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TRABAJO ESPECIAL DE GRADO
DESARROLLO DE UNA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL
PARA EL CÁLCULO DE BALANCE DE MATERIALES EN
YACIMIENTOS DE GAS SECO
Presentado ante la Ilustre
Universidad Central de Venezuela
Por la Br. Castillo V., Patricia, A.
Para optar al Título
De Ingeniero de Petróleo
Octubre 2007
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TRABAJO ESPECIAL DE GRADO
DESARROLLO DE UNA HERRAMIENTA COMPUTACIONAL
PARA EL CÁLCULO DE BALANCE DE MATERIALES EN
YACIMIENTOS DE GAS SECO
Tutor Académico: Profa. Evelyn Azuaje
Presentado ante la Ilustre
Universidad Central de Venezuela
Por la Br. Castillo V., Patricia, A.
Para optar al Título
De Ingeniero de Petróleo
Octubre 2007
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AGRADECIMIENTOS
A la Profa. Evelyn Azuaje por permitirme realizar este proyecto en
solitario, brindándome consejos y sugerencias oportunos para realizar el
mejor proyecto posible.
A mis padres por su infinito amor, apoyo e interés que nunca me
permitieron decaer, aún en los momentos más difíciles.
A Rafael por todos estos años, por el t iempo y la dedicación que hacen
que todo sea más fácil y se vea mejor.
A mis tres compañeros inseparables: María, Eduardo y Ángel por todos
los momentos compartidos, y las raciones de azúcar de arquitectura.
A todos aquellos que de una forma u otra contribuyeron a la realización
del presente trabajo.
iv
Castillo V., Patricia A
DESARROLLO DE UNA HERRAMIENTA
COMPUTACIONAL PARA EL CÁLCULO DE BALANCE
DE MATERIALES EN YACIMIENTOS DE GAS SECO
Tutor Académico: Profa. Evelyn Azuaje. Trabajo Especial de Grado.
Caracas, Universidad Central de Venezuela. Facultad de Ingeniería.
Escuela de Petróleo. Año 2007, 183 pp
Palabras Claves: DryGasMB, Gas Original en Sitio, GOES, Ajuste de
curvas, Intervalos de Confianza.
Resumen. Se construyó una herramienta computacional, denominada DryGasMB, empleando el lenguaje de programación C#. Esta herramienta permite cuantificar de manera fácil y rápida las reservas originales en sitio de yacimientos de gas seco, valiéndose de diversas técnicas de resolución de la Ecuación de Balance de Materiales (EBM) para este tipo de yacimientos. Luego de una extensa revisión bibliográfica, se seleccionaron las técnicas que serían incluidas en el programa, de acuerdo a su aplicabilidad a los tipos de yacimiento de gas seco. Las soluciones propuestas a la EBM, contempladas en DryGasMB, apuntan principalmente a la construcción de gráficos que, de acuerdo a la curva obtenida, permiten caracterizar el comportamiento del yacimiento, determinar la presencia de un acuífero activo o verificar si existe sobrepresión. Se realiza un estudio estadístico de los resultados obtenidos, y mediante regresiones lineales de las curvas generadas, se proporciona un rango de posibles soluciones de Gas Original en Sitio y no un valor puntual. Los resultados obtenidos mediante la corrida del programa se validaron con datos sintéticos de un proceso de simulación de yacimientos y datos publicados en bibliografía consultada, arrojando en ambos casos diferencias porcentuales promedio menores al 1%, por lo que se considera que la herramienta computacional desarrollada realiza estimaciones precisas de Gas Original en Sitio.
v
ÍNDICE GENERAL
Contenido Página
LISTA DE TABLAS.................................................................................................... viii
LISTA DE FIGURAS..................................................................................................... x
INTRODUCCIÓN.......................................................................................................... 1
OBJETIVOS ................................................................................................................... 3 CAPÍTULO I
LA ECUACIÓN DE BALANCE DE MATERIALES ................................................ 4
1.1 Generalidades de la Ecuación de Balance de Materiales .. . . . . . . . . . . . . .4 1.2 Derivación de la Ecuación de Balance de Materiales en
yacimientos de gas seco .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 1.3 Características de la Ecuación de Balance de Materiales .. . . . . . . . . . 12 1.4 Consideraciones Generales en el uso de la EBM en yacimientos
de gas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Propiedades del yacimiento .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Propiedades de los fluidos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Calidad de los datos de presión .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.4 Grado de agotamiento de la presión .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Técnicas de Balance de Materiales en yacimientos de gas seco .. 17 1.5.1 Método de p/z vs. Gp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2 Método de Havlena y Odeh .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.3 Balance de Materiales de Gas fluyente .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Balance de Materiales en Yacimientos de Gas Sobrepresurizados 26 1.7 Influjo de agua en la Ecuación de Balance de Materiales .. . . . . . . . . . . 33
1.7.1 Acuífero Pote o Acuífero Pequeño .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.7.2 Modelo de Schilthuis de estado estable .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.7.3 Modelo de Hurst modificado .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.7.4 Método de van Everdingen y Hurst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.7.5 Método de Fetkovich .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
CAPÍTULO II
ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD ........................................ 50 2.1 Conceptos Fundamentales de Estadística .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.1 Poblaciones y muestras .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1.2 Medidas numéricas descriptivas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
vi
2.2 Conceptos Fundamentales de Probabilidad .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.1 Espacios muestrales .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.2 Eventos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.3 Función de probabilidad .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3 Variables aleatorias y Distribuciones de Probabilidad .. . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.1 Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
discretas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.3.2 Esperanza y Varianza de una variable aleatoria discreta .. . . . . . 60 2.3.3 Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
continuas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.4 Esperanza y Varianza de una variable aleatoria continua .. . . . . 63
2.4 Distribución normal .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.4.1 Características y propiedades .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.4.2 Distribución normal estándar .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5 Distribuciones muestrales de probabilidad .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.5.1 Teorema del límite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.5.2 Distribución de la media muestral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5.3 Distribución t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.6 Regresión lineal simple y Correlación .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.6.1 Regresión lineal simple .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.6.2 Propiedades de los estimadores de mínimos cuadrados.. . . . . . . . . 75 2.6.3 Intervalos de confianza .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.6.4 Regresión y correlación .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA......................................................................................................... 80
3.1 Revisión Bibliográfica .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2 Selección de técnicas de Balance de Materiales .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3 Evaluación de los parámetros involucrados en la aplicación
de las técnicas seleccionadas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4 Diseño esquemático del programa ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4.1 Módulo de Yacimiento .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.4.2 Módulo de Producción .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.4.3 Módulo de PVT... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.4 Solución.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4.5 Índices de Mecanismos de Producción.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.5 Mecanismos de Empuje.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.4.6 Reporte de Resultados .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.5 Selección del lenguaje de programación a utilizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.6 Codificación del programa ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.7 Validación de la herramienta desarrollada .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS DE RESULTADOS................................................................................... 99
4.1 Programa DryGasBM ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.1 Entrada al programa ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.2 Módulo de Yacimiento .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
vii
4.1.3 Módulo de Producción .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.1.4 Módulo de PVT... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.1.5 Solución.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.1.6 Índices de Producción .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.1.7 Mecanismos de Empuje.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.1.8 Reporte de Resultados .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.2 Resultados obtenidos con DryGasMB y Validación del programa... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.2.1 Ejemplos de Yacimientos volumétricos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.2.3 Ejemplos de Yacimientos sobrepresurizados .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.2.3 Ejemplos de Yacimientos sometidos a empuje hidráulico .. . . 141 4.2.4 Casos Generales .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
CONCLUSIONES ...................................................................................................... 153
RECOMENDACIONES ............................................................................................ 155
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................ 156
APÉNDICES
A. DRYGASMB.......................................................................................................... 161
B. CASOS SINTÉTICOS GENERADOS ................................................................ 162 B.1 Modelo 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
B.1.1 Características del Modelo .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 B.1.2 Casos Generados con el Modelo 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B.2 Modelo 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 B.2.1 Características del Modelo .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 B.2.2 Casos Generados con el Modelo 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
C. CORRELACIONES DE DATOS PVT................................................................ 173 C.1 Correlaciones para el cálculo de las propiedades
pseudocríticas del gas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 C.1.1 Correlación de Sutton .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 C.1.2 Correlación de Brown, Katz, Oberfell y Alden .. . . . . . . . . . . . . . . . . 175
C.2 Cálculo del Factor de Compresibilidad del gas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 C.2.1 Método de Sarem ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 C.2.2 Método de Brill y Beggs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 C.2.3 Método de Hall y Yarborough .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 C.2.4 Método de Dranchuk y Abou-Kassem ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 C.2.5 Método de Dranchuk, Purvis y Robinson.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
viii
LISTA DE TABLAS
Tabla Página
Tabla 1.1. Términos empleados en el desarrollo de la EBM ... . . . . . . . . . . . . . . 8 Tabla 1.2. Índice de productividad en función de la geometría del
acuífero .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tabla 4.1. Datos de Entrada Módulo de Yacimiento caso 1 .. . . . . . . . . . . . . 120 Tabla 4.2. Datos de Entrada Módulo de Producción caso 1 .. . . . . . . . . . . . . 120 Tabla 4.3. Datos de Entrada Módulo PVT caso 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Tabla 4.4. Características de la recta método p/z caso 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Tabla 4.5. Características de la recta método Havlena y Odeh
caso 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Tabla 4.6. Datos de Entrada Módulo de Yacimiento caso 1 .. . . . . . . . . . . . . 125 Tabla 4.7. Características de la recta método p/z caso 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Tabla 4.8. Características de la recta método Havlena y Odeh
caso 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Tabla 4.9. Características de la recta obtenida método Fluyente
caso 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Tabla 4.10. Datos de Entrada Módulo de Yacimiento caso 4 .. . . . . . . . . . . . . 132 Tabla 4.11. Datos de Entrada Módulo de Producción caso 4 .. . . . . . . . . . . . . 133 Tabla 4.12. Datos de Entrada Módulo PVT caso 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Tabla 4.13. Características de la recta método p/z caso 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Tabla 4.14. Características de la recta método Havlena y Odeh
caso 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Tabla 4.15. Datos de Entrada Módulo de Yacimiento caso 5 .. . . . . . . . . . . . . 138 Tabla 4.16. Características de la recta método p/z caso 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Tabla 4.17. Características de la recta método Havlena y Odeh
caso 5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Tabla 4.18. Datos de Entrada Módulo de Yacimiento caso 6 .. . . . . . . . . . . . . 141 Tabla 4.19. Datos de Entrada Módulo de Producción caso 6 .. . . . . . . . . . . . . 142 Tabla 4.20. Datos de Entrada Módulo PVT caso 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Tabla 4.21. Características de la recta método Havlena y Odeh
con datos del Acuífero Pote caso 6.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Tabla 4.22. Características de la recta gráfico Acuífero Pote caso 6 .. . 144 Tabla 4.23. Características de la recta método Havlena y Odeh
con datos del acuífero Schilthuis caso 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Tabla 4.24. Características de la recta método Havlena y Odeh
con datos del acuífero Van Everdingen y Hurts l ineal caso 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Tabla 4.25. Resultado de casos generales comparado con resultados de la simulación para yacimientos sobrepresurizados .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Tabla 4.26. Resultado de casos generales comparado con resultados de la simulación para yacimientos volumétricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Tabla B.1. Función de saturación del gas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Tabla B.2. Función de saturación del agua .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
ix
Tabla B.3. Parámetros de la Simulación caso 1.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Tabla B.4. Parámetros de la Simulación caso 1.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Tabla B.5. Parámetros de la Simulación caso 1.3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Tabla B.6. Parámetros de la Simulación caso 1.4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Tabla B.7. Parámetros de la Simulación caso 2.1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Tabla B.8. Parámetros de la Simulación caso 2.2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Tabla B.9. Parámetros de la Simulación caso 2.3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Tabla B.10. Parámetros de la Simulación caso 2.4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Tabla B.11. Parámetros de la Simulación caso 2.5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Tabla B.12. Parámetros de la Simulación caso 2.6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Tabla B.13. Parámetros de la Simulación caso 2.7 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Tabla B.14. Parámetros de la Simulación caso 2.8 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Tabla B.15. Parámetros de la Simulación caso 2.9 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Tabla B.16. Parámetros de la Simulación caso 2.10 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Tabla B.17. Parámetros de la Simulación caso 2.11 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Tabla B.18. Parámetros de la Simulación caso 2.12 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Tabla C.1. Valores de los coeficientes Ai j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Tabla C.2 Valores de las constantes A1–11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Tabla C.3. Valores de las constantes A1–8 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
x
LISTA DE FIGURAS
Figuras Página Figura 1.1. Método P/z vs. Gp .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Figura 1.2. Curva típica para el método p/z en yacimientos con
empuje por agua .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Figura 1.3. Posible sobrestimación del gas en sitio por presencia
de un acuífero en la grafica p/z.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Figura 1.4. Método de Havlena y Odeh para yacimientos de gas .. . . . . . . . 22 Figura 1.5. Perfil de Presión de un yacimiento durante el
estado pseudo-estable .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Figura 1.6. BM de Gas fluyente utilizando la presión de fondo .. . . . . . . . . . 24 fluyente .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Figura 1.7. Doble tendencia de la curva p/z vs. Gp en yacimientos
sobrepresurizados .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Figura 1.8. Sobrestimación del GOES en yacimientos
sobrepresurizados .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Figura 1.9. Método de Roach .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Figura 1.10. Gráfico de Cole .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Figura 1.11. Gráfico de Cole modificado .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Figura 2.1. Diagrama de Venn para operaciones con eventos .. . . . . . . . . . . . . 58 Figura 2.2. Probabilidad de una variable aleatoria continua .. . . . . . . . . . . . . . . 62 Figura 2.3. Probabilidad acumulada de una variable aleatoria
continua .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Figura 2.4. Curva de la distribución normal .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Figura 3.1. Diagrama General del programa ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Figura 3.2. Diagrama de flujo del Módulo de Yacimiento .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Figura 3.3. Diagrama de flujo del proceso de verificación de datos
implementado .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Figura 3.4. Diagrama de flujo del Módulo de Producción .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Figura 3.5. Diagrama de flujo del Módulo de PVT... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Figura 3.6. Métodos disponibles para realizar el cálculo de BM
según el tipo de yacimiento .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Figura 3.7. Diagrama de flujo del Módulo de Solución .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Figura 3.8. Diagrama de flujo del cálculo de los Índices de los
mecanismos de producción .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Figura 3.8. Diagrama de flujo de la verificación de los mecanismos
de empuje .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Figura 4.1. Entrada al programa ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Figura 4.2. Determinación de tipo de yacimiento .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Figura 4.3. Datos de yacimiento .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Figura 4.4. Datos de yacimiento y acuífero .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Figura 4.5. Error en los datos de entrada de yacimiento .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Figura 4.6. Ventana inicial de Módulo de Producción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Figura 4.7. Mensaje de error al no definir unidades de trabajo .. . . . . . . . . . 105 Figura 4.8. Entrada de Datos de Producción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Figura 4.9. Error en los datos de entrada de producción .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
xi
Figura 4.10. Ventana inicial de Módulo de PVT ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Figura 4.11. Generar Datos PVT por Correlaciones .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Figura 4.12. Datos PVT por Tabla.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Figura 4.13. Datos PVT del Agua de formación .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Figura 4.14. Tabla de valores de Bw ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Figura 4.15. Ventana inicial de Módulo Solución .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Figura 4.16. Presentación del gráfico generado .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Figura 4.17. Ventana del Módulo de Índices de Producción .. . . . . . . . . . . . . . 115 Figura 4.18. Varios mecanismos de empuje actuando sobre la
producciónde gas .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Figura 4.19. Ventana de Mecanismos de Empuje .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Figura 4.20. Reporte de resultados .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Figura 4.22. Método p/z vs. Gp caso 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Figura 4.23. Método Havlena y Odeh caso 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Figura 4.24. Índices de producción caso 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Figura 4.25. Gráfico de Cole caso 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Figura 4.26. Método p/z vs. Gp caso 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Figura 4.27. Método de Havlena y Odeh caso 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Figura 4.28. Índices de producción caso 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Figura 4.29. Gráfico de Cole caso 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Figura 4.30. Método Fluyente caso 3 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Figura 4.31. Método p/z vs. Gp caso 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Figura 4.32. Método Havlena y Odeh caso 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Figura 4.33. Índices de producción caso 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Figura 4.34. Gráfico de Cole caso 4 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Figura 4.35. Método p/z vs. Gp caso 5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Figura 4.36. Método Havlena y Odeh caso 5 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Figura 4.37. Método Havlena y Odeh con acuífero Pote caso 6 .. . . . . . . . . 143 Figura 4.38. Gráfico del Acuífero Pote caso 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Figura 4.39. Método Havlena y Odeh con acuífero Schilthis caso 6 .. . . 145 Figura 4.40. Método Havlena y Odeh con acuífero Van
Everdingen y Hurts lineal caso 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Figura 4.41. Índices de producción caso 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Figura 4.42. Gráfico de Cole caso 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1
INTRODUCCIÓN
El cálculo de Balance de Materiales (BM), propuesto por Schilthuis en
1936, es un balance volumétrico que iguala la producción total de fluidos
a la diferencia entre el volumen inicial de hidrocarburos y el volumen
actual[ 1 ] . El método es aplicable a cualquier tipo de yacimiento cuando
se dispone de datos históricos de presión y producción, por lo que
constituye una herramienta fundamental en la ingeniería de yacimientos,
al permitir estimar el volumen inicial de hidrocarburos en sitio y
predecir el comportamiento futuro del yacimiento, ambos, factores
determinantes en la planificación del proyecto de explotación de pozos
de hidrocarburos.
A partir del modelo original se han formulado técnicas que, valiéndose
de nuevos conceptos y tecnologías, han permitido diversificar el método.
Las soluciones propuestas a la Ecuación de Balance de Materiales,
apuntan principalmente a la construcción de gráficos que, de acuerdo a la
curva obtenida, permiten caracterizar el comportamiento del yacimiento,
determinar la presencia de un acuífero activo o verificar si existe
sobrepresión. Para calcular el hidrocarburo original en sitio (POES o
GOES según sea el caso de yacimientos de petróleo o gas) se han
propuesto diversos arreglos matemáticos de variables que permiten la
obtención de gráficos que puedan ajustarse linealmente, con el fin de
facilitar los cálculos.
Las distintas técnicas de BM disponibles actualmente, traducidas a
diferentes lenguajes de programación, incluyen rutinas extensas, que a
partir de iteraciones y cálculos internos, permiten determinar la cantidad
de hidrocarburos en sitio, y parámetros como la presión de yacimiento
luego de producir cierto volumen de hidrocarburo, de manera rápida y
precisa, manejando gran cantidad de datos de entrada. De igual manera,
el cálculo de BM se emplea para cuantificar el efecto de mecanismos de
producción primarios. Por ello, se observa la importancia de la
2
aplicación del Balance de Materiales como método de estimación de
reservas, debido a que sólo incluye términos de producción y medidas
obtenidas en el laboratorio.
Sin embargo, debido a la gran diversidad de modelos propuestos
disponibles, disímiles en estructura y suposiciones, se dificulta la
escogencia del modelo más apropiado para un caso de estudio específico.
Es por esto que, es necesaria la creación de una herramienta capaz de
agruparlas y jerarquizarlas para su uso, según las condiciones de estudio.
Por lo expuesto anteriormente, este Trabajo Especial de Grado propone
la creación de una herramienta computacional para el cálculo de BM en
yacimientos de Gas Seco, aplicando distintas técnicas propuestas por
diversos autores, bajo la modalidad de software libre, lo que permitirá el
acceso a la comunidad de la Escuela de Ingeniería de Petróleo de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela.
La herramienta computacional a desarrollar permitirá a la comunidad de
esta Escuela y otros, disponer de un instrumento para realizar cálculos
de Balance de Materiales en distintos tipos de yacimientos de gas seco,
lo que contribuirá con su formación y le permitirá validar resultados
obtenidos mediante la aplicación de otras técnicas.
El trabajo contempla, en primer término, la definición de la Ecuación de
Balance de Materiales (EBM), y la selección de las técnicas de
resolución de la ecuación, aplicables a yacimientos de gas seco. Se
incluye, en segundo lugar, el estudio de algunos conceptos y
herramientas de probabilidad y estadística que se utilizan para construir
los gráficos obtenidos al realizar los cálculos. En el tercer capítulo del
trabajo, se detallan cada una de las etapas en la que se estructuró la
investigación, para luego presentar los resultados obtenidos y, por
último, las conclusiones y recomendaciones.
3
OBJETIVOS
A continuación se presenta el objetivo general que persigue la
realización del presente Trabajo Especial de Grado, así como los
objetivos específicos que se proponen para llevarlo a cabo.
Objetivo General
Desarrollar una herramienta computacional para el cálculo de Balance de
Materiales en yacimientos de Gas Seco, la cual será de uso libre para la
comunidad de la Escuela de Ingeniería de Petróleo de la Facultad de
Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela.
Objetivos Específicos
a) Seleccionar las técnicas de Balance de Materiales aplicables en
yacimientos de Gas Seco.
b) Determinar parámetros necesarios para cada una de las técnicas de
Balance de Materiales en yacimientos de Gas Seco a ser
implementadas.
c) Generar los diagramas de flujo necesarios para programar las
técnicas seleccionadas.
d) Codificar los diagramas de flujo generados.
e) Validar y evaluar el desempeño de la Herramienta Computacional
desarrollada.
4
CAPÍTULO I
LA ECUACIÓN DE BALANCE DE MATERIALES
En este capítulo, se define la Ecuación de Balance de Materiales, sus
aplicaciones y principales suposiciones, para luego derivar su forma
general. A partir de esto, se exponen las características generales y
consideraciones en su uso. De la misma manera, se enumeran las
principales técnicas postuladas para resolver la ecuación en yacimientos
de gas seco, volumétricos y sobrepresurizados. Por último, se desarrollan
modelos de acuíferos utilizados en yacimientos con influjo de agua.
1.1 Generalidades de la Ecuación de Balance de Materiales
La ecuación de Balance de Materiales (EBM), para cualquier sistema de
hidrocarburos es, según Dake[ 1 ] , simplemente un balance volumétrico
que iguala la producción total de fluidos a la diferencia entre el volumen
de hidrocarburos inicial y el volumen actual.
Esta técnica, de acuerdo a Ahmed[2] , es una de las herramientas
fundamentales en la ingeniería de yacimientos para la interpretación y
predicción del comportamiento de éstos. La ecuación de Balance de
Materiales, cuando es aplicada apropiadamente, puede usarse para:
Estimar el volumen inicial de hidrocarburos en sitio (GOES).
Predecir comportamiento futuro del yacimiento.
Predecir el factor de recobro según el t ipo de mecanismo
primario de empuje que presente el yacimiento.
La EBM se basa en cambios en las condiciones del yacimiento en
períodos de tiempo finitos de historia de producción. El cálculo es muy
vulnerable a las suposiciones del método en las primeras etapas de
5
agotamiento, cuando el movimiento de los fluidos es limitado y los
cambios de presión son pequeños. El agotamiento desigual y el
desarrollo parcial del yacimiento forman parte del problema de
certidumbre.
Las suposiciones básicas en la ecuación de Balance de Materiales son las
siguientes:
1. Temperatura constante: los cambios de presión en el yacimiento,
se asume que ocurren sin que existan cambios de temperatura. Si
ocurren cambios de temperatura, éstos son suficientemente
pequeños para ser ignorados sin incurrir en errores significativos.
2. Equilibrio de presión: todos los puntos del yacimiento se
encuentran a la misma presión, por lo que las propiedades de los
fluidos son constantes. Variaciones menores en la presión en las
cercanías del pozo pueden ser ignoradas. Cambios sustanciales en
la presión a través del yacimiento pueden ocasionar errores
excesivos de cálculo.
3. Volumen constante del yacimiento: el volumen del yacimiento se
considera constante, excepto en aquellos casos en los que exista
expansión de la roca y el agua connata o exista influjo de agua,
que se consideran dentro de la ecuación. La formación se
considera lo suficientemente competente para que no ocurran
cambios en el volumen consecuencia de su reacomodo, debido a la
presión confinante mientras disminuye la presión interna del
yacimiento. En formaciones poco consolidadas, en las que pueden
producirse cambios considerables en el volumen a condiciones de
yacimiento, consecuencia de los cambios en el estado de esfuerzos,
no es posible igualar la cantidad de fluidos producidos a la
diferencia entre el volumen de hidrocarburos inicial y el volumen
actual, premisa principal del BM, por lo que deben emplearse otras
6
técnicas, como la simulación de yacimientos, para cuantificar las
reservas en sitio.
4. Datos de producción confiables: cuando se produzcan varios
fluidos simultáneamente, o varios pozos se encuentren en
producción, todos los datos de producción deben ser registrados
respecto al mismo período de tiempo, con instrumentos que
garanticen precisión. Deben tomarse, además, medidas conjuntas
del volumen de fluidos producidos y de la gravedad específica de
los mismos, para facilitar la caracterización de sus propiedades
promedio en cada intervalo de tiempo.
7
1.2 Derivación de la Ecuación de Balance de Materiales en
yacimientos de gas seco
La EBM, expone Craft[ 3 ] , representa un balance volumétrico aplicado a
un volumen de control definido por los límites iniciales de las zonas de
hidrocarburos de interés, que establece que la suma algebraica de los
cambios volumétricos de las zonas de gas y agua, comprendidas en el
volumen de control, así como el volumen de la roca, a condiciones de
yacimiento, debe ser cero. Al considerar que existe un equilibrio
instantáneo entre las fases durante todo el proceso de agotamiento, es
posible derivar una expresión de Balance de Materiales Generalizada,
que relaciona cantidades de gas y agua producidos, la cantidad de agua
que ha invadido el yacimiento, y finalmente la cantidad gas inicial en el
yacimiento.
Al realizar estos cálculos, los siguientes datos de producción, yacimiento
y medidas de laboratorio son necesarios:
1. Presión inicial del yacimiento y presión promedio del yacimiento
en intervalos de tiempo sucesivos luego de iniciar la producción.
2. Volumen total de gas producido, medido en pies cúbicos
estándares.
3. Factor volumétrico del gas, obtenido como función de la presión a
partir de pruebas de laboratorio realizadas a muestras de fondo
sometidas a métodos de separación diferencial y flash.
4. Cantidad de agua producida.
5. Cantidad de agua del acuífero que ha invadido el yacimiento.
8
La derivación de la ecuación se divide en los cambios en el volumen de
gas, agua y roca que ocurren entre el momento en que se inicia la
producción y un tiempo (t) cualquiera. El cambio en el volumen de roca
se expresa como el cambio en el volumen poroso, que es el opuesto al
cambio en el volumen de roca.
En la Tabla 1.1 se enumeran los términos que se emplearán en el
desarrollo de la EBM.
Tabla 1.1. Términos empleados en el desarrollo de la EBM
Bg Factor volumétrico de formación del gas, bbl/PCN
G Volumen de gas inicial en el yacimiento, PCN
Bg i Factor volumétrico de formación inicial del gas, bbl/PCN
cw Compresibilidad isotérmica del agua, lpc- 1
Sw i Saturación inicial de agua, fracción
cf Compresibilidad isotérmica de la formación, lpc- 1
pΔ Cambio en la presión promedio del yacimiento, lpc
Gp Volumen de gas producido, PCN
We Influjo de agua, bbl
Wp Volumen acumulado de agua producida, bbl
Bw Factor volumétrico del formación del agua, bbl/BN
Cambio en el volumen de gas
Volumen inicial de gas en el yacimiento = giGB
Volumen de gas en un tiempo t y una presión p = gp BGG )( −
Cambio en el volumen de gas:
gpgi BGGGB )( −− (1.1)
9
Cambio en el volumen de agua
Volumen inicial de agua en el yacimiento =W
Volumen de agua producida a un tiempo t = wp BW
Volumen de agua que ha entrado al yacimiento = eW
Cambio en el volumen de agua:
pWcBWWpWcBWWWW wwpewwpe Δ−+−=Δ+−+− )( (1.2)
Cambio en el volumen de roca
Volumen poroso inicial = fV
Cambio en el volumen poroso = pcVpcVVV ffffff Δ=Δ−− )(
Como el cambio en el volumen poroso es el opuesto al cambio en el
volumen de roca, el cambio en el volumen de roca se define como:
pcV ff Δ− (1.3)
Combinando los cambios volumétricos del agua y la roca:
pcVpWcBWW ffwwpe Δ−Δ−+− (1.4)
Como wif SVW = y wi
gif S
GBV
−=
1, al sustituir en la ecuación (1.4),
resulta:
pS
cScGBBWW
wi
fwiwgiwpe Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−+−
1 (1.5)
10
Al considerar el volumen del yacimiento constante, es posible igualar los
cambios volumétricos del gas, agua y roca:
pS
cScGBBWWBGGGB
wi
fwiwgiwpegpgi Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−+−=−−
1)( (1.6)
Reagrupando se obtiene la Ecuación General de Balance de Materiales
para yacimientos de gas:
wpgpewi
fwiwgigig BWBGWp
ScSc
GBBBG +=+Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++−
1)( (1.7)
Cada término del lado izquierdo de la ecuación (1.7) representa un
mecanismo de producción:
Expansión de la zona de gas: )( gig BBG −
Expansión de la formación y agua connata: pS
cScGB
wi
fwiwgi Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+
1
Influjo de agua que entra al yacimiento: eW
Los términos del lado derecho de la ecuación (1.7) están referidos a los
volúmenes de gas y agua producidos.
Para la mayoría de los yacimientos de gas, el término de la
compresibilidad del gas es mucho mayor que la compresibilidad de la
formación y del agua, por lo que el segundo término del lado derecho de
la ecuación (1.7) puede eliminarse:
wpgpegig BWBGWBBG +=+− )( (1.8)
11
Sin embargo, cuando la presión del yacimiento es anormalmente alta,
este término no puede despreciarse.
Cuando no existe influjo de agua al yacimiento o producción de agua, se
considera que el yacimiento es volumétrico. Para un yacimiento de este
tipo la ecuación (1.8) se reduce a:
gpgig BGBBG =− )( (1.9)
La ecuación (1.9) representa la EBM para un yacimiento de gas
volumétrico sin presencia de sobrepresión o algún otro mecanismo
adicional de mantenimiento de presión.
12
1.3 Características de la Ecuación de Balance de Materiales
La EBM, según expresa Dake[1] , presenta las siguientes características:
Es cero dimensional, por lo que sólo se evalúa en un punto del
yacimiento.
No muestra dependencia del tiempo. Sin embargo, existen algunos
modelos de influjo de agua que presentan una dependencia
explícita del tiempo.
Aunque la presión sólo aparece explícitamente en el término de la
compresibilidad del agua y la roca, como la caída de la presión en
el yacimiento, está implícito en los demás términos, ya que los
factores volumétricos del gas y del agua son función de la presión.
El influjo de agua que entra al yacimiento es, de la misma forma,
dependiente de la presión.
La ecuación no tiene forma diferencial, ya que siempre se evalúa,
de acuerdo a su derivación, comparando volúmenes actuales a
condiciones de yacimiento a una presión determinada p, respecto
al volumen original a la presión inicial pi .
13
1.4 Consideraciones Generales en el uso de la EBM en
yacimientos de gas
Para aplicar exitosamente la EBM varios elementos deben ser
considerados, algunos de ellos son[ 4 ]:
1.4.1 Propiedades del yacimiento
Para realizar estimados confiables de las reservas en sitio, se requiere el
conocimiento previo de las características de la roca y los fluidos. Entre
los parámetros más importantes a considerar, se encuentran:
Presencia de acuíferos: puede derivar en una estimación errónea
del volumen inicial de gas en sitio cuando no se considera el
influjo de agua. Por otro lado, el factor de recobro de yacimientos
de gas con empuje por agua, puede ser significativamente menor al
de yacimientos que se encuentren produciendo por expansión del
gas; el efecto de la invasión de agua en el factor de recobro, está
asociado a los siguientes factores:
• Volumen de gas atrapado por la invasión de agua.
• Presión de abandono del yacimiento.
• Volumen de gas desplazado por el influjo de agua.
Permeabilidad: las medidas de presión el yacimientos con baja
permeabilidad requieren de períodos de tiempo mayores de
restauración o de la aplicación de métodos de análisis de pruebas
de presión transiente, para determinar la presión promedio del
yacimiento. Estas pruebas representan un mecanismo para evaluar
el comportamiento del yacimiento al realizar medidas de tasas de
14
flujo y presiones bajo una serie de condiciones de flujo, para luego
aplicar los datos a un modelo matemático. En la mayoría de las
pruebas de pozo, sólo una cantidad limitada del líquido se
produce. Durante el período del flujo, la presión en la formación
se registra en función del tiempo. Luego, el pozo se cierra, o se
detiene la producción, y la presión en la formación se mide hasta
que se alcance el equilibrio. El análisis de estos cambios de
presión puede proporcionar información del tamaño y la forma del
yacimiento, así como su capacidad de flujo.
Múltiples pozos : el cálculo de Balance de Materiales sólo debe ser
aplicado a todo el yacimiento, esto es, considerando todos los
pozos que se encuentran en producción.
Presencia de múltiples capas: los yacimientos con múltiples
capas con distinta permeabilidad requieren una cuidadosa
determinación de la presión promedio del yacimiento, ya que la
distribución de presión puede variar en cada capa.
Yacimientos fracturados: largos períodos de restauración de
presión o métodos de análisis de presión transiente son requeridos
para obtener datos confiables de presión, debido a la presencia de
una matriz de gran volumen y baja permeabilidad junto con un
sistema de fracturas de poco volumen y gran permeabilidad,
elementos característicos de este tipo de yacimientos.
1.4.2 Propiedades de los fluidos
En yacimientos de gas seco, se espera que la totalidad de los
hidrocarburos producidos sea gas. En base a esto, no se requiere ningún
ajuste en los datos de producción previos al cálculo de Balance de
Materiales, como es el caso de los yacimientos de gas húmedo y gas
15
condensado, en los que es necesario realizar la conversión de los
líquidos producidos a su equivalente en gas. Se considera además, que la
composición del gas no experimenta cambios a lo largo de la vida
productiva del yacimiento, por lo que la gravedad específica del gas se
mantiene constante y, con esto, parámetros como el factor volumétrico
del gas y el factor de compresibilidad del gas sólo variarán en función de
la presión.
1.4.3 Calidad de los datos de presión
La presión es el dato más importante en el cálculo de Balance de
Materiales y es el más susceptible a error. Al emplearlo en esta técnica
de cuantificación de reservas, es importante considerar los siguientes
aspectos:
Tipos de medidas de presión : la presión de yacimiento puede
obtenerse a través de válvulas instaladas en fondo o en superficie
y puede ser de un solo punto o ser un transiente continuo. Las
medidas de presión deben estar referidas al punto medio de las
perforaciones para el caso de un solo pozo, o a un datum común
para todo el yacimiento si existen pozos múltiples. Los datos de
presión obtenidos en fondo, se consideran más confiables, ya que
el proceso de conversión de las lecturas de superficie a fondo
puede ser imprecisa si no se consideran adecuadamente los fluidos
presentes en el pozo.
Cantidad de medidas de presión: mayor la cantidad de medidas
de presión disponibles, permitirá obtener resultados más
confiables.
Ajuste de los puntos de presión : mientras mayor sea el ajuste de
los puntos de presión a una línea recta en cualquiera de gráficos
construidos al resolver la EBM, como por ejemplo el gráfico p/z
16
vs. Gp, que será descrito más adelante, más precisa será la
determinación del volumen inicial de gas en sitio. Cuando los
puntos presentan un alto grado de dispersión, como en el caso de
yacimientos que producen por empuje hidráulico, deben emplearse
otros métodos para determinar las reservas. Entre éstos se
encuentra el método de Havlena y Odeh que, partiendo de un
arreglo algebraico de la EBM, permite obtener el gas original en
este tipo de yacimientos, al considerar el influjo de agua que entra
a la zona productiva.
Yacimientos con alta permeabilidad : es posible obtener la
presión promedio del yacimiento con pruebas de restauración
cortas. En este tipo de yacimientos se alcanza una condición de
flujo estabilizado relativamente rápido, en pocas semanas;
mientras que en yacimientos de baja permeabilidad el período para
lograr la condición de estabilización puede tomar más de un año.
1.4.4 Grado de agotamiento de la presión
Cálculos de Balance de Materiales confiables dependen de la precisión
de las medidas de presión, así como del grado de agotamiento de la
misma. En etapas tempranas de producción, se requiere que las medidas
de presión sean muy precisas; mientras que en etapas posteriores, errores
en estas medias son más tolerables, debido a que la tendencia de su
comportamiento ya ha sido caracterizada.
Generalmente se requiere un mínimo de cinco a quince por ciento de
agotamiento de la presión para obtener un valor preciso de gas en sitio,
en yacimientos sin mantenimiento de presión por empuje por agua y con
alta permeabilidad. En yacimientos de baja permeabilidad donde además
puede existir un influjo de agua, se requiere al menos veinticinco por
ciento de agotamiento para obtener resultados confiables.
17
1.5 Técnicas de Balance de Materiales en yacimientos de gas
seco
Se han desarrollado, a partir de la postulación de la Ecuación de Balance
de Materiales, diversos métodos que permiten su resolución, algunos de
ellos se describen a continuación.
1.5.1 Método de p/z vs. Gp.
El primer procedimiento de Balance de Materiales empleado para
calcular las reservas de gas en sit io, fue la construcción de gráficas p/z
en la década de 1940[ 5 ] . Esta técnica constituye el método más aceptado
para caracterizar el comportamiento de yacimientos volumétricos de gas,
según señala Pletcher[ 6 ] , y resulta de sustituir en la ecuación (1.9),
correspondiente a la EBM para yacimientos de gas seco volumétricos, el
factor volumétrico del gas, gB , por su equivalente según la ecuación de
los gases reales:
pTzTpB
sc
scg = (1.10)
Donde:
scp = presión a condiciones estándares, 14.7 lpc
z = factor de compresibilidad del gas
T = temperatura, R
scT = temperatura a condiciones estándares, 520 R
p = presión, lpc
18
Reagrupando la ecuación (1.9), ésta puede expresarse de la forma:
11 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
GG
BB p
gi
g (1.11)
Sustituyendo la ecuación (1.10) en la ecuación (1.11) resulta:
11 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
GG
TzppT
pTzTp p
isc
isc
sc
sc (1.12)
Como la producción es esencialmente un proceso isotérmico, la ecuación
anterior se reduce a:
11 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
GG
zp
pz p
i
i (1.13)
Reordenando la ecuación anterior:
zp
GG
zp p
i
i =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1 (1.14)
Al graficar p/z vs. Gp en yacimientos que no se encuentren sometidos a
empuje por agua, es posible obtener el volumen de gas inicial en sitio,
G, del intercepto de la recta con el eje de las abscisas, en un
procedimiento que se ilustra en la Figura 1.1.
Cuando existe un acuífero activo en contacto con la zona de gas, se
espera que la gráfica obtenida mediante este método presente un
comportamiento que no puede ser caracterizado como una línea recta,
según exponen Elahmady, M. y Watterbarger, R.[7 ] , como se muestra en
la Figura 1.2. Debido a esto, tradicionalmente se ha considerado a esta
técnica de resolución de la EBM como un instrumento capaz de
19
identificar la presencia de un influjo de agua como mecanismo de
mantenimiento adicional de la presión.
Figura 1.1 . Método P/z vs. Gp [2]
Figura 1.2 . Curva t ípica para el método p/z en yacimientos con
empuje por agua [7]
20
Sin embargo, Elahmady et al[7 ] , demostraron que en yacimientos de gas
con acuíferos que presentan un flujo transiente y que están sometidos a
ciertos esquemas de producción, la gráfica obtenida puede responder a
una línea recta, ocultando la existencia del acuífero activo y causando la
sobrestimación de las reservas en sitio, lo que se ilustra en la Figura 1.3.
Es por lo anteriormente expuesto, que se considera el método p/z como
un método ambiguo, especialmente en presencia de mecanismos de
empuje por agua débiles[ 6 ] .
Figura 1.3 . Posible sobrestimación del gas en si t io por presencia
de un acuífero en la grafica p/z [7]
1.5.2 Método de Havlena y Odeh
El procedimiento, propuesto por Havlena y Odeh[ 8] en 1963, consiste en
realizar un arreglo algebraico de la ecuación, que resultará en una línea
recta, al graficar un grupo de variables en función de otro, seleccionadas
de acuerdo con el tipo de mecanismo de empuje bajo el cual se encuentra
produciendo el yacimiento.
21
El modelo formulado toma en consideración la secuencia de los puntos
trazados y la forma del gráfico conseguido, lo que le otorga un
significado dinámico al análisis e interpretación de la curva.
Este método ha sido exitosamente empleado en diversos tipos de
yacimientos. Sin embargo, en aplicaciones prácticas se ha demostrado
que puntos calculados de historias tempranas de producción no
concuerdan con la tendencia general de los demás puntos de la gráfica,
consecuencia de la imprecisión de los datos de producción y PVT
disponibles, o debido a que el efecto de la producción sobre la presión
del yacimiento no ha alcanzado los límites del yacimiento.
Havlena y Odeh, señala Ahmed[ 2 ] , expresaron la ecuación general de
Balance de Materiales para yacimientos de gas, en términos de:
ewfg WEEGF ++= )( , (1.15)
Donde las variables F, Eg y Ef ,w están definidas como:
Disminución del volumen de los fluidos en el yacimiento F:
wpgp BWBGF += (1.16)
Expansión del gas Eg:
gigg BBE −= (1.17)
Expansión del agua y de la roca Ef , w:
pS
cScBE
wi
fwiwgiwf Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=
1, (1.18)
22
Así, la expansión total del sistema puede expresarse como:
=tE wfg EE ,+ (1.19)
Por lo tanto la ecuación (1.15) queda de la forma:
et WGEF += (1.20)
La ecuación de Balance de materiales puede resolverse al graficar
eWF − vs. tE o tE
F vs.
t
e
EW
, técnicas que se muestran en la Figura 1.4.
Figura 1.4 . Método de Havlena y Odeh para yacimientos de gas [9]
Se considera la primera técnica de las dos descritas anteriormente como
la más precisa, ya que el término tE es muy pequeño, especialmente en
las primeras etapas de producción del yacimiento, mientras que F es
relativamente grande, por lo que incertidumbres asociadas al cálculo del
factor volumétrico del gas gB pueden derivar en errores significativos en
el valor de gas original en sitio obtenido.
23
1.5.3 Balance de Materiales de Gas fluyente
Esta técnica, propuesta en 1998 por Mattar, L y McNeil, R.[10 ] , consiste
en graficar valores de p/z en función de la producción acumulada,
utilizando presiones fluyentes, de fondo o de cabezal, en lugar de
presiones promedio de yacimiento obtenidas a partir de pruebas de
restauración de presión, procedimiento que se utiliza en el Balance de
Materiales convencional, por lo que no requiere detener el proceso de
producción de los pozos.
El método se basa en la suposición que los pozos han producido por un
período de tiempo suficientemente largo para alcanzar la condición de
estado pseudo-estable, y con esto garantizar que la presión en todos los
puntos del yacimiento decline a la misma tasa. La Figura 1.5 muestra el
perfil de presiones de un yacimiento en tres momentos diferentes t1 , t2 y
t3 durante el período de estado pseudo-estable. Se observa que las curvas
de presión para los tiempos t1 , t2 y t3 son paralelas, lo que demuestra que
la caída de presión es la misma a lo largo del yacimiento.
Figura 1.5 . Perfi l de Presión de un yacimiento durante el
estado pseudo-estable [12]
24
Mattar et al[ 1 0 ] proponen tres variantes del método de Balance de
Materiales de Gas fluyente:
1. Utilizando la presión de fondo fluyente se construye la gráfica de
pwf/z en función de la producción acumulada, donde pwf es la
presión en el pozo en la cara de la arena. Se traza una recta
paralela a ésta por la presión inicial del yacimiento, y se obtiene el
volumen de gas inicial a partir del intercepto con el eje de las
abscisas. El procedimiento se ilustra en la Figura 1.6.
Figura 1.6 . BM de Gas f luyente util izando la presión de fondo
f luyente [12]
2. Utilizando la presión en el revestidor, se lleva a cabo el
procedimiento anterior construyendo la recta paralela a partir de la
presión inicial de cabezal.
3. Utilizando la presión de cabezal, al ignorar el cambio en la
compresibilidad del gas, representado en la ecuación por el factor
z, cuando no existe influjo alguno de líquido en el pozo, es posible
25
obtener un valor aproximado del gas inicial en sitio. Para esto se
construye la gráfica de presión de cabezal en función de la
producción acumulada, y se traza una paralela a ésta a partir de la
presión inicial de cabezal estática para obtener el volumen inicial
de hidrocarburos del intercepto con el eje de las abscisas.
El método está limitado a pozos de gas que produzcan a tasa
aproximadamente constante y su aplicación ha mostrado resultados
satisfactorios especialmente en yacimientos con permeabilidades medias
y altas. Choudhury, Z. y Gomes, E.[11 ] , emplearon exitosamente esta
técnica de estimación de reservas en el campo Bakharad, ubicado en
Bangladesh, obteniendo resultados comparables con los arrojados por
procesos de simulación y Balance de Materiales convencional.
Mattar, L. y Anderson, D.[ 1 2 ] propusieron en 2005 una extensión de la
técnica de gas fluyente que es aplicable de la misma forma a tasas de
producción constantes y variables, y que puede usarse en yacimientos
tanto de gas como de petróleo. El procedimiento permite convertir la
presión fluyente medida en cualquier momento de la producción a la
presión promedio del yacimiento en ese momento.
26
1.6 Balance de Materiales en Yacimientos de Gas
Sobrepresurizados
Un yacimiento se considera sobrepresurizado cuando presenta presiones
de fluido superiores a las esperadas de acuerdo a condiciones
hidrostáticas normales, según Poston, S. W. and Berg, R.[13 ] . Con esto, la
presión de este tipo de yacimientos se encuentra entre los límites de la
presión hidrostática, con un gradiente máximo de 0,465 lpc/pie, y la
presión litostática, que incluye la presión de poro y el esfuerzo al que
está sometido la matriz de la roca.
Uno de los términos más importantes al realizar estudios de yacimientos
con presiones anormales es la compresibilidad efectiva, ,ec definido de
la forma:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+=
wi
fwiwe S
cScc
1 (1.21)
Este término toma en consideración la expansión del volumen ocupado
por agua y la disminución del volumen poroso, que trae como
consecuencia final la reducción del espacio disponible para los
hidrocarburos, producto de la pérdida de presión durante el proceso de
agotamiento del yacimiento. El valor de la compresibilidad efectiva de la
formación, así como la compresibilidad del gas tienen, en yacimientos
sobrepresurizados, aproximadamente la misma magnitud, por lo que
ambos deben ser incluidos en los cálculos de Balance de Materiales para
describir el comportamiento del yacimiento. De esta forma, es necesario
emplear la ecuación (1.7), que corresponde a la ecuación general de
Balance de Materiales, al estudiar este tipo de yacimientos.
La sobrepresión de los yacimientos tiene, además, dos posibles fuentes
de energía. Por un lado, el influjo de agua proveniente de lutitas
adyacentes ejerce una fuerza adicional en el mantenimiento de la
27
presión; por otro lado la liberación de gas del agua connata y agua del
acuífero actúa como soporte suplementario de la presión del yacimiento.
La influencia de estos mecanismos de empuje subordinados es de mayor
interés especialmente en las etapas tempranas de producción, debido a
que la compresibilidad del gas se encuentra en su menor valor. Estas
fuentes de energía, teóricamente, deberían ser identificadas y
cuantificadas para predecir el comportamiento futuro del yacimiento. Sin
embargo, en la práctica, se consideran incluidas dentro del rango de
incertidumbre del término de la compresibilidad efectiva de la formación
en la EBM.
Al construir el gráfico de p/z vs. Gp en yacimientos sobrepresurizados se
obtiene una curva característica cóncava o de doble tendencia,
comportamiento que se ilustra en la Figura 1.7. La primera tendencia, de
menor pendiente, es producto de una fuente de energía distinta a la
compresibilidad del gas que actúa en la presión del yacimiento, y
corresponde a la zona de sobrepresión. La segunda tendencia, de mayor
pendiente, se relaciona con la etapa durante la producción en la que el
mecanismo de empuje principal es la expansión del gas, conocida como
la zona de presión normal([ 1 3 ] , [ 1 4 ] , [ 1 5 ] ) .
Diversos métodos han sido propuestos para resolver la EBM en
yacimientos de gas sobrepresurizados. Éstos, de acuerdo con
Elsharkawy[16 ] , pueden clasificarse en tres grupos. El primer grupo
comprende los procedimientos que utilizan el conocimiento previo de la
compresibilidad efectiva de la formación para calcular el volumen de gas
original en sitio; en este grupo se incluyen los métodos propuestos por
Ramagost, B. y Farshad, F.[14 ] y Begland, T. y Whitehead, W.[ 17 ] . El
segundo grupo emplea gráficos o mínimos cuadrados para determinar las
reservas iniciales y la compresibilidad total de la formación. El método
propuesto por Roach, R.[18 ] forma parte de este conjunto. El tercer grupo,
en el que se encuentra la técnica propuesta por Fetkovitch, M., Reese, D.
y Whitson, C.[19 ] , realiza un ajuste, a través de un proceso iterativo, a la
compresibilidad de la formación calculada mediante Balance de
28
Materiales con las compresibilidades calculadas de acuerdo a las
compresibilidades de la roca y los fluidos y las propiedades de posibles
acuíferos.
Figura 1.7 . Doble tendencia de la curva p/z vs. Gp en yacimientos
sobrepresurizados [13]
El procedimiento propuesto por Ramagost, B. y Farshad, F.[14 ] en 1981
permite calcular el GOES mediante un método gráfico, que resulta de
una modificación de la técnica para resolver la EBM p/z vs. Gp. La
ecuación desarrollada parte de la suposición que el gas inicial en sitio es
igual al volumen de gas producido a condiciones de yacimiento dividido
entre la expansión del gas, la formación y el agua connata, lo que
matemáticamente puede representarse mediante la expresión:
pS
cScBBB
BGG
wi
fwiwgigig
gp
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++−
=
1
(1.22)
29
Al utilizar la ecuación (1.10) para expresar el factor volumétrico del gas
gB en función del factor de compresibilidad del gas z, la ecuación (1.22)
puede escribirse de la forma:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−
GG
zP
zPp
ScSc
zP p
i
i
i
i
wi
fwiw
11 (1.23)
El término ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+− p
ScSc
wi
fwiw
11 es el factor de ajuste de la gráfica p/z
que considera la sobrepresión del yacimiento. Este factor de ajuste es
necesario, ya que ignorar la compresibilidad efectiva de la formación en
la gráfica convencional de p/z en yacimientos sobrepresurizados puede
derivar en errores significativos de sobreestimación de gas original en
sitio, lo que es posible observar en la Figura 1.8.
Figura 1.8 . Sobrestimación del GOES en yacimientos sobrepresurizados [13]
30
Cuando se construye la gráfica de ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+− p
ScSc
zP
wi
fwiw
11 en función de
la producción acumulada se obtiene una línea recta, que permite calcular
el gas original en sit io del intercepto de esta recta con el eje de las
abscisas.
Una de las principales limitaciones que presenta el método propuesto por
Ramagost, B. y Farshad, F., es la consideración de la compresibilidad
efectiva de la formación como constante a lo largo de la vida productiva
del yacimiento, sin tomar en cuenta su dependencia de la presión [ 1 7 ] , [ 20 ] .
Debido a esto, Guehria, F.[ 2 0 ] en 1996, propuso una modificación a esta
técnica en la que se asume una compresibilidad del agua de formación
constante y una compresibilidad de poro que varía continuamente en
función de la presión. De esta forma, es posible obtener el volumen
inicial de gas en sitio al graficar
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−Δ+
−
∫
wi
wiw
dpc
SpSce
zP
p
pif
11 vs. la
producción acumulada, al tener disponible datos de pruebas de
laboratorio de la compresibilidad de poro.
Otra de las técnicas propuestas en la que no se asume un valor constante
de compresibilidad efectiva de formación, fue la presentada por Rahman,
N., Anderson, D. y Mattar, L.[21 ] en 2006, en la que se introduce el
factor epc , definido de la forma:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∫−∫∫
pip f
pip w
pip o dpcdpc
widpc
oiep eeSeSc 111 (1.24)
El método es riguroso en el sentido en que considera la compresibilidad
de la formación y de los fluidos como una función cualquiera
dependiente de la presión. Sin embargo sólo es aplicable cuando existan
medidas o correlaciones obtenidas de experiencias en el laboratorio.
31
En 1981, Roach, R.[ 1 8 ] propuso una técnica de Balance de Materiales que
permite determinar simultáneamente el volumen de gas inicial en sitio
así como la compresibilidad efectiva. La principal ventaja de este
procedimiento es que no requiere como dato de entrada la
compresibilidad de la roca, término asociado a gran incertidumbre. El
método consiste en graficar ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Δ11
i
i
pzzp
p vs. ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ i
i
pzzp
pGp
, obteniendo el
valor de ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−
wi
fwiw
ScSc
1 del intercepto con el eje de las ordenadas y
GOES del inverso de la pendiente.
La interpretación del método de Roach, de acuerdo a Poston, S. y Chen
H.[15 ] , requiere de una aproximación lineal de una curva que se comporta
de forma no lineal. La Figura 1.9 ilustra este comportamiento. La
primera tendencia de la curva es cóncava hacia arriba, mientras que la
segunda parte de la gráfica se comporta de forma lineal. Si se realiza un
ajuste de línea recta a la primera tendencia se obtiene un intercepto con
el eje de las ordenadas mayor que cero, lo que se traduce en una
compresibilidad efectiva de la formación negativa de acuerdo con lo
propuesto por Roach. Sin embargo, si se extrapola la porción recta de la
gráfica, correspondiente a la segunda tendencia, el punto de corte es
negativo, lo que permite calcular la compresibilidad de la formación al
conocer la compresibilidad y la saturación inicial del agua de formación.
32
Figura 1.9 . Método de Roach [15]
33
1.7 Influjo de agua en la Ecuación de Balance de Materiales
Los acuíferos, según Ahmed, T. y Mckinney, P[ 2 2 ] , son rocas
completamente saturadas de agua asociadas a la mayoría de los depósitos
de hidrocarburos. Pueden ser sustancialmente más grandes que los
yacimientos sujetos a estudio, presentando un comportamiento infinito.
De la misma manera, existen acuíferos tan pequeños que su efecto es
despreciable en el comportamiento de los yacimientos.
El estudio de los acuíferos, y la cuantificación de sus efectos sobre el
comportamiento de la producción, es de interés en los yacimientos de
hidrocarburos que presentan un mecanismo de producción por empuje de
agua. Éstos, expresa Bradley[23 ] , son yacimientos en los que una porción
significativa del volumen de los hidrocarburos producidos es sustituida
por el influjo de agua. El influjo total y su tasa serán gobernadas por las
características del acuífero junto con el comportamiento de la presión en
el tiempo y por la posición original del contacto del yacimiento con el
acuífero.
Con el fin de verificar si existe un influjo activo de agua en el
yacimiento, Cole, en 1961, propuso un método gráfico que permite
determinar si el yacimiento se encuentra produciendo por un mecanismo
de empuje por agua o por agotamiento, lo que se ilustra en la
Figura 1.10. Según expone Rojas[ 2 4 ], la técnica consiste en graficar
gig
gp
BBBG−
en función de pG , y de acuerdo a la forma de la curva
obtenida, es posible distinguir:
a) Yacimientos volumétricos, a través de la obtención de una línea
recta horizontal, cuyo intercepto con el eje vertical corresponderá
al valor del GOES.
34
b) Yacimientos sometidos a empuje hidráulico, al obtener curvas de
pendiente positiva o negativa, según el tipo de acuífero asociado
al yacimiento. Los acuíferos débiles se distinguen por presentar
una curva de pendiente negativa. Cuando la influencia del
acuífero al yacimiento es moderada la curva muestra inicialmente
una pendiente positiva y al final una pendiente negativa. Los
acuíferos infinitos con una fuerte influencia muestran curvas con
pendiente positiva.
Figura 1.10 . Gráfico de Cole [6]
El gráfico propuesto por Cole no considera la energía aportada al
yacimiento por la compresibilidad efectiva de la formación, ya que su
valor es despreciable respecto a la energía proporcionada por la
compresibilidad del gas. Sin embargo, esta suposición sólo es aplicable
para yacimientos que producen por agotamiento o por empuje hidráulico,
ya que en yacimientos sobrepresurizados la compresibilidad efectiva de
la formación y compresibilidad del gas tienen aproximadamente la misma
magnitud, y con esto la expansión de la roca y el agua de formación
constituye una importante fuente de mantenimiento de la presión,
especialmente en las primeras etapas de producción. Debido a lo
anteriormente expuesto, se propuso una variante del Gráfico de Cole,
35
conocido como Gráfico de Cole modificado, que consiste en graficar
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ
−
+−− p
ScSc
BB
BG
wi
fwiwgig
gp
11
en función de la producción de gas. El
Gráfico de Cole modificado se muestra en la Figura 1.11 Al analizar
ambos gráficos simultáneamente, es posible distinguir la presencia de
influjo de agua y sobrepresión en el yacimiento, al considerar que[ 6 ]:
a) Yacimientos sobrepresurizados presentarán una curva de pendiente
negativa al construir el Gráfico de Cole, sin que exista la
presencia de un empuje por agua. Sin embargo, el Gráfico
modificado exhibirá un comportamiento de línea recta horizontal,
si se ha utilizado el valor correcto de compresibilidad de la
formación.
b) Yacimientos sobrepresurizados con presencia de un influjo de agua
presentarán, al construir los Gráficos de Cole y Cole modificado,
curvas de pendiente negativa.
Figura 1.11 . Gráfico de Cole modificado [6]
36
El influjo de agua del acuífero que entra al yacimiento, consecuencia de
la caída de presión que se produce en el proceso de extracción de
hidrocarburos, constituye una fuente de energía externa en el
mantenimiento de la presión del yacimiento, por lo que debe incluirse en
la EBM. Debido a esto, diversos autores han propuesto modelos que
permiten predecir su comportamiento. Sin embargo, según expone
Craft[ 3 ] , la selección del modelo de influjo de agua involucra muchos
valores asociados a gran incertidumbre, ya que algunos de ellos incluyen
parámetros como la forma y tamaño del acuífero y propiedades como la
porosidad y permeabilidad de éstos, que son generalmente desconocidos
y deben ser inferidos de datos obtenidos del yacimiento. Debido a lo
anteriormente descrito, identificar el t ipo de acuífero y caracterizar sus
propiedades es quizás una de las tareas más difíciles de realizar en un
estudio de yacimientos([ 1 ] , [ 2 ] ) .
Para superar las limitaciones que implica la selección de un modelo
específico de acuífero, que permita caracterizar una determinada historia
de producción, y con esto predecir el comportamiento futuro del
yacimiento, se han propuesto las Funciones de Influencia de Acuíferos
(FIA). Estas son funciones, dependientes del tiempo, que describen la
caída de presión en el borde interno de un acuífero, que presenta una tasa
unitaria, y son únicas para cada acuífero. Es importante señalar que el
borde interno de un acuífero se define como la interfase entre el acuífero
y el yacimiento, Las FIA pueden calcularse a partir de historias de
presión y producción[25 ] .
Los modelos matemáticos de influjo de agua usualmente utilizados en la
ingeniería de yacimientos son:
37
1.7.1 Acuífero Pote o Acuífero Pequeño
Representa el modelo más simple que puede ser empleado para calcular
el influjo de agua en un yacimiento de petróleo o gas y se basa en la
definición de compresibilidad[ 2 ] . La caída en la presión del yacimiento,
consecuencia de la producción de fluidos, causa la expansión del agua y
su posterior flujo hacia el yacimiento.
La compresibilidad esta definida como:
pV
VpV
Vc
ΔΔ
=∂∂
=11
(1.25)
Al expresar la ecuación (1.25) en términos de volumen, se obtiene la
relación matemática:
pcVV Δ=Δ (1.26)
Aplicando el concepto de compresibilidad al acuífero, resulta:
( ) ( ) ( )ppWccppWcW iifwiite −+=−= (1.27)
Donde:
eW = influjo de agua acumulado, bbl
tc =compresibilidad total del acuífero, lpc-1
wc =compresibilidad del agua del acuífero, lpc-1
fc = compresibilidad de la roca del acuífero, lpc- 1
iW =volumen inicial de agua en el acuífero, bbl
pi= presión inicial del yacimiento, lpc
p = presión actual en el contacto gas-agua, lpc
38
Si se considera un acuífero radial, el volumen inicial de agua en él puede
calcularse con la relación:
( )615,5
22 φπ hrrWi ea −= (1.28)
Donde:
ar = radio del acuífero, pies
er = radio del yacimiento, pies
h = espesor del acuífero, pies
φ = porosidad del acuífero, fracción
La ecuación (1.28) sugiere que el agua del acuífero fluye al yacimiento
radialmente desde todas las direcciones. Sin embargo, es común que el
influjo de agua no invada la zona de hidrocarburos por todos los lados
del yacimiento. Es por esto que introduce en la ecuación un factor f ,
denominado ángulo fraccional de invasión, para describir
apropiadamente el mecanismo de flujo:
( )ppWfcW iite −= (1.29)
Donde f está definido de la forma:
oinvasión Ángulo de f
360=
El modelo descrito anteriormente sólo puede aplicarse a acuíferos muy
pequeños, cuyas dimensiones sean del mismo orden de magnitud del
yacimiento. En el caso de acuíferos grandes, se requiere utilizar modelos
matemáticos que incluyan la dependencia con el tiempo de la respuesta
del acuífero a la caída de presión en el yacimiento[ 1 ] .
39
Cuando el influjo de agua que entra al yacimiento proviene de un
acuífero pequeño, es posible determinar el volumen de gas original en
sitio a partir de un método gráfico, según señala Pletcher[ 6 ] . Al sustituir
la ecuación (1.29) por el término eW en la ecuación (1.15), se obtiene:
( )ppWfcEEGF iitwfg −++= )( , (1.30)
Combinando las ecuaciones (1.30) y (1.18), y dividiendo entre gE , la
ecuación queda de la forma:
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−+= it
wi
fwiwgi
g
i
gfWc
ScSc
GBE
ppGEF
1 (1.31)
Si se grafica gE
F en función de
( )g
i
Epp −
, se obtiene una línea recta con
un intercepto igual al GOES y con pendiente igual a
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+it
wi
fwiwgi Wfc
ScSc
GB 1
. El volumen inicial de agua en el
acuífero, se calcula a partir de la relación:
fcS
cScGBA
Wt
wi
fwiwgi
i
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+−
=1
(1.32)
Donde A es la pendiente de la recta obtenida.
1.7.2 Modelo de Schilthuis de estado estable
Schilthuis en 1936 formuló un modelo de acuífero que fluye bajo un
régimen de flujo estable, cuyo comportamiento puede ser descrito
40
mediante la Ley de Darcy[ 2 2 ]. De esta manera, la tasa del influjo de agua
puede determinarse mediante la ecuación:
( ) ( )pprr
khedt
dWi
eaww
e −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
/ln00708.0
μ (1.33)
La ecuación (1.33) puede ser expresada como:
( )ppCedt
dWiw
e −== (1.34)
Donde:
we = tasa del influjo de agua, bbl/d
k = permeabilidad del acuífero, md
h = espesor del acuífero, pies
ar = radio del acuífero, pies
er = radio del yacimiento, pies
t = tiempo, días
El parámetro C , denominado constante de influjo de agua, se expresa en
bbl/día/lpc. Su valor, que será invariable a lo largo de la vida productiva
del yacimiento, puede ser calculado de la historia de producción en
intervalos de tiempo seleccionados, conociendo la tasa del influjo de
agua[ 2 ]. Si se considera el concepto de acuífero activo, en el que el
influjo de agua sustituye la totalidad de los hidrocarburos producidos[22 ] ,
la tasa de influjo puede calcularse de la forma:
wwggw BQBQe += (1.35)
Donde:
gQ = tasa de gas, PCN/d
gB = factor volumétrico de formación del gas, bbl/PCN
41
wQ =tasa de agua, BN/d
wB = factor volumétrico del formación del agua, bbl/BN
El influjo de agua en el yacimiento, calculado mediante el método de
Schilthuis, se obtiene de la ecuación:
( )dtppCWe ti
0∫ −= (1.36)
La ecuación (1.36) puede expresarse también de la siguiente forma:
( ) tpCWet
oΔΔ= ∑ (1.37)
1.7.3 Modelo de Hurst modificado
Según Ahmed[ 2 ], uno de los problemas asociados al modelo de Schilthuis
es que no considera el incremento del radio de drenaje del acuífero con
el tiempo. Hurst, en 1943, introdujo un parámetro denominado radio
aparente del acuífero que crecerá con el tiempo, por lo que el radio
adimensional ea rr / puede reemplazarse como una función dependiente del
t iempo:
atrr ea =/ (1.38)
Sustituyendo la ecuación (1.38) en la ecuación (1.33):
( ) ( )ppat
khedt
dWi
ww
e −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
ln00708.0μ
(1.39)
42
La ecuación (1.39) puede expresarse en función de la constante de
influjo de agua, escribiéndose de la forma:
( ))ln(atppCe
dtdW i
we −
== (1.40)
El influjo de agua acumulado puede calcularse a través de la expresión:
( )∑ Δ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ Δ=
t
ot
atpCWe
ln (1.41)
1.7.4 Método de van Everdingen y Hurst
En 1949, van Everdingen y Hurst desarrollaron el método matemático
más aceptado en la ingeniería de yacimientos, para calcular el influjo de
agua que entra a una zona en explotación[26 ] . El modelo propuesto abarca
dos tipos de acuíferos, radial y lineal, que presentan un flujo transitorio.
Los autores resolvieron la ecuación de difusividad al aplicar la
transformada de Laplace al sistema yacimiento-acuífero, considerando
como condición de borde una presión constante en el l ímite de este
sistema. Debido a lo anteriormente expuesto, el modelo es teóricamente
correcto, ya que representa una solución exacta de la ecuación hidráulica
de difusividad[ 2 7 ].
La intrusión de agua provocada por una caída de presión pΔ en un
tiempo (t) cualquiera, según Rojas[ 2 4 ], viene dada por la ecuación:
tde QpCW Δ= (1.42)
Donde:
eW = influjo de agua acumulado, bbl
43
C= constante del acuífero, bbl/lpc
pΔ = caída de presión a un tiempo t, lpc
tdQ =influjo adimensional a un tiempo t
La constante del acuífero, definida de acuerdo a la geometría del
yacimiento, se obtiene de las relaciones:
hrcC ee2 119,1 φ= (1.43)
para yacimientos circulares completamente rodeados por un acuífero, y
hfrcC ee2 119,1 φ= (1.44)
para yacimientos radiales no circulares.
Donde:
φ = porosidad, fracción
)( fwe ccc += = compresibilidad efectiva del acuífero, lpc-1
h = espesor del acuífero, pies
er = radio del yacimiento, pies
f =fracción del acuífero en contacto con el acuífero, radianes
Van Everdingen y Hurst presentaron tablas que permiten calcular Qtd en
función del t iempo adimensional y el radio adimensional, que están
definidos respectivamente como:
2310*323,6
eew rckttd
φμ−= (1.45)
e
aD r
rr = (1.46)
44
Donde:
td = tiempo adimensional
Dr = radio adimensional
wμ = viscosidad del agua a condiciones de yacimiento, cp
k = permeabilidad del acuífero, md
ar = radio del acuífero, pies
er = radio del yacimiento, pies
t = tiempo, días
Bird y Cole en 1982, señala Rojas[ 2 4 ], realizaron un ajuste matemático a
las tablas de van Everdingen y Hurst aplicable para radios
adimensionales menores a 100. El ajuste tiene la forma:
21257,1
2
23
6179,1
21 11
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=Y
YY
YQtd σ (1.47)
90484,05,0
1 500712,007054,1 tdtdY += (1.48)
( ) 212 / σσtdY = (1.49)
( ) 33849,21 153226,0 −= Drσ (1.50)
Dr00401826,072055,22 +=σ (1.51)
( ) 5,0*13 −= Drσ (1.52)
Para calcular la intrusión de agua correspondiente a una declinación
continua en el contacto agua-gas, es necesario dividirla en una serie
45
211
1+−
+
−=−=Δ jj
jjjpp
ppp con 2/)( 10 ppp i−=Δ
2/)( 21 ppp i−=Δ
escalonada de caídas de presión, por lo que la caída de presión a un
tiempo (t) se obtiene de:
(1.53)
Donde 0PΔ está definido como la caída de presión entre la presión inicial
del yacimiento y el primer registro de presión disponible.
De esta manera, para calcular el volumen de agua acumulada que entra al
yacimiento se aplica el principio de superposición, mediante la
sumatoria:
∑−
=−Δ=
1
0)(
n
jjnj tdtdQpCWe (1.54)
La ecuación (1.54) es válida para acuíferos radiales. Para un acuífero
infinito lineal se utiliza la relación:
∑−
=
− −Δ⋅=1
0
310*26,3n
jjnj
w
e ttpkchWWeπμ
φ (1.55)
Donde:
h = espesor del acuífero, pies
W = ancho del acuífero (modelado rectangularmente), pies
nt =tiempo total de producción del intervalo n, horas
jt =tiempo correspondiente al intervalo j, horas
46
1.7.5 Método de Fetkovich
Fetkovich desarrolló, en 1971, un método que describe el
comportamiento del influjo de agua para acuíferos finitos con geometrías
lineales y radiales[ 22 ] . La consideración inicial del procedimiento se basa
en que el concepto de índice de productividad puede describir
apropiadamente el flujo de agua de un acuífero finito a un yacimiento de
hidrocarburos. Con esto, la tasa del influjo de agua es directamente
proporcional a la caída de presión, entre la presión promedio del acuífero
y la presión del límite entre el yacimiento y el acuífero. El método no
considera los efectos de períodos de flujo transiente y sólo es aplicable
en yacimientos en los que la relación de los radios del acuífero y el
yacimiento, conocida como radio adimensional, es mayor que doce (12).
De la misma forma, el modelo presenta una imperfección en su
concepción matemática, ya que su representación del principio de
superposición no es estrictamente correcta, por lo que se conoce como un
modelo aproximado[ 2 6 ].
La aproximación comienza con dos ecuaciones. La primera es la
ecuación del índice de productividad (IP) del acuífero:
( )rawe ppJe
dtdW
−== (1.56)
Donde:
we = tasa del influjo de agua, bbl/d
J= índice de productividad del acuífero, bbl/d/lpc
ap = presión promedio del acuífero, lpc
rp =presión en el límite interno del acuífero, lpc
La segunda ecuación es un Balance de Materiales aplicado a un acuífero
de compresibilidad constante:
47
( )fppWcW aiite −= (1.57)
Donde:
eW = influjo de agua acumulado, bbl
tc =compresibilidad total del acuífero, bbl
iW =volumen inicial de agua en el acuífero, bbl
pi= presión inicial del yacimiento, lpc
f = 360/θ
La ecuación (1.57) sugiere que el influjo máximo de agua posible ocurre
cuando 0=ap , o:
fpWcW iitei = (1.58)
Donde:
eiW = influjo de agua máximo, bbl
Combinando las ecuaciones (1.57) y (1.58) se obtiene la presión
promedio en el acuífero cuando una cantidad eW de agua, medida en
barriles, ha invadido el yacimiento:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ei
ei
it
eia W
WpfWc
Wpp 11 (1.59)
Diferenciando la ecuación (1.59) con respecto al tiempo, se tiene:
dtpd
pW
dtdW a
i
eie = (1.60)
48
Al sustituir la ecuación (1.55) en la ecuación (1.59), se obtiene:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
ei
iri
i
eie W
tJpppp
WW exp (1.61)
Donde:
eW = influjo de agua acumulado, bbl
pr= presión del yacimiento, lpc
t = tiempo, días
La ecuación (1.61) no tiene ninguna aplicación práctica, debido a que se
derivó para una condición de presión de límite interno constante.
Fetkovich, sugirió que, si la historia de presión del límite interno entre
el yacimiento y el acuífero se divide en un número finito de intervalos,
el incremento en el influjo de agua en el enésimo intervalo está dado
por:
( ) ( ) ( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Δ−−−=Δ −
ei
inrna
i
eine W
tJpppp
WW exp11 (1.62)
Donde ( ) 1−nap es la presión promedio en el acuífero al final del paso
previo de tiempo. Este término se calcula a partir de la ecuación (1.59):
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= −
−ei
neina W
Wpp 1
1 1 (1.63)
La presión promedio en el límite del yacimiento ( )nrp se determina de:
( ) ( ) ( )2
1−+= nrnr
nrpp
p (1.64)
49
El índice de productividad J es función de la geometría del acuífero, y
viene dado por las siguientes expresiones:
Tabla 1.2 . Índice de productividad en función de la geometría del acuífero
Tipo de l ímite
externo el acuífero
J para f lujo radial
(bbl/d/lpc)
J para flujo l ineal
(bbl/d/lpc)
Ecuación
Flujo
Pseudoestable ( )[ ]75.0ln00708.0
−=
Dw rkhfJ
μ LkwhJ
wμ003381.0
= (1.65)
Flujo Estable
( )[ ]Dw rkhfJ
ln00708.0μ
= L
kwhJwμ
001127.0=
(1.66)
50
CAPÍTULO II
ELEMENTOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Este capítulo es un compendio de los conceptos fundamentales de
probabilidad y estadística, así como de las herramientas que
proporcionan para agrupar y describir las relaciones entre conjuntos de
datos. Las principales técnicas propuestas para resolver la EBM en
yacimientos de gas seco, expuestas en el capítulo anterior, están
orientadas a la construcción de gráficos que presenten un
comportamiento de línea recta. En base a esto, las herramientas
estadísticas descritas en este capítulo, permitirán ajustar las curvas
obtenidas y, de esta forma, caracterizar el comportamiento del
yacimiento. Mención especial merece el estudio de la construcción de los
intervalos de confianza, que a partir de la curva ajustada, permiten
obtener un rango de valores posibles del gas original en sitio.
2.1 Conceptos Fundamentales de Estadística
La estadística se define como la ciencia cuyo objeto es reunir una
información cuantitativa concerniente a individuos, grupos, series de
hechos, etc., y deducir de ella, gracias al análisis de estos datos, unos
significados precisos o previsiones para el futuro[28 ] . Con esto, la
estadística persigue extraer conclusiones, y constituirse en un
instrumento para la toma de decisiones, en un proceso que involucra la
obtención, el análisis y la síntesis de un conjunto de datos.
La estadística puede dividirse en dos amplias ramas[29 ]:
Estadística descriptiva: describe y sintetiza el conjunto de datos
estudiado.
51
Estadística inductiva: partiendo de los conocimientos resultantes
en el proceso descriptivo, se encarga de deducir hechos nuevos o
relaciones del conjunto observado con otro conjunto.
A continuación se presentan una serie de conceptos esenciales en
estadística:
2.1.1 Poblaciones y muestras
En estadística, según expone Canavos[30 ] , población es cualquier
colección, ya sea de un número finito de mediciones o una colección
grande, virtualmente infinita, de datos de los cuales se desea
información. Por otro lado, la muestra es un subconjunto representativo
de una población. La palabra representativo es la más relevante de esta
idea. Una buena muestra es aquella que, habiendo sido seleccionada de
forma aleatoria, refleja las características esenciales de la población de
la cual se obtuvo.
2.1.2 Medidas numéricas descriptivas
Las medidas descriptivas son valores numéricos calculados a partir de la
muestra, que resumen la información contenida en ella. Las medidas
descriptivas representan la base de las inferencias estadísticas que se
derivan del estudio de las muestras. Existen, fundamentalmente, dos
medidas de interés para cualquier conjunto de datos: la localización de
su centro y su variabilidad.
Tendencia central
Es la disposición de un conjunto de datos para agruparse ya sea
alrededor del centro o de ciertos valores numéricos. Existen
52
principalmente tres medidas de tendencia central: la media, la mediana y
la moda[ 30] .
La media de las observaciones 1x , 2x , …, nx de una muestra, es el
promedio aritmético de éstas, y viene dado por la fórmula:
n
xx
n
ii∑
== 1 (2.1)
El promedio de todas las observaciones de una población, denominado
media de la población , se denota con la letra griega μ . Para una
población con un número finito de elementos N , la media de la
población se define como:
N
xN
ii∑
== 1μ (2.2)
La mediana de un conjunto de observaciones es el valor para el cual,
cuando todas las observaciones se ordenan de manera creciente, la mitad
de éstas es menor que este valor y la otra mayor. La mediana, por lo
tanto, divide a la población o muestra que se está estudiando en dos
partes iguales, con igual número de observaciones cada una.
La moda de un conjunto de observaciones es aquel valor de la variable
que ocurre con mayor frecuencia en el conjunto.
Medidas de Dispersión
Las medidas de tendencia central tienen como objetivo resumir los datos
en un valor representativo; las medidas de dispersión, por otra parte,
indican hasta que punto estas medidas de tendencia central son
53
representativas como síntesis de la información. Las medidas de
dispersión cuantifican la separación, la dispersión, la variabilidad de los
valores de la distribución respecto al valor central.
Se distinguen, entre estas medidas, las medidas de dispersión absolutas ,
que no son comparables entre diferentes muestras y las medidas de
dispersión relativas , que permitirán comparar varias muestras de una
misma población.
Una de las mediadas de dispersión más importantes es la varianza . En
una muestra de estudio con 1x , 2x , …, nx observaciones, la varianza se
define como:
( )∑= −
−=
n
i
i
nxxs
1
22
)1( (2.3)
La ecuación (2.3), cuando el valor de la media o los valores de las
observaciones no son números enteros, puede dar origen a grandes
errores de redondeo. Una fórmula computacional más exacta para estas
condiciones es:
1
2
1
1
2
2
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=
∑∑ =
=
nn
xx
s
n
iin
ii
(2.4)
Existe también una medida de varianza aplicada a todos los elementos de
una población, conocida como varianza de la población y denotada con
la letra griega 2σ , que viene dada por la relación:
54
( )
N
xN
ii
2
12∑=
−=
μσ (2.5)
La varianza, por lo tanto, es el promedio del cuadrado de las distancias
entre cada observación y la media del conjunto de observaciones, según
señala DeCoursey[ 31] . Ésta es un buen indicador de la variabilidad de la
muestra, debido a que si muchas diferencias son grandes o pequeñas, su
valor será grande o pequeño, respectivamente. El valor de la varianza es
vulnerable a la existencia de valores extremos en el conjunto y puede,
como consecuencia, sufrir cambios desproporcionados. Las unidades de
medida de la varianza son el cuadrado de las unidades originales de las
variables estudiadas, por lo que resulta difícil su interpretación. Para
resolver este problema, se trabaja con la raíz cuadrada de la varianza,
otra medida de dispersión denominada desviación estándar o desviación
típica .
La desviación estándar, denotada con la letra griega σ , es una medida
de la cantidad típica en la que los valores del conjunto de datos difieren
de la media. Siempre se calcula con respecto a la media y es un mínimo
cuando se estima con respecto a este valor. La desviación estándar está
definida de la forma:
( )
N
xN
ii
2
1∑=
−=
μσ (2.6)
Otra de las medidas de dispersión es el rango , que está definido como la
diferencia entre el mayor valor y el menor valor de todas las
observaciones del conjunto. El rango proporciona una rápida indicación
de la variabilidad entre las observaciones de la muestra. Sin embargo,
como medida de dispersión debe usarse con precaución, ya que su valor
es función, únicamente, de los dos valores extremos del conjunto, se
55
debe evitar su uso como medida de variabilidad cuando el número de
observaciones de una muestra es grande.
El coeficiente de variación , una medida de dispersión relativa, es la
relación entre la desviación estándar y el promedio de las observaciones.
Para una población se define mediante la fórmula:
μσ
=CV (2.7)
Al trabajar con muestras, el coeficiente de variación viene dado por:
xsCV = (2.8)
CV representa el número de veces que la desviación típica contiene a la
media aritmética y, por lo tanto, cuanto mayor es CV mayor es la
dispersión y menor la representatividad de la media.
56
2.2 Conceptos Fundamentales de Probabilidad
Los cálculos de probabilidad son un conjunto de reglas que permiten
determinar el porcentaje de posibilidad de que un suceso se realice[ 2 8 ].
Más rigurosamente, la probabilidad es un número real que mide la
posibilidad de que ocurra un resultado del espacio muestral, cuando se
lleva a cabo un experimento.
La probabilidad tiene un papel crucial en la aplicación de la inferencia
estadística, debido a que sin una adecuada compresión sus leyes, resulta
difícil utilizar una metodología estadística de manera efectiva.
A continuación se presentan algunos conceptos relacionados con cálculos
de probabilidad:
2.2.1 Espacios muestrales
Un experimento que puede derivar en resultados diferentes, aunque sea
repetido de la misma forma cada vez, se conoce como experimento
aleatorio . El conjunto de todos resultados posibles de este tipo de
experiencia, se denomina espacio muestral del experimento. El espacio
muestral se denotado como S[ 3 2 ].
Se distinguen dos tipos de espacios muestrales:
Espacios muestrales discretos : consisten en un número finito o
infinito contable de posibles resultados.
Espacios muestrales continuos: contienen un intervalo, finito o
infinito, de números reales.
57
Por ejemplo, += RS es un espacio muestral continuo, mientras que
{ }nosiS ,= es un espacio muestral discreto. La óptima selección del
espacio muestral a utilizar dependerá de los objetivos que persiga el
estudio que se realice.
2.2.2 Eventos
Un evento es un subconjunto del espacio muestral de un experimento
aleatorio dado.
Como los eventos son subconjuntos, se pueden utilizar las siguientes
operaciones para formar otro evento de interés:
Unión de dos eventos : es el evento que consiste en todos los
resultados contenidos en cualquiera de los dos eventos. Se denota
como ji EE ∪ .
Intersección de dos eventos : es el evento que consiste en todos
los resultados contenidos en ambos eventos. Se denota como
ji EE ∩ .
Complemento de un evento : es el evento en un espacio muestral
que contiene todos los resultados que no están incluidos en el
evento original. Se denota como E′ .
Dentro del estudio de la teoría de conjuntos, que explica el
comportamiento de una colección de objetos al realizar operaciones con
ellos, resulta útil el uso de los Diagramas de Venn. Éstos se basan,
fundamentalmente, en representar los conjuntos matemáticos mediante
circunferencias que permiten visualizar resultados de las operaciones
58
realizadas. La Figura 2.1 muestra el Diagrama de Venn de la unión e
intersección de dos eventos A y B en un espacio austral S.
Figura 2.1. Diagrama de Venn para operaciones con eventos
2.2.3 Función de probabilidad
Sean S cualquier espacio muestral y E cualquier evento de éste. Se
llamará función de probabilidad sobre el espacio muestral S a )(EP si
satisface los siguiente axiomas:
1. 0)( ≥EP
2. 1)( =SP
3. Si para los eventos 1E , 2E , 3E …, se cumple φ=∩ ji EE para toda
i ≠ j , entonces: ...)( 21 ∪∪ EEP = ...)()( 21 ++ EPEP
59
2.3 Variables aleatorias y Distribuciones de Probabilidad
Una variable aleatoria es simplemente una expresión cuyo valor es el
resultado de un experimento particular. Así como en el caso de otros
tipos de variables matemáticas, las variables aleatorias pueden tomar
diferentes valores[ 33 ].
Existen, de la misma forma que los espacios muestrales, dos tipos de
variables aleatorias:
Variables aleatorias discretas : el conjunto de valores posibles es
un conjunto discreto, es decir, toma un número finito de valores
numerables.
Variables aleatorias continuas: Una variable aleatoria es
continua si su conjunto de posibles valores es todo un intervalo de
números; esto es, si para algún a < b , cualquier número x entre a
y b es posible.
2.3.1 Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
discretas
Una función distribución de probabilidad de una variable aleatoria X
es una descripción de las probabilidades asociadas con los posibles
valores de X[ 32 ] . Para una variable aleatoria discreta, aunque la
distribución es a menudo especificada sólo por una lista de los valores
posibles junto con la probabilidad de cada uno, es posible desarrollar
una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización
x de la variable aleatoria X[ 30 ] .
60
Algunas de las distribuciones de probabilidad de variables discretas las
más utilizadas son la distribución binomial , la distribución polinomial o
multinomial y la distribución de Poisson.
La función de probabilidad de una variable aleatoria X con los posibles
valores 1x , 2x , …, nx , cumple con:
1. 0)( ≥ixf
2. 1)(1
=∑=
n
iixf
3. )()( ii xXPxf ==
2.3.2 Esperanza y Varianza de una variable aleatoria discreta
Dos números se usan generalmente para resumir la distribución de una
variable aleatoria X. La media es una media del centro de la distribución
de probabilidad y la varianza es una medida de la dispersión o
variabilidad en la distribución[ 3 2 ].
La media, valor esperado o esperanza en una variable aleatoria discreta,
denotado por el símbolo μ o )(XE , viene dada por la fórmula:
∑=
==n
iii xfxXE
1)()(μ (2.9)
La varianza de X, denotada 2σ o )(XV , es:
∑∑==
−=−=−==n
iii
n
iii xfxxfxXEXV
1
22
1
222 )()()()()( μμμσ (2.10)
61
La variación estándar de X viene dada por la ecuación:
2σσ = (2.11)
2.3.3 Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias
continuas
La función )(xf , cuya gráfica es la curva límite que se obtiene para un
número muy grande de observaciones y para una amplitud de intervalo
muy pequeña, es la función de densidad de probabilidad de una
variable aleatoria continua X, ya que la escala vertical se elige de
manera que el área total bajo la curva sea igual a uno. La función de
densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X, se define
formalmente de la siguiente manera[ 30 ]:
1. 0)( ≥xf , ∞≤≤∞− x
2. 1)( =∫∞
∞−
dxxf y
3. ∫=≤≤b
adxxfbXaP )()(
La probabilidad de que una variable aleatoria continua se encuentre entre
los límites a y b , corresponde al área bajo la curva de la función de
densidad de probabilidad entre los límites a y b . Ésta es el área señalada
en la Figura 2.2.
62
Figura 2.2. Probabilidad de una variable aleatoria continua [31]
La función de distribución acumulativa )(xF es el área acotada por la
función de densidad que se encuentra a la izquierda de la recta xX = [ 3 0 ] ,
como se ilustra en la Figura 2.3.
Figura 2.3. Probabilidad acumulada de una variable aleatoria continua [30]
63
La distribución acumulativa )(xF , es una función creciente con las
siguientes propiedades:
1. 0)( =−∞F
2. 1)( =∞F
3. )()()( aFbFbXaP −=<<
4. )(/)( xfdxxdF =
2.3.4 Esperanza y Varianza de una variable aleatoria continua
La media y varianza de una variable aleatoria continua se definen de
manera similar a estas propiedades en variables aleatorias discretas[ 32 ] .
La media, valor esperado o esperanza de una variable aleatoria continua
X con una función de densidad de probabilidad )(xf , denotado por el
símbolo μ o )(XE , viene dada por la fórmula:
dxxxfXE ∫∞
∞−
== )()(μ (2.12)
La varianza de X, denotada 2σ o )(XV , es:
2222 )()()()( μμσ −=−== ∫∫∞
∞−
∞
∞−
dxxfxdxxfxXV (2.13)
La variación estándar de X se calcula mediante la ecuación (2.11).
64
2.4 Distribución normal
Aunque existen diversas distribuciones de probabilidad de variables
aleatorias continuas, la distribución normal es indiscutiblemente la más
utilizada por ingenieros. Esta distribución se aplica directamente en
numerosos problemas prácticos y muchas de las distribuciones de
probabilidad se basan en ella[ 31 ] .
La distribución normal fue originalmente propuesta por De Moivre en
1733, mediante el teorema del límite central . Sin embargo, su trabajo no
se consideró por algún tiempo, y Gauss desarrolló, independientemente
la distribución en 1809. Si bien se reconoció con el tiempo el trabajo de
De Moivre, la distribución normal se conoce también como la
distribución Gaussiana [ 3 2 ] .
2.4.1 Características y propiedades
La apariencia gráfica de la distribución normal es una curva simétrica
con forma de campana, que se extiende sin límite tanto en la dirección
positiva como negativa. La curva se ilustra en la Figura 2.4.
Figura 2.4. Curva de la distr ibución normal [31]
65
La función de densidad de probabilidad de la distribución normal está
dada por la fórmula:
( )2
2
2
21)( σ
μ
πσ
−−
=x
exf (2.14)
Donde μ es la media de la distribución y σ es la desviación estándar.
Como la función de densidad de distribución normal es simétrica, la
media, la mediana y la moda coinciden en μ=x . Como consecuencia, el
valor de μ determina la localización del centro de la distribución, y el
valor de σ determina su extensión.
Como ya se mencionó, las probabilidades de una variable aleatoria
continua se calculan mediante la integral de su función de densidad. Por
lo tanto, las probabilidades de la distribución normal se obtienen al
calcular la integral de la función definida en la ecuación (2.14), o el área
bajo su curva. De esta manera, la probabilidad de que una variable X se
encuentre entre 1x y 2x , está dada por:
[ ] ∫−
−=≤≤
2
1
2
2
2)(
21 21Pr
x
x
x
dxexXx σμ
πσ (2.15)
La probabilidad acumulada es:
[ ] ∫∞−
−−
=≤≤∞−x x
dxexX 2
2
2)(
21Pr σ
μ
πσ (2.16)
66
La integral de las ecuaciones (2.15) y (2.16) no puede ser evaluada
analíticamente, por lo que se calcula mediante métodos numéricos en
programas computacionales y se muestra en tablas.
2.4.2 Distribución normal estándar
Las ecuaciones (2.15) y (2.16), constituyen un número infinito de
distribuciones normales con varios valores de los parámetros μ y σ , lo
que se constituye en una limitante para cálculo de probabilidades. Un
método más simple de análisis, que permite trabajar con una sola curva,
se obtiene al realizar el cambio de variable:
σμ−
=xz (2.17)
Donde z es una variable aleatoria continua estandarizada con media cero
y desviación estándar igual a uno.
De la ecuación (2.17) se evidencia que z es la relación entre )( μ−x y
σ . Representa el número de desviaciones estándares contenidas entre
un punto cualquiera y la media. El parámetro z es adimensional, ya que
x , μ y σ están expresadas en las mismas unidades.
Como μ y σ son constantes para cualquier distribución particular, la
derivada de la ecuación (2.17) queda de la forma:
dzdxdxdz σ
σ=⇒=
1 (2.18)
67
Sustituyendo las ecuaciones (2.17) y (2.18) en la ecuación (2.15), se
obtiene:
[ ] ∫−
=≤≤2
1
2
221 2
1Prz
z
z
dxexXxπ
(2.19)
La ecuación (2.19) representa la probabilidad de que la variable aleatoria
X se encuentre entre los límites 1x y 2x , expresada en términos de la
variable continua estandarizada Z .
68
2.5 Distribuciones muestrales de probabilidad
Una estadística es una variable aleatoria que depende de los resultados
obtenidos con cada muestra particular. Como variable aleatoria, una
estadística tiene una distribución de probabilidad[32] .
La distribución de probabilidad de una estadística se llama distribución
muestral . Las distribuciones muestrales dependen de la distribución de
la población, el tamaño de la muestra y el método de selección de la
muestra. Para estudiar la distribución muestral de la media, es necesario
enunciar el teorema del límite central.
2.5.1 Teorema del límite central
Si nXXX , ... , , 21 es una muestra aleatoria de tamaño n , tomada de una
población (finita o infinita) con media μ y varianza 2σ , y si X es la
media de la muestra, la forma límite de la distribución
nXZ
/σμ−
= (2.20)
con ∞→n , es la distribución normal estándar.
El teorema del l ímite central funciona para muestras con 30>n ,
independientemente de la distribución de la población. Para muestras
más pequeñas, funcionará sólo si la distribución de la población no
difiere severamente de la distribución normal[ 32 ] .
69
2.5.2 Distribución de la media muestral
Si se supone que una muestra aleatoria de tamaño n extrae de una
población normal con media μ y varianza 2σ , cada observación de esta
muestra, nXXX , ... , , 21 , una es una variable normal e
independientemente distribuida con media μ y varianza 2σ , según el
teorema de límite central. Por lo tanto, la media de la muestra
n
XXXX n+++=
... ,21 (2.21)
t iene una distribución normal con media
μμμμ=
+++=
nXE ...)( (2.22)
y varianza
nnXVar
2
2
222 ...)( σσσσ=
+++= (2.23)
2.5.3 Distribución t
La variable independiente de la distribución normal aplicada a la media
de la muestra es n
xxzx /σ
μσμ −=
−= . Si no se conoce σ o si la muestra es
muy pequeña, se requiere trabajar con la desviación estándar de la
muestra, s . Por lo tanto, en lugar de la variable z , se tiene la variable t ,
que para este caso es igual a nt
x/μ−
. La probabilidad, de acuerdo a la
distribución t es, de esta forma, una función de dos variables
70
independientes, t y del número de grados de libertad, que en este caso es
n-1.
La función de densidad de la distribución t es:
[ ][ ] 2/)1(2 1)/(
1)2/(
2/)1()( ++
⋅Γ
+Γ= k
kxkkkxf
π (2.24)
Donde k es el número de grados de libertad. La media y varianza de la
distribución t son cero y )2/( −kk , para 2>k , respectivamente.
La apariencia general de la distribución t , es similar a la de la
distribución normal: simétrica y con forma de campana. Además es
unimodal, y alcanza un valor máximo para 0=μ . Cuando ∞→k , la
distribución t es aproximadamente la distribución normal.
71
2.6 Regresión lineal simple y Correlación
El análisis de regresión es una técnica estadística que permite describir
cuantitativamente la relación que existe entre dos o más variables[ 32 ] .
El término regresión tiene, básicamente, dos significados: uno surge de
la distribución conjunta de probabilidad de dos variables aleatorias; el
otro es empírico y nace de la necesidad de ajustar un conjunto de datos a
alguna función[ 3 0 ].
Dentro de los procedimientos de regresión más utilizados, se encuentra
el modelo lineal simple. A continuación se presentan algunas
características de este modelo.
2.6.1 Regresión lineal simple
La relación más simple posible entre dos conjuntos de variables es una
relación lineal o de línea recta[32 ] . Al considerar una variable de
pronóstico x y una variable de respuesta u observación Y , se supone
que existe una relación lineal entre ambas y que la variable de
observación Y , en cada nivel de x , es una variable aleatoria. El valor
esperado de Y para cada x es:
xYE 10x)|( ββ += (2.25)
Donde el intercepto 0β y la pendiente 1β son los coeficiente de
regresión que se desea determinar. Si se asume que cada observación Y
puede ser descrita por el modelo, se tiene:
∈++= xY 10 ββ (2.26)
72
Donde ∈ es un error aleatorio con media cero y varianza desconocida 2σ .
Se requiere determinar 0β y 1β que permitan obtener el mejor ajuste de
los datos analizados, para lo que se emplea el método de mínimos
cuadrados . Este método, propuesto por el científico alemán Karl Gauss,
encuentra las estimaciones para los parámetros de la ecuación
seleccionada, mediante la minimización de la suma de los cuadrados de
las diferencias entre los valores observados de la variable respuesta y de
aquéllos proporcionados por la ecuación de predicción[32].
Usando la ecuación (2.26) se pueden expresar las n observaciones de la
muestra como:
iii xy ∈++= 10 ββ para ni ...,2,1= (2.27)
La suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones
respecto a la recta obtenida de la regresión es:
( )∑∑==
−−=∈=n
iii
n
ii xyL
1
210
1
2 ββ (2.28)
Los coeficientes de estimación de mínimos cuadrados de 0β y 1β ,
denotados como 0β̂ y 1̂β , deben satisfacer:
1. 0)ˆˆ(21
10ˆ,ˆ0 10
=−−−=∂∂
∑=
n
iii xyL ββ
β ββ
(2.29)
2. 0)ˆˆ(21
10ˆ,ˆ1 10
=−−−=∂∂
∑=
i
n
iii xxyL ββ
β ββ
(2.30)
73
Simplificando las ecuaciones (2.29) y (2.30), se obtiene:
∑∑==
+=n
ii
n
ii xny
110
1
ˆˆ ββ (2.31)
∑∑∑===
+=n
ii
n
iii
n
ii xxxy
1
21
10
1
ˆˆ ββ (2.32)
Las ecuaciones (2.31) y (2.32) se denominan ecuaciones de mínimos
cuadrados . La solución de estas ecuaciones, resulta en los estimadores
de mínimos cuadrados 0β̂ y 1̂β .
Considerando las relaciones:
∑=
=n
iixx
1 (2.33)
∑=
=n
iiyy
1 (2.33)
∑∑∑
∑=
==
=−=−−=
n
i
n
ii
n
ii
ii
n
iiixy n
yxyxyyxxS
1
11
1))(( (2.34)
n
xxxxS
n
iin
ii
n
iixx
2
1
1
2
1
2)(⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=−=∑
∑∑ =
== (2.35)
Al resolver el sistema de ecuaciones que contempla las ecuaciones (2.31)
y (2.32), se obtiene:
74
xy 10ˆˆ ββ −= (2.36
xx
xy
SS
=1β̂ (2.37)
De esta forma, la línea recta ajustada o estimada mediante la regresión
es:
ixy 10ˆˆˆ ββ += (2.38)
Para cada par de observaciones existe un residuo que describe el error
asociado al ajuste del modelo. Este residuo está definido mediante la
relación:
iii yye ˆ−= (2.39)
Existe, aún, un parámetro desconocido en el modelo de regresión, la
varianza del término de error ∈. El residuo se usa para obtener un
estimado de 2σ . La suma de los cuadrados de los residuos, llamado suma
de errores cuadrados, es:
∑∑==
−==n
iii
n
iiE yyeSS
1
2
1
2 )ˆ( (2.40)
Calcular ESS utilizando la ecuación (2.40) puede ser impreciso y
tedioso. Un formula más conveniente puede obtenerse al sustituir la
ecuación (2.38) en la ecuación (2.40), mediante lo que se obtiene:
RTE SSSSSS −= (2.41)
75
Donde:
2
1
2
1
2)( ynyyySSn
ii
n
iiT −=−= ∑∑
== (2.42)
xy
n
iiR SyySS 1
1
2 ˆ)ˆ( β=−∑=
(2.43)
El término TSS se conoce como la suma total de los cuadrados de la
variable dependiente o variable respuesta. El término RSS se denomina
suma de los cuadrados de la regresión.
La desviación estándar se calcula de la forma:
2ˆ 2
−=
nSSEσ (2.44)
2.6.2 Propiedades de los estimadores de mínimos cuadrados
Se considerará primero el estimador de la pendiente. 1̂β es una
combinación lineal de las observaciones iY , por lo tanto su valor
esperado es:
11)ˆ( ββ =E (2.45)
Para calcular la varianza de 1̂β , es importante considerar que 2)( σ=∈iV ,
por lo tanto 2)( σ=iYV , de esta forma:
76
xxSV
2
1)ˆ( σβ = (2.46)
Para el intercepto, se tiene:
00 )ˆ( ββ =E (2.47)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=
xxSx
nV
22
01)ˆ( σβ (2.48)
La varianza de los términos, calculadas con las ecuación (2.47) y (2.48),
proporciona un estimado de la varianza del intercepto y la pendiente
ajustados. Se llamará errores estándares estimados de la pendiente y
del intercepto, respectivamente:
xxSse
2
1)ˆ( σβ = (2.49)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=
xxSx
nse
22
01)ˆ( σβ (2.50)
2.6.3 Intervalos de confianza
Además de calcular el valor de la pendiente y el intercepto que mejor se
ajuntan al modelo, es posible obtener los intervalos de confianza de
estos parámetros. En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un
intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una
muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con
una probabilidad determinada[32].
77
La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en
el intervalo construido se denomina nivel de confianza , y se denota
(1-α ). La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia
y se simboliza α . Generalmente se construyen intervalos con confianza
(1-α )=95%, o significancia α =5%.
El tamaño de los intervalos de confianza es una medida de la calidad
general de la regresión lineal. Bajo la consideración de que las
observaciones están normal e independientemente distribuidas, el
intervalo de confianza de )1(100 α− % de probabilidad de la pendiente
1β , está definido como:
xxn
xxn S
tS
t2
2 ,2/11
2
2 ,2/1ˆˆˆˆ σββσβ αα −− +≤≤− (2.51)
Análogamente, el intervalo del intercepto 0β es:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡++≤≤
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+− −−
xxn
xxn S
xn
tSx
nt
22
2 ,2/00
22
2 ,2/01ˆˆ1ˆˆ σββσβ αα (2.52)
2.6.4 Regresión y correlación
El análisis de regresión permite resumir la relación entre una variable
dependiente y una variable que se considera independiente. Sin embargo,
al construir un modelo de regresión es importante considerar dos
aspectos. En primer lugar se desea determinar el grado de asociación
entre las variable, y por último se requiere establecer cuan bien la
variable independiente ha descrito la variable dependiente[32].
78
El coeficiente de correlación mide el grado de asociación lineal que
existe entre dos variables. Este parámetro estadístico se denota r , y su
valor siempre se encuentra entre -1 y +1, esto es 11 ≤≤− r . Cuando
existe poca asociación entre dos variables, r se encuentra cerca de cero.
r se calcula a partir de la ecuación:
∑∑
∑
==
=
−−
−−=
n
ii
n
ii
n
iii
yyxx
yyxxr
1
22
1
1
)()(
))(( (2.53)
Recordando las relaciones (2.34), (2.35) y (2.42), r se puede expresar de
la forma:
Txx
xy
SSSS
r = (2.54)
Al dividir la ecuación (2.37) entre la ecuación (2.54), se verifica:
rSSS
xx
T ⋅=1β (2.55)
Por lo tanto, la pendiente 1β es simplemente el coeficiente de
correlación r multiplicado por un factor de escala. En base a esto, se
determina que ambos términos están estrechamente relacionados, pero
proporcionan información diferente. El coeficiente de correlación mide
la asociación lineal entre X y Y , mientras que 1β mide el cambio de la
media de Y para un cambio unitario de X .
79
Al calcular el cuadrado del coeficiente de correlación, se obtiene:
T
R
T
xx
T
xx
SSSS
SSS
SSSr ===
212
12
ˆˆ ββ (2.56)
El término 2r de la ecuación (2.56) se conoce como coeficiente de
determinación . Es un parámetro estadístico usado para determinar la
bondad del ajuste, ya que mide cercanía relativa de los puntos a la línea
recta generada por el modelo de regresión. Los valores extremos de 2r
son cero y uno, esto es 10 2 ≤≤ r .
Recordando la ecuación (2.41), es posible calcular el coeficiente de
determinación a partir de la relación:
T
E
T
R
SSSS
SSSSR −== 12 (2.57)
El parámetro 2R debe usarse con precaución, ya que es posible obtener
un valor unitario simplemente añadiendo suficientes términos al modelo,
por lo tanto el coeficiente de determinación no es una medida de la
precisión del modelo.
80
CAPÍTULO III
METODOLOGÍA
En este capítulo se presentan, de forma detallada, todas las etapas en las
que se estructuró el desarrollo y codificación del programa dirigido a
realizar cálculos de Balance de Materiales en yacimientos de gas seco.
3.1 Revisión Bibliográfica
Durante esta etapa de la investigación, que comprende dos fases, se
realizó una recopilación y análisis de información relacionada con el
cálculo de Balance de Materiales, publicada en libros y artículos
especializados.
La primera fase, que contempló la realización de un estudio general de la
técnica de Balance de Materiales, permitió definir los fundamentos
teóricos de la EBM, las suposiciones iniciales para su desarrollo y sus
principales aplicaciones. Luego, la investigación se enfocó en
yacimientos de gas seco, con el fin de determinar los métodos empleados
para resolver la EBM en este tipo de yacimientos, así como las variables
involucradas en cada uno de los métodos. Debido a la diversidad de
métodos aplicables en yacimientos de gas, se planteó el problema a
resolver, y con esto los objetivos que persigue el presente trabajo.
La segunda fase, referida a los yacimientos de gas seco, incluyó, además,
el análisis de los yacimientos sobrepresurizados y los modelos de influjo
de agua propuestos para caracterizar los yacimientos que producen por
empuje hidráulico.
La revisión bibliográfica contempló, de la misma forma, el estudio de
algunos conceptos fundamentales de estadística y probabilidad, así como
81
la búsqueda y selección de métodos y aplicaciones de estas ciencias que
permitieran modelar el comportamiento de un conjunto dado de datos,
orientándose el análisis hacia la regresión lineal que permitiera
construcción de gráficos y la descripción numérica de las curvas
obtenidas. Se incluyó además, el estudio de los intervalos de confianza
de parámetros estadísticos, instrumentos necesarios para proporcionar el
rango de valores posibles de una variable sujeta a estudio.
82
3.2 Selección de técnicas de Balance de Materiales
La elección de los métodos de Balance de Materiales que fueron
incluidos en el código del programa desarrollado, y que son explicados
detalladamente en el Capítulo I, se realizó de acuerdo a su aplicabilidad
a los tipos de yacimientos de gas seco que existen. Las técnicas
empleadas son:
P/z vs. Gp: en yacimientos volumétricos, que producen
únicamente por agotamiento. La gráfica que se genera con este
procedimiento, se caracteriza por presentar un comportamiento
lineal.
Método de Havlena y Odeh: aplicable a todos los tipos de
yacimientos de gas seco, volumétricos, sobrepresurizados y
aquellos que producen por empuje por agua. Incluir en la ecuación
original planteada por los autores los términos de compresibilidad
efectiva de la formación e influjo de agua, permite emplear el
método para yacimientos sobrepresurizados y yacimientos con
empuje hidráulico.
Método fluyente: es una variación del método p/z vs. Gp, que
emplea presiones fluyentes, y es aplicable a yacimientos que
producen por agotamiento.
Método de Ramagost y Farshad: este procedimiento, que
consiste en construir la gráfica de ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+− p
ScSc
zP
wi
fwiw
11 en
función de la producción acumulada, se emplea en yacimientos
sobrepresurizados, en los que las compresibilidades del agua y la
formación sean conocidas.
83
Método de Roach: se emplea en yacimientos sobrepresurizados
para determinar el gas original en sitio y el valor de la
compresibilidad efectiva de la formación, y consiste en graficar
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
Δ11
i
i
pzzp
p vs. ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Δ i
i
pzzp
pGp
.
Además de los métodos antes descritos, se usaron dos técnicas que
permiten determinar el mecanismo de empuje presente en los yacimientos
sujetos a estudio. Éstas son:
Gráfico de Cole: permite diferenciar yacimientos volumétricos de
yacimientos que producen por empuje por agua.
Gráfico de Cole modificado: permite distinguir yacimientos
sobrepresurizados de aquéllos que producen por una combinación
de mecanismos de empuje, al analizarlo en conjunto con el Gráfico
de Cole.
84
3.3 Evaluación de los parámetros involucrados en la
aplicación de las técnicas seleccionadas
Cada una de las técnicas estudiadas hace uso de distintas variables y
suposiciones, por lo que para su aplicación se requirió definir los
parámetros a utilizar, así como su disponibilidad y confiabilidad.
Para todas las técnicas seleccionadas es necesario disponer de suficiente
historia de presión-producción en términos de:
Producción de gas acumulada (Gp) en función de la presión.
Propiedades del gas en función de las condiciones de presión y
temperatura de yacimiento (propiedades PVT).
Presión inicial (Pi).
De los datos enumerados anteriormente, se considera que los más
confiables son los referidos a la producción de gas acumulada, debido a
que ésta representa la base económica de la industria petrolera, por lo
que debe ser cuantificada con gran precisión[28 ] . La incertidumbre
asociada a los datos PVT se deriva de posibles errores de medición en
pruebas de laboratorio, al uso de correlaciones no representativas del
comportamiento del gas y a la resolución de los instrumentos utilizados
para cuantificar estos parámetros. De la misma forma, la medición de la
presión promedio del yacimiento, que se realiza principalmente mediante
pruebas de restauración de presión, tiene una incertidumbre asociada, ya
que depende del tiempo de duración de la prueba y de la interpretación
del resultado de la misma.
Al emplear la técnica de Balance de Materiales en yacimientos de gas no
volumétricos, es decir, yacimientos sobrepresurizados o sometidos a un
empuje por agua, es necesario, además, considerar los términos de
85
compresibilidad efectiva de la formación y del influjo de agua
acumulado respectivamente. Ambas variables introducen al cálculo
incertidumbre adicional, consecuencia de la dificultad que representa
determinar sus valores.
El término de la compresibilidad efectiva de la formación, es una medida
del efecto del cambio de presión en el espacio poroso disponible para los
hidrocarburos, por lo tanto comprende la compresibilidad del agua de
formación como la compresibilidad de la formación. El valor de la
compresibilidad del agua de formación, cuando no se disponen de datos
para calcularla, puede aproximarse a 16103 −−⋅ lpc . Sin embargo, la
compresibilidad de la formación es un parámetro generalmente
desconocido y difícil de medir, debido a que es función del tipo de roca,
presión de poro y presión confinante a los que esté sometida la
formación[ 1 3 ].
El influjo de agua acumulado que entra al yacimiento es, quizás, el
término con mayor incertidumbre asociada, especialmente si se utiliza
algún modelo de acuífero para determinarlo, debido a que se requiere
conocimiento previo de las características del acuífero que no siempre
están disponibles.
86
3.4 Diseño esquemático del programa
Se realizó un esquema general del programa, que permitió definir las
variables de entrada necesarias, así como los resultados que podrán
obtenerse al realizar una corrida de éste.
El proyecto se estructuró en módulos de entrada de datos para
determinar el orden en que se éstos se introducirían al programa, y así
facilitar el manejo de los mismos. La Figura 3.1 muestra el diagrama
general del programa.
Figura 3.1. Diagrama General del programa
A continuación se detallan los datos y procedimientos comprendidos en
cada módulo del programa:
3.4.1 Módulo de Yacimiento
Representa la primera entrada de datos al programa. En esta etapa, se
establece el tipo de yacimiento de gas sujeto a estudio y, a partir de esta
selección, se introducen los datos necesarios. En la Figura 3.2 se muestra
el esquema de trabajo de este módulo.
87
Figura 3.2. Diagrama de f lujo del Módulo de Yacimiento
Los datos de yacimiento a introducir en esta etapa corresponden a la
presión inicial del yacimiento, la temperatura, la saturación de agua
inicial, la compresibilidad de la formación y la compresibilidad del agua.
Para yacimientos sometidos a empuje por agua o que producen por
combinación de mecanismos de empuje, es necesario además definir
parámetros asociados al acuífero, así como establecer el tipo de acuífero
que caracteriza el comportamiento del influjo.
88
El proceso de verificación de datos diseñado para los módulos de entrada
de datos del programa, presenta tres etapas de control. En primer lugar
se examina la posible presencia de letras o caracteres no numéricos en
las instancias de entrada de datos, lo que da origen a un mensaje de
error. Luego, cuando sólo existen números o comas, se verifica el
formato del número, es decir, se controla la cantidad de comas presentes
o si el primer carácter es una coma, dando lugar a un mensaje de error.
Por último, cuando se requiere que el valor de una variable se encuentre
en un rango determinado, como por ejemplo la saturación de agua que
debe ser menos que uno (1), o los datos de producción acumulada que
deben tener un orden estrictamente creciente, se realiza la verificación
de los valores introducidos. La Figura 3.3 muestra el diagrama
esquemático del proceso de verificación.
Figura 3.3. Diagrama de f lujo del proceso de verif icación de datos
implementado
89
3.4.2 Módulo de Producción
Constituye la segunda entrada de datos al programa. Se establecen en
esta instancia, las unidades y la cantidad de los datos de producción que
se requiere emplear; pudiendo importar los datos de un archivo de una
hoja de cálculo o introducirlos usando el teclado. La Figura 3.4 muestra
el diagrama de trabajo del módulo de producción.
Figura 3.4. Diagrama de f lujo del Módulo de Producción
Las variables correspondientes al módulo de producción son los datos de
tiempo, presión y producción acumulada de gas y agua.
90
Para el módulo de producción se contemplan dos tipos de unidades para
los datos de presión, dos tipos para la producción de gas acumulada y
dos unidades para la producción de agua. Se establecen, de igual forma,
las unidades del factor volumétrico del gas, correspondiente al módulo
PVT, al seleccionar alguna de las dos opciones disponibles. Además, se
requiere en esta etapa de entrada de datos, determinar el tipo de datos de
presión que son ingresados al programa, datos de presión estática o
presión de fondo fluyente.
Este módulo contempla el proceso de verificación de datos descrito en la
sección anterior.
3.4.3 Módulo de PVT
El módulo de PVT del programa contempla la entrada de datos referentes
al factor volumétrico del gas y el factor de desviación del mismo, en
función de la presión. Cuando estos datos no se encuentran disponibles,
existe la opción de generar los parámetros PVT a partir de correlaciones
propuestas por diversos autores. Si se establece, en el módulo de
yacimiento, que se trabaja con yacimientos sometidos a empuje por agua
o que producen por una combinación de mecanismos de empuje, se
requiere introducir, además, datos del factor volumétrico del agua de
formación, como valor único o como función de la presión en forma de
tabla.
Existe, de la misma forma, la posibilidad de ingresar datos PVT cuando
se dispone de éstos, pudiendo estar referidos los datos a las presiones del
módulo de producción o una lista nueva de datos de presión. La Figura
3.5 muestra el flujo de trabajo del módulo PVT.
91
Figura 3.5. Diagrama de f lujo del Módulo de PVT
92
3.4.4 Solución
Este módulo contempla la selección de las técnicas a disponibles para
realizar el cálculo de Balance de Materiales, así como la construcción de
gráficos con los resultados obtenidos. Para esto, en primer lugar, y de
acuerdo al tipo de yacimiento seleccionado en el módulo de yacimiento,
se habilitan distintos métodos a utilizar. La Figura 3.6 muestra los
métodos a emplear según el tipo de yacimiento sometido a estudio.
Figura 3.6. Métodos disponibles para realizar el cálculo de BM según el t ipo
de yacimiento
93
Una vez seleccionado el método a emplear, se construye la curva
obtenida, así como la regresión lineal de la misma. De igual forma, se
muestran, mediante tablas, los datos utilizados para generar la gráfica.
La Figura 3.7 ilustra el diagrama de flujo del módulo de solución.
Figura 3.7. Diagrama de f lujo del Módulo de Solución
Es importante señalar antes de emplear el Método de Roach para la
cuantificación de reservas en sitio en yacimientos sobrepresurizados, así
como el Gráfico del Acuífero Pote, para la caracterización del
comportamiento del influjo de agua que entra al yacimiento, se realiza
una verificación de su aplicabilidad en el yacimiento sometido a estudio.
La curva construida con la relación matemática propuesta por Roach,
requiere que el punto de corte con el eje de las ordenadas sea menor que
cero, como se explico en el Capítulo I. Como consecuencia, si se verifica
que el ajuste de la curva no cumple con esta condición, no se habilita
este método para realizar los cálculos.
94
En el caso del Gráfico del Acuífero Pote, es necesario que la curva
presente un coeficiente de correlación cercano a uno, que garantice su
comportamiento de línea recta. Si esta condición no se satisface, se
quiere utilizar un modelo de acuífero diferente para caracterizar el
comportamiento del empuje hidráulico.
3.4.5 Índices de Mecanismos de Producción
En este módulo se calculan los índices de producción asociados a la
expansión de gas, la expansión de la roca y fluidos, así como el empuje
por agua para cada presión de los datos producción. Los resultados
obtenidos se muestran en forma de tabla y mediante la construcción de
un gráfico de barras. La Figura 3.8 muestra el diagrama de flujo de este
módulo.
Figura 3.8. Diagrama de flujo del cálculo de los Índices de los mecanismos
de producción
95
3.4.5 Mecanismos de Empuje
En esta etapa del programa se comprueba el mecanismo de empuje
presente en el yacimiento, mediante la construcción del Gráfico de Cole
y Gráfico de Cole modificado, expuestos detalladamente en el Capítulo I.
De acuerdo a las curvas obtenidas se establece el tipo de yacimiento de
gas seco que es objeto de estudio. La Figura 3.9 muestra el diagrama de
trabajo del módulo de verificación de mecanismos de empuje.
Figura 3.8. Diagrama de flujo de la verif icación de los mecanismos de empuje
96
3.4.6 Reporte de Resultados
Representa en último evento asociado a la corrida del programa. Se
realiza en esta etapa la construcción de un reporte diseñado para exponer
las características del yacimiento y los principales resultados obtenidos.
Este reporte se divide en cuatro secciones, correspondientes a los
primeros módulos del programa. Se especifica en primer lugar el t ipo de
yacimiento analizado, detallando, según el caso, el modelo de acuífero
utilizado para caracterizar el influjo de agua. En segundo lugar se
establece el t ipo de datos de producción util izado para realizar los
cálculos. Se especifica también si se generó una tabla de datos PVT,
describiendo la correlación empleada. Luego, para cada una de las
técnicas disponibles, se enumeran los resultados obtenidos. Por último,
para una presión de abandono se define el factor de recobro del
yacimiento.
3.5 Selección del lenguaje de programación a utilizar
Uno de los principales requerimientos del programa es el manejo de
matrices de tamaño variable, que permita realizar las operaciones
matemáticas necesarias en cada método. Además, es necesario el uso de
gráficos dinámicos con el fin de mostrarle al usuario el resultado
obtenido. Es indispensable, de la misma manera, disponer de una interfaz
gráfica que facilite el proceso de entrada de datos y observación de los
resultados.
En base a lo anteriormente expuesto, se eligió el lenguaje C# para
codificar los algoritmos generados. Este lenguaje, según expone
Schildt[ 29 ] , fue desarrollado por Microsoft a finales de la década de
1990, y proviene directamente de dos de los lenguajes más usados en el
mundo: C y C++. Se considera, además, un lenguaje orientado a objetos,
97
en el que el programador define los datos y el código que podrá actuar
sobre estos datos.
3.6 Codificación del programa
A partir de los diagramas de flujo construidos para estructurar el
funcionamiento del programa, se generó el código del programa en el
lenguaje C#. El código se muestra en el Apéndice A.
3.7 Validación de la herramienta desarrollada
Para validar los resultados arrojados por la herramienta computacional
desarrollada, y así evaluar su desempeño, se utilizaron dos
procedimientos diferentes. En primer lugar, se corrió el programa con
datos obtenidos de las fuentes bibliográficas consultadas, empleando
datos reales de producción o datos de casos sintéticos construidos por los
autores. Los resultados obtenidos se cotejaron con los de las
publicaciones, con el fin de verificar si los valores de gas original en
sitio arrojados por el programa corresponden a los propuestos en la
bibliografía. Se analizó, además, si los intervalos de confianza
construidos, se ajustan a los encontrados en las publicaciones
consultadas. De la misma manera, para evaluar el módulo generador de
datos PVT, se generaron datos del factor de compresibilidad del gas z ,
en yacimientos de gravedad específica conocida y con datos de
producción disponibles, para comparar los resultados obtenidos con
aquéllos publicados.
En segundo lugar, se construyeron dieciséis casos sintéticos de
yacimientos de gas seco volumétricos y sobrepresurizados en el
98
simulador Eclipse 100. Los parámetros empleados en la simulación se
detallan en el Apéndice B. Los datos PVT de entrada para cada uno de
los casos se generaron en el programa desarrollado. Se verificó si el
valor de gas original en sitio calculado en el proceso de simulación se
encontraba dentro del intervalo de confianza proporcionado por el
programa codificado.
Los resultados obtenidos usando el programa, para yacimientos
sometidos a empuje hidráulico sólo se cotejaron con los datos
encontrados en la bibliografía, debido a que los datos de entrada del
simulador empleado no se corresponden con los datos de entrada del
programa necesarios para realizar los cálculos.
99
CAPÍTULO IV
ANÁLISIS DE RESULTADOS
En este capítulo se describen los módulos y rutinas que contempla la
herramienta computacional desarrollada, denominada DryGasMB, así
como los resultados obtenidos mediante la corrida del programa.
4.1 Programa DryGasBM
El programa DryGasMB es una herramienta computacional para el
cálculo de Balance de Materiales en yacimientos de gas seco, codificada
en el lenguaje C#. Permite obtener las reservas originales en sitio a
partir de tres entradas específicas de datos, mediante las cuales se
elaboran gráficos dinámicos de las diferentes técnicas propuestas,
estudiadas en el Capítulo I. Al realizar un estudio estadístico de los
resultados obtenidos, y elaborar regresiones lineales de las curvas
generadas, es posible proporcionar un rango de posibles soluciones de
gas original en sitio y no un valor puntual. De la misma forma, el
programa contempla la generación de datos PVT, cuando éstos no se
encuentran disponibles y el cálculo del factor de recobro para una
presión dada.
A continuación se describen cada uno de los módulos que incluye el
programa desarrollado:
4.1.1 Entrada al programa
Para cargar un caso en el programa DryGasBM, el usuario tiene
disponible una barra de herramientas, en la que el ícono Archivo permite
100
crear un proyecto nuevo y salir del programa. La ventana
correspondiente a la entrada al programa se muestra en la Figura 4.1
Figura 4.1 Entrada al programa
4.1.2 Módulo de Yacimiento
El primer módulo del programa contempla la entrada de datos del
yacimiento y del acuífero.
Yacimiento
Una vez escogida la opción de crear un nuevo proyecto, se despliega la
ventana que se muestra en la Figura 4.2. El usuario, como primer paso,
debe seleccionar el tipo de yacimiento de gas seco sometido a estudio.
Se incluyen en esta etapa dos clasificaciones principales de yacimientos,
volumétricos y no volumétricos , éste último incluye a su vez tres
subclasificaciones, yacimiento con empuje por agua , yacimiento
sobrepresurizado y combinación de mecanismos de empuje.
101
Figura 4.2 . Determinación de t ipo de yacimiento
Para yacimientos volumétricos y sobrepresurizados, el usuario deberá
ingresar sólo parámetros correspondientes al yacimiento. La Figura 4.3
muestra la entrada de datos de yacimiento requeridos en la primera etapa
del programa para este tipo de yacimientos.
Figura 4.3 Datos de yacimiento
102
Modelo de acuífero
Si se seleccionan, dentro del los yacimientos no volumétricos, las
opciones de yacimiento sometido a empuje por agua o yacimientos que
producen por una combinación de mecanismos de empuje , es necesario
establecer algunos parámetros específicos del acuífero. Estos parámetros
se muestran en la Figura 4.4.
Se incluyen en el programa cuatro modelos de acuíferos, acuífero
pequeño , modelo de Shilthuis , modelo de VanEverdingen y Hurst y
modelo de Fetkovich.
En los modelos de VanEverdingen y Hurst y Fetkovich se distinguen dos
geometrías de acuífero, geometría radial y geometría lineal . Para
acuíferos tipo Fetkovich se diferencian, además, dos regímenes de flujo,
flujo estable y flujo pseudoestable .
Es importante señalar que, de acuerdo a las rutinas de cálculo empleadas,
que se muestran en el Apéndice A, no es necesario introducir datos del
acuífero en los modelos de acuífero pequeño, Shilthuis y VanEverdingen
de geometría lineal.
Siguiente
Una vez introducidos todos los datos correspondientes al yacimiento y al
acuífero, se presiona el botón Siguiente . Este evento dentro del programa
tiene asociado dos acciones. En primer lugar, se verifica si los datos
ingresados son correctos. Si se considera que alguno de los parámetros
establecidos es incorrecto, por ejemplo alguna letra, se muestra al
usuario un mensaje de error. El mensaje se ilustra en la Figura 4.5
103
Figura 4.4. Datos de yacimiento y acuífero
Figura 4.5. Error en los datos de entrada de yacimiento
104
Una vez corregidos todos los datos, la segunda acción corresponde a
mostrar al usuario la ventana correspondiente al Módulo de Producción,
que se muestra en la Figura 4.6.
Figura 4.6. Ventana inicial de Módulo de Producción.
4.1.3 Módulo de Producción
Dentro de esta etapa del programa se definen, en primer término las
unidades de los datos que serán introducidos. Luego se ingresan los
datos correspondientes a la producción.
Unidades de Trabajo
El usuario deberá establecer las unidades correspondientes a los datos de
presión , datos de producción de gas y producción de agua , así como las
105
unidades del factor volumétrico del gas . Las opciones disponibles se
muestran en la Figura 4.6.
Al presionar el botón Introducir datos , si no se establecen todas o alguna
de las unidades mencionadas, se muestra un mensaje de error al usuario,
que se ilustra en la Figura 4.7. Si se definieron los parámetros
requeridos, es posible ingresar los datos correspondientes a la
producción.
Figura 4.7 . Mensaje de error al no definir unidades de trabajo
Datos de Producción
Dentro de los métodos para resolver la EBM que se implementaron en el
programa, y que se enumeraran en próximas secciones, se incluye el
Método Fluyente, que requiere datos de presión de fondo fluyente para
realizar los cálculos pertinentes. Como consecuencia, antes de ingresar
106
los datos de producción, es necesario que el usuario seleccione el tipo de
datos de presión que introducirá al programa.
Luego, el usuario deberá establecer el número de datos de producción de
que dispone. A partir de este número n de datos, se despliega una tabla
de n filas, que consta de las siguientes columnas: Tiempo(días) ,
Presión , Producción acumulada de Gas y Producción acumulada de
Agua . La Figura 4.8 muestra la tabla desplegada en el módulo de
producción.
Figura 4.8 . Entrada de Datos de Producción.
El programa contempla dos tipos de entrada de datos. En primera
instancia el usuario puede introducir los datos usando el teclado. De la
misma forma, puede copiar los datos desde un archivo, cuando se
encuentran agrupados en forma de tabla y en el orden establecido, y
pegarlos en la tabla desplegada en la ventana del programa.
107
Cargar Datos
Una vez introducidos todos los datos de producción, se presiona el botón
Cargar Datos . Este evento dentro del programa, como el botón Siguiente
del módulo de yacimiento, tiene asociado dos acciones. En primer lugar
se realiza una verificación de los datos ingresados. Se mostrará un
mensaje de error si se considera alguno de los datos incorrectos, como el
que se ilustra en la Figura 4.9.
Figura 4.9. Error en los datos de entrada de producción
Es importante señalar en este punto que, aunque las columnas
correspondientes a las fechas de producción y la producción de agua
siempre se encuentran desplegadas, sólo es necesario que el usuario
ingrese valores de estas variables al trabajar con yacimientos que se
encuentren sometidos a empuje por agua, con acuíferos dependientes del
tiempo como Van Everdingen y Hurts, Fetkovich y Schiltuis.
108
Una vez corregidos todos los datos, la segunda acción corresponde a
habilitar el botón Siguiente . Al oprimir este botón, se muestra al usuario
la ventana correspondiente al Módulo de PVT, que se i lustra en la Figura
4.10.
Figura 4.10. Ventana inicial de Módulo de PVT
4.1.4 Módulo de PVT
Constituye la tercera y última entrada de datos al programa. El usuario
establecerá en esta etapa datos PVT del gas, y para yacimientos
sometidos a empuje por agua, o que se encuentran produciendo por una
combinación de mecanismos de empuje, datos PVT del agua producida.
Datos del gas
Se contemplan en el programa dos alternativas para introducir los datos
PVT del gas. Cuando el usuario no dispone de una historia de
propiedades PVT en función de la presión, se pueden generar estos datos,
al seleccionar la opción Generar Datos PVT por Correlaciones ,
109
especificando la gravedad específica del gas, como se muestra en la
Figura 4.11.
Figura 4.11 Generar Datos PVT por Correlaciones
Se realiza en primer lugar el cálculo de las propiedades pseudocríticas
del gas, a partir de la Correlación de Sutton o la Correlación de Brown,
Katz, Oberfell y Alden. Luego, el factor de compresibilidad del gas se
calcula con las propiedades pseudocríticas obtenidas, empleando
cualquiera de los métodos siguientes: Método de Sarem , Método de Hall
y Yarborough , Método de Brill y Beggs , Método de Dranchuk, Purvis y
Robinson y Método de Dranchuk y Abou-Kassem . Los fundamentos
teóricos y principales ecuaciones util izadas en las correlaciones y
métodos usados en el Módulo PVT, se detallan en el Apéndice C.
110
Si el usuario dispone de datos PVT del gas, al seleccionar la opción
Datos PVT por Tabla , puede ingresar estos datos al programa. Es
posible, dentro de esta opción, introducir datos PVT correspondientes a
las presiones del Módulo de Producción o una nueva lista de presión con
datos PVT. De la misma forma que en el primer módulo del programa, el
usuario puede introducir los datos requeridos por el teclado o copiarlos
de un archivo existente y pegarlos en la tabla que se despliega en la
ventana del programa, que se muestra en la Figura 4.12.
Figura 4.12. Datos PVT por Tabla
El botón Cargar , que aparece en la ventana del programa únicamente al
seleccionar la segunda opción de entrada de datos, tiene asociada la
misma rutina de verificación de datos que el botón Cargar ubicado en el
Módulo de Producción. El botón Siguiente sólo podrá presionarse cuando
todos los datos introducidos no contengan errores.
Datos del Agua
Cuando el yacimiento objeto de estudio está sometido a un empuje
hidráulico o produce por una combinación de mecanismos de empuje, es
111
necesario ingresar, además, el valor o valores del factor volumétrico de
formación del agua producida. Para esto, en la ventana del Módulo PVT
se incluye una sección correspondiente al agua de formación, que se
ilustra en la Figura 4.13.
Figura 4.13. Datos PVT del Agua de formación
Si el usuario dispone de una lista de factores volumétricos de formación,
mediante la opción Tabla de valores de Bw , se despliega en la tabla de
datos una columna correspondiente a este parámetro, lo que se ilustra en
la Figura 4.14.
112
Figura 4.14. Tabla de valores de Bw
De la misma forma, cuando el yacimiento sometido a estudio produce por
un mecanismo de expansión de la roca y fluido, es decir, presenta
sobrepresión, se despliega una columna correspondiente a datos de
compresibilidad efectiva de formación.
Siguiente
Una vez introducidos, y verificados según el caso, todos los datos PVT,
al oprimir el botón Siguiente , se muestra al usuario la ventana del
programa correspondiente al Módulo de Solución, que se ilustra en la
Figura 4.15.
113
Figura 4.15 Ventana inicial de Módulo Solución
4.1.5 Solución
El Moduló Solución del programa contempla la selección del método de
resolución de la EBM para obtener el gas original en sitio, así como
presentar al usuario el gráfico generado según la técnica elegida,
especificando la regresión obtenida y los datos utilizados para construir
la curva.
Método a utilizar
Cuando se han introducidos todos los datos necesarios en las tres
instancias de entrada de datos, se presentan al usuario las opciones
disponibles, de acuerdo al tipo de yacimiento seleccionado, para el
cálculo de Balance de Materiales. Se incluyen en esta etapa los métodos
114
de p/z vs. Gp , Havlena y Odeh , Método Fluyente , Método de Roach y
Gráfico de Acuífero Pot .
Una vez seleccionado el método se presenta al usuario el gráfico
generado, así como la regresión lineal obtenida, el rango de valores
posibles de GOES y los datos utilizados para la construir la curva. Estos
resultados se muestran en la Figura 4.16.
Figura 4.16 . Presentación del gráfico generado
Al seleccionar el método p/z vs. Gp, se despliega la opción de calcular el
factor de recobro a una presión de abandono dada.
Es importante señalar que cada uno de los gráficos generados en
DryGasMB puede ser copiado por el usuario para pegarlo en cualquiera
otro programa.
115
Siguiente
Luego de mostrar al usuario los resultados obtenidos, al presionar el
botón Siguiente se muestra al usuario la ventana correspondiente al
Módulo de Índices de Producción, que se ilustra en la Figura 4.17.
Figura 4.17 Ventana del Módulo de Índices de Producción
4.1.6 Índices de Producción
En este módulo se muestran al usuario los índices de producción
correspondientes a la Expansión del Gas , Expansión de la roca y fluido y
Empuje por agua para cada valor de presión de la columna de presión del
Módulo de Producción en una tabla y en un gráfico de barras.
Cuando existe más de un mecanismo de empuje actuando en la
producción de gas a una misma presión, se agrupan los mecanismos en
una barra, especificando cada uno con un color determinado,
116
referenciado en la leyenda del gráfico. Este tipo de gráfico se muestra
en la Figura 4.18.
Figura 4.18 Varios mecanismos de empuje actuando sobre la producción
de gas
Siguiente
Al presionar el botón Siguiente se muestra al usuario la ventana del
programa correspondiente al Módulo de Verificación de Mecanismos de
Empuje, que se ilustra en la Figura 4.19.
4.1.7 Mecanismos de Empuje
En esta etapa del programa se construye, en primera instancia, el Gráfico
de Cole, para distinguir yacimientos volumétricos de aquellos que
producen por empuje por agua o que pueden presentar sobrepresión. De
acuerdo a la línea de tendencia que presente la curva obtenida, se
específica el mecanismo de empuje que caracteriza al yacimiento.
117
Figura 4.19 Ventana de Mecanismos de Empuje
Si se obtiene una curva de tendencia negativa, se construye el Gráfico de
Cole modificado, para diferenciar yacimientos con presencia de acuífero
de aquellos con sobrepresión.
4.1.8 Reporte de Resultados
Representa el evento final asociado a la corrida de un caso en el
programa. Luego de definir el tipo de yacimiento sujeto a estudio y
realizados todos los cálculos requeridos, se muestra al usuario un reporte
que sintetiza toda la información, de entrada y salida, que dispone el
programa.
118
El reporte está divido en secciones, correspondientes a los módulos de
entrada y salida de datos de DryGasMB. En primer lugar se establece el
tipo de yacimiento con que se trabajó, si existe influjo de agua, se
específica el modelo empleado para caracterizarlo. Se describe luego, el
t ipo de datos de presión que se utilizaron para realizar todos los
cálculos. Del módulo PVT, se detalla la Correlación y Método empleado
para la generación de PVT, o se establece que el usuario introdujo los
datos. Por último, se enumeran los métodos disponibles para calcular el
gas en sitio de acuerdo al tipo de yacimiento, especificando el ajuste de
la recta obtenida, el coeficiente de correlación, el GOES calculado y el
intervalo de confianza para este valor. La Figura 4.20, muestra un
ejemplo de un reporte de resultados.
Figura 4.20. Reporte de resultados
119
4.2 Resultados obtenidos con DryGasMB y Validación del
programa
A continuación se presentan los resultados obtenidos al correr el
programa DryGasMB, así como la verificación de los valores arrojados
comparados con datos de gas original en sitio, encontrados en la
bibliografía consultada o en casos sintéticos creados. Se detallan los
datos de entrada empleados, así como los valores de los parámetros
calculados y gráficos construidos de seis casos usados como ejemplos.
Los resultados para los casos restantes se exponen en forma de tabla.
4.2.1 Ejemplos de Yacimientos volumétricos
Dentro de los casos que se estudiarán detalladamente correspondientes a
este tipo de yacimiento, se encuentra un yacimiento teórico, publicado en
una fuente bibliográfica consultada, y un yacimiento caracterizado
haciendo uso de un simulador comercial. Con los datos sintéticos
proporcionados por el proceso de simulación, se verificaron los métodos
que emplean presiones estáticas de yacimiento y usando datos de
presiones de fondo fluyente, se evaluaron los resultados de Método
Fluyente.
Caso 1
Empleando datos de yacimiento y producción proporcionados por
Rojas[ 2 4 ], se corrió el programa. Las tablas 4.1, 4.2 y 4.3 corresponden a
los datos de entrada de los módulos de yacimiento, producción y PVT
respectivamente.
120
Tabla 4.1. Datos de Entrada Módulo de Yacimiento caso 1
Datos de entrada
Pi (lpc) 1798
T (°F) 164
Swi (fracción) 0,52
Cf (10-6 lpc- 1) 4
Cw (10- 6 lpc-1) 3
Tabla 4.2 . Datos de Entrada Módulo de Producción caso 1
P (lpc) Gp (MMPCN)
1798,00 0,00
1680,00 960,00
1540,00 2120,00
1428,00 3210,00
Tabla 4.3 . Datos de Entrada Módulo PVT caso 1
P (lpc) Z
1798,00 0,869
1680,00 0,871
1540,00 0,876
1428,00 0,890
Se dispone de las técnicas de p/z vs. Gp y Havlena y Odeh para realizar
los cálculos. Mediante el método p/z vs. Gp se obtiene el gráfico que se
muestra en la figura 4. 22.
121
Figura 4.22. Método p/z vs. Gp caso 1
Las características de la curva ajustada se resumen en la tabla 4.4.
Tabla 4.4 . Característ icas de la recta método p/z caso 1
Ajuste de la curva p/z= 2068,3 – 1,452437E-001Gp
Coeficiente de Correlación 1,0000
GOES 14240 MMPCN
Intervalo de Confianza [14015 , 14472] MMPCN
El gráfico construido con el Método de Havlena y Odeh se muestra en la
Figura 4.23.
122
Figura 4.23. Método Havlena y Odeh caso 1
Las características de la curva ajustada con este método se resumen en la
tabla 4.5.
Tabla 4.5 . Característ icas de la recta método Havlena y Odeh caso 1
Ajuste de la curva F = 0,0 + 14243,6725 Eg
Coeficiente de Correlación 1,0000
GOES 14244 MMPCN
Intervalo de Confianza [14066 , 14422] MMPCN
El yacimiento estudiado, según el autor, presenta un GOES de 14.2
MMMPCN. Al realizar un análisis comparativo de los resultados
obtenidos, se verifica que existe un error del 0,31% para el método p/z y
123
0,28% para el método de Havlena y Odeh, respecto al valor considerado
cierto, propuesto por el autor.
De la misma manera, al comparar los resultados de ambos métodos se
observa que difieren en 0,03%, por lo que ambos métodos para este
yacimiento se considera arrojan valores precisos de gas original en sitio.
Por otra parte, cabe destacar, que el método p/z presenta un mayor rango
de valores posibles de reservas, siendo 1,28 veces más grande que el
intervalo de confianza del método de Havlena y Odeh.
Mediante el gráfico de los índices de los mecanismos de producción, que
se muestra en la Figura 4.24 se comprobó que el yacimiento produce por
agotamiento. El Gráfico de Cole, ilustrado en la Figura 4.25 también
verifica que se estudia un yacimiento volumétrico.
Figura 4.24. Índices de producción caso 1
124
Figura 4.25. Gráfico de Cole caso 1
Con el fin de evaluar el funcionamiento del módulo generador de PVT
del programa, y a partir del valor de gravedad específica del gas, se
generaron tablas de datos de los parámetros de factor de compresibilidad
del gas y factor volumétrico del gas, para las correlaciones incluidas en
el código.
Se encontró que empleando la Correlación de Sutton, la mayor diferencia
promedio entre los puntos generados y el PVT proporcionado por el
autor, la presenta el Método de Sarem con un valor de 2,72% y la menor
diferencia se obtiene con el Método de Dranchuk, Purvis y Robinson,
con un valor de 1,14%. Al realizar los cálculos de Balance de Materiales
con estos datos, se obtienen valores puntuales de gas original en sitio
mayores que los considerados reales, en 2,87% y 2,42% respectivamente.
Sin embargo los resultados conseguidos no se encuentran dentro de los
intervalos de confianza construidos a partir de los datos de PVT
originales.
125
Al utilizar la Correlación de Brown , Katz, y Orbefell y Alden para
generar los datos PVT las diferencias porcentuales promedio fueron
menores que las encontradas con la Correlación de Sutton. La mayor
diferencia, con un valor de 1,76%, se obtiene al emplear el Método de
Sarem; mientras que la menor diferencia se obtiene con el Método de
Brill y Beggs, que presenta un valor de 1,14%. Estos datos PVT
generados arrojan, de igual forma, valores mayores de gas original en
sitio, en 2,11% y 1,9% respectivamente.
Caso 2
El segundo yacimiento de estudio corresponde a un yacimiento
volumétrico creado a partir de un caso sintético, caso 1.3 del Apéndice
B. Se establecieron las condiciones iniciales de presión y saturación en
el yacimiento, y la temperatura se determinó de acuerdo a la temperatura
empleada para generar los datos de PVT sintéticos cargados al
simulador, que se generaron utilizando la Correlación de Sutton y el
Método de Brill y Beggs para un gas de gravedad específica 0,58 a
temperatura de 188°F. Los datos de entrada del programa
correspondientes al módulo de yacimiento, se muestran en la tabla 4.6.
Para los datos de producción se emplearon 100 puntos de producción a
tasa constante de 1000 MPCN/d medidos cada quince días.
Tabla 4.6. Datos de Entrada Módulo de Yacimiento caso 1
Datos de entrada
Pi (lpc) 3000
T (°F) 188
Swi (fracción) 0,2
Cf (10-6 lpc- 1) 4
Cw (10- 6 lpc-1) 3,5
126
Se emplearon las técnicas de p/z vs. Gp y Havlena y Odeh para calcular
en gas original en sitio. Al seleccionar la primera de estas técnicas para
realizar el cálculo de Balance de Materiales, se obtiene una curva
caracterizada por los parámetros que se enumeran en la tabla 4.7. El
gráfico de esta curva, se ilustra en la Figura 4.26.
Tabla 4.7 . Característ icas de la recta método p/z caso 2
Ajuste de la curva p/z = 3304,8 – 1,332087E-001Gp
Coeficiente de Correlación 1,0000
GOES 24809 MMPCN
Intervalo de Confianza [24784 , 24834] MMPCN
Figura 4.26. Método p/z vs. Gp caso 2
127
La tabla 4.8 muestra las principales características del ajuste de la curva
del método de Havlena y Odeh, que se muestra en la Figura 4.27.
Tabla 4.8 . Característ icas de la recta método Havlena y Odeh caso 2
Ajuste de la curva F = 0,0 + 24812,1906 Eg
Coeficiente de Correlación 1,0000
GOES 24812 MMPCS
Intervalo de Confianza [24789 , 24835] MMPCN
Figura 4.27. Método de Havlena y Odeh caso 2
El simulador arrojó un volumen de gas inicial en sitio de 24641,65
MMPCN. Al comparar los resultados conseguidos por ambas fuentes, el
128
programa y el simulador, se verifica que el volumen de gas en sitio al
realizar el BM es mayor en 0,69% que el valor obtenido en el proceso de
simulación, considerado como el valor real. Se observa que el valor del
GOES encontrado mediante la recta del método p/z, como valor puntual,
presenta una menor diferencia con el valor proporcionado por el
simulador comercial.
Aunque el GOES aportado por Eclipse 100 no se encuentra en los
intervalos de confianza construidos, el pequeño porcentaje de diferencia
que se observa con los resultados del programa, producto principalmente
de la diferencia en las consideraciones y rutinas empleadas para el
cálculo, permite inferir que se realizó un buen estimado de las reservas
iniciales en sitio.
Al emplear las demás correlaciones disponibles, se obtienen valores de
gas inicial en sitio aún mayores, consiguiendo un valor extremo de
26009 MMPCN, que es 5.26% mayor que el valor de obtenido de la
simulación, con el Método de Dranchuk, Purvis y Robinson.
Se comprobó, mediante la construcción del Gráfico de los índices de
producción y Gráfico de Cole, que el yacimiento produce por
agotamiento, que se muestran en la Figura 4.28 y 4.29 respectivamente.
129
Figura 4.28. Índices de producción caso 2
Figura 4.29. Gráfico de Cole caso 2
130
Caso 3
De acuerdo a las limitaciones que presenta el Método Fluyente para ser
aplicado, ya que requiere que el yacimiento produzca a una tasa
aproximadamente constante, se estableció en Modelo 1, de los dos
diseñados para validar el programa, descritos en el Apéndice B, una
condición de tasa fija de pozo de 1000 MPC/d. Utilizando los mismos
datos de producción y PVT del Caso 2 , y empleando valores de presión
de fondo fluyente, se realizó el calculo de Balance de Materiales usando
este método.
Todos los datos de entrada del módulo de yacimiento corresponden de la
misma forma a los datos empleados en el Caso 2 .
Los resultados obtenidos se resumen en la tabla 4.9 y se corresponden
con los datos de la curva que se muestra en la Figura 4.30.
Tabla 4.9 . Característ icas de la recta obtenida método Fluyente caso 3
Ajuste de la curva p/z = 3000 – 1,332225E-001Gp
Coeficiente de Correlación 1,0000
GOES 22519 MMPCS
Intervalo de Confianza [22494 , 22543] MMPCN
131
Figura 4.30. Método Fluyente caso 3
El valor de reservas en sitio aportado por el simulador es de 24641,65
MMPCN. DryGasMB proporciona el valor de 22519 MMPCN con la
correlación de Sutton, Método de Brill y Beggs, empleado en la
simulación. Con esto, el GOES obtenido del programa es 8,61% menor
que el aportado por el simulador.
Es posible que esta diferencia se deba a que no se había alcanzado al
principio de la simulación, el estado de flujo pseudo-estable, necesario
para garantizar que la presión en todos los puntos del yacimiento decline
a la misma tasa, una de las consideraciones en las que se basa el método.
Al emplear las demás correlaciones disponibles, el valor extremo más
cercano al GOES obtenido del simulador es de 23849 MMPCN, 3,87%
menor que el valor considerado cierto.
132
4.2.3 Ejemplos de Yacimientos sobrepresurizados
Se contempla en esta sección el estudio de dos yacimientos
sobrepresurizados. El primero fue obtenido de una publicación
consultada y el segundo fue caracterizado mediante un simulador
comercial.
Caso 4
Empleando datos de yacimiento y producción proporcionados por
Rojas[ 2 4 ], correspondientes a un yacimiento de gas costa afuera
localizado en Louisiana, U.S.A, se corrió el programa. Las tablas 4.10,
4.11 y 4.12 corresponden a los datos de entrada de los módulos de
yacimiento, producción y PVT respectivamente.
Tabla 4.10. Datos de Entrada Módulo de Yacimiento caso 4
Datos de entrada
Pi (lpc) 11444
T (°F) 263
Swi (fracción) 0,22
Cf (10-6 lpc- 1) 29
Cw (10- 6 lpc-1) 3
133
Tabla 4.11 . Datos de Entrada Módulo de Producción caso 4
P (lpc) Gp (MMPCN)
11444 0
10764 9,9
10131 28,6
9253 55,6
8574 77,7
7906 101,4
7380 120,4
6847 145
Tabla 4.12 . Datos de Entrada Módulo PVT caso 4
P (lpc) Z
11444 1,48705
10764 1,43672
10131 1,38992
9253 1,32527
8574 1,27566
7906 1,22744
7380 1,19008
6847 1,15299
De acuerdo a la verificación de la aplicabilidad del Método de Roach,
que se realiza antes de habili tar el método para realizar los cálculos, se
comprueba que no es aplicable en este yacimiento, ya que no se satisface
la condición de presentar un punto de corte con el eje de las ordenadas
menor que cero. Por lo tanto, los únicos métodos disponibles a emplear
son las gráficas de p/z vs. Gp y Havlena y Odeh.
134
Si se selecciona la primera técnica disponible, se obtiene como resultado
la curva que se muestra en la Figura 4.31, y cuyas características se
detallan en la tabla 4.13.
Figura 4.31. Método p/z vs. Gp caso 4
Tabla 4.13 . Característ icas de la recta método p/z caso 4
Ajuste de la curva p/z = 7523,1 – 1,886283E+001Gp
Coeficiente de Correlación 0,9958
GOES 399 MMPCS
Intervalo de Confianza [360 , 446] MMPCS
135
De acuerdo al Método de Havlena y Odeh, se obtiene la curva que se
ilustra en la Figura 4.32, caracterizada por los parámetros expuestos en
la tabla 4.14.
Figura 4.32. Método Havlena y Odeh caso 4
Tabla 4.14 . Característ icas de la recta método Havlena y Odeh caso 4
Ajuste de la curva F = 0,0 + 403,7316 Eg
Coeficiente de Correlación 0,9970
GOES 404 MMPCS
Intervalo de Confianza [372 , 435] MMPCN
136
El valor de gas original en sitio propuesto por el autor es 400 MMPCN.
En base a este valor, se puede afirmar que ambos métodos disponibles
proporcionan resultados precisos, ajustados al valor real del GOES. El
método p/z vs. Gp presenta sólo una diferencia del 0,25% respecto al
valor teórico; mientras que las reservas calculadas mediante el método
de Havlena y Odeh presenta 1% de diferencia por exceso.
El intervalo de confianza de la curva obtenida mediante el método p/z es
1,37 veces mayor que el correspondiente al método de Havlena y Odeh,
por lo que acepta un rango más amplio de valores posibles.
Al calcular las propiedades pseudocríticas, para determinar el factor de
compresibilidad del gas mediante las correlaciones incluidas en el
programa, se verifica que para la correlación de Sutton, los métodos de
Sarem y Brill y Beggs no son aplicables. Estos métodos, de igual
manera, no están disponibles para la correlación de Brown, Katz,
Oberfell y Alden.
Con el Método de Hall y Yarborough, empleando la correlación de
Brown, Katz, Oberfell y Alden, se obtienen los datos PVT que emplea el
autor, por lo que se infiere se empleó esta técnica para generarlos a
partir de la gravedad específica del gas, que es un parámetro conocido.
Al evaluar los mecanismos de empuje que actúan sobre el yacimiento, en
la gráfica de los índices de producción, Figura 4.33, se verifica que
existe una importante contribución al mantenimiento de la presión, por
parte de la expansión de la roca y fluidos, con lo que se comprueba que
el yacimiento es sobrepresurizado. Sin embargo, el Gráfico de Cole,
mostrado en la Figura 4.34 no logra caracterizar el comportamiento del
yacimiento, ya que se obtiene una pendiente positiva, tendencia típica de
un yacimiento sometido a empuje por agua. En base a esto se afirma que
el Gráfico de Cole presenta una alta sensibilidad a los datos de entrada
que pueden traducirse en curvas erradas.
137
Figura 4.33. Índices de producción caso 4
Figura 4.34. Gráfico de Cole caso 4
138
Caso 5
El yacimiento sometido a estudio corresponde a un yacimiento
sobrepresurizado creado a partir de un caso sintético, caso 2.10 del
Apéndice B. Los datos de entrada al módulo de yacimiento se muestran
en la tabla 4.15.
Tabla 4.15. Datos de Entrada Módulo de Yacimiento caso 5
Datos de entrada
Pi (lpc) 5000 T (°F) 231
Swi (fracción) 0,2 Cf (10-6 lpc- 1) 30 Cw (10- 6 lpc-1) 3,5
Para los datos de producción se emplearon 52 puntos de producción con
un control de producción de presión de fondo fluyente objetivo de 500
lpc. Los datos PVT se generaron mediante la Correlación Brown, Katz,
Oberfell y Alden empleando el Método de Dranchuk, Purvis y Robinson
para un gas de gravedad específica 0,6 que se encuentra a una
temperatura de yacimiento de 231°F.
Del proceso de simulación se obtuvo un valor de gas original en sitio de
572235,26 MMPCN. Al seleccionar el método p/z para resolver la EBM
se obtuvo la curva caracterizada por los parámetros que se enumeran en
la tabla 4.16. La curva muestra en la Figura 3.35.
Tabla 4.16 . Característ icas de la recta método p/z caso 4
Ajuste de la curva 4772,4 – 8,304503E-003Gp
Coeficiente de Correlación R2 = 0,9996
GOES 574676 MMPCS
Intervalo de Confianza [569206 , 580235] MMPCS
139
Figura 4.35. Método p/z vs. Gp caso 5
La curva generada por el método de Havlena y Odeh se describe en la
tabla 4.17. La Figura 4.36 muestra la curva ajustada.
Tabla 4.17 . Característ icas de la recta método Havlena y Odeh caso 5
Ajuste de la curva F = -9,7 + 575967,4136 Eg
Coeficiente de Correlación R2=0,9998
GOES 575967 MMPCS
Intervalo de Confianza [572948 , 578987] MMPCN
140
Figura 4.36. Método Havlena y Odeh caso 5
Los resultados arrojados por el programa presentan una diferencia
porcentual de 0,425% para el método p/z vs. Gp y 0,651% para el método
de Havlena y Odeh respecto a los resultados obtenidos del proceso de
simulación. En base a esto, se considera que el programa es un buen
estimador de las reservas originales en sitio.
De la misma forma, se verifica que el resultado proporcionado por el
simulador se encuentra en el intervalo de confianza de los valores
posibles de gas original en sitio para el método p/z vs. Gp. Lo anterior se
debe, a que el rango de valores posibles que presenta este método es 1,82
veces más grande que el intervalo de confianza del método de Havlena y
Odeh.
141
Al realizar el proceso de verificación para la aplicación del método de
Roach en este yacimiento, se comprobó la recta ajustada que no cumplía
con la condición de presentar un término independiente menor que cero,
por lo que se deshabilitó la opción.
4.2.3 Ejemplos de Yacimientos sometidos a empuje hidráulico
El yacimiento sometido a estudio corresponde a un yacimiento asociado
a un Acuífero Pequeño o Tipo Pote independiente del tiempo.
Caso 6
Se obtuvieron los datos de entrada necesarios para realizar el cálculo de
Balance de Materiales de Rojas[ 2 4 ]. Las tablas 4.18, 4.19 y 4.20
corresponden a los datos de entrada de los módulos de yacimiento,
producción y PVT respectivamente.
Tabla 4.18. Datos de Entrada Módulo de Yacimiento caso 6
Datos de entrada
Pi (lpc) 6411
T (°F) 239
Swi (fracción) 0,15
Cf (10-6 lpc- 1) 6
Cw (10- 6 lpc-1) 3
142
Tabla 4.19 . Datos de Entrada Módulo de Producción caso 6
T (días) P (lpc) Gp (MMPCN) Wp (MBN)
0 6411 0 0
365 5947 5475 0,38
730 5509 10950 1,43
1095 5093 16425 3,06
1460 4697 21900 5,28
1825 4319 27375 8,18
2190 3957 32850 11,86
2555 3610 38325 16,43
2920 3276 43800 22,02
3285 2953 49275 28,86
Al construir el Gráfico del Acuífero Pote, según la fuente consultada, se
obtiene un valor de gas inicial en sitio de 101 MMMPCN. Dentro del
programa se encuentran disponibles las opciones del método de Havlena
y Odeh y el Gráfico del Acuífero Pote. Al seleccionar la primera de estas
dos opciones se obtiene la gráfica, que se muestra en la Figura 4.37.
Tabla 4.20 . Datos de Entrada Módulo PVT caso 6
P (lpc) Z Bg (bbl/PCN) Bw (bbl/BN)
6411 1,1192 0,0006279 1,04520
5947 1,0890 0,0006587 1,04670
5509 1,0618 0,0006933 1,04800
5093 1,0374 0,0007327 1,04930
4697 1,0156 0,0007778 1,05060
4319 0,9966 0,0008300 1,05170
3957 0,9801 0,0008910 1,05290
3610 0,9663 0,0009628 1,05400
3276 0,9551 0,0010487 1,05510
2953 0,9467 0,0011532 1,05600
143
Figura 4.37. Método Havlena y Odeh con acuífero Pote caso 6
La tabla 4.21 muestra las principales características de ajuste de la curva
generada.
Tabla 4.21 . Característ icas de la recta método Havlena y Odeh con datos del
acuífero pote caso 6
Ajuste de la curva F = -0,1 + 104879,6168 Eg
Coeficiente de Correlación R2=1,0000
GOES 104880 MMPCS
Intervalo de Confianza [104063 , 105696] MMPCN
144
El Gráfico del Acuífero Pote para este yacimiento, se muestra en la
Figura 4.38. Los parámetros característicos de la curva ajustada se
detallan den la tabla 4.22.
Figura 4.38. Gráfico del Acuífero Pote caso 6
Tabla 4.22 . Característ icas de la recta gráfico Acuífero Pote caso 6
Ajuste de la curva F/Eg = 101194,0 + 0,0011 (pi-p)/Eg
Coeficiente de Correlación R2=1,0000
GOES 101194 MMPCS
Intervalo de Confianza [100854 , 101534] MMPCN
145
Si se selecciona en el Módulo de Yacimiento el modelo de acuífero de
Schilthuis, se obtiene el gráfico que se ilustra en la Figura 4.39. Los
parámetros de la curva generada se enumeran en la tabla 4.23.
Figura 4.39. Método Havlena y Odeh con acuífero Schil this caso 6
Tabla 4.23 . Característ icas de la recta método Havlena y Odeh con datos del
acuífero Schil thuis caso 6
Ajuste de la curva F = -0,5 + 101509,5065 Eg
Coeficiente de Correlación R2=1,0000
GOES 101510 MMPCS
Intervalo de Confianza [101352 , 101667] MMPCN
146
De igual forma, si se selecciona en el Módulo de Yacimiento el modelo
de Van Everdingen y Hurts para geometrías lineales, se obtiene el
gráfico que se ilustra en la Figura 4.40. los parámetros de la curva
generada se enumeran en la tabla 4.24.
Figura 4.40 . Método Havlena y Odeh con acuífero Van Everdingen y Hurts
l ineal caso 6
Tabla 4.24. Característ icas de la recta método Havlena y Odeh con datos del
acuífero Van Everdingen y Hurts l ineal caso 6
Ajuste de la curva F = -0,1 + 89506,9880 Eg
Coeficiente de Correlación R2=1,0000
GOES 89507 MMPCS
Intervalo de Confianza [88914 , 90100] MMPCN
147
El gráfico del Acuífero Pote y el método Havlena y Odeh empleando el
modelo de Schilthuis proporcionan los resultados más cercanos a los
esperados, con diferencias porcentuales de 0,109% y 0,504%
respectivamente, de lo que se infiere que ambos modelos representan el
comportamiento del influjo que entra al yacimiento. Al emplear el
método de Havlena y Odeh con el modelo de influjo del Acuífero Pote,
se obtiene un GOES 3,84% superior al valor proporcionado en la
bibliografía. Con el modelo de Van Everdingen y Hurts lineal se obtiene
una subestimación de las reservas en sitio del 11,37%, por lo que se
considera que este modelo no refleja el comportamiento del acuífero
asociado a este yacimiento.
Para todos los modelos de acuíferos empleados, al calcular los índices de
los mecanismos de producción, se verifica que el yacimiento produce por
empuje hidráulico. En la Figura 4.41 se muestra el gráfico de barras
donde se representan los mecanismos de producción para el modelo de
acuífero Van Everdingen lineal.
Figura 4.41. Índices de producción caso 6
148
Sin embargo, al verificar los mecanismos de empuje empleando el
Gráfico de Cole, se obtiene una tendencia negativa, que se observa en la
Figura 4.42, propia de yacimientos con presencia de sobrepresión.
Figura 4.42 . Gráfico de Cole caso 6
4.2.4 Casos Generales
En esta sección se presentan en forma resumida los resultados obtenidos
con los casos restantes de la simulación.
Las tablas 4.25 y 4.26 sintetizan los resultados obtenidos al emplear
datos de los casos sintéticos generados, especificados en el Apéndice B.
Además contemplan un análisis comparativo de los valores calculados,
expresado en términos de las diferencias porcentuales de los resultados
de cada método respecto al valor proporcionado por el proceso de
simulación, y las diferencias porcentuales entre los resultados arrojados
por el programa para cada técnica de resolución de la EBM
implementada.
Tabla 4.25. Resultado de casos generales comparado con resultados de la simulación para yacimientos
sobrepresurizados.
Resultado Simulador Resultado Programa Diferencia (%) Intervalo de Confianza Caso
Número GOES (MMPCN) Método GOES
(MMPCN) Con valor Teórico
Entre ellos
Límite inferior
Límite superior
p/z vs. Gp 394793 1,55 393923 395665 Caso 2.7 401011,03 H. y O. 394482 1,63 -0,08 394108 394856
Roach No disponible - - - p/z vs. Gp 393334 0,22 391489 395194
Caso 2.8 394215,55 H. y O. 394204 0,0029 0,22 393176 395232 Roach No disponible - - - p/z vs. Gp 694778 -3 685830 703927
Caso 2.9 674530,12 H. y O. 698512 -3,5553 0,53 692751 704273 Roach No disponible - - - p/z vs. Gp 24125 0,7 24109 24142
Caso 2.11 24296,15 H. y O. 24123 0,71 -0,01 24108 24139 Roach No disponible - - - p/z vs. Gp 72582 1,06 72476 72687
Caso 2.12 73362,8 H. y O. 72586 1,06 0,01 72482 72690 Roach 28 99,96 - - p/z vs. Gp 706525 2,37 704540 708519
Caso 1.3 723674,72 H. y O. 705564 2,5 -0,14 704097 707031 Roach No disponible - p/z vs. Gp 282842 0,58 280640 285069
Caso 1.4 284494,72 H. y O. 281031 1,22 -0,64 280277 281785 Roach No disponible - - -
150
Tabla 4.26 . Resultado de casos generales comparado con resultados de la simulación para yacimientos volumétricos.
Resultado Simulador Resultado programa Diferencia (%) Intervalo de Confianza
Caso Número GOES (MMPCN) Método
GOES (MMPCN)
Con valor Teórico
Entre ellos
Límite inferior
Límite superior
p/z vs. Gp 407364 -0,16 406109 408625 Caso 2.1 406696,94 H. y O. 406572 0,03 -0,195 405993 407150
p/z vs. Gp 299041 0,16 297720 300371 Caso 2.2 299513,24 H. y O. 298041 0,49 -0,336 297561 298522
p/z vs. Gp 883122 -0,64 865271 901635 Caso 2.3 877486,96 H. y O. 885795 -0,95 0,302 873540 898049
p/z vs. Gp 738615 2,03 733510 743782 Caso 2.4 753904,62 H. y O. 740848 1,73 0,301 737225 744471
p/z vs. Gp 812844 -0,24 806680 819091 Caso 2.5 810904,59 H. y O. 809980 0,11 -0,354 805236 814725
p/z vs. Gp 288439 -1,13 286277 290625 Caso 2.6 285219,754 H. y O. 286797 -0,55 -0,573 286078 287515
p/z vs. Gp 48212 -0,01 48141 48284 Caso 1.2 48205,74 H. y O. 48204 0,00 -0,017 48134 48274
Fluyente 48780 -1,19 1,18 48704 48855
Al examinar los resultados obtenidos, se verifica que para yacimientos
sobrepresurizados el método p/z vs. Gp ofrece resultados más cercanos al
valor proporcionado por el simulador empleado, en 5 de los 7 casos
estudiados, presentando una diferencia porcentual mínima de 0,58% con
respecto gas original en sitio considerado cierto. El método de Havlena y
Odeh presenta la mayor diferencia porcentual respecto al resultado del
simulador, con un valor de -3,53%, por lo que realiza una subestimación
de las reservas. Para este t ipo de yacimientos, en ninguno de los casos
estudiados, la diferencia entre los resultados arrojados por los métodos
disponibles en el programa, alcanza el 1%, por lo que se considera
realizan una precisa estimación del gas original en sitio.
El método de Roach sólo fue aplicable en uno de los casos estudiados,
arrojando un error del 99,96%, y presentando un comportamiento no
caracterizable mediante una línea recta. Por lo tanto, de acuerdo a los
parámetros de entrada requeridos por el programa, no posible evaluar su
desempeño como estimador de reservas,
En yacimientos volumétricos, las diferencias porcentuales encontradas
también son pequeñas en magnitud, con un valor mayor extremo de
2,73%. Para uno de los casos, se obtuvo un valor de gas original en sitio
igual al proporcionado por el simulador.
En todos casos estudiados el intervalo de confianza del método p/z
resultó ser mayor que el correspondiente al método de Havlena y Odeh.
Esto es consecuencia de la magnitud de las variables empleadas para la
construcción de la curva propuesta por estos autores.
Es importante destacar, también, que un pequeño cambio en las
propiedades PVT del gas, como en los casos en los que se emplean varias
correlaciones o se realiza alguna regresión del factor volumétrico del gas
en función de la presión, puede originar un cambio significativo del
valor final obtenido de gas original en sitio. Esto es consecuencia
especialmente de magnitud de variables como el factor volumétrico del
151
152
gas. En base a esto, se considera que los parámetros PVT representan
una fuente importante de incertidumbre, que debe ser evaluada al realizar
cálculos de Balance de Materiales.
153
CONCLUSIONES
En base a los resultados obtenidos mediante la realización del presente
Trabajo Especial de Grado, es posible concluir:
1. Se desarrolló la herramienta computacional DryGasMB para el
cálculo de Balance de Materiales en yacimientos de gas seco. El
programa agrupa y jerarquiza el modelo más apropiado para
resolver la EBM en este tipo de yacimientos en un caso de estudio
específico.
2. Los métodos de resolución de la EBM incluidos en el código del
programa, Método p/z vs. Gp, Método de Havlena y Odeh, Método
de Ramagost y Farshad, Método de Roach y Método Fluyente, así
como el Gráfico del Acuífero Pote, el Gráfico de Cole y el Gráfico
de Cole modificado, permiten abarcar todos los tipos de
yacimiento de gas seco.
3. Se validaron los resultados proporcionados por el programa
mediante datos obtenidos de un proceso de simulación de
yacimientos y datos de fuentes bibliográficas consultadas. Los
resultados arrojados por el programa presentan una diferencia
porcentual promedio de 1,25% respecto a los resultados
proporcionados por el simulador, con una valor extremo máximo
de 8,61% para el Método Fluyente. La comparación con los datos
obtenidos en fuentes bibliográficas muestra una diferencia
porcentual promedio de 0,52% respecto a los valores calculados
por el programa. Por lo tanto, el programa DryGasMB constituye
una herramienta precisa para la cuantificación de reservas de gas
originales en sitio, de acuerdo al proceso de validación y
evaluación llevado a cabo.
154
4. El Método de Roach no fue aplicable en 90% de los yacimientos
sobrepresurizados estudiados. Al emplearlo para realizar los
cálculos en un caso, se encontró un error del 99,96%. Por lo tanto,
no se puede evaluar esta técnica como mecanismo para cuantificar
las reservas de gas originales en sitio.
5. El Gráfico de Cole y el Gráfico de Cole modificado, presentan alta
sensibilidad a los datos de entrada, lo que puede dar origen a
curvas no representativas del comportamiento del yacimiento.
155
RECOMENDACIONES
1. Extender las rutinas implementadas en el programa para que sean
aplicables a otros tipos de yacimiento, empleando el lenguaje C#,
debido a la gran cantidad de componentes disponibles, útiles en
este tipo de herramientas computacionales.
2. Incluir el Acuífero de Hurts modificado para modelar el
comportamiento del influjo que entra al yacimiento, determinando
el parámetro a empleado en el modelo.
3. Se recomienda incluir en el programa un algoritmo iterativo que
no requiera el conocimiento previo de las características del
acuífero para calcular el influjo acumulado.
4. Ampliar el proceso de validación de los resultados obtenidos para
yacimientos sometidos a empuje hidráulico.
5. Se recomienda acoplar el programa desarrollado, como un módulo,
a una herramienta computacional de mayor alcance, destinada al
cálculo de Balance de Materiales para todos los tipos de
yacimientos, en la que exista la opción de guardar los cambios
realizados sobre un proyecto, para su posterior modificación o
estudio.
156
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161
APÉNDICE A
DRYGASMB
En el disco compacto anexo se encuentra una copia del archivo
ejecutable del programa desarrollado, así como el código del mismo.
162
APÉNDICE B
CASOS SINTÉTICOS GENERADOS
En esta sección se detallan los parámetros utilizados para crear los 16
casos sintéticos empleados para validar los resultados proporcionados
por la herramienta computacional desarrollada.
Se crearon dos modelos distintos de yacimientos, que se explican a
continuación:
B.1 Modelo 1
B.1.1 Características del Modelo
Corresponde este modelo a un yacimiento isotrópico en una malla
cartesiana con geometría block centered , que se encuentra saturado de
gas y agua, cuyas características son:
Tamaño del modelo . Se estableció dentro del menú de Case
Definition que el modelo tendría:
• 2 celdas en dirección X
• 2 celdas en dirección Y
• 1 celda en dirección Z
Parámetros de yacimiento . Dentro del la ventana desplegada con
el botón Grid , se señalaron los valores de:
1. Propiedades:
• Permeabilidad en dirección X (Kx): 300 mD
• Permeabilidad en dirección Y (Ky): 300 mD
• Permeabilidad en dirección Z (Kz):30 mD
163
• Porosidad: 0,25
2. Geometría:
• Tamaño de los bloques en dirección X: 2000 pies
• Tamaño de los bloques en dirección Y: 2000 pies
• Tamaño de los bloques en dirección Z: 100 pies
• Profundidad de los topes: Se varió esta propiedad para
caracterizar diferentes yacimientos.
Propiedades de la roca y fluidos. En el menú PVT se
establecieron los términos:
1. Propiedades del agua:
• Presión de Referencia: 14,65 lpc
• Factor volumétrico del agua a la presión de referencia: 1
bbl/BN
• Compresibilidad del agua: 16105,3 −−⋅ lpc
• Viscosidad del agua: cp2,0
2. Gravedades específicas del gas a condiciones de superficie:
• Gravedad del petróleo: 45,5
• Gravedad del agua: 1
• Gravedad del gas: Este valor se varía de acuerdo con el PVT
empleado.
3. Propiedades del gas seco: Estos parámetros se variaron
empleando datos PVT generados por el Módulo PVT del programa
DryGasMB.
4. Propiedades de la roca:
• Profundidad de referencia: se varió este parámetro según el
caso generado.
164
• Compresibilidad de la roca: se varió este parámetro según el
caso generado.
Saturación de fluidos. En el menú Scal se definieron:
1. Funciones de saturación del gas y del agua: Estas funciones se
muestran en las tablas B.1 y B.2 respectivamente.
Tabla B.1 . Función de saturación del gas
Sg (fracción) Krg
0.382 0
0.8 0.934
1.0 1
Tabla B.2 . Función de saturación del agua
Sw (fracción) Krw
0.2 0
0.618 0.263
1.0 0.506
2. Datos de Equilibrio:
• Presión a Profundidad del datum: Este término se varió para
los diferentes casos, y se empleó en el programa como
Presión inicial.
Esquema de producción . En Schedule se especificó que se
producía por un pozo de gas, cuyo mecanismo de control de
producción era una tasa constante de gas de 1000 MPCN/d.
165
B.1.2 Casos Generados con el Modelo 1
Las tablas B.3, B.4, B.5 y B.6 describen los parámetros empleados en los
casos generados a partir de las especificaciones del modelo de
yacimiento 1.
El valor de temperatura que se muestra en las tablas de los casos
generados de los Modelos 1 y 2, se refiere a la temperatura utilizada
para generar los valores de los datos PVT ingresados en la sección de
propiedades de gas seco.
Tabla B.3. Parámetros de la Simulación caso 1.1
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 9500
gγ 0,58
T (°F) 188
Cf (10-6 lpc- 1) 4,00
Cw (10- 6 lpc-1) 3,50
Presión @ Prof. del datum (lpc) 5000
Tabla B.4. Parámetros de la Simulación caso 1.2
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 7500
gγ 0,7
T (°F) 206
Cf (10-6 lpc- 1) 4,00
Cw (10- 6 lpc-1) 3,50
Presión @ Prof. del datum (lpc) 3000
166
Tabla B.5. Parámetros de la Simulación caso 1.3
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 7500
gγ 0,58
T (°F) 188
Cf (10-6 lpc- 1) 18
Cw (10- 6 lpc-1) 3,50
Presión @ Prof. del datum (lpc) 3000
Tabla B.6. Parámetros de la Simulación caso 1.4
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 13500
gγ 0,58
T (°F) 231
Cf (10-6 lpc- 1) 28
Cw (10- 6 lpc-1) 3,50
Presión @ Prof. del datum (lpc) 9000
B.2 Modelo 2
B.2.1 Características del Modelo
Corresponde a un modelo más complejo de yacimiento, igualmente
isotrópico, en una malla cartesiana con geometría block centered , que se
encuentra saturado de gas y agua, cuyas características son:
Tamaño del modelo. Se estableció dentro del menú de Case
Definition que el modelo tendría:
• 9 celdas en dirección X
167
• 9 celdas en dirección Y
• 3 celda en dirección Z
Parámetros de yacimiento. Dentro del menú Grid , se
establecieron los siguientes parámetros:
1. Propiedades:
• La permeabilidad en las direcciones X, Y y Z presenta el
mismo valor que en el Modelo 1.
• Porosidad: 0,3
2. Geometría:
• Tamaño de los bloques en dirección X: 2000 pies
• Tamaño de los bloques en dirección Y: 1000 pies
• Tamaño de los bloques en dirección Z: 10 pies
• Profundidad de los topes: Se varió esta propiedad para
caracterizar diferentes yacimientos.
3. Regiones: Se estableció que el yacimiento estaba divido en 3
regiones.
Propiedades de la roca y fluidos. Se emplearon los mismos
Keywords utilizados en el Modelo 1, variando las propiedades del
gas seco para generar distintos yacimientos.
Saturación de fluidos. En el menú Scal se definieron las mismas
funciones de saturación de gas y agua empleadas en el Modelo 1,
variando, de igual manera, la presión a la profundidad del datum.
Esquema de producción. El yacimiento presenta tres pozos de gas
perforados en las subregiones del yacimiento. Los pozos producen
bajo un mecanismo de control de producción que establece el
168
cierre de los pozos cuando se alcance una presión de fondo
fluyente de 500 lpc.
B.2.2 Casos Generados con el Modelo 2
Las tablas B.7, B.8, B.9, B.10, B.11, B.12, B.13, B.14, B.15, B.16, B.17
y B.18 describen los parámetros empleados en los casos generados a
partir de las especificaciones del modelo de yacimiento 2.
Tabla B.7. Parámetros de la Simulación caso 2.1
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 7500
gγ 0,7
T (°F) 150
Cf (10-6 lpc- 1) 4
Cw (10- 6 lpc-1) 3,5
Presión @ Prof. del datum (lpc) 3000
Tabla B.8. Parámetros de la Simulación caso 2.2
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 7500
gγ 0,77
T (°F) 243
Cf (10-6 lpc- 1) 4,00
Cw (10- 6 lpc-1) 3,50
Presión @ Prof. del datum (lpc) 3000
169
Tabla B.9. Parámetros de la Simulación caso 2.3
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 13500
gγ 0,65
T (°F) 193
Cf (10-6 lpc- 1) 4,00
Cw (10- 6 lpc-1) 3,50
Presión @ Prof. del datum (lpc) 9000
Tabla B.10. Parámetros de la Simulación caso 2.4
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 13500
gγ 0,58
T (°F) 220
Cf (10-6 lpc- 1) 4,00
Cw (10- 6 lpc-1) 3,50
Presión @ Prof. del datum (lpc) 9000
Tabla B.11. Parámetros de la Simulación caso 2.5
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 12500
gγ 0,65
T (°F) 171
Cf (10-6 lpc- 1) 4,00
Cw (10- 6 lpc-1) 3,50
Presión @ Prof. del datum (lpc) 7000
170
Tabla B.12. Parámetros de la Simulación caso 2.6
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 7500
gγ 0,61
T (°F) 155
Cf (10-6 lpc- 1) 4
Cw (10- 6 lpc-1) 3,5
Presión @ Prof. del datum (lpc) 3000
Tabla B.13. Parámetros de la Simulación caso 2.7
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 7500
gγ 0,7
T (°F) 140
Cf (10-6 lpc- 1) 18
Cw (10- 6 lpc-1) 3,5
Presión @ Prof. del datum (lpc) 3000
Tabla B.14. Parámetros de la Simulación caso 2.8
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 7500
gγ 0,7
T (°F) 150
Cf (10-6 lpc- 1) 35
Cw (10- 6 lpc-1) 3,5
Presión @ Prof. del datum (lpc) 3000
171
Tabla B.15. Parámetros de la Simulación caso 2.9
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 12500
gγ 0,6
T (°F) 218
Cf (10-6 lpc- 1) 30
Cw (10- 6 lpc-1) 3
Presión @ Prof. del datum (lpc) 7000
Tabla B.16. Parámetros de la Simulación caso 2.10
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 9500
gγ 0,6
T (°F) 231
Cf (10-6 lpc- 1) 30
Cw (10- 6 lpc-1) 3
Presión @ Prof. del datum (lpc) 5000
Tabla B.17. Parámetros de la Simulación caso 2.11
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 13500
gγ 0,7
T (°F) 271
Cf (10-6 lpc- 1) 39
Cw (10- 6 lpc-1) 3,50
Presión @ Prof. del datum (lpc) 9000
172
Tabla B.18. Parámetros de la Simulación caso 2.12
Parámetros de la Simulación
Prof. Tope 1 (pies) 7500
gγ 0,65
T (°F) 188
Cf (10-6 lpc- 1) 30
Cw (10- 6 lpc-1) 3,50
Presión @ Prof. del datum (lpc) 3000
173
APÉNDICE C
CORRELACIONES DE DATOS PVT
En esta sección se describen los fundamentos y principales ecuaciones de
las correlaciones para el cálculo de las propiedades pseudocríticas de un
gas real, así como los métodos empleados para el cálculo del factor de
desviación del gas, o factor Z, que fueron incluidos en el código del
programa para generar datos PVT en el Módulo PVT.
C.1 Correlaciones para el cálculo de las propiedades
pseudocríticas del gas
Los principales métodos empíricos propuestos para la obtención del
factor de compresibilidad del gas o factor Z, basan sus cálculos en los
valores de las propiedades pseudoreducidas de la mezcla gaseosa. Estas
propiedades, según expone Ahmeh[ 3 6 ], se definen mediante las siguientes
relaciones:
scsr P
PP = (C.1)
scsr T
TT = (C.2)
Donde:
P = presión absoluta del gas, lpca
T = temperatura absoluta del gas, R
scP = presión pseudocrítica del gas, lpca
scT = temperatura pseudocrítica del gas, R
174
De las ecuaciones (C.1) y (C.2) se evidencia que, para determinar el
valor de las propiedades pseudoreducidas, es imprescindible calcular las
propiedades pseudocríticas del gas. Por lo tanto, existe la necesidad de
establecer el valor de estos parámetros para la determinación del factor
de compresibilidad del gas.
Se han propuesto diversas correlaciones que permiten la obtención de las
propiedades pseudocríticas del gas, en función de su gravedad específica.
Las más importantes son:
C.1.1 Correlación de Sutton
Según señalan Mokhatab et al[37 ] , Sutton en 1985, empleando un
procedimiento de análisis de regresión de datos, obtuvo los siguientes
ajustes cuadráticos para el cálculo de las propiedades pseudocríticas:
26.31318.756 ggscP γγ −−= (C.3)
2745.3492.169 gscT γγ −+= (C.4)
Donde:
gγ = gravedad específica del gas, (aire=1)
Las ecuaciones (C.3) y (C.4) fueron obtenidas a partir de 264 muestras
diferentes de gas con un rango de gravedades específicas comprendido
entre 679,1571,0 << gγ .
175
C.1.2 Correlación de Brown, Katz, Oberfell y Alden
Esta correlación fue presentada originalmente en forma de gráficos. De
acuerdo a Villaroel[38], para gases naturales viene dada por el ajuste:
25.3715677 ggscP γγ −+= (C.5)
25.12325168 ggscT γγ −+= (C.6)
La correlación puede emplearse, de la misma forma, en yacimientos de
gas condensado, al variar los parámetros del ajuste cuadrático.
C.2 Cálculo del Factor de Compresibilidad del gas
Luego de calcular las propiedades pseudocríticas del gas, es posible
determinar el valor del factor Z, mediante los métodos siguientes:
C.2.1 Método de Sarem
Sarem, en 1961, desarrolló un procedimiento para determinar el valor del
factor de compresibilidad del gas, que se basa en las curvas de Standing
y Katz. La ecuación básica del método, que requiere 36 coeficientes,
es[ 3 9 ]:
( ) ( )∑∑==
=5
0
5
0 jjjij
iyPxPAZ (C.7)
Donde:
8.14152 −
= srPx (C.8)
176
9.142 −
= srTy (C.9)
Las variables iP y jP corresponden a los Polinomios de Legendre, de
grado 0 a 5. Estos polinomios vienen dados por las relaciones:
( ) 7071068.00 =αP (C.10)
( ) αα 224745.11 =P (C.11)
( ) ( )137905695.0 22 −= ααP (C.12)
( ) ( )ααα 359354145.0 33 −=P (C.13)
( ) ( )33035265165.0 244 +−= αααP (C.14)
( ) ( )αααα 157063293151.0 355 +−=P (C.15)
Los valores de los coeficientes ijA se presentan en la tabla C.1
Tabla C.1. Valores de los coeficientes ijA
I j=0 j=1 j=2 j=3 j=4 j=5
0 2.1433504 0.083176184 -0.021467042 -0.0008714 0.0042846 -0.0016595
1 0.33123524 -0.13403614 0.066880961 -0.027174261 0.008851229 -0.00215209
2 0.10572871 -0.050393654 0.0050924798 0.0105513 -0.007318193 0.0026960
3 -0.0521840 0.044312146 -0.0193294565 0.0058972516 0.001536667 -0.0028327
4 0.01970398 -0.026383354 0.0192622143 -0.0115354 0.0042910089 -0.00081303
5 0.00530959 0.008917833 -0.010894921 0.0095594 -0.006011417 0.003117517
177
Villaroel[38 ] señala que, para los intervalos 0.1 ≤ srP ≤ 14.9 y
1.05 ≤ srT ≤ 2.95, el error del método con respecto a los valores leídos
en las curvas de Standing y Katz fue menor de 0.4%, por lo que se
considera éste su rango de aplicación.
C.2.2 Método de Brill y Beggs
El procedimiento para el cálculo del factor Z propuesto por Brill y Beggs
en 1974, según Guo[ 4 0 ], viene dado por la ecuación:
DsrCP
BAAZ +
−+=
)exp(1
(C.16)
Donde:
10.036.0)92.0(39.1 5.0 −−−= srsr TTA (C.17)
( ) ( )6
192
1032.0037.0
86.0066.023.062.0 srTsr
srsrsr PP
TPTB
sr−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+−= (C.18)
srTC log32.0132.0 −= (C.19)
21824.049.03106.0 srsr TTF +−= (C.20)
FD 10= (C.21)
Villaroel[38 ] establece que los límites de aplicabilidad de este método se
encuentran en los intervalos 0≤ srP ≤ 13 y 1.2 ≤ srT ≤ 2.4.
178
C.2.3 Método de Hall y Yarborough
Hall y Yarborough en 1973 presentaron una ecuación que representa de
manera precisa las curvas del factor Z de Standing y Katz[ 36 ] . La
expresión propuesta se basa en la ecuación de estado de
Starling-Carnahan.
El método emplea las siguientes ecuaciones:
( )[ ]y
ttPZ sr212.1exp06125.0 −−⋅⋅
= (C.22)
Donde:
t = Recíproco de la temperatura pseudoreducida, t = scT / T
y = Densidad reducida, la cual se obtiene a partir de la solución de la
siguiente ecuación:
( )0
12
3
432
=+−−
−+++− D
sr CyByy
yyyyAP (C.23)
Donde:
( )[ ]212.1exp06125.0 ttA −−⋅⋅= (C.24)
32 58.476.976.14 tttB +−⋅= (C.25)
32 4.422.2427.90 tttC +−⋅= (C.26)
tD 82.218.2 += (C.27)
179
Villaroel[38 ] propuso un procedimiento iterativo de ensayo y error,
basado en el Método de Newton-Raphson, para resolver la ecuación no
lineal (C.23). El procedimiento consta de los siguientes pasos:
1. Suponer un valor inicial de y1 y calcular F(y1) , donde F(y) es el
término de la derecha de la ecuación (C.23).
2. Si F(y1) ≈ 0 o se encuentra dentro de una tolerancia especificada
(±10-4), se puede considerar que y1 es la solución. En caso
contrario, se debe calcular un nuevo valor de y utilizando la
siguiente aproximación (Series de Taylor):
dyydFyFyy
)()(
1
112 −= (C.27)
Donde la expresión para dF(y) / dy se obtiene derivando la
ecuación (C.23) con respecto a a y considerando srT constante, de
lo que se obtiene:
( ))1(
4
432
21
4441 −+−−
+−++= DCDyBy
yyyyy
dydF
(C.28)
3. Hacer y1 = y2 y repetir el paso 2. Continuar el procedimiento
hasta obtener la solución.
4. Sustituir el valor correcto de y en la ecuación (C.22) para obtener
Z.
Villaroel[38 ] expone que este método sólo es aplicable en los intervalos:
0.1≤ srP ≤ 24 y 1.2 ≤ srT ≤ 3.0.
180
C.2.4 Método de Dranchuk y Abou-Kassem
Según Ayala[ 4 1 ] , Dranchuk y Abou-Kassem propusieron en 1975, la
correlación siguiente para el cálculo de los factores Z de gases naturales:
( ) ( )2113
22
11105
392
21 exp11 rsr
rrrrr A
TAAcAccZ ρρρρρρ −++−++= (C.30)
Donde:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++= 5
54
43
3211
srsrsrsr TA
TA
TA
TAAc (C.31)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= 2
8762
srsr TA
TAAc (C.32)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 2
873
srsr TA
TAc (C.33)
rρ = densidad reducida de la mezcla gaseosa, definida como:
sr
srr ZT
P27.0=ρ (C.34)
En la ecuación (C.34) se tomó el factor de compresibilidad del gas en el
punto crítico, Zc = 0.27 , considerado como un valor apropiado para
mezclas compuestas principalmente por metano[38 ].
El valor de los parámetros A empleados en la correlación se muestra en
la tabla C.2.
181
Tabla C.2 Valores de las constantes A1 – 1 1
Constantes
A1 = 0.3265 A2 = -1.07 A3 = -0.5339 A4 = 0.01569
A5= -0.05165 A6 = 0.5475 A7 = -0.7361 A8 = 0.1844
A9 = 0.1056 A10 = 0.6134 A11 = 0.721
La fórmula propuesta para el cálculo de Z es, claramente, una ecuación
implícita no lineal. Por lo tanto, debe emplearse algún método iterativo
para resolverla. Utilizando el procedimiento propuesto por Villaroel[38 ] ,
descrito en la sección anterior, con:
( ) ( )2113
22
1110
539
221
exp1
127.0
rsr
rr
rrrsrr
sr
AT
AA
cAccT
PF
ρρρ
ρρρρ
−++
−+++−=
(C.35)
( ) ( )211
4211
2113
10
439212
exp12
5227.0
rrrsr
r
rrsrr
sr
r
AAATA
cAccT
PF
ρρρρ
ρρρρ
−−++
−++=∂∂
(C.36)
es posible determinar el valor de Z, mediante la ecuación:
srr
sr
TPZρ
27.0= (C.37)
Según Ayala[41 ] , los límites de aplicabilidad de la correlación de
Dranchuk y Abou-Kassem vienen dados por los rangos: 0.2 ≤ srP ≤ 30.0
y 1.0 ≤ srT ≤ 3.0.
182
C.2.5 Método de Dranchuk, Purvis y Robinson
Este método es el resultado de un ajuste realizado a la ecuación de
estado de Benedict, Webb y Rubin[ 38 ] , la cual escribieron en la siguiente
forma[ 3 6 ]:
( ) ( )283
22
875
32
21 exp11 rsr
rrrrr A
TAAcccZ ρρρρρρ −+++++= (C.38)
Donde:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= 3
3211
srsr TA
TAAc (C.41)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
srTAAc 5
42 (C.42)
srTAAc 65
3 = (C.43)
rρ = densidad reducida de la mezcla gaseosa, calculada mediante la
ecuación (C.34)
El valor de cada uno de los parámetros A empleados en la correlación se
muestra en la tabla C.3.
Tabla C.3. Valores de las constantes A1 – 8
Constantes
A1 = 0.31506237 A2 = -1.0467099 A3 = -0.57832729
A4 = 0.53530771 A5= -0.61232032 A6 = -0.10488813
A7 = 0.68157001 A8 = 0.68446549
183
Los rangos de aplicación del método son[ 3 8 ]: 0.2 ≤ srP ≤ 30.0 y
1.05 ≤ srT ≤ 3.0
Para resolver la ecuación implícita de la densidad reducida, se debe
utilizar un procedimiento iterativo de ensayo y error. Empleando el
método iterativo de Newton – Raphson, con:
( ) ( )283
22
875
3
221
exp1
127.0
rsr
rrr
rrsrr
sr
AT
AAc
ccT
PF
ρρρρ
ρρρ
−+++
+++−=
(C.44)
( ) ( )28
428
283
7
43212
exp12
5227.0
rrrsr
r
rrsrr
sr
r
AAATA
cccT
PF
ρρρρ
ρρρρ
−−++
−++=∂∂
(C.45)
se determina el valor de Z mediante la ecuación (C.37)
