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TEOREMA DE MUESTREO
Es una operación que es básica para diseñar todos los sistemas de modulación de pulsos, donde una señal analógica se convierte en una secuencia de números que normalmente están uniformemente espaciados en el tiempo. Para que dicho proceso tenga utilidad práctica es necesario elegir la tasa de muestreo adecuadamente de modo que esa secuencia de números identifique de forma única a la señal analógica original.Esta es la esencia del teorema de muestreo además teorema de muestreo es otra aplicación de una expansión de series ortogonales.
El teorema del muestreo estable que “Una señal continua de energía finita y limitada en
banda, sin componentes espectrales por encima de una f max queda descrita
completamente especificando los valores de la señal a intervalos de ½f max segundos.
Así, cualquier formar de onda física puede ser representada sobre el intervalo -∞<t<∞ mediante:
Donde
Y fs es un parámetro al cual se le asigna algún valor conveniente mayor a cero. Aun mas si w(t) está limitada en una banda a B herts y fs ≥2B, entonces la ecuación de w(t) se convierte en la representación de la función de muestreo, donde
Esto es que, para fs ≥2B, los coeficientes de la serie ortogonal son simplemente los valores de la forma de onda generados cuando se obtiene una muestra cada 1/fs.
Representación grafica del muestreó de una señal.
Señal a muestrear.
MODULACION DE AMPLITUD POR PULSOS (PAM)
La modulación de amplitud de pulso (PAM) es un término utilizado en ingeniería para describir la conversión de una señal analógica a una señal del tipo de pulso en la cual la amplitud del pulso representa la información analógica. La PAM se la utiliza para obtener una señal PCM (Modulación por codificación de pulso).
El teorema de muestreo nos ayuda a reproducir una forma de onda analógica mediante muestras de está y con la ayuda de las funciones ortogonales (senx)/x. El propósito de la señalización por PAM es suministrar otra forma de onda que se asemeja a los pulsos, y sin embargo contiene la información presente en la forma de onda analógica. Debido que se utilizan pulsos, se espera que el ancho de banda de la forma de onda PAM sea más ancho que el de la forma de onda analógica. No obstante, los pulsos son más prácticos de usar en los sistemas digitales. Se verá que la velocidad de pulso para la PAM es la misma que la requerida por el teorema de muestreo, es decir fs=2B, donde B es la frecuencia más alta en la forma de onda analógica y 2B se conoce como la velocidad de Nyquisty.
Existen dos clases de PAM: la que utiliza un muestreo natural y la que utiliza un muestreo instantáneo.
Muestreo natural (Por compuerta).
Este es más fácil de obtener y se le puede utilizar en otras aplicaciones.
Si w(t) es una forma de onda analógica limitada por banda B herts entonces la señal PAM que utiliza muestreo natural es:
Donde:
Es una forma de onda de conmutación de ondas rectangulares y f s=1 /T s≥2B.
Señal Muestreada idealmente
El espectro para la señal PAM naturalmente muestreada es:
Donde: fs =1/Ts ws=2πfs el ciclo de trabajo de s(t) es d=Ϯ/Ts ,y,
Es el espectro de la forma de onda original sin muestreo.
En el receptor es muy fácil recuperar la onda analógica orinal, w(t), solo hay que hacer pasar a la señal PAM por un filtro pasa bajó en donde la frecuencia de corte es B< f corte<fs−B.
Ejemplo.
Tenemos una forma de onda que posee un espectro rectangular, donde el ciclo de trabajo de la forma de onda de conmutación es d=Ϯ/Ts = 1/3y7 la velocidad de muestreo es de fs=4B. Como se espera, el espectro de la forma de onda analógica de entrada se repite en las armónicas de la frecuencia de muestreo. Cuando d = 1/3, el espectro de PAM es cero para ±3fs, ±6fs y así sucesivamente, debido a que el espectro en esta banda de armónicas se nulifican por la función (senx)/x. A partir de la figura podemos determinar que el ancho de banda de la señal PAM es mucho mayor que el de la señal analógica original.
Espectro de amplitud de la señal analógica de entrada.
Espectro de magnitud de la señal PAM.
Muestreo Instantáneo (PAM plana).
Es la más utiliza para conversión a PCM. Este tipo de muestreo utiliza un tren de impulsos.
Si w(t) es una forma de onda analógica limitada por una banda B herts, entonces la señal PAM por muestreo instantáneo está dada por:
Donde h(t) denota la forma de pulso de muestreo y, para muestreo plano, la forma de pulso es:
Donde:
La señal analógica se puede recuperar a partir de la señal PAM plana con la utilización de un filtro pasa bajó. No obstante, existe una pérdida de alta frecuencia en la forma de onda analógica recuperada debido al efecto de filtrado, H(f), causado por la forma del pulso plano. Si la pérdida es significativa se la puede corregir al disminuir Ϯ o también se puede utilizar ganancias adicionales en las altas frecuencias en la función e transferencia del filtro pasa bajó, en este caso al filtro se lo conoce como filtro ecualizador.
Ejemplo.
Tenemos una forma de onda analógica de entrada que tiene un espectro rectangular.
Forma de onda de muestreo por tren de impulsos.
Espectro de amplitud de la forma de onda de entrada.
MODULACION POR CODIFICAION DE PULSOS (PCM).
Este tipo de modulación, sin duda la más utilizada de todas las modulaciones de pulsos es, básicamente, el método de conversión de señales analógicas a digitales (CAD). PCM siempre conlleva modulación previa de amplitud de pulsos. Una señal analógica se caracteriza por el hecho de que su amplitud puede tomar cualquier valor entre un mínimo y un máximo, de forma continua. Una señal PAM también puede tener cualquier valor, pero en intervalos discretos. Esto significa que el posible número de valores de amplitud es infinito. Por otra parte, la amplitud de una señal digital sólo puede tener un número finito de valores, por lo general dos (cero y uno). Una señal analógica puede convertirse a digital mediante un proceso de muestreo y cuantificación. El muestreo la convierte en una señal PAM, la cuantificación redondea el valor de la amplitud al número permisible más cercano, generalmente en el intervalo (0, 2n) y lo codifica en un cierto número de bits. En realidad, no es estrictamente necesario transmitir con toda exactitud las amplitudes de las muestras. En el caso de señales de voz o de imagen, el receptor último es el oído o el ojo, que detectan sólo diferencias finitas, de modo que la señal original, continua, puede aproximarse por una señal formada por un conjunto de amplitudes discretas seleccionadas de forma tal que el error sea mínimo. Si las muestras de amplitudes distintas están muy cercanas entre sí, la señal aproximada prácticamente no se distinguirá de la señal continua original.Desde un punto de vista práctico, es deseable una señal binaria, que puede tomar sólo dos valores, por su simplicidad. Para ello, la señal cuantificada a niveles discretos entre 0 y 2n valores, puede codificarse mediante un símbolo de n bits, por lo que generalmente la cuantificación va seguida de un proceso de codificación.
Ventajas de la modulación por codificación de pulsos.
Se puede utilizar ampliamente circuitos digitales relativamente económicos para su implementación.
Las señales PCM derivadas de las fuentes analógicas (audio, video, etc…) puede combinarse con cualquier señal de datos (de computadoras digitales, por ejemplo) y transmitirse a través del mismo sistema digital de comunicaciones de alta velocidad a este proceso se lo conoce como multiplexión por división de tiempo.
En los sistemas telefónicos digitales de larga distancia que necesitan repetidores, una forma de onda PCM limpia puede regenerarse a la salida de cada repetidor, donde la entrada consiste en una forma de onda PCM con ruido. Sin embargo, el ruido a la entrada puede causar errores de bit en la salida PCM recuperada en la salida.
Espectro de amplitud de la señal PAM (muestreo plano).
El rendimiento de ruido de un sistema digital puede ser superior al de uno analógico. Además la probabilidad de error para la salida del sistema puede reducirse aún mas mediante técnicas de codificación apropiadas.
La única desventaja del PCM es el uso de un ancho de banda mucho mayor al de la señal analógica original.
Muestreo, cuantificación y codificación.
Para obtener la señal PCM se realiza tres pasos:
Muestreo.
Consiste en tomar muestras (medidas) del valor de la señal n veces por segundo, con lo que tendrán n niveles de tensión en un segundo, este proceso genera una señal PAM plan.
Cuantificación.
La cuantificación es un método de asignación de los valores íntegros de la señal PAM plana a un rango específico para mostrar los ejemplos.
Para efectuar esta conversión, la señal muestreada (PAM) se aplica, a través de una cadena de divisores de voltaje, a una serie de comparadores, cuyo número es igual al de niveles de cuantificación (como se ilustra en la figura). La otra entrada a los comparadores procede de un voltaje de referencia preciso, aplicado a un divisor de voltaje similar al anterior, con tantas resistencias como niveles de cuantificación haya. Así por ejemplo, para codificación a 8 bits se requieren 28 = 256 niveles de cuantificación y, por tanto 256 comparadores. Debido a la acción de los divisores de voltaje, tanto para la señal como para el voltaje de referencia, los voltajes serán coincidentes a la entrada de uno solo de los comparadores de la cadena, el cual producirá una salida “1”, en tanto que todos los restantes tendrán salida “0”. Es decir, en cada punto de muestreo, solamente uno de los comparadores entregará una señal diferente a los demás, que corresponderá al nivel de cuantificación de la señal de entrada.
Codificador.
Las salidas de los comparadores se aplican a un conversor de código con 256 entradas y 8 salidas, de modo que a la salida del codificador se tendrá una palabra o símbolo de 8 bits en paralelo, correspondiente al nivel de cuantificación en el punto de muestreo de la señal de entrada. Mediante un registro de desplazamiento de entrada en paralelo y salida en serie, es posible convertir la salida en paralelo del codificador en una secuencia de bits en serie.
Todo el proceso anterior requiere de sincronismo preciso que debe ser proporcionado por un oscilador o reloj maestro, de modo que la señal de salida del codificador sea perfectamente identificable en el tiempo.La señal de salida del conversor analógico-digital es una señal binaria, ya sea en serie o en paralelo y, en tales condiciones, ha perdido completamente las características de la señal analógica y ya no puede identificarse como tal, excepto por la relación que guarda cada símbolo con la amplitud de aquélla. Sin embargo, la correspondencia entre la amplitud de las muestras de la señal analógica y su representación binaria no es exacta, ya que en el proceso de cuantificación sólo se identifican niveles discretos y las amplitudes de las muestras no corresponden con exactitud a los valores de amplitud asignados a los niveles de cuantificación. Así, a cada muestra se le asignará el nivel más cercano, introduciendo con ello un error en el proceso de cuantificación, al que se designa como ruido de cuantificación, que puede ser más o menos apreciable en la reproducción de la señal.
Ancho de Banda de las señales PCM
El ancho de banda de las señales PCM depende de la velocidad de bit y el pulso de la forma de onda utilizado para representar los datos.La velocidad del bit es:
Donde n es el número de bit en la palabra y fs es la velocidad de muestreo.
Y de donde podemos decir que:
Donde BPCM es el ancho de banda de la señal PCM y B es el ancho de banda de la señal
analógica.
Efecto del Ruido.
La señal analógica que se recupera a la salida del sistema PCM esta contaminada por ruido. Existen dos efectos principales que producen este ruido o distorsión:
Ruido de cuantificación, originado por el cuantificador de M pasos en el transmisor PCM.
Errores de bits en la señal PCM recuperada, causados por el ruido en el canal, asi como un filtrado inadecuado del c anal, lo cual ocasiona ISI.
Bajo ciertas consideraciones, la relación de la potencia pico de la señal analógica recuperada a la potencia promedia total de ruido está dada por:
Salidas de los comparadores
Salida binaria en paralelo
Y la relación de la potencia promedio de la señal a la potencia promedio de ruido es:
Donde M es el número de niveles cuantificados utilizados en el sistema PCM y Pc es la probabilidad de error de bits en la señal PCM binaria recuperada en el receptor DAC antes de su conversión.
Considerando que Pc = 0 y ISI no exista estas ecuaciones quedan de la siguiente manera:
Cuantificación uniforme y no uniforme
La cuantificación es uniforme cuando los niveles de cuantificación están espaciados uniformemente, o dicho de otra manera, cuando los escalones de la figura tienen la misma altura.
En algunas aplicaciones de telefonía y procesado de imágenes, es conveniente cuantificar los valores pequeños de señal con niveles menores, es decir de manera más fina que los valores altos. Esto se ilustra en la figura.
Cuantificación uniforme.
El empleo de un cuantificador uniforme equivale a pasar la señal en banda base por un compresor y luego aplicar la señal comprimida a un cuantificador uniforme.Hay dos métodos de cuantificación no uniforme, uno designado como ley μ y otro como ley A. La cuantificación de acuerdo a la ley μ sigue la regla siguiente:
Donde m y v son los voltajes normalizados de entrada y salida y μ es una constante positiva. Si μ = 0, la cuantificación es uniforme. La cuantificación de acuerdo a la ley μ es aproximadamente lineal para niveles pequeños de la señal de entrada, que corresponden a μ|m| << 1 y, aproximadamente logarítmica para niveles grandes de la señal de entrada cuando μ|m| >> 1.Por otra parte, la ley A está definida como:
En este caso la cuantificación uniforme se tiene cuando A = 1.Con el empleo de compresión no uniforme se consigue mejorar la relación señal a ruido a niveles bajos de señal, a expensas de la relación señal a ruido para señales grandes.
MODULACION DELTA
Es un caso especial de DPCM donde el cuantificación tiene solamente un bit, uno si la señal es dependiente positiva y cero si es negativa.
Cuantificación no uniforme.
El modulador delta incluye, básicamente, un comparador, un cuantificador y un acumulador. Además, el bloque designado como filtro de predicción en DPCM, en el caso de modulación delta es un circuito de retardo unitario, es decir, un retardo de duración igual a un período de muestreo Ts.
El comparador calcula la diferencia entre sus dos señales de entrada y el cuantificador es un limitador duro, con una relación de entrada-salida que es una versión escalada de la función signum (±). La salida del cuantificador se aplica a un acumulador que entrega una señal de salida en forma de escalera.
Una ventaja de la modulación delta es que permite seguir señales de cualquier amplitud. Además el equipo transmisor y el receptor son muy sencillos. No se requiere sincronismo de palabra.
En este tipo de modulación se presentan dos tipos de errores:
Distorsión por sobrecarga de pendiente este ocurre cuando los niveles de la aproximación en escalera no pueden seguir las variaciones rápidas de la señal.
Ruido granular se produce cuando el tamaño del escalón, es muy grande en tanto que la pendiente de la señal es pequeña, es decir que la señal de entrada varía poco.
Diagrama de bloques de un modulador delta.
Modulación Delta.
Restricciones en la frecuencia de muestreo.
Sin duda que si elegimos un paso pequeño y una frecuencia alta el ruido granular se disminuye considerablemente, ya que en definitiva la señal cuadrada periódica de las zonas de ruido granular será filtrada por el filtro de recepción. La sobre pendiente debe cuidarse evitando que la señal tenga pendientes mayores a lo que puede ofrecer el sistema delta, esto es:
Cálculo de la relación señal a ruido para modulación delta
Supongamos que el error oscila entre ± Δ y que está distribuido uniformemente entre estos dos valores. En ese caso la potencia del error sería igual a 0.333 ∆2.
Modulación Delta
SEÑALIZACION DIGITAL.
En esta parte vamos a determinar cómo representar matemáticamente una señal PCM y determinar aproximadamente el ancho de banda de dicha señal.
Las formas de onda de voltaje (o de corriente) para las señales digitales pueden expresarse como unas serie ortogonal con un numero finito de términos N. Es decir, la forma de onda puede escribirse como
0<t<To
Donde wk representa los datos digitales y , k = 1,2,… N son un numero n de funciones ortogonales que le dan la forma de onda. N es el número de dimensiones que se requiere para describir la forma de onda. El termino dimensiones proviene de la interpretación geométrica. La forma de onda w(t) sirve para representar una palabra PCM o cualquier mensaje de la fuente digital, la cual se encuentra dentro de un conjunto único de datos digitales (wk) k = 1,2,3,….N para representar dicho mensaje.
Por ejemplo, para una fuente binaria que consiste en un teclado ASCII de computadora, la letra X esta asignada la palabra de codificación 0001101.En este caso w1=0, w2=0, w3=0, w4=1, w5=1, w6=0, w7=1 y N=7. Este mensaje es enviado sobre un intervalo de tiempo de To segundos y el voltaje, que representa al mensaje, abarca un tiempo de To segundos. La velocidad de datos puede calcularse empleando las siguientes definiciones:
La velocidad en bauds (velocidad de símbolo) es
Donde N es el número de dimensiones utilizadas en To en s.
La velocidad de bit es:
Donde n es el número de bit enviado en To en s.
Para que el receptor pueda utilizar la información enviada de esta manera tiene que evaluar el coeficiente de la serie ortogonal utilizando esta ecuación
Donde w(t) es la forma de onda presente a la entrada del receptor y es la función ortogonal conocida que se utilizo para generar la forma de onda. También se puede utilizar esta ecuación para detectar que si hubo distorsión en la señal recibida, debido al ruido blanco auditivo; este procedimiento se conoce como filtro acoplado.
Representación Vectorial.
La representación del espacio de la función ortogonal de la ecuación:
Corresponde al espacio ortogonal vectorial representado por:
Donde el tipo de letra en negrita denota una representación vectorial de la forma de onda de la ecuación, w es un vector de n dimensiones en el espacio vectorial euclidiano y es un conjunto ortogonal de vectores de N dimensiones que se convierten en un conjunto de vectores unitarios si los términos de kj de la ecuación son todos unitarios. Una nomenclatura abreviada para el vector w está dada por un vector reglón:
Ejemplo de la representación vectorial de una señal.
Una forma de onda de señal de tres bits
Señalizacion Binaria.
Una forma de onda representa una señal binaria puede describirse mediante la serie ortogonal de N dimensiones, donde los coeficientes de la serie ortogonal wk, son valores binarios.
Caso 1. Funciones ortogonales para un pulso rectangular.
Supongamos que los pulsos rectangulares tienen un Tb= To/n=8/8-1 ms donde tb es el tiempo que se tarda en enviar un bit de dato.
Forma de pulso de bit
Conjunto de funciones ortogonales
Representación vectorial
Caso2. Funciones ortogonales para un pulso de tipo senx/x.
Como sabemos la forma de pulso del tipo senx/x tiene el mínimo de ancho de banda. Por lo tanto se escogen:
Señalización multinivel.
Podemos reducir el valor de de N, y por ende el valor del ancho de banda, si logramos que los términos de wk tomen valores L>2 posibles, en lugar de los valores que se toman para la señalización binaria. Cuando realizamos este procedimiento, de hacer tender los valores entre L>2 posibles, entonces la forma de onda resultante se conoce como señal multinivel.
Aplicación de la señalización binaria a una forma de pulso rectangular
Aplicación de la señalización binaria a una forma de pulso senx/x
Caso 1. Funciones ortogonales para un pulso rectangular.
Caso2. Funciones ortogonales para un pulso de tipo senx/x.
Aplicación de la señalización multinivel a una forma de pulso rectangular
Aplicación de la señalización multinivel a una forma de pulso senx/x
