Reportเรื่อง การแกวง่ของลกูตุ้มแบบควบคู่

(Coupled pendulums)จดัทำาโดย นางสาวสภุาว ีชยัสทิธิ ์B5582105

คำานำา หลังจากท่ีเรยีนกลศาสตรค์ลาสสกิในเรื่องของการสัน่แบบควบคู่และได้

คำานวณหาค่าความถ่ีลักษณะเฉพาะ (eigen-frequencies) เชงิทฤษฎีแล้ว ก็อยากนำาทฤษฏีที่ได้เรยีนมามาใชก้ับการปฏิบติับา้งเลยทำาการทดลองการสัน่ของลกูตุ้มแบบคู่ควบโดยการใชล้กูตุ้มสองอันเมื่อแกวง่อันหน่ึงก็จะสง่ผลอีกลกูหน่ึงเกิดการถ่ายเทพลังงานไปมาระหวา่งลกูตุ้มทัง้สองที่แขวนอยูเ่สน้เดียวกันลกูตุ้มทัง้สองจะไมห่ยุดถ้าไมม่แีรงภายนอกมากระทำา จะสัน่ไปเรื่อยๆๆ ในการสัน่ไปเรื่อยๆๆของลกูตุ้มนัน้มอีะไรบา้งท่ีเกี่ยวขอ้งกับผลที่เกิดขึ้นน้ี ไมว่า่จะเป็น แรงคู่ควบ รูปรา่งของเชอืก ขนาดของเชอืก หรอืความยาวของเชอืกที่ใชแ้ขวน หรอืมอ่ืีนๆอีกหรอืไม ่ผู้ทดลองก็จะศึกษาต่อไป แล้วนำาผลท่ีได้มาอภิปรายวา่ผลการทดลองตรงตามทฤษฏีมากน้อยเพยีงใด เป็นเพราะเหตใุด การทดลองถึงคลาด

เคล่ือนและมวีธิกีารแก้ไขอยา่งไรเพื่อใหผ้ลการทดลองใกล้เคียงกับทฤษฏีมากท่ีสดุ เป็นต้น

บทคัดยอ่ ในการทดลองน้ีเป็นการทดลองเพื่อหาค่าความแรงของความคู่ควบของ

การสัน่แบบ coupled oscillation หาได้จากการสัน่ของลกูตุ้มสองอันที่สง่ถ่ายพลังงานเพื่อใชใ้นการสัน่ สลับกันไปมา [1] จากนัน้ใชโ้ปรแกรม Tracker ในการหาตำาแหน่งตามแนวราบเทียบกับเวลาเพื่อนำาไปใชใ้นการหา Fourier transform (ทำาตามแบบฝึกหดัของ Matlab) ขอ้มูล Fourier transform ท่ีได้จะมค่ีาสงูสดุเป็นยอด 2 ค่า โดยตำาแหน่งในแกน x ท่ีค่าสงูสดุ 2 ค่าน้ีก็คือ eigen-frequencies ( f ) (ความถ่ีเชงิมุม = 2f)ของการแกวง่ของลกูตุ้มแบบควบคู่ตามรูปที่ 1 มา 1 กรณี จากนัน้เปล่ียนตัวแปรเฉพาะความยาวเชอืก l โดยควบคมุตัวแปรอ่ืนๆใหเ้หมอืนเดิม ( แล้วทำาการทดลองเพื่อหาความสมัพนัธข์อง eigen-frequencies กับ ตัวแปร l น้ี จากผลการทดลองค่าความแรงของความควบคู่ ค่าท่ีได้จากผลการทดลอง ความแรงของความควบคู่ เป็นค่าไมค่งท่ีคงที่ เพราะ จะขึ้นอยูก่ับความตึงเชอืกและรูปรา่งของเสน้เชอืกท่ีอยูต่ามแนวนอน ในการทดลอง เมื่อทำาการแกวง่ลกูตุ้มเมื่อเวลาผ่านไปนานๆๆอาจจะทำาให ้เชอืกท่ีแขวนลกูตุ้มหยอ่นได้เน่ืองจากลกูตุ้มหนักมากเมื่อเทียบกับเชอืกท่ีใชใ้นการทดลองทำาใหผ้ลการทดลองคลาดเคล่ือนไปมาก อีกทัง้รูปรา่งของเชอืกที่ใชท้ดลองนัน้ใชล้วดทดแดงเวลาปรบัความตึงเชอืกเป็นการอยากท่ีจะทำาใหเ้ชอืกตึงได้พอดีเพราะเสน้

ลวดมคีวามล่ืนไมม่แีรงเสยีดทานทำาใหเ้ชอืกหยอ่นเกิดค่าคลาดเคล่ือนในการทดลองได้ และจากการ Tracker ขอ้มูลของผู้ทดลองท่ียงัไมค่่อยชำานาญแมน่ตรงเท่าไรท่ำาใหค้่า ความแรงของการควบคู่คลาดเคล่ือนได้เหมอืนกัน

วธิกีารทดลอง (Eperiment,Materials and

methods)ตอนท่ี 1

บนัทึกวดิิโอ โดยใชก้ล้องที่มคีวามละเอียดของเฟรม 210 เฟรมต่อวนิาที บนัทึกการแกวง่คู่ควบของลกูเหล็ก (ลกูเหล็กมมีวล 0.0447 กิโลกรมั วดัโดยใชเ้ครื่องชัง่ไฟฟา้ท่ีมคีวามละเอียดถึงทศนิยม 4 ตำาแหน่ง ) เป็นการแกวง่ของลกูตุ้มมวล 0.0447 กิโลกรมั ที่หอ้ยจากเชอืกยาว 15 เซนติเมตร โดยปลายของเชอืกอีกด้านหน่ึงผูกติดกับเชอืกท่ีขงึตึงในแนวนอน ทำาการทดลองบนัทึกซำ้าอีกแต่เปล่ียนความยาวเชอืกที่หอ้ยเป็น 20 25 30 เซนติเมตร ตามลำาดับระยะเวลาการถ่ายวดีีโอควรมคีวามยาวพอสมควรซึ่งเหน็แอมพลิจูดขึ้นลงมากกวา่ 3 รอบ )

ตอนท่ี 2 นำาวดิิโอของลกูเหล็ก มา track ขอ้มูล โดยใช ้Program Tracker Ver. 4.8 เพื่อหาตำาแหน่งตามแนวราบเทียบกับเวลาเพื่อนำาไปใชใ้นการหา Fourier transform ขอ้มูล Fourier transform ท่ีได้จะมค่ีาสงูสดุเป็นยอด 2 ค่า โดยตำาแหน่งในแกน x ท่ีค่าสงูสดุ 2 ค่าน้ีก็คือ eigen-frequencies ( f ) แล้วนำาค่าที่ได้ 2 ค่าไปหาความถ่ีเชงิมุม ( = 2f)จากนัน้นำาไปแทนค่า ω1=√ gl และ ω2=√ gl + 2 τ

ml2 จะได้ ค่า เป็นตัวแปร

แสดงความแรงของความควบคู่ (coupling strength) มหีน่วยเป็นจูล (J) ทัง้น้ีค่า จะขึ้นอยูก่ับความตึงเชอืกและรูปรา่งของเสน้เชอืกท่ีอยูต่ามแนวนอน

ผลการทดลอง(Results)

จากทฤษฏี

Coupled Pendulums and Normal Modes

In this experiment you will examine the behavior of coupled pendulums, and investigate the dependence of the normal mode frequencies on the strength of the coupling. Before starting the experiment you have to be familiar with the concepts of normal modes, exchange or beat frequencies, and the theory of the simple physical pendulum.

1. Single PendulumConsider the oscillations of one pendulum. Pendulum is a simple rod, length , total mass , oscillating

around one end. When the pendulum is given a small angular displacement from the vertical, a torque acts in it.

, 11\* MERGEFORMAT ()where is the acceleration of gravity, and is the distance from the centre of gravity to the axis of oscillation. Then the equation of motion of the pendulum is

, 22\* MERGEFORMAT ()

where is the moment of inertia with respect to the axis of oscillation. For our pendulum, and . If

the angle of oscillation is small we may approximate , and Equation 2 becomes

, 33\* MERGEFORMAT ()with the solution

, 44\* MERGEFORMAT ()

where . We see from Equation 4 that the pendulum will execute harmonic oscillations with respect to

the vertical with a frequency .

2. Two Coupled PendulumsNow consider the situation when we couple the motions of two identical pendulums by means of a spring with

spring constant . Let the relaxed spring length be equal to the distance between the axis of oscillation, and let the

spring be connected to the pendulum rods at a distance from the axes of oscillation (see Figure 1). Then the differential equation of motion of pendulum 1 is:

Figure 1: Two coupled pendulums

.55\* MERGEFORMAT ()The motion of pendulum 1 now directly influences the motion of pendulum 2, via the extensions and

compressions of the coupling spring. For small , the differential equations of motion can be written as

, 66\* MERGEFORMAT ()

where and .For pendulum 2 the equation of motion is

. 77\* MERGEFORMAT ()The solutions to Equations 6 and 7 are:

, 88\* MERGEFORMAT ()

, 99\* MERGEFORMAT ()

where and .The motion of the pendulums is now the superposition of two simple harmonic motions, with the (different)

frequencies and . The constants , , and depend on initial conditions.The motions are particularly simple for the following cases:

1) Initial conditions (at )

Then

. 1010\* MERGEFORMAT ()

Both pendulums vibrate in phase at the same frequency ; this motion is called the “first normal mode of vibration” for our system.

2) Initial conditions (at )

Then

. 1111\* MERGEFORMAT ()This is the second normal mode.

3) Initial conditions (at )

Then

, 1212\* MERGEFORMAT ()

. 1313\* MERGEFORMAT ()

Equation 12 says that the motion of pendulum 1 is a harmonic motion (with frequency with an

amplitude which changes with time; in fact, the amplitude itself is oscillating with a frequency

. So at time the amplitude is zero; at the amplitude is ; at

the amplitude is zero again and at the amplitude is , etc.The two pendulums periodically exchange their mechanical energy; the exchange period is

and the exchange frequency . That is: if at pendulum 2 has all the

mechanical energy (and pendulum 1 is at rest momentarily), then at time all the mechanical energy is in pendulum 1, (and pendulum 2 is at rest).

การแกวง่ของลกูตุ้มแบบควบคู่ (Coupled pendulums)

รูปท่ี 1 การแกวง่ของลกูตุ้มแบบควบคู่ (ในแนวตัง้ฉากกับระนาบของกระดาษ)

ทฤษฎีพื้นฐานตามรูปท่ี 1 เป็นการแกวง่ของลกูตุ้มมวล m ท่ีหอ้ยจากเชอืกยาว l โดย

ปลายของเชอืกอีกด้านหน่ึงผูกติดกับเชอืกที่ขงึตึงในแนวนอน ทัง้น้ีการสัน่แบบควบคู่นัน้เกิดขึ้นเพราะการแกวง่ของแต่ละลกูตุ้มก็ต่างมผีลกับพลังงานศักยท่ี์เปล่ียนไปได้ในเสน้เชอืกท่ีถกูขงึใหตึ้งในแนวนอนที่จะมรีะยะยดืหดเกิดขึ้นเล็กน้อยจากแกวง่ของแต่ละลกูตุ้ม จากแบบจำาลอง (โดยการประมาณ) จะได้พลังงานศักยอ์ยูใ่นรูป

V=−mgl cos (θ1)−mglcos (θ2 )+12τ (θ1−θ2)

2 [3]

จะได้md2

d t2 (θ1

θ2) = −kl( θ1

θ2)

หา k ij = ∂2 v

∂x i∂x j ; x1=lθ1 , x2=lθ2

k11 = ∂2

l2∂θ12= ∂

l2∂θ1(mgl sinθ1 + τ (θ1−θ2 ))

= 1l2

(mglcosθ1+ τ )

k11= 1l2

(mgl+τ )

k 22= 1l2

(mgl+ τ )

k12 =( 1l2 ) ∂2v∂θ1∂θ2

(mgl sinθ2 + τ (θ2−θ1 ))

k 21 =( 1l2 ) ∂2v∂θ1∂θ2

(mgl sinθ2 + τ (θ2−θ1 ))

จาก

ml d2

d t2 ( θ1

θ2) = −1

l2 [mgl+τ −τ−τ mgl+τ ]l( θ1

θ2)

d2

d t 2 ( θ1

θ2) = −1

ml2 [mgl+τ −τ−τ mgl+τ ]( θ1

θ2)

d2

d t 2 ( θ1

θ2) = [−gl −

τml2

τml2

τml2

−gl− τml2

]หา λได้จาก |~Α−λ~1|= 0

จะได้ |−gl − τml2

−λ τml2

τml2

−gl− τml2

−λ| = 0

(−gl − τml2

−λ)2

−( τml2 )2

= 0

(−gl − τml2

−λ− τml2 ) (−gl − τ

ml2−λ+ τ

ml2 )= 0

−gl− τml2

−λ− τml2

=0 และ−gl − τml2

−λ+ τml2

= 0

λ = −gl และ λ=−gl− 2 τml2

ดังนัน้ ω1=√ gl และ ω2=√ gl + 2 τml2

จาก ω=2πf

ω1−ω2=√ 2 τml2

***[2]

ผลจากการทดลองจากการ ใชโ้ปรแกรม Tracker ในการหาตำาแหน่งตามแนวราบเทียบกับเวลาเพื่อนำาไปใชใ้นการหา

Fourier transform

รูปท่ี (1) กราฟแสดงตำาแหน่งตามแนวราบเทียบกับเวลาของลกูเหล็กท่ีแขวนด้วยเชอืกยาว 15 cm

รูปท่ี (2) กราฟแสดงตำาแหน่งตามแนวราบเทียบกับเวลาของลกูเหล็กท่ีแขวนด้วยเชอืกยาว 20cm

รูปท่ี (3) กราฟแสดงตำาแหน่งตามแนวราบเทียบกับเวลาของลกูเหล็กท่ีแขวนด้วยเชอืกยาว 25cm

รูปท่ี (4) กราฟแสดงตำาแหน่งตามแนวราบเทียบกับเวลาของลกูเหล็กท่ีแขวนด้วยเชอืกยาว 30cm

ขอ้มูล Fourier transform ท่ีได้จะมค่ีาสงูสดุเป็นยอด 2 ค่า โดยตำาแหน่งในแกน x ท่ีค่าสงูสดุ 2 ค่านี้ก็

คือ eigen-frequencies ( f )

รูปท่ี (5) กราฟแสดงความถ่ี (เฮิรต์) กับแอมปลิจูด (เมตร) ของลกูเหล็กท่ีแขวนด้วยเชอืกยาว 15cm

รูปท่ี (6) กราฟแสดงความถ่ี (เฮิรต์) กับแอมปลิจูด (เมตร) ของลกูเหล็กท่ีแขวนด้วยเชอืกยาว 20cm

รูปท่ี (7) กราฟแสดงความถ่ี (เฮิรต์) กับแอมปลิจูด (เมตร) ของลกูเหล็กท่ี

แขวนด้วยเชอืกยาว 25cm

รูปท่ี (8) กราฟแสดงความถ่ี (เฮิรต์) กับแอมปลิจูด (เมตร) ของลกูเหล็กท่ีแขวนด้วยเชอืกยาว 30cm

หาค่า จาก ω1=√ gl และ ω2=√ gl + 2 τml2 โดย เป็นตัวแปร

แสดงความแรงของความควบคู่ (coupling strength) มหีน่วยเป็นจูล (J) ทัง้นี้ค่า จะขึ้นอยูก่ับ

ความตึงเชอืกและรูปรา่งของเสน้เชอืกท่ีอยูต่ามแนวนอน

สรุปผลการทดลอง จากผลการทดลอง ความแรงของความควบคู่ เป็นค่าไมค่งท่ีคงที่ เพราะ จะขึ้นอยูก่ับความตึงเชอืกและรูปรา่งของเสน้เชอืกท่ีอยูต่ามแนวนอน ในการทดลอง เมื่อทำาการแกวง่ลกูตุ้มเมื่อเวลาผ่านไปนานๆๆอาจจะทำาให ้เชอืกท่ีแขวนลกูตุ้มหยอ่นได้เน่ืองจากลกูตุ้มหนักมากเมื่อเทียบกับเชอืกที่ใชใ้นการทดลองทำาใหผ้ลการทดลองคลาดเคล่อนไปมาก อีกทัง้รูปรา่งของเชอืกที่ใช้ทดลองนัน้ใชล้วดทดแดงเวลาปรบัความตึงเชอืกเป็นการอยากที่จะทำาใหเ้ชอืกตึงได้พอดีเพราะเสน้ลวดมคีวามล่ืนไมม่แีรงเสยีดทานทำาใหเ้ชอืกหยอ่นเกิดค่าคลาดเคล่ือนในการทดลองได้ และจากการ Tracker ขอ้มูลของผู้ทดลองท่ียงั

ขนาดของความยาวเชอืก (เมตร)

(เมตร)

0.150.001

6

0.200.002

20.25 0.0030.30 0.003

ไมค่่อยชำานาญแมน่ตรงเท่าไรท่ำาใหค่้า ความแรงของการควบคู่คลาดเคล่ือนได้เหมอืนกัน

ตอบคำาถาม

Ex. 1. จากสมการพลังงานศักยน์ี้ให้คำานวณหา eigen-frequencies ตามท่ีเรยีนในวชิากลศาสตรค์ลาสสกิตอบ

md2

d t2 (θ1

θ2) = −kl( θ1

θ2)

หา k ij = ∂2 v

∂x i∂x j ; x1=lθ1 , x2=lθ2

k11 = ∂2

l2∂θ12 =

∂l2∂θ1

(mgl sinθ1 + τ (θ1−θ2 ))

= 1l2

(mglcosθ1+ τ )

k11= 1l2

(mgl+τ )

k 22= 1l2

(mgl+τ )

k12 =( 1l2 ) ∂2v∂θ1∂θ2

(mgl sinθ2 + τ (θ2−θ1 ))

k 21 =( 1l2 ) ∂2v∂θ1∂θ2

(mgl sinθ2 + τ (θ2−θ1 ))

จาก

ml d2

d t2 ( θ1

θ2) = −1

l2 [mgl+τ −τ−τ mgl+τ ]l(θ1

θ2)

d2

d t 2 ( θ1

θ2) = −1

ml2 [mgl+ τ −τ−τ mgl+τ ]( θ1

θ2)

d2

d t 2 ( θ1

θ2) = [−gl −

τml2

τml2

τml2

−gl− τml2

]หา λได้จาก |~Α−λ~1|= 0

จะได้ |−gl − τml2

−λ τml2

τml2

−gl− τml2

−λ| = 0

(−gl − τml2

−λ)2

−( τml2 )2

= 0

(−gl − τml2

−λ− τml2 ) (−gl − τ

ml2−λ+ τ

ml2 )= 0

−gl− τml2

−λ− τml2

=0 และ−gl − τml2

−λ+ τml2

= 0

λ = −gl และ λ=−gl− 2 τml2

ดังนัน้ ω1=√ gl และ ω2=√ gl + 2 τml2

Ex. 2. ลองคำานวณหาค่า จากความถ่ีเชงิมุม 2 ค่าท่ีได้มาจากการคำานวณ ใน Ex. 1 และลองหาค่าจรงิจากการทดลอง

ตอบ

เอกสารอ้างอิง [1] www.exploratorium.edu/snacks/coupled_resonant_pendlm/[2] หนังสอื Classical dynamics of particles and systems Edition 4 (Marion Thornton) บทท่ี 12 Coupled oscillations หน้า 459[3] www.en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum

ขนาดของความยาวเชอืก (เมตร)

(เมตร)

0.150.001

60.20 0.0020.25 0.0030.30 0.003