ( ) ( ), , ,μ μπ φ φ πφ φ φ∂ = − ∂H L ( ) 3, ,H d xμπ φ φ= ∂∫ H

φ φ π π→ → ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,t t t tφ φ π π→ →r r r r

( ) ( )[ ],q it tp = ( ) ( ) ( )3, , , it tφ π δ⎡ ⎤′ ′= −⎣ ⎦r r r r Attenzione: t è lo stesso per i due operatori


Quantizzazione canonicaPoiché rappresenta una famiglia di operatori occorre fissare anche la regola di commutazione per i due operatori distinti

Analogamente

Adesso vogliamo trovare una relazione per trovare a e a† in funzione di φ e πRichiamiamo la rappresentazione del campo che abbiamo già utilizzato

Calcoliamo il momento coniugato

Consideriamo adesso l’espressione

( ),tφ r( ) ( ), ,t tφ φ ′r re

( ) ( ), , , 0t tφ φ⎡ ⎤′ =⎣ ⎦r r

( ) ( ), , , 0t tπ π⎡ ⎤′ =⎣ ⎦r r

( )

( )

3†

3

122

ik x ik xdx a e a eφ

ωπ− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k k

k

( ) ( )( )

( )3

†3

1

22

ik x ik xdx x i a e a eπ φ ω

ωπ

− ⋅ + ⋅⎡ ⎤≡ = − −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk

2 2E mω ≡ = +k kper semplificare la notazione

0p iφ π+

( )( )

3†

3

1

22

ik x ik xda a ei ei ω

ωπ

− ⋅ + ⋅⎡ ⎤+ −− ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk

( )0

3†

3

1

22

ik x ik xda e a ep

ωπ

− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kk

( )( ) ( )0 0

3†

3

1

22

ik x ik xda e p a ep ω ω

ωπ

− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦+ −∫ k kk

0p φ iπ

( ),k ω= k


Quantizzazione canonica

Consideriamo adesso l’integrale ( p = (p0, p) )( )

( ) ( )3

†03

0 0122

ik x ik xdp i a e p a ep ω ωφ π

ωπ− ⋅ + ⋅+⎡ ⎤+ = +⎣ − ⎦∫ k k

k

( )0 302

ip xep i d

pφ π

⋅+∫ r ( )

0

0 302

ip t ie ep i d

pφ π

− ⋅= +∫

p rr

( )( ) ( ) 0

3† 3

30

001

2 4i t i i t i ip t id

a ep pe a e e e e dp

ω ωω ωπ ω

− + ⋅ + − ⋅ − ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦+ −∫ ∫ k r k r p rk k

kr

= −k p 0p ω=

( )( ) 00

33

3 0

12 4

i t i ip t ida e e e e d

pp ωω

π ω− + ⋅ − ⋅⎡ ⎤= ⎣ ⎦+∫ ∫ k r p r

kk

r

( )( ) ( ) ( ) ( )

0 300

33

1 1

22

2

pi t

pa e dp

ω π δπ

ω −−⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎢+

⎥⎣ ⎦∫ k p k k a= p

( )0 302

ip xep i d a

pφ π

⋅+ =∫ pr Notiamo che è

indipendente dal tempo

( )δ +p k

( )δ −p k=k p 0p ω=

( ) 3a dδ= −∫ k p k k

02p

0


Quantizzazione canonicaAnalogamente si dimostra che

A questo punto possiamo verificare che le relazioni di commutazione sui campi implicano le regole di commutazione sugli operatori di creazione e distruzione

( )0 302

ip xep i d a

pφ π

⋅+ =∫ pr( )0 3 †

02

ip xep i d a

pφ π

− ⋅− =∫ pr

( ) ( )( ) ( ) ( )( )† 0 0 3 30 0

, ,2 2

ik x ip xe ea a k x i x p x i x d d

k pφ π φ π

′⋅ − ⋅⎡ ⎤⎡ ⎤ ′ ′ ′= + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫k p r r

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0 0

0 0 3 30 0

,2 2

i k p ti ie

k x i x p x i x e e d dk p

φ π φ π−

′⋅ − ⋅⎡ ⎤′ ′ ′= + −⎣ ⎦∫ k r p r r r

( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0,k x i x p x i xφ π φ π⎡ ⎤′ ′+ − =⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0 0 0 0, , , ,k p x x ik x x ip x x x xφ φ φ π π φ π π⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′ ′= − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )0 0iik i i pδ δ′ ′= − − + − −r r r r ( ) ( )0 0k p δ ′= + −r r

x e x′ hanno lo stesso t


Quantizzazione canonica

Analogamente si possono verificare le altre regole di commutazioneSi potrebbe anche verificare la relazione inversa

Le regole di commutazione sugli operatori di creazione e distruzioneimplicano le regole di commutazione sui campi

Concludiamo che i due insiemi di regole sono equivalenti

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )0 0

† 0 0 3 30 0

, ,2 2

i k p ti i

ke

a a k x i x p x i x e e d dk p

φ π φ π−

′⋅ − ⋅⎡ ⎤⎡ ⎤ ′ ′ ′= + − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ k r p rp r r

( ) ( )( )0 0

0 0 3 30 02 2

i k p ti ie

k p e e d dk p

δ−

′⋅ − ⋅′ ′= + −∫ k r p rr r r r

( )( )

( )

0 0

0 0 30 02 2

i k p tie

k p e dk p

−− − ⋅= +∫ p k r r

( ) ( )( ) ( )

0 00 03

0 02

2 2

i k p tk p e

k pπ δ

−+= −p k ( ) ( )32π δ= −p k

( ) ( )0 0k p δ ′+ −r r

0 0p k=

( )δ −p k

= 1


Calcolo dell’HamiltonianaPer continuare a fare pratica con gli operatori di campo e le regole di commutazione possiamo esprimere l’Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e distruzione per il campo di Klein-Gordon reale

( ) ( ), , ,μ μπ φ φ πφ φ φ∂ = − ∂H L [ ]212 mμ

μφ φ φφ= ∂ ∂ −L

21 12 2m

μμφφ φ φ φφ= − ∂ ∂ +H 21

2 mφφ φ φ φφ⎡ ⎤= + ∇ ∇ +⎣ ⎦

( )

( )

3†

3

122

ik x ik xdx a e a eφ

ωπ− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k k

k

3H d= ∫ rH

( )

( )

3†

3

122

ik x ik xdx i a e a eφ

ωπ− ⋅ + ⋅⎡ ⎤∇ = −⎣ ⎦∫ k k

kk

2 312H m dφφ φ φ φφ⎡ ⎤= + ∇ ∇ +⎣ ⎦∫ r

( )

( )( )

3†

31

22ik x ik xd

x i a e a eφ ωωπ

− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫ k kk

π φφ

∂= =

∂L


Calcolo dell’HamiltonianaCominciamo con il pezzo più complicato (poco più complicato)

Per semplicità definiamo

Con i diversi prodotti compaiono due tipi di δIl termine −kk′ assume valori diversi

( )† †3 3 3

, ,,6 ,

12 2 2

i i i it tt td d a e a e a e a e d

π ω ω′ ′+ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

′ ′′− ⎡ ⎤⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′∫ ∫ ∫ k r k r k r k r

k kk kkk

k k r

( ) ( )

( )

2† † † †3 3

, , , ,, , , ,31

22t t t tt t t tx x d d a a a a a a a aφ φ

ωπ − −⎡ ⎤∇ ∇ = + + +⎣ ⎦∫ ∫ k k k kk k k k

kr k

( ) ( ) 3x x dφ φ∇ ∇∫ r

( )† †3 3 3

61

22 2ik x ik x ik x ik xi i

d d a e a e a e a e dωπ ω

′ ′− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅′ ′

′ ⎡ ⎤⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′∫ ∫ ∫ k kk kk k

k k r

0 0† †, ,

ik t ik tt ta e a a e a− +≡ ≡k k k k

( ) ( )

( ) ( )

3

3

2

2

i i

i i

e e

e e

π δ

π δ

′+ ⋅ + ⋅

′+ ⋅ − ⋅

′+

′−

k r k r

k r k r

k k

k k

∼

∼( ) 2δ ′ ′+ → − =k k kk k ( ) 2δ ′ ′− → − = −k k kk k


Calcolo dell’HamiltonianaVeniamo al termine contenente il momento coniugato

Questo integrale è quasi identico a quello precedenteLa differenza risiede nel fatto che il termine −ωω′ ha sempre lo stesso segnoI termini con compaiono con segno opposto rispettoal caso precedente (segno negativo)

( ) ( ) 3x x dφ φ∫ r

( )† †3 3 3

6

122 2

ik x ik x ik x ik xi id d a e a e a e a e d

ω ωωπ ω

′ ′− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅′ ′

′ ⎡ ⎤⎡ ⎤′= − −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′∫ ∫ ∫ k kk kk k r

( ) ( )

( )

2† † † †3 3

, , , ,, , , ,3

122

t t t tt t t tx x d d a a a a a a a aω

φ φωπ − −⎡ ⎤= − + + −⎣ ⎦∫ ∫ k k k kk k k kr k

† †a a a a− −k k k ke


Calcolo dell’HamiltonianaPer finire il termine che contiene il quadrato del campo

Otteniamo un risultato molto simile al primoTutti i prodotti hanno segno positivo

Sommiamo i tre integrali e moltiplichiamo per ½I termini con avranno un coefficiente ( ricordiamo E = ω )

I termini rimanenti avranno un coefficiente

( ) ( )2 3m x x dφ φ∫ r

( )

2† †3 3 3

6

1 122 2

ik x ik x ik x ik xmd d a e a e a e a e d

ωπ ω′ ′− ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

′ ′⎡ ⎤⎡ ⎤′= + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦′∫ ∫ ∫ k kk kk k r

( ) ( )

( )

2† † † †2 3 3

, , , ,, , , ,3

122

t t t tt t t tm

m x x d d a a a a a a a aφ φωπ − −

⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦∫ ∫ k k k kk k k kr k

2 2 2m E+ −k2 2 2 0m E+ − =k† †a a a a− −k k k ke

2 2 2m E+ +k2 2 2 22m E E+ + =k

( )

2† †3 3

, ,, ,3

1 1 22 22

t tt tE

H d d a a a aωπ

⎡ ⎤= = +⎣ ⎦∫ ∫ kk kk kr kH


Calcolo dell’HamiltonianaNotiamo infine che

Il risultato che abbiamo trovato è molto simile a quanto avevamo trovato intuitivamente (diapositiva )

Trasformiamo ulteriormente l’espressione trovata usando le regole di commutazione degli operatori di creazione e distruzione

L’Hamiltoniana è la somma delle energie dei singoli oscillatoriIl termine ½Ek è legato all’energia del vuoto nell’oscillatoreNel caso di un campo porta ad un contributo divergente

Viene eliminato imponendo che i campi abbiano un ordinamento normaleIn un prodotto normale ( :AB: ) gli operatori di distruzione stanno a destra

( )† †3

31 1

22H d E a a a a

π⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k k kk kk

† † †, 1 1a a a a a a⎡ ⎤ = → = +⎣ ⎦k k kk k k

0 0† †, ,

ik t ik tt ta e a a e a− +≡ ≡k k k k

† † † †, ,, ,t tt ta a a a a a a a= =k k k kk k k k

( )†3

3

1 122

H d E a aπ

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k kkk

indipendenti dal tempo

1274170


DigressioneIl calcolo appena fatto, benché concettualmentesemplice, è un po’ laborioso

Una complicazione deriva dagli integrali del tipo

Infatti, a differenza degli integrali con il segnonegativo nell’esponente che contiene k⋅x, questicontribuiscono con fattore un po’ più complicato

Conviene definire una procedura standard che consenta di semplificare i calcoliInnanzitutto alcune notazioni

Inoltre

Si può verificare che le funzioni uk(x) oltre alla relazione standard

Soddisfano alle seguenti ulteriori regole di ortogonalità generalizzata

( )3

3 0 0

12 2 2

ip x ik xe ed

p kπ

+ ⋅ − ⋅

∫ r

( )3

3 0 0

12 2 2

ip x ik xe ed

p kπ

+ ⋅ + ⋅

∫ r

( )02

ik xeu x

k

− ⋅≡k

0 2 2k m= + +k 0k x k t⋅ = − ⋅k r

( ) ( )1 2 1 2 1 2f f f f f fμ μ μ∂ ≡ ∂ − ∂

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

3 3

0 03 3

3 3

0 03 3

' '2 2

0 02 2

d du x i u x u x i u x

d du x i u x u x i u x

δ δπ π

π π

∗ ∗′ ′

∗ ∗′ ′

∂ = − ∂ = − −

∂ = ∂ =

∫ ∫∫ ∫

k kk k

k kk k

r rk k k k

r r

( ) ( )

( )( )

3

03122

du x u x

kδ

π∗

′ ′= −∫ k kr

k k


DigressioneTramite le funzioni uk le espansioni dei campi diventano

L’inversione delle formule si esprime in modo più semplice

Come esempio, diventa relativamente facile il calcolo del commutatore

Sono diversi da zero solo

Otteniamo pertanto

( )

( )( ) ( )

†33

12

x d a u x a u xφπ

∗⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k k kkk ( )

( )( ) ( ) ( )

†3 03

12

x d ik a u x a u xππ

∗⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫ k k kkk

( ) ( ) 30a u x i x dφ∗= ∂∫p p r

( ) ( )† 30a u x i x dφ= − ∂∫p p r

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )† 0 3 0 3, ,a a u x p x i x d u x k x i x dφ π φ π∗⎡ ⎤⎡ ⎤ ′ ′ ′ ′= + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫p p kk r r

( ) ( ) ( )( )0 3a u x p x i x dφ π∗= +∫p p r

( ) ( ) ( )( )† 0 3a u x p x i x dφ π= −∫p p r

( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 0 0u x d u x d ip i ik iδ δ∗ ′ ′ ′ ′= − − − −∫ ∫p kr r r r r r

( ) ( ) ( )0 0 3p k u x u x d∗= + ∫ p k r ( ) ( ) ( ) ( )0

3 30

22 2

2pp

π δ π δ= − = −p k p k

( ) ( ) ( )3, iφ π δ⎡ ⎤′ ′= −⎣ ⎦r r r r ( ) ( ) ( )3, iπ φ δ⎡ ⎤′ ′= − −⎣ ⎦r r r r

†,a a⎡ ⎤⎣ ⎦p k

( ) ( )

( )( )

3

03122

du x u x

kδ

π∗

′ ′= −∫ k kr

k k


Digressione

( )( )3

3 3 0 †1 12 2

H d d p a aπ

δ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫ k p kpk p( )

( )3

†3 3 0 †1 12 2

H d d p a a a aπ

δ δ⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ k p kp k p kpk p ( )33 0 † †1 1

2 2d p a a a a

π⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ p p p pp

1307185

Anche il calcolo dell’Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e distruzione diventa più semplice

Innanzitutto notiamo che

Inoltre, per l’equazione di KGPertanto l’Hamiltoniana si semplifica in

Introducendo le rappresentazioni

Sopravvivono solo (vedi diapositiva )

2 312H m dφφ φ φ φφ⎡ ⎤= + ∇ ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ r

2 2mφ φ φφ φφ− ∇ = − −2 2 0mφ φ φ− ∇ + =

( ) 2φ φ φ φ φ φ∇ ∇ = ∇ ⋅ ∇ − ∇ ( ) ( )3 0d dφ φ φ φ∇ ⋅ ∇ = ∇ ⋅ →∫ ∫r a

Teorema di Gauss

312H dφφ φφ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ r ( ) 31

02 i i dφ φ= ∂∫ r

( )

( )( ) ( )

†33

12

x d a u x a u xφπ

∗⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k k kkk ( )

( )( ) ( ) ( )

†3 03

12

x d ik a u x a u xφπ

∗⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫ k k kkk

( )( ) ( ) ( ) ( )

6†3 3 3 0 †1 1

02 2H d d d p a u x a u x i a u x a u x

π∗ ∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ∂ −⎣ ⎦⎣ ⎦∫ k k k p p p pkk p r


Teorema di NoetherAbbiamo già visto che le equazioni di campo si deducono minimizzando l’azione

Il teorema di Noether† permette derivare leggi di conservazioni dalle proprietà di simmetria dell’Azione (e quindi della Lagrangiana)

L’azione può essere lasciata invariata da trasformazioniDi simmetria interna (ad esempio isospin, gauge)Di simmetria spazio-temporale (trasformazioni di Lorentz)

Il teorema di Noether asserisce cheAd ogni simmetria differenziabile che lascia invariata l’azione corrisponde una corrente conservata e, di conseguenza, una carica conservata

Dato che l’azione è un integrale su d4x la trasformazione di simmetria deve Lasciare invariata la lagrangiana δL = 0

Al più variare la lagrangiana di una 4-divergenza (δL = ∂μfμ) che per il teorema di Gauss 4-dimensionale non contribuisce all’azione

†Emmy Noether, Invariante Variationsprobleme. Göttingen 1918, pp. 235-257

( ) 4,S d xμφ φ= ∂∫ L 0Sδ =( )μ

μ φφ∂ ∂

∂ =∂∂ ∂

L L

4 0f d x f dSμ μμ μ∂ = →∫ ∫


Teorema di NoetherTipicamente, per le simmetrie interne il termine di 4-divergenza è nullo

La 4-divergenza è non nulla nel caso delle simmetrie dello spazio-tempo†

Trasformazioni del gruppo di Poincaré:Trasformazioni Lorentz e traslazioniL’applicazione di una trasformazione del gruppo di simmetria provoca una variazione dei campi φ → φ + δφLa variazione dei campi induce una variazione della Lagrangiana L → L + δL

Nel caso delle simmetrie interne δL = 0Esiste una corrente jμ conservata ∂μjμ = 0

Nel caso delle simmetrie dello spazio tempo δL = ∂μfμ

Esiste una corrente jμ tale che ∂μjμ = ∂μfμ → ∂μ(jμ− fμ ) = 0

La corrente conservata implica l’esistenza di una carica conservata

†Peskin-Schroeder – An Introduction to Quantum Field Theory – cap. 2.2 p. 17

Q dVρ= ∫ 0Qt

∂=

∂

tρ∂

= ∇ ⋅∂

j dV dVtρ∂

= ∇ ⋅∂∫ ∫ j

S

d= ⋅∫ j a 0=

Per campi che vanno a zeroall'infinito rapidamente


Teorema di NoetherUna variazione δφ(x) di un campo è una funzione

InfinitesimaChe si annulla agli estremi

L’operazione di variazione commuta con la derivazioneL’espressione ∂μφ è una funzione (che dipende da φ)

Veniamo ora alla dimostrazione del teoremaPer generalità supponiamo che la lagrangiana dipenda da più campi ( n = 1,N)

Calcoliamo la variazione della Lagrangiana

Elaboriamo l’espressioneCommutiamo δ con ∂μ nel secondo termineUtilizziamo l’equazione di Eulero-Lagrange nel primo

( ) ( ) ( )1 2xx xφδφ φ= −

xa xb

( ) ( ) 0a bx xδφ δφ= =

( )1 xφ( )2 xφ

( )[ ] ( ) ( )1 2 xxxμ μμφδ φ φ∂= − ∂∂ ( ) ( )[ ]1 2x xμ φ φ= ∂ − ( )xμδφ= ∂

( ),n nμφ φ= ∂L L

( ),n n n nμ μδ φ δφ φ δ φ= + ∂ + ∂ −L L L( )

1

N

n nn nn

μμ

δφ δ φφ φ

=

∂ ∂= + ∂

∂ ∂ ∂∑ L L

( ) nnμ

μ φφ∂ ∂

∂ =∂∂ ∂

L L

( ) ( )1

N

n nn nn

μ μμ μ

δ δφ δφφ φ

=

∂ ∂= ∂ + ∂

∂ ∂ ∂ ∂∑ L LL


Teorema di Noether

L’espressione può essere trasformata in una 4-divergenza

Se la trasformazione di simmetria modifica solo i campi ma lascia invariata la lagrangiana allora la variazione è nulla: δL = 0

Otteniamo

Abbiamo inoltre supposto che l’operazione di simmetria sia differenziabileIn generale, la variazione del campo dipende da M parametri arbitrari (ad esempio, una rotazione dipende da 3 parametri)

Poiché la variazione dei campi è arbitraria possiamo variare gli M parametriindipendentemente (uno a uno) e otteniamo M espressioni

( ) ( )n nn nn

μ μμ μ

δ δφ δφφ φ

∂ ∂= ∂ + ∂

∂ ∂ ∂ ∂∑ L LL

( ) nnn

μμ

δ δφφ

∂= ∂

∂ ∂∑ LL

( )0n

nn

μμ

δφφ

∂∂ =

∂ ∂∑ L

1

Mn k

n kk

δφδφ δε

δε=

= ∑

( )0 1,n

knn

k Mμμ

δφφ δε

∂∂ = =

∂ ∂∑ L


Teorema di Noether

Possiamo pertanto definire le M correnti conservate

La natura dell’indice k dipende dal tipo di trasformazionePuò essere un indice di Lorentz

In questo caso la corrente è un tensorePuò essere un indice che individua un grado di libertà interno

Un esempio è l’isospin

( )0 1,n

knn

k Mμμ

δφφ δε

∂∂ = =

∂ ∂∑ L

( ), ,1, 0nk k

knn

j k M jμ μμ

μ

δφφ δε

∂= = ∂ =

∂ ∂∑ L


Tensore energia impulsoCome prima applicazione del teorema di Noether consideriamo l’invarianza della Lagrangiana per traslazioni nello spazio tempo per il campo di Klein-Gordon

Le traslazioni sono elementi del gruppo di PoincarèSi tratta di trasformazioni dello spazio tempo

Una traslazione e definita come

Trasformazioni differenziabiliDipendono da 4 parametri

Per una traslazione i campi hanno una variazione

La corrente di Noether è pertanto

La relativa variazione della Lagrangiana èAttenzione! Non è nulla !

x x aμ μ μ→ +

( ) ( ) ( )x x a x aν ν ν ννδφ φ φ φ= + − = ∂

a ννδφ

φδ

= ∂

[ ]212 mμ

μφ φ φφ= ∂ ∂ −L

( )j

aμμν νδφδφ

∂∂ ∂

=L

j μμν νφφ= ∂ ∂

ja

μ μμν μ νν

δφ φ

δ= ∂ = ∂ ∂ ∂

L


Tensore energia impulsoInfatti la lagrangiana è implicitamente una funzione della posizione

La variazione indotta dalla traslazione è

Uguagliando con l’analoga espressione trovata per la variazione dei campi

Definiamo il tensore Energia-Impulsoper il campo di Klein Gordon

La conservazione della corrente èLe “cariche” conservate sono le componenti del 4-momento

In particolare l’Hamiltoniana

( ) ( ) ( )( ),x x xμφ φ= ∂L L ( )a g a xμ μ νμ μνδ = ∂ = ∂L L L

( )g xa

μμνν

∂= ∂

∂L

L

( )g xμ μμ ν μνφ φ∂ ∂ ∂ = ∂ L

( )T g xμν μ ν μνφ φ= ∂ ∂ − L

0Tμ μν∂ =

30P T dν ν= ∫ r

30 00H P T d≡ = ∫ r ( )00 0 0 00T g xφ φ= = ∂ ∂ −H L ( )xφφ= −H L


Tensore energia impulsoAnalizziamo anche le altre componenti del 4-momento

Anche nel caso di P, come per H, alla fine avremo bisogno di eliminare un contributo infinito

Oppure adottiamo l’ordinamento normaleSviluppiamo l’espressione

Osserviamo cheInoltre

Ovviamente le due espressioni conducono a risultati uguali solo se si scartano i termini che conducono a infiniti da eliminare

A questo punto si sostituiscono le rappresentazioni del campo e si trova, come per l’Hamiltoniana

( )T g xμν μ ν μνφ φ= ∂ ∂ − L3

0P T dν ν= ∫ r 30 dνφ φ= ∂ ∂∫ r 3dφ φ= − ∇∫ r

3dφ φ= − ∇∫P : r :

3dφ φ= − ∇∫P : : r 312

dφ φ φ φ= − ∇ + ∇∫ : : r

( ) ( )φ φ φφ φ φ∇ = ∇ − ∇ ( ) ( )3 0i j k i id dx dx dxφφ φφ+∞

−∞∂ = ∂ →∫ ∫ ∫r

( ) ( )φ φ φ φ∇ = ∇: : : :

312

dφ φ φ φ= − ∇ − ∇∫P : : r

( )† 3

312

a a dπ

= ∫ p pP p p


Il campo scalare complessoIl campo di Klein-Gordon che abbiamo fino ad ora studiato ha un solo grado di libertà

Ci renderemo conto che serve per descrivere bosoni neutriParticelle che coincidono con la propria antiparticella

Per descrivere particelle cariche abbiamo bisogno di un campo complessoLa carica va intesa in senso ampio

È un numero quantico che distingue particelle e antiparticelleNon è necessariamente la carica elettrica

Consideriamo due particelle di Klein-Gordon con la stessa massaLa Lagrangiana di questo sistema è

I campi φ1 e φ2 sono due gradi di libertà di un sistemache ha bisogno di due componenti in uno spazio astratto

Studiamo gli effetti dell’invarianza rispetto a rotazioniin questo spazio

Le trasformazioni dipendono da un parametro ( gruppo SO[2] )

( ) 2 2 2 21 1 1 11 1 1 2 2 22 2 2 2x m mμ μ

μ μφ φ φ φ φ φ= ∂ ∂ − + ∂ ∂ −L

φ1

φ2

1 1 2

2 1 2

cos sin

sin cos

φ φ α φ α

φ φ α φ α

′ = −

′ = +

α φ

φ'


Il campo scalare complessoConsideriamo una rotazione infinitesima: α → δα

La trasformazione dei campi diventaPertanto le variazioni dei due campi sono

Si tratta di una simmetria interna con un solo parametroLa corrente di Noether è

La carica conservata è

cos 1 sinδα δα δα≈ ≈

1 1 2

2 1 2

φ φ φ δα

φ φ δα φ

′ = −

′ = +

1 1 1 2

2 2 2 1

δφ φ φ φ δα

δφ φ φ φ δα

′= − = −

′= − =

12

21

δφφ

δαδφ

φδα

= −

=

( )n

nn

N μφ

μ

δφδαφ

∂=

∂ ∂∑ L

( ) ( )1 2

1 2μ μ

δφ δφδα δαφ φ

∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂L L

( )( ) ( )1 2 2 1μ μφ φ φ φ= ∂ − + ∂ ( ) ( )2 1 1 2N μ μ μ

φ φ φ φ φ= ∂ − ∂

0 3Q N dφ= ∫ r ( ) 32 1 1 2 dφ φ φ φ= −∫ r

confrontare con la corrente dell’equazione di

Klein-Gordon


Il campo scalare complessoUn modo più sintetico di svolgere i calcoli si ha introducendo un campo complesso φ

Ricordando lo sviluppo di un campo scalare reale

Troviamo il seguente sviluppo per il campo complesso

Gli operatori a e b† sono adesso indipendenti

Gli operatori di creazione e distruzione introdotti hanno le seguenti regole di commutazione

Tutte le regole di commutazione altre sono nulle

( )11 22iφ φ φ= − ( )† 1

1 22iφ φ φ= +

( )

( )

3†

31

22ik x ik x

n n nd

x a e a eφωπ

− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k kk

( )

( )

3†

31

22ik x ik xd

x a e b eφωπ

− ⋅ + ⋅⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k kk

† † †11 22ˆ ˆ( )b a ia= −k k k

11 22( )a a ia= −k k k

( ) ( )† 3, 2a a π δ′⎡ ⎤ ′= −⎣ ⎦k k k k ( ) ( )† 3, 2b b π δ′

⎡ ⎤ ′= −⎣ ⎦k k k k


Il campo scalare complessoSi può verificare facilmente che nel piano complesso la trasformazioneche abbiamo introdotto è ( gruppo U[1] )

La trasformazione in oggetto prende il nome di trasformazione di fase o trasformazione di gauge globale (la fase non dipende da x)

La Lagrangiana per il campo complesso èRipetiamo il calcolo precedente utilizzando il campo complesso

La corrente di Noether

La carica conservata è

† 2 †mμμφ φ φ φ= ∂ ∂ −L

( )n

nn

N μφ

μ

δφδαφ

∂=

∂ ∂∑ L

( ) ( )†

†μ μ

δφ δφδα δαφ φ

∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂L L

( )( ) ( )( )† †i iμ μφ φ φ φ= ∂ + ∂ −

ie αφ φ−′ = ( )1 iφ δα φ′ = − iδφ δαφ= − † †iδφ δαφ=

( ) ( )† †N iμ μ μφ φ φ φ φ⎡ ⎤= ∂ − ∂⎣ ⎦

0 3 † † 3Q N d i dφ φφ φ φ⎡ ⎤= = −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫r r

confrontare con la corrente dell’equazione di Klein-Gordon


Il campo scalare complessoUtilizzando le espansioni integrali si calcolano

L’Hamiltoniana

L’operatore Carica

In entrambi i calcoli si sono trascurati i termini che danno contributo infinito (equivalente a imporre prodotti normali)

Entrambi gli operatori (H e Q) si possono esprimere in funzione di due operatori numero relativi a due differenti tipi di quanti

Entrambi gli operatori numero (n+ e n−) hanno autovalori non negativiL’Hamiltoniana contiene la somma di questi operatori

L’Hamiltoniana è definita positivaSi è eliminato il problema delle energie negative

L’operatore Carica è la differenza dei due operatoriI due quanti contribuiscono con segno opposto alla caricaHanno carica opposta (sono uno antiparticella dell’altro)

( )† †3

312

H d a a b b ωπ

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ k kk kk

( )† †3

312

Q d a a b bπ

⎡ ⎤= −⎣ ⎦∫ k kk kk

†n a a+ = kk k†n b b− =k kk


Il campo scalare complessoAnalizziamo un po’ meglio l’effetto degli operatori a e b

Per un generico operatore di creazione o distruzione op

Per i vari operatori di creazione e distruzione si ha

Pertanto

Inserendo nella relazione di partenza

Gli operatori a e b† diminuiscono di 1 la caricaL’operatore a distrugge una particella, l’operatore b† crea un’antiparticella

Gli operatori a† e b aumentano di 1 la caricaL’operatore a† crea una particella, l’operatore b distrugge un’antiparticella

( )† †3

31

, ,2

Q o d a a b b oπ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫p k k pk kk

† † ,a a b b a⎡ ⎤−⎣ ⎦k k pk k† ,a a a⎡ ⎤= ⎣ ⎦k pk [ ]† †, ,a a a a a a⎡ ⎤= + ⎣ ⎦k p p kk k

†,a a a⎡ ⎤= − ⎣ ⎦p kk ( )3(2 ) aπ δ= − − kk p

( )† † † 3 †, (2 )a a b b a aπ δ⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦k k k k p pk p

( )† † † 3 †, (2 )a a b b b bπ δ⎡ ⎤− = − −⎢ ⎥⎣ ⎦k k k k p pk p

( )† † 3, (2 )a a b b a aπ δ⎡ ⎤− = − −⎢ ⎥⎣ ⎦k k k k p kk p

( )† † 3, (2 )a a b b b bπ δ⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦k k k k p pk p

,Q a a⎡ ⎤ = −⎣ ⎦p p† †,Q a a⎡ ⎤ =⎣ ⎦p p ,Q b b⎡ ⎤ =⎣ ⎦p p

† †,Q b b⎡ ⎤ = −⎣ ⎦p p

• E analogamente …


Il campo scalare complessoGli stati del campo complesso si costruiscono come nel caso del campo reale

Adesso però ci sono due tipi di particelle indipendentiParticelle “Positive”

Particelle “Negative”

Analogamente si costruiscono stati con un numero arbitrario di quanti dei due tipiData la forma degli operatori Q e H è immediato verificare che l’operatore Q è conservato

In assenza di interazioni si può facilmente verificare che il numero di antiparticelle e il numero di particelle si conservano separatamente

Si può inoltre verificare che per i campi φ e φ† valgono regole di commutazione con Q simili a quelle degli operatori di creazione e distruzione

Definiamo (tramite sviluppo in serie) l’operatoreSi può dimostrare che

†, 0a+ = pp

†, 0b− = pp

, 0Q Q H⎡ ⎤= =⎣ ⎦

,Q φ φ⎡ ⎤ = −⎣ ⎦† †,Q φ φ⎡ ⎤ =⎣ ⎦

( ) i QU e αα =

1( ) ( ) iU U e αα φ α φ− =


Quantizzazione del Campo di DiracLa quantizzazione del campo di Dirac ψ si effettua in modo del tutto analogoalla quantizzazione del campo di Klein-Gordon

Seguendo il nostro approccio per il campo di KGSi sviluppa il campo nei modi normaliSi promuovono i coefficienti dello sviluppo a operatoriSi impongono le regole di commutazione

Alternativamente si può seguire il metodo canonicoSi scrive la Lagrangiana del campo di DiracSi individuano i momenti coniugati ai campiSi impongo le relazioni di commutazioni fra campi e momenti coniugati

Anticipiamo che la differenza fondamentale sta nel fatto che nelle regole di commutazione ai commutatori [A,B] si sostituiscono gli anticommutatori {A,B}

La necessità degli anticommutatori può essere motivata alternativamenteDal principio di esclusione di Pauli che richiede l’antisimmetria degli statifermionici costruiti con gli operatori di creazione e distruzioneDalla necessità che l’Hamiltoniana sia definita positiva

Entrambi gli approcci derivano da motivazioni fisicheVale la pena approfondire entrambi gli aspetti


Lagrangiana del campo di DiracLa Lagrangiana del campo di Dirac è

Notiamo che non contiene i campi ∂μψ†

L’equazione di Dirac segue semplicemente applicando le equazioni di Eulero Lagrange ai campi ψ e ψ†

Variando i campi ψ†

Alternativamente, variando i campi ψ

L’asimmetria fra ψ e ψ† deriva dal fatto che più Lagrangiane sono possibiliAd esempio

Tuttavia si può dimostrare che le azioni corrispondenti differiscono per l’integrale di una 4-divergenza che si può rendere nullo all’infinito

Pertanto conducono alle stesse equazioni

( ) ( )†, , i mμψ ψ ψ ψ ψ/∂ = ∂ −L

( )μμ φφ

∂ ∂∂ =

∂∂ ∂L L

( ) ††μμ ψψ

∂ ∂∂ =

∂∂ ∂L L ( )00 i mγ ψ/= ∂ − ( ) 0i m ψ/∂ − =

( )μμ ψψ

∂ ∂∂ =

∂∂ ∂L L

i mμμ ψγ ψ∂ = − ( ) 0i mψ /∂ + =

( )1 i mψ ψ∗ ⎡ ⎤/= = ∂ −⎣ ⎦L L ( )[ ]i mμμψ γ ψ ψ= ∂ −

( ) ( )*uAv uAv=

( )i mμμγ ψ ψ ψ= ∂ −

( )i mμμψγ ψ ψ= − ∂ − ( )1 i mψ ψ/= − ∂ +L


Hamiltoniana del campo di DiracPossiamo a questo punto calcolare i momenti coniugati di ψ

I momenti coniugati di ψ† sono nulli per l’asimmetria fra ψ e ψ† nella Lagrangiana

L’Hamiltoniana è pertanto

Dal momento che ψ soddisfa l’equazione di Dirac

Abbiamo una utile espressione alternativa per l’HamiltonianaSi potrebbe calcolare il momento del campo calcolando il tensore Tμν

Diamo i due risultati (il calcolo può essere un esercizio)

( )i mψ ψ/= ∂ −L

( )0π

ψ∂

=∂ ∂L 0iψ γ= † 0 0iψ γ γ= †iψ=

0π ψ= ∂ −H L ( )†0i i mψ ψ ψ ψ/= ∂ − ∂ − ( )0 0† † 0

0 i mμμψ ψ ψγ γ γ ψγ= ∂ − ∂ −

† 0

1,3

kk

k

i mψ γ γ ψ=

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= − ∂ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠∑ ( )† 0i mψ α γ ψ= − ⋅ ∇ + ( )† i mψ α β ψ= − ⋅ ∇ +H

( ) 0i m iα β ψ ψ− ⋅ ∇ + = ∂

†0iψ ψ= ∂H

3 †0H d iψ ψ= ∂∫ r ( )3 †d iψ ψ= −∫P r ∇


Espansione del campo di DiracL’espansione del campo di Dirac in onde piane si può fare allo stesso modo di quanto fatto per il campo scalare

Conviene definire delle funzioni con ben definite proprietà di ortogonalità

Le relazioni di ortogonalità sono

Il campo diventa

Utilizzando queste relazioni si può facilmente invertire l’espansione

( )

( )( )

3†

, , ,,32 2ik x ik x

s

dx a u e b v e

E σ σ σσσ

ψπ

− ⋅ + ⋅

=±

= +∑∫ k k kkk

k

( ),

, 32 2

ik xu ef

Eσ

σ π

− ⋅

= kk

k ( ),

, 32 2

ik xv eg

Eσ

σ π

+ ⋅

= kk

k

( ) ( )† 3

, ,f x f x d σ σσ σ δ δ′ ′′ ′ =∫ k kk k r ( ) ( )† 3

, ,g x g x d σ σσ σ δ δ′ ′′ ′ =∫ k kk k r

( ) ( )† 3 0f x g x dσ σ′ ′ =∫ k k r ( ) ( )

† 3 0g x f x dσ σ′ ′ =∫ k k r

( ) ( )† 3a f x x dσ σ ψ= ∫p p r ( ) ( )† † 3b g x x dσ σ ψ= ∫p p r

( ) ( )†3, , , ,

s

x d f a g bσ σ σ σσ

ψ=±

= +∑∫ k k k kk


Quantizzazione del campo di DiracPossiamo adesso discutere la quantizzazione del campo di Dirac

Seguendo il nostro approccio iniziale promuoviamo le funzioni akσ e bkσ a operatori in uno spazio astratto e fissiamo le regole di anti-commutazione

Con questi operatori si possono costruire gli stati con n particelle nello spazio di Fock

Una analoga espressione si può scrivere con gli operatori b† (antiparticelle)Le regole di anticommutazione fra gli operatori a e b assicurano che gli stati abbiano la corretta antisimmetria rispetto alle permutazioni di due particelle

Il segno è + o − per permutazioni pari o dispari rispettivamenteNel seguito sarà utile trattare separatamente le due componenti di un campo

La componente a energia positiva

La componente a energia negativa

{ } ( )† 3, 2a aσ σσσ π δ δ′ ′′ ′ =k kkk { } ( )† 3, 2b bσ σσσ π δ δ′ ′′ ′ =k kkk tutte le altre nulle

1 1 1

† †1 1, 2 2 0

n n nn n E E a aσ σσ σ = k k k kk k… … …

1 1 1 1, , , , , , , , , , , ,n n nj j k k k k nj jσ σ σσ σ σ σ σ= ±k k k kk k k k… … … … … …

3,( ) ( )a

s

x f x a dσ σσ

ψ=±

= ∑∫ k k k

†† 3,( ) ( )

bs

x g x b dσ σσ

ψ=±

= ∑∫ k k k

†( ) ( ) ( )a bx x xψ ψ ψ= +


Quantizzazione del campo di DiracCalcoliamo adesso gli anticommutatori (a tempi uguali t = t′ )

Notiamo che i campi ψ hanno 4 componentiDal momento che gli operatori a e b anti-commutano fra di loro avremo

Cominciamo con le componenti a energia positiva

Analogamente per le componenti a energia negativa

( ) ( ){ },n mx xψ ψ ′ ( ) ( ){ }† †,n mx xψ ψ ′ ( ) ( ){ }†,n mx xψ ψ ′

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }† ††† †, , ,n m an am b n b m

x x x x x xψ ψ ψ ψ ψ ψ′ ′ ′= +

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }† †† 3 3, ,an am n mx x d d f x f x a aσ σσ σσσ

ψ ψ ′ ′ ′ ′′

′ ′ ′= ∑∫ k kk kk k

( ) ( ) ( )3 †32 n md f x f xσ σσ

π ′= ∑∫ k kk

( )( ) †3

3

1 122

in md e u u

E σ σσπ

′⋅ −+= ∑∫ k r rk k

k

k

( ) ( ){ }( )

( )† †

3† †

3

1,

22

in mb n b m

dx x e v v

E σ σσ

ψ ψπ

− ′⋅ −′ = ∑∫ k r rk k

k

k

( )( ) †3

3

1 122

in md e v v

E σ σσπ

′+ ⋅ −− −= ∑∫ k r r

k kk

k

Ricordiamo t = t′

{ } ( )† 3, 2a aσ σσσ π δ δ′ ′′ ′ =k kkk


Quantizzazione del campo di DiracSommando i due pezzi

Oltre alle relazioni di completezza già studiate (diapositiva ) ne esistono altre

In conclusione otteniamo

Con una procedura simile si ottengono le altre relazioni

( ) ( ){ }( )

( ) † †† 33

1 1,

22i

n m

nm

x x d e u u v vE σ σσ σ

σ σ

ψ ψπ

′⋅ −− −

+ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟′ ⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∑ ∑∫ k r rk kk k

kk

( )† †12 nm nmnm

u u v v IE σ σσ σ

σ

δ− −+ = =∑ k kk kk

( ) ( ){ }( )

( )† 33

1,

2i

n m nmx x d eψ ψ δπ

+ ′⋅ −′ = ∫ k r rk

( ) ( ){ } ( )†,n m nmx xψ ψ δ δ′ ′= −r r

( ) ( ){ }, 0n mx xψ ψ ′ = ( ) ( ){ }† †, 0n mx xψ ψ ′ =

( )†⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟= =⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i i i i i i ii i i i i i ii i i ii i i i i i ii i i i i i i

116282


Hamiltoniana e regole di commutazioneVeniamo adesso all’espressione dell’Hamiltoniana in funzione degli operatori di creazione e distruzione

È conveniente partire dalle relazioni

Utilizzando l’espansione di ψ otteniamo

Introducendo nell’Hamiltoniana

Eseguiamo l’integrazione sul volumeUtilizziamo le relazioni di ortogonalità: sopravvivono solo due termini

3 †0H d iψ ψ= ∂∫ r ( ) ( )†3

, , , ,s

x d f a g bσ σ σ σσ

ψ=±

= +∑∫ k k k kk

( ) ( )†30 , , , ,

s

i x d E f a g bσ σ σ σσ

ψ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′=±

′∂ = −∑∫ k k k k kk ( ) ( )† † †† 3,, , ,

s

x d f a g b σσ σ σσ

ψ=±

= +∑∫ kk k kk

( ) ( )† † † †3 † 3 3 30 , , , ,, , , ,

, s

H d i d d d f a g b E f a g bσ σ σ σσ σ σ σσ σ

ψ ψ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′=±

′= ∂ = + −∑∫ ∫ k k k k kk k k kr r k k

( )† † † †3 3 3,, , ,, , , ,

, ' s

H d d E d f f a a g g b bσσ σ σσ σ σ σσ σ

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′=±

′= −∑∫ ∫ kk k k kk k k kk k r

( )† †3 3,,, ,

, ' s

d d E a a b bσσ σσ σσσ σσ σ

δ δ δ δ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′=±

′= −∑∫ kk k kk kkk kk k ( )† †3, ,, ,

s

d E a a b bσ σσ σσ=±

= −∑∫ k k kk kk

nel caso di Dirac c’è solo una derivata ∂0


Hamiltoniana e regole di commutazione

Il termine relativo ai quanti a è già sotto forma di un operatore numeroPer mettere anche il secondo termine sotto forma di operatore numero abbiamo bisogno di commutare i due operatori

Se avessimo una regola di commutazione (eliminiamo il termine infinito)

Questa Hamiltoniana non è definita positivaI quanti b contribuiscono con energia negativa !

Al contrario, con una regola di anticommutazione

Questa volta anche i quanti b contribuiscono all’energia con segno positivoAdottare regole di anticommutazione è necessario per avere una Hamiltoniana definita positiva

Nel dettaglio del calcolo la differenza è stata introdotta dal fatto che l’equazione di Dirac è di primo ordine nel tempo

( )† †3, , , ,

s

H d E a a b bσ σ σ σσ=±

= −∑∫ k k k k kk

† † †, , , , , ,,b b c b b c b bσ σ σ σ σ σ

⎡ ⎤ = → = +⎢ ⎥⎣ ⎦k k k k k k ( )† †3, , , ,

s


= −∑∫ k k k k kk

{ }† † †, , ,, , ,, ,b b c b b c b bσ σ σσ σ σ= → = −k k kk k k ( )† †3

, , , ,s


= +∑∫ k k k k kk

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