SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

MT 31

Penurunan Persamaan Perpetuitas dan Anuitas

Budi Frensidy

Fakultas Ekonomi dan Bisnis Universitas Indonsia

Abstrak— Mahasiswa bisnis dan akuntansi, debitor bank, dan investor memerlukan

persamaan-persamaan matematika keuangan untuk menghitung nilai sekarang atau

nilai akan datang dari perpetuitas dan anuitas. Semua utang dengan pelunasan secara

angsuran dan skedulnya memerlukan konsep anuitas nilai sekarang (PV). Apakah itu

kredit pemilikan rumah (KPR), kredit pemilikan apartemen (KPA), kredit multi guna,

atau utang leasing. Dalam akuntansi, menghitung amortisasi agio atau disagio obligasi

juga berhubungan dengan konsep anuitas nilai sekarang (PV). Sementara konsep

perpetuitas digunakan investor untuk valuasi seperti valuasi saham, properti, dan

usaha. Terakhir, konsep anuitas nilai akan datang (FV) banyak diterapkan untuk

perencanaan keuangan seperti penyusunan sinking fund atau untuk akumulasi dana

untuk pensiun, biaya pendidikan anak, dan lainnya. Dengan manipulasi matematika,

kita dapat menurunkan semua persamaan untuk perpetuitas dan anuitas yang biasa

digunakan dari persamaan dasar.

Kata kunci: Anuitas, Nilai akan datang, Nilai sekarang, Perpetuitas, Persamaan

dasar.

I. PERSAMAAN DASAR

Ada banyak variasi anuitas dan perpetuitas dalam bisnis dan akuntansi (Frensidy, 2010). Beberapa di

antaranya adalah persamaan nilai sekarang (PV) untuk anuitas & perpetuitas biasa, anuitas & perpetuitas

di muka, anuitas & perpetuitas ditunda, dan anuitas & perpetuitas bertumbuh. Selain itu, masih ada

persamaan nilai akan datang untuk anuitas biasa, anuitas di muka, dan anuitas bertumbuh. Mengingat ada

belasan persamaan nilai sekarang dan nilai akan datang untuk anuitas dan perpetuitas ini, mahasiswa

bisnis dan praktisi keuangan memandang perlu menghafal persamaan-persamaan tersebut. Dengan

matematika keuangan, usaha menghafal ini sejatinya tidak diperlukan. Seperti matematika lainnya,

dengan manipulasi sederhana dan hanya bermodalkan persamaan dasar, kita dapat menurunkan semua

persamaan anuitas dan perpetuitas yang ada.

Persamaan dasar yang diperlukan dalam matematika keuangan adalah persamaan yang dikembangkan

Irving Fisher sejak tahun 1930-an (Fisher, 1930) untuk menghitung nilai sekarang (PV) dari sebuah nilai

akan datang (FV) pada periode n dengan menggunakan tingkat diskonto i.

niPVFV )1( sehinggan

niFV

i

FVPV

)1(

)1(

Contoh 1 (Menghitung Present Value)

Seorang karyawan bermaksud membeli produk investasi untuk biaya pendidikan yang bernilai

Rp150.000.000 pada tahun ke-8. Jika return investasi tersebut adalah 6% per tahun, berapakah dana yang

harus ia investasikan saat ini?

Jawab:

FV = Rp150.000.000

n = 8

i = 6%

niFVPV )1(

PV = Rp150.000.000 (1+0,06)-8

T - 6

ISBN. 978-602-73403-1-2

MT 32

PV = Rp94.111.855,7

Contoh 2 (Menghitung Future Value)

Pak Hadi menginvestasikan uang senilai Rp200.000.000 pada sebuah bank yang memberikan suku bunga

bersih 7% per tahun selama 10 tahun. Jika suku bunga tersebut tidak berubah selama periode investasi,

berapakah jumlah uang Pak Hadi pada akhir periode investasi?

Jawab:

PV = Rp200.000.000

i = 7%

n = 10 niPVFV )1(

FV = Rp200.000.000 (1+0,07)10

FV = Rp393.430.271,5

II. PEMBAHASAN

A. Perpetuitas

Perpetuitas adalah rangkaian arus kas sebesar A yang terus menerus dari periode 1 (atau 1 periode lagi)

hingga periode tak hingga dengan interval waktu yang sama, dan dapat digambarkan sebagai berikut:

A A A A A

1 2 3 40 ∞

Nilai sekarang atau PV dari perpetuitas di atas (disebut juga perpetuitas biasa) adalah:

)1()1()1()1( 32 i

A

i

A

i

A

i

APV

(1)

Ini adalah deret geometri dengan faktor pengali atau rasio r = i1

1. Jika Persamaan (1) di atas kita

kalikan dengan (1/faktor pengali) atau (1+i) di kedua ruas kiri dan kanan, kita akan mendapatkan

Persamaan (2) sebagai berikut:

)1()1()1()1(

2 i

A

i

A

i

AAiPV

(2)

Jika Persamaan (2) dikurangi dengan Persamaan (1), maka akan diperoleh hasil sebagai berikut.

PV (1+i) – PV = A

PV (1+i – 1) = A

PV (i) = A

i

APV (3)

Inilah persamaan present value untuk perpetuitas biasa.

Contoh 3 (Perpetuitas Biasa)

Sebuah produk investasi menawarkan imbal hasil sebesar Rp10.000.000 per tahun seumur hidup. Jika

suku bunga diasumsikan tetap sebesar 6% per tahun, berapakah nilai sekarang dari investasi tersebut?

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

MT 33

Jawab:

A = Rp10.000.000

i = 6%

i

APV

PV = Rp10.000.000

6%

PV = Rp166.666.666,7

B. Anuitas

Arus kas dalam perpetuitas dibayarkan atau diterima terus-menerus mulai periode 1 hingga periode tak

hingga (∞). Jika periode arus kas ternyata terbatas, katakan mulai periode 1 hingga periode n atau selama

n kali, kita menyebutnya dengan anuitas. Dengan kata lain, anuitas, atau biasa disebut anuitas biasa,

adalah rangkaian arus kas sebesar A dengan interval waktu yang sama misalnya bulanan atau tahunan

mulai dari periode 1 hingga periode n.

Anuitas biasa sejatinya adalah selisih dua perpetuitas yaitu perpetuitas biasa seperti yang dijelaskan di

atas dan perpetuitas ditunda yaitu perpetuitas yang dimulai pada periode n+1. Oleh karena itu, persamaan

untuk anuitas biasa dapat diturunkan sebagai selisih dua perpetuitas di atas yaitu perpetuitas 1 dan

perpetuitas 2.

Perpetuitas 1 merupakan perpetuitas biasa.

A A A A A

1 2 N N+10 ∞

Sebagaimana hasil yang diturunkan di atas, nilai sekarang i

APV (Persamaan 3).

Perpetuitas 2 merupakan perpetuitas ditunda yaitu perpetuitas yang arus kasnya dimulai pada periode

n+1 sampai periode ∞. Hingga periode n, tidak ada arus kas dan dapat digambarkan sebagai berikut.

A A

1 2 N N+10 ∞

Dengan PVn = i

A, nilai sekarang (PV) pada periode 0 atau PV0 = ni

i

A

)1( (4)

Jika Perpetuitas 1 dikurangi Perpetuitas 2, kita akan memperoleh anuitas dengan arus kas A mulai dari

periode 1 hingga periode n.

A A A

1 2 N0

A

3

Untuk mendapatkan persamaan untuk nilai sekarang (PV) dari anuitas di atas, kita akan mengurangi

Persamaan (3) dengan Persamaan (4). Karenanya, nilai sekarang dari anuitas biasa adalah:

ISBN. 978-602-73403-1-2

MT 34

PV = i

A–

ni

i

A

)1(

PV = i

A

ni)1(

11

PV=i

A1-(1+i)-n( ) (5)

Contoh 4 (Perpetuitas Ditunda)

Sebuah produk investasi menawarkan anuitas sebesar Rp10.000.000 per tahun seumur hidup, yang

dimulai dari tahun ke–5. Jika imbal hasil yang diharapkan diasumsikan tetap sebesar 6% per tahun,

berapakah nilai sekarang dari investasi tersebut?

Jawab:

A = Rp10.000.000

i = 6%

n+1 = 5, dengan demikian n = 4

PV = ni

i

A

)1(

PV = 4%)61(

%6

000.000.10

Rp

PV = Rp132.015.610,5

Contoh 5 (Present Value untuk Anuitas Biasa)

Berapakah nilai sekarang dari arus kas sebesar Rp10.000.000 yang dimulai dari tahun ke–1 sampai

dengan tahun ke–4, jika imbal hasil yang diharapkan selama periode tersebut adalah 6%?

Jawab:

A = Rp10.000.000

i = 6%

n = 4

PV = i

A1-(1+i)-n( )

PV = Rp10.000.000

6%1- 1+ 6%( )

-4

( )

PV = Rp34.651.056,1

Nilai sebesar Rp34.651.056,1 ini sama dengan selisih dari Contoh Soal 3 dan 4 (Rp166.666.666,7 –

Rp132.015.610,5). Hal ini menunjukkan bahwa anuitas biasa dapat diperoleh dari selisih perpetuitas biasa

dan perpetuitas ditunda.

Sementara untuk memperoleh persamaan anuitas untuk nilai akan datang (future value) diberikan nilai

sekarang, kita akan menggunakan persamaan dasar.

FV = niPV )1( =

ni

i

A)1(1

ni)1(

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

MT 35

FV =i

A 1)1( ni (6)

Contoh 6 (Future Value untuk Anuitas Biasa)

Wira menyisihkan dari penghasilannya Rp1.000.000 per bulan selama 25 tahun untuk bekal pensiunnya.

Jika return yang diperolehnya adalah 6% p.a., berapakah nilai investasinya pada akhir tahun ke–25?

Jawab:

A = Rp1.000.000

i = 12

%6 = 0,5%

n = 25 tahun x 12 bulan = 300 bulan

FV = i

A 1)1( ni

FV = Rp1.000.000

0,5%1+0,5%( )

300-1( )

FV = Rp692.993.962,4

C. Perpetuitas Bertumbuh

Perpetuitas bertumbuh berbeda dari perpetuitas biasa dalam hal adanya pertumbuhan sebesar g setiap

periode yang tidak ada dalam perpetuitas biasa atau g = 0 pada perpetuitas biasa. Karenanya, jika

rangkaian arus kas dalam perpetuitas biasa adalah sama besar yaitu A; dalam perpetuitas bertumbuh, arus

kas ini bertumbuh yaitu mulai dari A satu periode lagi menjadi A(1+g) pada periode kedua, A(1+g)2 pada

periode ketiga, dan seterusnya. Rangkaian arus kas dalam perpetuitas bertumbuh dapat digambarkan

sebagai berikut.

A A(1+g) A(1+g)2A(1+g)

∞ – 1

1 2 30 ∞

A(1+g)n-1

N

A(1+g)n

N+1

Nilai sekarang atau present value dari perpetuitas bertumbuh dapat diperoleh dari manipulasi matematika

menggunakan dua persamaan sebagai berikut. Persamaan berikut merupakan nilai sekarang (PV) dari

rangkaian arus kas sebuah perpetuitas bertumbuh.

PV=

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

1

3

2

2 i

gA

i

gA

i

gA

i

A

(7)

Ini adalah sebuah deret geometri dengan rasio pengali

i

g

1

1. Faktor pembeda antara nilai suku

pertama dan suku kedua, antara suku kedua dan suku ketiga, dan seterusnya adalah

i

g

1

1. Jika

Persamaan (7) di atas dikalikan dengan faktor pembeda ini yaitu

i

g

1

1 di kedua ruasnya yaitu kiri dan

kanan, akan diperoleh persamaan berikut.

ISBN. 978-602-73403-1-2

MT 36

PV

i

g

1

1 =

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(

)1(3

2

2 i

gA

i

gA

i

gA

(8)

Jika Persamaan (7) dikurangi dengan Persamaan (8), akan diperoleh hasil sebagai berikut.

PV – PV

i

g

1

1 =

)1( i

A

PV

i

g

1

11 =

)1( i

A

PV

i

gi

1

)1()1( =

)1( i

A

PV

i

gi

1 =

)1( i

A

PV )( gi = A

PV = )( gi

A

(9)

Ini adalah persamaan nilai sekarang untuk perpetuitas bertumbuh.

Contoh 7 (Perpetuitas Bertumbuh)

Sebuah investasi menawarkan arus kas sebesar Rp20.000.000 tahun depan yang akan meningkat 5% per

tahun untuk seumur hidu[. Jika tingkat diskonto yang relevan adalah 7% per tahun, berapakah nilai

sekarang investasi tersebut?

Jawab:

A = Rp20.000.000

g = 5%

i = 7%

PV = )( gi

A

PV = Rp20.000.000

7%- 5%

PV = Rp1.000.000.000

D. Anuitas Bertumbuh

Berbeda dengan perpetuitas bertumbuh dengan periode hingga tak terhingga, periode dalam anuitas

bertumbuh terbatas yaitu hanya sampai periode n. Sama seperti persamaan anuitas biasa yang merupakan

selisih dari perpetuitas biasa dikurangi perpetuitas ditunda, persamaan untuk anuitas bertumbuh juga

dapat diperoleh dari pengurangan perpetuitas bertumbuh ditunda dari perpetuitas bertumbuh biasa.

Perpetuitas bertumbuh biasa mempunyai arus kas seperti di bawah ini.

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

MT 37

A A(1+g) A(1+g)2A(1+g)

∞ – 1

1 2 30 ∞

A(1+g)n-1

N

A(1+g)n

N+1

Sebagaimana sudah diturunkan di atas, nilai sekarangnya atau PV = )( gi

A

(Persamaan 9).

Sementara perpetuitas bertumbuh yang ditunda selama n periode atau perpetuitas yang dimulai dari

periode n+1 dapat digambarkan dan dihitung nilai sekarang pada periode n (PVn) sebagai berikut.

A(1+g) ∞

– 1

1 2 30 ∞N

A(1+g)n

N+1

Untuk mendapatkan nilai sekarang (PV) pada periode 0, kita kembali menggunakan persamaan dasar

Sehingga PV0 = n

n

i

gi

gA

)1(

)(

)1(

(10)

Jika dua rangkaian arus kas di atas kita kurangi, maka akan diperoleh rangkaian arus kas sebagai berikut.

A A(1+g) A(1+g)2

1 2 30

A(1+g)n-1

N

Nilai sekarang dari anuitas bertumbuh dengan rangkaian arus kas seperti di atas adalah dengan

menghitung selisih kedua persamaannya yaitu Persamaan (9) – Persamaan (10).

PV = )( gi

A

–

n

n

i

gi

gA

)1(

)(

)1(

PV=)( gi

A

n

n

i

g

)1(

)1(1

(11)

Contoh 8 (Perpetuitas Bertumbuh Ditunda)

Sebuah investasi menawarkan arus kas mulai dari Rp20.000.000 tahun depan yang meningkat 5% per

tahun untuk seumur hidup. Jika tingkat diskonto yang relevan adalah 7% per tahun, berapakah nilai

sekarang investasi tersebut?

Jawab:

A = Rp20.000.000

n+1 = 5, dengan demikian n = 4

g = 5%

i = 7%

ISBN. 978-602-73403-1-2

MT 38

PV = n

n

i

gi

gA

)1(

)(

)1(

PV =

Rp20.000.000 (1+ 5%)4

(7%- 5%)

(1+ 7%)4

PV = Rp927.303.898,3

Contoh 9 (Present Value Anuitas Bertumbuh)

Berapakah nilai sekarang dari arus kas Rp20.000.000 pada tahun ke–1 yang meningkat 5% per tahun

sampai dengan tahun ke–4, jika tingkat diskonto yang relevan adalah 7%?

Jawab:

A = Rp20.000.000

n = 4

g = 5%

i = 7%

PV = )( gi

A

n

n

i

g

)1(

)1(1

PV = Rp20.000.000

(7%- 5%)1-

(1+ 5%)4

(1+ 7%)4

æ

èç

ö

ø÷

PV = Rp72.696.101,7

Nilai sebesar Rp72.696.101,7 ini sama dengan selisih dari Contoh Soal 7 dan 8 (Rp1.000.000.000–

Rp927.303.898,3). Hal ini menunjukkan bahwa anuitas bertumbuh dapat diperoleh dari selisih perpetuitas

bertumbuh biasa dan perpetuitas bertumbuh ditunda.

Sementara untuk mendapatkan persamaan nilai akan datang dari anuitas bertumbuh, kita kembali

menggunakan persamaan dasar.

FV = niPV )1( =

)( gi

A

n

n

i

g

)1(

)1(1 ni)1( =

)( gi

A

n

nn

i

gi

)1(

)1()1( ni)1(

FV=)( gi

A

nn gi )1()1(

(12)

Contoh 10 (Future Value Anuitas Bertumbuh)

Selama 10 tahun Anna akan menyisihkan penghasilannya untuk ditabung, mulai dari Rp24.000.000 tahun

depan dengan pertumbuhan sesuai dengan peningkatan gaji tahunannya. Jika pertumbuhan gaji Anna

sebesar 6% dan suku bunga relevan 8% per tahun, berapakah nilai tabungan Anna pada tahun ke–10?

Jawab:

A = Rp24.000.000

n = 10

g = 6%

i = 8%

FV = )( gi

A

nn gi )1()1(

FV = Rp24.000.000

(8%- 6%)(1+8%)10 - 1+6%( )

10

( )

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

MT 39

FV = Rp441.692.760,9

E. Perpetuitas di Muka

Variasi lain dari perpetuitas adalah perpetuitas di muka. Perpetuitas di muka berbeda dari perpetuitas

biasa dalam hal periode untuk arus kas pertama. Dalam perpetuitas biasa, arus kas pertama ini terjadi

pada periode 1, sedangkan dalam perpetuitas di muka, arus kas mulai periode 0 atau hari ini. Sementara

periode untuk arus kas lainnya sama. Dengan demikian, perpetuitas di muka adalah perpetuitas biasa

ditambah arus kas periode 0 sebesar A.

A A A A A

1 2 3 40 ∞

A

PV Perpetuitas di Muka = PV Perpetuitas Biasa + A

PVDue = Ai

A (13)

Contoh 11 (Perpetuitas di Muka)

Sebuah perusahaan bermaksud menawarkan produk investasi yang memberikan arus kas sebesar

Rp500.000 per bulan yang dimulai sejak dibelinya investasi tersebut. Jika return yang relevan

diasumsikan 9% per tahun, berapakah harga wajar produk investasi tersebut?

Jawab:

A = Rp500.000

i = 12

%9 = 0,75%

PVDue = Ai

A

PVDue = Rp500.000

0, 75%+Rp500.000

PVDue = Rp67.166.666,7

F. Anuitas di Muka

Menggunakan analogi yang hampir sama seperti untuk perpetuitas di muka, kita juga dapat menurunkan

persamaan nilai sekarang untuk anuitas di muka dari persamaan nilai sekarang anuitas biasa. Kedua

anuitas ini mempunyai kesamaan dalam hal ada n kali arus kas sebesar A. Perbedaannya, dalam anuitas

biasa, periode arus kas itu mulai periode 1 hingga periode n. Dalam anuitas di muka, periodenya mulai

periode 0 atau hari ini hingga periode n–1.

Anuitas biasa digambarkan sebagai berikut.

A A

1 2 N0

A

3

AA

N-1

Anuitas di muka digambarkan sebagai berikut.

ISBN. 978-602-73403-1-2

MT 40

A A

1 2 N0

A

3

A A

N-1

Dengan kata lain, perbedaan kedua anuitas hanyalah A pada periode n dalam anuitas biasa diganti dengan

A pada periode 0 dalam anuitas di muka, sementara untuk (n-1) arus kas lainnya sama. Karenanya,

persamaan nilai sekarang untuk anuitas di muka adalah:

PVDue = PVAnuitas biasa sampai periode n-1 + A

PVDue = Aii

A n 1)1(1 (14)

Contoh 12 (Present Value Anuitas di Muka)

Kayla bermaksud mengambil KPR dengan besar cicilan maksimal sebesar Rp5.000.000 per bulan yang

dimulai pada saat tanda tangan perjanjian selama 10 tahun. Jika suku bunga diasumsikan tetap 12% per

tahun, berapakah plafon pinjaman maksimal yang dapat diperoleh Kayla?

Jawab:

A = Rp5.000.000

i = 12

%12 = 1% per periode

n = 10 tahun x 12 bulan = 120 bulan

PV = Aii

A n 1)1(1

PV = Rp5.000.000

1%1- (1+1%)-120+1( ) +Rp5.000.000

PV = Rp351.987.636,3

Terakhir, kita juga dapat menurunkan persamaan nilai akan datang (FV) untuk anuitas di muka dari

persamaan nilai akan datang untuk anuitas biasa dengan sedikit modifikasi. Mengingat arus kas pertama

pada anuitas di muka adalah hari ini atau periode 0, maka nilai akan datang (FV) dalam persamaan

anuitas biasa sudah tercapai pada periode n–1 (angsuran terakhir) dalam anuitas di muka. Gambar dari

dua anuitas di atas adalah sebagai berikut.

Anuitas Biasa

A A

1 2 N0

A

3

AA

N-1

Anuitas di Muka

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016

MT 41

A A

1 2 N0

A

3

A A

N-1

FV=?

Berdasarkan pemahaman ini, jika diminta menghitung nilai akan datang (FV) pada periode n, kita cukup

menambahkan bunga dalam periode terakhir yaitu FV(i). Dengan demikian, persamaan nilai akan datang

(FV) untuk anuitas di muka adalah:

FVDue = FV (1+i)

FVDue = )1(1)1( iii

A n (15)

Contoh 13 (Future Value Anuitas di Muka)

Rano ingin memiliki dana cadangan yang dapat digunakan saat pensiun. Untuk itu, Rano menyisihkan

penghasilannya sebesar Rp750.000 per bulan dimulai hari ini, selama 20 tahun. Jika imbal hasil yang

dapat diperolehnya adalah 9% p.a., berapakah nilai investasinya pada akhir tahun ke-20?

Jawab:

A = Rp750.000

i = 12

%9 = 0,75%

n = 20 tahun x 12 bulan = 240 bulan

FVDue = )1(1)1( iii

A n

FVDue = Rp750.000

0, 75%(1+ 0, 75%)240 -1( ) (1+0, 75%)

FVDue = Rp504.672.016,1

lain dari perpetuitas adalah perpetuitas di muka. Perpetuitas di muka berbeda dari perpetuitas biasa dalam

hal periode untuk arus kas pertama. bertumbuh berbeda dari perpetuitas biasa dalam hal adanya

pertumbuhan sebesar g setiap periode yang tidak ada dalam bertumbuh berbeda dari perpetuitas biasa

dalam hal adanya pertumbuhan sebesar g setiap periode yang tidak ada kas dalam perpetuitas dibayarkan

atau diterima terus-menerus mulai periode 1 hingga periode tak hingga (∞). Jika periode arus kas ternyata

terbatas, katakan mulai periode 1 hingga periode n atau selama n kali, kita menyebutnya dengan anuitas.

Dengan kata lain, anuitas, atau biasa disebut anuitas biasa, adalah rangkaian arus kas sebesar A dengan

interval waktu yang sama misalnya bulanan atau tahunan mulai dari periode 1 hingga periode n.

III. SIMPULAN

Persamaan-persamaan perpetuitas banyak digunakan untuk valuasi dan menghitung kebutuhan uang

pensiun. Sedangkan persamaan-persamaan anuitas nilai sekarang (PV) diperlukan untuk urusan semua

kredit yang dilunasi dengan angsuran termasuk penyusunan skedulnya. Sementara aplikasi persamaan-

persamaan anuitas nilai akan datang adalah dalam perencanaan keuangan seperti penyusunan sinking fund

dan akumulasi dana untuk tujuan keuangan tertentu.

ISBN. 978-602-73403-1-2

MT 42

Mahasiswa bisnis dan akuntansi serta praktisi keuangan hanya perlu menguasai persamaan dasar FV =

PV (1+i)n untuk dapat menurunkan semua persamaan perpetuitas dan anuitas. Dengan manipulasi

sederhana dan logika matematika keuangan, persamaan nilai sekarang untuk perpetuitas dan anuitas baik

biasa, ditunda, di muka, dan bertumbuh dapat diperoleh.

Jika persamaan nilai sekarang untuk anuitas biasa, anuitas bertumbuh, dan anuitas di muka sudah

diperoleh, persamaan nilai akan datangnya dapat dengan mudah diturunkan dengan mengalikan faktor

compounding (1+i)n sesuai persamaan dasar FV = PV (1+i)

n.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Frensidy, Budi, “Matematika Keuangan edisi 3 Revisi,” Penerbit Salemba Empat, 2010.

[2] Fisher, Irving, “The Theory of Interest,” The Macmillan Company, 1930.