93

5 Sistemi linearnih jednačina

5.1 NEKE DEFINICIJE I TEOREME LINEARNE ALGEBRE

Pravougaonu matricu A, sa elementima njmia ji ,...,2,1;,...,2,1,, == ,

=

nmmm

n

n

aaa

aaa

aaa

,2,1,

,22,21,2

,11211

�

���

�

�

A

koja ima m vrsta i n kolona skraćeno ćemo obeležavati kao: A = nmjia ,, ][ (5.1)

i zvaćemo je matrica dimenzija m x n, ili matrica tipa m x n .

Kvadratna matrica

Matrica dimenzija n×n, kod koje je broj vrsta jednak broju kolona, naziva se kvadratna matrica reda n: nnjia ,, ][=A . Specijalni slučajevi kvadratne matrice su,

• nulta, ako su joj svi elementi jednaki nuli: aij = 0, i = 1,2,..,n, j = 1,2,..,n

• donja trougaona L, ako je: aij = 0, i < j,

• gornja trougaona U, ako je: aij = 0, i > j

94

=

=

nn

n

n

nnnn a

aa

aaa

aaa

aa

a

��

…

…

…

��� 0

0222

11211

21

2221

11

UL

• dijagonalna D, ako je: aij = 0, i ≠ j

• jedinična E, ako je dijagonalna i uz to: aii = 1, i = 1,2,..., n

=

=

1

1

1

0

0

0

022

11

��ED

nna

a

a

TEOREMA 1: Determinanta trougaone matrice A je jednaka:

∏=

=

n

iiia

1

detA (5.2)

Transponovanje matrice

Međusobnom zamenom vrsta i kolona matrice nmjia ,, ][=A , dimenzija m x n, dobija se

njena transponovana matrica mnjib ,, ][=B dimenzija n x m, sa elementima:

mjniab ijji ,...,2,1;,...,2,1,,, ===

i pišemo: TAB = .

Kvadratna matrica A je simetrična ako je: A = AT

Za transponovanje zbira i proizvoda (α je skalar), važi:

(A + B)T = AT + BT (5.3a)

(α A)T = α AT (5.3b)

(A B)T = BT AT (5.3c)

95

Inverzna matrica

Inverzna matrica kvadratne matrice A, ako postoji, je kvadratna matrica A-1, takva da važi:

A A-1 = A-1A = E (5.4)

Kvadratna matrica A je • nesingularna (regularna), ako ima inverznu matricu i tada je: detA ≠ 0 • singularna (neregularna), ako nema inverznu maticu i tada je: detA = 0

Ako su A i B regularne, onda važi: (A-1)-1 = A (5.5a) (A B)-1 = B-1 A-1 (5.5b)

Ortogonalna matrica

Ako je matrica A regularna i važi:

ATA = AAT = E ⇔ A-1 = AT (5.6) tj, ako je njena transponovana matrica matrica, jednaka njenoj inverznoj matrici , onda se ona naziva ortogonalna matrica. S obzirom na postupak množenja dve matrice, primetimo da ovo znači:

• da su njene vrste (kolone), posmatrane kao vektori , međusobno ortogonalne jer je skalarni proizvod dve različite vrste (kolone) jednak nuli , (vandijagonalni element proizvoda AAT)

• da su vrste (kolone) jedinični vektori , jer je skalarni proizvod neke vrste (kolone) sa samom sobom jednak jedinici (dijagonalni element proizvoda AAT).

Rang matrice

Submatrica (podmatrica) matrice nmjia ,, ][=A je kvadratna matrica reda k ≤ min{m,n},

koju čine elementi u preseku bilo kojih k redova i k kolona matrice A. Primer:

Neke submatrice 2. reda, matrice:

96

−−−

=110

121

342

A

su:

…,11

34,

21

42

−

−

−−

Za matricu nmjia ,, ][=A kažemo da ima rang r,

rang(A) = r ≤ min {m,n}, ako je bar jedna submatrica reda r nesingularna, a sve submatrice višeg reda singularne. Primer:

2

1111

7832

0321

rang =

−−

−−

jer je:

0

111

783

032

det

111

832

321

det,032

21det �=

−

−−=

−

−−≠

−

TEOREMA 2: Iz T1 sledi da je rang trougaone matrice jednak broju nenultih elemenata na glavnoj dijagonali. Primer:

050

02det,2

500

001

002

≠

=

rang

Elementarne transformacije matrice. Ekvivalentne ma trice

Sledeće transformacije izvedene na nekoj matrici, nazivaju se elementarne transformacije:

• Medusobna zamena dve vrste (kolone) matrice:

97

• Množenje neke vrste (kolone) – kao vektora skalarom α ≠ 0:

α

α

• Dodavanje neke vrste (kolone), pomnožene skalarom α , drugoj vrsti (koloni):

α

α

Elementarne matrice su matrice dobijene primenom neke od elementarnih transformacija na jediničnu matricu E . Označavamo ih kao:

,ijE ( )TijE - dobijena zamenom i- te i j- te vrste (kolone)

),(aiE ( ))(T aiE - dobijena množenjem i –te vrste (kolone) skalarom a

),(aijE ( ))(T aijE - dobijena dodavanjem j– te vrste (kolone), pomnožene sa a, i– toj vrsti (koloni)

Primeri:

T1313

001

010

100

,

100

010

001

EEE =

=

=

98

)2(

102

010

001

)2(),3(

100

030

001

)3( 133122TT EEEE =

==

=

Zapažamo da važi: )()(,)()(, TTT aaaa jiijiiijij EEEEEE ===

TEOREMA 3 : Neku elementarnu transformaciju matrice nmjia ,, ][=A možemo da

izvedemo,

• nad vrstama, množeći je s leva elementarnom matricom reda m, dobijenom istom takvom transformacijom na jediničnoj matrici,

• nad kolonama, množeći je s desna elementarnom matricom reda n, dobijenom istom takvom transformacijom na jediničnoj matrici.

Primeri:

( )

−=−==

−

− →

−

−=

−

1000

0102

0010

0001

)2(,

130

436

740

321

130

218

740

321

31)1(23 EPBA

BPA =

+⋅−−−⋅−+⋅−

−=

−

−⋅

−=130

2321)2(2812

740

321

130

218

740

321

1000

0102

0010

0001

===

−

− →

−

−=

←→

001

010

100

,

031

812

047

123

130

218

740

321

T13

)3()1(

EQBA

BAQ =

−

−=

⋅

−

−=

001

812

047

123

001

010

100

130

218

740

321

Ako je matrica B dobijena od matrice A nizom elementarnih transformacija kažemo da su to ekvivalentne matrice i pišemo:

99

A ∼ B i B ∼ A Ekvivalentne matrice imaju isti rang,

rang (A) = rang (B)

TEOREMA 4 : Svaka matrica nmjia ,, ][=A se može prevesti u ekvivalentnu “trapeznu”

matricu nmjib ,, ][=B , koja kao podmatricu reda r, formiranu od elemenata u preseku prvih r ≤

min(m,n) vrsta i kolona ima gornju nesingularnu trougaonu matricu U (svi dijagonalni elementi različiti od nule) i njribij ,...,2,1;,0 =>=

vrsta)(

vrsta

00

0

00

00

00

0

,1,

,21,2

,11,1

222

11211

rm

r

bb

bb

bb

b

bb

bbb

nrrr

nr

nr

rr

r

r

−

→

+

+

+

…

��

…

…

��

…

…

�…�

…

…

…

�…��

…

…

A (5.7)

U skladu sa T2, rang(A) = rang(B) = rang(U) = r, r ≤ min(m,n) (5.8)

5.2. GAUSOV ALGORITAM ZA ODREDJIVANJE RANGA

Gausove transformacije na matrici nmjia ,, ][=A , radi određivanja njenog ranga baziraju se

na T4 i imaju kao rezultat trapeznu matricu (5.7). One su identične elementarnim transformacijama na proširenoj matrici, u sklopu eliminacionog ili Gausovog postupka rešavanja sistema linearnih jednačina. Tako se k- ti korak Gausovog algoritma za nalaženje ranga matrice A (k < n) sastoji u dodavanju k - te vrste matrice (uz pretpostavku da je dijagonalni element u toj vrsti različit od nule), pomnožene odgovarajućim brojevima, vrstama ispod nje, redom, sa ciljem da elementi ispod dijagonalnog u k-toj koloni transformisane matrice budu jednaki nuli .

Nakon (k-1) koraka Gausovog algoritma, izgled transformisane matrice je:

100

−−−

−−−

−−−

)1()1()1(

)1()1()1(

)1()1()1(

)1(2

)1(2

)1(2

)1(22

1111211

00

00

00

0

kmn

kmj

kmk

kin

kij

kik

kkn

kkj

kkk

njk

njk

aaa

aaa

aaa

aaaa

aaaaa

………

�…�…�…��

………

�…�…�…��

………

�…�…�…��

………

………

U eksponentu nekog elementa matrice, naznačen je broj transformacija koje je taj element doživeo. Pretpostavimo da je,

0)1( ≠−kkka

što je uslov za izvođenje k-tog koraka. Ako uslov nije ispunjen, onda se zamenom k-te i neke druge vrste (kolone), postigne da on bude zadovoljen. Sledeća formula opisuje k-ti korak algoritma:

mkkinkkja

aaaa k

kk

kkj

kikk

ijk

ij ,...,2,1,,...,2,1,)1(

)1()1()1()( ++=++=−=

−

−−

− (5.9)

Gausov postupak se završava kada:

• su svi elementi u vrstama k do m jednaki nuli, ili

• k = m (nema više vrsta), ili

• k = n (nema više kolona)

Mogući oblici rezultujuće trapezne matrice su prikazani na slikama 5.1 i 5.2:

Slika 5.1a - Rezultujuća matrica u slučaju nm≤

r = m

r < m

m ≤ n

101

r = n

r < n

n ≤ m

Slika 5.1b - Rezultujuća matrica u slučaju mn≤ Primer:

−− →

−−−

−− →

−−

−−+

+−

0000

714

03

70

21

1210

71470

0321

1111

7832

0321

7/)2()3()1()3(

)1(2)2(

r = 2

5.3. LINEARNA ZAVISNOST VRSTA (KOLONA) MATRICE

Vektori

Pod vektorom a, podrazumevamo uređenu n-torku ili niz od n realnih brojeva, koje

zovemo koordinate vektora. Vektor sa n koordinata, zvaćemo n-dimenzionalan vektor. Primeri:

dvodimenzionalan vektor a:

−=

2

1a , četvorodimenzioni vektor b:

=

5

0

0

2

b ,

vektor položaja tačke M(x,y,z) u Dekartovom koordinatnom sistemu:

=

z

y

x

M )(r

102

Linearna zavisnost vektora

Kaže se da su vektori kii ,...,2,1, =a linearno zavisni, ako postoje brojevi

kii ,...,2,1, =λ od kojih je bar jedan različit od nule, takvi da je:

0a =λ∑=

k

iii

1

(5.10)

To znači da se bar jedan od njih može predstaviti kao linearna kombinacija ostalih:

kjk

jii

iij ,...,2,1,1

=δ=∑≠=

aa (5.11)

gde su iδ skalari i zovu se koeficijenti linearne kombinacije (5.11).

Primeri: a)

12

243214321

22

100

2

1002

aa

aaaaa0aaaa

=

=++=⇒=++−

b)

214

412

4243214321

4

1

2

1

42

22

120

2

1402

aaa

aaa

aaaaaa0aaaa

+−=

+=

−=−+=⇒=++−

Trivijalan slu čaj linearne kombinacije je da je samo jedan od brojeva iλ u (5.10) različit od nule. Tada je očigledno jedini vektor koji se može izraziti kao linearna kombinacija ostalih (5.11) nula vektor, jer su svi koeficijenti iδ jednaki nuli. U daljim razmatranjima,

izuzećemo trivijalan slučaj.

Ako je jednačina (5.10) zadovoljena samo kada su svi skalari jednaki nuli kii ,...,2,1,0 ==λ , onda se kaže da su vektori kii ,...,2,1, =a linearno nezavisni. Drugim

rečima, nijedan od njih se ne može izraziti kao linearna kombinacija (5.11) ostalih. Ako je skup vektora kii ,...,2,1, =a linearno nezavisan (skup linearno nezavisnih vektora), lako je

pokazati da je i svaki njegov podskup takođe linearno nezavisan. Tako se može govoriti o maksimalnom broju linearno nezavisnih vektora u nekom skupu vektora.

Primeri: a) Skup tri vektora u ravni Oxy (n = 2),

103

−=

−=

−=+−=

1

5.2,

5.0

25.1,

1

5.25.2 321 aajia

nije linearno nezavisan. Na primer:

a1+ a3 + 0a2= 0, 0a1+ a2 – 0.5a3= 0, ...

Bilo koja dva od 3 data vektora su linearno zavisni od trećeg, tj. mogu se dobiti množenjem trećeg vektora nekim skalarom ≠ 0. Na primer,

1312 ,5.0 aaaa −=−=

Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora je k = 1. Vektori su kolinearni - leže na jednoj pravoj u Oxy ravni, koja prolazi kroz koordinatni početak. b) Vektori u Oxy ravni,

−−=

−=

=+=

1

2,

2

2,

2

12 321 aajia

su 3 linearno zavisna vektora. Na primer:

a1+ 0.5a2+ a3 = 0 .

Vektori ne leže na jednoj pravoj i maksimalan broj linearno nezavisnih vektora je k = n = 2. Svaki par od data 3 vektora čini skup linearno nezavisnih, dakle nekolinearnih, vektora. Na primer,

0a1+ 0a2 = 0

Bilo koji od posmatranih vektora je neka linearna kombinacija ostala dva. Na primer,

)5.0( 213 aaa +−=

Vektorski prostori i potprostori

Beskonačan skup svih n - dimenzionalnih vektora (vektori sa n koordinata) zajedno sa

operacijama:

• množenja vektora skalarom • sabiranja vektora

x

y

a3

a1

a2 x

y

a3

a2

a1

a) b)

x

a3 = - a1 a2 = 0.5a3 = - 0.5a1 a3 = - (a1 +0.5a2)

k = 1 k = n= 2

j=b2

i=b1

104

• skalarnog množenja vektora

naziva se n - dimenzionalni vektorski prostor. Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora u n-dimenzionalnom vektorskom prostoru je tačno jednak n. Bilo koji skup, koji sadrži maksimalan broj linearno nezavisnih vektora naziva se baza vektorskog prostora, a njeni elementi kii ,...,2,1, =b , bazni vektori. Iz definicije linearne zavisnosti vektora, sledi da su

svi ostali vektori neke linearne kombinacije baznih vektora. Jedna očigledna baza n - dimenzionalnog vektorskog prostora su vektori:

=

=

=

1

0

0

,,

0

1

0

,

0

0

1

21�

���

nbbb

Ta baza se naziva kanonična baza. Kanoničnu bazu u trodimenzionalnom Euklidskom prostoru čine ortovi (jedinični vektori) i, j i k, jer se svaki vektor v u tom prostoru (brzina, sila itd.) može razložiti na ta tri vektora, tj. prikazati kao linearna kombinacija:

kjiv 321 xxx ++=

čiji su koeficijenti koordinate ili komponente vektora v u koordinatnim pravcima.

U n - dimenzionalnom vektorskom prostoru, odabrani skup od k (k ≤ n) linearno nezavisnih vektora formira jednu bazu k – dimenzionog vektorskog potprostora u kome je svaki vektor jednak nekoj linearnoj kombinacija odabranih baznih vektora. Primeri:

a) U prethodnom primeru a), svi kolinearni vektori, koji leže na pravoj definisanoj bilo kojim od tri data dvodimenzionalna vektora, čine jedan 1- dimenzioni vektorski potprostor, za čiju se bazu može uzeti recimo vektor a1

b) U prethodnom primeru b), maksimalan broj linearno nezavisnih od data tri dvodimenzionalna vektora (n = 2) je: k = n = 2. Pošto nijedan par od tri data vektora ne leži na jednoj pravoj, on se može uzeti kao baza 2- dimenzionalnog vektorskog potprostora. Ako bi pak, dva od tri vektora bili kolinearni, recimo a1 i a2 oni ne bi mogli činiti bazu 2-dimenzionalnog potprostora.

c) Tri komplanarna, nekolinearna vektora u trodimenzionalnom prostoru (slika)

y a1

x

a3

z

a2

n = 3 k = 2

105

Pošto vektori leže u jednoj ravni, linearno su zavisni i i bilo koji od njih se može raložiti po ostala dva. Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora je 2 i bilo koja dva od tri vektora, ako nisu kolinearni, mogu da se uzmu kao baza 2-dimenzionog vektorskog potprostora, koga čine svi vektori u datoj ravni.

d) Tri nekomplanarna vektora u trodimenzionalnom prostoru (slika). Vektori ne leže u istoj ravni, pa su linearno nezavisni:

λ1a1+ λ2a2+ λ3a3 = 0, za λ1= λ2= λ3= 0

i formiraju jednu bazu 3- dimenzionog vektorskog (pot)prostora.

y a1

x

a3

z

a2

k = n = 3

Broj nezavisnih vrsta (kolona) matrice

Vrste i kolone neke matrice nmija ,][=A su vektori. Pri tom razlikujemo:

• horizontalne vektore ili vektor- vrste, sa po n koordinata (elemenata) • vertikalne vektore ili vektor- kolone, sa po m koordinata (elemenata)

Dogovorićemo se da se pod nekim vektorom a, b, c, itd. podrazumeva vertikalni vektor. Horizontalan vektor ćemo onda označavati kao transponovani vertikalan vektor.

Primeri:

]3,5.0,5.2,1[,

3

2

0

−−=

−= Tba

Ako dozvolimo da elementi matrica i vektora mogu da budu vektori i matrice, onda je

očigledno da neku matricu nmija ,][=A , možemo da prikažemo alternativno kao:

106

• (1 x n) matricu, tj. vektor- vrstu , čiji su elementi, m- dimenzionalni vektori- kolone • (m x 1) matricu, tj. vektor- kolonu čiji su elementi , n- dimenzionalni vektori- vrste

[ ] [ ]iniiTi

mj

j

j

j

Tm

T

T

n bbb

a

a

a

…��

… 212

1

2

1

21 ,, =

=

== ba

b

b

b

aaaA (5.12)

TEOREMA 5 : Maksimalan broj linearno nezavisnih vektora - vrsta matrice nmija ,][=A ,

jednak je maksimalnom broju linearno nezavisnih vektora- kolona i jednak je rangu matrice.

Iz teoreme neposredno sledi: )(rang)(rang TAA = (5.13)

Neka je rang matrice nmija ,][=A jednak r i neka je submatrica reda r u gornjem levom uglu

matrice A, nesingularna. Znači da su prvih r kolona, rjj ,...,2,1, =a matrice linearno

nezavisne, kao i prvih r vrsta, riTi ,...,2,1, =b . Ostale kolone (vrste) su onda neke linearne

kombinacije tih r kolona (vrsta):

nrrjrrjjjj ,...,2,1,2211 ++=λ++λ+λ= aaaa � (5.14a)

mrriT

rriT

iT

iTi ,,2,1,2211 �… ++=λ′++λ′+λ′= bbbb (5.14b)

5.4 ODREDIVANJE BROJA NEZAVISNIH HEMIJSKIH REAKCIJA

Da bi mogli da iskoristimo metode linearne algebre u stehiometriji, koristićemo sledeći

uopšteni prikaz hemijske reakcije, tj. stehiometrijske jednačine:

r

r

107

01

=∑=

cN

iii Aν (5.15)

Nc je broj supstanci koje učestvuju u reakciji. Ai označava susptancu, koja učestvuje u reakciji, tj. njen molekul, a νi njen stehiometrijski koeficijent, pri čemu važi dogovor:

reakcijiu reaktant za

reakcije produkt za

0

0

<>

iν

Primer:

Stehiometrijsku jednačinu:

224 3HCOOHCH +=+

prevodimo, prebacujući molekule reaktanata na desnu stranu znaka jednakosti, u ekvivalentnu, koja ima oblik (5.15):

03 242 =−−+ OHCHHCO

Ako supstance označimo kao:

2432241 ,,, HACOAOHACHA ====

imamo:

3,1,1 4321 =ν=ν−=ν=ν

i posmatranoj reakciji dodeljujemo horizontalan vektor:

]3,1,1,1[ −−=Tr

Ako se u sistemu odigrava više reakcija, njihove stehiometrijske jednačine se prikazuju na

sledeći način:

r1

,...,2,1,0 NjACN

iiij ==ν∑

=

(5.16)

gde su: Ai - komponenta i u reakcionoj smeši νij - stehiometrijski koeficijent i-te komponente u j-toj reakciji Nc - broj komponenata u sistemu Nr - broj reakcija u sistemu Primer: Reakcije između komponenata C, O2, CO i CO2

C + 1/2 O2 = CO (R1) CO + 1/2O2 = CO2 (R2)

108

CO2 + C = 2CO (R3)

U formi (5.16) one izgledaju:

- C - 1/2 O2 + CO = 0 (R1) - 1/2O2 - CO + CO2 = 0 (R2)

- C + 2CO - CO2 = 0 (R3)

pri čemu smo komponente numerisali kao: C(1), O2(2), CO (3) i CO2(4).

Jasno je da je sistem reakcija (5.16) definisan matricom stehiometrijskih koeficijenata dimenzija (Nc x NR) koju zovemo stehiometrijska matrica S:

rc NNijS ,][ν= (5.17)

Primer: Stehiometrijska matrica za sistem reakcija u prethodnom primeru je:

S=− −

− −−

−

1 0 1

1 2 1 2 0

1 1 2

0 1 1

/ /

Praktičan problem u stehiometriji je određivanje broja nezavisnih reakcija, tj. stehiometrijskih jednačina u nekom reakcionom sistemu. Nezavisna hemijska reakcija u skupu Nr reakcija je ona, čija se stehiometrijska jednačina ne može dobiti kao linearna kombinacija ostalih. U transponovanoj stehiometrijskoj matrici, vrste jednoznačno odgovaraju reakcijama, tj. stehiometrijskim jednačinama, a kolone komponentama.

=

νννν

νννν

νννν

=

T

T

T1

,,,2,1

,21

1,12111

rrCrr

C

C

N

j

NNNiNN

jNijjj

Ni

T

rr

r

r

S

�

�

……

�…�…��

……

�…�…��

……

j - ta reakcija

i - ta komponenta

Sledi da je broj nezavisnih hemijskih reakcija NR u sistemu od Nr reakcija:

NR = rang (S) = rang (ST) (5.18)

109

Zadatak 5.1 Odrediti broj i odabrati jedan skup nezavisnih reakcija u reakcionom sistemu:

2NO + O2 = 2NO2 (1) 2NO = N2 + O2 (2) N2 + 2O2 = 2NO2 (3) 4NH3 + 3O2 = 2N2 + 6H2O (4) 4NH3 + 6NO = 5N2 + 6H2O (5) Rešenje:

U sistemu imamo Nr = 5 reakcija i Nc = 6 komponenata. Ako komponente označimo kao:

NO2 = A1, N2 = A2, O2 = A3, NO = A4, H2O = A5, NH3 = A6

transponovana stehiometrijska matrica sistema će biti:

654321

5

4

3

2

1

466050

460320

000212

002110

002102AAAAAA

T

T

T

T

T

T

−−−−

−−−−−

=

=

r

r

r

r

r

S

Sprovodimo Gausov postupak za nalaženje ranga matrice ST:

−−−

−

−

→

−−−−

−−−

→

−−−−

−−−

→

−−−−

−−−−−

→

−−−−

−−−−−

−

−−+

−

→←

000

000

000

000

464

002

002

500

110

102

000000

464500

464500

002110

002102

464500

464500

000000

002110

002102

466050

460320

002110

002110

002102

466050

460320

000212

002110

002102

)3()4(

)5()3(

)2(5)5()2(2)4(

)2()3(

)1()3(

654321 AAAAAA

110

Dobili smo:

rang(ST) = 3

Kao nezavisne (bazne) reakcije možemo da odaberemo one, koje odgovaraju prvim trima vrstama u rezultujućoj matrici (pošto su one sigurno linearno nezavisne), a pošto je u Gausovom postupku bilo premeštanja vrsta (zamena 3. i 5. vrste u 3. koraku), to su 1, 2. i 5. vrsta u polaznoj matrici. Jedan skup nezavisnih ili baznih reakcija je:

(1) 2A1 - A3 - 2A4 = 0 2NO + O2 = 2NO2

(2) A2 + A3 - 2A4 = 0 2NO = N2 + O2

(5) 5A2 - 6A4 + 4A5 - 4A6 = 0 4NH3 + 6NO = 5N2 + 6H2O

Ostale reakcije:

(3) 2A1 - A2 - 2A3 = 0 N2 + 2O2 = 2NO2

(4) 2A2 - 3A3 + 6A5 - 4A6 = 0 4NH3 + 3O2 = 2N2 + 6H2O

su zavisne i neke su linearne kombinacije nezavisnih (vidi jednačine 5.14a,b). Te kombinacije su:

(3) = (1) - (2), (4) = (5) – 3(2)

Koeficijenti u tim kombinacijama se dobijaju rešavanjem odgovarajucih sistema linearnih jednačina. Na primer za 3. reakciju, treba odrediti koeficijente iλ u linearnoj

kombinaciji:

5322113 rrrr λ+λ+λ=

odnosno,

−

−λ+

−λ+

−−λ=

−−

4

6

6

0

5

0

0

0

2

1

1

0

0

0

2

1

0

2

0

0

0

2

1

2

321

Iz te vektorske jednačine sledi sistem od 6 linearnih jednačina sa nepoznatima

321 ,, λλλ :

111

0400

0600

0622

20

150

2002

321

321

321

321

321

321

=λ−λ+λ=λ+λ+λ=λ−λ−λ−−=λ+λ+λ−−=λ+λ+λ=λ+λ+λ

To je saglasan sistem, pa se rešava sistem od tri odabrane nezavisne jednačine. Recimo, ako odaberemo prvu, drugu i poslednju, onda iz poslednje dobijamo:

03 =λ

Smenom u 1. jednačinu i rešavanjem po 1λ dobijamo:

11 =λ

i konačno, sa tim vrednostima, iz 2. jednačine dobijamo: 12 −=λ 5.5 EGZISTENCIJA REŠENJA SISTEMA LINEARNIH JEDNAČINA

Posmatrajmo sistem od m linearnih jednačina sa n nepoznatih:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=+++

=+++

=+++

�

�

�

�

2211

22222121

11212111

(5.19)

ili u vektorskom obliku:

bAx = (5.20) gde su:

=

==

mn

nm

b

b

b

x

x

x

a��

2

1

2

1

,ij ,,][ bxA

112

Trebaće nam proširena matrica sistema, koju ćemo označiti sa ][ bA i koju dobijamo kada

matrici sistema A dodamo, kao kolonu, vektor slobodnih koeficijenata b:

[ ]

==

mmn2mm1

2n22221

1n11211

][

baaa

baaa

baaa

…

�����

…

…

bA,bA

Kroneker-Kapelijeva teorema TEOREMA 6 (Kronecker- Capelli): Sistem linearnih jednačina ili kraće SLJ (5.19) je saglasan (ima rešenje) ako i samo ako je: ][rang)(rang bAA ==r

ili, ako rang ove matrice sistema i proširene matrice označimo sa AbA rr , ,

r = rA = rAb ≤ min (m,n) (5.21)

Pri tom, SLJ ima:

• ako je r = n, jedinstveno rešenje - korektan i određen problem

• ako je r < n, beskonačno mnogo rešenja – korektan i neodređen problem.

U protivnom, ako je rA < rAb, kaže se da je sistem protivure čan ili nesaglasan, ili da je problem nekorektan.

Slučajevi korektnog određenog problema su:

• Kvadratni SLJ, tj. r = m = n. Matrica sistema je nesingularna )0(det ≠A i rešenje se dobija množenjem s leva obe strane jednačine (5.20), inverznom matricom:

bAx 1−

= (5.22)

• Pravougaoni SLJ, tj r = n < m. Od ukupno m jednačina, nezavisno je n, a "višak" od (m - n) jednačina su neke linearne kombinacije tih n jednačina. Tako, rešenje dobijeno rešavanjem kvadratnog sistema sa n nezavisnih jednačina, zadovoljava i ostale jednačine (vidi rešenje Zadatka 5.1)

Slučajevi korektnog neodređenog problema su:

• r = m < n , što znači su u sistemu sve jednačine nezavisne (r = m ), ali one sadrže više nepoznatih od broja jednačina, pa je problem neodređen, tj. ima beskonačno mnogo rešenja.

113

• r < m < n ili r < n ≤ m , što znači da je od ukupno m , nezavisno r jednačina, koje sadrže više od r nepoznatih.

Njegovo rešavanje će biti objašnjeno kasnije.

Primer 1: 2x + y = 4 (1) x - y = -1 (2) (n = m = 2)

Gausove transformacije proširene matrice:

−− →

−− − 35.10

412

111

4122/)1()2(

rA = rAb = n = 2

Sistem ima jedinstveno rešenje: x = 1, y = 2

Geometrijska interpretacija: Prave 2x + y = 4 i x - y = -1 se seku u tački (1,2)

Primer 2:

2x + 3y = 6 (1) 4x + 6y = 12 (2) (n = m = 2)

→

− 000

632

1264

632)1(2)2(

⇒ r = rA = rAb = 1

Jednačine nisu nezavisne (r < m): druga se može dobiti množenjem prve sa 2. Sistem je saglasan i ima beskonačno mnogo rešenja. Geometrijska interpretacija: prave (1) i (2) se poklapaju.

Primer 3:

2x + 3y = 6 (1) 4x + 6y = 24 (2) (n = m = 2)

→

→

− 0120

362

1200

632

2464

632)1(2)2(

⇒ rA = 1, rAb = 2

Sistem je nesaglasan – nekorektan problem. Geometrijski: paralelne prave.

x

(1) (2)

1

1

y

114

Primer 4: 2x + y + z = 4 (1)

x - y + 2z = -1 (2) (n = 3, m = 2 < n )

−− →

−− − 35.15.10

4112

1211

41122/)1()2(

, r = rA = rAb = m = 2

Sistem je saglasan i ima beskonačno mnogo rešenja (r < n) – korektan neodređen problem. Geometrijska interpretacija: presek 2 ravni.

Primer 5:

2x + y + z = 4 (1) 6x + 3y + 3z = 12 (2) (n = 3, m = 2 < n)

→

− 0000

4112

12336

4112)1(3)2(

r = rA = rAb = 1< m,

Druga jednačina se dobija iz prve, množenjem sa 3. Problem je neodređen i korektan. Geometrijska interpretacija: 2 ravni koje se poklapaju.

rešenje - ravan

z

y

x

x

y

z

115

Primer 6: 2x + 3y - z = 6 (1) 4x + 6y - 2z = 10 (2) (n = 3, m = 2 < n)

−

−→

−

− →

−−

⋅− 0020

3162

2000

6132

10264

6132)1(2)2(

rA = 1, rAb = 2

Sistem je nesaglasan, tj. problem je nekorektan. Geometrijska interpretacija: dve paralelne ravni

Primer 7:

2x + y = 4 (1) x - y = -1 (2) x + 2y = 5 (3) (n = 2, m= 3 > n)

r = r A = rAb = 2

Treća jednačina se dobija oduzimanjem druge od prve. Korektan određen problem, koji ima jedinstveno rešenje: x = 1, y = 2. Geometrijska interpretacija: tri prave, koje se seku u jednoj tački.

y

(1)

x

(2)

(3)

Primer 8: 2x + 3y = 6 (1)

4x + 6y = 12 (2) 6x + 9y = 18 (3) (n = 2, m= 3 > n)

rA = rAb = 1

Samo jedna jednačina je nezavisna. Jednačine (2) i (3) se dobijaju množenjem (1) sa 2, odnosno 3. Problem je korektan neodređen. Geometrijska interpretacija: tri prave, koje se poklapaju.

Primer 9: 2x + y = 4 (1)

116

x - y = -1 (2) x + y = 5 (3) (n = 2, m= 3 > n)

rA= 2, rAb= 3

Sistem je nesaglasan. Geometrijska interpretacija: tri prave, koje se ne seku u jednoj tački.

Broj stepeni slobode i rešavanje saglasnog neodre đenog SLJ

Pod brojem stepeni slobode d saglasnog SLJ, podrazumeva se razlika broja nepoznatih i zajedničkog ranga matrice sistema i proširene matrice sistema:

>=−=

problem neodredjen0

problemodredjen 0rnd (5.23)

i predstavlja broj nepoznatih, kojima se moraju zadati neke vrednosti (tzv. slobodne promenljive) da bi se mogle odrediti vrednosti preostalih r nepoznatih. Na primer, u primerima 2, 4 i 8 broj stepeni slobode je 1: jednoj od nepoznatih (slobodna promenljiva) se zadaju neke vrednosti. U primeru 5 imamo dva stepena slobode – dve od tri nepoznate su slobodne promenljive (npr. za odabrani par vrednosti x i y, z se dobija kao treća koordinata tačke u ravni, definisanoj jednačinama sistema) .

Neka je submatrica koju čine elementi u preseku prvih r vrsta i r kolona proširene matrice ][ bA nesingularna. To se uvek može postići elementarnim transformacijama – međusobna

zamena mesta vrsta (kolona), što znači prenumeraciju jednačina (nepoznatih). Tako je prvih r jednačina međusobno nezavisno, a svaka od preostalih m - r je neka njihova linearna kombinacija, pa će je zadovoljiti rešenje tih r jednačina. Postupak se sastoji u tome da:

1. Uzmemo samo prvih r jednačina (u specijalnom slučaju r = m < n, to su sve jednačine)

y

(1)

x

(2)

(3)

117

2. U tom sistemu, nepoznate xr+1, ..., xn prebacimo na desne strane jednačina

3. Uzimajući proizvoljne vrednosti za te nepoznate, rešavamo rezultujući sistem od r jednačina sa r nepoznatih

Primer:

x1- 2x2+3x3= 1 (1) 3x1+ 2x2- 4x3= 2 (2) 5x1- 2x2+2x3= 4 (3)

( ) ( )( ) ( )

−−

− →

−−

−×−×−

0000

11380

1321

4225

2423

1321

153132

⇒ rA= rAb= 2

Prve dve jednačine su nezavisne, a treća je njihova linearna kombinacija:

(3) = 2×(1) + (2)

Uzimamo prve dve jednačine i nepoznatu x3 (slobodna promen.) prebacujemo na desnu stranu :

x1- 2x2= 1- 3x3

3x1+ 2x2= 2 + 4x3

Eliminišemo iz druge jednačine nepoznatu x1 tako što od druge oduzmemo prvu jednačinu, pomnoženu sa 3. Rezultat je ekvivalentan sistem:

x1- 2x2= 1- 3x3

8x2= -1 + 13x3

Iz druge dobijamo x2 u funkciji slobodne promenljive:

32 8

13

8

1xx +−=

i smenom tog izraza u prvu i rešavanjem po x1:

31 4

1

4

3xx +=

Za svaku odabranu vrednost za slobodnu promenljivu x3 dobijamo jedan par vrednosti x1 i x2 , tj. jedno od beskonačno mnogo rešenja datog SLJ. Homogen SLJ

U slučaju da je vektor slobodnih koeficijenata jednak nuli imamo homogen SLJ: Ax = 0 (5.23)

U skladu sa T6, homogen SLJ (5.23) je uvek saglasan jer iz b = 0 sledi:

118

rA= rAb = r

i ima očigledno rešenje x = 0, koje se naziva trivijalno. Da bi homogen SLJ imao i netrivijalna rešenja (beskonačno mnogo), potrebno je i dovoljno da bude:

r < n

tj. da bude neodređen. U slučaju kvadratnog sistema (m = n), to znači da je matrica A singularna (det A = 0). Netrivijalna rešenja se dobijaju opisanim postupkom za rešavanje saglasnih neodređenih SLJ.

5.6 GAUSOV ELIMINACIONI METOD REŠAVANJA SLJ

U daljem izlaganju ćemo se ograničiti na kvadratne saglasne SLJ: r = n = m. Postoji dva tipa postupaka za njhovo rešavanje:

• direktni ili eliminacioni • iterativni

Najpoznatiji eliminacioni postupak je Gausov. Elementarne transformacije identične

onima za određivanje ranga matrice, sprovode se na proširenoj matrici ][ bA i imaju za

rezultat ekvivalentan (ima isto rešenje kao polazni sistem) trougaoni sistem jednačina (matrica sistema je gornja trougaona), sa proširenom matricom:

→−

nn,n

n,nn-,n-n-

,n

,n

βαβαα

βααβααα

000

00

0

[

1111

2222

111211

…

…

��

……

……

b]A (5.24)

pri čemu su dijagonalni elementi αi,i ≠ 0, jer je u skladu sa pretpostavkom, rA = n (det(A) ≠ 0). U k – tom koraku postupka, uz uslov ak, k≠ 0, vrši se ustvari eliminacija nepoznate xk iz jednačina: k + 1, k + 2,..., n. Međusobnoj zameni vrsta (kolona), da bi se, ako je neophodno, na poziciju (k,k) u matrici doveo nenulti element, odgovara prenumeracija jednačina (promenljivih). Rezultujući trougaoni sistem (5.24) se zatim rešava “unazad”, povratnim zamenama, tako da se iz poslednje jednačine izračuna xn, onda iz pretposlednje xn-1 itd:

1,...,2,1,1

1

−−=

α−βα=

αβ=

∑+=

nnixx

x

n

ijji,ji

i,ii

n,n

nn

(5.25)

119

Originalan Gausov metod doživeo je različite modifikacije, sa ciljem smanjivanja akumulacije grešaka zaokruživanja u toku računskog procesa, tj. gubitka sigurnih cifara . Naime, svaki od koraka Gausovog algoritma uključuje operaciju oduzimanja, koja može da prouzrokuje gubitak značajnih cifara (ako su bliski operandi), što naročito u u slučaju rešavanja velikih sistema jednačina (veliki broj operacija) može da obezvredi krajnje rezultate. Radi se dakle o potencijalno nestabilnom ili loše uslovljenom računskom postupku tj. sistem koji se rešava može da bude loše uslovljen (osetljiv na promene koeficijenata u jednačinama). Jedan od kriterijuma loše uslovljenosti kvadratnog saglasnog SLJ je mala vrednost determinante sistema, kada se on približava neodređenom saglasnom sistemu. Pomenute modifikacije neće biti obrađene u ovom materijalu.

5.7 GAUS - ŽORDANOV ELIMINACIONI METOD

Kod Gaus-Žordanov postupka (Gauss-Jordan), u k-tom koraku se nepoznata xk eliminiše ne samo iz jednačina k + 1, k + 2, ... , n, već i iz prethodnih jednačina: 1,2,. .., k – 1. Tako je krajnji rezultat dijagonalan SLJ, sa proširenom matricom:

βα

βαβα

→nn,n…

……………

…

…

00

00

00

[ 222

111

b]A (5.26)

čija se rešenja dobijaju direktno:

xi= βi/αi,i, i = 1,2,...,n

Ako se još prva jednačina sistema sa proširenom matricom (5.26) podeli sa α11, druga sa α22, ... , poslednja sa αn,n rezultat će biti SLJ sa jediničnom matricom sistema, tj. proširenom matricom:

′

′′

nβ

ββ

100

010

001

2

1

…

……………

…

…

čija se rešenja dobijaju direktno:

′β= iix , i = 1,2,...,n

Ukupan broj osnovnih računskih operacija, a time i računsko vreme, za Gaus - Žordanov postupak je veći nego za Gausov, što ga čini i osetljivijim na greške zaokruživanja u slučaju loše uslovljeninih SLJ.

Izračunavanje inverzne matrice

120

Uprkos navedenom nedostatku, Gaus - Žordanov postupak ipak ima primenu i to za izračunavanje inverzne matrice, neke nesingularne matrice A, paralelnom primenom opisanih transformacija na jediničnu matricu E. Naime, u skladu sa T3 (poglavlje 5.1), primena prve transformacije na matrici A, reda n, odgovara njenom množenju s leva matricom T1= T1E, koja se dobija primenom iste transformacije na matrici E, reda n . Na taj način, primena prve i druge transformacije odgovara množenju matrice A sleva matricom T2T1E. Tako, primena niza svih n Gaus – Žordanovih transformacija, kojima se matrica transformiše u jediničnu, opisana je jednačinom:

( ) EAETTT =⋅⋅⋅ 11-nn

iz koje sledi,

111-

−

=⋅⋅⋅ AETTT nn

Tako se inverzna matrica neke nesingularne matrice A može dobiti primenom Gaus- Žordanovih transformacija na proširenu matricu ][ EA , sa ciljem da se A prevede u jediničnu

matricu. Kao što smo se uverili, matrica E će pri tom da se transformiše u matricu A-1:

][

100

010

001

100

010

001

][ 1

21

2221

11211

21

22221

11211

−=

→

= AEEA

nnnn

n

n

nnnn

n

n

bbb

bbb

bbb

aaa

aaa

aaa

……

�…���…��

……

……

……

�…���…��

……

……

5.8 REŠAVANJE TRODIJAGONALNOG SLJ

U hemijsko inženjerskim proračunima se sreću SLJ specijalnog tipa: tro- ili tridijagonalni linearni sistemi, kod kojih prva i poslednja jednačina sadrže samo po dve nepoznate, a ostale jednačine po tri nepoznate i to tako da matrica sistema ima trodijagonalnu formu (svi elementi van tri dijagonale su jednaki nuli):

==

−−−

−−−

nn

nnn

nnn

ac

bac

bac

bac

bac

ba

0000

000

000

000

000

0000

,

111

222

333

222

11

…

…

�

��

…

…

…

BdBx (5.27)

121

Sa ciljem značajne uštede memorijskog prostora i računskog vremena pri rešavanju većih tridijagonalnih sistema, Tomas (Thomas) je predložio eliminacioni postupak, koji se bazira na tzv. LU faktorizaciji , tj teoremi:

TEOREMA 7 : Svaka regularna matrica A se može na jedinstven način prikazati kao proizvod jedne donje i jedne gornje trougaone matrice ( LU faktorizacija):

A = LU

U skladu sa teoremom, trodijagonalnu matricu B je moguće faktorizovati kao: B = WQ (5.28) pri čemu su donja trougaona matrica W i gornja trougaona matrica Q samo bidijagonalne:

=

=−−−

1000

100

0100

0010

0001

,

00

000

00

00

000

1

3

2

1

11

33

22

1

……

……

��

…

…

…

……

…

��

……

……

……

n

nn

nn q

q

q

q

wc

wc

wc

wc

w

QW (5.29)

Njihove elemente dobijamo iz (5.28). Tako, na primer, izjednačujući odgovarajuće elemente u prvoj vrsti matrice B i proizvoda WQ dobijamo:

w1 = a1 w1q1 = b1 ⇒ q1 = b1/w1 a u drugoj vrsti: c2 = c2

c2q1 + w2 = a2 ⇒ w2 = a2 - c2q1

w2q2 = b2 ⇒ q2 = b2/w2

Tako izvodimo algoritam:

n,...,i,qcaw,w

bqaw iiii

i

ii ,32; 1

1

1111 =−===

−

−

−

− (5.30)

Ako još definišemo vektor g na sledeći način:

d = Wg (5.31) onda polazni sistem jednačina postaje: WgWQx = i ako ga sleva pomnožimo sa matricom W-1:

Qx = g (5.32)

122

Sistem (5.32) se lako rešava, budući da je, prethodno izračunata matrica Q bidijagonalna. Vektor g računamo iz (5.31):

=

+

++

=

⋅

=

− nnnnnnnn d

d

d

d

gwgc

gwgc

gwgc

gw

g

g

g

g

wc

wc

wc

w

���

…

��

…

…

…

3

2

1

1

3323

2212

11

3

2

1

33

22

1

00

00

00

000

Wg

,...,n,i,w

gcdg

w

dg

i

iiii 32; 1

1

11 =

−== − (5.33)

Preostalo je da se reši sistem (5.32), povratnim zamenama:

=

+

++

=

⋅

=−−−−−

n

n

n

nnn

n

nn

g

g

g

g

x

xqx

xqx

xqx

x

x

x

x

q

q

q

1

2

1

11

322

211

1

2

1

1

2

1

1000

1

00

010

001

���

…

�

�

…

…

Qx

121; 1 ,...,,nni,xqgxgx iiiinn −−=−== + (5.34)

Možemo da rezimiramo Tomasov postupak:

1. Odrediti vektore w i q pomoću jednačine (5.30)

2. Izračunati vektor g, pomoću jednačine (5.33)

3. Dobiti rešenja sistema iz jednačine(5.34)

Zadatak 5.2 Rešiti sledeći SLJ:

335

422

25.023

12

43

432

321

21

=−

=++−

=++

=+

xx

xxx

xxx

xx

Rešenje (Mathcad):

ORIGIN 1:=

n 4:=

123

Matrica sistema je trodijagonalna: Vektor slobodnih koeficijenata:

A

1

3

0

0

2

2

1−

0

0

0.5

2

5

0

0

2

3−

:= d

1

2

4

3

:=

Vektori a,b i c (dijagonale): a

1

2

2

3−

:= b

2

0.5

2

0

:= c

0

3

1−

5

:=

A x⋅ d−

0

0

0

0

=Provera:

x

0.2

0.4

1.2

1

=Resenje: x

ig

iq

ixi 1+

⋅−:=i n 1− n 2−, 1..:=

xn

gn

:=

Povratna zamena:

g

1

0.25

2.267

1

=

gi

di

cig

i 1−⋅−

wi

:=i 4:=gi

di

cig

i 1−⋅−

wi

:=i 3:=gi

di

cig

i 1−⋅−

wi

:=i 2:=

g1

d1

w1

:=Racunanje vektora g:

w

1

4−

1.875

8.333−

=q

2

0.125−

1.067

=w

iai

ciq

i 1−⋅−:=q

i 1−

bi 1−

wi 1−

:=i 4:=

wi

ai

ciq

i 1−⋅−:=q

i 1−

bi 1−

wi 1−

:=i 3:=

wi

ai

ciq

i 1−⋅−:=q

i 1−

bi 1−

wi 1−

:=i 2:=

w1

a1

:=Racunanje vektora w i q:

124

5.9 LINEARNA ALGEBRA U MATHCAD-U Mathcad ima određen broj operatora i funkcija za manipulaciju vektorima i matricama. Pri

tom: • Pod vektorom se u Mathcad-u podrazumeva vektor-kolona (vertikalni vektor) • Operator množenja predstavlja matrično množenje ako su argumenti matrice • Ako su argumenti vektori, operator množenja daje skalarni proizvod

Neki matrično-vektorske operatori se mogu realizovati pomoću Matrix alata od kojih su najvažniji alati za,

• formiranje matrice-vektora, • izbor pojedinačnog elementa matrice ili vektora • izbor kolone matrice, • nalaženje inverzne matrice date kvadratne matrice, • nalaženje transponovane matrice, • nalaženje determinante matrice (primenjen na matricu daje determinantu a

primenjen na vektor daje intenzitet vektora), • vektorizaciju, tj. primenu operatora i funkcija, koje su inače definisane nad

skalarima, na svim elementima neke matrice (vektora)

Od matrično-vektorskih funkcija navešćemo sledeće (za preostale funkcije i ostale detalje konsultovati Help):

rows(M) - daje kao rezultat broj redova matrice M cols(M) - daje kao rezultat broj kolona matrice M length(v) - daje kao rezultat broj elemenata vektora v last(v) - daje indeks poslednjeg elementa vektora v rank(M) - daje kao rezultat rang matrice M (kvadratne ili pravougaone)

submatrix(M,r1,r2,k1,k2) - izdvajanje podmatrice iz matrice M i to od vrste sa indeksom r1 do r2 i kolone sa indeksom od k1 do k2.

stack(A,B,C...) - daje kao rezultat matricu čije kolone predstavljaju spojene odgovarajuće kolone matrica A,B,C... (u redosledu odozgo, prema dole). Sve matrice moraju imati isti broj kolona.

augment(A,B,C...) - daje kao rezultat matricu čije vrste predstavljaju spojene odgovarajuće vrste matrica A,B,C... (u redosledu s leva na desno). Sve matrice moraju imati isti broj vrsta.

lsolve(A,b) - daje kao rezultat rešenje saglasnog određenog kvadratnog sistema linearnih jednačina Ax = b ( rangA = n = m).

Rešavanje SLJ pomo ću Solve Block-a

U Mathcad-u se za rešavanje SLJ može koristiti i tzv. Solve Block. Treba naglasiti da je ovaj način, u principu, namenjen rešavanju sistema nelinearnih algebarskih jednačina.

Solve Block omogućuje rešavanje saglasnih,

• kvadratnih (n = m) i pravougaonih (n ≠ m) SLJ

125

• određenih i neodređenih (jedan set vrednosti ostalih, za odabrane vrednosti slobodnih promenljivih) SLJ

Solve Block-a počinje sa Given a završava se pozivom funkcije Find. Argumenti funkcije Find su imena nepoznatih čija se rešenja traže, razdvojene zarezima (npr. x1, x2 , x3). Funkcija Find kao rezultat vraća vektor rešenja (vektor x). Između Given i Find je definisan SLJ koji se rešava i to ne pomoću operatora za dodelu vrednosti ( :=) nego pomoću relacionog operatora jednako (=) iz Boolean kompleta alata. Solve Block zahteva polazne procene nepoznatih, zato što se podrazumeva sistem nelinearnih jednačina. U slučaju kada se rešava SLJ, mada su polazne procene obavezne, njihove vrednosti su irelevantne i mogu se odabrati bilo kakve vrednosti (na primer, što je najlakše, sve nulte vrednosti).

Primer: (Mathcad)

x

0.75

0.055

0.172

=x lsolve A b,( ):=

Resenje- Funkcija lsolve

x

0.75

0.055

0.172

=x A

1−b⋅:=

Resenje- Matricni racun

Sistem je saglasan i ima jedinstveno resenje: (rang = broj promenljivih)

rank augment A b,( )( ) 3=rank A( ) 3=

- determinanta matriceA 256−=

- broj kolonam 3=m cols A( ):=

- broj redovan 3=n rows A( ):=

b

3

2−

5

:=A

5

3−

6

2

8−

6

5−

4

1

:=

A x⋅ b

Kvadratni sistem

ORIGIN 1:=

126

Solve block

x1 0:= x2 0:= x3 0:= 1. Polazne procene

Given 2. Pocetak Solve Block-a

A

x1

x2

x3

⋅ b

X Find x1 x2, x3,( ):= 3. Zavrsetak Solve Block-a

Provera:

X

0.75

0.055

0.172

= A X⋅

3

2−

5

= b

3

2−

5

=

=============================================================

x4 0:=x3 0:=x2 0:=x1 0:=

broj stepeni sloboded 1=d cols A( ) rank A( )−:=

Sistem je saglasan i ima beskonacno mnogo resenja (rang < broj promenljivih)

rank augment A b,( )( ) 3=rank A( ) 3=

Matrica sistema je singularnaA 0=

Ne moze na ovaj nacin x =xx A1−

b⋅:= A1−Resenje

b

3

3

5

10−

:=A

6

6

6

12−

6

6

6

12−

5−

5−

1

2−

2

1−

5

10−

:=

Kvadratni sistem - saglasan i neodredjen

127

Given

A

x1

x2

x3

x4

⋅ b

X Find x1 x2, x3, x4,( ):=

X

0.778

0

0.333

0

= A X⋅

3

3

5

10−

= b

3

3

5

10−

=

Kako se vidi iz prethodnog primera, Mathcad daje jedno od beskonačno mnogo rešenja. Pri tom je odabranoj slobodnoj promenljivoj (tako da rezultujući redukovan kvadratni SLJ bude saglasan) dodeljena nulta vrednost. Međutim, pošto se u rešenju ovog primera javljaju dve nulte vrednosti, za promenljive x2 i x4, ne možemo da zaključimo koja od njih je odabrana kao slobodna promenljiva.

Korisnik može sam da bira slobodne promenljive i njihove vrednosti, koje definiše unutar Solve Block-a. Pri tom je važno naglasiti, da je dozvoljen izbor onaj, koji za rezultat ima nesingularnu (r x r) submatricu matrice sistema A (r = rangA), kao matricu redukovanog SLJ, koji sadrži preostale nepoznate (vidi rešavanje saglasnog neodređenog SLJ u Pogl. 5.5). Ako taj uslov nije zadovoljen, rezultujući redukovani SLJ će biti nesaglasan jer je rang matrice sistema manji od ranga r proširene matrice. Fiksirajmo, u prethodnom primeru, na primer, promenljivu x1.

x1 0:= x2 0:= x3 0:= x4 0:=

Given

Unutar solve block-a mogu figurisati visejednacina (nejednacina) nego sto imamo promenljivihA

x1

x2

x3

x4

⋅ b

x1 3 fiksirana promenljiva

X Find x1 x2, x3, x4,( ):=

X

3

2.222−

0.333

0

= A X⋅

3

3

5

10−

= b

3

3

5

10−

=

128

Dobili smo jedno od rešenja neodređenog saglasnog sistema. Izbor promenljive x4 kao slobodne, međutim nije dozvoljen:

Primer: Mathcad

x1 0:= x2 0:= x3 0:= x4 0:=

Given

A

x1

x2

x3

x4

⋅ b

x4 fiks

X Find x1 x2, x3, x4,( ):=X Find x1 x2, x3, x4,( ):= X =X

Ovakav sistem se ne moze resiti. Ako pogledamo rezultujuci sistem.

A

x1

x2

x3

fiks

⋅

6 x1⋅ 6 x2⋅ 5 x3⋅−+ 20+

6 x1⋅ 6 x2⋅ 5 x3⋅− 10−+

6 x1⋅ 6 x2⋅+ x3+ 50+

12− x1⋅ 12 x2⋅− 2 x3⋅− 100−

→ b

3

3

5

10−

=

matrica sistema vektor rezultata

Sada je A1 X⋅ b1 gde su:

b1 b

17−13

45−90

−:=A1

6

6

6

12−

6

6

6

12−

5−5−

1

2−

:=

rank A1( ) 2= rank augment A1 b1,( )( ) 3=

U sledećem primeru su ilustrovane sledeće mogućnosti:

• kao argument funkcije Find smo koristili vektor nepoznatih x. Ovo je korisno ako imamo veliki broj jednačina u sistemu

129

• nulte polazne procene se realizuju dodeljivanjem nulte vrednosti samo poslednjem elementu vektora x4. Mathcad automatski dodeljuje nulte vrednosti svim prethodnim, nedefinisanim elementima vektora.

Primer: Mathcad

Pravougaoni sistem - vise jednacina od promenljivih

A

1

3

2

4

3−

2−

8−

2−

5

10

2

16

5

3

4

8

3−

10−

8

1−

1

2

1

12−

:= b

12

8−

1

2

8

10−

:=

rank A( ) 4= rank augment A b,( )( ) 4=

d cols A( ) rank A( )−:= d 0= sistem je saglasan i odredjen

x4 0:=

Given

A x⋅ b

X Find x( ):=

X

1.221

0.775

2.204−

3.5

= A X⋅

12

8−

1

2

8

10−

= b

12

8−

1

2

8

10−

=

130

ZADACI 5.1 a) Polazeći od (5.3c) dokazati da važi:

TTTT ABCABC =)(

b) Date su matrice:

−

−=

−−

−=

−−−

=202

031

211

,

123

341

215

,

214

132

311

CBA

Koristeći Mathcad alat za transponovanje matrice, sa datim matricama proveriti pravila:

(1) TTT BABA +=+ )( , (2) TTT ABAB =)( , (3) TTTT ABCABC =)(

c) Pokazati, koristeći Mathcad alat da je matrica DDT simetrična, gde je :

=

3422

31771

4113

D

5.2 a) Dokazati da važi:

111111 )()(,)( −−−−−−

==TT AAABCABC

b) Koristeći Matcad funkciju rank uveriti se da su matrice A,B i C iz prethodnog zadatka nesingularne (regularne)

c) Koristeći Mathcad alate proveriti, na matricama iz prethodnog zadatka pravila:

(1) )det()det( AA =T , (2) )det(/1)det( 1 AA =

− , (3) BAAB detdet)det( ⋅=

(4) AA =−− 11)( , (5) 111)( −−−

= ABAB , (6) 1111)( −−−−

= ABCABC

5.3 Koristeći Mathcad alate i funkcije, izračunati matricu X iz jednačine:

EAXEA +=− )2(

gde je E jedinična matrica (generisati je funkcijom identity ), a A je matrica:

=

101

432

210

A

131

Rešenje:

−−=

1055.0

613

15.005

X

5.4 U lekciji V Praktikuma, date su: funkcija za zamenu dve vrste matrice, Zamvrsta i funkcija za množenje neke vrste matrice skalarom a, Vrstaxa. Dodaćemo im i funkciju za treću elementarnu transformaciju nad vrstama matrice: dodavanje vrste j pomnožene skalarom a, vrsti i :

Vplusv A i, j, a,( ) A AT←A i⟨ ⟩ A i⟨ ⟩ a A j⟨ ⟩⋅+←A AT←

Areturn

:=

a) Koristeći date funkcije za izvođenje elementarnih transformacija, izvesti na matrici A

−−

−−

=1042

1113

5131

0123

A

sledeće transformacije, redom: (1) treću vrstu, pomnoženu sa 5, dodati prvoj, (2) pomnožiti drugu vrstu sa 4, (3) zameniti drugu i treću vrstu. Rezultujuća matrica je matrica B. Kakve su (međusobno) matrica A i B? Mogu li one imati različite rangove?

b) Iste transformacije izvesti na jediničnoj matrici istog reda, sa matricom P kao rezultatom i onda proveriti Teoremu 3.

5.5 Po ugledu na funkcije za izvođenje elementranih transformacija nad vrstama (prethodni zadatak) definisati funkcije: Zamkol, Kolxa, Kplusk za izvođenje istih transformacija na kolonama. Zapaziti da su one kraće, jer nije neophodno transponovanje matric, pošto Mathcad ima alat za rad sa kolonama neke matrice kao sa vektorima.

a) Formirati matricu Q, takvu da se množenjem matrice A iz prethodnog zadatka tom matricom, realizuju sledeće transformacije na matrici A, redom: (1) Zamena prve i treće kolone, (2) Oduzimanje prve od četvrte kolone, (3) Deljenje četvrte kolone sa 2. 5.6 Za ekvivalentne matrice A i B se kaže da su slične, ako postoji regularna matrica P takva da je :

APPB 1−=

Matrica P se zove matrica transformacije ili transformišuća matrica.

a) Dokazati (teorijski) da slične matrice imaju jednake determinante.

b) Uveriti se da je matrica:

132

−−−−−−=

21212121

21212121

21212121

21212121

T

ortogonalna.

b) Pokazati da se matrica:

−−

−−

=0111

1011

1101

1110

A

transformacijom T-1AT , prevodi u dijagonalnu matricu D. Kakve su (međusobno) matrice A i D?

c) Izračunati na osnovu Teoreme 1 determinantu matrice D.

d) Uveriti se da matrice A i D imaju jednake determinante (koristiti Mathcad-alat).

5.7 a) Koliki, najviše, može biti rang matrice:

−−−−−−−−−−−−−−−−−

=

121111

572106

134852

220112

211321

A

b) Odrediti njen stvarni rang, koristeći funkcije Zamvrsta i Gaus (Glava V u Paraktikumu) i uporedi rezultat sa onim dobijenim funkcijom rank . c) Koliko linearno nezavisnih kolona ima matrica A? Koliki je broj linearno nezavisnih vrsta matrice?

d) Odabrati jedan set nezavisnih vrsta (kolona) i napisati (u opštem obliku) jednačine kojima se ostale vrste (kolone) date matrice mogu dobiti od nezavisnih vrsta (kolona).

5.8 Data je matrica:

=

3422

31771

1104

4113

aA

a) Odrediti a tako da matrica ima najmanji rang. b) Koliki je njen rang za ostale vrednosti a. Rešenje: a) 0 b) 3

5.9 Koristeći funkcije Zamvrsta, Gaus i Vrstaxa (Glava V u Paraktikumu), izvršiti inverziju matrice:

133

=

10957

91068

5657

78710

A

Gaus-Žordanovim postupkom i proveriti rezultat.

5.10 Koristeći Mathcad alat i funkciju augment, proveriti na najbrži način da li su međusobno ortogonalni vektori:

−−=

−−=

−

−=

=

1

1

1

1

,

5.1

5.1

5.1

5.1

,

2

2

2

2

,

1

1

1

1

dcba

5.11 a) Koliki najviše može da bude broj linearno nezavisnih 4-dimenzionih vektora u skupu od n vektora gde je n > 4 ?

b) Odrediti stvarni maksimalan broj linearno nezavisnih vektora u skupu:

−=

−=

−=

=

−

−=

2

2

1

2

,

3

4

3

3

,

1

2

2

1

,

3

0

3

2

,

0

4

2

1

edcba

Rešenje: b) 4

5.12 a) Pokazati da je maksimalan broj linearno nezavisnih vektora k u skupu:

[ ] [ ] [ ] [ ]4826,2413,4628,2314 4321 −−=−−=−−=−−=TTTT aaaa

jednak 2. b) U datom skupu vektora naći sve moguće baze k - dimenzionog potprostora, k = 2 . Koristiti za to mogućnost "deljenja" dva vektora u Mathcad-u čiji je rezultat vektor, čiji su elementi količnici odgovarajućih elemenata prvog i drugog vektora.

Rešenje: a) Mathcad: A stack a1 a2, a3, a4,( ):= rank A( ) 2=

b) (a1,a3), (a1,a4), (a2,a3), (a2,a4)

5.13 a) Pokazati da je u sistemu reakcija:

OHCOOOHCH

HCOOHCH

HOCHOHCH

OHOCHOOHCH

2223

23

223

2223

223)4(

2)3(

)2(

21)1(

+=+

+=

+=

+=+

22

222

223

2423

21)8(

21)7(

)6(

)5(

COOCO

OHOH

OHHCOOHOOHCH

OHCHHOHCH

=+

=+

+=+

+=+

(najveći) broj linearno nezavisnih reakcija jednak 6

134

b) Korišćenjem funkcija rank i submatrix uveriti se da se kao jedan set nezavisnih reakcija mogu uzeti reakcije (1) - (6) Rešenje: a) Mathcad : rank S( ) 6= b) Mathcad : rank submatrix ST 0, 5, 0, 8,( )( ) 6=

5.14 Pokazati, koristeći funkciju rank da je sledeći sistem jednačina:

45554

23333

02

12

54321

54321

54321

54321

=+−−+

=+−−+

=−++−

=+−−+

axxxxx

bxxxxx

xxxxx

xxxxx

a) za a = 7, b = 4 nesaglasan b) za a = 6, b = 5 nesaglasan c) za a = 6, b = 4 saglasan i ima 2 stepena slobode

5.15 Ispitati da li je sledeći sistem jednačina saglasan i određen

72322

1423

632

123

4321

4321

4321

4321

=−+−−

=+++−

=+++

=+−−

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

i ako jeste, rešiti ga (1) pomoću Mathcad alata (2) koristeči funkciju lsolve

Rešenje: Mathcad :

rank A( ) 4= lsolve A b,( )

2

1−

3

0

=

5.16 a) Pokazati da je sledeći sistem jednačina

058

253

8232

4223

8322

6232

421

4321

4321

4321

4321

4321

=++

=−−−

−=++−

=+−+

=−−−

=−++

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

saglasan i određen.. b) Uveriti se da su prve 4 jednačine nezavisne i imajući to u vidu, naći rešenje sistema pomoću funckije lsolve. c) Rešiti polazni sistem pomoću SOLVE bloka.

5.17a) Postaviti sistem linearnih jednačina (tj. definisati matricu sistema i vektor slobodnih članova), čije rešenje daje koeficijente u linearnoj kombinaciji, kojom se vektor e u Zadatku 5.11 dobija iz ostala 4 vektora. b) uveriti se da je taj sistem saglasan i određen

135

c) izračunati te koeficijente pomoću funkcije lsolve i proveriti rešenje

Rešenje: a) Mathcad : abcd augment a b, c, d,( ):= b) Mathcad : rank abcd( ) 4=

c)Mathcad:

lsolve abcd e,( )

0

0

1−

1

=

5.18a) Postaviti sisteme linearnih jednačina, čija rešenja daje koeficijente u linearnim kombinacijama, kojima se reakcije (7) i (8) u Zadatku 5.13 dobijaju iz prethodnih reakcija. b) uveriti se da su to saglasni i određeni sistemi c) izračunati te koeficijente pomoću dva SOLVE bloka i proveriti rešenja d) izračunati tražene koeficijente u jednom SOLVE bloku

Rešenje: a) Mathcad:

A submatrix S 0, 8, 0, 5,( ):=

r7 S 6⟨ ⟩:= r8 S 7⟨ ⟩:=

b) Mathcad:

rank A( ) rank augment A r7,( )( ) 1=

rank A( ) rank augment A r8,( )( ) 1= c) Mathcad: A λ 7⋅ r 7,A λ 8⋅ r 8 d) Mathcad: A λ⋅ augment r7 r 8,( ) 5.19 a) Uveriti se da sistemi reakcija: I II

OO

HH

HOHOH

OHOH

2

2

5.0

5.0

2

2

22

222

=

=

+=

+=

HOOOH

OHHOH

OHHHOH

OHHOH

+=+

+=+

+=+

+=

2

2

22

2

sadrže samo nezavisne reakcije. b) Koristeći SOLVE blok, pronaći linearne kombinacije, kojima se reakcije sistema II dobijaju iz reakcija sistema I i proveriti rešenja.

Rešenje: a) Mathcad :rank S1( ) 4= rank S2( ) 4=

b) Mathcad : S1 λ⋅ S2

5.20 a) Proveriti saglasnost sledećih sistema jednačina.

1)

732

21084

532

4

32

321

31

321

=+−

−=++

=+

=+−

xx

xxx

xx

xxx

2)

42232

626

033

54321

54321

54321

−=+−−+−

=−++−

=+++−

xxxxx

xxxxx

xxxxx

136

3)

1392

4182473

034

4321

4321

4321

=+++

=−++

=−++

xxxx

xxxx

xxxx

4)

04844

2

5432

02

4321

321

321

4321

=++−

=++

=+−

=++−

xxxx

xxx

xxx

xxxx

b) Rešive sisteme rešiti pomoću SOLVE bloka. Za neodređene sisteme dobiti jedan skup rešenja, sa proizvoljnim izborom vrednosti slobodnih promenljivih.

5.21 Sledeći sistem jednačina

194.02.12.0

33.04.01.0

47.04.01.0

66.05.0

43

432

321

21

=+

=++

=++

=+

xx

xxx

xxx

xx

rešiti Tomasovim postupkom i to a) direktnom realizacijom algoritma u Mathcad-u b) korišćenjem funkcije Th (Praktikum, XVI-4)

Rešenje: a),b)

=

12.0

25.0

32.0

5.0

X