Sustavi linearnih algebarskih jednadbiGaussov postupak eliminacijeSustav linearnih algebarskih jednadbiZa jednadbi s nepoznanica oblika

(1.4)

kaemo da ine sustav linearnih algebarskih jednadbi. Brojeve zovemo koeficijentima sustava, se zovu nepoznanice, a brojeve

zovemo desnom stranom ili slobodnim lanovima. Koeficijenti i slobodni lanovi su zadani, a nepoznanice treba odrediti. Ako je onda sustav zovemo kvadratnim. Ako je desna strana sastavljena od samih nula, onda sustav zovemo homogenim, u protivnom, ako je za bar jedan zovemo ga nehomogenim.

U vezi sa sustavom moemo uoiti dvije matrice

Matricu

zovemo matricom sustava, a matricu

zovemo proirenom matricom sustava.

Pojam rjeenja

Rjeenje sustava 1.4 je ureena -torka brojeva koja zadovoljava svaku od jednadbi u sustavu. Sustav moe imati jedno rjeenje, vie rjeenja i niti jedno rjeenje. Ako ne postoji rjeenje onda kaemo da je sustav nekonzistentan ili nemogu ili protuslovan. Ako je sustav homogen, onda je oito -torka rjeenje. To rjeenje se zove trivijalno. Pravi problem kod homogenih sustava je da li postoje rjeenja razliita od trivijalnog, tj. da li postoje netrivijalna rjeenja.

Ekvivalentni sustaviZa dva sustava, koji ne moraju imati isti broj jednadbi, kaemo da su ekvivalentni, ako je skup svih rjeenja jednog od njih jednak skupu svih rjeenja drugog. U elji da rijeimo zadani sustav vrimo nad njim odreene operacije kako bismo ga pojednostavili. Operacije, koje smijemo vriti su one koje vode na ekvivalentni sustav. To su 1. zamjena redosljeda jednadbi u sustavu, 2. mnoenje proizvoljne jednadbe sustava brojem razliitim od nule, 3. mnoenje proizvoljne jednadbe sustava brojem, i dodavanje rezultata bilo kojoj drugoj jednadbi sustava.

Gaussov postupak eliminacijeGaussov postupak eliminacije je metoda rjeavanja sustava linearnih algebarskih jednadbi. Ideja je sljedea. Operacijama, koje smo gore naveli, zadani sustav svesti na njemu ekvivalentan, tako da iz dobivenog sustava lako naemo skup svih rjeenja. Neka je zadan sustav 1.4. Premjestimo jednadbe u sustavu, ako je potrebno, tako da koeficijent uz uz u prvoj jednadbi bude razliit od nule. Zatim prvu jednadbu podijelimo s koeficijentom pomnoimo brojem koji je suprotan koeficijentu uz u drugoj jednadbi, i dodamo je pomnoimo brojem

drugoj jednadbi, zatim prvu jednadbu podijelimo s koeficijentom uz koji je suprotan koeficijentu uz

u treoj jednadbi, i dodamo je treoj jednadbi, zatim prvu pomnoimo brojem koji je suprotan koeficijentu uz

jednadbu podijelimo s koeficijentom uz

u etvrtoj jednadbi, i dodamo je etvrtoj jednadbi, i t.d. Na taj nain smo izbacili druge, tree, -te jednadbe i doli do ekvivalentnog sustava oblika

iz

pri tom je

odnosno openito

za Sad uinimo isto s podsustavom, koji se sastoji od druge, tree, ..., tree i daljnjih jednadbi eliminiramo

-te jednadbe. Time iz

Zatim na isti nain iz etvrte i daljnjih jednadbi

izbacimo i t.d. Budui da sustav ima konano mnogo jednadbi, postupak staje nakon konano koraka. Dobije se ekvivalentan sustav, po obliku ``trokutast''. Sada najprije rijeimo zadnju jednadbu, rjeenje uvrstimo u predzadnju, pa nju rijeimo, pa uvrstimo u treu straga i t.d. sve do prve jednadbe. Metoda, koju smo opisali, zove se Gaussova metoda eliminacije. Dakle ideja Gaussove metode eliminacije se sastoji u tome da se pomou operacija 1.2.1 izbace nepoznanice koje se nalaze ispod ``glavne dijagonale''. Primjer 1.9 Treba rijeiti sustav

Mnoenjem prve jednadbe s i dodavanjem treoj, i zatim mnoenjem prve jednadbe s dodavanjem etvrtoj, dobivamo

i

Zamijenimo mjesta tree i druge jednadbe, i zatim drugu mnoimo s treoj i etvrtoj jednadbi.

is

i dodamo redom

Pomnoimo treu jednadbu s

i dodajmo etvrtoj

Dobili smo ``trokutast'' oblik, i sada rjeavamo jednadbe odozdo prema gore. Iz zadnje slijedi uvrstimo to u treu, pa slijedi u prvu, pa slijedi Metodu eliminacije moemo upotrebiti i nakon svoenja na ``trokutasti'' oblik da bismo izbacili nepoznanice iznad ``glavne dijagonale'' i doli tako do ``dijagonalnog'' oblika. Ta metoda se zove Gauss-Jordanova metoda. Na sljedeem primjeru pokaimo kako funkcionira ta metoda. Primjer 1.10 Treba rijeiti sustav uvrstimo u drugu, pa slijedi uvrstimo

Kao u gornjem primjeru nakon nekoliko koraka dolazimo do

Mnoimo etvrtu jednadbu redom s jednadbi. Dobivamo

i dodajemo redom treoj, drugoj, prvoj

Dodajmo jo treu prvoj. Tako dolazimo do ``dijagonalnog'' oblika

Odatle itamo rjeenje U ovom primjeru se pojavljuje kao neodreeni parametar. Tako smo dobili mnogo rjeenja,

jer uzimajui za pojedine brojeve, nakon uvrtavanja dobivamo konkretna rjeenja. moe biti bilo koji realan broj, pa tako imamo beskonano mnogo rjeenja. Zbog toga to se u rjeenju pojavljuje jedan neodreeni parametar, kaemo da sustav ima jednoparametarski skup rjeenja.

Jedna interpretacija Gaussovog postupkaNeka je dan tap (greda, ploa, tapna konstrukcija). Pod djelovanjem sila tap doivi progib. Interesira nas iz zadanog progiba nai sile koje koje su uzrokovale taj progib. Odredimo toaka na tapu, koje emo zvati vorovi. Promatrat emo tap kao da je njegova masa koncentrirana u tih toaka. Prema tome pretpostavljamo da sile mogu djelovati samo u vorovima. Shodno tome i progib promatramo samo u vorovima. Pri tom polazimo od dvije osnovne pretpostavke, koje u fizici predstavljaju princip superpozicije sila, a u matematici se to zove svojstvo linearnosti. 1. Pri istovremenom djelovanju dviju sila progibi se zbrajaju. 2. Koliko puta poveamo silu, toliko puta se povea progib. Oznaimo s progib u voru uslijed djelovanja jedinine sile u voru (sl. 1.10).

Slika 1.10: Pomak tapa pod djelovanjem jedinine sile u voru Oznaimo s ukupne progibe, a s sile u vorovima (sl. 1.11).

Slika 1.11: Pomak tapa pod djelovanjem razliitih sila u vorovima. Tada vrijede sljedee jednadbe

Vidimo da problem nalaenja sila iz zadanih progiba vodi na rjeavanje sustava linearnih algebarskih jednadbi. Pretpostavimo sada da u voru voru na vor djeluje sila takva da ponitava utjecaj jedinine sile u

Slika 1.12: Pomak tapa pod djelovanjem jedinine sile u voru

nakon uravnoteenja u voru

U ovoj situaciji oznaimo s 1.12). Tada vrijedi

progib u voru

uslijed djelovanja jedinine sile u voru

(sl.

za

Specijalno u voru

imamo

Odatle slijedi

pa je

za Ako tako uinimo za svaki dobijemo koeficijente nakon prvog koraka u Gaussovoj metodi. Slino bi se moglo pokazati da se koeficijenti nakon drugog koraka dobiju kad u prva dva vora djeluju sile koje ponitavaju progibe uslijed djelovanja jedinine sile u ostalim vorovima, itd. Detaljnije o tome u [6].

Rang matriceElementarne transformacijeElementarnim transformacijama nad matricom zovemo sljedee operacije: 1. zamjena dva retka (dva stupca) u matrici, 2. mnoenje proizvoljnog retka (stupca) brojem razliitim od nule, 3. mnoenje proizvoljnog retka (stupca) matrice brojem, i dodavanje bilo kojem drugom retku (stupcu) matrice. Ako je matrica piemo dobivena iz matrice primjenom jedne ili vie elementarnih operacija, onda

i kaemo da je matrica

ekvivalentna matrici

Kako pokazuju sljedei primjeri, ove operacije se mogu ostvariti mnoenjem matrice regularnim matricama s lijeva ili s desna. Primjer 1.11

Dakle, mnoei matricu s lijeva jedininom matricom u kojoj su zamijenjeni drugi i trei redak, dobili smo matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i trei redak. Mnoei matricu s desna jedininom matricom u kojoj su zamijenjeni drugi i trei stupac, dobili smo matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i trei stupac. Primjer 1.12

Dakle, mnoei matricu s lijeva jedininom matricom u kojoj je trei redak pomnoen brojem (razliitim od nule), dobili smo matricu u kojoj je trei redak pomnoen brojem Mnoei matricu s desna jedininom matricom u kojoj je drugi stupac pomnoen brojem (razliitim od nule), dobili smo matricu u kojoj je drugi stupac pomnoen brojem Primjer 1.13

Dakle, mnoei matricu s lijeva jedininom matricom u kojoj smo prvi redak pomnoili brojem i dodali etvrtom, dobili smo matricu u kojoj je prvi redak pomnoen brojem etvrtom retku. dodan

Mnoei matricu s desna jedininom matricom u kojoj smo trei stupac pomnoili brojem dodali prvom, dobili smo matricu u kojoj je trei stupac pomnoen brojem stupcu. Zakljuak. 1. to elimo uiniti s recima matrice uinimo to s recima jedinine matrice i s tako dobivenom matricom mnoimo matricu s lijeva. 2. to elimo uiniti sa stupcima matrice uinimo to sa stupcima jedinine matrice i s tako dobivenom matricom mnoimo matricu s desna. dodan prvom

i

Ove intervencije na jedininoj matrici dovode do regularnih matrica. Zaista, ako jedininu matricu u kojoj su zamijenjeni drugi i trei redak (stupac) pomnoimo s istom takvom s lijeva (s desna), dobit emo jedininu matricu. Ako jedininu matricu u kojoj je trei redak (stupac) pomnoen brojem pomnoimo s lijeva (s desna) s jedininom matricom u kojoj je trei redak (stupac) pomnoen brojem dobit emo jedininu matricu. Ako jedininu matricu u kojoj je pomnoimo s lijeva (s desna) s jedininom dobit emo jedininu

treem retku (stupcu) dodan prvi pomnoen s

matricom u kojoj je treem retku (stupcu) dodan prvi pomnoen s matricu.

Ove matrice koje vre elementarne operacije zvat emo elementarnim matricama. Gaussov i Gauss-Jordanov postupak eliminacije se moe provoditi tako da se nad proirenom matricom sustava provode elementarne operacije, ali samo s recima. Vrei elementarne operacije nad stupcima, pobrkali bismo nepoznanice do te mjere da vie ne bismo znali to smo na kraju izraunali.

Rang matriceNeka je Njezine stupce, i njezine retke moemo shvatiti kao vektore.

Meu vektorima

ima odreeni broj linearno nezavisnih, i meu vektorima takoer ima odreeni broj linearno nezavisnih.

Teorem 4 Neka je proizvoljna matrica. 1. Broj linearno nezavisnih stupaca matrice se ne mijenja, ako je pomnoimo s lijeva s elementarnom matricom. 2. Broj linearno nezavisnih redaka matrice se ne mijenja, ako je pomnoimo s desna s elementarnom matricom.

Dokaz. 1. Neka je stupaca

broj linearno nezavisnih stupaca matrice

Radi jednostavnosti pretpostavimo da su to prvih

Neka je

elementarna matrica. Tada je

Ispitajmo linearnu nezavisnost prvih

stupaca u tako dobivenoj matrici.

Matrica

je regularna, postoji

pa je

odakle, zbog linearne nezavisnosti vektora

slijedi

Prema tome prvih stupaca matrice je linearno nezavisno. Tako smo dokazali da se broj linearno nezavisnih stupaca matrice ne smanjuje nakon mnoenja s elementarnom matricom s lijeva.

Taj broj se ne moe niti uveati, to pokazuje sljedee razmatranje. Neka su stupci linearno zavisni. To znai da vrijedi

matrice

za barem jedan

Tada je

i pri tom je barem jedan 2. Ako produkt nezavisnih stupaca u promijenio.

Prema tome i vektori

su linearno zavisni. Kao u prvom dijelu dokaza imamo da se broj linearno nije

transponiramo, dobivamo

nije promijenio. No, to znai da se broj linearno nezavisnih redaka u matrici

Teorem 5 (Teorem o rangu). Broj linearno nezavisnih redaka proizvoljne matrice

tipa ,i

jednak je broju njezinih linearno nezavisnih stupaca. Taj broj se zove rang matrice oznaava se sa

Dokaz. Mnoei matricu dovoljan (konaan) broj puta s lijeva i s desna s odgovarajuim elementernim matricama, matrica se moe svesti na oblik

gdje je jedinica na dijagonali. Stupci (reci) u kojima se pojavljuju jedinice su linearno nezavisni. Dokaz je isti kao dokaz linearne nezavisnosti kanonske baze (primjer 1.7). Ako tim stupcima (recima) dodamo stupac (redak) sastavljen od samih nula, stupci (reci) e postati linearno zavisni, jer mnoei taj stupac (redak) s a druge s nulom, dobivamo nulstupac (nulredak). Tako imamo linearno nezavisnih stupaca i takoer linearno nezavisnih redaka. Time smo dokazali teorem o rangu.

Dokazom ovog teorema smo ujedno dobili metodu za ispitivanje ranga matrice. Treba elementarnim operacijama svesti matricu na oblik kao u dokazu teorema, i zatim oitati broj jedinica na dijagonali. Primjer 1.14 Treba nai rang matrice

Rjeenje.

pa je prema tome Primjer 1.15 Odrediti rang slijedee matrice u ovisnosti o

Rjeenje. Najprije zamjenom redaka i stupaca imamo

Sada mnoenjem prvog retka redom s

i

i dodavanjem treem i etvrtom retku dobivamo

Mnoenjem prvog stupca s odgovarajuim brojevima i dodavanjem ostalim stupcima moemo u prvom retku dobiti same nule. Budui da su u ostalim recima prvog stupca nule, to nee imati nikakvog utjecaja na elemente u ostalim recima. Zato smijemo jednostavno u prvom retku upisati nule. Zatim pomnoimo etvrti redak redom s i s i dodamo drugom i treem retku. Nakon toga etvrti redak preselimo na mjesto drugog.

Sada s drugim stupcem moemo anulirati elemente u drugom retku, a da se nita drugo ne promijeni. Tako imamo konano

Korijeni polinoma rang je ako je

su rang je

Prema tome, ako je

rang je

ako je

Inverzna matricaPrimijetimo najprije da je u dokazu teorema 4 koriteno samo svojstvo regularnosti matrice tako da teorem vrijedi i u sluaju da je bilo koja regularna matrica. Budui da za regularnu kvadratnu matricu vrijedi i da mnoenje s regularnom matricom ne mijenja rang (broj linearno nezavisnih redaka ili stupaca), slijedi da su stupci (reci) regularne matrice linearno nezavisni. Takoer vrijedi i obrat. Ako su stupci (reci) kvadratne matrice linearno nezavisni, onda je matrica regularna. Dakle, vrijedi sljedea tvrdnja. Teorem 6 Neka je dana kvadratna matrica Tada vrijedi sljedee. 1. Ako su stupci (reci) matrice linearno nezavisni, onda je regularna matrica. 2.

Ako je Neka je

regularna matrica, onda su stupci (reci) matrice

linearno nezavisni.

kvadratna regularna matrica. Gauss-Jordanovom metodom, odnosno mnoenjem s svedemo na

lijeva s elementarnim matricama

Tada je

i prema tome

Ova formula nam daje postupak za invertiranje matrice. Taj postupak se sastoji u tome da formiramo pravokutnu matricu tako da matrici dodamo jedininu matricu istog reda, i zatim elementarnim operacijama nad recima prvi dio pravokutne matrice (onaj gdje se prvobitno nalazila matrica ) svedemo na jedininu matricu. U drugom dijelu pravokutne matrice se tada nalazi Primjer 1.16 Treba invertirati matricu

Rjeenje.

Odatle

Mnoenjem se lako moe provjeriti da je to doista inverzna matrica matrice

Struktura skupa svih rjeenja sustava linearnih algebarskih jednadbiKronecker-Capellijev teoremTeorem 7 (Kronecker-Capelli). Sustav linearnih algebarskih jednadbi ima bar jedno rjeenje, ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proirene matrice sustava.

Dokaz. Sustav

moemo shvatiti kao jednakost dva vektorstupca

to se moe napisati i ovako

Na ovaj nain zapisani sustav pokazuje da postoji rjeenje sustava, ako i samo ako se desna strana moe prikazati kao linearna kombinacija stupaca matrice sustava. U tom sluaju je desna strana linearno zavisna od stupaca matrice sustava, tj. rang proirene matrice sustava jednak je rangu matrice sustava. Iz ovog zapisa se vidi da je svaka ureena -torka koeficijenata linearne kombinacije koja daje desnu stranu rjeenje sustava.

Iz zapisa sustava kao u dokazu teorema se vidi jo neto. Ako sustav ima rjeenja i ako su stupci matrice sustava linearno nezavisni, onda se desna strana moe napisati kao linearna kombinacija stupaca matrice i to na jedinstven nain (dokaz jedinstvenosti kao kod dokaza jedinstvenosti prikaza vektora u bazi: teorem 2). U tom sluaju koeficijenti linearne kombinacije ine rjeenje i to jedinstveno. Primjer 1.17 Neka je dan sustav

Stupci matrice sustava su vektori

Oni su linearno nezavisni, ima ih tri, i kako su duljine tri, prema teoremu 3 oni ine bazu u vektorskom prostoru radijvektora u prostoru. Prema tome (v. teorem 2), vektor desne strane

se moe na jedinstven nain prikazati kao linearna kombinacija vektora sustava je ureena trojka koeficijenata linearne kombinacije. Kako je

Rjeenje

rjeenje sustava je

Ako desna strana linearno zavisi od stupaca matrice sustava, i ako su stupci matrice linearno zavisni, onda se desna strana moe na vie naina prikazati kao linearna kombinacija stupaca matrice. U tom sluaju postoje brojevi da je od kojih je bar jedan razliit od nule, tako

pa je

Tako imamo vie rjeenja. Primjer 1.18 Neka je dan sustav

Stupci matrice sustava su linearno zavisni. Ipak njihova linearna kombinacija s koeficijentima daje desnu stranu. Meutim to nije jedina linearna kombinacija koja daje desnu stranu. Desnu stranu daju takoer linearne kombinacije s koeficijentima bilo koji to se lako moe provjeriti. za

Konano, ako desna strana nije linearno zavisna od stupaca matrice, onda ne postoji linearna kombinacija stupaca matrice koja bi dala desnu stranu, pa je sustav nekonzistentan. Primjer 1.19 Neka je dan sustav

Stupci matrice sustava su linearno zavisni. Na pr. trei stupac je linearna kombinacija prva dva s koeficijentima Prema tome skup svih vektora koji su linearne kombinacije sva tri stupca matrice sustava (vektorski prostor razapet sa stupcima matrice) se podudara sa skupom svih vektora koji su linearne kombinacije samo prva dva stupca matrice sustava (vektorski prostor razapet s prva dva stupca). Ako vektorstupce identificiramo s radijvektorima, onda to znai da prva dva stupca (radijvektora) razapinju u prostoru ravninu (zapravo dvodimenzionalni vektorski prostor radijvektora, koji se nalaze u prostoru, ali lee u jednoj ravnini). Ne postoji takva linearna kombinacija prva dva stupca koja daje desnu stranu. To znai da pripadni radijvektor (desne strane) ne lei u ravnini razapetoj s radijvektorima prva dva stupca. Da bismo se u to uvjerili, naimo jednadbu ravnine razapete s prva dva stupca. Radijvektori mogu razapinjati samo ravnine kroz ishodite, pa je toka kojom prolazi ravnina. Zatim, vektor normale je vektorski produkt vektora koji razapinju ravninu, dakle

Prema tome jednadba ravnine je Samo ona desna strana (koordinate toke u prostoru, vrh radijvektora u prostoru) koja zadovoljava ovu jednadbu, jeste nekakva linearna kombinacija stupaca matrice sustava. Lako se vidi da desna strana u ovom primjeru ne zadovoljava jednadbu ravnine, dok je desna strana iz primjera 1.18 zadovoljava.

Struktura skupa svih rjeenjaPretpostavimo da matrica sustava

ima isti rang kao proirena matrica sustava, i to To znai da proirena matrica sustava linearno nezavisnih redaka i stupaca. Radi jednostavnosti pretpostavimo da je prvih redaka i prvih stupaca marice moemo sustav svesti na oblik linearno nezavisno. Tada Gauss-Jordanovom metodom

ima

Odatle itamo

tako da se rjeenje, odnosno skup svih rjeenja moe napisati u obliku

Stavimo

Svako rjeenje

ima oblik

Pretpostavimo da je sustav na poetku bio homogen, tj. da je bilo U tom sluaju na isti nain dobivamo rjeenje

Skup svih takvih vektora, kada parametri uzimaju proizvoljne realne vrijednosti nezavisno jedan od drugog, predstavlja skup svih rjeenja pripadnog homogenog sustava. Uoimo da je taj skup vektorski prostor razapet s vektorima i da su vektori

strane

linearno nezavisni, pa prema tome ine bazu u tom vektorskom prostoru. S druge je jedno rjeenje nehomogenog sustava, i to kad stavimo

Tako vidimo da se skup svih rjeenja sustava moe dobiti tako da se nae jedno rjeenje nehomogenog sustava, to rjeenje zovemo partikularnim, i da se zatim nae neka baza vektorskog prostora svih rjeenja pripadnog homogenog sustava. Jedna od tih baza je Ova diskusija omoguava da se u jednostavnijim sluajevima 'vidi' skup svih rjeenja, to je sadraj sljedeeg primjera. Primjer 1.20 Razmotrimo ponovno primjer 1.18. U tom sluaju je rang matrice sustava jednak rangu proirene matrice, i iznosi dok je Osim toga je trei stupac linearna kombinacija prva dva. Dakle, svako rjeenje je oblika

odnosno

To se moe drukije napisati ovako

to predstavlja parametarske jednadbe pravca u prostoru. Prvi stupac desno od jednakosti ine koordinate toke kojom pravac prolazi, a drugi stupac ine komponente vektora smjera pravca. Rjeenja su dakle toke na pravcu (slika 1.13) u prostoru (radijvektori u prostoru, iji vrhovi lee na jednom pravcu). Rjeenje pripadnog homogenog sustava se dobije tako da se izbaci prvi stupac desno od jednakosti (vektor ). U tom sluaju su rjeenja toke na pravcu kroz ishodite, koji je paralelan gornjem pravcu.

Slika 1.13: Jednoparametarsko rjeenje sustava linearnih algebarskih jednadbi. Kako su u gornjem sustavu samo dvije jednadbe linearno nezavisne, i budui da svaka od njih predstavlja jednadbu ravnine u prostoru, rjeavanje ovog sustava se zapravo svodi na to da se eli dobiti jednadba pravca u prostoru koji je zadan kao presjek dviju ravnina. Primjer 1.21 Ako se sustav sastoji od dvije ili vie jednadbi s tri nepoznanice, od kojih je samo jedna linearno nezavisna, onda to znai da su ostale jednadbe multipli prve. Kako je prva jednadba linearna, skup toaka koji je zadovoljava predstavlja ravninu u prostoru. Dakle, skup svih rjeenja takvog sustava je skup radijvektora (vektorstupaca), iji vrhovi lee u ravnini u prostoru koja je zadana bilo kojom od jednadnadbi sustava (slika 1.14). U pripadnom homogenom sustavu je i dalje samo jedna (bilo koja) jednadba linearno nezavisna, pa kao rjeenje homogenog sustava imamo takoer ravninu, paralelnu prethodnoj, ali koja prolazi ishoditem.

Slika 1.14: Dvoparametarsko rjeenje sustava linearnih algebarskih jednadbi. Zakljuak. Ako s oznaimo skup svih rjeenja pripadnog homogenog, a s vektorski prostor dimenzije skup svih rjeenja gdje je rang matrice

nehomogenog sustava, onda je sustava, i vrijedi

gdje vrijedi

ine bazu u

a

su proizvoljni brojevi. Takoer

Primjer 1.22 Rijeiti sustav jednadbi

Rjeenje. Rjeenje ovog sustava je svaka ureena petorka (vektorstupac)

koja zadovoljava svaku jednadbu. Gauss-Jordanovim postupkom dolazimo do sustava

Odatle,

pa je rjeenje

Pri tom je

partikularno rjeenje, a vektori

ine bazu u vektorskom prostoru svih rjeenja pripadnog homogenog sustava. Primjer 1.23 Diskutirati i rijeiti sljedei sustav jednadbi u odnosu na parametar

Rjeenje. Proirena matrica sustava je

Mnoimo prvi redak redom s i dodamo drugom, odnosno treem retku. Zatim tako dobiveni drugi redak dodamo treem. Konano prvim stupcem anuliramo elemente u prvom retku. Dobijemo

Sada ne smijemo s drugim stupcem anulirati elemente u drugom retku, jer se moe dogoditi da je S elementarnim transformacijama smo gotovi, i treba provesti diskusiju. Ako je onda je pa imamo beskonano mnogo rjeenja (jednoparametarsko rjeenje). Da dobijemo rjeenje u tom sluaju, moramo se vratiti korak natrag, prije anuliranja elemenata u prvom retku, i uvrstiti

Zatim pomnoiti drugi redak s

i dodati ga prvom.

Odatle se ita rjeenje

Ako je

onda je

pa ne postoji rjeenje.

Inae je postupka.

i tada imamo jedinstveno rjeenje, koje dobijemo nakon Gaussovog

Iz zadnje jednadbe itamo da je iz prve jednadbe slijedi

Uvrtavanjem u drugu dobijemo

i konano