Tarea S1.
Metodos Matematicos II.
1. Sea {fk(z)}, k = 1, 2, 3, . . . una sucesion defunciones
holomorfas en una regionR. Supongamosque
F (z) =
k=1
fk(z)
es uniformemente convergente en R. Probar queF (z) es holomorfa
en R.
2. Probar que una funcion holomorfa no puedeestar acotada en la
vecindad de una singularidadaislada.
3 Probar que si z 6= 0, entonces
e12 (z1/2) =
n=
Jn()zn
donde Jn(z) =12
2pi0
cos(n sen)d n =0, 1, 2, . . . La funcion Jn() se llama funcion
deBessel de primera especie (o primer clase) de or-den n.
4. Los polinomios de Legendre Pn(t), n =0, 1, 2, 3, . . . se
definen por las formulas deRodrguez
Pn(t) =1
2nn!
dn
dtn(t2 1)n
(a) Probar que si C es cualquier curva simple cer-rada
encerrando el punto z = t, entonces
Pn(t) =1
2pii
1
2n
C
(z2 1)2(z t)n+1 dz
Esta es la llamada representacion de Schlaeflipara Pn(t), o la
formula de Schlaefli.
(b) Probar que
Pn(t) =1
2pi
2pi0
(t+t2 1 cos )nd
5. Empleando las definiciones de sucesiones y se-ries vistas en
clase, probar que,
(a) limn
3n+ 2z
n+ z= 3,
(b) limn
nz
n2 + z2= 0
6. (a) Determinar el conjunto de valores de z para
los cuales la serie
n=0
(1)n(zn + zn+1) converge, yhallar su suma.
7. Hallar la suma de las series
n=0
n+ 1
2n.
8. Estudiar la convergencia, (a) absoluta y (b)uniforme de la
serie
z
3+z(3 z)
32+z(3 z)2
33+z(3 z)3
34+
9. Estudiar la convergencia de:
(a)
n=1
1
n+ |z| , (b)n=1
(1)nn+ |z| ,
(c)
n=1
1
n2 + |z| , (d)n=1
1
n2 + z.
10. Hallar la region de convergencia den=0
e2piinz
(n+ 1)3/2.
11. (a) Diferenciando ambos miembros de laigualdad
1
1 z = 1 + z + z2 + z3 + |z| < 1
hallar la suma de la serie
n=1
nzn para |z| < 1.Justifica todos tus pasos. (b) Hallar la
suma de la
serie
n=1
nzn para |z| < 1.12. Desarrollar cada una de las siguientes
fun-
ciones en una serie de Taylor alrededor del puntoindicado y
determinar la region de convergencia encada caso (a) ez; z = 0, (b)
cos z; z = pi2 , (c)
1(1+z) ;
z = 1, (d) z33z2 +4z2; z = 2, (e) ze2z; z = 1.13. Mostrar
que
(a) tan z = z + z3
3 +2z5
15 + , |z| < pi2(b) sec z = 1 + z
2
2 +5z4
24 + , |z| < pi2(c) csc z = 1z +
z6 +
7z3
360 + , 0 < |z| < pi14. Probar el teorema binomial visto
en clase.15. Si escogemos la rama de
1 + z3 que toma
el valor 1 para z = 0, mostrar que
11 + z3
= 112z3+
1 32 4z
61 3 52 4 6z
9+ |z| < 1
16. (a) Desarrollar f(z) = ln(3 iz) en potenciasde z 2i,
escogiendo la rama del logaritmo parala cual f(0) = ln3, y (b)
determinar la region deconvergencia.
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