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8/17/2019 Teorema de Steward
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TEOREMA DE STEWART
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TEOREMA
:
►
El cuadrado del segmento que une el vértice de un triangulo con
un punto
interior cualquiera del lado opuesto, multiplicado por dicho
lado, es igual a la
suma de los productos de las longitudes de los segmentos
determinados
multiplicados por el cuadrado de las longitudes de los lados no
consecutivos,
menos el producto de dichos segmentos por el lado en el que se
encuentran
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AP es bisectriz interna
► H) < BAP= < PAC
► T) AP2 = c*b – m*n
----m---- -----n-----
Si AP es bisectriz tenemos:
m = c .´. m = c * n y n = b * m
n b b c
B
A
C
P
-------------------- a ------------------------
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Reemplazar en el teorema de Stewart
AP2 * a = m * b2 + n * c2 – m * n * a
a*AP2 = c*n * b2 + m*b *c2 _ c*n * b*m * a
b c b c
a*AP2 = c * n * b + m * b * c - n * m * a
a*AP2 = c * b (n+m) - n * m * a
a* AP2 = c * b * a – n * m * a eliminados a
AP2 =c*b – n*m
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A
BC
m n
c b
P
M
H.-) Si AP es mediana
T.-) ½ 2( b + c ) - a
Si m = n entonces tenemos:
a = 2m
a*A P2 = m*b2 + m*c2 – m*m*a
2m*AP2 = m(b2+c2 – m*a)
2AP2 = b2+c2- a/2 *a
2AP2 = (2b2+2c2-a2)/2
AP= √(2b2+2c2-a2)/4
AP = ½ √ 2(b2+c2) - a2
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Cuando AP es bisectriz externa tenemos:
El cuadrado de la bisectriz externa de una triángulo es igual al
producto de los dos
segmentos que la bisectriz determina en el lado opuesto, menos
el producto de los otros
lados.
Para el caso de que AP sea la altura:
H = 2/a p ( p – a ) ( p – b) (
p – c) donde p = semi perímetro = ( a + b + c ) / 2
H . a = p ( p – a ) ( p – b) (
p – c) el radical es el área del triángulo
a = base del triángulo
( b . h ) / 2 = p ( p – a ) ( p – b) (
p – c)
De donde h = 2 / b p ( p – a ) (
p – b) ( p – c)
