TEMA1P

Matemticas Generales para Maestros Carlos Maza Gmez

1.1

ENUNCIADOS

Distintas formas de contar

1) Escribe los primeros 15 nmeros si cuentas en base 2, 3 y 5.

2) Escribe los dos nmeros anteriores a los siguientes: 555 6) ; 100 7) ; 1000 5)

3) Escribe en mesopotmico: 47, 76, 347, 4192.

4) Escribe en numeracin maya: 17, 51, 275, 401.

5) Escribe en decimal: MCMXCI ; CMLXXVI ; MMMCCXLV.

6) Escribe en numeracin romana: 796 , 3054.

7) Convertir lo siguiente:a) 108 das en semanas y das.b) 94 meses en aos y meses.c) 86 horas en das y horas.

8) Un recibo se paga en el banco con 432 monedas de 20 cntimos. Teniendo en cuenta lasmonedas actuales, cul es el nmero mnimo de billetes y monedas que necesitaremos paraexpresar esta cantidad?.

9) Escribe los nmeros 2032 4) y 3204 5) en forma polinomial.

10) Qu ventajas presenta contar en base doce respecto al nmero de divisores?. Cmocontaras hasta 12 utilizando los dedos de una mano?. Podras contar hasta 60 con los dedosde las dos manos?.

11) Echa tres dados y anota los tres nmeros que salen en orden. Multiplica el resultado del primerdado por 2, smale 5 luego, multiplica despus por 5. Suma a lo que resulte el nmero delsegundo dado, multiplica por 10 y suma finalmente el resultado del tercer dado. Si restas 250se puede adivinar lo que ha salido en cada dado. Por qu?.

12) En qu sistema de numeracin se duplica 25 x) al invertir sus cifras?.

1: Sistemas de NumeracinProblemas


1.2

13) En un nmero de dos dgitos la suma de dichos dgitos es 12. Si los dgitos se presentan enorden cambiado, al nuevo nmero hay que sumarle 18 para que sea igual al primero. Cul erael nmero original?.

14) En qu sistema de numeracin se cumple que 55 x) + 43 x) = 131 x) ?.

15) Cul es la base n en el que los tres nmeros 123 n) ; 140 n) ; 156 n) cumplen que la diferenciaentre un nmero y el inmediatamente anterior es la misma?.

Cambio de base

16) Escribir los siguientes nmeros en base decimal:432 5) ; 101101 2) ; 346 7) ; 551 6) ; 1.04.36 60).

17) Convertir los siguientes nmeros de base diez a las bases indicadas: 432 a base 5 ; 1963 a base 12 ; 404 a base 4.

18) Cambiar 42 8) a base 2.

19) Cambia 1011011 2) a base 5.

20) Qu bases hacen estas igualdades ciertas?: 32 = 44 x) ; 59 8) = 100 x) ; 31 4) = 11 x) ; 15 x) = 30 y).

21) En los sistemas de numeracin de bases n y n+1 un mismo nmero se representa por 435n) y por 326 n+1) . Halla n y la expresin de dicho nmero en base decimal.

Algoritmos de la suma y resta

22) Sumar: 2234 5) + 1032 5) + 3333 5) .

23) Encontrar los nmeros ocultos en las siguientes operaciones:2 _ _ 5) + 22 5) = _03 5) ; 20010 3) - 2_2_ 3) = 1_2_1 3) .

24) Considerar un nmero de tres dgitos siendo diferentes el primero y tercer dgitos. Invertir losdgitos y encontrar la diferencia entre ambos. Conociendo la cifra de las centenas en ladiferencia obtenida, es posible obtener los otros dos dgitos de la diferencia?. Cmo?.

25) La resta por suma del complementario consiste en lo siguiente: Para hacer la resta 619 - 476se encuentra el complementario de 476 (lo que le falta para alcanzar 999), que es 523. Serealiza la suma 619 + 523 = 1142. A continuacin, se toma el nmero a la izquierda (1) y setransforma en una unidad que se suma a lo que queda del nmero (142 + 1 = 143) y ste


1.3

resulta ser el resultado de la resta inicial. Por qu?. Realiza otras restas por el complementariocomprobando el resultado.

Algoritmos de multiplicacin y divisin

26) Multiplicar 216 8) x 54 8) ; 11011 2) x 1101 2) usando el algoritmo en celosa y el tradicional.

27) En qu sistema de numeracin se verifica 54 x) x 3 x) = 250 x) .

28) Sabiendo que en cierto sistema de numeracin 36 x) + 45 x) = 103 x) calcula el productode 36 x) x 45 x) .

29) Para multiplicar dos nmeros desde el 5 x 5 al 9 x 9, cada uno de un dgito, la multiplicacinsarda procede as: Cada nmero se representa en una mano por un nmero de dedosextendidos igual a la cantidad en que el nmero sobrepase de cinco. El resultado se obtienesumando los nmeros extendidos, multiplicando por 10 y aadiendo a lo obtenido el productode los nmeros flexionados. Es cierto siempre?. Demustralo.

30) El algoritmo ruso de la multiplicacin se basa en doblar uno de los factores y dividir por la mitadel otro. Cuando esta ltima operacin ha de ejercerse sobre un nmero impar se le resta unaunidad antes de dividir por dos. El algoritmo termina cuando uno de los factores es la unidad.Entonces se suman finalmente los valores doblados excepto los que correspondan a un nmerodividido par. Justifica este algoritmo:

27 x 5113 x 1026 x 204 No3 x 4081 x 816

27 x 51 = 816 + 408 + 102 + 51 = 1377


1.4

SOLUCIONES

1) Base 2: 1 / 10 / 11 / 100 / 101 / 111 / 1000 / 1001 / 1010 / 1011 / 1100 / 1101 / ... Base 3: 1 / 2 / 10 / 11 / 12 / 20 / 21 / 22 / 100 / 101 / 102 / 110 / 111 / 112 / 120 Base 5: 1 / 2 / 3 / 4 / 10 / 11 / 12 / 13 / 14 / 20 / 21 / 22 / 23 / 24 / 30

2) 554 6) 66 7) 444 5)

5) 1991 / 976 / 3245

6) DCCXCVI / MMMLIV

7) 15 semanas 3 das / 7 aos 10 meses / 3 das 14 horas

8) 2 billetes de 200 euros, 3 de 10 euros y 2 monedas de un euro

9) 2 + 3 x 4 + 2 x 4 3 / 4 + 2 x 5 2 + 3 x 5 3

10) El hecho de que en base 12 habra ms divisores (12, 6, 3, 2) respecto a la base 10 (10, 5, 2)lo que permite el establecimiento de una relacin fraccionaria con ms subunidades.

Sealando con el pulgar cada una de las falanges de los dedos restantes.Del modo anterior aadiendo que cada dedo de la otra mano corresponda a una docena.

11) Si las tiradas sealan, en este orden, a b c, la operacin efectuada corresponde a2 a2 a + 55 (2 a + 5)5 (2 a + 5) + b10 [ 5 (2 a + 5) + b ]10 [ 5 (2 a + 5) + b ] + cSi se desarrolla queda10 [ 5 (2 a + 5) + b ] + c = 10 [ 10 a + 25 + b ] + c = 100 a + 250 + 10 b + c

En caso de restarle 250 resulta:100 a + 10 b + c descomposicin cannica del nmero escrito a b c.

12) 5 2 x) = 2 x 2 5 x)2 + 5 x = 2 ( 5 + 2 x)2 + 5 x = 10 + 4 xx = 10 - 2 = 8

13) Sea el nmero de dos dgitos a ba + b = 12 Adems,b a + 18 = a b


1.5

(a + 10 b) + 18 = b + 10 a9 a - 9 b = 189 (a - b) = 18a - b = 2

De donde se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:a + b = 12a - b = 2

que resulta en a = 7 b = 5

14) (5 + 5 x) + (3 + 4 x) = 1 + 3 x + x2

x2 - 6 x - 7 = 0x = 7

15) 140 n) - 123 n) = 156 n) - 140 n)( 4 n + n2 ) - ( 3 + 2 n + n2 ) = ( 6 + 5 n + n2 ) - ( 4 n + n2 )2 n - 3 = n + 6n = 9

16) 117 / 45 / 181 / 211 / 3876

17) 3212 5) / 1177 12) / 12110 4)

18) 100010 2)

19) 331 5)

20) 4 + 4 x = 32 4 x = 28 x = 79 + 5 . 8 = x 2 49 = x 2 x = 71 + 3 . 4 = 1 + x 13 = 1 + x x = 125 + x = 3 y x = 4 ; y = 3

21) 5 + 3 n + 4 n2 = 6 + 2 (n+1) + 3 (n+1)2

5 + 3 n + 4 n2 = 3 n2 + 8 n + 11n2 - 5 n - 6 = 0n = 65 + 3 . 6 + 4 . 62 = 167

22) 12204 5)

23) 231 5) + 22 5) = 303 5)20010 3) + 2022 3) = 10211 3)


1.6

24) a b c - c b a Da por resultado un nmero de tres cifras (a-c) 0 (c-a)de manera que conociendo la cifra de las centenas, la de las decenas es 0 y la de las unidadescorresponder a la inversa d ela cifra de las centenas.

25) Sea la resta A - B. En la resta por el complementario se realizan las siguientes operaciones:A + (999 - B) = (A - B) + 999Al quitar la unidad de los miles se est restando 1000 y al aadirla en las unidades se suma 1,

de manera que en realidad se resta 1000 - 1 = 999 llegndose al resultado de la resta original.

26) 14150 8) / 101011111 2)

27) 3 . (4 + 5 x) = 5 x + 2 x2 12 + 15 x = 5 x + 2 x2

2 x2 - 10 x - 12 = 0x2 - 5 x - 6 = 0x = 6

28) ( 6 + 3 x ) + ( 5 + 4 x ) = 3 + x2

x2 - 7 x - 8 = 0x = 836 8) x 45 8) = 2126 8)

29) Si los nmeros son a y bExtendidos: (a - 5) en una mano y (b-5) en la otra manoFlexionados: 5 - (a - 5) = 10 - a en una mano y 5 - (b - 5) = 10 - b en la otraLa operacin realizada sera

10 [ (a - 5) + (b - 5) ] + (10 - a) (10 - b) = 10 (a + b - 10) + (100 - 10 a - 10 b + ab) = a b

30) 27 x 51 = (26 + 1) x 51 = (51) + (26 x 51) = (51) x (13 x 102) = (51) x [(12 + 1) x 102](51 + 102) + (12 x 102) = (51 + 102) + (6 x 204) = (51 + 102) + (3 x 408) =(51 + 102) + [(2 + 1) x 408] = (51 + 102 + 408) + (2 x 408) = (51 + 102 + 408) + (1 x 816) = 51 + 102 + 408 + 816

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