Teorema de Taylor
Lafuncin exponencial(lnea roja continua) y su aproximacin
mediante un polinomio de Taylor alrededor del origen de coordenadas
(lnea verde discontinua).Enclculo, elteorema de Taylor, recibe su
nombre delmatemticobritnicoBrook Taylor, quien lo enunci con mayor
generalidad en1712, aunque previamenteJames Gregorylo haba
descubierto en1671. Este teorema permite obtener aproximaciones
polinmicas de una funcin en un entorno de cierto punto en que la
funcin sea diferenciable. Adems el teorema permiteacotar el
errorobtenido mediante dicha estimacin.ndice[ocultar] 1Caso de una
variable 1.1Demostracin 2Caso de varias variables 2.1Demostracin
3Referencia 3.1Bibliografa
[editar]Caso de una variableEsteteoremapermite aproximar
unafuncinderivableen elentorno reducidoalrededor de un punto a: (a,
d) mediante unpolinomiocuyos coeficientes dependen de
lasderivadasde la funcin en ese punto. Ms formalmente, si 0 es
unenteroyuna funcin que es derivableveces en elintervalo cerrado[,]
y+1 veces en elintervalo abierto(,), entonces se cumple que:1(1a)O
en forma compacta(1b)Dondedenota elfactorialde, yes el resto,
trmino que depende dey es pequeo siest prximo al punto. Existen dos
expresiones paraque se mencionan a continuacin:(2a)dondey,
pertenecen a los nmeros reales,a los enteros yes un nmero real
entrey:2(2b)Sies expresado de la primera forma, se lo
denominaTrmino complementario deLagrange, dado que el Teorema de
Taylor se expone como una generalizacin delTeorema del valor medioo
Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresin de R muestra
al teorema como una generalizacin delTeorema fundamental del clculo
integral.Para algunas funciones, se puede probar que el resto,, se
aproxima a cero cuandose acerca al ; dichas funciones pueden ser
expresadas comoseries de Tayloren un entorno reducido alrededor de
un puntoy son denominadasfunciones analticas.El teorema de Taylor
conexpresado de la segunda forma es tambin vlido si la
funcintienenmeros complejosovalores vectoriales. Adems existe una
variacin del teorema de Taylor para funciones con mltiples
variables.[editar]DemostracinLa demostracin de la frmula (1a), con
el resto de la forma (2a), se sigue trivialmente delteorema de
Rolleaplicado a la funcin:
Un clculo rutinario permite ver que la derivada de esta funcin
cumple que:
Se define ahora la funcinGcomo:
Es evidente que esta funcin cumple, y al ser esta funcin
diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que:
Y como:
Se obtiene finalmente que:
Y substituyendo en esta frmula la definicin deF(a), queda
precisamente la frmula (1a) con la forma del resto
(2a).[editar]Caso de varias variablesEl teorema de Taylor anterior
(1) puede generalizarse al caso devarias variablescomo se explica a
continuacin. SeaBunabolaenRNcentrada en el puntoa, yfuna funcin
real definida sobre laclausuracuyas derivadas parciales de ordenn+1
son todas continuas en cada punto de la bola. El teorema de Taylor
establece que para cualquier:
Donde la suma se extiende sobre los multi-ndices (esta frmula
usa lanotacin multi-ndice). El resto satisface ladesigualdad:
para todo con ||=n+1. Tal como sucede en el caso de una
variable, el resto puede expresarse explcitamente en trminos de
derivadas superiores (vase la demostracin para los
detalles).[editar]DemostracinPara demostrar el teorema de Taylor
para el caso multidimensional, considrese un funcino campo escalar,
que suponemos continuo y, para simplificar lo expuesto (aunque una
generalizacin es trivial), de clase. Seauna funcin vectorial que va
de, y definmosla como(de ahora en adelante, se omitirn las flechas
de los vectores). PongamosAhora hagamosy recordemos que. Notemos
ahora que:
Ahora, derivando sucesivas veces, encontramos que podemos poner
de forma muy cmoda:
donde el exponente sobre el gradiente es entendido como las
sucesivas veces que hacemos el gradiente; es decir, hacemos el
producto escalar que est dentro del parntesis, luego volvemos a
derivar otra vez la funcin, obteniendo otro producto escalar, y as
"n" veces. Ahora, empleando el teorema de Taylor para una variable
real, expandimosen su serie de McLaurin:
y haciendo t=1 y sustituyendo las derivadas por las expresiones
antes hallada se evidencia que:
Obsrvese que el primer trmino aparece el gradiente y en el
segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notacin
particular que resulta ms cmoda y compacta. La expresin obtenida es
equivalente a la expresada ms arriba mediante la notacin
multindice.[editar]Referencia1. Bartle & Sherbert, p. 238-2392.
Bartle & Sherbert, p. 290-291[editar]Bibliografa R. G. Bartle
& D. R. Sherbert:Introduccin al An
