Tema 3 - Transmisión Del Calor

8/18/2019 Tema 3 - Transmisión Del Calor

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Tema

Transmisión del calor 3

1. Conceptos de conducción, convección y radiación

Uno de los objetivos de la termodinámica es el estudio de las transferencias de energía en‐tre dos sistemas, o entre un sistema y sus alrededores. Para realizar dicho estudio, la termo‐dinámica no tiene en cuenta la “velocidad” a la que tienen lugar esas transferencias.

En este capítulo estudiaremos los procesos que se denominan, en general, transmisión de calor que tienen lugar cuando entre dos cuerpos existe una diferencia de temperatura. La palabratransferencia o transmisión podría haberse omitido puesto que, por definición, el calor es unaenergía en tránsito. Sin embargo, la utilizaremos aquí porque su empleo está muy extendido.

Distinguimos tres maneras diferentes en que se puede dar la transmisión de calor, aunqueen la práctica se suelen observar conjuntamente. Estas modalidades son la conducción, la con‐vección y la radiación.

a) Conducción:

Es necesario la presencia de un medio material, transmitiéndose la energía a través de lasmoléculas, átomos o electrones de dicho medio. No hay transporte neto de materia. Pasa uncierto tiempo hasta alcanzarse un régimen estacionario.

b) Convección:

También es necesaria la presencia de un medio material. Es una transmisión de calor quetiene lugar en fluidos que se encuentran en movimiento. Las variaciones de densidad a quedan lugar las variaciones de temperatura provocan una convección natural en presencia de

un campo gravitatorio.


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FFIA: Transmisión del calor 3.2

Para la transferencia de calor por convección, entre la superficie de un sólido, a temperaturaT S , y un fluido, a temperatura T F , se puede estimar mediante la ecuación de Newton:

( )S F

dQQ hS T T

dt = = −& ,

siendo Q& la transferencia de calor por unidad de tiempo, o flujo de calor a través de la super‐ficie S y h es el coeficiente de transferencia de calor o coeficiente de película de convección.

c) Radiación:

En esta última modalidad, el calor se transmite a través del espacio sin necesidad de que exis-ta un medio material . Si el medio material existe, se producen modificaciones en la transmi‐sión de energía debido a la absorción o reflexión de parte de la energía.

La radiación de calor tiene lugar por la emisión de radiación electromagnética.

2.

Conducción: Ley de Fourier

Si un extremo de una barra metálica se coloca en una llama mientras el otro se sostienecon la mano, se observará que esta parte de la barra se va calentando cada vez más, aunque noestá en contacto con la llama. Se ha producido una transmisión de calor por conducción a lo largode la barra (figuras 1 y 2).

Esta transmisión se produce por los choques que tienen lugar entre las moléculas vecinasdesde las regiones de alta temperatura, donde las vibraciones son más violentas, hacia las regio‐

nes de menor temperatura, donde las moléculas se mueven más lentamente.Los metales, buenos conductores de la electricidad, son también buenos conductores del

calor. Esto es debido a la existencia de electrones libres que también participan en la transmisiónde calor.

Cuando se ha establecido el régimen estacionario, la energía que entra por un extremo de

la barra, Q& , será igual a la que sale por el otro lado, es decir, Q& = cte.

Calculamos el gradiente de temperatura entre los extremos de la barra, como:

2 1( )T T T

L L

− Δ=

Q&

T 1 T 2

Figura 1.- Transmisión de calor en una barra.

T 2

t

Figura 2.- Variación con el tiempo de T en el extremo de la barra.

Régimen estacionario

L


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Aceptamos, como postulado, que la energía transmitida por unidad de tiempo depende dela naturaleza del material, a través de la conductividad térmica, k , del área y del gradiente detemperatura que se establece entre sus extremos:

T Q k S

x

Δ= −

Δ&

donde el signo menos significa que el flujo de calor es positivo en la dirección positiva de las X.

Antes de alcanzarse el régimen estacionario, la ecuación anterior adopta la forma

dT Q k S

dx = −&

que se conoce como ecuación de Fourier.

Esa ecuación nos permite expresar la ecuación dimensional para la conductividad térmica:

[ ][ ] 2

[ ]

[ ]

Q dx W m W k

S dT m K m K

⎡ ⎤ ⋅⎣ ⎦= = =⋅⋅

&

La tabla 1 muestra los valores de la conductividad térmica para algunos materiales signifi‐cativos, algunos de ellos de uso común en las edificaciones.

3.

Pared plana de una y varias capas.

Resistencias térmicas

Para estudiar la conducción de calor a través de una placa de gran anchura, o de un discoplano, se supondrá que las dimensiones de las superficies son muy grandes en comparación conel espesor, y que la temperatura es uniforme en cualquier superficie y en cualquier instante. Enestas condiciones puede considerarse que se trata de un flujo de calor unidimensional que novaría con el tiempo.

La ecuación que ha de resolverse será:

T ABLA 1.- CONDUCTIVIDADES

SUSTANCIAS k (W/(m·K))

Metales

Acero....................Aluminio .............Cobre ....................Plata .....................Plomo ...................

50.2204.8384.6405.534.7

Otros sólidos(valores típicos)

Corcho.................Fieltro ..................Hielo .....................Hormigón ...........Ladrillo ................Madera ................Vidrio ...................

0.0420.0421.670.8360.6270.125 – 0.0420.6 ‐ 1

Gases

Aire .......................Hidrógeno ..........Oxígeno ...............Helio .....................Argón ...................

0.0240.1380.0230.1420.016

T

x

T 1

T 2

L

T(x)

Q&

Figura 3.- Transmisión de calor en unapared plana


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dT Q k S

dx = −&

Si se trata de conducción en régimen estacionario ( Q& =cte), la ecuación anterior se escribe:

dT

ctedx =

Las condiciones de contorno en las superficies son:

T = T 1 en la superficie x = 0.

T = T 2 en la superficie x = L.

Siendo la solución de la ecuación diferencial:

1 21

T T T T x

L

−= −

es decir, obtenemos una distribución lineal de temperaturas, tal y como se ha representado en lafigura 3. El flujo de calor, de acuerdo con la ecuación de Fourier, será:

1 2T T dT Q k S k S dx L

−= − =&

que se puede ordenar de la siguiente forma:

1 2T T QL

kS

−=& (3.1)

Esta ecuación guarda una gran similitud con la ley de Ohm utilizada para describir la co‐rriente eléctrica:

1 2V V I R−=

correspondiendo en esta analogía:

Q& con la intensidad de corriente, I .

(T 1-T 2 ) con la diferencia de potencial, (V 1-V 2 ).

L kS con la resistencia eléctrica, R.

De este modo, si introducimos como magnitud la resistencia térmica, RT , la ecuación que‐daría escrita de forma general como

1 2

T

T T Q R

−

=&

.

En la figura 4 hemos representado una pared compuestapor tres materiales de espesor y conductividad diferentes. Elflujo de calor a través del material 1 es

1 21

1

T T Q k S

L

−=&

y, a través del material 2, el flujo es

2 32

2

T T Q k S

L

−=&

L1

L2

L3

1 2 3

x

T

T 1

T 2T 3

T 4

Figura 4.- Transmisión de calor enuna pared plana de varias capas


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finalmente, a través del material 3, tendremos

3 43

3

T T Q k S

L

−=&

En estado estacionario, los tres flujos de calor han de ser iguales, entonces

11 2

1

( ) L

T T Qk S

− = & 22 32

( ) L

T T Qk S

− = & 33 43

( ) L

T T Qk S

− = &

Sumando las tres expresiones, miembro a miembro, queda

31 21 4

1 2 3

LL LT T Q

k S k S k S

⎛ ⎞− = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

&

Ordenando la expresión anterior, obtenemos finalmente

1 4

31 2

1 2 3

T T Q

LL L

k S k S k S

−=

+ +

&

(3.2)

Volviendo a la analogía eléctrica, las resistenciastérmicas en serie serían equivalentes a las resistenciaseléctricas en serie, de manera que la resistencia total Rviene dada por:

1 2 3R R R R= + +

En el caso en que las resistencias se asocien en paralelo, como en el caso representado en la figura 5, la

analogía eléctrica nos permite escribir

1 2 3

1 1 1 1

R R R R= + +

siendo R la resistencia térmica equivalente de la pared compuesta.

4. Convección

La convección es el mecanismo de transmisión de calor, que tiene lugar en el seno de unfluido, debido al transporte de energía interna de una región a otra del espacio por desplaza‐miento de la masa fluida. El proceso de transmisión del calor de una partícula a otra sigue siendoun fenómeno de conducción; pero al ir la energía interna ligada a la materia, se desplaza tambiéncon ella.

Convección natural : Si la distribución de temperaturas en el seno del fluido no es unifor‐me, tampoco lo es su distribución de masa, y si el fluido se encuentra afectado por un campogravitatorio las partes del fluido menos densas se desplazan hacia regiones con más alto poten‐cial gravitatorio y las más densas hacia regiones con potencial gravitatorio más bajo. De estamanera se genera un sistema de corrientes que tienden a establecer la uniformidad de la tempe‐ratura en el seno del fluido.

k 1 k 2 k 3

T 1

T 2

L

Q1 Q2 Q3

Figura 5.- Asociación de resistencias térmicas

en paralelo


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Figura 9.- Transferencia de calor entredos fluidos a través de una pared sólida.

T

Capas límite térmicas

T s1

T fB

x

FLUIDO B TfA

T s2

1 2

Q&

FLUIDO A

Capa límite térmica: El intercambio de calor entre un flui‐do y una superficie sólida se realiza a través de la llamada “capa límite térmica”. Si la temperatura de la superficie sólida es distin‐ta de la temperatura del fluido, se establece un gradiente de tem-

peratura en el seno del fluido y en dirección normal a la superfi‐

cie del sólido. La mayor parte de esta variación de temperaturatiene lugar en las proximidades de la superficie del sólido.

Esto nos permite definir una “capa límite térmica” comoaquella región del fluido comprendida entre la superficie delsólido y los puntos del fluido para los cuales la temperatura esuna fracción de la temperatura de la superficie del sólido (ver fig.8).

El intercambio de calor entre el fluido y la superficie se realiza por un fenómeno que es ala vez de conducción a través de la capa térmica límite y de convección del fluido. La ley general

de enfriamiento de Newton nos permite incluir los dos efectos en un solo coeficiente, h, llamadode convección o de película:

( )s f Q hS T T = −& (3.2)

donde Q& .es la cantidad de calor que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo.

El coeficiente h depende de las características del fluido, de la forma y estado de la superfi‐cie, de la aceleración de la gravedad y de la diferencia de temperaturas. Aunque h depende de laraíz cuarta de la diferencia de temperaturas, en una primera aproximación puede considerarseconstante. Sus unidades son W/(m 2·K). La tabla 2 muestra los valores de h para la convecciónnatural en el aire a la presión atmosférica.

T ABLA 2

DISPOSITIVO h (W/(m 2·K))

Lámina horizontal, mirando hacia arriba .................Lámina horizontal, mirando hacia abajo ..................Lámina vertical ....................................................................Tubo horizontal o vertical (diámetro D) ..................

2.5(Δt )1/4

1.3(Δt )1/4

1.8(Δt )1/4

4.2(Δt /D)1/4

5. Transferencia de calor a través

de un

cerramiento

Para la conducción a través de una pared sólida, des‐de un fluido a otro, como se indica en la figura, se tienenlas condiciones siguientes:

Transferencia de calor en la superficie 1:

1 1( ) AQ h S T T = −&

Conducción a través de la pared:

Capa límite térmica

T s

T f

x

Figura 8.- Esquema de lapelícula de convección


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1 2( )kS

Q T T L

= −&

Transferencia de calor en la superficie 2:

2 2( )BQ h S T T = −&

donde h1 y h2 son los coeficientes de película. Si existe continuidad en el flujo de calor, se sigueque

1 2

1 1 A B

Q LT T

S h k h

⎛ ⎞− = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

&

Y de aquí,

1 2

1 1 A B

T T Q

S L

h k h

−=

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

&

6. Radiación térmica: enunciado de la Ley de Stefan.

Cuando colocamos la mano en contacto con un radiador de calefacción de agua caliente ovapor, el calor alcanza la mano por conducción a través de las paredes del radiador. Si la mano semantiene encima del radiador, pero no en contacto con él, el calor alcanza la mano por medio deun movimiento de convección hacia arriba de las corrientes de aire. Si se coloca la mano a un la‐do del radiador todavía se calienta, aunque la conducción a través del aire sea despreciable y la

mano se encuentre lejos de las corrientes de convección. La energía alcanza ahora la mano porradiación.

El término radiación se refiere a la emisión continua de energía desde la superficie de to‐dos los cuerpos. Esta energía se denomina energía radiante, y se encuentra en forma de ondaselectromagnéticas de la misma naturaleza que la luz, las ondas de radio o los rayos X, aunquecon diferente longitud de onda (fig. 10). Estas ondas pueden transmitirse en el vacío, aunquetambién lo hacen a través del aire. Cuando inciden sobre un cuerpo, que para ellas no es transpa‐rente, son absorbidas en forma de calor.

La energía radiante emitida por una superficie, por unidad de tiempo y por unidad de área,depende de la naturaleza de la superficie y de su temperatura. A bajas temperaturas, la radiación

por unidad de tiempo es pequeña y la energía radiante es casi toda de longitud de onda grande.

Ondas de televisión:

alrededor de 1 m

Ondas de radio:

hasta 1 km

Microondas:

alrededor de 1cm

Infrarojos:

alrededor de 1mm

Ultravioleta:

100 nm

Rayos X:

1 nm

Luz visible:

400 a 700 nm

Longitud de onda de las ondas electromagnéticas

Figura 10.- El espectro electromagnético en términos de la longitud de onda.


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Al elevarse la temperatura, la radiación por segun‐do aumenta muy rápidamente, siendo proporcio‐nal a la cuarta potencia de la temperatura absoluta(ley de Stefan).

John Tyndall (1820 – 1893) realizó deter‐minaciones experimentales de la cantidad deenergía radiada por unidad de tiempo, desde lasuperficie de un cuerpo, y sobre la base de estosresultados Josef Stefan (1835 – 1893) dedujo, en1879, que la cantidad de energía radiante emitidapor unidad de tiempo podía expresarse por la rela‐ción:

4Qe T

S σ =

&

que es la ley de Stefan. Q& /S es la cantidad de energía radiante emitida por segundo y por unidad

de superficie (W/m2). La constante σ tiene un valor igual a 5.67×10‐8 W/(m2·K4) en el sistema

de unidades internacional, y e es una cantidad adimensional denominada emisividad . La emisivi‐dad tiene un valor comprendido entre 0 y 1, dependiendo de la naturaleza de la superficie y desu temperatura absoluta.

Se denomina cuerpo negro a un cuerpo que presenta una superficie ideal tal que es capazde absorber toda la energía radiante que incide sobre él. La emisividad de una superficie negra ideal es igual a la unidad. Para las superficies reales es una fracción menor que la unidad.

Dados dos cuerpos de áreas S1 y S2 y caracterizados por sus respectivas emisividades (e1 ,

e2) y temperaturas absolutas (T 1 , T 2), que suponemos estacionarias. En general se puede expre‐sar que el flujo neto de calor que pierde o recibe el cuerpo 1 por radiación es:

( )4 41 1 2 2 1 2( , , , , )netoQ F e S e S r T T σ = −& ,

Donde el factor F depende de las propiedades radiantes de las superficies, área, forma, vi‐sión relativa y alejamiento entre ellas. En el caso de que el cuerpo 1 sea un cuerpo pequeño ro‐deado de paredes a la temperatura T 2 (fig. 11) la expresión anterior se puede escribir:

( )4 41 1 1 2netoQ e S T T σ = −& ,

que se puede expresar formalmente de la siguiente manera:

4 4 2 2 2 2 2 2 1 21 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2

1

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1

netor

r

Q T T e T T e T T T T e T T T T T T h T T S

h

σ σ σ −= − = + − = + + − = − =&

donde hr se denomina coeficiente de radiación y la expresión es formalmente igual a la (3.2) parala convección. En la expresión anterior 1/(hrS 1 ) será la resistencia térmica de la radiación.

Figura 11.- Intercambio de radiación térmicaentre T 1 y T 2.

T 1

T 2


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Apéndice

Problema ejemplo

de

paredes

no

planas:

Un recinto tiene forma semicilíndrica, siendo el radio interior r =30 m, elespesor de las paredes e=10 cm y su longitud L=150 m. Se suponen térmicamente aisladas las bases del semicilindro,mientras que la cubierta está fabricada de un material de conductividad térmica k =1 W/m·K. La temperatura interiores t 1=25 0C y la del aire exterior t 2=8 0C. a) Calcular el calor que pierde el recinto por unidad de tiempo. b) Calcular elespesor del material aislante de conductividad k a=0. 1 W/m·K, que conseguiría reducir a la mitad las pérdidas de ca‐lor.

Como la pared tiene unas dimensiones (r y L) mucho mayores que el espesor e, podemos considerarla comouna pared plana. De (3.1) obtenemos el calor que se pierde:

61 2 1 26

172.403·10 2403

7.07·10

T T t t Q watt kW

e e

kS k Lr π

−

− −= = = = =& . (3.3)

De expresión análoga a (3.2), con sólo dos términos tenemos:

1 2' 1201.52a

a

t t QQ kW

ee

kS k S

−= = =

+

&& ,

de donde el espesor necesario es

1 2 1 0.01 .' '

a aa a

k k t t e Qe k S e e m

Q k k Q k

⎡ ⎤ ⎛ ⎞−⎛ ⎞= − = − = =⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

&

& &

Ampliación teórica:

Si no podemos considerar la superficie plana, se deben obtener expresio‐

nes válidas del calor y la resistencia térmica asociadas a la trasmisión a través delas paredes curvas. Para el caso de paredes cilíndricas, el flujo de calor radial, enrégimen estacionario, desde el interior de un cilindro largo, viene dado por laecuación de Fourier, que adquiere la forma

2 constantedT dT dT

Q kS k rL r dr dr dr

π = − = − ⇒ =& ,

que se puede interpretar como la condición de que la cantidad de calor por uni‐dad de tiempo que atraviesa las paredes del cilindro, en la dirección del radio, esconstante, ya que, de acuerdo con la ecuación de Fourier,

2 dT

Q rL k dr

π = −&

Integrando r d T dr cte= y estableciendo las condiciones de contorno en las super‐ficies de separación: T = T 1 para r = r 1, y T = T 2 para r = r 2, se obtendrá la distri‐bución de temperaturas.

dT dr r a dT a

dr r = → = .

Integrando ambos miembros,

lndr

dT a T b a r r

= → = +∫ ∫

Si tenemos en cuenta las condiciones de contorno, T 1=b + a lnr 1, T 2=b + a lnr 2, podemos determinar los valores de lasconstantes a y b. La distribución de temperaturas quedaría, de esta forma, como muestra la siguiente expresión:

= − − 11 1 22 1

ln( ) ( )

ln

r r T r T T T

r r

k

T 2

T

r 2

r 1

Figura 6.- Conducción a travésde una pared cilíndrica


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La cantidad de calor que, por unidad de longitud, atraviesa la superficiedel cilindro vendrá dada por la siguiente expresión:

2 1 1 2

2 2

1 1

12 2

1ln ln

2

T T T T Q dT r k r k

r r L dr r

r k r

π π

π

− −= − = − =

&

y el flujo de calor, por unidad de superficie y tiempo, será:1 2 1 2

2 2

1 1

12 2ln ln

T T T T Q k Q

r r r L r L

r k r

π π

− −= → =

& &

Para el estudio de la conducción del calor a través de las paredes de untubo cilíndrico con capas múltiples, recurrimos a la analogía eléctrica.Para ello definimos una resistencia térmica, RT , en la forma siguiente

2

1

1ln

2T r

RkL r π

= .

Volviendo al problema ejemplo, si considerando la resistencia térmica de la pared cilíndrica, la (3.3) pasa a dar:

61 26

172.4073·10 2407.3 .

1 7.062·10ln2

t t Q watt kW

r e

k L r π

−

−= = = =

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

&

Como era de esperar prácticamente igual que con la aproximación de paredes planas. Sin embargo, para tuberías yotros elementos será más adecuado usar la expresión obtenida para la resistencia térmica RT .

En el caso de paredes cilíndricas concéntricas (Fig. 7), la resistencia térmica equivalente será:

R = R1+R 2+R3

siendo R1 la resistencia térmica de la primera pared, R 2 la correspondiente a la segunda pared, etc.

Problema ejemplo de radiación: Un radiador de 2000W tiene una superficie de 2 m2. ¿Cuál es la energía máximaque puede emitir cuando su temperatura es 70 0C? ¿Cuál es la energía máxima que absorberá cuando las paredes del

recinto están a 20 0C? Entonces, ¿cuál es la radiación neta que emite el radiador por unidad de tiempo si su emisividades 0.50?

Para calcular los valores máximos, suponemos emisividad de cuerpo negro e=1 en la ley de Stefan: 4Q

e T S

σ =&

Los calores máximos emitidos y absorbidos para esas temperaturas son

4 82·5.67·10 ·(273.15 70) 1572eQ S T W σ −= = + =& y 4 8

2 2·5.67·10 ·(273.15 20) 837

aQ S T W σ

−= = + =& .

La diferencia, 735 W, es la radiación neta máxima que podría emitirse por radiación, pero si consideramos la emisivi‐dad dada, entonces es de sólo 367 W que trasmite el radiador de 2000 W por radiación. Los resultados son modestos,pues la radiación no constituye un mecanismo importante para la transmisión de calor a temperaturas suaves, y espor convección que la energía consumida por el "radiador" se trasmite al recinto.

Problemas

1. Una pared está formada por una capa de ladrillo (k Ladrillo=0.6 W/(m·K)) de 10 cm de espesory una capa de aislante (k aislante=0.01 W/(m·K)) de 3 cm de espesor. Ocupa un área de 10 m2,2 de los cuales corresponden a una ventana de vidrio de 4 mm de espesor ( k vidrio=0.8W/(m·K)). Se estima un coeficiente de convección (en ambas caras) h=6 W/(m2·K). Dibuje el

esquema correspondiente a la analogía eléctrica y calcule la resistencia térmica equivalentede la pared.

Figura 7.- Conducto de varias capasen serie.

k 1

k 2k 3

T 4

T 1

r 1r 2

r 3r 4


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Solución

En la figura se muestra el circuito eléctrico equivalente, en elque Rhp es la resistencia de convección en la superficie ocupa‐da por el muro (ladrillo y aislante), mientras que Rhv es la re‐

sistencia de convección de la capa de aire adyacente al vidrio.Ambas resistencias toman el mismo valor en el exterior y en el interior. Por su parte, RL, RA y RV son, respectivamente, las resistencias por conducción de la capa de ladrillo, capa de aislante yventana de vidrio. Los valores de estas resistencias son:

1 1 1 10.0208K/W; 0.0833K/W

6·8 6·2

0.1 0.03 0.0040.0208K/W; 0.375K/W; 0.0025K/W

0.6·8 0.01·8 0.8·2

hp hv

p v

V L AL A V

L p A p V V

R RhS hS

d d d R R R

k S k S k S

= = = = = =

= = = = = = = = =

Observamos que en cada rama del circuito las resistencias se encuentran en serie. Así, para laparte ladrillo/aislante tendremos una resistencia R1:

1 2 0.437 K/Whp L AR R R R= + + =

Y para la rama de la ventana:

2 2 0.169 K/Whv V R R R= + =

Por último, R1 y R2 están en paralelo, por lo que la resistencia equivalente de la pared será:

e1 2

1 1 1 1 18.2 W/K 0.12K/W

0.437 0.169 qeqR

R R R= + = + = → =

2. Una pared tiene 2 m de alta, 1.8 m de ancha y 10 cm de espesor y esta constituida por 60 cmde madera de abeto, k 1=0.156 W/(0Cm), otros 60 cm de madera de pino, k 2=0.112W/(0Cm), y otros 60 de plancha de corcho aislante,k 3=0.043 W/(0Cm)). Hallar la pérdida de calor si unade las caras de la pared se mantiene a 27 0C y la otra a15 0C.

Solución

El flujo total que atraviesa la pared, será la suma de losflujos parciales que atraviesa cada uno de los materiales,

que podemos escribir:

1 2 1 2 1 21 2 3 1 2

1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1( )

t t t t t t Q Q Q Q t t

d d d R R R

S k S k S k

⎧ ⎫− − −= + + = + + = − + +⎨ ⎬

⎩ ⎭

& & & & ,

Si escribimos el flujo total en función de la resistencia equivalente, y comparamos con la expre‐sión anterior:

1 2

1 2 3

1 1 1 1

eq eq

t t Q

R R R R R

−= ⇒ = + +& ,

donde vemos cómo se puede calcular la resistencia térmica equivalente cuando la asociación esen paralelo. Sustituyendo valores, tendríamos:

Rhp RA Rhp

Rhv RV Rhv

RL

k 1 k 2 k 3

t 1

t 2

0.6 m 0.6 m 0.6 m 0.1 m

2 m


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3 31 1 2 2

1 2 3 1 2 3

1 1 1 1

2 0.6(0.156 0.112 0.043) 3.732 /º 0.27 º /

0.1

eq

eq

k S k S k S

R R R R d d d

W C R C W

= + + = + + =

×= + + = ⇒ =

con lo cual el calor que atraviesa la pared será:1 2 27 15 44.8

0.27eq

t t Q W

R

− −= = =&

3. El muro de la fachada de un edificio de 10× 4 m 2 , consta de una capa exterior de ladrillo

visto, k 1=1.27 W/( 0C×m), de 10 cm de espesor, seguida de otra capa de 15 cm de ladrillomacizo, k 2=0.7 W/( 0C×m), y de una tercera de enlucido de yeso de 2 cm, k 3=0.46 W/( 0C×m).En estas condiciones, ¿cuál será el flujo de calor que por conducción atraviesa la fachada, si

la temperatura de la cara exterior es de 40 0

C y la de la interior se mantiene a 20 0

C medianteun sistema de acondicionamiento?. Si mantenemos las mismas condiciones, pero añadimosentre las paredes de ladrillo una capa de 5 cm de espesor de lana de vidrio prensada,k 4=0.033 W/( 0C×m), ¿qué porcentaje de ahorro energético supone para el acondicionador?.¿Cuál será en ambos casos la temperatura de la cara de la pared de ladrillo revocada conyeso?

Solución:

Como se trata de una pared de varias capas, la resistencia térmica de la pared será la suma de laresistencia térmica de cada una de las capas, por lo que podremos escribir, en cada caso:

31 2

1 2 3

31 2 4

1 2 3 4

(40 20) 10 42381

0.1 0.15 0.02

1.27 0.7 0.46

(40 20) 10 4' 432.2

0.1 0.15 0.02 0.05

1.27 0.7 046 0.033

t Q W

d d d

k S k S k S

t Q W

d d d d

k S k S k S k S

Δ − × ×= = =

+ ++ +

Δ − × ×= = =

+ + ++ + +

&

&

El porcentaje de ahoro, será:

' 2381.0 432.2% 100 100 84.7%

2381.0

Q Q Ahorro

Q

− −= × = × =

& &

&

Para determinar la temperatura de la cara del ladrillo (t o t’ ) revocada con yeso, basta considerarque, en cada caso, el calor que atraviesa la pared ha de atravesar la capa de yeso, por lo quepodremos escribir:

0

3

3

0

3

3

( 20) 10 42381 22.6

0.02

0.46

' ( ' 20) 10 4' 2432.2 ' 20.5

0.02

0.46

YESO

YESO

t t Q w t C

d

k S

t t Q w t C

d

k S

Δ − × ×= = = → =

Δ − × ×= = = → =

&

&


13/17


4. Para un recinto se pueden despreciar las pérdidas de calor a través de todas sus paredesexcepto la fachada, de 20x10 m2, constituida por un muro, de 30 cm de espesor y conducti‐vidad térmica k 1=0.93 W/(mK), y un hueco acristalado, de 15x4 m2, 5 mm de espesor yconductividad k 2=0.38 W/(mK). Para acondicionar el recinto en invierno se utiliza unabomba de calor, de potencia 20 kW y cuya eficacia es el 50% de la máxima posible funcio‐nando entre las temperaturas exterior, 0 0C, y la interior t . Determinar dicha temperatura t .

Solución:

El espacio perderá calor por la fachada que será elque tenga que reponer la bomba de calor paramantener la temperatura t en el interior constante.

La resistencia térmica equivalente de la fachadaserá la resultante de la asociación en paralelo de ladel ventanal y el muro, es decir:

0

0

4 0

0.3 0.0023 /0.93 140 1 1 1 1 1

0.0023 0.000220.0050.00022 /

0.38 60

4980.2 2 10 /

M M

M M

V eq M V V

V V

eq

d R C W

k S

d R R RR C W

k S

R C W −

⎫= = = ⎪⋅ ⎪⇒ = + = + =⎬

⎪= = =⎪⋅ ⎭

= ⇒ = ⋅

El calor perdido por la fachada será:

42 10eq

t t Q

R −Δ

= =⋅

&

La eficacia máxima se tendría para una máquina reversible funcionando entre el exterior ( 273

K )y el interior (t+273 K ) y la real es el 50% de ésta:

273 273 2730.5

273 273MAX RE t t t

t t t ε ε

+ + += = ⇒ =

+ −

El calor aportado por la bomba de calor será:

273 273 2730.5 20000 0.5 10000RE

Q t t t Q

W t t t ε

+ + += = ⇒ = ⋅ ⋅ =

&&

Igualando con el que se pierde por la fachada:

4

27310000

2 10

t t

t −+

=⋅

Resolviendo la ecuación obtenemos:024.4t C =

5. A) Describa cualitativa y razonadamente sobre un gráfico,análogo al de la figura, cómo varía la temperatura en fun‐ción de la distancia entre el interior y el exterior de unahabitación separados por un muro cuya sección transver‐sal se muestra.

B) Un depósito prismático, de 4×4×4 m3, tiene todas suscaras perfectamente aisladas excepto la superior, que es

S V=60 m 2

S M=140 m 2

t

W=20 kW

Q& t=0 0C

Q&

M URO

T

d

T I

T E

CÁMARADE AIRE

I N T E R I O R

E X T E R I O R

P A R E D

1

P A R E D

2


14/17


de chapa de acero (k A=50 W/(m·K)) de 3 cm de espesor. En la misma hay un visor de vidrio

blindado (k V=0.9 W/(m·K)) de 0.8×0.8 m2 y 5 cm de espesor. En su interior hay 570 kg de ungas ideal ( 189 /( · )

gR J kg K = ), cuya presión no debe sobrepasar en ningún caso los 500 kPa.

La temperatura en un día de extremo verano es de 47 0C en el lugar donde está el depósito.

El sistema de refrigeración de la instalación es capaz de extraer, en tales condiciones, hasta400 W de calor de su interior. Se dispone de un material aislante de conductividad k AIS=0.03W/(m·K) para aplicar sobre la parte metálica. Determinar el espesor de la capa de aislanteque hemos de colocar. Realizar un esquema con la analogía eléctrica identificando la resis‐tencia que describe cada uno de los elementos. Despreciar los fenómenos de convección.

SOLUCIÓN:

A) La línea describe las variaciones en el interior de cada unade las películas de convección y en el interior de cada una delas paredes que constituyen el muro.

B) La temperatura máxima que puede alcanzar el gas será:

0500000 64 297 24570 189

PV PV mRT T K C

mR

×= ⇒ = = = =

×

EL calor que entra por el visor en la unidad de tiempo es:

(47 24)264.96

0.05

0.64 0.9

E I V

V

V V

t t Q W

d

S k

− −= = =

×

&

EL calor que entra en la unidad de tiempo a través de la parte metálica aislada es:

( ) (47 24)(16 0.64) 353.28 10.60.03 0.0000180.00650 0.03 0.03

I E A A AI AI AI AI

A A AI AI

t t Q d d d d d

S k S k

− − −= = = = +

+ + +& .

Para que la temperatura no aumente, el calor total que entra ha de ser igual al que el sistema derefrigeración puede extraer:

10.6264.96 400 0.078

0.00001 7.8

8T V A AI AI

cmQ Q Q w d md

= + = + = ⇒ = =+

& & &

El esquema de la analogía eléctrica es la que se muestra en la figura y las resistencias se identifi‐can a continuación:

Resistencia térmica del visor de vidrio: ( )V V V V R d S k =

Resistencia térmica de la chapa de acero: A A A AR d S k =

Resistencia térmica de la chapa de aislante: AI AI AI AI R d S k =

6. Se dispone de dos materiales de conductividades k 1 y k 2 para construir un cerramiento deespesor d y dudamos entre las dos soluciones propuestas en la figura. a) Determinar la altu‐ra x , en la opción 2, en función de k 1, k 2 y h, para que térmicamente sean igual de eficienteslas dos soluciones. b) Calcule la cantidad de calor que sale a través de esta pared en 1 hora,sabiendo que h=3 m, l =5 m, d =20 cm, que la temperatura interior es t i = 25 0C, la exterior es

t e= 5 0C y que las conductividades térmicas de los materiales son k 1=0.01 W/(m·K) yk 2=0.05 W/(m·K). c) ¿Cuál sería la temperatura de la superficie de separación entre las ca‐

T

d

T I

T E

CÁMARADE AIRE

I N T E R I O R

E X T E R I O R

P

A R E D

2

P A R E D 1

T IT E

RA RAIS

RV


15/17


k 2

OPCIÓN12d

h

l

2d

k 2

k 1

OPCIÓN2

x

d

h

l

k 1

pas si optamos por la opción 1? ¿Cambiaría ésta si invertimos el orden de las capas? No esnecesario calcularla, sólo razone la respuesta.

SOLUCIÓN:

a) Para que las dos soluciones sean igual de eficientes,basta exigir que las dos tengan la misma resistenciatérmica. En la opción 1 las dos capas están en serie y suresistencia térmica equivalente será:

1 12 2

1 1 21 2 1 2

1 1

2Teq T T d d d

R R Rk S k S hl k k

⎡ ⎤= + = + = +⎢ ⎥

⎣ ⎦.

En la opción 2, por el contrario, tenemos en paralelo laresistencia térmica de cada una de las partes (ver figuraadjunta) y la resistencia térmica equivalente de la pared será:

{ }1 1 2 2 1 2 1 2 2

22 1 2 1 2 2

( ) ( )1 1 1

' ' ( )TeqTeq T T

k S k S k xl k h x l l k x k h k x d R

R R R d d d d d l k k x k h

− + −= + = + = + = ⇒ =

− + .

Igualando las dos resistencias térmicas y despejando x , obtenemos:

{ }1 2

1 21 2 1 2 2 1 2 1 2 2

1 2 1 21 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 21 2 1 2 2 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1

2 ( ) 2 ( )

2 2 1( )

2 1 1

Teq Teq

k k d d R R

hl k k l k k x k h h k k k k x k h

hk k hk k k k x k h x k h

k k k k k k

hk k k k h k h hk k hk hk

k k k k k k k k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+= ⇒ + = ⇒ = ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⇒ = − + ⇒ = − =⎢ ⎥

+ + −⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+ − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 1 2 2

1 2 1 2 1 2

( ) 1k k k h

k k k k k k

⎡ ⎤−=⎢ ⎥

+ − +⎣ ⎦

En el caso de que, como en nuestro ejemplo k 2=5k 1, sustituyendo en la expresión anterior, ob‐tendríamos que x=(5/6)h.

b) El calor perdido por unidad de tiempo será:

( ) ( )− −

−Δ= = Δ + = − + = + =

× ×

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭⎣ ⎦⎩ ⎭

&

1 11

1 1 2

1 1 0.2 1 125 5 20 0.007(100 20) 23.8

2 2 3 5 0.01 0.05Teq

T d Q T W

R lh k k .

En 1 hora las pérdidas serán:= × × = × × =& 1 3600 23.8 1 3600 85.7Q Q kJ .

c) Para calcular la temperatura de la capa intermedia, basta tener en cuenta que el calor que sepierde en la unida de tiempo tiene que atravesar cada una de las capas, de modo que si t es latemperatura de la capa intermedia, podemos escribir:

⎧ ⎫− ⎧ ⎫= = ⇒ = + = + = + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬× ×⎩ ⎭⎩ ⎭

& & & 1 02

11 1

0.15 23.8 20.95 3 0.01

ii T i

T

d t t Q t t QR t Q C

R lhk .

En caso de que invirtiéramos el orden de las capas, es decir la de conductividad k 2 en el interior,la temperatura de la capa intermedia sería diferente, pues en la expresión anterior todo seríaigual, pero al ser ahora RT2


16/17


7. Represente el esquema de la analogía eléctrica de lafachada de la figura (despreciar la convección). Ob‐tenga una expresión, en función de las dimensionesa, b y de la conductidad térmica k , para la resisten‐cia térmica equivalente de dicha fachada.

SOLUCIÓN:

La parte ciega está constituida por tres capas en serie,las dos extremas con la misma resistencia térmica. Elhueco acristalado está en paralelo con la parte ciega. Es‐te esquema se ha representado en la figura adjunta.

Las resistencias térmicas de conducción de las capas planas son:

( ) ( ) ( )1 2 32 2 22 2 22 2

9 3 910; ;8 40 20015 209 9 9

ad a a a a a

R R RkS kb kb kbb b bk b k b k

= = = = = = =− −

La resistencia equivalente de las tres en serie es:

1 1 2 2 2 2 2

9 2 3 51

8 40 40eqa a a

R R R Rkb kb kb

×= + + = + =

La resistencia equivalente total será el resultado de la asociación en paralelo de esta Req1 con R3,es decir:

2 2 2

21 3

1 1 1 40 200 3520 153

51 9 153 3520eqeq eq

kb kb kb aR

R R R a a a kb= + = + = → =

8. El recinto de la figura tiene forma semicilíndrica, siendo el radio interior r =30 m, el espesorde las paredes e=10 cm y su longitud L=150 m. Se suponen térmicamente aisladas las semi‐bases del cilindro, mientras que la cubierta está fabricada de un material de conductividad

térmica k =0.1 W/(m·K). Existe una convección externa caracterizada por un coeficiente depelícula h=5 W/(m2·K). La temperatura interior es t 2=25 0C y la del aire exterior t 4=8 0C. Cal‐cular el calor que pierde el recinto por unidad de tiempo.

Solución:

a) El calor que pierde el recinto debido a la diferencia de temperaturasentre el exterior y el interior. Puede expresarse como:

2 4s

k h

t t Q

R R

−=

+&

dondeRk

denota la resistencia térmica de conducción de la cubierta y

Rh

la de convección exterior (están en serie). El valor de estas resistencias es:

aa

a

a/10 b/3

b/3

b

b

15k k

20k (vidrio)

15k

R1 R2 R2

R3

Req1

R3

Req


17/17


5 5 51 1ln 7.06·10 K/W, 1.41·10 K/W, 8.47·10 K/W( )k h k h

r eR R R R

kL r h r e Lπ π

− − −+= = = = → + =+

de donde

2 45

25 8200666W 201 kW

8.47·10

s

k h

t t Q

R R

−

− −= = = ≈

+&

Observe que desde el punto de vista del recinto este calor sería negativo, puesto que se pierde.También debe tener en cuenta que si no hay aporte de humedad al recinto, el calor latente es nu‐lo.

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Tema 3 - Transmisión Del Calor