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7/27/2019 TatesThesis.pdf

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A U T O M O R P H I C F O R M S F O R

GL(1,AQ) - T A T E ' S T H E S I S

N A V A C H I T R I K

R e f e r e n c e d h e a v i l y f r o m T a t e ' s t h e s i s a n d f r o m G o l d f e l d a n d H u n d l e y ( 2 0 1 1 ) , A u t o m o r p h i c R e p r e s e n -

t a t i o n s a n d L - F u n c t i o n s f o r t h e G e n e r a l L i n e a r G r o u p , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s

C o n t e n t s

A u t o m o r p h i c F o r m s f o r G L ( 1 ,

AQ) 1

D i r i c h l e t L - F u n c t i o n s 4

I n t e g r a t i o n a n d P o i s s o n S u m m a t i o n o n A 4

T h e F u n c t i o n a l E q u a t i o n o f t h e R i e m a n n - F u n c t i o n 5

T h e Z e t a - I n t e g r a l a n d i t s F u n c t i o n a l E q u a t i o n 7

T h e L o c a l Z e t a I n t e g r a l 9

T h e L - F u n c t i o n a n d i t s - F a c t o r s 1 4

A u t o m o r p h i c F o r m s f o r G L ( 1 ,

AQ)

A u t o m o r p h i c f o r m s f o r G L ( 1 ,

AQ) a r e a s p e c i a l t y p e o f f u n c t i o n o n Q\A. T h e y

w i l l t u r n o u t t o b e n o m o r e t h a n t h e c l a s s i c a l o b j e c t s , t h e D i r i c h l e t c h a r a c t e r s .

F i r s t w e w i l l m a k e s o m e d e n i t i o n s f o r a u t o m o r p h i c f o r m s w h i c h a r e c a p a b l e o f

g e n e r a l i z a t i o n t o n > 1 t h e n w e w i l l s h o w t h a t t h e o n e d i m e n s i o n a l a u t o m o r p h i c

f o r m s a r e a s s o c i a t e d t o a u n i q u e D i r i c h l e t c h a r a c t e r . I n t h i s w a y , w e p r e s e n t T a t e ' s

t h e s i s a s t h e b o t t o m r u n g i n t h e t h e o r y o f A u t o m o r p h i c f o r m s . M a n y o f t h e t e c h -

n i q u e s e n c o u n t e r e d h e r e w i l l b e u s e d a g a i n i n t h e t h e o r y o f A u t o m o r p h i c f o r m s f o r

G L (

2,A).

D e n i t i o n 1 . ( U n i t a r y H e c k e C h a r a c t e r ) A u n i t a r y H e c k e c h a r a c t e r o f t h e i d e l e s

i s a h o m o m o r p h i s m ,

: AQ C

s u c h t h a t |(x)| = 1 a n d (q) = 1 w h e n e v e r

q Q. I t s h o u l d a l s o b e c o n t i n u o u s . T h i s i s s o m e t i m e s m o r e c o n c i s e l y d e n e d a s a

h o m o m o r p h i s m : Q\AQ S1

.

1


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A U T O M O R P H I C F O R M S F O R GL(1,AQ) - T A T E ' S T H E S I S 2

D e n i t i o n 2 . ( M o d e r a t e G r o w t h ) A f u n c t i o n o n t h e a d e l e s i s s a i d t o h a v e

m o d e r a t e g r o w t h i f f o r e a c h a d e l e

g = {g, g2,...}, t h e r e a r e c o n s t a n t s s u c h t h a t

({tg, g2,...}) < C(1 + |t|)M

f o r a l l t R .

D e n i t i o n 3 . ( A u t o m o r p h i c f o r m ) L e t

b e a x e d u n i t a r y H e c k e c h a r a c t e r . A n

a u t o m o r p h i c f o r m i s a f u n c t i o n

: Q\AQ C

s a t i s f y i n g :

( 1 )

(zg) = (z)(g) z, g AQ

( 2 )

h a s m o d e r a t e g r o w t h ( t h i s i s a u t o m a t i c )

W h i l e t h e a b o v e d e n i t i o n s e e m s a b i t s i l l y - i t i m p l i e s t h a t a u t o m o r p h i c f o r m s

a r e s i m p l y s c a l e d u n i t a r y H e c k e c h a r a c t e r s - t h i s d e n i t i o n i s o n l y t o m i m i c t h e

d e n i t i o n s f o r h i g h e r d i m e n s i o n w h e n t h e s e f u n c t i o n s c a n b e m o r e c o m p l i c a t e d .

D e n i t i o n 4 . D i r i c h l e t C h a r a c t e r (

mod q) . F o r a n y c h a r a c t e r

: (Z/qZ)

C

w e c a n l i f t

t o a l l o f

Zb y

(n) = (n) w h e r e

n n( mod q) a n d (n) = 0 i f

(q, n) = 1 .

D e n i t i o n 5 . ( I d e l i c l i f t o f a D i r i c h l e t c h a r a c t e r ) . L e t b e a c h a r a c t e r mod pf .

W e w i l l a s s o c i a t e a u n i t a r y H e c k e c h a r a c t e r idelic

: Q\AQ C w h i c h i s c a l l e d

t h e i d e l i c l i f t o f , a s f o l l o w s :

idelic

(g) =

p

p(gp)

w h e r e (g) =

sign(g) if (1) = 1

1 if (1) = 1

a n d


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v(gv) =

(v)m if v = p where gv v

mZv

(j)1 if v = p where gv = pk(j + pfZp)

T h i s i s a u n i t a r y H e c k e c h a r a c t e r : u n i t a r y s i n c e w h i c h a c h a r a c t e r o f a n i t e

g r o u p m u s t l i e o n t h e u n i t c i r c l e . T h e o t h e r p r o p e r t i e s c a n b e c h e c k e d e a s i l y .

M o r e g e n e r a l l y , a n y D i r i c h l e t c h a r a c t e r f a c t o r s i n t o c h a r a c t e r s m o d

pf, a n d i n t h i s

c a s e w e d e n e idelic a s t h e p r o d u c t s o f t h e s e l i f t s . T h u s w e c a n l i f t a n a r b i t r a r y

D i r i c h l e t c h a r a c t e r t o a u n i t a r y H e c k e c h a r a c t e r .

T h e o r e m 6 . E v e r y a u t o m o r p h i c f o r m f o r G L ( 1 ,

AQ) i s u n i q u e l y o f t h e f o r m

(g) = c idelic(g) |g|it

w h e r e

c C, t R a n d idelic i s t h e i d e l i c l i f t o f a D i r i c h l e t c h a r a c t e r a s d e n e d

a b o v e .

P r o o f . A s w e n o t e d i n t h e d e n i t i o n ,

(g) = c (g) w h e r e c = (1, 1,...) a n d i s a

u n i t a r y H e c k e c h a r a c t e r . B y c o n t i n u i t y ,

f a c t o r s i n t o a p r o d u c t o f a c h a r a c t e r s o f

Qv s o w e n e e d t o c l a s s i f y t h e i n d i v i d u a l m u l t i p l i c a t i v e c h a r a c t e r s v o f e a c h l o c a l

e l d . A l s o f r o m c o n t i n u i t y , f o r a l l b u t n i t e l y m a n y p r i m e s , t h e f a c t o r s m u s t s a t i s f y

v(v) = 1.

C h a r a c t e r s o f

Rw e k n o w a r e j u s t |r|it o r |r|it sign(r) ( i f y o u l i k e , t h i s f o l l o w s

f r o m P o n t r y a g i n d u a l i t y ) .

C h a r a c t e r s o f

Qp c o m e i n t w o a v o r s . S u p p o s e r s t t h a t i s a l o c a l c h a r a c t e r a n d

t h a t

(u) = 1w h e n e v e r

ui s a u n i t , i . e .

u Zp . T h e n t a k e s o n a v e r y s i m p l e

f o r m o n

Qp : s i n c e a n y e l e m e n t o f t h e e l d i s o f t h e f o r m u pn,

t h i s i m p l i e s t h a t

(u pn) = (p)n , s o t h a t w e c a n f u l l y d e s c r i b e b y t h e s i n g l e p i e c e o f d a t a ,

(p).T h i s c a s e i s c a l l e d t h e u n r a m i e d c a s e .

T h e o t h e r p o s s i b i l i t y i s t h a t

(Zp ) 1. I n t h i s c a s e w e s t i l l h a v e a m i n i m a l i n t e g e r

ns u c h t h a t

(1 + pkZp) 1 s i n c e b y c o n t i n u i t y , t h e k e r n e l o f m u s t c o n t a i n a n

o p e n s u b g r o u p o f t h i s f o r m . W e c a l l s u c h a c h a r a c t e r r a m i e d w i t h c o n d u c t o r

pk .

N o w , f o r a n a r b i t r a r y e l d e l e m e n t

u pn , w e h a v e t h a t (u pn) = (u)(p)n,s o i n

a d d i t i o n t o s p e c i f y i n g

(p)w e m u s t a l s o s p e c i f y h o w

a c t s o n t h e g r o u p

Zp , o r e v e n

s i m p l e r , o n

Zp /(1 + pkZp) Z/pkZ. S o i s a c t u a l l y g i v e n l o c a l l y b y a D i r i c h l e t


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c h a r a c t e r m o d pk . A r a m i e d l o c a l c h a r a c t e r i s s i m p l y g i v e n b y a n u n r a m i e d l o c a l

c h a r a c t e r ( t h a t i s w e h a v e t o s p e c i f y

(p)) a n d a D i r i c h l e t c h a r a c t e r !

N o t e : f o r t h e a r c h i m e d i a n p l a c e s , w e s a y a c h a r a c t e r i s r a m i e d i f

(u)i s o d d , i . e .

(u) = (u) e . g . t h e s i g n f u n c t i o n i s p r e s e n t i n t h e f o r m u l a . T o m a k e t h e

d e n i t i o n c o n s i s t e n t , w e s a y i s r a m i e d i f i t d o e s n ' t f a c t o r t h r o u g h t h e a b s o l u t e

v a l u e .

W e h a v e l e f t o u t s o m e t e d i o u s c a l c u l a t i o n b u t i t f o l l o w s t h a t

(g) = idelic(g)|g|it

.

Y o u m a y w o n d e r w h e r e t h e s i g n

(g) h a s g o n e . T h i s p a r i t y d i s a p p e a r s i n t o t h e

o t h e r c o m p o n e n t s , i n d e e d w e h a v e t h a t

(1) = (1)(1).

D i r i c h l e t L - F u n c t i o n s

D e n i t i o n 7 . ( T h e L - f u n c t i o n o f a n A u t o m o r p h i c f o r m ) S i n c e a n y a u t o m o r p h i c

f o r m

h a s a n a s s o c i a t e d D i r i c h l e t c h a r a c t e r

, w e c a n d e n e t h e c o m p l e x f u n c t i o n

L(s, ) =p

1

(p)

ps

1

E x a m p l e 8 . I f w e t a k e t h e a u t o m o r p h i c f o r m (g) = 1, w e g e t t h a t

L(s, ) = (s) =p

1 p

s1=

n=1n

s

T h e L - f u n c t i o n o f a n a u t o m o r p h i c f o r m , a s d e n e d a b o v e c o n v e r g e s a b s o l u t e l y f o r

(s) > 1 ( e a s i l y s e e n f r o m t h e s u m m a t i o n ) . T h e s o - c a l l e d a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n

v i a f u n c t i o n a l e q u a t i o n w a s s o l v e d i n t h e 1 8 0 0 ' s b y m e a n s o f t h e t a f u n c t i o n s a n d

o t h e r c o m p l i c a t e d m e c h a n i s m s . I n h i s t h e s i s , T a t e p r e s e n t e d a n e l e g a n t w a y t o g e t

t h e s e c o n t i n u a t i o n s u s i n g a d e l i c i n t e g r a l s . T h i s p r o c e s s w i l l b e d e s c r i b e d i n t h e

r e m a i n d e r o f t h e s e n o t e s .

I n t e g r a t i o n a n d P o i s s o n S u m m a t i o n o n

A

W e n e e d a c o u p l e o f d e n i t i o n s . T h e a d e l i c B r u h a t - S c h w a r t z s p a c e i s t h e s p a c e o f

l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f f a c t o r i z a b l e f u n c t i o n s , w h e r e e a c h f a c t o r i s l o c a l l y c o n s t a n t

a n d c o m p a c t l y s u p p o r t e d ( n i t e p l a c e s ) , o r S c h w a r t z ( i n n i t e p l a c e s ) , a n d w h i c h i s

t h e c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n

1Zp a t a l l b u t n i t e l y m a n y p l a c e s . W e c a n d e n e t h e


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i n t e g r a l o f a f u n c t i o n i n s u c h a s p a c e b y u s i n g l i n e a r i t y a n d t a k i n g t h e p r o d u c t o f

t h e i n t e g r a l , f o r p u r e l y f a c t o r i z a b l e f u n c t i o n s , i . e . i f

(x) = p p(xp) t h e n AQ

(x)dx =

pS

Qv

v(xv)dxv

L e t ' s s a y e x p l i c i t l y w h a t t h e s e H a a r m e a s u r e s a r e :

dx =

dxx

a t t h e i n n i t e p l a c e

11p1

dxp|xp|p

a t a n i t e p l a c e

w h e r e t h e dxv a r e d e r i v e d f r o m t h e m e t r i c , e . g . (a +pnZp) = p

n. T h i s g i v e s t h a t

Zp dxp = 1 a n d Zp

dx = 1

T h e o r e m 9 . ( A d e l i c P o i s s o n S u m m a t i o n )

Q

h(x) =1

|x|

Q

h

x

P r o o f . o m i t t e d

( T h e F o u r i e r t r a n s f o r m i s t a k e n w i t h r e s p e c t t o a s e l f - d u a l H a a r m e a s u r e i . e . f o r -

m u l a

f(x) = f(x) h o l d s )

T h e F u n c t i o n a l E q u a t i o n o f t h e R i e m a n n

- F u n c t i o n

E x a m p l e 1 0 . I n t h i s e x a m p l e , w e w i l l c o m p u t e t h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n o f t h e

R i e m a n n

- f u n c t i o n u s i n g p o i s s o n s u m m a t i o n o f t h e a d e l e s .

L e t u s c o n s i d e r t h e a d e l i c f u n c t i o n

(g) = eg2

p


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Zp\{0}

|gp|sdgp =

n=0

pns pnZp

dx =1

1 ps

S o t h a t

() = 2

0

ex2

xsdx

x

p


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T h e r e f o r e , s i n c e ( * ) w a s a l s o e q u a l t o s/2

s2

(s) w e h a v e t h a t

s/2s

2

(s) =

1s2

1 s

2

(1 s)

Y o u m a y h a v e n o t i c e d a c o u p l e o f t h i n g a b o u t t h e a b o v e c a l c u l a t i o n s . O n e m a j o r

o b s e r v a t i o n i s t h a t t o g e t t h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n w e d i d n ' t e v e n n e e d t o u s e t h e

f a c t t h a t = s o t h a t t h e r e i s s o m e r e a s o n t o s u s p e c t t h a t w e w i l l n o t n e e d t o r e l y

o n a p a r t i c u l a r f u n c t i o n

a n d t h e t h e o r y w i l l h a v e t o e x p l a i n t h e i n d e p e n d e n c e .

T h e r e m a i n d e r o f t h e s e n o t e s w i l l b e d e v o t e d t o g e n e r a l i z i n g t h i s p r o c e s s t o o b t a i n

f u n c t i o n a l e q u a t i o n s f o r m o r e g e n e r a l D i r i c h l e t L - f u n c t i o n s .

T h e Z e t a - I n t e g r a l a n d i t s F u n c t i o n a l E q u a t i o n

D e n i t i o n 1 1 . L e t =

p p b e a n a d e l i c B r u h a t - S c h w a r t z f u n c t i o n , a n d l e t

b e a u n i t a r y H e c k e c h a r a c t e r . W e d e n e t h e g l o b a l z e t a - i n t e g r a l

Z(s, , ) =

AQ

(x)(x)|x|sdx

T h i s d e n i t i o n i s b y a n a l o g y w i t h t h e M e l l i n T r a n s f o r m o f r e a l f u n c t i o n s w h i c h i s

u s e f u l i n c l a s s i c a l a n a l y t i c n u m b e r t h e o r y .

T h e o r e m 1 2 . ( F u n c t i o n a l e q u a t i o n o f t h e g l o b a l Z e t a i n t e g r a l )

Z(s, , ) = Z(1 s, , )

P r o o f . W e c o m p u t e :


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Z(s, , ) =

AQ

(x)(x)|x|sdx

=

Q\AQ

Q

(x)(x)|x|sdx b y s t r o n g a p p r o x i m a t i o n

a n d t h e f a c t t h a t ||s() = 1

=

Q\AQ

Q

(x)(x)|x|sdx f o r |x| 1

Q\AQ

Q

(x)(x)|x|sdx f o r |x| 1+

= I + II

W e w e w i l l n o w u s e P o i s s o n s u m m a t i o n o n t h e r s t i n t e g r a l . W e r e w r i t e t h e P o i s s o n

s u m m a t i o n f o r m u l a a s

Q

(x) =

Q

1

|x|

x

(0) +

(0)

|x|

T h e n i n t e g r a l

IIt u r n s i n t o :

II =

|x|1

Q\AQ

Q

(x)(x)|x|sdx

=

|x|1

Q\AQ

Q

1

|x|

x

(x)|x|sdx (0)

|x|1

Q\AQ

(x)|x|sdx + (0)

|x|1

Q\AQ

(x)|x|s1dx

=

|x|1

Q\AQ

Q

(x) (x)|x|1sdx (0)

|x|1

Q\AQ

(x)|x|sdx + (0)

|x|1

Q\AQ

(x)|x|s1dx

N o w w e h a v e t h a t


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Z(s, , ) = I + II

=

|x|1

Q\AQ

Q

(x) (x)|x|1s (x) (x)|x|s

dx( 0 . 1 )

(0)

|x|1

Q\AQ

(x)|x|sdx + (0)

|x|1

Q\AQ

(x)|x|s1dx

I f h a s r a m i c a t i o n , s i n c e Q\AQ= (0, )

Zp a n d o n t h i s d o m a i n i s n ' t

t r i v i a l o n o n e o f t h e

Zp t h e n b y s t a n d a r d t r i c k s , t h e l a s t t w o i n t e g r a l s w i l l b e z e r o .

I f

h a s n o r a m i c a t i o n t h e n

i s t r i v i a l o n t h e

Zp p a r t a n d t h e l a s t t w o p i e c e s

b e c o m e , b y i n t e g r a t i n g j u s t t h e r e a l p l a c e f r o m

0t o

1:

(0)1

s+ (0)

1

s 1

I n s u m m a r y , b y i n s p e c t i o n o f 0 . 1 a n d t h e a b o v e d i s c u s s i o n , w e h a v e t h a t Z(s, , ) =

Z(1 s, , )

S u m m a r y o f a b o v e p r o o f :

( 1 ) U s e s t r o n g a p p r o x i m a t i o n

( 2 ) B r e a k i n t o |x| 1 a n d |x| 1

( 3 ) U s e P . S . o n |x| 1

( 4 ) l e t x 1/x i n t h e b i g p i e c e o f t h e f o r m u l a

( 5 ) d e t e r m i n e i f r a m i c a t i o n o c c u r s

A l t h o u g h t h e g l o b a l z e t a i n t e g r a l s a t i s e s s u c h a n e a t f u n c t i o n a l e q u a t i o n , t h e l o c a l

p i e c e s ( d e n e d b e l o w ) r e q u i r e a s l i g h t m o d i c a t i o n f o r t h e i r f u n c t i o n a l e q u a t i o n s .

T h e L o c a l Z e t a I n t e g r a l

D e n i t i o n 1 3 . ( L o c a l Z e t a I n t e g r a l ) L e t

s C w i t h (s) > 0 , (x) a B r u h a t -

S c h w a r t z f u n c t i o n o n t h e l o c a l e l d ( i . e . L o c a l l y c o n s t a n t a n d c o m p a c t l y s u p p o r t e d

o n

Qp , o r a S c h w a r t z - f u n c t i o n o n R ) . L e t b e a l o c a l u n i t a r y c h a r a c t e r . W e d e n e

Zv(s,,) =

Qv

(x)(x)|x|sdx


10/17

A U T O M O R P H I C F O R M S F O R GL(1,AQ) - T A T E ' S T H E S I S 1 0

D o e s t h e a b o v e c o n v e r g e ? W e l l w e c a n u s e t h e s t a n d a r d t r i c k o f s p l i t t i n g i t i n t o

t w o p i e c e s . I f w e c o n s i d e r t h e i n t e g r a l w h e n |x| > 1 t h e n i t c e r t a i n l y c o n v e r g e s

t h e r e s i n c e w e a r e d e a l i n g w i t h a ( B r u h a t - ) S c h w a r t z f u n c t i o n . O n t h e o t h e r

h a n d , f o r |x| 1 t h e f u n c t i o n i s b o u n d e d b y s o m e c o n s t a n t t i m e s Zp

|x|dx =0

pnZp

|x|dx =0

pnw h i c h c o n v e r g e s f o r

= (s) > 0 . S o t h e i n t e g r a l

Zv(s,,) c o n v e r g e s f o r (s) > 0. W e w i l l n e x t d e t e r m i n e t h a t i t h a s a n m e r o m o r -

p h i c c o n t i n u a t i o n v i a a f u n c t i o n a l e q u a t i o n .

T h e o r e m 1 4 . T h e r e e x i s t s a m e r o m o r p h i c f u n c t i o n

(s, ),w h i c h i s i n d e p e n d e n t

o f

s u c h t h a t f o r

0 < (s) < 1

Zv(s,,) = (s, ) Zv(1 s, , )

P r o o f . W e o n l y n e e d t o s h o w t h a t t h e r a t i o

Zv(s,,)

Zv(1s,,)i s a m e r o m o r p h i c f u n c t i o n

w h i c h i s i n e p e n d e n t o f t h e f u n c t i o n . C o n s i d e r t w o a r b i t r a r y B r u h a t - S c h w a r t z

f u n c t i o n s

a n d

o n

Qv . W e c o m p u t e :

Zv(s,,) Zv(1 s, , ) =

Qp

Qp

(x)(y)|x|s|y|1s(x)(y)dxdy

B y l e t t i n g

y xy

=

Qp

Qp

(x)(xy)|x| |y|1s(y)dxdy

U s i n g t h e d e n i t i o n o f t h e f o u r i e r t r a n s f o r m

=

Qp

Qp

Qp

(x)(z)ev(xyz)|x| |y|1s(y)dx dy dz

S i n c e

dx = cdx

|x|a n d t h e p o i n t 0 i s m e a s u r e l e s s

= c

Qp

Qp

Qp

(x)(z)ev(xyz)|y|1s(y)dx dy dz


11/17


T h e l a s t e x p r e s s i o n i s i n d e p e n d e n t o v e r , t h e r e f o r e Zv(s,,) Zv(1

s, , ) = Zv(1 s, , ) Zv(1 s, , ) a n d s o

Zv(s,,)

Zv(1 s, , )=

Zv(s,,)

Zv(1 s, , )

w h i c h s h o w s t h a t

(s, )i s i n d e e d i n d e p e n d e n t o f t h e t e s t - f u n c t i o n

I t t u r n s o u t t h a t i t i s n o t v e r y h a r d t o c o m p u t e

(s, )i n e a c h c a s e . A l l t h a t

i s r e q u i r e d i s a p a r t i c u l a r l y e a s y t e s t f u n c t i o n a n d t h e c o m p a r i s o n o f

Zv(s,,)

Zv(1s,,)

f o r t h a t e a s y f u n c t i o n . T h e e x c p l i c i t c o m p u t a t i o n w i l l b a s i c a l l y d e p e n d o n l y o n

w h e t h e r

i s a n u n r a m i e d u n i t a r y c h a r a c t e r ( r e c a l l t h i s m e a n s t h a t i t i s i d e n t i c a l l y

o n e o n

Zp ) o r r a m i e d .

E x a m p l e 1 5 . S u p p o s e

v = a n d (x) i s u n r a m i e d . R e c a l l t h a t t h i s m e a n s t h a t

(x) = 1f o r

x R . T h e n w e c h o o s e t h e t e s t f u n c t i o n (x) = ex2

. T h e n ,

Zv(s,,) =

R

ex2

|x|sdx

|x|

= s2 (

s

2)

s o m e

u s u b s t i t u t i o n a n d r e c a l l (s) =

0

exxsdx

x

Zv(1 s, ) =

R

ex2

|x|1sdx

|x|

= 1s2 (

1 s

2

)

j u s t t a k e t h e r a t i o o f t h e t w o , t o o b t a i n (s, )

E x a m p l e 1 6 . S u p p o s e v = a n d (x) i s r a m i e d , t h a t i s , (x) = sign(x) = |x|x .

T h e n w e u s e t h e t e s t f u n t i o n

(x) = xex2

a n d n o t i c e t h a t

(x) = i(x)s o w e


12/17


h a v e t h a t

Zv(s,,) =R

ex2

x2|x|s+1 dx|x|

= s+12 (

s + 1

2)

s o m e u s u b s t i t u t i o n a n d r e c a l l (s) =

0

exxsdx

x

Zv(1 s, ) =

R

iex2

x2|x|(1s)+1dx

|x|

= i(1s)+1

2 (1 s + 1

2)

A g a i n , w e t a k e t h e i r r a t i o t o g e t .

E x a m p l e 1 7 . S u p p o s e

v = pi s a n i t e p r i m e a n d

i s u n r a m i e d . T h i s i s t h e

e a s i e s t c a s e a n d t h e o n e t h a t c o m e s u p i n p r o v i n g t h e f u n c t i o n a l e q u a t i o n o f t h e

R i e m a n n f u n c t i o n . I n t h i s c a s e , w e c h o o s e = 1 Zp w h i c h i s i t s o w n F o u r i e r

t r a n s f o r m .

C o m p u t i n g ,

Zv(s,,) =

Qp

1 Zp(x)|x|sdx

=

Zp\{0}

(x)|x|sdx

=

n=0

(p)npns s i n c e Zp\{0}=

n=0

pnZp

=1

1 (p)ps

Zv(1 s, ) =

Qp

1 Zp (x)|x|1sdx

=1

1 (p)p(1s)


13/17


E x a m p l e 1 8 . F i n a l l y , t h e l a s t p o s s i b i l i t y i s t h a t v = p a n i t e p r i m e a n d t h e c h a r -

a c t e r

i s r a m i e d w i t h c o n d u c t o r

pr. I n t h i s c a s e w e c h o o s e

(x) = e2i{x}1 prZp .

2

T h e n , c o m p u t i n g t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f

(x) =

Qp

(y)e2i{xy}dy

=

prZp

e2i({x(1y})dy T h i s i s o n l y n o n z e r o w h e n x 1 + prZp

=1 1+prZp

prZp

dy

= pr 1 1+prZp

N o w w e ' l l c o m p u t e t h e z e t a i n t e g r a l s :

2

R e c a l l t h a t e2i{x}

i s t h e a d d i t i v e c h a r a c t e r o n Qp - t h e o n e w e u s e t o c o m p u t e t h e F o u r i e r

T r a n s f o r m a n d w h e r e

{x}i s t h e f r a c t i o n a l p a r t o f

x, t h a t i s i f

x =

N

anpn

t h e n

{x} =

1

N

anpn Q


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Zv(s,,) =Qp

1 prZpe2i{x}(x)|x|sdx

=

prZp\{0}

e2i{x}(x)|x|sdx

=

n=0

(p)npns s i n c e prZp\{0}=r

=1

prj=1

(j,p)=1

p(j + prZp)

=r

=1

pr

j=1

p(j+prZp)

e2i{x}(x)|x|sdx

=

r=1

prj=1

e 2ij

pl (p)(j) ps

p(j+prZp)

dx

=p

p 1pr

r=1

ps(p)prj=1

e 2ij

pl (j)

=pr+1

p 1prs(p)r

prj=1

(j,p)=1

e2ijpr

(j)

Zv(1 s, , ) =

Qp

1 1+prZppr(x)|x|1sdx

=

1+prZp

pr(x)|x|1sdx

= pr

1+prZp

dx

=p

p 1pr

1+prZp

|x|1dx

= pp 1

T h e L - F u n c t i o n a n d i t s

- F a c t o r s

G r e a t . S o n o w w e h a v e f u n c t i o n a l e q u a t i o n s a n d m e r o m o r p h i c c o n t i n u a t i o n s o f t h e

l o c a l Z e t a - i n t e g r a l s t o t h e e n t i r e c o m p l e x p l a n e . W e n o w u s e t h i s f a c t , t o g e t h e r w i t h


15/17


t h e g l o b a l - f u n c t i o n a l e q u a t i o n t o o b t a i n a f u n c t i o n a l e q u a t i o n a n d r o o t n u m b e r s

f o r a c l a s s i c a l L - f u n c t i o n .

L e t

=

v

v b e t h e u n i t a r y H e c k e c h a r a c t e r a s s o c i a t e d t o a n a u t o m o r p h i c f o r m .

T h e n i s r a m i e d a t o n l y n i t e l y m a n y p l a c e s . W e d e n e t h e l o c a l L - f u n c t i o n o f

a s f o l l o w s

Lv(s, v)=

s2 ( s

2)

i f

v = i s u n r a m i e d

s+12 ( s+1

2)

i f

v = i s r a m i e d

(1 p(p)ps)1

i f

v = pi s u n r a m i e d

1i f

v = pi s r a m i e d

N o t i c e t h a t i n t h e n i t e p l a c e s , t h i s l o o k s s i m i l a r t o t h e pt h p l a c e f a c t o r i n t h e

E u l e r p r o d u c t , s o t h i s i s a r e a s o n a b l e d e n i t i o n o f a l o c a l L - f u n c t i o n . A l s o , i n t h e

u n r a m i e d p l a c e s n o t i c e t h a t Lv(s, v) = Zv(s, v, ) w i t h v c h o s e n a s i n t h e

a b o v e e x a m p l e s .

R e m a r k 1 9 . T h e l o c a l L - f u n c t i o n c a n b e t h o u g h t o f a s t h e g r e a t e s t - c o m m o n - d i v i s o r

o f

Zv(s,,) a s w e r a n g e o v e r a l l B r u h a t - S c h w a r t z f u n c t i o n s . T h a t i s , t h e l o c a l L -

f u n c t i o n i s t h e l e a s t c o m p l i c a t e d f u n c t i o n s o t h a t

Zv(s,,)Lv(s,)

i s a l w a y s h o l o m o r p h i c .

F o r e x a m p l e , i f

i s r a m i e d , t h e n

Zv(s,,) w i l l a l w a y s b e h o l o m o r p h i c , s o t h e

G C D o f h o l o m o r p h i c f u n c t i o n s i s 1 . A l s o t r u e i s t h a t w e c a n a l w a y s n d s o m e

f u n c t i o n s o t h a t Zv(s,,) = Lv(s, ) b u t i t w o n ' t n e c e s s a r i l y b e t r u e t h a t f o r

t h e s a m e , Zv(1 s, , ) = Lv(1 s, ) .

D e n i t i o n 2 0 . ( L o c a l R o o t N u m b e r )

T h e l o c a l r o o t n u m b e r v(s, ) i s d e n e d b y

( 0 . 2 )

Zv(1 s, , )

Lv(1 s, )= v(s, )

Zv(s,,)

Lv(s, )

w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f s i n c e t h e f u n c t i o n (s, ) w a s .

I m p o r t a n t n o t e : a s I s a i d a b o v e , w h e n e v e r

i s u n r a m i e d a t

vw e s a i d t h a t t h e

l o c a l L - f u n c t i o n w a s a Z - i n t e g r a l . T h i s i m p l i e s t h a t

Zv(s,,) = Lv(s, ) a n d

Zv(1 s, , ) = Lv(1 s, ) T h e r e f o r e :

L e m m a 2 1 . F o r a x e d

, a n d f o r a l l b u t n i t e l y m a n y p l a c e s

v,

v(s, ) 1 .


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L e t u s t o b a c k t o t h e g l o b a l f u n c t i o n a l e q u a t i o n a n d c h o o s e o u r t e s t f u n c t i o n ,

=

v

v

w h e r e t h e v a r e c h o s e n s o t h a t Zv(s, v, ) = Lv(s, ) . A t t h e u n r a m i e d p l a c e s

a n d a t w e c h o o s e v a s i n t h e e x a m p l e s a n d i n t h e l a s t c a s e , i t s n o t h a r d t o s h o w

t h a t 1 1+prZp w i l l d o t h e t r i c k

D e n i t i o n 2 2 . ( T h e g l o b a l L - f u n c t i o n ) L e t

b e a u n i t a r y H e c k e c h a r a c t e r , a n d l e t

t h e l o c a l L - f a c t o r s

Lv(s, ) b e d e n e d a s a b o v e . T h e w e d e n e t h e g l o b a l L - f u n c t i o n

a s

L(s, ) =

v

Lv(s, )

W e t h i n k o f t h e g l o b a l L - f u n c t i o n a s a c o m p l e t e d L - f u n c t i o n . I t l o o k s a l o t l i k e

t h e D i r i c h l e t L - f u n c t i o n , b u t n o w w e a l s o h a v e a c o m p o n e n t a t t h e i n n i t e p l a c e ,

m a k i n g i t m o r e s y m m e t r i c a n d c o m p l e t e . I t i s t h i s L - f u n c t i o n w h i c h w i l l h a v e a

n a t u r a l f u n c t i o n a l e q u a t i o n c o m i n g f r o m t h e a d e l i c f a c t o r i z a t i o n .

T h e o r e m 2 3 . ( F u n c t i o n a l e q u a t i o n f o r t h e g l o b a l L - f u n c t i o n ) T h e r e e x i s t s a m e r o -

m o r p h i c f u n c t i o n

(s, )s u c h t h a t

L(s, ) = (s, )L(1 s, )

L e t

=

a s a b o v e , w h e r e

i s c h o s e n s o t h a t a t e a c h p l a c e

Zv(s,,) = Lv(s, )

W e c a n a p p l y t h e g l o b a l f u n c t i o n a l e q u a t i o n :

Z(s, , ) = Z(1 s, , )

t o t h e p r o d u c t o v e r v o f e q u a t i o n 0 . 2

v

Zv(1 s, , )

Lv(1 s, )

= v

(s, )Zv(s,,)

Lv(s, )

T h e

Zv ' s f a c t o r o u t e n t i r e l y b y t h e g l o b a l f u n c t i o n a l e q u a t i o n a n d w e g e t t h a t

L(s, ) =

v

Lv(s, ) = (s, )

v

Lv(1 s, )

w h e r e (s, ) =

v

v(s, ) =vS

v(s, ), w h e r e S i s n i t e b y L e m m a 2 1 .


17/17


A n d w e ' r e d o n e ! W e ' v e s h o w n h o w t o c o n s t r u c t a c o m p l e t e d L - f u n c t i o n w h i c h

h a s a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n .

Documents

TatesThesis.pdf