Tam ve Karma Stratejili Oyunlar

İki Kişili Oyunlar için…

İki kişili-Sıfır toplamlı oyunlar

Sabit toplamlı oyunların bir türüdür, Sabit olan toplam 0’a eşittir. Temel Özellikleri

• Oyunculardan birinin kazancı (karı) diğerinin

kaybına (zararına) eşittir.

• Satır oyuncusu toplam m adet stratejiden birini uygular iken sütun oyuncusu da aynı anda n adet stratejiden birini kullanır. • Tek bir kazanç matrisi gösterilir, Genellikle satır oyuncusuna ait olur.

2

İki kişili-Sıfır Toplamlı Oyunlara Örnekler

• Yönetim ile yeni bir sözleşme için masaya oturan sendika

• Bir kanun tasarısında karşı görüşte olan iki politikacı

• Yeni bir ürün ile pazar payını arttırmaya çalışan bir şirket ve onun kazancını minimize etmeye çalışan rakip şirket

• Bir proje sözleşmesi için hükümetle anlaşmaya giren bir müteahhit.

3

• Öncelikle oyuncuların kazanç ve kayıplarını matris şeklinde ortaya koymak gerekir.

• Bu matrise, oyun, kayıp-kazanç veya ödemeler matrisi denir.

• Matrisin satır ve sütunları karşı karşıya gelen karar vericilerin seçeneklerini ve seçeneklerin ikili kombinasyonundan doğabilecek olası sonuçları gösterir.

• Karar vericilerin seçeneklerine; strateji denir.

4

Sıfır toplamlı oyunlar

5

Sütun Oyuncusunun Stratejisi

Varsayımlar

1. Her bir oyuncu, oyun matrisinin farkındadır. Yani, her biri diğer oyuncunun tüm stratejilerini ve getireceği sonuçları bilir.

2. Oyunları, yani stratejilerin seçimi eş zamanlı olarak oynanır.

6

Tam Strateji

• İki kişili- sıfır toplamlı bir oyunda kazanan ve kaybeden taraflar kendileri için en iyi stratejiyi belirlediklerinde,

• Bu stratejiler aynı oyun değerinde buluşuyor ise

• Oyunda tam strateji vardır.

• Aksi takdirde karma strateji söz konusudur.

7

Tam Stratejili Oyunlar

• Kötümserlik ve pişmanlık ölçütüne göre çözülebilir.

• Dayandığı felsefe;

• Her bir oyuncunun akılcı bir rakibin kontrolü altında olması nedeniyle kendini güvence altına almak istemesidir.

• Ödemeler matrisi;

• satır oyuncusunun kazancı= sütun oyuncusunun kaybını gösterir

8

Kazanan oyuncu (satır oyuncusu) açısından rekabet

• Herhangi bir strateji üzerinde düşünürken,

• Rakibinin bu stratejinin sonuçları arasından;

• Minimum kayba uğramasını sağlayacak olan kendi stratejisini belirleyeceğini bilmektedir.

• Her bir stratejisinin doğuracağı minimum sonuçlar arasından maksimum değerli olanına yönelerek,

• En azından bu değer kadarını kazanmayı garanti eder.

9

Kaybeden (sütun oyuncusu) açısından rekabet

• Hangi stratejiyi seçerse seçsin,

• Yaptığı her harekete karşılık kazanan oyuncunun en yüksek kazancı elde edecek şekilde kendi stratejisini seçeceğini bilir.

• Kendi stratejilerinin doğuracağı maksimum kayıplar arasından minimum değerli olanını veren stratejiyi seçerek en fazla bu kadar kaybetmeyi göze almaktadır.

10

Maksimin ve Minimaks Dengesi

• SATIR OYUNCUSU; kendi stratejilerinin her biri için, kazanabileceği minimum kazancı saptar ve bunlar arasından maksimum değerli kazancın bulunduğu stratejiyi seçer,

• SÜTUN OYUNCUSU ise; her bir stratejisinden kaybedebileceği maksimum değerleri saptar ve bu maksimum kayıplar arasından minimum kaybın bulunduğu stratejiyi seçer.

• Böylece her oyuncu; rakibi ne seçerse seçsin kendi stratejisi ile belirlediği sonuçtan daha kötüsü ile karşılaşmamayı garanti altına alır.

11

Baskın Strateji

• Her bir karar vericinin kendi amacına uygun olarak • Stratejilerinden birisini diğer stratejilerinden herhangi

birine göre her zaman tercih etmesi durumu. • Hiçbir durumda tercih edilmeyecek (basılgın) strateji

oyun matrisinden elenir. • Kazanan (satır) oyuncusu için; herhangi bir stratejinin

tüm sonuçlarından küçük ya da bu stratejiye eşit olan strateji elenir.

• Kaybeden (sütun) oyuncusu için; herhangi bir stratejinin tüm sonuçlarından büyük ya da bu stratejiye eşit olan strateji elenir.

12

Çözüm adımları

Herhangi bir iki kişili sıfır toplamlı oyunun çözümünde aşağıdaki adımlar izlenir. 1. Sonuçları gösteren oyun matrisi kurulur. 2. Baskınlık kontrolü yapılır. 3. Kazanan (satır) oyuncunun her bir stratejisi için minimum

kazanç/kazançlar belirlenir. Kaybeden (sütun) oyuncunun her bir stratejisi için maksimum kayıplar belirlenir.

4. Her iki oyuncu için çakışan değer varsa, oyun bir eyer noktasına sahiptir. Oyunun değeri (denge noktası) bu noktadır. Kazanan oyuncu için p=1 olasılıkla, kaybeden oyuncu için de q=1 olasılıkla seçecekleri birer stratejileri vardır.

5. Eyer noktası yoksa, karma strateji aranır.

13

Minimaks Dengesi

• Denge Noktasına Sahip İki – Kişili Sıfır–Toplamlı Bir Oyunun Satır Oyuncusuna

Göre Kazanç Matrisi

14

• Satır oyuncusu 1nci stratejiyi seçerse; sütun oyuncusu mantıklı

hareket ederek kendisine en az kaybı verdirecek olan 1nci ya da 2nci

stratejisini kullanır ve 4 birim kaybeder (birinci satırdaki en küçük

rakamlar), yani satır oyuncusu 4 birim kazanır,

• 2nci stratejiyi seçerse; sütün oyuncusu 3ncü stratejiyi seçer ve 1

birim kaybeder,

• 3ncü stratejiyi seçerse; sütun oyuncusu 2nci stratejiyi seçer ve 5

birim kaybeder.

15

Minimaks Dengesi

Denge (tepe) noktası

• Denge Noktasının Koşulu:

16

•Denge noktası öyle bir noktadır ki oyuncular tek taraflı

olarak stratejilerini değiştirirler ise durumlarında bir iyileşme söz

konusu olmaz (daha da kötüye gidebilirler).

•Denge noktasının bir diğer özelliği ise şöyle açıklanabilir: Bu nokta

yer aldığı satırdaki en küçük sayı ve yer aldığı sütundaki ise

en büyük sayıdır. Bu özellikleri gözlemek suretiyle denge noktasının

olup olmadığı incelenebilir.

•Denge noktasına sahip olan oyunlar kararlı oyun olarak

adlandırılırlar

Denge (tepe) noktası

• İki–kişili sıfır–toplamlı bir oyun denge noktasına sahip ise

oyunun optimal çözümüne göre her oyuncu oyun boyunca yalnızca bir

stratejisini kullanır, yani oyun tam stratejiler ile oynanır.

• Bu stratejiler oyunun denge noktasını oluşturan satır ve sütundur.

17

Denge (tepe) noktası ve oyunun değeri

• Oyunun Değeri (v): Optimal çözümde satır oyuncusunun

kazanacağı ve sütun oyuncusunun kaybedeceği değere oyunun değeri

denir ve sıfır–toplamlı oyunlarda her iki oyuncu için bu değer

aynıdır.

• Dengeli oyunlarda oyunun değeri denge noktasındaki kazanç

değerine eşittir.

18

Örnek:

B A

b1 b2 B3

a1 3 -5 5

a2 2 6 -3

a3 4 5 4

a4 -1 -2 4

19

Oyunun değerini bulunuz.

Basılgın seçenekler elenir

20

B A

b1 b2 b3

a1 3 -5 5

a2 2 6 -3

a3 4 5 4

BASILGIN SEÇENEK OLDUĞU İÇİN a4 ELENDİ!!!

• Satır oyuncusu için minimum kazançlar, sütun oyuncusu için maksimum kayıplar belirlenir.

21

B A

b1 b2 B3 Minimum kazanç

a1 3 -5 5 -5

a2 2 6 -3 -3

a3 4 5 4 4

Maksimum kayıp

4 6 5

• Oyunun denge noktası bulunur

22

B A

b1 b2 B3 Minimum kazanç

a1 3 -5 5 -5

Mak

sim

in

a2 2 6 -3 -3

a3 4 5 4 4

Maksimum kayıp

4 6 5 Oyunun değeri=4

Minimaks

Sonuç

• Oyunun değeri=4. Eyer noktası (denge noktası). Tam stratejili oyundur.

• A oyuncusunun stratejilerinin sırasıyla (a1, a2, a3) seçilme olasılıkları: p1=0, p2=0, p3=1

• B oyuncusunun stratejilerinin sırasıyla (b1, b2, b3) seçilme olasılıkları: q1=1, q2=0, q3=0

• A oyuncusu daima 4 birim kazanacak, B oyuncusu daima 4 birim kaybedecektir.

• a3 stratejisi incelendiğinde; B oyuncusunu memnun edecek daha iyi bir strateji yoktur.

• b1 stratejisi incelendiğinde; A oyuncusunu memnun edecek daha iyi bir strateji yoktur.

23

Karma Stratejiler

• İki kişili sıfır toplamlı bir oyunda;

• Minimaks değeri ile maksimin değerinin çakıştığı bir eyer noktası yoksa, oyun karma stratejilidir.

• Rakip oyuncuların seçebilecekleri bir stratejiden fazlası vardır.

• Oyunun defalarca tekrarlandığı varsayımıyla,

• Her bir oyuncu için birden fazla stratejinin seçilme sıklıkları araştırılır.

24

• Satır oyuncusu için herhangi bir karma strateji oluşturma olasılıkları: p=[p1, p2, …,p, …, pn]

• Sütun oyuncusu için herhangi bir karma strateji oluşturma olasılıkları: q=[q1, q2, …,q, …, qm]

• Karma stratejili oyun için oyun olasılığı:

• ∑pi=∑qi=1 (0≤pi≤1, 0≤qi≤1)

• Seçilme olasılıklarının stratejiler arasında nasıl dağıldığı bulunur.

25

Örnek

• Yeni bir kamera üretimi ile pazara girerek pazar payını arttırmayı amaçlayan A şirketi ile onun pazar payı artışını minimize etmeye çalışan rakibi B şirketi arasında oynanan oyunun ödemeler matrisi aşağıdaki gibidir.

• Her iki şirket için stratejiler; – promosyon kampanyaları,

– ambalajlamada iyileştirme,

– ürün dış tasarımında iyileştirme

26

Ödemeler Matrisi

B şirketi A şirketi

b1 b2 b3

a1 9 7 2

a2 11 8 4

a3 4 1 7

27

• Basılgın stratejiler varsa elenir.

• A oyuncusu için; a1 stratejisi a1’e baskındır.

• B oyuncusu için; b2 stratejisi b1’e baskındır.

28

B şirketi A şirketi

b1 b2 b3

a1 9 7 2

a2 11 8 4

a3 4 1 7

• Oyunun eyer noktası yoktur.

• Tam stratejili oyun değildir.

• Oyun, her şirket için tek stratejinin seçimiyle sonuçlanmayacaktır.

29

B şirketi A şirketi

b2 b3 Minimum kazanç

a2 8 4 4

a3 1 7 1

Maksimum kayıp

8 7

• A ve B’ nin kendi aday stratejileriyle oyuna başladığı varsayılır.

• A şirketi a2 stratejisini seçtiğinde B şirketinin daima b3’ü seçeceğini görüp, pazar payını %7’ye çıkarmak için a3 stratejisine dönecektir.

• B şirketi bu hamleye karşılık A şirketinin pazar payını %1 yapmak için b2’ye dönecektir.

• B şirketinin bu hamlesi A şirketinin hemen a2’ye dönmesine sebep olu.

• Bu hamle sonucu B şirketi yine b3’e yönelir. • Bu kapalı döngü sürer gider.

30

• Karma stratejilerin olduğu rekabet durumlarında

• Oynanan oyunların uzun vadeye yayılacağı varsayımıyla hareket edilerek,

• Oyuncuların stratejileri hangi sıklıkla seçeceklerini bulmak için farklı yöntemler kullanılır.

– Beklenen kazanç ve kayıp

– Grafik çözüm yöntemi

– Doğrusal programlama

– Yaklaşık çözüm yöntemi

31

1. Beklenen Kazanç ve Kayıp Yöntemi

• Karma stratejili oyunlarda bir karar planı geliştirilebileceği temeline dayanır.

• Varsayımı: – Uzun vadede oyunun denge noktasına gelecektir ve

– Kazanan ve kaybeden oyuncuların aynı beklenen değere ulaşacaklardır.

• Oyunculardan her biri karşı oyuncunun olası her seçimi için, kullanacağı karma stratejisinin planını yapmayı amaçlar.

32

Beklenen kazanç ve kayıp

• pi kazanan oyuncunun, qi kaybeden oyuncunun stratejileri seçme olasılıkları

• vij; oyunun değeri

33

Örnek

• Kamera üretimi yapan A ve B şirketi örneği için beklenen kazanç ve kayıp değerini bulalım.

34

B şirketi A şirketi

b2 b3

a2 8 4

a3 1 7

• A şirketi; B’nin b2 ya da b3’ü hangi sıklıkta seçeceğini bilmez.

• B’nin seçimine bakmaksızın aynı beklenen kazançla sonuçlanan bir plan geliştirmek üzere hareket eder.

• A şirketi; p olasılıkla a2 stratejisini, 1-p olasılıkla a3 stratejisini seçsin.

• B oyuncusunun farklı stratejileri için A oyuncusunun beklenen kazancı: – b2 için: 8p+1(1-p)=1+7p

– b3 için: 4p+7(1-p)=7-3p

• A oyuncusunun uzun vadede beklenen kazancını dengeleyecek p değerini bulmak için iki sonuç eşitlenir:

– 1+7p=7-3p

– 10p=6

– p=0,60

35

Bu sonuca göre;

• A şirketinin planı,

– Zamanın %60’ında a2 stratejisini

– Geri kalanında da a3 stratejisini kullanmaktır.

• Beklenen kazanç:

– BD(A şirketi)= 8(0,60)+1(0,40)=5,2 birimlik pazar payı artışı

36

• B şirketi; • A’nın a2 veya a3’ü seçmesine kayıtsız kalarak • Aynı beklenen kayıpla sonuçlanacak şekilde

strateji seçme olasılıklarını belirlemek ister. • B oyuncusunun b2 stratejisini seçme olasılığı q,

b3 stratejisini seçme olasılığı 1-q. • A şirketinin seçimlerine göre beklenen kayıpları:

– a2 için: 8q+4(1-q)=4+4q – a3 için: 1q+7(1-q)=7-6q

• Beklenen kayıpları eşitlersek; – 4+4q=7-6q – 10q=3 – q=0,30

37

• B şirketi;

• Zamanın %30’unda b2, geri kalanında b3 stratejisini kullanmayı planlamaktadır.

• Beklenen kayıp:

• BD(B şirketi)=8(0,30)+4(0,70)=5,2 birimlik pazar kaybı olur.

38

Sonuç

• A ve B şirketleri için oyun matrsini yeniden düzenleyelim:

• Oyunun beklenen değeri: BD(Oyun)=8(0,60)(0,30)+4(0,60)(0,70)+1(0,40)(0,30)+7(0,40)(0,70)

=5,2

39

B A

qj bj

0,30 b2

0,70 b3

pi ai

0,60 a2 8 4

0,40 a3 1 7

Sonuç

• A ve B için en iyi stratejiler incelendiğinde durum aşağıdaki gibiydi

– A için kazanç yalnız %4’lük pazar payı,

– B için kayıp %7’lik pazar payıdır.

–Karma stratejiler belirlendikten sonra beklenen kazanç-kayıp %5,2’dir.

–Her iki şirket de karma strateji kullanarak daha iyi duruma gelmiştir.

40

B şirketi A şirketi

b2 b3 Minimum kazanç

a2 8 4 4

a3 1 7 1

Maksimum kayıp

8 7

OYUN SıFıR TOPLAMLı DEĞILSE!

Karma Stratejiler

41

Karma Stratejiler

• Pür olarak yukarı (U) ya da aşağı (D) oynamak yerine, oyuncu A bir olasılık dağılımı (p,1-pU) seçer; buna göre oyuncu A pU olasılığıyla yukarı (U) ve 1-pU olasılığıyla aşağı (D) oynar.

• Oyuncu A pür stratejileri U ve D’nin bileşiminden bir karma strateji oluşturmaktadır.

• Olasılık dağılımı (pU,1-pU) oyuncu A için karma bir stratejidir.

Karma Stratejiler

• Benzer biçimde, oyuncu B bir olasılık dağılımı (pL,1-pL) seçer; buna göre, pL olasılıkla sola (L) ve 1-pL olasılıkla sağa (R) oynayacaktır.

• Oyuncu B pür stratejileri L ve R’nin bileşiminden bir karma strateji oluşturmaktadır.

• Olasılık dağılımı (pL,1-pL) oyuncu B için karma bir stratejidir.

Karma Stratejiler

Bu oyunda pür strateji Nash dengesi bulunmamakla birlikte bir

karma strateji Nash dengesi vardır.

Peki nasıl hesaplayacağız?

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2) Oyuncu A

U

D

L R

Oyuncu B

Karma Stratejiler

Oyuncu A

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,pU

D,1-pU

L,pL R,1-pL

Oyuncu B

Karma Stratejiler

B sola (L) oynarsa beklenen kazancı

)1(52 UU pp

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2) Oyuncu A

U,pU

D,1-pU

L,pL R,1-pL

Oyuncu B

Karma Stratejiler

B sola (L) oynarsa beklenen kazancı

B sağa (R) oynarsa beklenen kazancı

).1(52 UU pp

).1(24 UU pp

Oyuncu A (1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,pU

D,1-pU

L,pL R,1-pL

Oyuncu B

Karma Stratejiler

)1(24)1(52 UUUU pppp ise

B sadece sola (L) oynar. Fakat B sadece sola oynarsa Nash

dengesi bulunmamaktadır.

Oyuncu A

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,pU

D,1-pU

L,pL R,1-pL

Oyuncu B

Karma Stratejiler

)1(24)1(52 UUUU pppp ise

Oyuncu A (1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,pU

D,1-pU

L,pL R,1-pL

Oyuncu B

B sadece sağa (R) oynar. Fakat B sadece sağa oynarsa Nash

dengesi bulunmamaktadır.

Karma Stratejiler

Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, B sola ya da sağa

oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

)1(24)1(52 UUUU pppp

Oyuncu A (1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,pU

D,1-pU

L,pL R,1-pL

Oyuncu B

Oyuncu A

.5/3

)1(24)1(52

U

UUUU

p

pppp

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,pU

D,1-pU

L,pL R,1-pL

Oyuncu B

Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, B sola ya da sağa

oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

Oyuncu A

.5/3

)1(24)1(52

U

UUUU

p

pppp

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

L,pL R,1-pL

5

3

5

2

Oyuncu B

Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, B sola ya da sağa

oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

Oyuncu A

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,pL R,1-pL

U,

D,

5

3

5

2

Oyuncu B

Oyuncu A

A yukarı (U) oynarsa beklenen kazancı

.)1(01 LLL ppp

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,pL R,1-pL

U,

D,

5

3

5

2

Oyuncu B

Oyuncu A

A yukarı (U) oynarsa beklenen kazancı

A aşağı (D) oynarsa beklenen kazancı

).1(3)1(30 LLL ppp

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,pL R,1-pL

U,

D,

5

3

5

2

.)1(01 LLL ppp

Oyuncu B

Oyuncu A

)1(3 LL pp ise A sadece yukarı oynar.

Fakat A sadece yukarı oynarsa Nash dengesi bulunmamaktadır.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,pL R,1-pL

U,

D,

5

3

5

2

Oyuncu B

Oyuncu A

Fakat A sadece aşağı oynarsa Nash dengesi bulunmamaktadır.

)1(3 LL pp ise A sadece aşağı oynar

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,pL R,1-pL

U,

D,

5

3

5

2

Oyuncu B

Oyuncu A

)1(3 LL pp

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,pL R,1-pL

U,

D,

5

3

5

2

Oyuncu B

Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, A yukarı ya da

aşağı oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

Oyuncu A

Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, A yukarı ya da

aşağı oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

.4/3)1(3 LLL ppp

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L,pL R,1-pL

U,

D,

5

3

5

2

Oyuncu B

Oyuncu A

Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, A yukarı ya da

aşağı oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

.4/3)1(3 LLL ppp

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

L, R,

U,

D,

5

3

5

2

4

3

4

1Oyuncu B

Oyuncu B

Oyuncu A

Sonuç olarak oyunun tek Nash dengesinde oyuncu A karma

strateji (3/5, 2/5) ve oyuncu B karma strateji (3/4, 1/4)

oynamaktadır.

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

5

3

5

2

L, R, 4

3

4

1

Oyuncu B

Oyuncu A

Kayıp kazanç matrisinde (1,2) olasılığı 3

5

3

4

9

20

(1,2) (0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

L, R, 4

3

4

1

5

3

5

29/20

Oyuncu B

Oyuncu A

3

5

1

4

3

20

(0,4)

(0,5) (3,2)

U,

D,

L, R, 4

3

4

1

5

3

5

2

(1,2) 9/20 3/20

Kayıp kazanç matrisinde (0,4) olasılığı

Oyuncu B

Oyuncu A

2

5

3

4

6

20

(0,4)

(0,5)

U,

D,

L, R, 4

3

4

1

5

3

5

2

(1,2) 9/20 3/20

6/20 (3,2)

Kayıp kazanç matrisinde (0,5) olasılığı

Oyuncu B

Oyuncu A

2

5

1

4

2

20

(0,4) U,

D,

L, R, 4

3

4

1

5

3

5

2

(1,2) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20

Kayıp kazanç matrisinde (3,2) olasılığı

Oyuncu B

Oyuncu A

(0,4) U,

D,

L, R, 4

3

4

1

5

3

5

2

(1,2) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20

Oyuncu B

Oyuncu A

A’nın beklenen Nash dengesi kazancı

.4

3

20

23

20

60

20

30

20

91

(0,4) U,

D,

L, R, 4

3

4

1

5

3

5

2

(1,2) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20

Karma Stratejiler

A’nın beklenen Nash dengesi kazancı

.4

3

20

23

20

60

20

30

20

91

B’nin beklenen Nash dengesi kazancı

.5

16

20

22

20

65

20

34

20

92

Oyuncu B

Oyuncu A

(0,4) U,

D,

L, R, 4

3

4

1

5

3

5

2

(1,2) 9/20 3/20 (0,5) (3,2) 6/20 2/20

Kaç tane Nash dengesi?

• Sonlu sayıda oyuncudan oluşan bir oyunda, oyunculardan her birinin sonlu sayıda pür stratejisinin olması durumunda en azından bir Nash dengesi bulunmaktadır.

• Ayrıca oyunda bir pür strateji Nash dengesi yoksa en azından bir karma strateji Nash dengesi bulunmalıdır.

HAFTAYA

Grafik Çözüm Yöntemi

Doğrusal Programlama Çözümü

70