T4 EL Resistencia secciones - UDCloki.udc.es/info/asignaturas/grado_itop/411/... · En secciones transversales abiertas de pared delgada formadas por chapas 10 ‐ confluyentes, coincide

4Tema 4:Estado límite de resistencia de las secciones

EL de resistencia de secciones

Índice

4.1. Introducción4 2 Axil4.2. Axil4.3. Flexión: flector, cortante y rasante4 4 Tensiones por flexión4.4. Tensiones por flexión4.5. Tensiones por cortante4 6 Torsión4.6. Torsión4.7. Torsión uniforme4 8 Torsión no uniforme y mixta4.8. Torsión no uniforme y mixta4.9. Comprobaciones en la sección transversal

EL de resistencia de secciones4.1. Introducción

• Dentro de los ELU a comprobar, el artículo 34 del capítulo IX (Estados límites últimos),que forma parte del título 4º de dimensionamiento y comprobación de la EAE recoge las comprobaciones a realizar para la verificación del ELU de resistencia de las secciones.

• Las comprobaciones a realizar pueden ser tensionales o en esfuerzos, cumpliéndose quelos esfuerzos de cálculo no superen a los esfuerzos resistentes de la sección.

d d d l d d d l d l f• La capacidad resistente de las secciones depende de su clase y de los esfuerzos presentesen la sección. Por ejemplo, en un caso de flexión pura, los modelos admitidos para ladistribución de tensiones son:

• Como paso previo a las comprobaciones que se establecen en la norma sobre la resistencia

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Como paso previo a las comprobaciones que se establecen en la norma sobre la resistenciade la sección transversal, se recuerdan las distribuciones de tensiones asociadas a cada uno de los esfuerzos que aparecen en las secciones transversales.

EL de resistencia de secciones4.2. Axil

• En el caso de una barra de sección constante, sometida únicamente a un esfuerzo axil N, y admitiendo que se cumple la hipótesis de Bernouilli:

x xy xzA A AN dA dA 0 dA 0

y z dA 0 z dA 0 y dA 0 xz xy x xA A Ay z dA 0 z dA 0 y dA 0

x

xx

N Adu Ndx E E A

4

dx E E A

EL de resistencia de secciones4.3. Flexión: flector, cortante y rasante

• Una barra solicitada por una ley de momentos flectores M(x) adoptará una geometría curva con las fibras longitudinales acortándose en una zona y alargándose en otra

z

M M M y

MZ

M

M M M y zyMY

‐ Flexión pura: solo existe momento flector.‐ Flexión simple: existe momento flector y cortante.‐ Flexión compuesta: existe momento flector y axil.Fl ió bli i d i t t fl t M M‐ Flexión oblicua o esviada: existen momentos flectores My y Mz.

‐ Flexión recta: solo existe momento flector My o Mz.

• La variación del esfuerzo flector a lo largo de una barra (flexión simple), se debe a laexistencia de cortantes sobre la sección, y al rasante asociado al cortante por el teoremade reciprocidad.

d

5

y zz y

dM dMV Vdx dx


• La variación del esfuerzo flector a lo largo de una barra se debe a las tensiones tangencialesen planos longitudinales

q

V+dVz zVz

q

-

A B dx

M+dMy yMy

+

-

A B dxA B

rasantent

e

A BN

d +dσσ

corta

n

A

rasante

6

dxA B

+dσσ

Bcortante

N+ N∆


• Por el principio de reciprocidad de las tensiones tangenciales el cortante y el rasante soniguales en magnitud

• En estructura metálica el rasante es fundamental en el cálculo de vigas armadas soldadaso atornilladas conexiones en vigas mixtas

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o atornilladas, conexiones en vigas mixtas…

EL de resistencia de secciones4.4. Tensiones por flexión

• En una sección en ejes principales de inercia sometida a momentosM yM considerandoEn una sección en ejes principales de inercia, sometida a momentos My y Mz, considerando la hipótesis de Bernouilli y comportamiento elástico:

x xa b y c z E a b y c zz

MZ

M

x x y x zA A AdA 0 z dA M y dA M

yz MM y z

yMY

• Si los ejes no son principales:

xz y

y zI I

z y y yz y z z yzx 2 2

M I M I M I M Iy z

I I I I I I y z yz y z yzI I I I I Iz

arga

z

MZ

z

M

yMY

Pla

no d

e ca

Liña neutra y

Liña

neu

tra

Plano de carga yLiña neutra

• Los puntos de la sección en los que se anulan las tensiones de flexión se denominan líneaneutra de la sección. yz

á á á á

MM y z

8• Las fibras más tensionadas son las más alejadas de la línea neutra y permiten definir los módulos resistentes elásticos de la sección: Wy,el = Iy/zmax y Wz el = Iz/ymax.

, , x máx máx x máx máxz y

y zI I

EL de resistencia de secciones4.4. Tensiones por flexión

• En el caso de flexión plástica se mantiene la hipótesis de Bernouilli y se definen de formaEn el caso de flexión plástica, se mantiene la hipótesis de Bernouilli, y se definen de formasimilar los módulos resistentes plásticos de la secciónWp = Mp/ fy

• En el caso de flexión compuesta se superponen los efectos del axil y el flectorp p p y

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EL de resistencia de secciones4.5. Tensiones por cortante

El t t d ti d i i t f ió d lí d ió• El cortante provoca dos tipos de movimientos, en función de que su línea de acción pasepor el centro de esfuerzos cortantes CEC de la sección o no.

P

P

wφ

G

• Las tensiones tangenciales son suma de las tensiones s asociadas a w y las tensiones e

φx G

asociadas a la rotación de la sección.

• Si las cargas exteriores sobre la sección están en una línea que pase por el CEC, ladi ib ió d ió i l l d i 0 ( l i ldistribución de tensiónes tangenciales es solo τs, es decir, τe = 0 (con las mismas cargas lasección sufrirá menores tensiones).

• Propiedades del CEC• Propiedades del CEC:‐ Es una propiedad geométrica de la sección transversal y esta contenido en losplanos de simetría de la secciónEn secciones transversales abiertas de pared delgada formadas por chapas

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‐ En secciones transversales abiertas de pared delgada formadas por chapasconfluyentes, coincide con la intersección de las líneas medias de las chapas,‐ Coincide con el centro de torsión CDT en piezas a torsión uniforme.


• Analizando el equilibrio de fuerzas en una rebanada de una pieza en flexión simple, en lahipótesis de que la tensión tangencial es constante en las líneas de corte paralelas a la líneaneutra, y cero en los bordes libres:

zσ+dσ

dξbτ b+d

b τ τ+dσ σ σ+d

yLiña neutra

M

σ V

τ

d

b+

b

dA

dξ

dxτ

σ σ σ+ddξ

ξ Aξ

dx

• En el caso de ejes principales de inercia se obtiene:con Sy y Sz los momentos estáticos del área A respecto

z y y z

z y

S V S Vb I b I

y y z p

A los ejes coordenadosz y

y zA A

S z dA S y dA

I S I S I S I S

11

• En el caso de ejes cualesquiera:

y z yz y z y yz zy z2 2

y z yz y z yz

I S I S I S I SV V

b I I I b I I I


z• Sección rectangular:

z

Vz

yh

Aξ

cdg A ξzLiña neutra

τmáx zxz máx xz

3 Vz 02 b h

• Perfil en Ib

Aξ

z• Perfil en I z

Vz

t f

yh Liña neutra

τmáx

bξ t f

tw

12

b


• Perfil en Izξ

t f

ξ

yh yh

Vz

Liña neutraz

xza

VA

A á d l

bt f

twξ ξ aA área da alma

Área equivalente a cortadura de una sección

• Área en la que con una distribución de tensiones tangenciales constante, la energía de deformación es igual a la de la pieza real con la distribución de tensiones tangenciales reales.

y zxy xz

y z

V VA A

VA

13

y zxy xz

y z

V VG A G A

eqA


Secciones abiertas de pared delgada

f s e et

z

t

y

Vzt

s e s e

s

• Aplicando el equilibrio en la secciónzds

tτ y s y

dy dydA V dA Vds ds

ys

r0t

r

A A

z s zA A

ds dsdz dzdA V dA Vds ds

z y y z

sz y

S V S Vt I t I

14

y 0 s e 0

A A

r dA 0 r dA 0


• Denominando zv e y yv a las coordenadas del CEC respecto al CDG de la sección y aplicandola condición de momento torsor nulo

Secciones abiertas de pared delgada

la condición de momento torsor nulo:

y v z vV z V y2

s

y v z ve

T

y2

I η

CECCEC

CDTCEC

CECCEC

CEC

15


S i bi t d d d l d Secciones abiertas de pared delgada

V

z z

Vz

Vyyy yy

z z

Vz

yyVy yy

zz

Vy yy

z

Vz yy

16


• Las tensiones tangenciales son paralelas al contorno y constantes en la sección, pero varíancon s

Secciones cerradas de pared delgada y recinto único

con s. zds

s

r0t

t

rVz

ft

ysz

Vy

• Por equilibrio en la sección, y con al área encerrada por la línea media del perímetro:

1sf s 0r t ds

f

1 r ds s t 1f 2

0r ds

2

z

Vt

y

Vzs

G s 1ft

17

EL de resistencia de secciones4.6. Torsión

• Los movimientos asociados a la torsión de una pieza son tridimensionales (u, v, w): u y vestán asociados al movimiento de rotación en el plano de la sección, y w es el movimientoen el plano perpendicular a la sección o alabeo.

• Los movimientos asociados a la rotación de la sección generan tensiones tangenciales t,mientras que el alabeo variable y la variación del giro de la sección originan tensiones q y g gnormales y tangenciales en torsión no uniforme haciendo que las secciones dejen de ser planas.

• La torsión se denomina pura si solo actúa un momento torsor y compuesta si el torsor

18

• La torsión se denomina pura si solo actúa un momento torsor, y compuesta si el torsoresta combinado con flector y axil.

EL de resistencia de secciones4.6. Torsión

E f ió d l ti d l b l t ió d if ( l l b t t l• En función del tipo de alabeo la torsión puede ser uniforme (el alabeo es constante a lolargo de las fibras longitudinales) o no uniforme (el alabeo varía a lo largo de las fibraslongitudinales produciendo movimientos relativos en dirección longitudinal).

• La torsión uniforme solo produce tensiones tangenciales al no variar su longitud las fibraslongitudinales. Para que se produzca torsión uniforme son necesarias dos condiciones:

Ley de momentos torsores constante en toda la pieza‐ Ley de momentos torsores constante en toda la pieza‐ Alabeo libre en los extremos

Ci t t í l i i l ól d ll t ió if

• La torsión no uniforme produce tensiones tangenciales y tensiones normales

• Ciertas geometrías como las secciones circulares sólo desarrollan torsión uniformeaunque no se cumplan las condiciones anteriores.

• La torsión no uniforme produce tensiones tangenciales y tensiones normales . Las estructuras metálicas son muy sensibles a la torsión no uniforme, en especial las secciones abiertas.

• Si es inevitable la torsión no uniforme como esfuerzo principal, no deben usarse secciones abiertas para soportarla.

19

• La situación más general en torsión es la torsión mixta, en la que un porcentaje de la torsión de la barra es debida a la torsión uniforme y otro a la torsión mixta.

EL de resistencia de secciones4.7. Torsión uniforme

• Los puntos de una sección solo soportan tensiones tangenciales xy y xz. Aplicando las ecuaciones de equilibrio y la ley de Hooke se comprueba que las secciones giran (x) entornoal CDT y no se distorsionan.

z

τXZ

z

β

-v

w

y

XZ

τXY

y

φx

G

βXT

R

x ctex

• Barras de sección circular: no experimentan alabeo

x

T

MG I

xT

M rI

= G r

z

T T

4

TRI2

yR1

R2

20

4 4

T 2 1I R R2


Secciones macizas

z

• Se define una función de tensiones = (y,z) cumpliendo:z

τXZ

ns

xy xzG Gz y

2 2

yτXY

2 2

2 2 2z y

x x

T

d Mdx G I

TI 2 dy dz• Por equilibrio de momentos:

z

• En el caso de secciones rectangulares estrechas si b >> t (b/t > 10) la función de tensiones puede calcularse obteniéndose:

zz

y

Mx

t

x

xyT

2 M zI

zy

3b

xmáx 2

3 Mb t

21

b

3

Tb tI3


• Se generaliza el resultado para secciones rectangulares estrechas:

Secciones arbitrarias abiertas de pared delgada

b

x máx

máxT

M tI

t1

t2

t1 t

t2

b1

i

3n ni i

T Tb tI I3

TI b2

t1 t3

bb2

i 1 i 1 3b1 b3

Secciones cerradas de pared delgada con recinto único

P i ilit d l i l l t i t i l• Por similitud con la corona circular, se asume que las tensiones tangenciales son paralelas a las paredes de la sección transversal y constantes en el espesor.

f t ctef

máx mínf ft t

22

mín máxt t


• Por equilibrio de momentos

Secciones cerradas de pared delgada con recinto único

01 r ds2

2

T4I dst

x

T

MG I

xM2 t

• La inercia a torsión de las secciones cerradas es muy superior a la de las seccionesabiertas, por lo que deben utilizarse cuando la torsión es importante.

• La inercia a torsión se calcula sumando las contribuciones de la parte cerrada y de las

Secciones cerradas de pared delgada con alas

alas con las expresiones anteriores. Puesto que el giro de la sección es único se puededeterminar el torsor que se lleva cada parte de la sección.

E h bi l i lifi l bl d i d l ib ió d l l• Es habitual simplificar el problema despreciando la contribución de las alas puesto quesu inercia a torsión es mucho menor que la del cajón.

23


S i t l i l b Secciones transversales sin alabeo • Las secciones circulares o en corona circular, las secciones cerradas de pared delgadacircunscribibles, y las secciones abiertas de pared delgada con todos sus tramos

rT

CDT

CDT

confluyendo en un punto no tienen alabeo.

rT

rT

rT

rT

CDT

Resumen de formulas mas usuales en torsión uniforme

24

EL de resistencia de secciones4.8. Torsión no uniforme y mixta

• Se presenta en este apartado la torsión no uniforme mediante elmétodo simplificado

E l t ió if l i id d d l it d l l b t t l

Se presenta en este apartado la torsión no uniforme mediante el método simplificadode Timoshenko, para un análisis en detalle de la TNU ver “Estructuras metálicas I” de Francisco Quintero y Vicente Cudós.

• En la torsión uniforme el giro por unidad de longitud y el alabeo son constantes en la longitud de la pieza. Si el alabeo es nulo, las tensiones tangenciales de Saint Venant sonnulas (empotramiento), mientras que en el extremo libre el alabeo es libre, y si esta losuficientemente alejado del empotramiento solo aparecen tensiones tangenciales con losuficientemente alejado del empotramiento solo aparecen tensiones tangenciales, con loque la viga en doble T esta sometida a torsión mixta.

• La situación más general en torsión es la torsión mixta,en la que un porcentaje de la torsión T de una barra sedebe a la torsión niforme T otro a la no niforme T

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debe a la torsión uniforme Tt y otro a la no uniforme T.


• La naturaleza de las tensiones normales que aparecen en el empotramiento se puedecomprender si se sustituye el momento torsor Mt por un par de fuerzas F equivalentes,aplicadas sobre las alas y considerando que estas están libres de la coacción del alma,trabajando en flexión simple respecto al eje y.

F = MT / h Mf = My = FL = MT L/h max (x = 0) = 6 MT L/heb2

26

• Al momento flector Mf h se le denomina bimomento B(x).


• Considerando que el momento torsor se descompone en torsión uniforme y de alabeo:

T = MSV + MW

t TT x GI x

/xwh 2

2

y2 ala

Md wd EI

/h 2 2 ala

ydx EI

2 2ala ala alax

y y y y2 2

d w h d h dM EI EI EIdx 2 dx 2 dx

• Puesto que F es el cortante asociado al flector My:

dx 2 dx 2 dx

ydMT Fh h wT Fh h

dx

2 2 2

alaw y w2 2

h d dT x EI EI2 dx dx

• Siendo la rigidez de alabeo Iw :

2 dx dx

2 3 2ala h b h e

27

alaw y

h b h eI I2 24


• Luego la ecuación diferencial de la torsión mixta se expresa como:

2

t w T w 2

dT x T x T x GI x EId

• El efecto de la restricción al alabeo y las tensiones normales asociadas se extiendeen el caso de perfiles abiertos de pequeño espesor a longitudes muy importantes de las

2dx

barras y con valores muy significativos.

• Se produce una homología entre la torsión de alabeo y la flexión simple.

• Para la aplicación del método de Timoshenko en perfiles en I se aplican los siguientes pasos:

‐ Los momentos torsores puntuales o repartidos se sustituyen por pares defuerzas puntuales dividiéndolos por la altura del alma ‐ Se calculan las leyes de esfuerzos en cada ala por separado de cortantes y fl tflectores‐ Se calculan las tensiones normales y tangenciales en cada ala a flexión simpledebidas al alabeo

28• El método de Timoshenko permite calcular también el reparto de la torsión mixta entretorsión uniforme y no uniforme.


29Comentarios Art. 34.6 EAE

EL de resistencia de secciones4.9. Comprobaciones en la sección transversal

L i t i d l ió d d d l l it l i• La resistencia de la sección depende de la clase, aunque se permite en cualquier casola comprobación con criterios elásticos en todas las clases (Art. 34.1.1), considerando en el caso de la clase 4 las propiedades de la sección transversal reducida.

30


C t í ti d l i t l (A t 34 1 2)• Características de las secciones transversales (Art.34.1.2)Área bruta: se calcula a partir de las dimensiones nominales sin descontar agujeros de tornillos, pero si las aberturas importantes. No se incluyen los elementos de empalmeÁrea neta: se descuentan del área brutal los agujeros y aberturas. Si los agujeros no estánal tresbolillo se elige la sección pésima (con más agujeros). Si están al tresbolillo se deduce la mayor área de las siguientes:

‐ la de la sección sin considerar tresbolillo‐ la suma de áreas de agujeros en sección en diagonal o zig‐zag a lo largo de un elemento con la corrección siguiente

• En secciones de clase 4 con axil de compresión se debe considerar el desplazamiento del

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eje baricéntrico respecto al de la sección bruta, que crea un momento adicional


E f il d t ió (A t 34 2)• Esfuerzo axil de tracción (Art. 34.2)En cualquier sección se debe cumplir:

En secciones con agujeros se tomará para la resistencia de cálculo a tracción el menor delos siguientes valores:

Si se requiere un comportamiento dúctil la resistencia plástica de cálculo debe ser menorque la resistencia última de cálculo.

32


• Esfuerzo axil de compresión (Art. 34.3)En cualquier sección se debe cumplir:

La resistencia de cálculo de la sección a compresión se calcula como:

En el cálculo de la sección no se descuentan los agujeros de tornillos si están ocupados, salvo que se hayan sobredimensionado.

En el caso de secciones de clase 4 se debe considerar el momento flector adicional porla variación de la fibra neutra en la sección transversal reducida respecto a la sección

33

bruta.


• Esfuerzo flector (Art. 34.4)En cualquier sección se debe cumplir:

Siendo:

No se descuentan los agujeros de tornillos del ala traccionada si se cumple:

34


• Esfuerzo cortante(Art. 34.5)En cualquier sección se debe cumplir:

En dimensionamiento plástico y sin torsión la resistencia plástica a cortante de cálculo es:

Siendo Av el área a cortante, que depende del tipo de sección transversal:

f l l l l l‐ Perfil en I o H y carga paralela al alma: no menor que‐ Perfil en U y carga paralela al alma:……….P fil h i l t b d t t‐ Perfil hueco circular y tubos de espesor constante:

Siendo = 1.2 un coeficiente que tiene en cuenta la resistencia adicional que ofrece en régimen plástico

35

la resistencia adicional que ofrece en régimen plástico el endurecimiento por deformación del material.


• Esfuerzo cortante(Art. 34.5)Para la comprobación según un criterio elástico de los puntos críticos de la sección transversal se puede aplicar:transversal se puede aplicar:

En perfiles en I o en H con la carga cortante sobre el alma:

36

En la comprobación a cortante no se consideran los agujeros de los tornillos.


• Esfuerzo torsor (Art. 34.6)En cualquier sección se debe cumplir:

En cualquier sección se puede dividir el torsor en:q p

37


• Esfuerzo flector y torsor (Art. 34.6)En la comprobación a flexión se sustituye M c, Rd por M c, T, Rd considerando sólo los efectosde torsión del bimomento resultantes de un análisis elástico:de torsión del bimomento resultantes de un análisis elástico:

En elementos de sección transversal hueca cerrada se desprecia el alabeo, mientrasque en perfiles en I o H se desprecia la torsión uniforme

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que en perfiles en I o H se desprecia la torsión uniforme. En los comentarios se describe el método de Timoshenko para secciones en doble T


• Esfuerzo cortante y torsor (Art. 34.6)En la comprobación a cortante en dimensionamiento plástico se considera:

Con:En secciones en I o H

En secciones en U

En secciones huecas

39


• Interacción de esfuerzos (Art 34 7 1): Flexión y cortanteInteracción de esfuerzos (Art. 34.7.1): Flexión y cortanteSe comprueba a cortante y flector de forma independiente, en cortante como si no hubiera flector, y en flexión se modifica reduciéndose la resistencia sólo si el cortante de cálculo supera el 50% de la resistencia plástica a cortante de la sección La resistencia a flexión sesupera el 50% de la resistencia plástica a cortante de la sección. La resistencia a flexión se reduce asignando al área a cortante un límite elástico reducido de valor (1‐)fy en la resistencia de cálculo de la sección a flexión, con:

o en el caso de cortante y torsor:

En secciones en doble T de alas iguales y flexión en eje y:En secciones en doble T de alas iguales y flexión en eje y:

40


I t ió d f (A t 34 7 2) Fl ió il• Interacción de esfuerzos (Art. 34.7.2): Flexión y axil

El axil produce una reducción de la resistencia plástica de cálculo a flexión, que depended l lde la clase.‐Secciones transversales de clase 1 y 2

En una sección rectangular:

41De forma similar se plantean en el apartado las expresiones para otras secciones


• Interacción de esfuerzos (Art 34 7 2): Flexión y axilInteracción de esfuerzos (Art. 34.7.2): Flexión y axil

‐Secciones transversales de clase 3

Equivalente a:

‐Secciones transversales de clase 4

Equivalente a:

42


• Interacción de esfuerzos (Art 34 7 2): Flexión y axilInteracción de esfuerzos (Art. 34.7.2): Flexión y axil

‐ Flexión esviada y axil:

con

• Interacción de esfuerzos (Art. 34.7.2): Flexión, cortante y axil

Se reduce la resistencia de cálculo frente a flexión y axil si el cortante de cálculo es superioral 50 % de la resistencia plástica a cortante de la sección.La reducción de la resistencia a flexión y axil se realiza asignando al área a cortante un límite elástico reducido de valor (1‐)fy en el cálculo de la resistencia de cálculo de la sección a

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e ást co educ do de a o ( ) y e e cá cu o de a es ste c a de cá cu o de a secc ó aflexión y axil, con:

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