Centro de Investigación de Estudios Avanzados

del Instituto Politécnico Nacional

Departamento de Ingeniería Eléctrica.

Sección Mecatrónica.

Ingeniería de control.

Dr. Rafael Castro Linares.

Tarea 5.

Criterio de estabilidad de Lyapunov.

.

Posgrado de Maestría en Mecatrónica.

Generación 2015-2017.

Ing. Leonardo Rodríguez Carbajal.

15 de diciembre de 2015

INGENIERÍA DE CONTROL

INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL PROYECTO: CONTROL DE PLANTA DE TERCER ORDEN 1

Considérese ahora el sistema retroalimentado

Escoja como Función de Lyapunov

𝑣(𝑥) =1

2𝑥𝑇 [

P11 P12

P12 P22] 𝑥

Y seleccione

�̇�(𝑥) = 𝑥12 + 𝑥2

2

Diga si el sistema es inestable. Compare el resultado al usar el criterio de Routh-Hurwitz

𝐶(𝑠) =𝐺(𝑠)

1 + 𝐺(𝑠)=

𝑘𝑠(𝑠 − 𝑎)

1 +𝑘

𝑠(𝑠 − 𝑎)

=

𝑘𝑠(𝑠 − 𝑎)

𝑠(𝑠 − 𝑎) + 𝑘𝑠(𝑠 − 𝑎)

=𝑘

𝑠2 − 𝑎𝑠 + 𝑘

Cuando R(s)=0 (o r(t)=0), la ecuación diferencial del sistema es:

�̈� − 𝑎�̇� + 𝑘𝑒 = 0

Al hacer la asignación 𝑥1 = 𝑒 y 𝑥2 = 𝑥1̇

𝑥1̇ = 𝑥2

𝑥2̇ = 𝑎�̇� − 𝑘𝑒 = −𝑘𝑥1 + 𝑎𝑥2

Considerando el sistema anterior

�̇� = [𝑥1̇

𝑥2̇] = 𝑨𝒙 = [

0 1−𝑘 𝑎

] [𝑥1

𝑥2]

𝑘

𝑠(𝑠 − 𝑎) + R(s)

- C(s)

E

G(s)

INGENIERÍA DE CONTROL

INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL PROYECTO: CONTROL DE PLANTA DE TERCER ORDEN 2

𝑣(𝑥) =1

2𝑥𝑇 [

P11 P12

P12 P22] 𝒙

𝑣(𝑥) =1

2[𝑥1 𝑥2] [

𝑃11 𝑃12

𝑃12 𝑃22] [

𝑥1

𝑥2]

=1

2[𝑥1 𝑥2] [

𝑃11𝑥1 + 𝑃12𝑥2

𝑃12𝑥1 + 𝑃22𝑥2]

=1

2[𝑥1(𝑃11𝑥1 + 𝑃12𝑥2) + 𝑥2(𝑃12𝑥1 + 𝑃22𝑥2)]

=1

2(𝑥1

2𝑃11 + 𝑃12𝑥2𝑥1 + 𝑃12𝑥1𝑥2 + 𝑃22𝑥22)

Con 𝑃12 = 𝑃21

𝑣(𝑥) =1

2(𝑥1

2𝑃11 + 2𝑃12𝑥2𝑥1 + 𝑃22𝑥22)

�̇�(𝑥) = 𝑥1𝑃11𝑥1̇ + 𝑃12(𝑥2𝑥1̇ + 𝑥1𝑥2̇) + 𝑃22𝑥2𝑥2̇

= 𝑥1̇(𝑥1𝑃11 + 𝑥2𝑃12) + 𝑥2̇(𝑥1𝑃12 + 𝑥2𝑃22)

Sustituyendo

𝑥1̇ = 𝑥2

𝑥2̇ = −𝑘𝑥1 + 𝑎𝑥2

�̇�(𝑥) = 𝑥2(𝑥1𝑃11 + 𝑥2𝑃12) + (−𝑘𝑥1 + 𝑎𝑥2)(𝑥1𝑃12 + 𝑥2𝑃22)

= 𝑥1𝑥2𝑃11 + 𝑥22𝑃12 − 𝑘𝑥1

2𝑃12 − 𝑘𝑥1𝑥2𝑃22 + 𝑎𝑥1𝑥2𝑃12 + 𝑎𝑥22𝑃22

�̇�(𝑥) = 𝑥12(−𝑘𝑃12) + 𝑥1𝑥2(𝑃11 − 𝑘𝑃22 + 𝑎𝑃12) + 𝑥2

2(𝑃12 + 𝑎𝑃22) = 𝑥12 + 𝑥2

2

Igualando los términos

−𝑘𝑃12 = 1

𝑃12 = −1

𝑘

𝑃12 + 𝑎𝑃22 = 1

INGENIERÍA DE CONTROL

INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL PROYECTO: CONTROL DE PLANTA DE TERCER ORDEN 3

𝑃22 =(1 +

1𝑘)

𝑎=

𝑘 + 1

𝑎𝑘

𝑃11 − 𝑘𝑃22 + 𝑎𝑃12 = 0

𝑃11 =(𝑘 + 1)

𝑎+

𝑎

𝑘=

𝑘2 + 𝑘 + 𝑎2

𝑎𝑘

𝑁 =

[ −

𝑘2 + 𝑘 + 𝑎2

𝑎𝑘

1

𝑘1

𝑘−

𝑘 + 1

𝑎𝑘 ]

−𝑘2+𝑘+𝑎2

𝑎𝑘< 0

∴ 𝐸𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒

Usando el criterio de Routh-Hurwitz

Con

𝑠2 − 𝑎𝑠 + 𝑘

𝑠2 1 k

𝑠1 -a 0

𝑠0 k

Al existir cambio de signo, el sistema es inestable.