SUCESIONES NUMÉRICAS EJERCICIOS

5/25/2018 SUCESIONES NUM RICAS EJERCICIOS

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EJERCICIOS RESUELTOS:

Sucesiones numricas

Matemticas1

Elena lvarez Siz

Dpto. Matemtica Aplicada y C. Computacin

Universidad de Cantabria


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Profesora: Elena lvarez Siz

Ejercicios: Sucesiones numricasIngeniera de Telecomunicacin

Fundamentos Matemticos I

2

Sucesiones montonas y sucesiones acotadas

1 Sucesiones montonas: ejemplos

La sucesin -1, -2, 3, -4, -5, 6, -7, -8, 9 ... no es montona.

La sucesin de trmino general( 1)n

na

n

= tampoco es montona.

La sucesin de trmino general na n= es montona creciente y tambin

estrictamente creciente.

La sucesin 1, -1, 0, 0, 1, 1, 2, 2 ... es montona creciente, pero no es


La sucesin de trmino general 2na n= es montona decreciente y es

tambin estrictamente decreciente.

La sucesin1 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,

2 2 3 4 4 5 6 6 7es montona decreciente, sin embargo

no es estrictamente decreciente.

2 Estudiar la monotona de las siguientes sucesiones:

2 1n

na

n

=

8

1 2nn

bn

=+

3

1nn

cn

=+

3

1nd

n=

Solucin:

a) Vamos a probar que los trminos de esta sucesin verifican

1 0n na a n+ > , es decir que se trata de una sucesin montona


1

2 2

2( 1) 1 2 1 2 1 2 1

1 1(2 1) ( 1)(2 1) 2 2 1 1

0( 1) ( 1) ( 1)

n n

n n n na a

n n n n

n n n n n n n n

n n n n n n

+

+ + = = =

+ ++ + + +

= = = >+ + +


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Profesora: Elena lvarez SizS

Ingeniera de Telecomunicacin

Fundamentos Matemticos IEjercicios: Sucesiones numricas

3

el carcter positivo del anterior cociente est garantizado porque n es un

nmero natural.

b) En este caso vamos a demostrar que 1n nb b n+ , con lo cual la

sucesin ser montona creciente.

1

2 2

8 ( 1)8

1 2 1 2 ( 1)8 8 8

1 2 1 2 28 16 16 8 8 16 16 0 8

n n

nnb b

n n

n n

n n

n n n n n n

+

+

+ + ++

+ + +

+ + + + +

lo cual es siempre cierto.

c) La sucesin dada es creciente, ya que 1n nc c n+ , pues

1

2 2

3 ( 1)3 3 3 3

1 ( 1) 1 1 2

3 6 3 3 3 3 0 3

n n

nn n nc c

n n n n

n n n n n

+

+ +

+ + + + +

+ + + +

la expresin ltima a la cual hemos llegado es siempre cierta, luego la

desigualdad inicial tambin lo es.

d) En este caso demostraremos que 1n nd d n+> , es decir que la sucesin

es montona estrictamente decreciente.

3 31 3 3

1 1( 1)

( 1)n nd d n n

n n+> > + >

+

esta desigualdad es cierta para cualquier nmero natural, luego se cumple

siempre.

3 Convergencia, divergencia: ejemplos


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4

1. La sucesin cuyos primeros trminos son los siguientes

1 1 11, , 3, , 5, , 7,...2 4 6

Esta sucesin no es convergente, pero tampoco tiende a ni a . Los trminos

impares se hacen infinitamente grandes a medida que n crece. Sin embargo, los

trminos pares tienden a 0, para n suficientemente grande. Se dice que esta sucesin

no tiene lmite o bien que su carcter es oscilante.

2. La sucesin de trmino general ( 1)nna n= , cuyos primeros trminos son:

-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8,...

Los trminos de esta sucesin tampoco se acercan a un nmero concreto. Tienden a

los trminos pares y tienden a los trminos impares. Por tanto, tampoco

tiene lmite, son oscilantes.

4 Monotona y acotacin de 11n

n +

El trmino general de esta sucesin es una expresin indeterminada del tipo 1 ,

luego no es evidente que sea convergente. Se trata de una sucesin de nmeros reales

positivos.

Comprobamos en primer lugar que la sucesin es creciente.

Por aplicacin de la frmula del binomio de Newton, tenemos


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5

2

2

1 1 1 11 ...

0 1 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1 1 ...2! !

1 1 1 1 22 1 ... 1 1

2! !

n

n n

n

n n n n a

nn n n n

n n n n n n n

n n n

n n n

= + = + + + + = +

= + + + + =

= + + +

11

n

n n

la expresin de anconsta de n sumandos. El trmino siguiente se expresar as

1

1 1 1 1 2 12 1 ... 1 1 1

2! 1 ! 1 1 11 1 2

1 1 1( 1)! 1 1 1

n

na

n n n n n

n

n n n n

+

= + + + + + + + + + + + + +

Esta expresin consta de n+1 sumandos. Como los sumandos de an+1 son

mayores que sus correspondientes de an, salvo el primero que es igual, resulta

que

an< a

n+1 n

luego la sucesin anes creciente.

Vamos a comprobar ahora que la sucesin est acotada. Consideramos

para ello las siguientes expresiones:

1 1 1 1 22 1 1 1 ...

2! 3!1 1 2 1

1 1 1!

nan n n

n

n n n n

= + + + + +

1 1 12 ...

2! 3! !n

b

n

= + + + +

2 1

1 1 12 ...

2 2 2n n

progresion geometrica

c

= + + + +

Comparndolas trmino a trmino resulta que, a partir de n = 3, se verifica:

1

12 3

2n n n n

a b c

< < < =


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6

es decir, 2 3na< < ,

luego la sucesin anest acotada. Se puede asegurar, por tanto, que la sucesin

de trmino general1

1

n

nan

= + es convergente, estando su lmite

comprendido entre 2 y 3. A este lmite se le designa con el nombre de nmero

e. Se trata de un nmero irracional cuyas diez primeras cifras decimales son:

e 27182818284

5 Se considera para cada nmero natural n la ecuacin:

6 2 13 5

2 2n x =

y se define para cada natural n el nmero na como la suma de las races

positivas de esta ecuacin. Se pide: encontrar el supremo, nfimo, mximo y

mnimo del conjunto formado por los nmeros reales na , es decir, el conjunto

{ }/na n

Solucin (Curso 03-04)

Para cada nmero natural n consideramos la ecuacin 6 213 5

2 2n x = . Las

races de esta ecuacin son los valores x que cumplen:

6 2 13 5

2 2n x = 6 2 13 5

2 2n x

=

Nota: En este paso aplico la definicin de valor absoluto. Si el valor absoluto

de A es 5/2 es porque A es 5/2 A es 5/2. Tambin podra haber elevado

al cuadrado y resolver la ecuacin pero me quedara de grado cuatro y habra

que realizar ms clculos.


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7

Resolviendo 6 2 6 2 26 3

13 5 9 39

2 2n x n x x x

n n = = = =

Resolviendo 6 2 6 2 23 3

13 5 4 24

2 2n x n x x x

n n

= = = =

Para cada n la suma de las races positivas de la ecuacin 6 213 5

2 2n x = es

3 3

3 2

n n+ .

El conjunto para el que hay que calcular el supremo, nfimo, mximo y

mnimo es3

5 /A nn

=

se cumple que el supremo es 5 y el nfimo es 0.

Como el supremo est en el conjunto (para n=1) se trata del mximo pero el

nfimo no es mnimo porque no es un elemento del conjunto A.

Clculo de lmites: Definicin

6 Demostrar, segn la definicin de lmite, que se verifica:1

lim 0 , 1n ncon r

r = > . Qu

sucede si r < 1?

- Supongamos r>1. Segn la definicin de lmite, hay que encontrar la

expresin de n0para cada 0> , tal que 01

0n si n n r < > .

1log

1 1 1 10 log log( )

log( )n

n nr n r n

rr r

< < < < 1, luego log (r) > 0. As pues, si

tomamos 0

1log

log( )n

r

= se cumple

10

nr <


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8

Si r < 1, ser log (r) < 0. Como es muy pequeo, verifica < 1, es

decir log( )< 0, luego1

log log( )

= > 0.

Teniendo en cuenta que siempre es n > 0, nunca puede ser

1log log( )n r

< , puesto que n. log (r) ser siempre negativo, mientras

que1

log

es positivo. Por lo tanto, si r < >

Observamos que

1 3 3 11 2 2

2 2

nn n

n n

+ < < < + basta tomar 01

2n E

= + para que se cumpla la definicin

de lmite.


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9

Nota.- E(x) denota la parte entera de x.

(b)Calcularemos la diferencia2

2 1 2( 1)( 2)

nn n

+ +

y la haremos menor que .

2

2 2 2

6( 1)2 1 6 5 6 52

( 1)( 2) 3 2 3 2 3 2

nn n n

n n n n n n n n

+ + = = +

Cualquiera que sea el valor de , tomando 06

2n E

= , se puede asegurar que

si n > n0entonces

22 12

( 1)( 2)

n

n n

Entonces, cualquiera que sea el valor de , tomando 02

n E

= , se puede

asegurar que

si n > n0entonces

3 3

2

(2 1) (2 1)8

3 1

n n

n

+

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