การทดลองเรื่อง การศึกษาการแกวง่ของลกูตุ้มแบบควบคู่ (Couple Oscillation)ชื่อผู้ทดลองและเขยีนรายงาน : ศุภณัฐ สงัขเ์พช็ร

บทนำา

เราคงเคยได้ยนิหรอืเคยได้รูจ้กัการเคล่ือนที่แบบสัน่ของลกูตุ้ม(oscillation)[1]จากการทดลองอยา่งง่ายและจากวชิาฟสิกิสใ์นระดับมธัยมศึกษาตอนปลายมาบา้งแล้ว โดยสว่นมากจะเป็นการเคล่ือนท่ีของลกูตุ้มอยา่งง่าย(Simple Harmonic Motion)[2] การเคล่ือนท่ีเชน่น้ีเป็นการเคล่ือนท่ีภายใต้เง่ือนไขหลักอนุรกัษ์พลังงานซึ่งท่ีจุดใดๆในการเคล่ือนที่นัน้ จะมพีลังงานรวมเท่ากันทกุจุด ตัวอยา่งที่เราพบเหน็ได้ในชวีติประจำาวนัท่ีใกล้ตัวเรามากท่ีสดุก็คือนาฬิกาลกูตุ้ม[3] หากลองศึกษาเพิม่เต่ิมจะพบวา่การเคล่ือนที่แบบสัน่น้ี ยงัมอีีกหลากหลายรูปแบบ หน่ึงในนัน้คือการแกวง่แบบควบคู่(Couple Oscillation)[1] ซึ่งเป็นการตัวอยา่งท่ีชดัเจนในเรื่องของการถ่ายทอดพลังงานในการเคล่ือนที่แบบกวดัแกวง่[4]

ในรายงานน้ีคณะทดลองสนใจท่ีจะศึกษาการแกวง่ของลกูตุ้มแบบควบคู่ (Couple Oscillation)และต้องการสรา้งแบบจำาลองการเคล่ือนที่ของลกูตุ้มเพื่อใชอ้ธบิายลักษณะการเคล่ือนที่ของลกูตุ้มภายใต้หลักอนุรกัษ์พลังงาน ทัง้น้ีคณะทดลองยงัสนใจอีกวา่ถ้าเปล่ียนขนาดของความยาวเชอืกท่ีหอ้ยลกูตุ้มแล้ว จะมผีลต่อการเคล่ือนท่ีอยา่งไรซึ่งจะมาพูดอภิปรายในสว่นสดุท้าย

วธิกีารทดลอง

ในการทดลองนี้เราทำาการแกวง่ลกูเหล็กมมีวล 0.0446 kg โดยแกวง่เป็นมุมθ เล็กๆจากจุดคงท่ี (equilibrium point ,θeq=0) ดังรูป โดยมรีะยะหา่งระหวา่งลกูเหล็ก 2 ลกู เท่ากับ 19 เซนติเมตร ทำาการบนัทึกวดีิโอของการเคล่ือนท่ีโดยใชก้ล้องท่ีมคีวามเรว็ 210 เฟรม/วนิาที เพื่อนำาขอ้มูลท่ีได้ไปหา ระยะทางการเคล่ือนที่ของลกูเหล็ก โดยใชโ้ปรแกรม Tracker คำานวณ ใชs้tep size เท่ากับ 10 และนำาไปคำานวณหาค่า eigen –frequency,f และคำานวณหาค่า (coupling strength)

กรณีแรก เพื่อเป็นการศึกษาลักษณะการเคล่ือนท่ีของ Couple Oscillation และเพื่อง่ายต่อการคำานวณ คณะทดลองจงึกำาหนดใหเ้ป็นการเคล่ือนท่ีที่ปราศจากแรงต้านอากาศ และประมาณวา่ลกูเหล็กทัง้สองลกูมมีวลเท่ากัน สรา้งแบบจำาลองการเคล่ือนท่ีของระบบและหาค่า eigen –frequency,f นำาขอ้มูลที่ได้จากการ tracker มา

คำานวณหาค่า f โดยใช ้Fourier Transform จากโปรแกรม MATLAB และนำาค่าfท่ีได้ไปหาค่า

กรณีที่สอง เพื่อศึกษาความสมัพนัธข์องเชอืกกับค่าfคณะทดลองจงึทำาการเปล่ียนความเชอืกท่ีหอ้ยลกูเหล็กเป็น 15,20,30 เซนติเมตร ตามลำาดับ โดยใหค้วามยาวระหวา่งมวลหอ้ยทัง้สอง ยงัมคี่าเท่าเดิมเท่ากับ 19 เซนติเมตร นำาขอ้มูลที่ได้มาคำานวณหาค่า f และค่า ดังเชน่กรณีแรก

กรณีที่สาม เน่ืองจากการใช ้Fourier transform เป็นวธิสีากลในการหา eigen-frequencies ซึ่งอาจมไีด้หลายค่า แต่ในกรณีนี้เรามคี่า eigen-frequencies 2 ค่า ซึ่งอาจใชว้ธิลัีดจากการสมการตรโีกณ

Y=A sin (ω1 t )+A sin (ω2 t )=2 Acos((ω1−ω2

2) t )sin((

ω1+ω2

2) t) คณะทดลองจงึพจิารณา

ลักษณะของผลการทดลองเพื่อหาค่า ω1−ω2

2 และ ω1+ω2

2และนำาไปเปรยีบเทียบการหา

ค่า eigen-frequencies โดยการใช ้Fourier transform

ผลการทดลองและการอภิปรายผล

สรา้งแบบจำาลอง เราสามารถสรา้งแบจำาลองของระบบการเคล่ือนที่น้ีได้จากพลังงานศักย(์โดยประมาณ) ซึ่งพลังงานศักยจ์ะอยุใ่นรูป

V ≈−mglcos (θ1 )−mglcos (θ2 )+12 τ (θ1−θ2)2

นิยาม K ij=d2Vd x j x i

, x1=lθ1 , x2=lθ2 จะได้วา่ K ij=1l2

d2Vdθ jθ i

เมื่อพจิารณาท่ีตำาแหน่งสมดลุ (θ¿¿1=θ2=0)¿

K 11=1l2

d2Vdθ1

2=1l2

¿ K 12=1l2

d2Vd θ1θ2

=−1l2

K 21=1l2

d2Vdθ2θ1

=−1l2

K 22=1l2

d2Vd θ2

2 =1l2

¿

จาก d2

d t 2(θ1θ2

)=−1m l2

A2x 2(θ1θ2) เมื่อ A2 x2=(K11 K12

K21 K22)=−1

ml2¿

เมื่อแก้สมการแล้ว จะสามารถหาค่า ω ได้ โดยท่ี

ω1≈√|−gl |,ω2≈√|−g

l− 2 τ

ml2|τ ≈

|ω12−ω2

2|ml2

2

สมการการเคล่ือนท่ี

Y=A sin (ω1 t )+A sin (ω2t )=2 Acos((ω1−ω2

2) t)sin((

ω1+ω2

2) t)

เมื่อ ความแรงควบคู่(coupling strength) , ω มคี่าเท่ากับ2πf

g ความเรง่โน้มถ่วงของโลก มคี่าเท่ากับ 9.81 kg .ms2

, M มวลของลกูเหล็กมคี่า

เท่ากับ 0.446 kg

l ความยาวของเชอืกหอ้ยลกูเหล็ก มหีน่วยเป็นเซนติเมตร

รูปท่ี1 แสดงความสมัพนัธร์ะหวา่ง eigen-frequency กับ amplitude ท่ีความยาวเชอืก 25 เซนติเมตร

กรณีที่ 1 เพื่อเป็นการศึกษาลักษณะการเคล่ือนท่ีแบบแกวง่แบบควบคู่ของลกูตุ้ม คณะทดลองทำาการบนัทึกวดิีโอการเคล่ือนที่ นำามา tracker และนำาขอ้มูลท่ีได้มาพล๊อตกราฟหา eigen-frequency,f โดยใชโ้ปรแกรม MATLAB ดังรูปท่ี1 ผลจากการพล็อตกราฟได้ค่า eigen-frequency 2 ค่า คือ f 1≈0.9251Hz , f 2≈0.9537Hz และ

นำาค่าf นำามาหา (coupling strength) ท่ีจากสมการ τ=|ω12−ω2

2|ml2

2

โดยที่ ω=2πf จากการคำานวณ ได้วา่ ≈0.0030 จู ล

รูปท่ี2 แสดงความสมัพนัธร์ะหวา่ง eigen-frequency กับ amplitude ท่ีความยาวเชอืก 15 เซนติเมตร

รูปท่ี3 แสดงความสมัพนัธร์ะหวา่ง eigen-frequency กับ amplitude ท่ีความยาวเชอืก 20 เซนติเมตร

รูปท่ี4 แสดงความสมัพนัธร์ะหวา่ง eigen-frequency กับ amplitude ท่ีความยาวเชอืก 30 เซนติเมตร

กรณีที่สอง เพื่อศึกษาความสมัพนัธข์องเชอืกกับค่าf คณะทดลองจงึทำาการเปล่ียนความเชอืกท่ีหอ้ยเป็น 15 ,20 และ 30 เซนติเมตร ตามลำาดับ ทำาการ tracker โดยใชโ้ปรแกรม tracker และนำาค่าท่ีได้มาพล็อตกราฟเพื่อหาค่า eigen-frequency ,f ท่ีความยาวเชอืก 15 เซนติเมตร (รูปท่ี 2) ผลจากการพล็อตกราฟได้ค่า eigen-frequency คือ f 1≈1.157Hz , f 2≈1.21Hz ซึ่งเมื่อคำานวณหาค่า ได้ค่า≈0.0025 จู ล ในขณะท่ีเมื่อทำาการเปล่ียนความยาวเชอืกเท่ากับ 20 เซนติเมตร (รูปท่ี 3) ผลจากการพล็อตกราฟได้ค่า eigen-frequency คือ f 1≈1.015Hz , f 2≈1.055Hz ซึ่งคำานวณหาค่า ได้ ≈0.0029 จู ล และเมื่อเปล่ียนความยาวเชอืกเท่ากับ 30 เซนติเมตร(รูปท่ี 4) ผลจากการพล็อตกราฟเพื่อหา eigen-frequency ผลจากการพล็อตกราฟ ได้ค่า eigen-frequency คือ f 1≈0.8574Hz , f 2≈0.8796Hz ซึ่งคำานวณหาค่า ได้≈0.0031 จู ล ซึ่งเมื่อเปรยีบเทียบกับกรณีแรกแล้ว พบวา่ท่ีความยาวเชอืกเท่ากับ 20 เซนติเมตร, 25 เซนติเมตร และ 30 เซนติเมตร ได้ค่า ค่อนขา้งใกล้กัน โดยมีความคลาดเคล่ือนประมาณ 3 % เมื่อคิดจากเชอืกความยาว 25 เซนติเมตร

รูปท่ี5 แสดงความสมัพนัธร์ะหวา่ง Time กับ Displacement ท่ีความยาวเชอืก 25 เซนติเมตร

รูปท่ี6 แสดงความสมัพนัธร์ะหวา่ง Time กับ Displacement ท่ีความยาวเชอืก 15 เซนติเมตร

รูปท่ี7 แสดงความสมัพนัธร์ะหวา่ง Time กับ Displacement ท่ีความยาวเชอืก 20 เซนติเมตร

รูปท่ี8 แสดงความสมัพนัธร์ะหวา่ง Time กับ Displacement ท่ีความยาวเชอืก 30 เซนติเมตร

กรณีที่สาม เพื่อเปรยีบเทียบการหา eigen-frequency โดยวธิ ีFourier Transform กับการหาจากสมการตรโีกณ สมการตรโีกณ

Y=A sin (ω1 t )+A sin (ω2t )=2 Acos((ω1−ω2

2 ) t)sin((ω1+ω2

2 )t ) คณะทดลองจงึได้ทำาการพ

ล็อตกราฟระหวา่งเวลา(วนิาที) กับ การกระจดั(เมตร) ท่ีความยาวเชอืก 25 เซนติเมตร (รูปท่ี 5) โดยใหร้ะยะ P≈|T1−T2|และ Q≈|T3−T 4| คือ คาบการเคล่ือนท่ีของคล่ืนทัง้สองขบวน และนำาค่าP,Q ท่ีได้จากการคำานวณมาหา ω1และ ω2 จากความ

สมัพนัธ ์ω1−ω2

2และ

ω1+ω2

2 ซึ่งผลจากการคำานวณได้ค่า ω1≈5.58

rads

,ω1≈5.94rads

ด้วยผลลัพธน์ี้ สามารถคำานวณหา eigen-frequency และค่า ได้ ผลจากการคำานวณได้f 1≈0.88Hz , f 2≈0.945Hz เมื่อเทียบกับวธิ ีFourier Transform พบวา่มีความคลาดเคล่ือนประมาณ 0.9% สำาหรบัในกรณีท่ีความยาวเชอืกเท่ากับ 15 เซนติเมตร (รูปท่ี6) เมื่อพล็อตกราฟแล้วหาค่าP,Q แล้วคำานวณหาω ผลจากการ

คำานวณได้ ω1≈7.06rads

,ω1≈7.71rads และคำานวณหา eigen-frequency ได้

f 1≈1.12Hz , f 2≈1.22Hz เมื่อเปรยีบเทียบกับวธิ ีFourier Transform พบวา่มีความคลาดเคล่ือนประมาณ 0.8% ในขณะที่เมื่อใชค้วามยาวเชอืก 20 เซนติเมตร

เมื่อพล็อตกราฟและคำานวณหาค่าω และ f ผลจากการคำานวณได้

ω16.35rads

,ω1≈6.87rads และได้ f 1≈1.01Hz , f 2≈1.09Hz ซึ่งเมื่อเปรยีบเทียบกับวธิ ี

Fourier Transform พบวา่มคีวามคลาดเคล่ือนประมาณ 3.8% และเมื่อลองเปล่ียนความยาวเชอืกเป็น 30 เซนติเมตร ทำาการพล็อตกราฟเพื่อหาค่า ω และ f

ผลลัพธท่ี์ได้คือ ω1≈5.34rads

,ω1≈5.58rads และได้ f 1≈0.84Hz , f 2≈0.88Hz เมื่อลอง

เปรยีบเทียบกับวธิ ีFourier Transform พบวา่มคีวามคลาดเคล่ือนประมาณ 1.15% เมื่อพจิารณาจากผลการทดลองทัง้หมดแล้ว คณะทดลองพบวา่การหา eigen-frequency โดยวธิหีาจากสมการตรโีกณมติิ ใหผ้ลได้ใกล้เคียงกับวธิFีourier Transform และยงัพบอีกวา่ค่าτ ท่ีได้จากการทดลองเมื่อเปล่ียนความยาวเชอืก มคี่าค่อนขา้งใกล้เคียงกัน สามารถประมาณได้ค่าเป็ฯค่าคงท่ีของการทดลอง

สรุปผลการทดลอง

จากการศึกษาการแกวง่ของลกูตุ้มแบบควบคู่ (Couple Oscillation) และหาค่า eigen-frequency และค่า coupling strength, จากผลการทดลอง พบวา่เมื่อเปล่ียนความยาวเชอืกท่ีระยะต่างๆ ค่าท่ีได้จากการคำานวณโดยวธิ ีFourier Transform มคี่าใกล้เคียงกัน และสามารถประมาณได้วา่เป็นค่าคงท่ี โดยในกรณีท่ีเชอืกมคีวามยาวไมน่้อยเกิน จะใหผ้ลลัพธท่ีืแมน่ยำากวา่ ซึ่งในการทดลองนี้มคี่า ≈0.003 จู ล นอกจากนัน้คณะทดลองยงัพบวา่ เมื่อทำาการหา eigen-

frequency จากสมการตรโีกณ

Y=A sin (ω1 t )+A sin (ω2t )=2 Acos((ω1−ω2

2 ) t)sin((ω1+ω2

2 )t ) มคีวามใกล้เคียงกับการหา

โดยวธิ ีFourier Transform ซึ่งในกรณีท่ีต้องการวดัอยา่งครา่วๆ สามารถใชแ้ทนวธิ ีFourier Transform ได้ โดยการทดลองนี้คณะทดลองเหน็วา่การศึกษาเชงิทฤษฎีที่จะสามารถนำามาอธบิายผลดังกล่าวมคีวามน่าสนใจที่จะศึกษาต่อไป

ครบถ้วน 14 คะแนน ค่า P ต้อง 2 ลกู เป็น 1 คาบนะครบั น้องอาจจะเขา้ใจผิด

เอกสารอ้างอิง

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Oscillation

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_harmonic_motion

[3] http://ntc.wattano.ac.th/www/scorm/science/Web%20CAI/skywatcher/Pendulum.htm l [4] http://www.youtube.com/watch?v=izy4a5erom8