TEOREMABAYES

RUMUS DASAR :P (A dan B) = P(A) . P(B/A)

=P (B dan A) = P(B) . P(A/B)

n

1iii

kkk

)P(B/A.)P(A

)P(B/A.)P(A/B)P(A

Peristiwa B bisa terjadi jika salah satu dari n peristiwa yang

saling asing A1, A2, ..., An juga terjadi.

Contoh SoalContoh SoalSebuah pabrik roti menggunakan 4 buah mesin (A,B,C,D) untuk

memproduksi kue donat. Pada akhir bulan diadakan evaluasi terhadap

semua mesin serta outputnya, dan hasilnya adalah sebagai berikut:

mesin A:100 buah; mesin B: 120 buah; mesin C: 180 buah; dan mesin D:

200 buah. Mesin A dan B memiliki probabilitas menghasilkan donat yang

rusak sebanyak 5% sedangkan mesin C dan D memiliki probabilitas 1%.

Jika dari total donat yang dihasilkan dari keempat mesin tersebut diambil

1 secara random dan ternyata rusak, maka berapakah probabilitas bahwa

donat tersebut diproduksi oleh mesin A?

Jawab

600

100

5

1

10

3

6

1

3

1

MESIN PROBABILITAS DONAT DARI MESIN....

PROBABILITAS DONAT RUSAK DARI MESIN...

A P(A) = = P(R/A) = 5% = 0,05

B P(B) = P(R/B) = 0,05

C P(C) = P(R/C) = 0,01

D P(D) = P(R/D) = 0,01

Dengan rumus Bayes, maka Dengan rumus Bayes, maka dapat dihitung dapat dihitung P(A/R)P(A/R)==

)P(D).P(R/D)P(C).P(R/C)P(B).P(R/BP(R/A).P(A)

P(R/A).P(A)

)100

1x

31

()100

1x

103

()100

5x

51

()100

5x

61

(

1005

x61

3003

10003

5005

6005

6005

= 0,......

Contoh Soal ke-2Contoh Soal ke-2Sebuah program acara di stasiun TV Menjulang Ke Langit adalah

“ajang missTick”. Program tersebut akan terus dilanjutkan atau

dihentikan tergantung pada siapa yang akan terpilih menjadi direktur

TV tersebut. Ada 2 calon , yaitu Tonche dan Bonche. Probabilitas

Tonche terpilih menjadi direktur adalah 0,7. A adalah probabilitas

bahwa program MissTick akan dilanjutkan. Probabilitas “ajang

MissTick” dilanjutkan jika Tonche menang adalah: P(A/B) = 0,3 dan

bila Bonche menang adalah: P(A/C)=0,8.

Jika pada akhirnya “ajang MissTick” dilanjutkan, berapakah

probabilitas bahwa yang terpilih menjadi direktur adalah Tonche?

Jawab

Acara ”ajang MissTick”

ditayangkan = A

KEMUNGKINAN TERPILIH MENJADI DIREKTUR

PROGRAM TAYANG, JIKA YANG TERPILIH.....

Tonche = P(B) = 0,7 Tonche = P(A/B) = 0,3

Bonche = P(C) = 1- 0,7 = 0,3 Bonche = P(A/C) = 0,8

Dengan rumus Bayes, maka Dengan rumus Bayes, maka dapat dihitung dapat dihitung P(B/A)P(B/A)==

)P(C).P(A/CP(A/B).P(B)

P(A/B).P(B)

0,8) x (0,30,3) x (0,7

0,3 x 0,7

24,021,0

21,0

= 0,47

DIAGRAM VENN

Ruang sampelHasil pengukuran dari percobaan yang dilakukan berkali-kali dari

sejumlah besar observasi disebut POPULASI

Hasil dari sekelompok kecil percobaan disebut SAMPEL Contoh : dalam pelemparan sebuah dadu, terdapat beberapa kejadian

yang berhubungan dengan percobaan ituKejadian A : muncul sisi bernomor ganjilKejadian B : muncul sisi bernomor dibawah 4Kejadian S1: muncul sisi bernomor 1Kejadian S2: muncul sisi bernomor 2Kejadian S3: muncul sisi bernomor 3Kejadian S4: muncul sisi bernomor 4Kejadian S5: muncul sisi bernomor 5Kejadian S6: muncul sisi bernomor 6

S2

S1

DIAGRAM VENN

S3

S4

S5

S6

Diagram Venn untuk Diagram Venn untuk

Kejadian A dan BKejadian A dan B

S1 S3

S5

AS5

S1 S2

S3B

B

S1

S2

S3

S6

S4

AS5

Kejadian A = jumlah dari probabilitas dari titik sampel dalam A

2

1

6

1

6

1

6

1

Kejadian B = jumlah dari probabilitas dari titik sampel dalam B

2

1

6

1

6

1

6

1

Union dan Intersection Union A dan B: kejadian yang mencakup semua

titik sampel dari kejadian A dan B.Simbolnya: A B = A atau B

Intersection A dan B : kejadian yang terdiri dari semua titik sampel yang berasal dari A dan B

Simbolnya : A B = A dan B

A

S1

S3 S5

B S2

S4

S6

Intersection A dan B

Union A dan B

AS1

S3

S5

BS2

S4

S6

Kejadian Mutually Exclusive dalam diagram

Venn

P (X Y) = P (X) + P (Y)

P (X Y) = 0

X Y

S

Kejadian Independent dalam diagram Venn

P (X Y) = P (X) + P (Y) – P (X Y)

X Y

S

♣♣♣♣♣♣♣♣

3 kejadian Independent dalam diagram Venn

P(X Y Z) =

P(X) + P(Y) + P(Z) – P(X Y) - P(X Z) - P(Y Z) +

P(X Y Z)S

X Y

Z

XY

XYZXZ YZ

Contoh SoalContoh SoalDalam sebuah populasi yang terdiri dari pembaca majalah, persentase

pembaca majalah Ananda, Bobo, dan Cempaka serta kombinasinya adalah sebagai berikut :

Ananda : 7,3 % Ananda dan Bobo : 6,7 %Bobo : 17,9 % Ananda dan Cempaka : 8,1 %

Cempaka: 11,5 % Bobo dan Cempaka : 2,7 %

Ananda, Bobo, dan Cempaka : 5,1 %

1. Berapa persen dari populasi yang ternyata membaca paling sedikit 1 dari 3 majalah tersebut?

2. Berapa probabilitas seseorang yang dipilih secara random dari populasi tersebut yang membaca majalah Bobo atau Cempaka?

JAWAB 1. P(A B C)=P(A) + P(B) + P(C) – P(A B) - P(A C) - P(B C)+P(A B C) = 7,3 + 17,9 + 11,5 – 6,7 – 8,1 – 2,7 + 5,1 = 24,3% = 0,243

2. P(B C ) = P(B) + P(C)– P(B C)

= 17,9 + 11,5 -2,7 = 26,7 % = 0,267